第八章 第五节 椭 圆
椭圆 解析几何-高中数学课件-第5节
第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第5节 椭 圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升知识诊断基础夯实Z H I S H I Z H E N D U A N J I C H U H A N G S H I知识诊断 基础夯实11.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：①若________，则集合P 为椭圆；②若________，则集合P 为线段；③若________，则集合P 为空集.知识梳理椭圆焦点焦距a ＞c a ＝c a ＜c2.椭圆的标准方程和几何性质2a2b2c(0，1)a2－b2[常用结论]诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)××√√解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.2.(选修一P 115习题3.1T6改编)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆解析 连接QA (图略).由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.A又2a＝2(2b)，即a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2考点一 椭圆的定义及应用C(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________.解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.C得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.(2)若△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为_______________________.解析 由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.又A，B，C三点不能共线，考点二 椭圆的标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；解 若焦点在x轴上，∵椭圆过点A(3，0)，∵2a＝3×2b，∴b＝1，若焦点在y轴上，∵椭圆过点A(3，0)，又2a＝3×2b，∴a＝9，解 设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求椭圆方程的方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.BCD解析 依题意，当A为上顶点，F为右焦点时，B为左顶点，则|AF|＝a＝3，a＋c＝5，∴c＝2，又a2＝b2＋c2，b2＝5，当A为右顶点，F为右焦点，B为左顶点时，|BF|＝a＋c＝5，|AF|＝a－c＝3，当B为上顶点，F为右焦点，A为右顶点时，|BF|＝a＝5，|AF|＝a－c＝3，考点三 椭圆的简单几何性质角度1 离心率A易知|AF1|＝|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，又|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c，解析 ∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，角度2 与椭圆几何性质有关的最值、范围问题C解析 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，D解析 设左焦点F0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.解析 由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.∵直线MN与圆E相切于点N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.设M(x0，y0)，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升31.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝6.若动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A.直线B.线段C.圆D.椭圆解析 动点M 到F 1，F 2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F 1，F 2的距离,则动点M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段.B 【A级 基础巩固】DBB所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，C由题可知a＝2，即A(－2，0).又|NA|＝1，∠NAB＝60°，CCD△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正确；在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正确；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确.。
高考数学全程一轮复习第八章解析几何第五节椭圆课件
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于___常_数____(大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____焦_点______，两焦点间的 距离叫做椭圆的_____焦__距_____．
2．椭圆的标准方程和几何性质
AABB121___(2(－____0(____a，(a____，0，____，－____00____)bb)____)) ，，，_
AABB121___(2(0____－(，0____(，____bb－____，，a____a)____00)____)) ，，，_
长轴A1A2的长为___2_a____； 短轴B1B2的长为__2_b_____
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
夯实基础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭 圆．( × )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(4)
椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
∴|PF2|＝12－3＝9，
即点P到另一个焦点的距离为9.
5
．
(
易
错
)
已
知
椭
圆
x2 5
+
y2 m
＝
1(m>0)
的
离
心
率
e
＝
10 5
，
则
m
的
值
为
___3_或__23_5 _．
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)8.5椭 圆课件 理 新人教B版
x0 =
x1 +x 2 3m m =,y0 =x 0 +m= . 2 4 4
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
答案：(1)否
(2)否
(3)是
2.根据图形写出相对应的椭圆的标准方程和几何性质
y
A2
a a c c
y
F2
O
图形
B2
b
A1 F1 O
F2 A2
x
B1 b
F1 A1
B2
x
B1
标准方程
范围
x2 y2 1 （a>b>0） a 2 b2
-a ≤x ≤ a -b ≤y ≤b
y2 x2 2 1 a2 b
（a>b>0）
-b ≤x ≤b -a ≤y ≤ a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
性 质
对称性 顶点
A1(-a，0), A2（a，0） B1(0，-b), B2（0，b）
A1(0，a), (-b， B
1
A2（0，a） B2（b，0）
轴
0), 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b
y
B2
A2
圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题； 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现，选择、填 空题经常考查椭圆的定义、标准方程、几何性质；解答题经常 以两问的形式出现，第一问考查椭圆的定义、标准方程以及几 何性质，第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题、 解决问题的能力.
所以，一个焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.
答案：9或1
椭圆的定义、标准方程 【方法点睛】 1.利用椭圆定义解题的注意问题
(新课标)高考数学备考试题库 第八章 第5节 椭圆 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2010~2014年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第5节 椭圆1. (2014某某，5分)已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：12.2．(2014某某，5分)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25553. (2014某某，12分)圆 x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋ 3 交于A ，B 两点．若△PAB 的面积为2，求C 的标准方程．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a 2＋2b2＝1，并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x ＋3，得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0，又x 1，x 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43b2，x 1x 2＝6－2b 2b2.由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3， 得|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △PAB ＝12×32×|AB |＝2得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6.从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.4. (2014某某，5分)设椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________．解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 答案：335（2013某某，5分）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：D6（2013某某，14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝t OE ，某某数t 的值．解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意得－2<m <0或0<m < 2. 将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y |＝2－m22， 所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64， 解得m 2＝12或m 2＝32.①又OP ＝t OE ＝12t (OA ＋OB )＝12t (2m,0)＝(mt,0)，因为P 为椭圆C 上一点， 所以mt22＝1.②由①②得t 2＝4或t 2＝43，又t >0，所以t ＝2或t ＝233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h ， 将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2， 此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k2， 所以|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22·1＋k 2· 1＋2k 2－h21＋2k2. 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h |1＋k2，所以S△AOB＝12·|AB |·d ＝12×221＋k 2·1＋2k 2－h21＋2k2·|h |1＋k2＝2· 1＋2k 2－h21＋2k 2·|h |. 又S △AOB ＝64， 所以2· 1＋2k 2－h 21＋2k 2·|h |＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0， 解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④又OP ＝t OE ＝12t (OA ＋OB )＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2，因为P 为椭圆C 上一点，所以t 212⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1＋2k 22＝1，即h 2·t 21＋2k2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43.又t >0，所以t ＝2或t ＝233.经检验，符合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)得t ＝2或t ＝233. 7（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.1323解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：D8．（2013某某，5分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57.答案：B9．（2013某某，5分）从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.1222解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：C10．（2013某某，4分）椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－111.(2012某某，13分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )．所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12．（2012新课标全国，5分）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.答案：C13．（2012某某，5分）椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，所以e ＝ca ＝55. 答案：B14．（2011某某，5分）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15， 则C 的坐标为(a 35，2a35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C15．(2011某某，12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(Ⅰ)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为(32，－65)．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．16．（2011新课标全国，5分）椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝c 2a 2＝12.∴e ＝22.答案：D17．（2010某某，5分）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ·FP＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6.word 答案：C11 / 11。
数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案含解析
第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第5节 椭 圆
则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.
角度二
椭圆的焦点三角形
[例2] (多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆 C: + =1 的左、
右焦点分别是F1,F2, M( ,y0) 为椭圆C上一点,则下列结论正确的是
轴三等分,则此椭圆的方程是(
A.+=1
B.+ =1 源自 √C.+=1
D. +=1
)
解析:根据题意可设椭圆方程为 + =1,易知 2a=18,且 2c= ×2a,
解得a=9,c=3,
所以a2=81,b2=a2-c2=72,
所以 a=2 ,则离心率 e== .故选 C.
)
5.若方程
为
(0, )
+
=1 表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围
-
.
解析:由题可知,1-m>m>0,解得 0<m< ,所以实数m的取值范围为
(0,).
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
椭圆的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,
那么动圆的圆心P的轨迹是(
√
A.椭圆
B.双曲线
第八章第五节椭圆共50页文档
顶点
(0，±b)
顶点 (±b,0)
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
| F1F2|＝ 2c (c2＝ a2－b2 )
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
离心率
e＝ c ∈ (0,1) ，其中c＝ a
a2－b2
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
2b2 . a
[究 疑 点] 1．在椭圆的定义中若|F1F2|＝2a或|F1F2|>2a，动点的轨
4．椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，若直线 x＝ac2与
x 轴的交点为 A.在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂
直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，
2 2]
B．(0，12]
C．[ 2－1,1)
D．[12，1)
解析：依题意|FA|＝|FP|. ∵|FA|＝ac2－c， |FP|≤a＋c， ∴ac2－c≤a＋c，即 a2≤ac＋2c2， ∴2e2＋e－1≥0，(2e－1)(e＋1)≥0. 又 0<e<1，∴12≤e<1.
|PF1|＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹是 ( )
A．椭圆
B．线段
C．椭圆或线段或不存在
D．不存在
解析：当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为
线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．
答案：C
2．已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点， uuur uuur
标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
范围 对称性
|x|≤a；|y|≤b
曲线关于 x轴 y轴、原点 对称
第五节-椭--圆
返回
考点三 椭圆的几何性质
椭圆的几何性质内容非常丰富，因此在高考中对椭圆几 何性质的考查也非常广泛，但是对其离心率的考查是每年高 考的热点.本考点对数形结合思想要求较高，方法灵活，难度 中等偏上，题型既有选择题、填空题，也有解答题.
常见的命题角度有： 1求椭圆离心率的值或范围； 2根据椭圆性质求参数的值或范围.
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1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹
是椭圆．
()
(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋ 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)． ( )
(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．
第五 节
椭圆
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
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课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
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过基 础知 识
返回
1．椭圆的定义 平面内到两定点 F1，F2 的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆．两定点 F1，F2 叫做椭圆的 焦点 ． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c ＞0，且 a，c 为常数．
由题设知抛物线的焦点为(0,2 3)，所以椭圆中 b＝2 3.因为 e
＝ac＝12，所以 a＝2c，又 a2－b2＝c2，联立解得 c＝2，a＝4， 所以椭圆 C 的标准方程为1x62＋1y22 ＝1. 答案：1x62＋1y22 ＝1
2015届高考数学(浙江文)一轮复习课件：8.5 椭 圆
x2 y2 椭圆 C1： 2＋ 2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1 的 a b 长轴是圆 C2：x2＋y2＝ 4 的直径．l1，l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1 交圆 C2 于 A， B 两点，l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程．
第五节 椭
考 纲 展 示
圆
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
ห้องสมุดไป่ตู้
高频考点全通关——直线与椭圆的综合问题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，多以解答题
的形式出现，试题难度较高，多为中档题．
【命题角度】
高考对直线与椭圆的综合问题的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知某条件，求直线的方程； (2)求三角形(或其他几何图形)的面积； (3)判断几何图形的形状； (4)弦长问题； (5)中点弦或弦的中点问题．
高频考点全通关——直线与椭圆的综合问题 闯关二：典题针对讲解——求三角形（或其他图形的面积）
高频考点全通关——直线与椭圆的综合问题 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略
直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略
(1)求直线方程． 可依题条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程． (2)求面积． 先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出 面积的值． (3)判断图形的形状． 可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边 之间的关系． (4)弦长问题． 利用根与系数的关系、弦长公式求解． (5)中点弦或弦的中点． 一般利用点差法求解，注意判断直线与方程是否相交．
高考总复习数学(理科)第八章 第五节第1课时椭圆的概念及其性质(基础课)
第五节 椭圆
最新考纲
1.了解椭圆的实际背景， 了解椭圆在刻画现实世界 和解决实际问题中的作 用． 2.掌握椭圆的定义、几何 图形、标准方程及简单几 何性质． 3.理解数形结合思想． 4.了解椭圆的简单应用.
考情索引
2018·全国卷Ⅰ，
T19 2018·全国卷Ⅱ，
T12 2018·全国卷Ⅲ，
4．已知F1，F2是椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的两个
焦点，P为椭圆C上的一点，且
P→F1⊥
→ PF2
.若△PF1F2的面
积为解9，析则：b＝由定__义__，___|P_F．1|＋|PF2|＝2a，且P→F1⊥P→F2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， 所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， 所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2， 所以|PF1||PF2|＝2b2. 所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝9，因此b＝3
A.x32＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x92＋y42＝1
D.x92＋y52＝1
(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 4
＝1的一个焦
点为(2，0)，则C的离心率为( )
1
1
2
22
A.3
B.2
C. 2
D. 3
解析：(1)F1(－ 3，0)，因为PF1⊥x轴，
所以P－
3，±12，所以|PF1|＝12，
P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入
x2 5
第8章 第5节 第1课时 椭圆及其性质-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
A．13
B．12
C．
2 2
D．2 3 2
解析 不妨设 a>0.因为椭圆 C 的一个焦点为(2，0)，
所以焦点在 x 轴上，且 c＝2， 所以 a2＝4＋4＝8，所以 a＝2 2，所以椭圆 C 的离心
率
e＝ac＝
2 2.
5．已知点
F1，F2
分别为椭圆
C：x2＋y2＝1 43
的左、右焦
点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠F1PF2＝60°，则
解析 由 AM＝1，可知点 M 的轨迹为以 A(5，0)为圆心， l 为半径的圆过 P 作该圆的切线 PM，M 为切点，则|PM|2＋ |AM|2＝|PA|2，|PM|2＝|PA|2－1.要使|PM|最小，则|PA|应最小．
由图可知，当点 P 为椭圆右顶点时，|PA|＝a－c＝3 时 取最小值，|PM|＝ 32－1＝2 2.
(4)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．
( ×)
(5)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．
(√ )
◇教材改编
2．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶
点，则该椭圆的标准方程为( C )
A．x2＋y2＝1 5
B．x2＋y2＝1 45
C．x2＋y2＝1 或x2＋y2＝1
离心 性质
率
c
e＝__a__且 e∈(0，1)
a，b，c 的 关系
c2＝a2－b2
教材拓展
与椭圆定义有关的结论
以椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点 P(x0，y0)(y0≠0)和焦点 F1(－ c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2 中，若∠F1PF2＝θ，则
高考数学总复习第八章解析几何8.5椭圆理新人教A版
4.理解数形结合的思想. 以解答题的形式呈现，具有
一定的综合性.
课堂探究 考点突破
真题模拟演练
课堂探究 考点突破
考点一 椭圆的定义及标准方程
(1)已知椭圆 C：x42＋y32＝1，M，N 是坐标平面内的两点，
且 M 与 C 的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，
线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝( B )
解：设弦的端点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是 M(x，y)．
x221＋y21＝1，① x222＋y22＝1，②
①－②得yx22－－yx11＝－2xy22＋＋xy11＝－2xy，
所以－2xy＝yx－－12， 化简得 x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆x22＋y2＝1 内部的部
圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1 .
解析：设点 B 的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋by22＝1， ∴F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0)． ∵AF2⊥x 轴，设点 A 在 x 轴上方， 则 A( 1－b2，b2)．
∵|AF1|＝3 1－b2，y0)． ∴x0＝－53 1－b2，y0＝－b32. ∴点 B 的坐标为－53 1－b2，－b32. 将 B－53 1－b2，－b32代入 x2＋by22＝1， 得 b2＝23.
B．
32－1，12
D．0，12
解析：由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos
∠ PF1F2 ＝ 4c2 ＋ 4c2 － 2·2c·2c·cos ∠ PF1F2 ， 即 |PF2| ＝ 2 2
c· 1－cos∠PF1F2 ， 所 以
1.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角 形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周 长和面积问题． 2．椭圆方程的求解方法 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法． (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a＞|F1F2|；利用待 定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2 ＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
2024届新高考一轮总复习人教版 第八章 第5节 第2课时 直线与椭圆 课件(30张)
2．过圆 x2＋y2＝r2 上一定点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2，此结论可推
广到圆锥曲线上．过椭圆1x22 ＋y42＝1 上的点 A(3，－1)作椭圆的切线 l，则过 A 点且与直
线 l 垂直的直线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x－y－3＝0
C．2x＋3y－3＝0
D．3x－y－10＝0
【思维升华】 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两个 不同的点，可利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]求解．
【思维升华】判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组 解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交 点．
考点 2 中点弦及弦长问题
【典例引领】
中点弦问题
[例 1](1) (2023·福建三明模拟)以椭圆x42＋y32＝1 内一点 P1，1为中点的弦所在的直线
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时， 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线 CD 的方程为 y＝－1k(x－1). 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则 x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122，
x1＋x2＋
的重心，得
3
22a＝0，y1＋y23＋
2
2
b ＝0，
第五节 椭 圆课件 理 苏教版课件
所以M1F＋N1F＝5m－1 45x1＋5m－1 45x2 ＝1265x1x21－0m4－ m45x1x＋1＋x2x＋2 25m2 ＝819m0kk22＋ ＋9801m＝91m0 . 显然该值与 θ 的大小无关．
[类题通法] 1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把
直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系
＝2c，又 c2＝am，故椭圆的离心率 e＝ac＝12. 答案：12
2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个 正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3 ，则这个椭圆方 程为________．
a－c＝ 3， 解析：由题意知ac＝12，
解得ac＝＝2
3， 3.
∴椭圆方程为1x22 ＋y92＝1或1y22 ＋x92＝1.
[典例] (2013·常州期中)在平面直角坐标系 xOy 中，椭 圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(4m,0)(m>0，m 为常数)，
离心率等于 0.8，过焦点 F，倾斜角为 θ 的直线 l 交椭圆 C 于
M，N 两点． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若 θ＝90°时，M1F＋N1F＝592，求实数 m 的值； (3)试判断M1F＋N1F的值是否与 θ 的大小无关，并证明你
(2)C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDБайду номын сангаасAB，求四 边形 ACBD 面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则ax122＋by212＝1，xa222＋by222＝1，xy22－－yx11＝－1， 由此可得ba22xy22＋ ＋xy11＝－xy22－－yx11＝1. 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，xy00＝12，所以a2＝2b2. 又由题意知，M的右焦点为( 3，0)，故a2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3. 所以M的方程为x62＋y32＝1.
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考点一 考点二 考点三 考点四
考点一 椭圆的定义及应用 教材剖析，选修2－1 P49A组T7 如图，⊙O 的半径为定长 r，A 是⊙O 内一个定点，P 是圆上任一 点．线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆 上运动时，点 Q 的轨迹是什么？为什么？
[解答] 椭圆
D.6x42＋4y82 ＝1
解析：设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， ∴M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝1. 答案：D
(2)已知动圆 M 过定点 A(－3,0)并且与定圆 B：(x－3)2＋y2＝64 相切，则动圆圆心 M 的
则椭圆 C 的标准方程为( )
A.x32＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x92＋y42＝1
D.x92＋y52＝1
解析：由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B 的周长为|AF1| ＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝ac＝23，所以 c＝2，所 以 b2＝a2－c2＝5，所以椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1，故选 D.
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[剖析] 1.此题是椭圆上的点到焦点的最大距离为 a＋c，最小距离为 a－c. 其中离心率 e 的大小影响椭圆的圆扁．当 e 变大时，椭圆越扁，当 e 变小时，椭圆越 圆． 2．求椭圆离心率的关键点 (1)分析题设中所给量与离心率有什么关系(直接的或间接的)． (2)转化条件，求离心率所用的量． ①若直接可求出 a、b、c 的具体值，用公式 e＝ac＝ 1－ba2.
3．设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有最小值 b，这 时，P 为短轴端点；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，这时，P 为长轴端点． 4．若点 P 是椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1、F2 是椭圆的左、右焦点，且∠ F1PF2＝θ，则 S△PF1F2＝b2tanθ2. 5．过椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的焦点 F 作 x 轴的垂线，交椭圆于 A，B，则|AB|＝2ab2.
圆的标准方程；
点位置
(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设
椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m≠n>0)
根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条 具有某共同特征的
椭圆系法
件确定方程.
椭圆求标准方程
挖掘 求椭圆方程的方法/ 自主练透
[例] (1)(2020·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是 椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x82＋y62＝1 B.1x62 ＋y62＝1 C.x42＋y22＝1 D.x82＋y42＝1
则
1－mn 2＝14，从而mn 2＝34，mn ＝
3 2.
又m42＋n32＝1，所以 m2＝8，n2＝6.
所以方程为x82＋y62＝1.
若焦点在 y 轴上，设方程为hy22＋xk22＝1(h＞k＞0)，
则h32＋k42＝1，且hk＝ 23，解得 h2＝235，k2＝245. 故所求方程为2y52 ＋2x52＝1.
挖掘 1 利用椭圆定义求方程/ 自主练透
[例 1] (1)已知圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，圆 C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1 内部且
和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
A.6x42－4y82 ＝1
B.4x82＋6y42 ＝1
C.4x82－6y42 ＝1
b2＝7.即椭圆方程为1x62 ＋y72＝1.
挖掘 2 椭圆定义的应用/ 互动探究
[例 2] (1)(2020·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分
别为 F1、F2，离心率为23，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 12，
2．求椭圆标准方程的方法
方法
解读
适合题型
根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满 涉及两焦点的距离
定义法
足，求出相应的 a，b，c 的值，即可求得方程
问题
(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位
置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确
待定系数法 定关于 a，b，c 的方程组，解出 a2，b2，从而写出椭 能够明确椭圆的焦
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顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
性
轴
长轴A1A2的长为 2a ；
短轴B1B2的长为 2b
质
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ac∈ (0,1)
a，b，c的关系 a2＝ b2＋c2
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
答案：D
(2)已知点 P(x，y)在椭圆3x62＋1y020＝1 上，F1，F2 是椭圆的两个焦点，若△PF1F2 的面 积为 18，则∠F1PF2 的余弦值为________．
解析：椭圆3x62＋1y020＝1 的两个焦点为 F1(0，－8)，F2(0,8)，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2| ＝20， 两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202， 由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162， 两式相减得 2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144， 又 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18， 所以 1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2， 解答得案：co3s∠F1PF2＝35.
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即
2a＝2×2c，ac＝12，又
a42＋b32＝1， c2＝a2－b2，联立c2＝a2－b2，
ac＝12，
得 a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x82＋y62＝1.
(2)因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba22＝ 1－34＝12， 若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为mx22＋ny22＝1(m＞n＞0)，
应用
解读
求方程
条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程
求焦点三 求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定
角形 理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a.平方是常用技巧 求最值 利用|PF1|＋|PF2|＝2a 为定值，利用基本不等式求
|PF1|·|PF2|最值或利用三角形求最值．如 a＋c、a－c
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考点一 考点二 考点三 考点四
2．椭圆的标准方程和几何性质
图形
标准方程
范围 性 质
对称性
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋xb22＝1 (a>b>0)
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
①平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；②椭圆的
离心率越大，椭圆越接近圆；③若方程5－x2 k＋k－y2 3＝1 表示椭圆，则(5－k)(k－3)＞0；
④椭圆离心率 e∈(0,1)．
1
B．2
C．3
D．0
答案：B
2．(基础点：椭圆的定义)已知椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1 的距离为 3，
1．e 与ba：因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba2，所以离心率 e 越大，则ba越小，椭圆就越 扁；离心率 e 越小，则ba越大，椭圆就越圆．
2．点与椭圆的位置关系 已知点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，则 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202＜1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202＞1.
6．椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是 F1、F2，P(x0，y0)是椭圆上任意一点， 则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0. 7．若 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点，则 a－c≤|PF|≤a＋c.
[四基自测]
1．(易错点：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是( )
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[剖析] 1.Q 在 PA 的垂直平分线上， 有 QA＝QP，QO＋QP＝r， 则 QA＋QO＝r(定值)＞OA， 符合椭圆定义，Q 轨迹是以 O、A 为焦点的椭圆，椭圆的定义其实质是，椭圆上的点 到焦点的距离关系．
2．椭圆定义应用技巧思路
(2)(2020·成都模拟)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)的椭圆方程为 ________． (3)已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率．求 椭圆 C2 的方程．
解析：(1)设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 由点 P(2， 3)在椭圆上知a42＋b32＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
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考点一 考点二 考点三 考点四
考点二 椭圆的标准方程及应用 教材剖析，选修2－1 P49A组T52 求长轴长是短轴长的 3 倍，且经过点 P(3,0)的椭圆． [解答] x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1.