概率论与数理统计教案

概率论与数理统计教案

2.5随机变量的函数的分布

是 S={e}，设 X i =X i (e), X 2=X 2(e),…,

X n =X n (e)是定义在S 上的随机变量，由它们 构成的一个n 维向量(X i ,X 2,…,X n )叫做n 维 随机向量或n 维随机变量。

对于任意n 个实数x i ,x 2，…,x n , n 元函数

F(X I ,X 2，…,X n ) = P{ X i < x i , X 2< X 2,…,X n < X n } 称为n 维随机变量(X i ,X 2,…,X n )的分布函数 或随机变量X i ,X 2,…,X n 的联合分布函数。

3.2边缘分布

二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分 布函数F(x,y)。而X 和丫都是随机变量，各 自也有分布函数，将它们分别记为 F X (X ), F Y (y)，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X

概率密度f(x,y)具有以下性

质:

① f (x,y) > 0

y x

③ 设G 是xOy 平面上的区域，点(X,Y)落在

G 内的概率为 P{(X, Y) G} f(x, y)dxdy

G

④ 若f(x,y)在点(x,y)连续，则有

2F(x,y)

x y f(x, y)

般，设E 是一个随机试验, 它的样本空间

3 1 1

P(X 1,Y 3} 2dy -(6 x y)dx

8

x 1

1 3 1 2

-2[(6 y)x -x ] dy

8 2 2 x o

1 3/11 “ 3

8 2 2 8

(3)

4 1.

5 1

P{X 1.5} 2dy 0 -(6 x y)dx

8

x 1 .5

1 4 1 2

-2[(6 y)x -x ] dy

8 2 2 xo

1 4“63 3 、，27

：2(M二y)dy —-

8 2 8 2 32

(4)

4 4 y 1

P{X Y 4} 2dy 08(6 x y)dx

x 4 y

1 4 1 2

-2[(6 y)x -x ] dy

8 2 2 xo

1 4 1 2

-2[(6 y)(4 y) -(4 y)2]dy

8 2 2

1 4 1 2

「[2(4 y) -(4 y) ]dy

8 2 2

4

£ (4y)2£(4y)3] f

8 6 2 3 2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

y

f(x, y) e y，求边缘概率密度。

0 其它

1

--- x 0 x 1500 15002

1

f(x)——2----------- 1500 x 3000

1500 (x 3000)

0 其它

求E(X)。

解：按连续型随机变量的数学期望定义有：E(X) xf(x)dx

0 1500

xf(x)dx ° xf (x)dx

3000

1500 xf(x)dx3000xf(x)dx

0 1500 x

x* 0dx x---- dx

015002

3000(x 3000)」*

x---- 2- dx x* 0dx

1500 1500’3000

3 1500

2 3

3000

1 x 1 x x

———(3000* 丄—)

150023 0 15002 2 3 侦。

1500(mi n)

3.—直正常男性承认血液中，每一毫升白细胞数平均是7300,军方差是700。利用切

比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在

5200~9400直接的概率p。

解：以X表示每毫升含白细胞数，由题设

E(X)=卩7300, J D(X) 700

而概率p=P{5200

=P{-2100

=P{|X-7300|<2100}