我爱数学夏令营计算竞赛_试题(1993-2006)

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我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足。

O为ΔABC的外心。

求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。

二．给定代数式–x3+100x2+x中的字母x只允许在正整数范围内取值。

当这个代数式的值达到最大值时，x的值等于多少？并证明你的结论。

三．（1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数；(2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2,其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n, 当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2时，代数式11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。

2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．=。

二．在长方形ABCD中，EF⊥AB，GH⊥AD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。

已知AH:HB=m:n, ⊥COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于平方厘米。

三．将三个数：用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该是：。

四．点D，E分别在⊥ABC的边AC和BC上，⊥C为直角，DE⊥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于。

五．知：x,y,z是正整数，并且满足那么，x-y+z 的值等于。

六．已知点D，E，F分别在⊥ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于。

七．如果满足x2-6x-16-10= a的实数x 恰有6个，那么实数a的值等于。

八．已知⊥ABC为等腰直角三角形，⊥C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于。

【教育资料】我爱数学少年夏令营数学竞赛试题学习专用

我爱数学少年夏令营数学竞赛试题1．由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为k，如果k为整数，那么k的最大值是____。

2．下式是经过四舍五入得到的一个等式：其中每一个△代表一个数字，那么这三个△所代表的三个数字分别是____。

余下废料是总量的____。

4．如下左图中给出6×6＝36个点，请一笔画出一条折线，使得这条折线通过36个给定点中的每点至少一次，而且组成这条折线的直线段的条数最少。

那么你所画出的折线中直线段的条数是___。

5．如下右图中所有不同的三角形的个数是______。

6．甲、乙二人从周长250米的环形跑道上一点p同时、同向出发沿着次在点p相遇所用去的时间是____分钟。

7．在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，每个△代表一个数字，当算式成立时，乘积是____。

8．五个连续偶数之和为完全平方数，中间三个偶数之和为完全立方数（即一个整数的三次方）。

那么这样一组数中的最大数的最小值是____。

9．一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。

能否适当涂色，使得每个3×4（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？如果能行，请在下面的表格中画出来？10．甲、乙、丙三堆石子共196块，先从甲堆分给另外两堆，使得后两堆石子数增加一倍；再把乙堆照样分配一次；最后把丙堆也照样分配一次。

_____。

11．在右图中，ae∶ec=1∶2，cd∶db=1∶4，bf∶fa＝1∶3，△abc的面积s＝1，那么四边形afhg的面积safhg=______。

12．兄弟二人骑自行车同时出发从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小哥哥比弟弟早到20分钟。

那么甲、乙两地的距离是____千米。

计算竞赛试题（1）202－192＋182－172＋…＋22-12=_____。

（2）（112233-112.233）÷（224466-224.466）=_____。

“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)

我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.第二试1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .4、已知a 为整数,关于x 的方程1||41224+-+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 .6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为x3x-70万元(0<x<1 000).要使该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,20081)12008(112++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2008可能达到的最大值是.8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与BC 交于点C.则当点B 的位置在时,ACAB 2的值达到最小.9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1).参考答案第一试1、由已知得ax 2+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=21∠ACB=35°=∠ABC.故△CAE ∽△AEB.从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.第二试1、0或±4或±8.2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.x=3±n 223+,其中, n223+是完全平方数.显然,n≥2.当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －2=(k+2)(k －1).显见k －1=1,k=2,n=4.能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.令y=x 2－3|x －1|－4x －3.则y=x 2－x －6=425)21(2--x ,x≤1; y=x 2－7x=449)27(2--x ,x>1.当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.4、0、1、2. 令y=1x |x |2+.则0≤y<1.由y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1<a≤2. 因此,a 的可能值是0、1、2. 5、2 007.注意到91=7×13.数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+x xx370-]≥0x －x －300≥0 x ≥22011 1+ x≥234.6601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.7、2008 20062 .由已知得2008a a 1-n n =①或1-n n a 1a =②,1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开始连续经过2 007次这样的变换变为a2 008. 连续两次第②类变换相互抵消,保持原数不变.连续三次变换依次是“第①类变换、第②类变换、第①类变换”时,其中两次第①类变换相互抵消,相当于只对原数进行了一次第②类变换.因此,对2的连续2 007次变换相当于对2连续进行m 次第①类变换或第②类变换,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第②类变换.而对2连续2 007次变换:“前2 006次为第①类变换、最后一次为第②类变换”时,a 2008达到最大值2008 20062 .8、线段AM 内.设直线AB 与⊙O 的另一交点为D,不妨设点B 在点A 和D 之间.过点D 作直线AC 的垂线DE,垂足为E.则AB·AD=k(k 是一个不变的常数), △ABC ∽△ADE,AB/AC=AD/AE,AB 2/AC=AB·AD/AE=k/AE.当AE 达到最大值,即点B 的位置在线段AM 内时,AB 2/AC 的值达到最小. 9、50°.由已知∠BAC=20°,∠BCD=50°,故BC=BD,① ∠CBE=60°,∠ABE=20°.在CE 上取一点F 使∠CBF=20°,则∠EBF=40°,BF=FE,② ∠DBF=60°,∠BFC=80°,BC=BF.③由式①、③得BD=BF,知△BDF 是正三角形.于是,BF=DF.④ 由式②、④得DF=FE,知△DFE 是等腰三角形.又∠BFD=60°,知∠DFE=40°.从而,∠FED=70°,∠ADE=50°. 10、1 351 373 940.将1,2,…,2 008分成1 004组: {1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}.由题设,各组中恰取出一个数.将2,4,…,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分别换成同一组的1 005,1003,1001,999,其余各数不变,就是所选出的符合题目要求的1 004个数.2+4+…+2 008－(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020－(－1+3+7+11)=1 009 000,22+42+…+2 0082－(1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+…+1 0042)－2 009(－1+3+7+11) =2/3×1 004×1 005×2 009－2 009×20 =2 008×335×2 009－40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关.。

“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷二试

2000 年“我爱数学”初中生夏令营数学比赛试卷一二试一、填空题（共 10 小题，每题5 分，满分 50 分）1．（ 5 分）给定四个命题：① sin15°与 sin75°的平方和为1； ② 函数 y ＝x 2﹣ 8x+6 的最小值为﹣ 10； ③ ； ④，则 x ＝ 10”，此中错误的命题的个数是．2．（ 5 分）如图， △ABC 中， AD 和 BE 订交于 F ，已知△ AFB 的面积＝ 12 平方厘米， △ BFD 的面积＝ 9 平方厘米，△ AFE 的面积＝ 6 平方厘米，那么，四边形 CDEF 的面积等于平方厘米．3．（ 5 分）在△ ABC 中， AB ＝，BC ＝ 2，△ ABC 的面积为 l ，若∠ B 是锐角，则∠ C的度数是．4．（ 5 分）某自来水企业水费计算方法以下：每户每个月用水不超出5 吨的，每吨收费 0.85元；超出 5 吨的，高出部分每吨收取较高的定额花费．已知今年 7 月份张家用水量与李家用水量之比为 2： 3，此中张家产月水费是 14.60 元，李家产月水费是 22.65 元，那么，高出 5 吨部分的收费标准是每吨元．22． 5．（ 5 分）知足方程 11x +2xy+9y +8x ﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（ x ， y ）的个数是 2﹣3|x|+7 的图象与函数 22的图象的交点个数是．6（． 5 分）函数 y ＝ x y ＝ x ﹣ 3x+|x ﹣ 3x|+62与 x 轴两个交点 A 、B 不在原点的左边，抛物线顶 7．（ 5 分）已知抛物线 y ＝ x +（ k+1）x+1 点为 C ，要使△ ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为．8．（ 5 分）如图，已知 AB 是圆 O 的直径， PQ 是圆 O 的弦， PQ 与 AB 不平行， R 是 PQ 的中点．作 PS ⊥ AB ，QT ⊥ AB ，垂足分别为 S ，T ，而且∠ SRT ＝ 60°，则的值等于．（ 2）10．（ 5 分）在四边形ABCD 中，边 AB ＝x， BC＝ CD ＝ 4，DA＝ 5，它的对角线AC＝ y，其中 x， y 都是整数，∠ BAC＝∠ DAC ，那么 x＝．二、解答题（共 3 小题，满分40 分）11．（12 分）已知m，n 为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根．求n 的最小值，并说明原因．12．（ 14 分）已知 M、N 分别在正方形ABCD 的边 DA 、AB 上，且 AM ＝AN ，过 A 作 BM 的垂线，垂足为P，求证：∠ APN ＝∠ BNC．13．（ 14 分）设 N 是正整数，假如存在大于 1 的正整数k，使得 N＝是k的正整数倍，则称 N 为一个“千禧数” ，试确立在 1，2，3，，2000 中“千禧数” 的个数为并说明原因．2000 年“我爱数学”初中生夏令营数学比赛试卷一二试参照答案与试题分析一、填空题（共 10 小题，每题 5 分，满分50 分）1．（ 5 分）给定四个命题：① sin15°与 sin75°的平方和为 1；②函数 y＝x 2﹣ 8x+6 的最小值为﹣ 10；③；④，则 x＝ 10”，此中错误的命题的个数是 2 ．【剖析】① 熟记三角函数公式计算；② 运用配方法求最值；③④ 不仅看计算还看x 的取值范围．【解答】解：① sin^2 α+cos^2 α＝ 1，因此①正确．2 2② y＝ x ﹣ 8x+6＝（ x﹣4）﹣ 10，故正确．③ 等式中左边的代数式a＜0，右边的 a≤ 0，故错误．④等式左边要知足 5＜ x≤ 10，右边要知足x＜ 5， x≠ 10，故错误．综上可得①② 正确，共 2 个．故答案为： 2【评论】本题考察对真假命题的鉴别能力以及对三角函数，配方法，方程求解的考察．2．（ 5 分）如图，△ABC 中， AD 和 BE 订交于 F ，已知△ AFB 的面积＝ 12 平方厘米，△ BFD 的面积＝ 9 平方厘米，△ AFE 的面积＝ 6 平方厘米，那么，四边形 CDEF 的面积等于23.4 平方厘米．【剖析】连结CF ，设S△CEF＝ x， S△CDF＝y，依据三角形的面积与三角形底边成比率，从而求出四边形CDEF 的面积．【解答】解：连结CF ，设 S△CEF＝ x， S△CDF＝y，则＝＝，＝＝，解得 x＝10.8， y＝12.6，故四边形CDFE 的面积＝ x+y＝ 23.4．【评论】本题主要考察三角形的面积的知识点，依据等高的三角形的面积与底边成比率进行解答，本题需要同学们娴熟掌握．3．（ 5 分）在△ ABC 中， AB＝，BC＝2，△ ABC的面积为l ，若∠ B 是锐角，则∠ C 的度数是30°．【剖析】作出 BC 边上的高AD，利用面积为 1 易得 AD 的长度，利用勾股定理可得BD 的长，从而获得CD 的长，那么即可求得∠ C 的正切值，也就求得了∠ C 的度数．【解答】解：作 AD ⊥ BC 于点 D．∵BC＝ 2，△ ABC 的面积为 l，∴ AD＝ 1，∵ AB＝，∴ BD＝＝2﹣，∴CD ＝ BC﹣BD ＝，∴tanC＝＝，∴∠ C＝ 30°．故答案为： 30°．【评论】考察解直角三角形的知识；难点是结构出∠ C 所在的直角三角形；重点是求得CD 及 AD 的长．4．（ 5 分）某自来水企业水费计算方法以下：每户每个月用水不超出 5 吨的，每吨收费0.85 元；超出 5 吨的，高出部分每吨收取较高的定额花费．已知今年7 月份张家用水量与李家用水量之比为2： 3，此中张家产月水费是14.60 元，李家产月水费是22.65 元，那么，高出 5 吨部分的收费标准是每吨 1.15元．家就是 3x，而后依据张家产月水费是14.60 元，李家产月水费是22.65 元，列出方程进行求解．【解答】解：∵每户每个月用水不超出 5 吨的，每吨收费0.85 元，∴5× 0.85＝ 4.25 元当超出 5 吨，水费超出 4.25 元，∵ 14.6＞ 4.25，∴14.6﹣ 4.25＝ 10.35 元，设张家用水量为2x 吨，则李家为3x 吨，高出部分每吨收费p 元，则可列方程以下：22.65﹣14.6 ＝ 8.05＝（ 3x﹣2x） p14.6﹣8.05﹣ 0.85× 5＝ 2.3高出部分的单价同样×p＝ 8.05，解得 p＝ 1.15．故答案为 1.15．【评论】本题比较难，主要考察一元一次方程的应用，解题的重点是要读懂题意，找出等式关系从而列出方程．5．（ 5 分）知足方程2 211x +2xy+9y +8x﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（ x， y）的个数是 0 ．【剖析】先将方程2 2 2 2﹣ 12y+6）＝ 0 11x +2xy+9 y +8x﹣ 12y+6＝0 写成 11x +2（y+4 ）x+（ 9y的形式，再依据鉴别式获得（7y﹣ 5）2≤ 0 即可求解．【解答】解：（ x， y）的对数为 1．因为 11x 2 2＝ 0 有实数根+2 xy+9y +8x﹣ 12y+6因此 11x 2 2+2 （y+4 ） x+（9y ﹣ 12y+6 ）＝ 0 的△≥ 0即4（y+4）2﹣ 44（ 9y2﹣ 12y+6）≥ 0解得：（ 7y﹣ 5）2≤ 0，因此 y＝（y有独一的值）．因此知足方程11x 2 21 个．故答案为：+2xy+9y +8 x﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（x，y）的个数是1．【评论】本题考察了根与系数的关系，解题的重点是将方程转变成11x 2 2 +2（ y+4 ）x+（ 9y﹣12y+6）＝ 0 的形式．6（．2﹣3|x|+7 的图象与函数 2 2的图象的交点个数是4 ．5 分）函数 y ＝ x y ＝ x ﹣ 3x+|x ﹣ 3x|+6【剖析】画出函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象，议论 x 2﹣ 3x 的取值，分大于 0、小于 0 与等于 0 三种状况，对应作出图象解答即可．【解答】解：如图，函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象为，当 x 2﹣ 3x ＞ 0 时， y ＝2x 2﹣ 6x+6，图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象有 2 个交点；当 x 2﹣3x ≤ 0 时， 0＜ x ＜3， y ＝ 6，图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7＝ 6 有四个交点，切合 0＜ x＜ 3 图象交点有 2 个交点；综上所知，函数 y ＝x 2﹣ 3|x|+7 的图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3x+|x 2﹣3x|+6 的图象的交点个数是 4．故填 4．【评论】本题主要考察二次函数图象交点问题，浸透分类议论思想．2轴两个交点 A 、B 不在原点的左边，抛物线顶 7．（ 5 分）已知抛物线 y ＝ x +（ k+1）x+1 与 x 点为 C ，要使△ ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为﹣ 5 ．【剖析】画出图形，将两点之间的距离转变为根与系数的关系；再利用三角函数求出等边三角形的高的表达式，使其与抛物线的极点纵坐标的绝对值相等，解答即可求出 k 的值．【解答】解：由题意 A、 B在原点的右侧，且，∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB ＝ CB ，∴ CD ＝ CB?sin60°＝ AB?sin60 °＝，又∵ C 点纵坐标为，∴，令（ k+1） 2＝ a ，则原式可化为＝ |1﹣ |，两边平方得， 12a ﹣ 48＝ a 2﹣ 8a+16 ，2整理得， a ﹣ 20a+64 ＝ 0，当 a ＝4 时，（ k+1） 2＝ 4， k+1＝± 2， k ＝﹣ 3 或 k ＝ 1；当 a ＝16 时，（ k+1） 2＝ 16，k+1 ＝± 4，k ＝ 3 或 k ＝﹣ 5．因为对称轴位于 y 轴右边，因此﹣ 2（ k+1）＞ 0，解得 k ＜﹣ 1，当 k ＝﹣ 3 时，有一个交点，因此 k ＝﹣ 5．故答案为﹣ 5．【评论】本题考察了抛物线与x 轴的交点，依据根与系数的关系推出两点间的距离表达式，再利用三角函数和抛物线极点坐标公式列出等式是解题的重点．此外，本题对同学们的计算能力要求较高，对用换元法解方程应该有必定程度的认识．8．（ 5 分）如图，已知AB 是圆 O 的直径， PQ 是圆 O 的弦， PQ 与 AB 不平行， R 是 PQ 的中点．作 PS ⊥ AB ，QT ⊥ AB ，垂足分别为 S ，T ，而且∠ SRT ＝ 60°，则的值等于．【剖析】连结 OP，OQ， OR，由 R 是 PQ 的中点，依据垂径定理的推论得OR⊥ PQ，而OP＝ OQ ，依据等腰三角形的性质得∠POR＝∠ QOR，易得∠ PSO＝∠ PRO＝ 90°，依据直角三角形外接圆的性质得点 P、 S、 O、 R 四点在以 OP 为直径的圆上，再依据圆周角定理得∠ PSR＝∠ POR，同理可得∠ QTR＝∠ QOR ，则∠ PSR＝∠ QTR，依据等角的余角相等得∠RST＝∠ RTS，而∠ SRT＝ 60°，因此∠ RST＝60°，∠ RTS＝ 60°，则可依据圆周角定理获得∠ RPO＝∠ RSO＝ 60°，∠ RQO ＝∠ RTO＝60°，于是可判断△ OPQ 为等边三角形，因此PQ＝ OP，则 AB＝ 2PQ，即可获得＝．【解答】解：连结OP， OQ ，OR，如图，∵R 是 PQ 的中点，∴ OR⊥ PQ，∵OP＝ OQ，∴∠ POR＝∠ QOR，∵PS⊥ AB，∴∠ PSO＝∠ PRO＝ 90°，∴点 P、 S、O、 R 四点在以OP 为直径的圆上，∴∠ PSR＝∠ POR，同理可得∠ QTR＝∠ QOR，∴∠ PSR＝∠ QTR，∴∠ RST＝∠ RTS，而∠ SRT＝ 60°，∴△ RST 为等边三角形，∴∠ RST＝ 60°，∠ RTS＝ 60°，∴∠ RPO＝∠ RSO＝ 60°，∠ RQO ＝∠ RTO＝ 60°，∴△ OPQ 为等边三角形，∴PQ＝ OP，∴AB＝ 2PQ，∴＝．故答案为．【评论】本题考察了垂径定理及其推论：均分弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧；推论 1：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧．推论 2：弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；推论3：均分弦所对一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧．也考察了圆周角定理和等边三角形的性质．9．（ 5 分）解方程：（1）（2）【剖析】（ 1）可把不带根号的式子整理到一边，两边平方，化为整式方程求解．（ 2）此方程可用换元法解方程．设＝y，转变为有理方程求解．【解答】解：（ 1）整理得＝3﹣x，2两边平方得x﹣ 3＝ 9﹣ 6x+x ，解得： x＝ 3 或 4．经查验 x＝ 3 是原方程的解．（ 2）解：设＝y，则方程化为2y +y﹣ 12＝ 0，解得 y1＝3， y2＝﹣ 4，当 y1＝ 3，即＝3时，两边平方得（x+9 ）（ x﹣ 1）＝ 0，解得 x＝﹣ 9 或 x＝1，把 x＝﹣ 9 或 x＝ 1 分别代入原方程查验得原方程建立；当 y2＝﹣ 4 时，＝﹣4，根式无心义．故原方程的解为 x 1＝ 1， x 2＝﹣ 9，【评论】本题主要考察解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的重点，换元法需要同学们认真掌握．10．（ 5 分）在四边形 ABCD 中，边 AB ＝x ， BC ＝ CD ＝ 4，DA ＝ 5，它的对角线 AC ＝ y ，此中 x ， y 都是整数，∠ BAC ＝∠ DAC ，那么 x ＝ 5 或 4 ．【剖析】本题要分两种状况： ① 当∠ ABC ＝∠ ADC 时，能够证出△ ABC ≌△ ADC ；② 当∠ ABC ≠∠ ADC 时，过点 C 分别作 CE 垂直 AB 延伸线于点 E ， CF 垂直 AD 于点 F ．利用勾股定理可求出答案．【解答】证明： ① 当∠ ABC ＝∠ ADC 时，又∠ BAC ＝∠ DAC ， CB ＝ CD ，∴△ ABC ≌△ ADC ， ∴ AB ＝ AD ＝ 5∴ x ＝ 5；② 当∠ ABC ≠∠ ADC 时，过点 C 分别作 CE 垂直 AB 延伸线于点E ，CF 垂直 AD 于点 F ．∵ AC 均分∠ BAD ， ∴ CE ＝ CF ，又有 BC ＝ CD ＝ 4，∴△ CEB ≌△ CFD ， ∴ BE ＝ FD ， AE ＝ AF∴ AE ＝ AF ＝ AD ﹣ FD ＝5﹣ BE ，∴ AE ＝ AB+BE ＝ x+BE ，∴ 5﹣BE ＝ x+BE ，BE ＝， AE ＝ x+＝，CE 2＝ BC 2﹣ BE 2＝ 16﹣，CA 2＝ AE 2+CE 2，2＝ +16﹣ ，y2第 10 页（共 14 页）x ＝，在△ ADC 中， 1＜ y ＜ 9， x ，y 都是整数，因此 y 2 末位数字只好是6，∴ y ＝ 6，∴ x ＝ 4故答案为： 5 或 4．【评论】本题主要考察了角均分线的性质以及勾股定理的应用，重点是要考虑全面各样状况，不要漏解．二、解答题（共 3 小题，满分 40 分）11．（12 分）已知 m ，n 为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根．求n 的最小值，并说明原因．【剖析】因为存心义，则 n ﹣ 1≥0，再依据方程有两个不相等的实数根，则△＞0 ，即△＝（ n ﹣ 2） 2 （ n ﹣ 1）﹣ 4 （ m+18 ）＞ 0① ；又方程有两个相等的实数根，则△′＝ 0，即△′＝（ n ﹣ 6） 2 （ n﹣ 1）﹣ 4（ m ﹣ 37）＝ 0② ，而后 ① ﹣ ② ，获得对于 n 的不等式，解之获得n 的取值范围，最后找到 n 的最小值．【解答】解：∵存心义，∴ n ﹣ 1≥ 0，即 n ≥ 1，而 n 为整数，因此 n ≥ 1 的整数．又∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞ 0，即△＝（ n ﹣ 2）2（ n ﹣ 1）﹣ 4（ m+18 ）＞ 0① ；又方程有两个相等的实数根，∴△′＝ 0，即△′＝（ n ﹣ 6） 2（ n ﹣ 1）﹣ 4（m ﹣37）＝ 0② ，① ﹣ ② 整理得： 2n 2﹣10n ﹣ 47＞ 0，令 2n 2﹣10n ﹣ 47＝0，解得 n 1＝， n 2＝， ∴ n ＜或 n ＞，而 n ≥1 的整数，因此 n ＞的整数．则 n 的最小整数为 8，而且（ 8﹣ 6）2（ 8﹣ 1）﹣ 4（ m ﹣ 37）＝ 0，解得 m ＝ 42，为整数知足条件．因此 n 的最小整数为 8．【评论】本题考察了一元二次方程ax 2+bx+c ＝ 0（ a ≠ 0， a ， b ，c 为常数）根的鉴别式△ ＝ b 2﹣ 4ac ．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考察了运用二次函数图象解一元二次方程的方法．12．（ 14 分）已知 M 、N 分别在正方形 ABCD 的边 DA 、AB 上，且 AM ＝AN ，过 A 作 BM 的垂线，垂足为 P ，求证：∠ APN ＝∠ BNC ．【剖析】延伸 AP 交 DC 于 E ，连结 NE ，由∠ BPE+∠ BCD ＝ 180°，证出 P 、 B 、 C 、 E 四点共圆，由△ ABM 和△ DAE 全等，推出 CE ＝ BN ，得出矩形 BNEC ，证出 N 、 B 、C 、E 四点共圆，即 N 、 B 、 C 、 E 、P 五点共圆，即可得出答案．【解答】证明：延伸 AP 交 DC 于 E ，连结 NE ，∵ AP ⊥ BM ，∴∠ APB ＝∠ BPE ＝∠ APM ＝ 90°，∵正方形 ABCD ，∴ AB ∥ CD ，AB ＝ CD ，∠ ABC ＝∠ DCB ＝90°， ∴∠ BPE+∠ BCD ＝ 180°，∴ P、 B、 C、 E 四点共圆，而∠ PAM+∠ AMP＝ 90°，∠ AMP +∠ ABM ＝ 90°，∴∠ ABM＝∠ PAM ＝∠ EAD ，∴△ ABM≌△ DAE ，∴DE＝ AM＝ AN，∴CE＝ BN，∴四边形NBCE 是矩形，∴ N、 B、 C、 E 四点共圆，即N、 B、 C、 E、 P 五点共圆，∴∠ NPB＝∠ NCB，∵∠ APN+∠ BPN＝ 90°，∠ BCN+∠ BNC＝90°，∴∠ APN＝∠ BNC．【评论】本题主要考察了矩形的性质和判断，正方形的性质和判断，全等三角形的性质和判断，确立圆的条件等知识点，解本题的重点是证明∠ NPB 和∠ NCB 相等．题目较好但有必定的难度．13．（ 14 分）设 N 是正整数，假如存在大于 1 的正整数 k，使得 N＝是 k 的正整数倍，则称 N 为一个“千禧数”，试确立在1，2，3，， 2000 中“千禧数” 的个数为1989 并说明原因．【剖析】若 N 是千禧数，则存在正整数m，使得N﹣＝ km，即 2N＝ k（ 2m+k﹣ 1），明显， k 与 2m+k﹣ 1 的奇偶性不一样，且k＞ 1，2m+k﹣1＞ 1．因此， 2N 有大于 1 的奇因子，从而 N 有大于 1 的奇因子．反过来，若N 有大于 1 的奇因子，则可设 2N＝ AB，其中 A、B 的奇偶性不一样，且 A＜ B，则 A＞ 1 且N﹣＝﹣＝ A? ．其中为正整数．故 N 是千禧数．在1，2，， 2000 中，只有 1， 2， 22，， 210不是千禧数．故有千禧数 2000﹣ 11＝ 1989（个）．故答案为： 1989．【评论】读懂题意经过察看，剖析、概括并发现千禧数的定义，依据推理找出不是千禧数的个数，从而获得千禧数的个数．。

2008年“我爱数学”初中生夏令营及详细解答

2008年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时，多项式c bx ax ++2的值分别为O 、P 1、P 2，如果a ＞b ＞c ，并且P 1P 2－cP 1＋ap 2－ac=0，那么能否保证：当x 的值分别为m 1＋5、m 2＋5时，该多项式的值中至少有一个是正数？证明你的结论。

二、在△ABC 中，已知∠A=75°，∠B=35°，D 是BC 边上的一点，BD=2CD 。

求证：AD 2=（AC ＋BD ）（AC －CD ）。

三、（1）写出四个连续的正整数，使得它们中的每一个都是不为1的完全平方数的倍数，并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数。

（2）写出六个连续的正整数，使得它们中的每一个都是不为1的完全平方数的倍数，并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数。

并说明你的计算方法。

2008年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一、若2008=()()()011-n 1-n n n a 3a 3a 3a +-∙++-∙+-∙ ，（其中ai=0，±1，±2，i=0，1，2，…，n ）那么，011-n n a a a a ++++ =______________。

二、能使关于x 的议程02x 6x n 2=--（其中n 是正整数）有整数解的n 的值的个数等于______________。

三、如果函数y=b 的图像与函数3x 41x 3x y 2----=的图像恰有三个交点，那么，b 的可能值是_____________________。

四、已知a 为整数，关于x 的议程0a 21x x41x x 222=-++-+有实数根，那么，a 的可能值是_____________________。

五、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和，那么，就把这个数叫做和谐数。

在1，2，3，……，2008中，和谐数的个数是_____________________。

2004年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)

2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题第一试1．求所有能使9992002n n 为正整数的正整数n ．2．已知BE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，求证∠ABE 的平分线、∠ACF 的平分线与线段 EF 的垂直平分线相交于一点．3．在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标；(1)直线y=－2x+3通过这样的点；(2)不论m 取何值，抛物线y=mx 2+(m －32)－(2m －83)都不通过这样的点．第二试1.若⎩⎨⎧=--=+-0340337c b a c b a ，则ab c b a 222-+= ． 2．能使关于x 的方程012211112=-++++-+-+x a x x x x x 只有一个实数根的所有a 的值的总和等于．3．要使方程x 4+(m －4)x 2+2(1－m)=O 恰有一个不小于2的实根，那么m 的取值范围是．4．在平面直角坐标系中，所有满足方程|x|+|y|=2004一||x|－|y||的点(x,y)所围成的图形的面积为．5．已知yx y y x 523-=，那么当－4x 2+12y －8达到最大值时，22x －33y= ． 6．已知y=100+10nx －10x －100x ，其中n 为正整数．要使0<y≤300对于满足0<x≤16的所有x都成立，那么n= ．7．设PO是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦。

已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ 的长等于．8．在Rt△A BC中，AB=3，BC=4，∠B=9 O°，A D、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么,△DEF 的面积等于．9．在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它一条内角平分线，AP的垂直平分线EF与A P相交于点E，与BC的延长线相交于点F．那么AF= ．10．如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸．点B到A D 的最短距离为3 6 0km．今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC= km.参考答案第一试1．设9992002n n =k ，k 为正整数．则n 2－200kn+999k=0．①设方程①有正整数根n1，且另一根为n2 由韦达定理有n1+n2=200k 。

1994年“我爱数学少年夏令营”小学数学竞赛接力赛试卷b(决赛)

1994年“我爱数学少年夏令营”小学数学竞赛接力赛试卷B（决赛）一、填空题1．（3分）设上题答数是A，A的整数部分是b．将一个三位数的个位数字与百位数字对调，得到一个新的三位数．已知这两个三位数的乘积等于115237+b，那么这两个三位数的和等于．2．（3分）设上题答数是A，A的个位数字是b．在右图的七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应填入．1994年“我爱数学少年夏令营”小学数学竞赛接力赛试卷B（决赛）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）设上题答数是A，A的整数部分是b．将一个三位数的个位数字与百位数字对调，得到一个新的三位数．已知这两个三位数的乘积等于115237+b，那么这两个三位数的和等于786．【解答】解：两个三位数的乘积等于：115237+b=115237+8=115245；把115245分解质因数，可得：115245=3×3×5×13×197；（1）当其中一个三位数是197时，另一个三位数是：3×3×5×13=585，不符合题意；（2）当其中一个三位数是197×3=591时，另一个三位数是：3×5×13=195，符合题意；（3）当其中一个三位数是197×5=985时，另一个三位数是：3×3×13=117，不符合题意；综上，可得这两个三位数分别是：195、591，这两个三位数的和等于：195+591=786．答：这两个三位数的和等于786．故答案为：786．2．（3分）设上题答数是A，A的个位数字是b．在右图的七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应填入6．【解答】解：如图所示，因为B=A﹣4，C=B+3，所以C=A﹣1；又因为D=C+3，所以D=A+2；而A+D=14；所以A=（14﹣2）÷2=6．故答案为：6．。

我爱数学夏令营计算竞赛试题(1993200-6)

1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0 .9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

22．=_________。

我爱数学夏令营计算竞赛_试题

1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

22．=_________。

00,01,02,04,05,06.07,08年答案(数学夏令营)

004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题1．设9992002n n=k ，k 为正整数．则n 2－200kn+999k=0．①设方程①有正整数根n1，且另一根为n2 由韦达定理有n1+n2=200k 。

② n1n2=999k ． ③因此，n2也是正整数，且n1、n2都满足题设条件。

不妨设n1≥n2由②得n1≥100k ．由③得n2=999k/n1≤999k/100k ．所以，n2≤9．经检验可知，只有n2=5符合条件，此时，k=25，n1=4995．因此，所求n 为5，4995．2．如图。

设∠ABE 的平分线与∠ACF 的平分线相交于点N ，联结NE 、NF ．由B 、C 、E 、F 四点共圆，则∠ABE=∠ACF ，∠FBN=∠FCN ．所以，B 、C 、N 、F 四点共圆．从而，B 、C 、E 、N 、F 五点共圆．于是．由∠FBN=∠NBE 得NF=NE ．故N 在EF 的垂直平分线上． 3．由(2)知m ≠O ．设点(x 0，y 0)满足(1)和(2)，则y 0=－2x 0+3，①且对任意非零实数m ，都有y 0≠mx02+(m －32)x0－(2m －83)．②将式①代入式②，并整理得(x 0－1)(x 0+2)m ≠－34x 0+821．所以x 0=1，－2或63/32．代入①式得同时满足条件(1)、(2)的点的坐标为(1，1)，(－2,7)，(63/32,－15/16)．第二试1．7/9 2．－15．5 3．m ≤－l 4． 2004 5． 1264 6． 4 7．5 /2 提示：如图，设PQ 与AB 、AC 的交点是D 、E 由相交弦定理得8．10/7 提示：由内角平分线的性质求，9． 6 提示：如图由海伦公式得S △ABC=157/4 AH=37/2，PC=2 ，PH=1.5，PA=32 ,△PHA ∽△PFE10．480－1203提示：设物资在每千米铁路上运输费为1．公路上的费用为2．设CD=x，则AC=480－x BC=2x129600+∴总费用y=480－x+22x129600+即y2+x2+230400+2xy－960x－960y=518400+4x2化简得3x2－2xy+960x－y2+960y+288000=0 关于x的方程△≥O即，y2－960y－158400≥0又∵y最小∴y=480+3603．x=1203AC=480－12032005年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题一、解：当a>0时，ax+b的值随着x取值的增大而增大，所以x=1时，ax+b有最大值a+b，即：a+b=2令x=0，则|c|≤1，即：－1≤c≤1令x=1，则|a+b+c|≤1，即：|2+c|≤1，所以－3≤c≤－1故c=－1。

我爱数学夏令营计算竞赛_试题(1993_2006)

1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

22．=_________。

000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷及答案

2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一、已知m,n 为整数，方程2(180x n m +-++=有两个不相等的实数根,方程2(370x n m +-+-=有两个相等的实数根.求n 的最小值，并说明理由。

二．已知M 、N 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 上，且MN=AN ，过A 作BM 的垂线，垂足为P 。

求证：∠APN=∠BNC三．设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N-2)1(-kk是k的正整数倍，则N称为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数并说明理由。

（第二试）一．给定四个命题：（1）sin15°与sin75°的平方和为1；（2）函数 y=x2-8x+6的最小值为–10；（3）=；（4= x=10.其中错误的是。

二、如图，△ABC中，AD和BE相交于F，已知△AFB的面积=12平方厘米，△BFD的面积=9平方厘米，△AFE的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF的面积等于平方厘米。

三．在△ABC中，BC=2，△ABC的面积为1，若∠B是锐角，则∠C的度数是。

四．某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。

85元；超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。

已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每吨元。

五．满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y）的个数是。

六．函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y= x2-3x+| x2-3x |+6的图象的交点个数是 .七．已知抛物线y= x2+(k+1)x+1与x轴的两个交点A,B不全在原点左侧，抛物线的顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为 .八．如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点。

2006年“我爱数学”初中生夏令营

数学竞赛（第一试）1、(1)如果γβα++++--)()2(244223x x x x x ＝是恒等式，求常数α、β、γ； (2)已知｜x ｜≤1，求代数式24423+--x x x 的最大值和最小值。

2、设△ABC 的内切圆⊙O 与边CA 上的中线BM 交于点G 、H ，并且点G 在点B 和点H 之间。

已知BG=HM ，AB ＝2。

那么，当BC 、CA 为何值时，线段GH 的长达到最大值？并求GH 的最大值。

3、给定一列正整数 ,,,,21n a a a ，其中，200612＝a ，并且对于每一个正整数i ，1+i a 等于a i 的各位数字之和的平方。

求a 2006的值。

数学竞赛（第二试）1、已知2225712c b a ++1616-|c |4||12--≤c b b a 则a=_________，b=_________，c=__________。

2、已知a 、b 、c∈R，且满足a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c=0。

那么，ac 的取值范围是___________。

3、代数式2214xx ---达到最小值时，x 的值为___________；代数式2214xx ---达到最大值时，x 的值为___________。

4、已知⊙O 1、⊙O 2外切，它们的半径分别为112、63，它们的内公切线被它们的两条外公切线截得的线段为AB 。

那么，AB 的长为___________。

5、已知在直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A(-1，1)，顶点C(1，1+2)。

那么，顶点B 、D 的坐标分别为___________、___________。

6、在一个m 行、n 列的方格表中，有mn 个边长为l 的小方格。

每个小方格用红、黄、蓝三种颜色中的一种颜色染色。

已知方格表的每一行有6个红色的小方格，每一列有8个黄色的小方格，整个方格表共有l5个蓝色的小方格．如果n 是两位的质数，那么，m=___________，n=___________。

1993年我爱数学少年夏令营试题大全

1993年我爱数学少年夏令营试题大全计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+ 65+60+79+86+100+49+97+97+80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9．641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。