广州大学2013-2014(1)概率论(A)解答

广州大学2013-2014学年第一学期考试卷解答

课 程：概率论（32学时） 考 试 形 式：闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________

一、选择题（每小题3分，总计15分）

1．设随机变量X 的分布律为()2

k c

P X k ==，（0,1,2,3,4k =），则c =（ D ）.

(A) 12； (B) 1615； (C) 1； (D) 1631

.

2．设,A B 是二随机事件，如果等式（ C ）成立，则称,A B 为相互独立的随机事件.

(A) ()0P AB =； (B) ()1P A B ⋃=； (C) ()()P A B P A =； (D) ()0P A B -=. 3．设()0.4P A =，()0.5P B =, 且()0.7P A B ⋃=，则(|)P A B =（ C ）. (A) 0.8； (B) 0.6； (C) 0.4； (D) 0.2. 4．若随机变量ξ的期望E ξ存在，则[()]E E E ξ=（ C ）. (A) 0； (B) ξ； (C) E ξ； (D) 2()E ξ. 5. 设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f , 则（ C ）. (A) 1)(0≤≤x f ； (B) 1)(lim =+∞

→x f x ；

(C) 1)(=⎰

∞+∞

-dx x f ； (D) )()(}{a f b f b X a P -=≤<.

二、填空题（每小题3分，总计15分）

1．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为

1/4.

2．设随机变量~(0,1)X N ，()x Φ为其分布函数，则()()x x Φ+Φ-=___1____.

3．每次试验中A 出现的概率为p ，在三次试验中A 出现至少一次的概率是26/27，则p =1/3.

4．随机变量X 的分布律为15

}{k

k X P =

=，5,,1 =k ，则=≤<}31{X P 1/3 .

5．设)6,1(~U X ，则(21)E X +=8.

三、（本题满分8分）

将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行，求下列各事件的概率: （1）各球自左至右或自右至左恰好排成1, 2, 3, 4的顺序； （2）第1号球排在最右边或最左边.

解：将4个球随意地排成一行有4!=24种排法，即基本事件总数为24.------2分 记（1），（2）的事件分别为,A B .

（1）A 中有两种排法，故有21

()2412

P A =

=.------5分 （2）B 中有12)!3(2=⨯种排法, 故有121

()242

P B =

=.------8分 四、（本题满分6分）

袋中有a 个白球，b 个红球，从袋中依次取m 个球, 每次取1个，取后球不放回，求其中恰有k 个白球的概率. 解：()()(1)(1)m a b n A a b a b a b m Ω+==++-+-+，------2分 记所求事件为A ，则

!!!

!()!()!()!

k k m k

A m a b m a b n C A A k m k a k b m k -==

⋅⋅---+，------4分

()k k m k m a b m a b C A A P A A -+=.------6分 或()k m k a b

m

a b

C C P A C -+=，,k a k m ≤≤.

五、（本题满分8分）

设某批产品中，甲，乙，丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件，求取到的是次品的概率. 解：记事件1A ：“该产品是次品”， 事件2A ：“该产品为乙厂生产的”， 事件3A ：“该产品为丙厂生产的”，事件B ：“该产品是次品”.------2分 由题设，知

1()45%P A =，2()35%P A =，3()20%P A =，

1(|)4%P B A =，2(|)2%P B A =，3(|)5%P B A =，------5分

由全概率公式得

3

1()()(|)i i i P B P A P B A ==∑ 3.5%=.------8分

六、（本题满分12分）

设随机变量X 的分布函数为

0,

1,9/19,12,()15/19,23,1,

3.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪

=⎨

≤<⎪⎪≥⎩ （1）求(13)P X <<、(24)P X <<；

（2）判断X 是否为离散型随机变量，若是，说明理由并计算其分布律； （3）求(21)E X +. 解：（1） P(1

P(2

（2）由于()F x 是一个阶梯型函数，故知X 是一个离散型随机变量，()F x 的跳跃点分别为1，2，3，对应的跳跃高度分别为 9/19，6/19，4/19，如图. 故X 的概率分布为

123

9/196/194/19

i X p

------8分

（3）E(2X+1)=(2+1)*9/19+(2*2+1)*6/19+(2*3+1)*4/19------10分

=85/19.------12分

七、（本题满分14分）

设连续型随机变量X 的概率密度为

1,01

()2

0,

Ax x f x ⎧

+<<⎪=⎨⎪⎩其它 （1）求常数A ；（2）求数学期望()E X ；（3）求方差()D X . 解：（1）由()1f x dx +∞-∞

=⎰

得

211

0011

()()122222Ax x A Ax dx +=+=+=⎰，故1A =.------4分

（2） ()E X 3211001117

()()2343412x x x x dx =+=+=+=⎰.------8分

（3） 2

()E X 311240011115()()2464612

x x x dx x =+=+=+=⎰.------11分

()D X 22

()()E X E X =-2257111212144

=-=.------14分

八、（本题满分12分） 设),(Y X 的分布律如下