函数在闭区间上的最值问题

函数在闭区间上的最值问题

教学目标：

① 掌握二次函数在闭区间上的最值的求法。

② 对于其他类型的函数在闭区间上的最值问题，可转化为二次函数在闭区间上的最值问题。

③ 通过教学使学生掌握数形结合，分类讨论，数学建模等重要的数学思想。

重点和难点：

重点 :二次函数在闭区间上的最值的求法；其他类型函数在闭区间上的最值问题转化为

二次函数在闭区间上最值问题。

难点 :对参变量的分类讨论

教学过程:

一、知识回顾：

二次函数的一般形式：y=ax 2

+bx+c,(a ≠0)

对称轴：__________；顶点坐标____________；开口方向____________________； 当____________函数有最大值_________；当__________函数有最小值__________。

二、二次函数在闭区间上的最值问题：

1．不含参变量

例1．（1）求[]上的最值。，在30x ,3x 4x 2-y 2∈++=

（2）求[]上的最值。，在30x ,3x 4x 2y 2∈++=

2．含参变量

类型一：“轴变，区间定”

例2．求[]上的最值。，在30x )R a (,a ax 2-x y 2∈∈+=

练习：求[]上的最值。，在31x )R k (,3kx 4x -2y 2∈∈++=

变式训练：若函数[]的值。，求上有最大值，在k 423-x )R k (,1kx 2x k y 2

∈∈++=

类型二：“轴定，区间变”

例3．讨论ｙ＝x 2－２ｘ＋２在ｘ∈［ｍ，ｍ＋１］上的最值。

练习：求函数ｙ＝－３x ２－６ｘ＋７，在区间［ｎ－１，ｎ］上的最值。

变式训练：对[],1x a a ∈+时，

恒为正，求实数a 的取值范围。

类型三：“轴变，区间变”

例4． 求函数

21(0)y tx x t =+-≠在(,1)x t t ∈+上的最值。

变式训练：已知()2

34()(0)y x a x a a =-+->，且当x a ≥时，y 的最小值为4，求参数a 的值。

总结：二次函数在闭区间上的最值的求法：

1．判断对称轴跟区间的关系；

2．若对称轴在区间内，则函数的最值在区间端点所对应的值和顶点函数值中取；

3．若对称轴在区间外，则函数的最值在区间端点上取。

三、三角函数中的最值问题

例5．若

2()122cos 2sin f x a a x x =---的最大值为g （a ），求g （a ）表达式。

例6．已知当02πθ

≤≤时，对任意实数θ恒小于零，求实数m 的取值范

围。

四、其它类型的函数的最值问题： 例7．已知已知22log (24)y x ax =-+，

（1） 若定义域为R,求a 的取值范围；

（2） 试讨论该函数在[]2,4x ∈上的最值。