高考数学简单几何体

(2)过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面， 若 OA 与该截面所成的角是 60°则该 截面的面积是 ( A )
A．π
B. 2π
C. 3π
D. 2 3
(3)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是 ( C ) A． 16 B． 20 C． 24 D． 32 (4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的 比为 ( A ) A. 3 16 B. 9 16 C. 3 8 D. 9 32 ( D)
简单几何体
一、考试说明要求：
内容 A 1 2 3 棱柱、棱锥、球的概念 棱柱、正棱锥、球的性质 球的表面积, 柱、锥、球的体积公式. 要求 B C
√ √ √
二、应知应会知识
1. (1)设 M=｛正四棱柱｝ ，N=｛直四棱柱｝ ，P=｛长方体｝ ，Q=｛直平行六面体｝ ，则四个集 合的关系为 ( B ) A. M P N Q B.M P Q N C.P M N Q D.P M Q N
(10)如图，设三棱锥 S—ABC 的三个侧棱与底面 ABC 所成的角都是 60°,∠BAC=60°，且 SA⊥ BC. （Ⅰ）求证：S—ABC 为正三棱锥； S （Ⅱ）已知 SA=a，求 S—ABC 的全面积. （Ⅰ）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上 的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥 S—ABC 的高 SO， O 为垂足，连结 AO 并延长交 BC 于 D. C O A 因为 SA⊥BC，所以 AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从 D 而 O 为△ABC 的外心，OD 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC.又∠ B BAC=60°，故△ABC 为正三角形，且 O 为其中心.所以 S－ABC 为正 三棱锥. （Ⅱ）解：只要求出正三棱锥 S— ABC 的侧高 SD 与底面边长，则问题易于解决 .
A．3 B．9 C．6 D． 2 3 (2)棱锥体积为 1， 过它的高的两个三等分点分别作平行于底面的截面， 把棱锥截成三部分， 则中间部分的体积是 （ C ） A．
1 3
B．
4 9
C．
7 27
D．
8 27
(3)长方体的一条对角线与经过它的一端点的一个平面成 30°角，与经过这个端点的另一 个平面成 45°角，若这条对角线长为 2，则这个长方体的体积为 （ D ） A． 6 B． 5 C．2 D． 2
(2)设命题甲：“直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中，平面 ACB1 与对角面 BB1 D1 D 垂直”； 命题乙：“直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 是正方体”，那么，甲是乙的 ( C )
A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 (3)条件 M： 四棱锥 P－ABCD 的四个侧面都是全等的等腰三角形， 条件 N： 棱锥 P－ABCD 是正四棱锥。则 M 是 N 的 ( D ) A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分而不必要条件 D. 必要而不充分条件 (4)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题 是 （ B ） ．．． Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 (5)在三棱锥 O ABC 中，三条棱 OA 、 OB 、 OC 两两互相垂直，且 OA ＝ OB ＝ OC ， M 是 AB 边的中点，则 OM 与平面 ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示）.
(7)已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6 ， 则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
3
(8)长方体的表面积为 32cm2，体积为 8 cm2，长、宽、高成等比数列，则长方体所有棱之 和为_____ _____．32cm (9)已知 E、F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1A、CC1 的中点，求四棱 锥 C1—B1EDF 的体积.
4 3 27
B.
6 2
C.
6 8
D.
6 24
(9)如图，O 是半径为 l 的球心，点 A、B、C 在球面上，OA、OB、OC 两两垂直，E、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点，则点 E、F 在该球面上的球面距离是 ( B ) (A)
4
(B)
3
(C)
2
(D)
2 4
(10) 圆 o1 是以 R 为半径的球 O 的小圆，若圆 o1 的面积 S1 和球 O 的表面积 S 的比为
在 Rt△ SAO 中，由于 SA=a，∠SAO=60°，所以 SO=
O 为 a. 16
考查棱柱、棱锥的侧面积及体积的计算方法.要求会用棱柱、棱锥的侧面积及体积公式 求棱柱、棱锥的侧面积及体积,会运用“分解与组合” （即“割补法” ） 、 “等积变形”等方法， 使问题化繁为简，化难为简，化未知为已知． 求体积常见方法有：①直接法（公式法） ；②分割法；③补形法. 3. (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3 D. 1∶9 ( C )
， B 、 C 两点的球面距离是 ，则二面角 B OA C 的大小是 4 3 2 A. B. C. D. 3 4 3 2
( C )
(8)如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB=60° ,E 为 AB 的中点，将△ADE 与△ BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 P－DCE 三棱锥的外接球的体积 为 ( C ) A.
C1 O1 D1 F H A1 E C D A
B1
B1O1 DD1 6 = a， 6 B1 D
B
1 1 1 1 S B1EDF ·O1H= · ·EF·B1D·O1H= · 3 3 2 3 6 1 1 · 2 a· 3 a· a= a3. 6 2 6
V C1 B1EDF = h1+h2=B1D1= 2 a，∴V C1 B1EDF =V B1 C1EF +V DC1EF =

3
R，
3 R. 2
(12)如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF ，则 B 此正六棱锥的侧面积是________． A
C
D E F
解：显然正六棱锥 P ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长 为 2，又正六棱锥 P ABCDEF 的高依题意可得为 2，依此可求得 6 7 考查球的概念及性质.要求要求会用球的表面积、体积公式求球的表面积、体积,会解决 一些球与柱、锥的组合的简单的几何体问题.
4 。 5
(9)如图，在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB 1 ．若二面角
3 C AB C1 的大小为 60 ，则点 C 到平面 ABC1 的距离为_____． . 4
(10)如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 1，高为 8，
A B
C
A1
C1
一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达 A1 点的最短路线的长为 10. ．．
(5)已知正方体外接球的体积是
32 ，那么正方体的棱长等于 3
C.
A. 2 2
B.
2 3 3
4 2 3
D.
4 3 3
( A )
(6)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上， 则此球的体积为
A．
2 3
B．
1 3
C．
2 3
D．
2 2 3
(7)已知球 O 的半径是 1， A 、 B 、 C 三点都在球面上， A 、 B 两点和 A 、 C 两点的球面 距离都是
考查棱柱、棱锥的概念和性质,以及棱柱、棱锥为载体考查计算能力,想象能力和逻辑推 理能力. 要求理解棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体及正方体等有关概念，掌握棱 柱的性质及长方体对角线性质;理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质. 2. (1)底面边长为 2 3 ，斜高为 2 的正三棱锥的体积等于 （ A ）
解法一：连结 A1C1、B1D1 交于 O1，过 O1 作 O1H⊥B1D 于 H， ∵EF∥A1C1，∴A1C1∥平面 B1EDF.∴C1 到平面 B1EDF 的 距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离 . ∵平面 B1D1D ⊥平面 B1EDF，∴O1H⊥平面 B1EDF，即 O1H 为棱锥的高. ∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H=
T 等于 S
B.
( A )
1 9
4 9
C.
1 4
D.
1 3
(6)两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体，可放棱长为 1 的正方体内，使正四棱锥 的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点 均在正方体的面上，则这样的几何体 ．．． 体积的可能值有 （A）1 个 （B）2 个 (D ) （C）3 个 （D）无穷多个
解法二：连结 EF，设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则
1 1 3 ·S C1EF · （h1+h2）= a. 3 6 1 解法三：V C1 B1EDF =V 多面体A1B1E D1C1FD －V E A1B1C1D1 －V E C1D1D = a3. 6
arctan 2 .
(6)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ,则 cos =______
6 3
(7)过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1 平行的直线 共有 条.6 (8)如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的 中点， 则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 .