第八章 第五节 椭 圆

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考点一 考点二 考点三 考点四
2．椭圆的标准方程和几何性质
图形
标准方程
范围 性 质
对称性
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋xb22＝1 (a>b>0)
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
3．设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有最小值 b，这 时，P 为短轴端点；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，这时，P 为长轴端点． 4．若点 P 是椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1、F2 是椭圆的左、右焦点，且∠ F1PF2＝θ，则 S△PF1F2＝b2tanθ2. 5．过椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的焦点 F 作 x 轴的垂线，交椭圆于 A，B，则|AB|＝2ab2.
34
(3)法一：(待定系数法)：由已知可设椭圆 C2 的方程为ay22＋x42＝1(a>2)，其离心率为 23，
故 a2a－4＝ 23，解得 a＝4，故椭圆 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1.
法二：(椭圆系法)：因椭圆 C2 与 C1 有相同的离心率，且焦点在 y 轴上，故设 C2：y42＋ x2＝k(k>0)，即4yk2 ＋xk2＝1. 又 2 k＝2×2，故 k＝4，故 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1.
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[剖析] 1.此题是椭圆上的点到焦点的最大距离为 a＋c，最小距离为 a－c. 其中离心率 e 的大小影响椭圆的圆扁．当 e 变大时，椭圆越扁，当 e 变小时，椭圆越 圆． 2．求椭圆离心率的关键点 (1)分析题设中所给量与离心率有什么关系(直接的或间接的)． (2)转化条件，求离心率所用的量． ①若直接可求出 a、b、c 的具体值，用公式 e＝ac＝ 1－ba2.
答案：(1)A (2)x82＋y62＝1 或2y52 ＋2x52＝1 (3)见解析 34
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考点三 椭圆的几何性质 教材剖析，选修2－1 P49A组T10 已知地球运行的轨道是长半轴长 a＝1.50×108 km，离心率 e＝0.019 2 的椭圆，且太阳 在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． [解答] 最大距离为 1.528×108 km，最小距离为 1.4712×108 km.
b2＝7.即椭圆方程为1x62 ＋y72＝1.
挖掘 2 椭圆定义的应用/ 互动探究
[例 2] (1)(2020·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分
别为 F1、F2，离心率为23，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 12，
应用
解读
求方程
条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程
求焦点三 求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定
角形 理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a.平方是常用技巧 求最值 利用|PF1|＋|PF2|＝2a 为定值，利用基本不等式求
|PF1|·|PF2|最值或利用三角形求最值．如 a＋c、a－c
1．e 与ba：因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba2，所以离心率 e 越大，则ba越小，椭圆就越 扁；离心率 e 越小，则ba越大，椭圆就越圆．
2．点与椭圆的位置关系 已知点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，则 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202＜1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202＞1.
轨迹方程为________．
解析：因为点 A 在圆 B 内，
所以过点 A 的圆与圆 B 只能内切，
因为定圆圆心坐标为 B(3,0Байду номын сангаас，
所以|AB|＝6.
所以|BM|＝8－|MA|，即|MB|＋|MA|＝8＞|AB|，
所以动点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，
即 a＝4，c＝3.故 答案：1x62 ＋y72＝1
答案：D
(2)已知点 P(x，y)在椭圆3x62＋1y020＝1 上，F1，F2 是椭圆的两个焦点，若△PF1F2 的面 积为 18，则∠F1PF2 的余弦值为________．
解析：椭圆3x62＋1y020＝1 的两个焦点为 F1(0，－8)，F2(0,8)，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2| ＝20， 两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202， 由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162， 两式相减得 2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144， 又 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18， 所以 1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2， 解答得案：co3s∠F1PF2＝35.
圆的标准方程；
点位置
(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设
椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m≠n>0)
根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条 具有某共同特征的
椭圆系法
件确定方程.
椭圆求标准方程
挖掘 求椭圆方程的方法/ 自主练透
[例] (1)(2020·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是 椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x82＋y62＝1 B.1x62 ＋y62＝1 C.x42＋y22＝1 D.x82＋y42＝1
2．求椭圆标准方程的方法
方法
解读
适合题型
根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满 涉及两焦点的距离
定义法
足，求出相应的 a，b，c 的值，即可求得方程
问题
(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位
置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确
待定系数法 定关于 a，b，c 的方程组，解出 a2，b2，从而写出椭 能够明确椭圆的焦
挖掘 1 利用椭圆定义求方程/ 自主练透
[例 1] (1)已知圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，圆 C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1 内部且
和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
A.6x42－4y82 ＝1
B.4x82＋6y42 ＝1
C.4x82－6y42 ＝1
则椭圆 C 的标准方程为( )
A.x32＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x92＋y42＝1
D.x92＋y52＝1
解析：由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B 的周长为|AF1| ＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝ac＝23，所以 c＝2，所 以 b2＝a2－c2＝5，所以椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1，故选 D.
(2)(2020·成都模拟)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)的椭圆方程为 ________． (3)已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率．求 椭圆 C2 的方程．
解析：(1)设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 由点 P(2， 3)在椭圆上知a42＋b32＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
D.6x42＋4y82 ＝1
解析：设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， ∴M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝1. 答案：D
(2)已知动圆 M 过定点 A(－3,0)并且与定圆 B：(x－3)2＋y2＝64 相切，则动圆圆心 M 的
①平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；②椭圆的
离心率越大，椭圆越接近圆；③若方程5－x2 k＋k－y2 3＝1 表示椭圆，则(5－k)(k－3)＞0；
④椭圆离心率 e∈(0,1)．
A．1
B．2
C．3
D．0
答案：B
2．(基础点：椭圆的定义)已知椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1 的距离为 3，
5
考点一 考点二 考点三 考点四
考点二 椭圆的标准方程及应用 教材剖析，选修2－1 P49A组T52 求长轴长是短轴长的 3 倍，且经过点 P(3,0)的椭圆． [解答] x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1.
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[剖析] 1.此题要讨论焦点是在 x 轴上，还是在 y 轴上，利用待定系数法，另外还可以 根据 P(3,0)，为其中一个顶点，来确定 a＝3 或 b＝3.此题易错原因是只写一种形式的 方程，或者盲目改写为 x2＋y92＝1. 故求椭圆方程是先定型，再定量．
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即
2a＝2×2c，ac＝12，又
a42＋b32＝1， c2＝a2－b2，联立c2＝a2－b2，
ac＝12，
得 a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x82＋y62＝1.
(2)因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba22＝ 1－34＝12， 若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为mx22＋ny22＝1(m＞n＞0)，
6．椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是 F1、F2，P(x0，y0)是椭圆上任意一点， 则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0. 7．若 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点，则 a－c≤|PF|≤a＋c.
[四基自测]
1．(易错点：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是( )
答案：8
考点一 考点二 考点三 考点四
考点一 椭圆的定义及应用 教材剖析，选修2－1 P49A组T7 如图，⊙O 的半径为定长 r，A 是⊙O 内一个定点，P 是圆上任一 点．线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆 上运动时，点 Q 的轨迹是什么？为什么？
[解答] 椭圆
则 P 到另一个焦点 F2 的距离为( )
A．2
B．3
C．5
D．7
答案：D
3．(基础点：椭圆的方程与性质)已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为12，则椭圆的 标准方程为________． 答案：x42＋y32＝1 4．(易错点：椭圆方程的特征)已知椭圆mx－2 2＋10－y2 m＝1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4， 则 m 等于________．
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顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
性
轴
长轴A1A2的长为 2a ；
短轴B1B2的长为 2b
质
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ac∈ (0,1)
a，b，c的关系 a2＝ b2＋c2
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
则
1－mn 2＝14，从而mn 2＝34，mn ＝
3 2.
又m42＋n32＝1，所以 m2＝8，n2＝6.
所以方程为x82＋y62＝1.
若焦点在 y 轴上，设方程为hy22＋xk22＝1(h＞k＞0)，
则h32＋k42＝1，且hk＝ 23，解得 h2＝235，k2＝245. 故所求方程为2y52 ＋2x52＝1.
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[剖析] 1.Q 在 PA 的垂直平分线上， 有 QA＝QP，QO＋QP＝r， 则 QA＋QO＝r(定值)＞OA， 符合椭圆定义，Q 轨迹是以 O、A 为焦点的椭圆，椭圆的定义其实质是，椭圆上的点 到焦点的距离关系．
2．椭圆定义应用技巧思路
第八章 平面解析几何
第五节 椭 圆
考点一 考点二 考点三 考点四
[基础梳理] 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离 之和 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．