流体力学3-5动量方程

水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力，大小相等方 向相反
Rx 0.538kN 方向沿Ox方向 Ry 0.597kN 方向沿Oy方向
9
第五节 动量方程
总流的动量方程是动量定理的流体力学表达式 .
❖设恒定总流，过流断面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ(渐变流断面)
流体经dt 时间由Ⅰ-Ⅱ运动到Ⅰ‘- Ⅱ’位置
2
❖任取元流l – 2 dt 时间内元流动量增量
uur uur uur uur
1
1 u1
dA1
uur
1
1
dA2
2
uur
2
u2
2
uur
d K K1'2' K12 (K1'2 K ) 22' tdt (K11' K1'2 )t
5
❖动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
变流断面之间的水体取为控制体；
2. 选坐标系 选定坐标轴 的方向，确定各作用力及
流速的投影的大小和方向；
3. 作计算简图 分析控制体受力情况，并在控制体
上标出全部作用力的方向；
4. 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴
上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强 采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
6
例: 水平设置的输水弯管(转角θ = 60°)，直径由d1=200mm 变为d2=150mm，已知转弯前断面p1=18kPa（相对压强）， 输水流量Q=0.1m3/s，不计水头损失; 试求水流对弯管的作 用力。
解：取过流断面l-1、2-2及控制体，选直角坐标系 1、分析受力：过流断面上的动压力P1、P2；


Fz Q(2v2z 1v1z )
❖物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
❖应用条件：
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体

❖合外力： F
作用在该控制体内所有流体质点的质量力； 作用在该控制体面上的所有表面力 四周边界对水流的总作用力
sin
60o

Ry
'

Q(2v2
sin
60o
)
其中
P1

p1 A1
18
1
4
0.22

0.565kN
2、列1-1、2-2断面的伯诺里方程，忽略水头损失，有
z1

p1 ρg

α 1v12 2g

z2

p2 ρg

α
2v
2 2
2g

hl
0 p1 v12 0 p2 v22 0
恒定流动，dt 前后 K 1'2 无变化，则
uur uur uur
r
r
d K K 22' K11' 2u2dtdA2u2 1u1dtdA1u1
1
❖ 取过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，
uur
令
uur
u
uuiur
i
——为单位向量
r
r
d K K 22' K11' 2u2dtdA2u2 1u1dtdA1u1
重力G在xOy面无分量； 弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q(2v2x 1v1x )
Fy Q(2v2 y 1v1y ) 7
P1 P2 cos 60o Rx ' Q(2v2 cos 60o 1v1)
P2
g 2g
3、由连续性方程
g
2g
v1

4Q
d12
3.185m/s
Q = v1A1= v2A2
v2
4Q

d
2 2
5.66m8/s
p2

p1

v12 v22 2g


7.043kPa
P2
d22
4
p2
0.124kN
4、将各量代入总流动量方程，解得 Rx ' 0.538kN Ry ' 0.597kN
r
r
rr
dt2v2 A2 v2 dt1v1A1v1 dtQ(2 v2 1v1)
2
❖动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
Au3dA 3A
Au2dA 2A
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
❖质点系动量定理: 质点系动量的增量等于作用于
该质点系上的外力的冲量
Fdt dtQ(2 v2 1v1)
F Q(2 v2 1 v1 )
3
❖恒定总流动量方程
ห้องสมุดไป่ตู้ur
rr
F Q(2 v2 1v1)


Fx Q(2v2x 1v1x ) Fy Q(2v2 y 1v1y )



d K

A2

2
u
2
dtdA2
u
2
i
2

A1
1u1
dtdA1u1
i
1
❖对于不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ，并引入修正系数β ，以断 面平均流速v 代替点流速u 积分，总流的动量差为
uur
r
r
d K dt2v22 A2 i2 dt1v12 A1 i1