江苏省淮安市淮阴中学2021届高三数学期中测试数学试题及答案
江苏省淮阴中学高三数学下学期期初考试试题(扫描版)(2021年整理)
江苏省淮阴中学2017届高三数学下学期期初考试试题（扫描版）
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2021届江苏省淮安市淮阴中学高三上学期8月测试数学试题(解析版)
2021届江苏省淮安市淮阴中学高三上学期8月测试数学试题一、单选题1．设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】【详解】由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈， 则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B. 【考点定位】 集合的概念2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使20x ≤ C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B【解析】先确定命题中是否含有特称量词，然后利用判断特称命题的真假． 【详解】对于A ，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A 为假命题； 对于B ，为特称命题，当0x =时，20x =成立，所以B 正确；对于C ，(0=，所以C 为假命题； 对于D ，对于任何一个负数x ，都有10x<，所以D 错误． 故选B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题的定义，难度不大，属于基础题．3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A ． 【考点】函数图像的特征．4．对任意R x ∈，函数()327f x ax ax x =++不存在极值点的充要条件是（ ）A ．021a ≤≤B ． 021a <<C ． 0a ≤或21a ≥D ．0a <或21a > 【答案】A【解析】求出导函数()'f x ，由方程()0f x '=没有变号的实数解即可得．【详解】由题意()2327f x ax ax '=++，()f x 不存在极值点，0a =时，()70f x '=>，()f x 单调递增，无极值点；0a ≠时，则24840a a ∆=-≤，解得021a <≤，综上021a ≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数与函数的极值的关系，对于可导函数，如果导函数存在变号的零点，则原函数有极值．如果没有变号的零点，则原函数无极值．5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有8a，则m 的值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】D【解析】由题意，函数y=f （t ）=ae nt ,满足f （5）=2a ，f （m+5）=8a , 可解出m 的值. 【详解】根据题意得2a＝a e 5n ， 令8a ＝a e nt ，即18＝e nt ， 因为12 ＝e 5n ，故18＝e 15n ，故t ＝15，m ＝15－5＝10. 故选D 【点睛】对实际情景，根据已知或建立的相应函数模型，将实际问题转换为函数的求解.，最后解决实际问题.6．函数()()log 6a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()0,1C ．(] 1,3D ．[)3+∞，【答案】A【解析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】首先6t ax =-是减函数，∴log a y t =应是增函数，()f x 才可能是减函数， ∴1a >，函数()f x 在[0,2]上减函数，由对数函数性质知620a ->，3a <， 综上13a <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．7．如果已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关【答案】A【解析】设,0(),()log ,0x xa xa x f x a g x x a x -⎧≥===⎨≤⎩分别作出它们的图象如图所示： 由图可知有两个交点，故选A.8．已知函数()()2ln15f x x x x =++-[]()2020,2020x ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．5- B ．10-C ．5D ．10【答案】B【解析】构造新函数()()5g x f x =+，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值． 【详解】设2()()5ln(1)g x f x x x x =+=++， 则2222()()ln(1)ln(1)ln (1)(1)0g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-=++-++=++=⎣⎦，∴()()g x g x -=，()g x 是奇函数，又min min ()()55g x f x m =+=+，max max ()()55g x f x M =+=+， ∴min max ()()550g x g x M m +=+++=，10M m +=-． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是构造新函数是奇函数，然后利用奇函数的性质求得结论．二、多选题9．下列说法中，正确的命题是（ ）． A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 【答案】CD【解析】利用正态分布的对称型可以求得()24P X <<的值，进而判定A 错误;根据相关系数的意义可以判定B 错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C 正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据1x ，2x ，…，16x 的方差，进而判定D 正确.【详解】A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()410.80.2P X ≥=-=，所以()00.2P X ≤=，所以()04120.20.6P X <<=-⨯=, ∴()0.6240.32P X <<==，故A 错误； B. 线性相关系数r 的范围在1-到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B 错误；C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则y 1a bx =-=，故C 正确；D. 设数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2S ,样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为222S =8，则22S =，即数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2，故D 正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般. 10．下列不等式，其中正确的是（ ） A ．2 32x x +>（R x ∈） B ．3322 a b a b ab +≥+（a ，R b ∈）C ．22 2a b +≥（1a b --）D ．()22211f x x x =+≥- 【答案】AC【解析】,,A B C 三个选项用作差法比较，D 选项通过举例判断． 【详解】2232(1)20x x x +-=-+>，所以232x x +>，A 正确；332222222()()()()()()a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+，当0a b +<时，33220a b a b ab +--≤，B 错误；22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，即222(1)a b a b +≥+-，C 正确；222()1f x x x =+-中(0)21f =-<+，D 错误． 故选：AC ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查两实数比较大小，作差法是解题的基本方法． 11．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD【解析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n 是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >，综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确， 设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题． 12．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>；又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ． 【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x=，并借助导数分析其单调性，属于中档题．三、填空题13．若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|的取值范围是_______ 【答案】(－3,3)【解析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围． 【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）. 【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点． 14．已知0a >，0b >，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为______ 【答案】16【解析】不等式变形后用基本不等式求最小值后可得结论． 【详解】∵0a >，0b >，3103m a b a b--≤+恒成立， ∴3133(3)()10a b m a b a b b a≤++=++， ∵0,0a b >>，33101016b a a b ++≥+=， 当且仅当33b aa b=，即a b =时，等号成立， ∴16m ≤，即m 的最大值为16．故答案为：16 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查用基本不等式求最小值．解题方法是分离参数法．15．定义运算“⊗”22x y x y xy-⊗=，（,R x y ∈，0xy ≠）.当0x >，0y >时，()2x y y x ⊗+⊗的最小值为______【解析】根据新定义，把()2x y y x ⊗+⊗用通常的运算表示，然后用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意()222222422222x y y x x y x y x y y x xy xy xy y x --+⊗+⊗=+==+≥=当且仅当2x yy x=，即x =时等号成立．．． 【点睛】本题考查新定义运算，求新定义运算下的最值，解题方法是利用新定义把新定义表达式转化为通常的运算，然后由基本不等式求得最小值．四、双空题16．设1,3a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，R b ∈，()3g x ax x =-，[]1,1x ∈-，则()g x 的值域是______，函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，则22a b +的值是______ 【答案】[1,1]a a --19【解析】求出导数()'g x ，由已知条件得()0g x '≤，从而确定()g x 的单调性，得函数()g x 值域，由最大值得2()3f x ≤恒成立，从而2(1)32(1)3f f ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，由此化简变形后求得,a b ，得22a b +， 【详解】由题意2()31g x ax '=-，∵13a ≤，[1,1]x ∈-，∴2()310g x ax '=-≤，()g x 在[1,1]-上单调递减，max ()(1)1g x g a =-=-，min ()(1)1g x g a ==-，∴()g x 值域为[1,1]a a --；函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，即2()3f x ≤在[1,1]-上恒成立， ∴()()21132113f a b f a b ⎧-=-+-≤⎪⎪⎨⎪=--≤⎪⎩，两式相加得4113a b a b -+-++-≤，又1122a b a b a -+-++-≥-，∴4223a -≤，解得1533a ≤≤， 又∵13a ≤，∴13a =，可得1213312133b b ⎧-+-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，即22332233b b ⎧-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，解得403403b b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，∴0b =，∴2219a b +=． 故答案为：[1,1]a a --；19． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与最值，研究函数恒成立问题，着重考查了逻辑推理能力，运算求解能力，难度中等．五、解答题17．已知函数y =R ．()1求a 的取值范围；()2解关于x 的不等式220x x a a --+<．【答案】()[]1?0,1；(2)见解析.【解析】()1由函数的定义域是R ，得出2210ax ax ++≥恒成立，求出a 的取值范围；()2分类讨论，即可求出不等式的解集．【详解】()1函数y =R ，2210ax ax ∴++≥恒成立．①当0a =时，10≥，不等式恒成立；②当0a ≠时，则02440a a a >⎧=-≤⎨⎩解得01a <≤．综上可知，a 的取值范围是[]0,1．()2由220x x a a --+<，得()()10x a x a ⎡⎤---<⎣⎦．01a ≤≤，∴①当1a a ->，即102a ≤<时，1a x a <<-； ②当1a a -=，即12a =时，)21(02x -<，不等式无解；③当1a a -<，即112a <≤时，1a x a -<<． 综上，当102a ≤<时，原不等式的解集为(),1a a -； 当12a =时，原不等式的解集为；当112a <≤时，原不等式的解集为()1,a a - 【点睛】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．18．（1）已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围.（2）已知()2log f t t =，t ∈⎤⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.【答案】（1）1423m -≤<；（2）()(),12,-∞-+∞.【解析】（1）先求得不等式1x m -<解集，结合题意，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为()()2220x m x -+->对任任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，不等式1x m -<，解得11m x m -<<+，因为1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①，或113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩②， 由①得：1423m -<≤；由②得：1423m -≤<， 综合①②得：1423m -≤<.（2）因为()2log f t t =，t ∈⎤⎦，所以()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为2424x mx m x ++>+对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，因为()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，可得()()()()()()()22112202233220g x x g x x ⎧⎛⎫=-+->---* ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-+->---**⎩，由()* 可得：()()2230x x -->，则2x >或23x <； 由()**可得：()()120x x +->，则2x >或1x <-， 综上所述：x 的范围()(),12,-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，二次函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．美国2018年3月挑起“中美贸易争端”，剑指“中国制造2025”，中国有“缺芯”之痛.今有三个研究机构A ，B ，C 对某“AI 芯片”做技术攻关，A 能攻克的概率34为，B 能攻克的概率为23，C 能攻克的概率为12，（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）先假设一年后该技术难题已被攻克，上级会奖励m 万元.奖励规则如下：若只有1个机构攻克，则此机构获得全部奖金m 万元；若只有两个机构攻克，则奖金奖给此两个机构，每个机构各得2m万元；若三个机构均攻克，则奖金奖给三个机构，每个机构各得3m万元.设A ，B 得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）2324；（2）分布列见解析，()3548E X m =. 【解析】（1）对立事件是这一技术难题没有被攻克即每个队都没有攻克技术难题，由对立事件的概率公式求解；（2）根据规则X 的可能取值为：0，2m ，23m，m ，X 0=表示,A B 均未攻克技术难题，C 可能攻克也可以未攻克，2mX =表示A 未攻克，,B C 同时攻克或B 未攻克，,A C 同时 攻克，23mX =表示,,A B C 同时攻克，X m =表示C 未攻克，,A B 中至少1个机构攻克这个技术难题，由此可计算出概率，得分布列，从而可计算出期望． 【详解】（1）记这一技术难题被攻克的事件为A ；()111123114322424P A =-⨯⨯=-=.（2）X 的可能取值为：0，2m ，23m ，m 2321134324m P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；3111215243243224m P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭； ()3111213211143243243224P X m ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；()1111111043243212P X ==⨯⨯+⨯⨯=X 的分布列：()15211135012224342448m m E X m m =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式和对立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定变量X 的可能取值．20．设二次函数()2f x ax bx c =++，函数()()F x f x x =-的两个零点为m ，n（m n <）.（1）若1m =-，2n =，求不等式()0F x >的解集. （2）若0a >，且10x m n a<<<<，比较()f x 与m 的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）()f x m <.【解析】（1）由二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系直接得出结论； （2）设()()()F x a x m x n =--，得()()()f x a x m x n x =--+，作差()f x m -可得它与0的大小，从而得出()f x 与m 的大小． 【详解】（1）()0F x =的两个根分别为1-和2 当0a >时，()0F x >的解集为()(),12,-∞-+∞；当0a <时，()0F x >的解集为()1,2-；（2）()()()F x a x m x n =--，()()()f x a x m x n x =--+()()()()()1f x m a x m x n x m x m ax an -=--+-=--+∵10x m n a<<<<，∴0x m -<，10an -+>，0ax > ∴10ax an -+>，()0f x m -< ∴()f x m <. 【点睛】本题考查二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系，考查二次函数的解析式，掌握三个二次的关系是解题关键． 21．已知函数()1ln x f x x a-=-（1）当1a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间()2,e 上存在零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）1,1ln 2e ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】（1）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性求最大值；（2）先变量分离转化求对应函数()1ln x g x x-=值域，利用导数求其单调性，再根据单调性求其值域，即得结果. 【详解】（1）()()ln 1f x x x =--，()111x f x x x-=-='， 令0fx，得1x =所以()f x 在0,1上单调递增，1,上单调递减∴()()max 10f x f ==.（2）()f x 在区间()2,e 上存在零点，∴1ln 0x x a--=在()2,e 上有解，1ln x a x -=令()1ln x g x x-=（()2x e ∈,），()()21ln 1ln ,x x x x g +='-设2211111ln 1,(2,)0ln 2102x y x x e y y x x x x -'=-+∈∴=-=>∴>-+=> 因此0g x,∴()g x 在()2,e 上单调递增，即()()12ln 2g x g >=，()()1g x g e e <=- ∴1,1ln 2a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．设函数()32f x x ax bx =++（a ，R b ∈）的导函数为()f x .已知1x ，2x 是()f x 的两个不同的零点. （1）证明：23a b >；（2）当0b =时，若对任意0x >，不等式()ln f x x x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程()()()1211()2x f x f x f x x x '=-++的实根的个数. 【答案】（1）证明见解析；（2）1a ≥-；（3）1.【解析】（1）先求导数，再根据导函数必有两个不同零点列不等式，解得结果；（2）先分离变量，转化为求对应函数()2ln x x F x x-=最值，利用导数确定其单调性，根据单调性确定最值，即得结果；（3）先求122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭，再构造差函数()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++--- ⎪⎝⎭，再利用导数确定其单调性，最后根据单调性以及()10G x =确定零点个数，即得结果. 【详解】（1）证明：()232f x x ax b '=++，令()2320f x x ax b '=++=∵0f x有两个不等的实根，∴2241203a b a b ∆=->⇒>.（2）0b =时，()32f x x ax =+，由()ln f x x x ≥得32ln x ax x x +≥∴22ln ln x x x ax x x a x-+≥⇒≥令()2ln x x F x x-=，()222212ln 1ln x x x x x x x F x x x ⎛⎫--+ ⎪--⎝⎭'== 令()21ln g x x x =--，()120g x x x'=--< ∴()g x 在0,上单调递减，注意到10g∴当01x <<时，()0gx >，()0F x '>，()F x '单调递增；当1x >时，()0g x <，()0F x '<，()F x 单调递减： ∴()()max 11F x F ==-，∴1a ≥-. （3）()()3212112x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'++=-+⎪⎝⎭()()32121102x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'⇒++---= ⎪⎝⎭212233x x a a f f b +⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++---⎪⎝⎭()()2222221211323296(3)02333x x a G x x ax b f x ax b b x ax a x a +⎛⎫''=++-=++-+=++=+≥ ⎪⎝⎭∴()G x 在R 上单调递增，故()G x 在R 上至多只有一个零点，注意到()10G x = ∴()G x 在R 上只有1个零点，即()()1211()2x x f x f x x f x '+⎛⎫=-+⎪⎝⎭的实根个数为1. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.。
江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高三期中数学试题(教师版)
2020届高三11月联合调研测试数学I 理科―、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．上． 1.全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则()C A B =_______.【答案】{1,2,4,5} 【解析】 【分析】根据集合的基本运算，先求出A∩B，再求其补集即可．【详解】∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3,4}，B ＝{3，5}，∴A∩B＝{3}， 则∁U （A∩B）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}．【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题． 2.已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值．详解】解：∵a b ⊥； ∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1．故答案为：1． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.函数ln(1)y x =++的定义域为________． 【答案】(1,2)- 【解析】分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【详解】解：要使函数f （x ）有意义，则1020x x +⎧⎨-⎩＞＞，即12x x -⎧⎨<⎩＞， 解得12x -<<，故函数的定义域为(1,2)-， 故答案为：(1,2)-【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 4.已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．【解析】 【分析】直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可． 【详解】解：单位向量a b ，的夹角为120°， 则22124414a b a a b b -=-⋅+=+⨯=【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为______________.【答案】31 【解析】设11n n a a q-=，235a a =可化为24411a q a q =，得11a =，21422a a =-=，212a q a ==， 55(1)311q q S q-==-6.“a b >”是“22a b >”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【解析】 【分析】由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得2a ＞2b ， 反之，由2a＞2b，可得a ＞b ． ∴“a ＞b ”是“2a ＞2b ”的充要条件． 故答案为：充要．【点睛】本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴=又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.8.在ABC △中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．【答案】【解析】 【分析】由正弦定理可得a ：b ：c ＝2：3：4，不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则由余弦定理可求cos C ，结合范围C ∈（0，π），利用同角三角函数关系式即可求值． 【详解】解：∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4， ∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C 2222224916122234a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈（0，π）∴tan C ==故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题． 9.已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．【答案】{|1}x x ≤+【解析】 【分析】可由f （2x ）≤f （2）得出x |x ﹣2|≤1，从而得到2212x x x ⎧-≤⎨≥⎩或2212x x x ⎧-≤⎨⎩＜，解不等式组即可得出原不等式的解集．【详解】解：∵f （x ）＝x |x ﹣4|，∴由f （2x ）≤f （2）得，2x |2x ﹣4|≤4， ∴x |x ﹣2|≤1，∴2212x x x ⎧-≤⎨≥⎩或2212x x x ⎧-≤⎨⎩＜，解得1x ≤，∴f （2x ）≤f （2）的解集为{|1}x x ≤．故答案为：{|1}x x ≤．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R ∈都有()()()f x 4f x f 2+=+，()f 14=，则()()f 3f 10+的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】令2x =-，可以求得()()220f f -==，从而可得()f x 是以4为周期的函数，结合()14f =，即可求得()()310f f +的值【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()42f x f x f +=+，令2x =-，可得()()()222f f f =-+， 则()20f -=则()()220f f -==，()()4f x f x ∴+=， ()f x ∴是以4为周期的函数， ()()()10620f f f ∴===()14f =，()()()3114f f f ∴=-==则()()310404f f +=+= 故答案为4【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得()20f =是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档题。
2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．23．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 35．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（ ） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ） A ．−725B ．−1625C ．725D ．16258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为CC 1，A 1D 1的中点，则（ ） A ．BM ∥AD 1 B ．AM ⊥BDC ．B 1M ⊥平面ABND ．MN ∥平面A 1BD10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜312．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）；②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为 ；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长． 19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．21．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnx．x（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}． 故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ， 因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数， 所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝1，则f(x)=2x−12x +1，f(−x)=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x−12x +1=−f(x)，所以f （x ）是奇函数； 若函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数，可得f(−x)=12x −a 12x +a =1−a⋅2x 1+a⋅2x =−f(x)=−2x −a 2x +a =a−2x2x +a， 解得a ＝±1，∴a ＝1是函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数的充分不必要条件．故选：A ．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x ，2x ， 因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°， 所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x ＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x ＝15，下底面半径为2x ＝10，高为5√3． 由此可得圆台的体积为V =13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm 3）． 故选：A ．5．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 解：对于甲，该f （x ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T 2=πω=π2，则f （x ）的周期T ＝π；对于乙，将函数y =cos2x −√3sin2x =2cos(2x +π3)的图象向右平移 π4个单位长度，得到y =2cos[2(x −π4)+π3]=2sin(2x +π3) 的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f[2﹣（x﹣2）]＝﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2．故选：B．7．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A．−725B．−1625C．725D．1625解：∵sin(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin（2α+π3+π2）＝cos（2α+π3）=1−2sin2(α+π6)=1−2×(35)2=725．故选：C．8．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，则函数f（x）的极小值是（）A．−14B．0C．−427D．−49解：因为不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，所以f（m）＝f（m+1）＝0，且x＝m为f（x）＝0的二重根，所以f（x）＝（x﹣m）2[x﹣（m+1）]，则f′（x）＝2（x﹣m）[x﹣（m+1）]+（x﹣m）2＝（x﹣m）（3x﹣3m﹣2），则当x＞3m+23或x＜m时f′（x）＞0，当m＜x＜3m+23时f′（x）＜0，所以f（x）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m）上单调递增，在(m，3m+23)上单调递减，所以f（x）在x=3m+23处取得极小值，即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m+1)]=−427．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，A1D1的中点，则（）A．BM∥AD1B．AM⊥BDC．B1M⊥平面ABN D．MN∥平面A1BD解：对于选项A：连接BC1，则BC1∥AD1，又BC1∩BM＝B，所以BM∥AD1不正确，故选项A不正确；对于选项B：在正方体中，BD⊥AA1，BD⊥AC且AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，又AM⊂平面AA1C1C，所以AM⊥BD，故选项B正确；对于选项C：在正方体中，AB⊥平面B1BCC1，又B1M⊂平面B1BCC1，所以AB⊥B1M，取B1C1的中点Q，连接BQ，在正方形BCC1B1中（如图），△BB1Q≅△B1C1M，∠BQB1＝∠B1MC1，又∠B1MC1+∠MB1C1＝90°，所以∠B1QB+∠MB1C1＝90°，所以B1M⊥BQ，又在正方体中，AN∥BQ，所以B1M⊥AN，又AN∩AB＝A，所以B1M⊥平面ABN，故选项C正确；对于选项D：取A1D的中点E，连接EN，EC，则EN∥AA1，且EN=1AA1，2所以EN∥MC，且EN＝MC，故四边形NECM为平行四边形，则MN∥EC，又EC与平面A1BD相交于点E，所以MN不可能与平面A1BD平行，故选项D不正确．故选：BC ．10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A ．当c ＝0时，a |c |＞b |c |不成立，故选项A 不正确． 选项B ．由b+c 2a+c 2−b a=(b+c 2)a−b(a+c 2)a(a+c 2)=c 2(a−b)a(a+c 2)＞0，所以ba≤b+c 2a+c 2，故选项B 正确．选项C ．由 a 2−b 2−(1a−1b)=(a −b)(a +b)−b−a ab =(a −b)(a +b +1ab)＞0， 所以a 2−b 2＞1a−1b，故选项C 不正确．选项D ．由[√2(a 2+b 2)]2−(a +b)2=a 2+b 2−2ab =(a −b)2＞0，所以a +b ＜√2(a 2+b 2)，故选项D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3解：依题意，a 4＝4，a n a n+1=2n，a n =2na n+1，a n+1=2na n，所以a 3=23a 4=84=2，a 2=22a 3=42=2，a 1=21a 2=22=1，A 选现正确．所以a 3＝a 2，所以B 选项错误． 由a n a n+1=2n 得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n }的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a 1+a 2+⋯+a 2023＝（a 1+a 3+⋯+a 2023）+（a 2+a 4+⋯+a 2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C 选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列． 当n 为偶数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a 1+1a 3+⋯+1a n−1)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n)，=1(1−12n 2)1−12+12(1−12n 2)1−12=3−32n 2＜3；当n 为奇数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n =(1a 1+1a 3+⋯+1a n)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3， 综上所述，1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3，所以D 选项正确．故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 解：f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），f ′（x ）＝2a 2x lna ﹣1，对于A ：因为a 2x ＞0恒成立，所以当a ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减， 所以此时不存在极值点，A 错误；对于B ：当a ＝e 时，f （x ）＝e 2x ﹣x ，令g （x ）＝f （x ）﹣（lnx +2）＝e 2x ﹣x ﹣lnx ﹣2， 下面先证明：e x ≥x +1和lnx ≤x ﹣1，令f 1(x)=e x −x −1，则f 1′(x)=e x −1＞0⇒x ＞0，所以f 1（x ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f 1（x ）≥f 1（0）＝0，所以e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时，取到等号； 令f 2（x ）＝lnx ﹣x +1，则f 2′(x)=1x −1＞0⇒0＜x ＜1， 所以f 2（x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f 2（x ）≤f 2（1）＝0，所以lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时，取到等号， 由上结论可得：e 2x ≥2x +1，﹣lnx ≥﹣x +1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e 2x ﹣lnx ＞x +2， 即e 2x ﹣lnx ﹣x ﹣2＞0恒成立，即g （x ）＞0恒成立， 所以y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方，B 正确；对于C ：函数f （x ）有2个零点等价于方程a 2x ﹣x ＝0有两个根， 即a 2x =x ⇒lna 2x =lnx ⇒2xlna =lnx ⇒2lna =lnxx有两个根， 令ℎ(x)=lnxx ，则ℎ′(x)=1−lnxx 2＜0⇒x ＞e ， 所以h （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max =ℎ(e)=1e ，当x →0时，h （x ）→﹣∞，当x →+∞时，h （x ）→0， 所以要使得2lna =lnx x 有两个根，则2lna ∈(0，1e)， 所以0＜lna ＜12e⇒1＜a ＜e 12e ，所以C 正确；对于D ：设切点坐标为(x 0，a 2x 0−x 0)，则k =f ′(x 0)=2a 2x 0lna −1，又因为切线经过点P （0，t ），所以k =a 2x 0−x 0−tx 0， 所以2a2x 0lna −1=a 2x 0−x 0−tx 0，解得t =a 2x 0−a 2x 0lna 2x 0，令m =a 2x 0，则m ∈（0，+∞），所以t ＝m ﹣mlnm ， 因为过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切， 所以方程t ＝m ﹣mlnm 有两个不同的解，令φ（m ）＝m ﹣mlnm ，则φ′（m ）＝﹣lnm ＞0⇒0＜m ＜1， 所以φ（m ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m ）max ＝φ（1）＝1，当m →0时，φ（m ）→0，当m →+∞时，φ（m ）→﹣∞， 所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52． 解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)， 所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ a x （0＜a ＜1）（答案不唯一） ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）； ②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由性质②，f（x）是R上的减函数，且满足性质①f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），可以是指数函数，所以函数f（x）＝a x（0＜a＜1）符合题意．故答案为：a x（0＜a＜1）（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.08t．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待5分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln11≈2.4）解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e−0.08t=2 3，所以−0.08t=ln 23，解得t=−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟．故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A ′E =AE =√62，FC =FE +EC =x +√22，A ′C =√3， 在Rt △A ′FE 中，有A ′F 2+FE 2＝A ′E 2，即x 2+(2ℎ)2=32， 在Rt △A ′FC 中，有A ′F 2+FC 2＝A ′C 2，即(x +√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x =√22，ℎ=12， 所以R =√ℎ2+12=√14+12=√32， 从而四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为S =4πR 2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E 用现在的点F 来代替，而现在的点E 为线段BD 的靠近点B 的三等分点， 此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小， 设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2， 所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ， 由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23． 故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．解：（1）f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x =cos2x sin2x +12cos4x=12（sin4x +cos4x ）=√22sin （4x +π4）， 当4x +π4=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π16+kπ2，k ∈Z 时，函数取得最大值√22，此时{x |x =π16+kπ2，k ∈Z }； （2）因为g （x ）＝f （ωx ）=√22sin （4ωx +π4），ω＞0，若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，则极值点只能为极大值， 根据五点作图法，令4ωx +π4=π2，则x =π16ω， 令4ωx +π4=3π2，则x =5π16ω，所以{π16ω＜π25π16ω≥π2ω＞0解得18＜ω≤58，故ω的范围为（18，58]．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB ． （1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．解：（1）因为tan A +tan B =−√3cacosB ，所以sinA cosA +sinBcosB =−√3c acosB，由正弦定理得，sinAcosA +sinBcosB =−√3sinCsinAcosB ，因为sinAcosA+sinB cosB=sinAcosB+cosAsinB cosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinC cosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0， 又cos B ≠0，所以tan A =−√3， 因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72， 因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6，在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7， 在△ACD 中，由正弦定理知，ADsinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD=AD×1272=AD7， 在△ABC 中，由正弦定理知，bsinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3，所以b2AD 7=cAD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3， 在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49， 所以（√3）2+（√3）23×3=49，解得AD =√212．19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n=1n−1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1． （2）b n =(−1)n−14na n a n+1=(−1)n−14n(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1， 当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．解：（1）已知f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x，此时f′（1）＝a﹣1，又f（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（a﹣1）（x﹣1），即（a﹣1）x﹣y﹣a+1＝0；（2）证明：当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=1−1x=x−1x，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0，故f（x）≥0；（3）由（2）知lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，等号成立，令x=2n−13n+1，此时ln(1+2n−13n)＜2n−13n，可得ln(1+13)+ln(1+232)+ln(1+2233)+⋯+ln(1+2n−13n)＜13+232+⋯+2n−13n=13(1−2n3n)1−23=1−2n3n＜1，即ln[(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)]＜1，所以(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜e，当n≥4时，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)≥(1+13)(1+232)(1+2233)(1+2334)=12139659049＞2，所以对于任意n∈N*，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜m成立时，整数m的最小值为3．21．（12分）如图，AB是半球O的直径，AB＝4，M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON＝60°．（1）证明：PB⊥平面P AM；（2）若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面P AB所成角的正弦值．证明：（1）连接OM ，MN ，BM ，因为M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点， 所以有∠MON ＝∠NOB ＝60°，又因为OM ＝ON ＝OB ＝2，所以△MON ，△NOB 都为正三角形，所以MN ＝NB ＝BO ＝OM ，即四边形OMNB 是菱形， 记ON 与BM 的交点为Q ，Q 为ON 和BM 的中点， 因为∠PON ＝60°，OP ＝ON ， 所以三角形OPN 为正三角形， 所以PQ =√3=12BM ，所以PB ⊥PM ，因为P 是半球面上一点，AB 是半球O 的直径，所以PB ⊥P A ， 因为PM ∩P A ＝P ，PM ，P A ⊂平面P AM ， 所以PB ⊥平面P AM ；解：（2）因为点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，由（1）知Q 为ON 的中点，△OPN 为正三角形，所以PQ ⊥ON ， 所以PQ ⊥底面ABM ，因为四边形OMNB 是菱形，所以MB ⊥ON ， 即MB 、ON 、PQ 两两互相垂直，以点Q 为坐标原点，QM ，QN ，QP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)， 所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)，设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0， 令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ， 所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=3+36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2． 解：（1）由f(x)=1+lnx x 得，f ′(x)=−lnxx2， 当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0． 故f （x ）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）． （2）将ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b 变形为a+1e a=b+1e b ．令e a ＝m ，e b ＝n ，则上式变为1+lnm m=1+lnnn，即有f （m ）＝f （n ），于是命题转换为证明：m +n ＞2．不妨设m ＜n ，由（1）知0＜m ＜1，n ＞1． 要证m +n ＞2，即证n ＞2﹣m ＞1，由于f （x ）在（1，+∞）上单调递减，故即证f （n ）＜f （2﹣m ）， 由于f （m ）＝f （n ），故即证f （m ）＜f （2﹣m ）， 即证f （m ）﹣f （2﹣m ）＜0在0＜m ＜1上恒成立． 令g （x ）＝f （x ）﹣f （2﹣x ），x ∈（0，1），则g ′(x)=f ′(x)+f ′(2−x)=−lnx x 2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2， =−(4−4x+x 2)lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x 2ln[(2−x)x]x 2(2−x)2≥0，所以g （x ）在区间（0，1）内单调递增， 所以g （x ）＜g （1）＝0，即m +n ＞2成立． 所以e a +e b ＞2．。
2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高三(上)期中数学试卷-附答案详解
2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高三（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知A={x|x+1≥0}，B={−2,−1,0,1}，则(∁R A)∩B=()A. {−2,−1}B. {−2}C. {−1,0,1}D. {0,1}2.在△ABC中，“cosA<cosB”是“A>B”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.若命题p：∃x>0，x2+x−1>0，则p的否定形式为()A. ∀x>0，x2+x−1≤0B. ∃x≤0，x2+x−1>0C. ∀x≤0，x2+x−1>0D. ∃x>0，x2+x−1≤04.函数f(x)=x2−cosx2x+2−x的部分图象可能为()A. B.C. D.5.函数f(x)=sin2x+cosx在(0,π)内的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 36.已知角θ的终边经过点P(−12,√32)，则角θ可以为()A. 5π6B. 2π3C. 11π6D. 5π37.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是()A. −3是f(x)的极小值点B. −1是f(x)的极小值点C. f(x)在区间(−∞,3)上单调递减D. 曲线y =f(x)在x =2处的切线斜率小于零8. 已知函数f(x)={log 2x,x ≥111−x,x <1，则不等式f(x)<1的解集为( )A. (−∞,2]B. (−∞,0)∪[1，2)C. [0,2]D. (−∞,0]∪[1,2)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若6b =3，6a =2，则( )A. ba >1B. ab <14C. a 2+b 2<12D. b −a >11010. 已知函数f(x)=2sin(x2+π6)，若将函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是( )A. 函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x −π6) B. 函数f(x)的周期为4πC. 函数g(x)在区间[π,4π3]上单调递增 D. 函数f(x)图象的一条对称轴是直线x =−π311. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是( )A. 若cosA >cosB ，则sinA <sinBB. 若sinAcosA =sinBcosB ，则△ABC 一定是等腰三角形C. 若△ABC 是锐角三角形，则sinA +sinB +sinC >cosA +cosB +cosCD. 已知△ABC 不是直角三角形，则tanAtanBtanC =tanA +tanB +tanC12. 设函数f(x)=e x −ax +1(a ∈N +)，若f(x)>0恒成立，则实数a 的可能取值是( )A. 1B. 2C. eD. 3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若∀x∈(0,+∞)，4x2+1x≥m，则实数m的取值范围为______．14.在锐角三角形△ABC中，S△ABC=4，AB=5，AC=2，则BC=______．15.设a∈R，关于x的方程7x2−(a+13)x+a2+a−2=0有两实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，则实数a的取值范围是______．16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)、给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f′′(x)是f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若f(x)=13x3−12x2+3x+512，请你根据这一发现，求：(1)函数f(x)的对称中心为______，(2)计算f(12022)+f(22022)+f(32022)+⋯+f(20212022)=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x2−x−12≤0}，B={x|x2−2x+1−m2≤0,m>0}．(1)若m=2，求A∩(∁R B)；(2)x∈A是x∈B的_____条件，若实数m的值存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．(请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处)18.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图：(1)求其解析式；(2)写出函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[0,π2]上的单调递减区间．19.已知函数f(x)=lnx−ax(a是正常数)．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间与极值；(2)若∀x>0，f(x)<0，求a的取值范围．20.某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b1，在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b2，其中k<0，b1，b2>0且k，b1，b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题：(1)写出销售旺季与淡季，销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式．(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？21.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．22.已知函数f(x)=e x−2−a(x−1)(a∈R)．(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若f(x)有两个零点，证明：a2−alna−1>0．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|x+1≥0}={x|x≥−1}，B={−2,−1,0,1}，则(∁R A)∩B={x|x<−1}∩{−2,−1,0,1}={−2}．故选：B．先求出集合A，然后结合集合补集及交集定义即可求解．本题主要考查了集合补集及交集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：函数y=cosx在区间(0,π)上为单调递减函数，在△ABC中，A∈(0,π)，B∈(0,π)，所以在△ABC中，“cosA<cosB”是“A>B”的充要条件．故选：B．利用余弦函数的单调性以及充分条件与必要条件的定义，判断即可．本题考查了余弦函数单调性的应用，充分条件与必要条件定义的理解与应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题p：∃x>0，x2+x−1>0，则p的否定形式为：∀x>0，x2+x−1≤0．故选：A．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数f(x)的定义域为R ，f(−x)=(−x)2−cos(−x)2x +2−x=x 2−cosx 2x +2−x=f(x)，∴函数f(x)为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除BC ， 又f(0)=0−cos020+2−0=−12<0， 故只有选项A 符合， 故选：A ．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的正负即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的正负，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：令f(x)=sin2x +cosx =0， 即cosx(2sinx +1)=0， 即cosx =0或sinx =−12， 又∵x ∈(0,π)， ∴x =π2，故函数f(x)=sin2x +cosx 在(0,π)内有1个零点， 故选：B ．函数的零点可转化为方程f(x)=sin2x +cosx =0的解，利用恒等变换化简解方程即可． 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，运用了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵角θ的终边经过点P(−12,√32)，∴θ是第二象限角，且cosθ=−12，sinθ=√32，则θ=2π3．故选：B ．由已知可得θ是第二象限角，且cosθ=−12，sinθ=√32，结合选项得结论．本题考查象限角与轴线角，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知，当x <−3或x >3时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 当−3<x <3时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以函数f(x)在区间(−∞,−3)，(3,+∞)上单调递增，在区间(−3,3)上单调递减， 则当x =−3时，f(x)取得极大值，当x =3时，f(x)取得极小值， 所以x =−3是f(x)的极大值点，3是f(x)的极小值点， 故选项A ，B ，C 错误，因为f′(x)<0，则曲线y =f(x)在x =2处切线的斜率小于零， 故选项D 正确． 故选：D ．利用导函数的图象，结合导函数的正负与函数单调性的关系，求出函数f(x)的单调区间，即可判断选项C ，由极值的定义确定函数f(x)的极值点，即可判断选项A ，B ，利用导数的几何意义，即可判断选项D ．本题以命题的真假判断为载体，考查了导数的综合应用，考查了导数的正负与函数单调性关系的应用，极值点定义的理解与应用，导数几何意义的理解与应用，考查了逻辑推理能力与识图能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：函数f(x)={log 2x,x ≥111−x,x <1，不等式f(x)<1，可知{x ≥1log 2x <1或{x <111−x <1，解得：1≤x <2或x <0．不等式f(x)<1的解集为(−∞,0]∪[1,2)． 故选：D ．利用分段函数，列出不等式，求解即可．本题考查分段函数的应用，不等式的解法，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：∵6b=3，6a=2，∴b=log63，a=log62，∴ba =log63log62=log23>log22=1，故选项A正确，∵a+b=log63+log62=log66=1，且a>0，b>0，∴ab<(a+b)24=14，故选项B正确，∵a2+b2=(a+b)2−2ab=1−2ab>1−2×14=12，故选项C错误，∵b−a=log63−log62=log632>log66110=110，故选项D正确，故选：ABD．把指数式化为对数式，由对数的运算性质可判断选项A，D的正误，再结合基本不等式可判断选项B，C的正误．本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用，是基础题．10.【答案】ABC【解析】解：易知g(x)=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)，故A正确；对于B，T=2π12=4π，故B正确；由π≤x≤4π3得11π6≤2x−π6≤15π6，因为y=sinx在[11π6,15π6]上单调递增，故g(x)在区间[π,4π3]上单调递增，故C正确；因为f(−π3)=2sin(−2π3−π6)=−1≠−2，不是最值，故D错误．故选：ABC．先根据象像变换的知识求出函数g(x)的解析式，然后结合正弦函数的性质以及换元思想求解．本题考查三角函数的图象与性质以及图像变换的知识方法，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：因为A，B∈(0,π)，且y=cosx在(0,π)上单调递减，故由cosA>cosB得A<B，故a<b，结合正弦定理得sinA<sinB，故A正确；sinAcosA =sinBcosB ⇒sin2A =sin2B ，故2A =2B ，或2A +2B =π，即A =B ，或A +B =π2，故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；若三角形ABC 为锐角三角形，则A +B >π2⇒A >π2−B >0，故sinA >sin(π2−B)=cosB ，同理可得sinB >cosC ，sinC >cosA ，三式相加得sinA +sinB +sinC >cosA +cosB +cosC ，故C 正确；△ABC 不是直角三角形，即A ，B ，C 都不是直角，因为tanC =−tan(A +B)=tanA+tanBtanAtanB−1， 整理得tanAtanBtanC =tanA +tanB +tanC ，故D 正确． 故选：ACD ．结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．本题考查三角恒等变换以及正弦定理等知识与方法，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：原式可化为ax <e x +1， ①当x <0时，上式可化为a >e x +1x(x <0)恒成立，令g(x)=e x +1x(x <0)，g′(x)=e x (x−1)x 2<0恒成立，故g(x)在(−∞,0)上单调递减，当x →−∞时，g(x)→0−，故当x <0时，只需a ≥0，a ∈N +即a ∈N +满足题意； ②当x =0时，原式化为0<2显然恒成立，故此时a ∈N +； ③当x >0时，原式可化为a <e x +1x恒成立，令ℎ(x)=e x +1x(x >0)，令ℎ′(x)=e x (x−1)x 2=0，得x =1，当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)此时在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)此时在(1,+∞)上单调递增； 故ℎ(x)min =ℎ(1)=e +1，故此时0<a <e +1，综上所述，a 的取值为0<a <e +1，a ∈N +，故a 的取值为1，2，3． 故选：ABD ．先根据x 的符号分离参数a ，然后研究分离参数后所得函数的最值，求出a 的范围后进行判断．本题考查利用导数研究函数的最值进而解决不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．13.【答案】(−∞,4]【解析】解：因为x >0，则4x 2+1x=4x +1x ≥2√4x ⋅1x =4，当且仅当4x =1x 即x =12时取等号， 因为4x 2+1x≥m ，所以4≥m ， 故答案为：(−∞,4]由已知不等式恒成立转化为求解最值，结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．14.【答案】√17【解析】解：S =12AB ⋅AC ⋅sinA =12×5×2×sinA =4， 所以sinA =45，由A 为锐角，故cosA =35， 所以BC 2=52+22−2×5×2×cosA =17， 故BC =√17． 故答案为：√17．根据面积公式求出A 的值，然后利用余弦定理求出BC 的长度． 本题考查余弦定理与面积公式的应用，属于基础题．15.【答案】(−2√2,−2)∪(1,2√2)【解析】解：设f(x)=7x 2−(a +13)x +a 2+a −2， 由x 1，x 2是f(x)的两个零点，且0<x 1<1<x 2<2， 可得{f(0)>0f(1)<0f(2)>0，即{a 2+a −2>0a 2−8<0a 2−a >0，即{a >1或a <−2−2√2<a <2√2a >1或a <0，所以−2√2<a <−2或1<a <2√2． 故答案为：(−2√2,−2)∪(1,2√2).设f(x)=7x 2−(a +13)x +a 2+a −2，根据一元二次方程根的分布关系，可得f(0)>0，且f(1)<0，且f(2)>0，即有a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围． 本题考查二次函数与二次方程的关系，以及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】(12,116)222316【解析】解：(1)f′(x)=x 2−x +3，f′′(x)=2x −1， 令f′′(x)=0，解得x =12， ∴f(12)=13×18−12×14+32+512=116，∴函数f(x)的对称中心为(12,116)； (2)∵f(x)的对称中心为(12,116)， ∴f(x)+f(1−x)=113，∴f(12022)+f(22022)+f(32022)+⋯…+f(20212022)=2021×1132=222316．故答案为：(1)(12,116)；(2)222316．(1)根据题意，对函数f(x)连续两次求导，即可得出对称中心； (2)由(1)可知f(x)+f(1−x)=113，再利用倒序相加求和的思维方式即可得解．本题是一道新定义问题，考查了函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)m =2时，A ={x|x 2−x −12≤0}={x|−3≤x ≤4}，B ={x|x 2−2x −3≤0}={x|−1≤x ≤3}，所以A ∩(∁R B)={x|−3≤x ≤4}∩{x|x <−1或x >3}={x|3<x ≤4或−3≤x <−1}；(2)A ={x|x 2−x −12≤0}={x|−3≤x ≤4}，B ={x|x 2−2x +1−m 2≤0,m >0}={x|1−m ≤x ≤1+m}， 若选①充分不必要，则A ⊊B ， 所以{1−m ≤−31+m ≥4，解得m ≥4，所以m 的范围[4,+∞)； 若选②必要不充分，则B ⊊A ，所以{1−m ≥−31+m ≤4m >0，解得，0<m ≤3， 所以m 的范围(0,3】；若选③充要，则{1−m =−31+m =4，此时m 不存在．【解析】(1)把m =2代入，然后求出集合A ，B 结合集合的交并运算即可求解； (2)结合集合的包含关系与充分必要条件的相互转化关系进行求解即可．本题主要考查了集合的交并补的运算及充分必要条件与集合包含关系的相互转化，体现了转化思想的应用，属于中档题．18.【答案】解：由图象可知，A =2，T =7π8−(−π8)=π，所以ω=2， 又因为过(−π8,0)，根据五点作图法有，−π8×2+φ=0， 所以φ=π4，所以y =2sin(2x +π4)； (2)因为x ∈[0,π2]， 所以2x +π4∈[π4,5π4]，令π2≤2x +π4≤5π4，解得π8≤x ≤π2所以f(x)在[0,π2]上的单调递减区间为[π8,π2].【解析】(1)由图象可知A ，T ，从而可求得ω，将(−π8,0)代入可求得φ值，从而得到函数解析式；(2)根据x 的取值范围，结合正弦函数单调递减区间求解．本题考查了三角函数由图象求解析式以及单调区间的问题，属于基础题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=lnx−ax，当a=1时，f(x)=lnx−x，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=1x −1=1−xx，令f′(x)>0，解得0<x<1，令f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)，当x=1时，函数f(x)取得极大值f(1)=−1，无极小值；(2)因为∀x>0，f(x)<0，即lnx−ax<0对于x>0恒成立，即a>lnxx对于x>0恒成立，故a>(lnxx)max，令g(x)=lnxx，则g′(x)=1−lnxx2，当0<x<e时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，所以当x=e时，函数g(x)取得最大值g(e)=1e，则a>1e，所以实数a的取值范围为(1e,+∞)．【解析】(1)先求出函数的定义域，求出f′(x)，由导数的正负确定函数的单调性，由极值的定义求解f(x)的极值即可；(2)利用参变量分离，将问题转化为a>lnxx 对于x>0恒成立，即a>(lnxx)max，构造函数g(x)=lnxx，利用导数研究g(x)的单调性，确定g(x)的最大值，即可得到答案．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性和极值以及最值的应用，不等式恒成立问题的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b1，在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b2，由销售总利润=销售量×标价−成本，则旺季y=kx2−(100k−b1)x−100b1，淡季y=kx2−(100k−b2)x−100b2；(2)在(1)中，旺季y=kx2−(100k−b1)x−100b1，由k<0可知，在销售旺季，当x=100k−b12k =50−b12k时，利润y取得最大值；在销售淡季，当x=100k−b22k =50−b22k时，利润y取得最大值，下面分销售旺季和淡季进行讨论：由②可知，在销售旺季，商场以140元/件的价格出售时，能获得最大利润，因此在销售旺季，当标价x=50−b12k=140时，利润取得最大值，此时b1=−180k，销售量为r(x)=kx−180k，令kx−180k=0，解得x=180，故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件，由③可知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为120元/件，可见在销售淡季，当标价x=120时，r(x)=kx+b2=0，所以120k+b2=0，所以b2=−120k，故在销售淡季，当x=50−b22k =50+120k2k=110时，利润y取得最大值，故在销售淡季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标记应定为110元/件．【解析】(1)由题意，列出函数关系式即可；(2)利用二次函数的性质，分销售旺季和销售淡季分别进行分析，即可得到答案．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA故cosA=−1，2∵A∈(0,π)∴A=120°(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．=(sinB+sinC)2−sinBsinC变形得34又sinB+sinC=1，得sinBsinC=14上述两式联立得sinB=sinC=12因为0°<B<60°，0°<C<60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．(Ⅱ)把(Ⅰ)中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．22.【答案】(1)解：由f(x)=e x−2−a(x−1)(a∈R)，得f′(x)=e x−2−a，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，没有极值点；当a>0时，令f′(x)=0，即e x−2−a=0，解得x=2+lna，当x∈(−∞,2+lna)时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,2+lna)上单调递减，当x∈(2+lna,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(2+lna,+∞)上单调递增，所以当a>0时，函数f(x)有且只有一个极小值点．综上所述，当a≤0时，函数f(x)没有极值点，当a>0时，有一个极值点．(2)证明：由(1)可知，当a>0时，f(x)有一个极小值点，且极小值为f(2+lna)=e2+lna−2−a(2+lna−1)=e lna−a(1+lna)=−alna．当0<a<1时，f(2+lna)=−alna>0，函数f(x)没有零点；当a=1时，f(2+lna)=−alna=0，函数f(x)只有一个零点；当a>1时，f(2+lna)=−alna<0，又因为f(0)=e−2+a>0，所以存在x1∈(0,2+lna)，使f(x1)=0；又f(4+a)=e2+a−a(3+a)>(2+a)2−3a−a2=4+a>0，所以存在x2∈(2+lna,4+a)，使f(x2)=0，所以当a>1时，f(x)有两个零点．记g(a)=a2−alna−1(a>1)，则g′(a)=2a−lna−1，记ℎ(a)=2a−lna−1(a>1)，则ℎ′(a)=2−1a =2a−1a，因为a>1，所以ℎ′(a)>0，所以ℎ(a)>ℎ(1)=1，所以g(a)在(1,+∞)单调递增，从而g(a)>g(1)=0，即a2−alna−1>0恒成立，故原不等式得证．【解析】(1)对f(x)求导，再对a分类讨论，利用导数求出函数f(x)的单调性，从而判断极值点个数；(2)结合(1)中结论及f(x)有两个零点，可求得a的取值范围，令g(a)=a2−alna−1，利用导数求出g(a)的单调性，从而证明g(a)>0即可．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查零点个数问题，不等式的证明，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。
江苏省淮阴中学2021届高三第一学期数学测试卷
淮阴中学2021届高三数学测试卷2020年8月29日一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合4={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈，b∈B}，则M中元素的个数为( )A. 3B. 4C.5D.62.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x0，使x02≤0>2C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0，使1x03.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这-过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )4.对任意x∈R，函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a≤21B. 0<a<21C. a≤0或a≥21D. a<0或a> 215.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线升，则y=ae m，假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有a8m的值为( )A.7B. 8C.9D.10(6-ax)(a>0且a≠1)在[0，2] 上为减函数，则实数a的取值范围是6.函数f(x)=loga( )A. (1,3)B. (0,1)C. (1，3]D. [3，+∞)7. 如果已知0<a<1,则方程a|x|=|logx|的实根个数为( )aA.2B.3C.4D.与a的值有关8.已知函数f(x)=x+ln(√x2+1-x)-5(x∈[-2020，2020]) 的最大值为M ,最小值为m,则M+m=( )A.-5B.-10C.5D.10二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.下列说法中，正确的命题是( )A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，则P(2<X<4)=0.2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强;反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=â+ b̂x，若b̂=2x⃗, x⃗=1，y⃗=3，则a=1D.若样本数据2x 1+1，2x 2+1， ... 2x 16+1的方差为8，则数据x 1,x 2，.，. x 16 的方差为210.下列不等式，其中正确的是( )A. x 2+3>2x(x∈R)B. a 3 +b 3≥a 2b + ab 2 (a,b∈R)C. a 2 +b 2≥2(a -b-1)D.f(x)=x 2+2x 2−1≥2√2+111.若f(x)满足对任意的实数a ，b 都有f(a+b)= f(a)*f(b)且f(1)=2，则下列判断正确的有( )A. f(x)是奇函数B. f(x) 在定义域上单调递增C.当x∈(0,+∞)时， 函数f(x)>1D.f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+…f(2016)f(2015)+f(2018)f(2017)+f(2020)f(2019)=2020 12.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f , " (x) 是它的导函数，且恒有cosx.f"(x)+ sinx*f(x)<0成立，则有( )A.f(π6)> √2f(π4)B. √3f(π6)> f(π4)C. f(π6)> √3f(π3)D. √2f(π6)> √3f(π4) 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省淮安市淮阴中学高三(上)期中数学试卷含答案
∴ 푥|푥−2| ≤ 1，
{ { ∴
푥2−2푥 푥 ≥2
≤ 1或
2푥−푥2 푥 <2
≤
1，解得푥
≤
2 +1，
∴ 푓(2푥) ≤ 푓(2)的解集为{푥|푥 ≤ 2 +1}．
故答案为：{푥|푥 ≤ 2 +1}
{ { 可由푓(2푥)
． ≤ 푓(2)得出푥|푥−2|
≤
1，从而得到
푥2−2푥 푥 ≥2
≤ 1或
21. 已知矩阵퐴 = [0 13]，퐵 = [2 08]，求퐴−1퐵
2
1
22. 已知矩阵퐴 = [ 1
−1
24]，向量푎 = [53]，计算퐴5푎．
23. 已知四棱锥푃−퐴퐵퐶퐷的底面为直角梯形，퐴퐵//퐷퐶，∠퐷퐴퐵 = 90°，푃퐴 ⊥ 底面
ABCD，且푃퐴 = 퐴퐷 = 퐷퐶 = 1，퐴퐵 = 2，M 是 PB 的中点． (Ⅰ)求 AC 与 PB 所成角的余弦值； (Ⅱ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值的大小．
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19. 已知函数푓(푥) = 푥3 +3|푥−푎|，푎 ∈ 푅
(1)当푎 = 1时，求曲线푦 = 푓(푥)在푥 = 2处的切线方程；
(2)当푥 ∈ [−1,1]时，求函数푓(푥)的最小值； (3)已知푎 > 0，且任意푥 ≥ 1有푓(푥 + 푎)−푓(1 + 푎) ≥ 15푎2푙푛푥，求实数 a 的取值范
3.【答案】(−1,2)
{푥 + 1 > 0
【解析】解：依题意，
2−푥 2−푥
≠0 ≥0
，解得−1 < 푥
< 2，
所以푦 = ln(푥 + 1) + 22−푥的定义域为(−1,2)，
2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三(上)期中数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√234．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π35．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．27．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a +b ＞2bB ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）211．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝ ．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ． 15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 ． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 ． 四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值；（2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝（2﹣x ）e x +（1﹣2a ）x ，g （x ）＝ax 2﹣lnx ． （1）讨论函数g （x ）＝ax 2﹣lnx 的单调性；（2）函数h （x ）＝|f （x ）|+g （x ）在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，A ∪B ＝{1，2，3}，∴实数a ＝3．故选：C ．2．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i【解答】解：∵z （1+2i ）＝﹣3+4i ， ∴z =−3+4i 1+2i =(−3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1+2i ， ∴复数z 的实部为1． 故选：A ．3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√23【解答】解：由题可得C ＝45°，再由正弦定理asinA =csinC可得c =asinC sinA =2×√2232=2√63，故选：B ．4．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【解答】解：根据题意，设向量a →，b →的夹角为θ， 若a →⊥（a →−2b →），则有a →•（a →−2b →）=a →2﹣2a →•b →=0， 又由|a →|＝|b →|，则cos θ=12， 又由0≤θ≤π，则θ=π3，故选：C ．5．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，f （﹣x ）＝e ﹣x ﹣e x +2sin x ， ∴f （x ）＝﹣f （﹣x ），故函数f （x ）为奇函数． f ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2cos x ≥2﹣2cos x ≥0，则f （x ）在R 上为增函数．则f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0，化简得f （x 2﹣3）＜﹣f （2x ）， 即f （x 2﹣3）＜f （﹣2x ）， 又∵f （x ）为增函数， ∴x 2﹣3＜﹣2x ， 解得﹣3＜x ＜1． 故选：A ． 6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：原式=2sin(60°+20°)−sin20°cos20°=√3cos20°+sin20°−sin20°cos20°=√3．故选：C ．7．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]【解答】解：x ＞0时，f （x ）＝log 2x ﹣2x ，∴f '（x ）=1xln2−2=1−xln4xln2， 令f '（x ）＝0，x =1ln4， ∴f '（x ）在（0，1ln4）递增，在（1ln4，+∞）递减．∵1ln4∈（0，1），而x ∈（0，1）时，f （x ）＜0，∴f （x ）的最大值为f （1ln4）＜0，∴x ＞0时，f （x ）无零点．∴x ≤0，f （x ）有两个零点，﹣2π＜﹣ωπ+π3≤−π，43≤ω＜73． 故选：B ．8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解答】解：∵cos x 在（0，π2）上单调递减，∴cos1≈cos57°＜cos53°＝0.6，∴cos1＜35，即b ＜a ； c =1−(log 52)21+(log 52)2=−1+21+(log 52)2；∵0＜log 52＜log 5√5=12，∴35＜−1+21+(log 52)2＜1，∴b ＜a ＜c ． 故选：B ．二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ） A ．a +b ＞2b B ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b【解答】解：对于A ，∵a ＞b ，b ＝b ， ∴a +b ＞b +b ＝2b ，故A 正确，对于B ，令a ＝1，b ＝﹣1，满足a ＞b ，1a＞1b，故B 错误，对于C ，当c ＝0时，ac ＝bc ，故C 错误， 对于D ，∵a ﹣c ＞b ﹣c ， ∴e a ﹣c ＞e b ﹣c ，又∵a ＞b ，∴由不等式的可加性可得，e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b ，故D 正确．故选：AD ．10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）2【解答】解：A ：∵F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，∴EF →=12AB →，∴A 正确，B ：∵F 是靠近C 的四等分点，∴AF →=AD →+DF →=AD →+34DC →=34AB →+AD →，∴B 错误，C ：∵E 是靠近D 的四等分点，∴BE →=BC →+CE →=AD →+34CD →=−34AB →+AD →，∴C 正确，D ：∵BE →•AF →=（−34AB →+AD →）•（34AB →+AD →）=AD →2−916AB →2，∴D 错误， 故选：AC ．11．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称【解答】解：显然f （﹣x ）=tan(|−x|+π4)=tan(|x|+π4)=f （x ），故f （x ）是偶函数，故A 正确；因为f(−π4)=tan π2不存在，而f(−π4+π)=f(3π4)=tan π＝0，显然f （−π4）≠f(3π4)，故B 错误；x ∈(0，π4)时，f(x)=tan(x +π4)满足π4＜x +π4＜π2，因为y ＝tan x 在（π4，π2）上单调递增，故原函数f （x ）在区间（0，π4）上单调递增，故C 正确；因为f （−π3）=√3+11−3=−2−√3，f （3π2+π3）=tan π12，结合tan π6=2tan π121−tan 2(π12)=√33解得tanπ12=2−√3，因为f(−π3)+f(3π2+π3)≠0，故f （x ）的图像不关于点（3π4，0）对称，故D 错误． 故选：AC ．12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列 B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 【解答】解：由正五边形的性质得∠ACE =α=π5，所以∠D 1AC 1＝α， 作∠AD 1C 1＝α的角平分线D 1M ，取D 1C 1中点N ，连接AN ，则AN ⊥D 1C 1， 所以∠AD 1M ＝∠C 1D 1M ＝α，所以MD 1＝MA ＝D 1C 1． 令MD 1＝MA ＝D 1C 1＝1，MC 1＝x ， 则C 1M C 1D 1=C 1D 1AC 1，所以1＝x （x +1），解得x =√5−12，所以cosC 1=cos2α=C 1N C 1A =√5−14， 所以cos 2α=12(1+cos2α)=12⋅√5+34=√5+38=2√5+616=(√5+14)2， 所以cosα=√5+14，故C 选项正确；因为a 2＝1，△ABE △C 1AE ，所以AB BE=AC 1AE，即12⋅√5+12+a 2=√5+12a 1，所以a 12=(√5+2)(√5+1)2=7+3√52，所以(a2a 1)2=27+3√5=2(7−3√5)4=(3−√52)2，即q =3−√52，故A 选项正确，B 选项错误； 由于5α＝π，则10α＝2π，所以cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos[（θ﹣4α）+10α]+cos[（θ﹣2α）+10α] ＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ﹣4α）+cos （θ﹣2α） ＝cos θ+2cos θcos4α+2cos θcos2α＝cos θ（1+2cos4α+2cos2α） ＝cos θ[1+2⋅（2cos 22α﹣1）+2cos2α]＝cos θ（4cos 22α+2cos2α﹣1） =cosθ[4×(√5−14)2+√5−12−1]=0，故D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝12．【解答】解：定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0， 则f （f （2021））＝f （f （505×4+1））＝f （f （1））＝f （﹣tan π4）＝f （﹣1）＝|﹣1+12|=12，故答案为：12．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ﹣e ． 【解答】解：设切点为（m ，n ）， 由f （x ）＝x ﹣alnx ，得f ′（x ）＝1−ax ， 则{1−am=22m =m −alnm，解得：m ＝e ，a ＝﹣e ．故答案为：﹣e ．15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 34+√22． 【解答】解：∵a x＝2，b 2y＝2，∴a =21x （a ＞1，x ＞0），b =212y （b ＞1，y ＞0）；∵ab ＝4，∴21x×212y =4，1x+12y=2，∴x +y =12×（1x +12y ）（x +y ）=12×（32+y x +x 2y）， ∵x ＞0，y ＞0，∴y x＞0，x 2y＞0，∴yx +x2y ≥2√yx ×x2y =√2，x +y ≥12×（32+√2）=34+√22，当且仅当y x =x 2y ，1x +12y=2时取等号，∴x +y 的最小值为34+√22． 故答案为：34+√22． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 8 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 3 ． 【解答】解：f （4﹣x ）=13−x +12−x +11−x =−f （x ），f （x ）关于（2，0）对称， f '（x ）=−1(x−1)2−1(x−2)2−1(x−3)2＜0，∴f （x ）在（﹣∞，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）递减， x →1+时，x →+∞，x →2﹣时，x →﹣∞，x →2+时，x →+∞，x →3﹣时，x →﹣∞，x →3+时，x →+∞，作出f （x ）图像，作出g （x ）图像，则f （x ）与g （x ）有四个交点，四个实根设为t 1，t 2，t 3，t 4，则t 1+t 2+t 3+t 4＝4+4＝8， 令f （x ）＝1，则x 3﹣9x 2+23x ﹣17＝0，由韦达定理可知x 1+x 2+x 3＝9， ∴x 1﹣1+x 2﹣2+x 3﹣3＝9﹣6＝3． 故答案为：8；3．四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【解答】解：（1）设公差d 不为0的等差数列{a n }中，首项为a 1，满足S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52，所以{4a 1+4×32d =2×(a 1+3d)+2(a 1+d)2+(a 1+5d)2=(a 1+3d)2+(a 1+4d)2，解得{a 1=1d =2；故a n ＝2n ﹣1；（2）由（1）得：b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)；所以T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．【解答】解：（1）根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象，可得A ＝1，可得：f （0）＝sin φ=√22，可得：φ=π4，可得f （x ）＝sin （ωx +π4）， 又f （−π4）＝sin （−π4ω+π4）＝0， 可得：−π4ω+π4=k π，k ∈Z ，解得ω＝1﹣4k ，k ∈Z ， 当k ＝0时，可得ω＝1，可得函数f （x ）的解析式为f （x ）＝sin （x +π4）． （2）因为f （θ）＝sin （θ+π4）=√22×（sin θ+cos θ）=513， 所以sin θ+cos θ=5√213，两边平方，可得1+sin2θ=50169， 可得sin2θ=−119169．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值； （2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．【解答】解：（1）∵AC →=λAD →，∴AP →=25AB →+15AC →=25AB →+15λAD →， ∵B ，D ，P 三点共线， ∴25+15λ＝1，∴λ＝3．（2）证明：∵AP →=25AB →+15AC →，∴AP →•BC →=（25AB →+15AC →）•（AC →−AB →）=15AC →2−25AB →2+15AB →⋅AC →=0， 即b 2﹣2c 2+ab cos A ＝0，∴b 2﹣2c 2+ab ×b 2+c 2−a 22bc=0，∴a 2﹣3b 2+3c 2＝0，即2（a 2+c 2﹣b 2）＝a 2+b 2﹣c 2，∴2c cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得2sin C cos B ＝sin B cos C ，∴tan B ＝2tan C ． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ，对任意实数x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣ax 2+x ＜0恒成立，当a ≤0时，则f （1）＝1﹣a ＞0，这与f （x ）＜0在x ∈（0，+∞）上恒成立矛盾，故舍去；当a ＞0时，f '（x ）=1x−2ax +1， 因为f '（x ）在（0，+∞）上单调递减， 又f ′(12a )=2a ＞0，f′(1+1a )=a a+1−2a −1＜0， 故存在唯一的x 0∈(12a ，1+1a )，使得f '（x 0）＝0，即1x 0−2ax 0+1=0，且当x ∈（0，x 0）时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 当x ∈（x 0，+∞）时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减，故当x ＝x 0时，f （x ）取得最大值f （x 0）=lnx 0−ax 02+x 0=lnx 0−x 0+12+x 0=lnx 0+x 02−12＜0， 解得0＜x 0＜1， 故a =12(1x 0+1x 02)＞1， 所以实数a 的取值范围为（1，+∞）；（2）当a =12时，f(x)=lnx −12x 2+x ，若f （x 1）+f （x 2）＝1，则lnx 1−12x 12+x 1+lnx 2−12x 22+x 2=1， 故ln(x 1x 2)−12(x 1+x 2)2+x 1x 2+x 1+x 2=1， 所以12(x 1+x 2)2−(x 1+x 2)+1=ln （x 1x 2）+x 1x 2≤ln(x 1+x 22)2+(x 1+x 22)2， 令t =x 1+x 22，则2t 2﹣2t +1≤lnt 2+t 2，即t 2﹣2t +1﹣2lnt ≤0， 令h （t ）＝t 2﹣2t +1﹣2lnt ，则h '（t ）=2t −2−2t =2(t 2−t−1)t，令h '（t ）＝0，解得t =1+√52， 所以当0＜t ＜1+√52时，h '（t ）＜0，则h （t ）单调递减， 当t ＞1+√52时，h '（t ）＞0，则h （t ）单调递增， 又h （1）＝0，h （3）＝4﹣2ln 3＞0， 故h （t ）在(1+√52，3)上有唯一的零点t 0， 又当1≤t ≤t 0时，h （t ）≤0， 故2≤x 1+x 2≤2x 0，所以x 1+x 2的最小值为2，当且仅当x 1＝x 2＝1取等号．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）设DC ＝m ，则BD ＝8m ， 所以在△ABD 和△ABC 中，分别利用余弦定理得：cos ∠ABC =a 8m =a 2+8lm 2−a 22⋅9m⋅a =9m 2a，所以a 2＝36m 2⇒a ＝6m ， 所以cos ∠ABC =34，（2）根据题意，观景点B 与与摩天轮上任意一点P 之间距离不超过√239， 即(PB)max ≤√239，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，连接BQ ，PB ，要使PB 尽可能的大，则点P 摩天轮同一竖直线上，且在直线m 的上方部分，且Q 在点A 的右侧，如图，设PQ ＝h ，AQ ＝x ，a ≤h ≤a +6， 则（h −a ）2+x 2＝36⇒h 2+a 2+x 2−2ah ＝36， 所以PB =√BQ 2+PQ 2=√AB 2+AQ 2−2AB ⋅AQ(−34)+PQ 2=√a 2+x 2+32ax +ℎ2=√36+2a ℎ+32ax =√36+a(2ℎ+32x)， 令{ℎ=a +6cosθx =6sinθ，则2ℎ+32x =2a +12cosθ+9sinθ=2a +15sin(θ+φ)≤2a +15，（其中tanφ=34)， 所以(PB)max =√36+2a 2+15a ≤√239， 2a 2+15a −203≤0， 解得a ≤7，所以实数a的取值范围是（6，7]．22．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x，g（x）＝ax2﹣lnx．（1）讨论函数g（x）＝ax2﹣lnx的单调性；（2）函数h（x）＝|f（x）|+g（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣lnx的定义域为（0，+∞），则g'（x）=2ax−1x=2ax2−1x，所以当a≤0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，令g'（x）＝0，解得x=√12a，当x∈（0，√12a）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，当x∈（√12a，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，所以f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．（2）因为f（1）＝e+1﹣2a，①当f（1）＝e+1﹣2a＜0，即a＞e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＜0，此时h（x）＝（x﹣2）e x﹣（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（x﹣4）e x﹣（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝4a﹣2＞0，这与x＝1处取得极小值矛盾；②当f（1）＝e+1﹣2a＞0，即a＜e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＞0，此时h（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x+（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝0，又h''（x）＝﹣xe x+2a+12，所以h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，则h''（x）在（0，+∞）上单调递减，（i）若h''（x）≤0，即﹣e+2a+1≤0，a≤e−12时，此时当x＞1时，h''（x）＜0，则h'（x）单调递减，则h'（x）＜h'（1）＝0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，h（x）不可能在x＝1处取得极小值，故舍去；（ii）若h''（x）＞0，即﹣e+2a+1＞0，a＞e−12时，h''（2a）=−2ae2a+2a+14a2＜14a2−4a2＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2a），使得h''（x0）＝0，且当0＜x＜x0时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，则当1﹣σ0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x0，1+σ0}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，所以此时满足函数h（x）在x＝1处取得极小值，故实数a的取值范围为(e−12，e+12)；③当f（1）＝e+1﹣2a＝0，即a=e+12时，存在x∈（1﹣σ1，1+σ1）（σ1为足够小的正数），使得f（x）≥0，此时h（x）＝（2﹣x）e x﹣ex+e+12x2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x﹣e+（e+1）x−1 x，又h'（1）＝0，则h''（x）＝﹣xe x﹣e+1+1x2，h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，故h''（x）在（0，+∞）上单调递减，由于h''（1）＝2＞0，h''（2）=−2e2+e+1+14＜0所以存在唯一的x1∈（1，2），使得h''（x1）＝0，则当0＜x＜x1时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，故当0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x1，1+σ1}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，此时满足h（x）在x＝1处取得极小值．综上所述，实数a的取值范围为(e−12，e+12]．。
2021届江苏省淮阴区高三上学期期中调研测试文科数学试卷
2021年江苏省淮阴区高三上学期期中调研测试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合}|{},1|{a x x B x x A <=>=，若R B A =⋃，则实数a 的取值范围为2．复数i i z +-=2)21(的实部为3．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．4．从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为5．函数)62sin(2π-=x y 的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为7．等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ，则=3a8．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.9．在平面直角坐标系中，直线0323=+-y x 被圆422=+y x 截得的弦长为10．设函数1sin )1()(22+++=x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M 11．已知点),1(m P 是函数x ax y 2+=图像上的点，直线b y x =+是该函数图像在P 点处的切线，则=-+m b a12．设P 为ABC ∆中线AD 的中点，D 为边BC 中点，且2=AD ，若3PB PC ⋅=-，则AB AC ⋅=13．若存在正数x 使1)(<-a x e x 成立，则a 的取值范围是14．已知0,0,1≠>=+x y y x ，则1||||21++y x x 的最小值为二、解答题15．（本题满分14分）已知2tan ),,2(-=∈αππα（1）求)4sin(απ+的值； （2）求)232cos(απ-的值 16．（本题满分14分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，AD PD =，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD 交PD 于点E. （1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）若O BD AC =⋂，证明//FO 平面AED17．（本题满分15分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，短轴上端点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点A ，连接AO 并延长交椭圆于点D ，过O F 、、B 三点的圆的圆心为C（1）若C 的坐标为）（1,1-，求椭圆方程和圆C 的方程； （2）若AD 为圆C 的切线，求椭圆的离心率18．为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2米，内部划分为不同区域种植不同花草 如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB 的顶点O 为圆心，A在圆周上，B 在半径OQ 上，设计要求 120=∠ABO（1）请设置一个变量x ，写出该蝶形区域的面积S 关于x 的函数表达式；（2）x 为多少时，该蝶形区域面积S 最大？ P O B QA19．（本题满分16分）设数列}{n a 的前n 项和为n S（1）若数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，求常数t m ,的值，使t ma S n n +=对一切大于零的自然数n 都成立（2）若数列}{n a 是首项为1a ，公差0≠d 的等差数列，证明：存在常数b t m ,,使得b ta ma S n n n ++=2对一切大于零的自然数n 都成立，且21=t （3）若数列}{n a 满足b ta ma S n n n ++=2，+∈N n ，b t m 、、（0≠m ）为常数，且0≠n S ，证明：当21=t 时，数列}{n a 为等差数列 20．（本题满分16分）已知函数x e e x f x x 2)(--=-，R x ∈（1）证明)(x f 为奇函数，并在R 上为增函数；（2）若关于x 的不等式322)(-+-≤m x mex f x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围（3）设)(4)2()(x bf x f x g -=，当0>x 时，0)(>x g ，求b 的最大值参考答案1．1>a【解析】试题分析：当1a ≤时，{|1}AB x x x a R =><≠或，当1a >时，A B R =考点：集合运算2．3-【解析】试题分析：2(12)14433z i i i i i =-+=--+=--，所以实部为3- 考点：复数运算3．60【解析】 试题分析：应从一年级本科生中抽取4300604556⨯=+++名学生．考点：分层抽样 4．31【解析】试题分析：从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，6种取法，其中所取两个数的和为5的有(1,4),(2,3),2种取法，所以概率为21=63 考点：古典概型概率5．6x π=-【解析】试题分析：由2=+()62x k k Z πππ-∈得对称轴的方程为=+()32k x k Z ππ∈，其中离坐标原点最近的为6x π=-考点：三角函数对称轴6．9【解析】试题分析：第一次循环：1lg ,33S i ==；第二次循环：131lg +lg lg ,5355S i ===；第三次循环：151lg +lg lg ,7577S i ===；第四次循环：171lg +lg lg ,9799S i ===；第二次循环：191lg +lg lg 1,91111S ==<-输出9i =.考点：循环结构流程图7．4【解析】试题分析：由题意得：42511334215151512()146222a a q q q q a a a a q q q --+=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒=--或舍考点：等比数列8．【解析】试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rl r l r ππ==，h =，所以圆柱的侧面积22S rl r π==，其底面积为2r π，所以圆柱的侧面积是底面积的.考点：旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.9．2【解析】试题分析：圆心到直线距离为d ==2.= 考点：直线与圆位置关系10．2【解析】 试题分析：22sin ()11x x x f x x +=++，所以22sin ()()11x x x g x f x x +=-=+为奇函数，其取值范围为[1,1]m M --，因此(1)12m M M m --=-⇒+=考点：奇函数性质11．2【解析】试题分析：因为22y a x '=-，所以21,1a a -=-=，从而23,14m a b m =+==+=，2.a b m +-= 考点：导数几何意义12．0【解析】试题分析：因为+2,,PB PC PD PB PC CB =-=所以2244,PB PC PD CB ⋅=-同理2244,AB AC AD CB ⋅=-从而222244443410.AB AC PB PC AD PD AB AC PB PC AD PD ⋅-⋅=-⇒⋅=⋅+-=-+-=考点：向量数量积13．1->a【解析】试题分析：由题意得：min (),(0)x a x e x ->->，由于函数x y x e -=-单调递增，所以011x x e -->-=-，因此1a >-考点：不等式恒成立14．43【解析】试题分析：1||||2||1312||12||24||24||444x x y x x y x x x x y x y x x y x x x +++=+=++≥=-=+++-，当且仅当0,22,1x x y x x y <+=-+=即2,3x y =-=时取等号考点：基本不等式求最值15．（12）【解析】试题分析：（1）给值求值问题，首先要分析角之间关系，本题可化为同角，即απαπαπsin 4cos cos 4sin )4sin(+=+，因此只需由2tan ),,2(-=∈αππα根据同角三角函数关系求出：552sin =α，55cos -=α，代入即得)4sin(απ+10101=（2）本题为二倍角关系，可利用二倍角的正余弦公式进行求解：==αααcos sin 22sin 54-，53sin cos 2cos 22-=-=ααα 103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ试题解析：解：（1）由2tan ),,2(-=∈αππα 得552sin =α，55cos -=α 4分，每个数据2分 απαπαπsin 4cos cos 4sin )4sin(+=+ 公式2分 10101= 结论2分（2）==αααcos sin 22sin 54- 2分，公式和结论各1分 53sin cos 2cos 22-=-=ααα 2分，也可以用平方关系方法得到103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ考点：给值求值16．（1）详见解析，（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用其判定定理，即证线线垂直：由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥由,,AD PD AD DC PD DC C ⊥⊥=,PD DC PDC ⊂面⊥⇒AD 平面PDC ，CF PDC ⊂面CF AD ⊥⇒由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥ ,,,AF CF ADF ⊂面⊥⇒CF 平面ADF （2）证明线面平行一般利用其判定定理，即证线线平行：因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点，从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED试题解析：（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥（1分）由C DC AD DC AD PD AD =⊥⊥ ,,⊥⇒AD 平面PDC（3分，少一个条件扣一分）CF AD ⊥⇒（1分）由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥ ,,⊥⇒CF 平面ADF （2分）（2）因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点 从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED ，本小题方法较多，关键采分点是证明线面平行的相关要素 考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理17．（1）椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆方程及圆方程，一般利用待定系数法求解：因为三角形BFO 为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF 中点C ，由C 点坐标为)1,1(-得，2,2==c b ，所以222c b a +=8=，圆半径2==CO r ，所以椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x（2）圆的切线问题一般转化为圆心到切线距离等于半径，本题由于切点为O ，所以转化为AO CO ⊥，先由直线BF 方程与椭圆方程求出A 点坐标),)(2(2232222c a b c a c c a A +-+-，再代入AO CO ⊥得：2242c a b =22221b a c e e ⇒=⇒-=⇒-=⇒=试题解析：（1）因为三角形BFO 为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF 中点C ，由C 点坐标为)1,1(-得，2,2==c b ，所以222c b a +=8=， 圆半径2==CO r ，所以 椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x （4分，每个方程2分） （2）由AD 与圆C 相切，得 CO AD ⊥BF 方程为b x c b y +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12222b y a x b x c b y 得),)(2(2232222c a b c a c c a A +-+- （6分，每个坐标3分）0OA OC ⋅=得2242c a b =，222222)(c a c a =- 044224=+-c c a a，e = （5分）考点：椭圆方程，圆方程，椭圆离心率18．（1）)sin S x x=-（2） 30=x【解析】 试题分析：（1）由于蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，所以其面积为一个三角形AOB 面积的四倍，表示三角形AOB 面积应设角为自变量，即设x AOB =∠，在三角形AOB 中，由正弦定理得231120sin )60sin(sin ==-= AO x OB x AB ，xx x OB OA S S AOB sin )60sin(34sin 24-=•==∆ ，其定义域为(0,)3x π∈（2）求三角函数最值，先将其化为基本三角函数,这要利用两角差的正弦公式，二倍角公式及配角公式：211cos 211)sin cos sin )2)(sin(2))24264x S x x x x x x x π-=-=-=-=+-，从而30=x 时，蝶形区域面积最大试题解析：（1）设x AOB =∠，在三角形AOB 中，由正弦定理得231120sin )60sin(sin ==-= AO x OB x AB42sin )sinAOB S S OA OB x x x ∆==⋅=-（7分） （2）211cos 211)sin cos sin )2)(sin(2))24264x S x x x x x x x π-=-=-=-=+-整理得+)6S x π（整理过程和结论共6分，过程4分，结论2分）所以30=x 时，蝶形区域面积最大（2分）注：本题也可以用余弦定理和基本不等式解答，参照得分 考点：函数解析式，正弦定理，三角函数最值 19．（1）1,2-==t m （2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）恒等式问题，可列方程组求解，也可用对应项系数相等求解：由等比数列和项公式12212111-=--=--=n nn n a a q qa a S 所以 1,2-==t m （2）同上，利用列方程组求解，也可用对应项系数相等求解：在等差数列}{n a 中，d n a a n )1(1-+=，所以11+-=d a a n n1111111(1)(1)(1)()22n n n n a a a a a a S na n n d a d d d d ---=+-=+++2211112222n n a a a a d d =++- 所以存在d m 21=，21=d ，d a a b 22211-=使得命题成立（3）先由和项与通项关系求数列递推关系，进而利用定义证明数列为等差数列：由题知)2()(21)(1212≥=-+-=----n a a a a a m S S n n n n n i n n0)(21)(1212=+----n n n n a a a a m ，0]21)()[(11=--+--n n n n a a m a a若,01=+-n n a a 则02=S ，与题设矛盾，所以21)(1=--n n a a m ，0≠m ，得m a a n n 211=--所以 数列}{n a 为等差数列试题解析：（1）12212111-=--=--=n nn n a a q qa a S所以 1,2-==t m （4分）（2）在等差数列}{n a 中，d n a a n )1(1-+=，所以11+-=d a a n nd a a a a dd da a d a a a d a a d n n na S n n n n n n 222121))(1(21)1()1(21211211111-++=-+-++-=-+=所以存在d m 21=，21=d ，d a a b 22211-=使得命题成立（6分） （3）由题知 )2()(21)(1212≥=-+-=----n a a a a a m S S n n n n n i n n 0)(21)(1212=+----n n n n a a a a m]21)()[(11=--+--n n n n a a m a a若,01=+-n n a a 则02=S ，与题设矛盾所以21)(1=--n n a a m ，0≠m ，得m a a n n 211=--所以 数列}{n a 为等差数列（6分） 考点：恒等式问题，等差数列定义20．（1）详见解析（2）43211++≥m （3）2【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-进行证明：R x ∈，()2()x x f x e e x f x --=-+=-，所以)(x f 为奇函数，利用导数证明其单调性：因为/1()20x x f x e e =+-≥在R 上恒成立，所以)(x f 在R 上为增函数（2）解决不等式恒成立问题，先化简不等式：由322)(-+-≤m x me x f x变形得x xx e e e m 2112+-+≥，再求对应函数最值：2112xxx e y e e -=++，令10xt e =-> 得21113434t y t t t t =+=+++++1≤当且仅当t =43211++≥m （3）本题若用变量分离，则研究的函数较复杂，不易求出其最值，因此从原函数出发为宜：g （x ）＝f （2x ）－4bf （x ）＝e 2x－e－2x－4b （e x －e －x ）＋（8b －4）x ，g ′（x ）＝2[e 2x ＋e－2x－2b （e x ＋e －x）＋（4b －2）]＝2（e x＋e －x－2）（e x＋e －x－2b ＋2）．当b≤2时，g′（x ）≥0，g （x ）在（－∞，＋∞）上单调递增．而g （0）＝0，所以对任意x>0，g （x ）>0. 当b>2时，存在函数值小于g （0）＝0，不满足，所以b 的最大值为2.试题解析：（1）R x ∈，()2()x xf x e e x f x --=-+=-，所以)(x f 为奇函数（2分）不写定义域扣1分 /1()20x x f x e e =+-≥在R 上恒成立，所以)(x f 在R 上增（2分）（2）由322)(-+-≤m x me x f x 变形得x xx e e e m 2112+-+≥令1-=xe t 得43113412+++=+++≥t t t t tm得43211++≥m （本小题共6分）（3）g （x ）＝f （2x ）－4bf （x ）＝e 2x－e －2x－4b （e x －e －x）＋（8b －4）x ，g ′（x ）＝2[e 2x＋e－2x－2b （e x＋e －x）＋（4b －2）]＝2（e x＋e －x－2）（e x＋e －x－2b ＋2）．（i ）当b≤2时，g′（x ）≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g （x ）在（－∞，＋∞）上单调递增．而g （0）＝0，所以对任意x>0，g （x ）>0.（ii ）当b>2时，若x 满足2<e x＋e －x<2b －2，即0<x<ln （b －1）时，g′（x ）<0.而g （0）＝0，因此当0<x<ln （b －1）时，g （x ）<0. 综上，b 的最大值为2.考点：函数奇偶性，利用导数求函数单调性，利用导数求函数最值。
2020-2021学年江苏淮安高三上数学期中试卷
已知函数 ， .
求函数 的值域；
设 ， ， ，求函数 的最小值 ；
对 中的 ，若不等式 对于任意的 时恒成立，求实数 的取值范围．
若点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，求 的值；
若 ，求 的取值范围．
因疫情影响，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为 元．售价为 元，月销售 万只．
据市场调查，若售价每提高 元，月销售量将相应减少 万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润 月销售总收入 月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？
5.函数 的部分图象如图所示，则 的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
7.若 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， ，若 ， ，则
A. B. C. D.
向明的月响分其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、多选题
【答案】
此题暂无答案
【考点】
复合命题常育真假判断
必要条水表综分条近与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
命题的真三判断州应用
基来雨等式
基本常等式簧最母问赤中的应用
【解析】
此题暂无解析
淮阴中学2021届上学期数学练习题1答案
A.
f
x
x2
1 x2
1
B.f(x)=cosx+
cos
x
0
x
2
C. f x x2 4
x2 3
D.
f
x
3x
4 3x
2
12.德国著名数学家狄利克雷( Dirichlet,l805-1895)在数学领域成就显著.19 世纪,狄利克雷定义了
0, x Q 一个“奇怪的函数”y=f(x) 1, x CRQ ，其中 R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数 f(x)有如
f( log2 a )<f(2),则 a 的取值范围是（ C ）
A.
0,
1 4
B.
1 4
,
C.
1 4
,
4
D.(4,+∞)
8.已知函数
f
x
ex ,
x
0
, g(x)=f(x)+x+a,若 g(x)存在 2 个零点,则 a 的取值范围是（ C ）
ln x, x 0
A.[-1,0) B.[0，+∞） C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 9.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大．于．6． 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为（ B ）
2, x 1 解：（1）当 a=1 时, f(x)=|x+1|-|x-1|= 2x, 1 x 1 ，
2, x 1
1°当 x≥1 时，f(x)=2>1 成立；
2°当-1≤x≤1 时，由 f(x)=2x>1 得 x 1 ； 2
江苏省淮安市淮阴中学、姜堰中学2020-2021学年高三下学期4月阶段测试数学试题
江苏省淮安市淮阴中学、姜堰中学2020-2021学年高三下学期4月阶段测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}0,1,1A =-，{}210B x x =-≥，则A B =______.2．已知复数z 满足32z i i ⋅=-，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是______.3．已知角510︒的终边经过点()P a ，则实数a 的值是______.4．如图所示的流程图，输出的n = .5．已知函数()()3sin f x x a x =+为偶函数，则实数a 的值是______.6．现有5根铁丝，长度(单位：cm )分别为2.1，2.2，2.4，2.5，2.7，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是______.7．已知单位向量a ，b 的夹角为120，则||2a b -的值是________．8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，AB =14AA =，若点P 从点A 出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱11A B 运动到点1C ，则点P 运动的最短路程为______.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4226a a -=，则11S 的值=______. 10．已知函数()1a f x x =-(0a >)，()()31g x x =-，若()f x 与()g x 的图像交于A ､B 两个不同的点，点P 在圆C ：()2211x y +-=上运动，则PA PB +的取值范围是______.11．如图，由一个正方形ABCD 与正三角形BDE (点E 在BD 下方)组成一个“风筝骨架”，O 为正方形ABCD 的中心，点P 是“风筝骨架”上一点，设OP mOA nOB =+(m ，n R ∈)，则m n +的最大值是______.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A ､B 两点，满足2AF BF=，则椭圆C 离心率的最小值是______. 13．已知函数()()12log 1,1211,x x t f x x t x a⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪--+<≤⎩，若存在实数t ，使()f x 的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是______.14．对任意x ∈R ，不等式()()442223x x x x a b --+++≤恒成立，则+ab 的最大值是______.二、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2 cos3A=，sin B C=.(1)求tanC的值；(2)若a，求△ABC的面积．16．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)点F在BE上．若DE∥平面ACF，求BFBE的值．17．某工厂C发生爆炸出现毒气泄漏，已知毒气以圆形向外扩散，且半径以每分钟1km 的速度增大. 一所学校A，位于工厂C南偏西45︒，且与工厂相距5km.消防站B位于学校A的正东方向，且位于工厂C南偏东60︒，的速度沿直线BC 赶往工厂C救援，同时学校组织学生P从A处沿着南偏东75︒的道路，以每分钟kma的速度进行安全疏散(与爆炸的时间差忽略不计).要想在消防员赶往工厂的时间内(包括消防员到达工厂的时刻)，保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么要求？18．如图所示，已知椭圆：22221x ya b+=(0a b>>)的离心率为12，右准线方程是直线l：4x=，点P为直线l上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线PA､PB，切点分别为A､B(点A在x轴上方，点B在x轴下方).（1）求椭圆的标准方程；（2）①求证：分别以PA ､PB 为直径的两圆都恒过定点C ； ②若12AC CB =，求直线PC 的方程. 19．设函数()22ln f x x a x =+，(a R ∈).（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x m =+，求实数a ､m 的值； （2）关于x 的方程()2cos 5f x x +=能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 20．若无穷数列{}n a 满足：0n a >，且对任意s k l n <<<，s n k l +≥+(s ，k ，l ，n *∈N )都有s n k l a a a a +≥+，则称数列{}n a 为“T ”数列.（1）证明：正项无穷等差数列{}n a 是“T ”数列；（2）记正项等比数列{}n b 的前n 项之和为n S ，若数列{}n S 是“T ”数列，求数列{}n b 公比的取值范围；（3）若数列{}n c 是“T ”数列，且数列{}n c 的前n 项之和n T 满足12n n T c c n +≥，求证：数列{}n c 是等差数列.参考答案1．{}1,1-【分析】计算(][),11,B =-∞-+∞，再计算交集得到答案.【详解】 {}(][)210,11,B x x =-≥=-∞-⋃+∞，故A B ={}1,1-.故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2．23i -+【分析】化简得到23z i =--，再计算共轭复数得到答案.【详解】 32z i i ⋅=-，则()()323223i z i i i i-==--=--，故23z i =-+. 故答案为：23i -+.【点睛】 本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.3．1【分析】直接根据诱导公式和三角函数定义计算得到答案.【详解】根据题意：()tan 510tan 54030tan 30︒=︒-︒=-︒==，故1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 4．4【解析】试题分析：第一次循环：1,1,n S ==第二次循环：2,4,n S ==第三次循环：3,9,n S ==第四次循环：4,1616,n S ==≥结束循环，输出.4=n考点：循环结构流程图5．0【分析】直接根据偶函数得到()()f x f x -=，代入计算得到答案.【详解】()()3sin f x x a x =+，则()()()3sin 3sin f x x a x ax x x f x -=--=-+=，故0a =. 故答案为：0.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.6．310【分析】5根铁丝随机抽取两根铁丝，共有2510C =种抽法，长度恰好相差0.3cm 有3种，得到概率.【详解】5根铁丝随机抽取两根铁丝，共有2510C =种抽法，长度恰好相差0.3cm 有()2.1,2.4，()2.2,2.5，()2.4,2.73种，故310p =. 故答案为：310. 【点睛】本题考查了古典概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.7【分析】直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．【详解】解：单位向量a b ，的夹角为120°，则221244142a b a a b b -=-⋅+=+⨯=【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．8【分析】如图所示：将111A B C 翻折到与11ABA B 共面，故点P 运动的最短路程为1AC ，计算得到答案.【详解】如图所示：将111A B C 翻折到与11ABA B 共面，故点P 运动的最短路程为1AC .在11AA C ∆中，2221111111112cos 31AC AA A C AA A C AA C =+-⋅∠=，故1AC =【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离，余弦定理，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．66【分析】化简得到1656a d a +==，计算11611S a =得到答案.【详解】4226a a -=，则()()11236a d a d +-+=，即1656a d a +==，()1111161111662a a S a +⨯===.故答案为：66.【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生的计算能力和对于数列公式的灵活运用.10．2⎡⎤⎣⎦【分析】计算341A a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，341B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()cos ,1sin p θθ+，计算8PA PB +=. 【详解】()()()311a f x g x x x ===--，故1x =±341A a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，341B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设()cos ,1sin p θθ+，故33441cos ,1sin 1cos ,1sin A PB a a P θθθθ⎛+---⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝-()22cos ,22sin θθ=---=[]sin 1,14πθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故22PA PB +∈⎡⎤⎣⎦.故答案为： 2⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了向量模的范围问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.11【分析】，DE ：1y x =+，计算13m n x x ⎛⎫+=-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】，则()1,0A -，()0,1B -，当P 在DE 上时，DE ：13y x =+，x ⎡⎤∈⎣⎦，故设,13P x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，故()3,1,3OP x x mOA nOB m n ⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，故13m n x x ⎛⎫+=-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭，当x =同理可得P 在其他“风筝骨架”的最值，比较知当P 与E 点重合时m n +【点睛】本题考查了向量运算，意在考查学生的计算能力，建立直角坐标系是解题的关键. 12．13【分析】如图：过点A 作AM ⊥准线于M ，BN ⊥准线于N ，AB 交准线于Q ，准线交x 轴于G ，计算2232a a AM c a c c ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】如图：过点A 作AM ⊥准线于M ，BN ⊥准线于N ，AB 交准线于Q ，准线交x 轴于G . 2AF BF=，则2AM BN =，故AB BQ =， 故46GF QF AM AQ ==，223322a a AM GF c a c c ⎛⎫==-≤+ ⎪⎝⎭，即2132e e ≤+，解得13e ≥. 当A 取右顶点，B 取左顶点时等号成立. 故答案为：13.【点睛】本题考查了椭圆离心率的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13．1,22⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据()1f a ≥-，()1f t ≤解得02a ≤≤，12t ≤，讨论102a ≤≤和122a <≤两种情况，计算最值得到答案. 【详解】根据题意知()2111f a a =--+≥-，解得02a ≤≤，()()12log 11f t t =-+≤，解得12t ≤；当102a ≤≤时，()f x 在[]1,t -上的最大值为()1f t <，在(],t a 上的最大值为()210f a a =-≤，不成立；当122a <≤时，取12t =，故()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-，在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上的满足[]121101,12--+=∈-，[]211111,1--+=∈-， []2111,1a --+∈-，故满足条件；综上所述：1,22a ⎛⎤∈⎥⎝⎦.故答案为：1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了根据值域求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．34【分析】设22x x t -+=，则2t ≥，()2223f t at bt a =+--，计算(10f ≤得到34a b +≤，再验证等号成立得到答案. 【详解】设22x x t -+=，则2t ≥，()()442223x xxx a b --+++≤，即()2223a t bt -+≤恒成立，设()2223f t at bt a =+--，则((()1230f a b +=++-≤，解得34a b +≤. 现在验证，存在,a b使等号成立，1a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，则a b ==， 此时()23342f t t +=-，对称轴为1t =+()(max 10f x f =+=. 满足条件，故+a b.. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 15．【解析】解：(1)∵0<A<π，cosA ＝23，∴sinA＝sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＋23sinC ，∴tanC(2)由tanC sinC，cosC于是sinB由a 及正弦定理sin aA＝sin C ，得c ，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12acsinB ．16．(1)见解析 (2)12【解析】(1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC. 因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE.因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB.因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB∩BE ＝B ， 所以CE ⊥平面ABE.因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE. (2)解 连接BD 交AC 于点O ，连接OF.因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF∩平面BDE ＝OF ， 所以DE ∥OF.又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点， 所以F 为BE 中点，即＝12. 17．学生撤离的速度至少要是每分钟1km 【分析】因为安全撤离，所以PC t >在[]0,5t ∈上恒成立，设学生速度为a ，故()()2215250f t a t at =--+>恒成立，讨论a 的范围，计算得到答案.【详解】因为安全撤离，所以PC t >在[]0,5t ∈上恒成立，设学生速度为a ，2222222cos 255PC AC AP AC AP CAP a t at t =+-⋅∠=+->在[]0,5t ∈上恒成立，所以()()2215250f t a t at =--+>1°1a =时，()5250f t t =-+>在[]0,5t ∈上恒成立，所以1a =符合题意；2°01a <<时，()f t 的最小值只可能在端点处取得，所以只要()00f >且()50f >， 解得0a <或1a >，舍去； 3°1a >时，（1）当()25521aa ≥-即114a <<时，()f t 的最小值为()50f >，得0a <或0a <，所以114a +<<；（2）当()25521aa <-即a >时，∆<0得a >>，所以a >. 综上，1a ≥即学生撤离的速度至少要是每分钟1km . 【点睛】本题考查了余弦定理，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．（1）22143x y +=.（2）①答案见解析：②55y x =-+【分析】（1）计算得到2a =，1c =得到答案. （2）计算切线AP ：00143x x y y+=，得到P 坐标，得到AP 为直径的圆的圆方程，取0y =计算得到答案；设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0C ，解得AP 坐标，得到直线方程. 【详解】（1）12c e a ==，准线24a x c==，解得2a =，1c =，故b =故椭圆方程为：22143x y +=.（2）①设切点()00,A x y ，当0y >时，y =，3'x y -=故0034x k y -=，则切线AP ：00143x x y y+=，所以点()00314,x P y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 以AP 为直径的圆：()()()()00003140x x x x y y y y -⎛⎫--+--=⎪⎝⎭， 由对称性可知定点在x 轴上，令0y =得()200430x x x x -+++=，过定点()1,0C ，同理，以BP 为直径的圆过定点()1,0C ，得证.②设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0C ，因为12AC CB =，所以2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩，又因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以7,48A ⎛ ⎝⎭，4,5P ⎛- ⎝⎭， 所以直线PC的方程为y x =+【点睛】本题考查了椭圆方程，定点问题，直线和椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．（1）2a =-，0m =.（2）不可能有三个不同的实根，证明见解析. （3）12a ≤ 【分析】（1）求导根据导数等于斜率，过点()()1,1f 计算得到答案.（2）讨论0a <，0a ≥得到()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，得到答案. （3）不等式等价于()()224ln 421ln 21x a x x a x ->---，令()4ln h t t a t =-，则()()221h x h x >-，根据单调性得到答案.【详解】（1）()22ln f x x a x =+，则()'4af x x x=+，故()'12f =，()122f m ==+， 解得2a =-，0m =.（2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令()()2cos g x f x x =+，如果()5g x =有三个不同的实根，则()g x 至少要有三个单调区间，则()0g x '=至少两个不等实根，所以只要证明()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，()42sin ag x x x x'=+-，()242cos a g x x x x ''=--，1°当0a <时，42cos 0x ->，20ax->，∴()0g x ''>，∴()g x '在()0,∞+单调递增，∴()0g x '=在()0,∞+至多1个实根；2°当0a ≥时，()42sin 42cos 0x x x '-=->，∴42sin y x x =-在()0,∞+单调递增， ∴42sin 0y x x =->，又因为0a ≥时0a x ≥，∴()42sin 0ag x x x x'=+->， ∴()0g x '=在()0,∞+没有实根综合1°2°可知，()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，所以得证.（3）∵()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，且()22ln f x x a x =+，∴()2484ln 212ln x x a x a x -++->对任意[)2,x ∈+∞恒成立，∴()()224ln 421ln 21x a x x a x ->---对任意[)2,x ∈+∞恒成立，令()4ln h t t a t =-， 则()()221h xh x >-对任意[)2,x ∈+∞恒成立，∵[)2,x ∈+∞时221x x >-，且()()221h xh x >-，[)24,x ∈+∞，[)213,x -∈+∞∴()4ln h t t a t =-在[)3,t ∞∈+单调递增∴()40ah t t'=-≥在[)3,t ∞∈+恒成立， ∴12a ≤. 【点睛】本题考查了切线问题，方程解的个数问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20．（1）答案见解析.（2）1q ≥.（3）答案见解析 【分析】（1）()s n k l a a a a s n k l d +--=+--，根据题意得到s n k l a a a a +≥+，得到证明. （2）讨论1q =，1q >，01q <<三种情况，1q >时，计算0s n k l S S S S +-->，01q <<时，计算0s n k l S S S S +--<，得到答案. （3）计算得到12n n T c c n +≤，根据题意得到12n nT c c n +=，利用退项相减得到122n n n a a a ++=+，得到证明.【详解】（1）()s n k l a a a a s n k l d +--=+--，因为正项无穷等差数列{}n a ，所以0d >，且s n k l +≥+，所以s n k l a a a a +≥+， 所以正项无穷等差数列{}n a 是“T ”数列.（2）1°1q =时()10s n k l S S S S s n k l a +--=+--≥成立，所以1q =； 2°1q >时()()11111k l n s s k s l s n s s n k l a aS S S S q q q q q q q q q q---+--=+--=+----， 因为s n k l +≥+，所以n k l s ≥+-，又因为1q >，所以2n sk l s k s l s q q q q -+---≥=⋅，所以()()11110k sl s n s k s l s k s l s k s l s qq q q q q q q q ---------+--≤+-⋅-=--<，所以()1101s k sl s n s s n k l a S S S S q q q q q---+--=+-->-，所以1q >. 3°01q <<时，()()11111k l n sn k n l n s n s n k l a a S S S S q q q q q q q q q q---+--=+--=+---- 1111111n k n n sn a q q q q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为s n k l +≥+，所以n k l s ≥+-，又因为01q <<，所以111n sk sl sq q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111111111n kn ln ss ks lk sl sq q q q q q q -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--≤⋅+-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110k s l s q q --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 所以1111101n s n kn ln s n k l a S S S S q q q q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+--=+--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭舍去， 综上：1q ≥ （3）12n n T c c c =+++，11n n n T c c c -=+++，所以()()()12112n n n n T c c c c c c -=++++++，数列{}n c 是“T ”数列，故211n n c c c c -+≤+，321n n c c c c -+≤+，…，11n n c c c c +≤+， 所以()122n T n c c ≤+，所以12n n T c c n +≤，又因为12n n T c c n +≥，所以12n nT c c n +=， 即()12n n T n c c =+，()()11121n n T n c c ++=++，相减得到()111n n na n a a +=-+， 故()1211n n n a na a +++=+，相减得到122n n n a a a ++=+，故数列{}n c 是等差数列. 【点睛】本题考查了数列的新定义，证明等差数列，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用能力.。
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淮阴中学2020/2021学年度高三第一学期期中考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１.已知集合M ={x||2x +1|>3},N ={x|x 2+x −6≤0}，则M ∩N 等于（ ） A ．(−3,−2]∪[1,2]B ．(−3,−2)∪(1,+∞)C ．[−3,−2)∪(1,2]D ．(−∞,−3)∪(1,2]2．已知向量a →=(1,2),a →⋅b →=5,|a →−b →|=2√5，则|b →|等于 （ ） A ．√5 B ．2√5C ．25D ．5３．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，则从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A ．1+√3B ．2+√10C ．3√2D ．2√3４.已知函数f(x)={x 2+2x −1,x ≥0x 2−2x −1,x <0，则对任意x 1,x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是 （ ）A. f(x 1)+f(x 2)<0B. f(x 1)+f(x 2)>0C. f(x 1)−f(x 2)>0D. f(x 1)−f(x 2)<0５．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则|a +b +c | 等于 （ ）A ．√3B ．6C ．√3或6D ．3或6６．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =1，BF =12，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P −DEF 的体积是A ．13 B ．√56C ．2√39D ．√23 ７.函数−2+i 的零点所在的区间为 ( )A ．2+iB ．(1+2iC ．1−2iD ．(12,34)８.设点P 是椭圆x 29+y 25=1上的一点，点M 、N 分别是两圆：(x +2)2+y 2=1和(x −2)2+y 2=1上的点，则的最小值、最大值分别为 ( )A. 4，8B.2，6 C) 6，8 D.8，12二、多项选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得５分，部分选对的得３分，有选错的得０分） ９.若函数f(x)具有性质:,则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数: 其中,满足“倒负”变换的所有函数的选项是 ( )A.(a>0且a ≠1); B.(a>0且a ≠1);C.;D..10.定义在R 上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断: 其中正确的选项是 ( )A ．关于直线对称； B ．是[0，1]上是增函数；Ｃ．在[1，2]上是减函数； Ｄ．．11．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：A ．B ．C ．D ．，其中正确的选项是 ( )（A ）（1）（2） （B ）（1）（3） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）12.如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，若AB =BC ，E ，F 分别是AB 1，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为45°D. EF//平面A 1B 1C 1D 1三、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共２0分，请将答案填在题中横线上1３．已知{x ≥1x −y +1≤02x −y −2≤0则x 2+y 2的最小值是______．14．已知F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .15．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有16．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 cm 2.四、解答题：本大题共６个小题 共70分17． 设条件：实数满x 2—4ax+3a 2<0(a>0)条件：实数满足;已知q 是p 的必要不充分条件，求实数的取值范围。
18已知向量a =(sin ωx,cos ωx ),b =(cos ωx,√3cos ωx)（ω＞0），函数f (x )=a →⋅b →−√32的最小正周期为π。
（I ）求函数f (x )的单调增区间；（II ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且满足b 2+c 2=a 2+√3bc,求f (A )的值。
19.某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =18km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y ，（1）设∠PBO =α，把y 表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？20. 已知四棱锥P−ABCD底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB，BC的中点，（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．（Ⅲ）若PB与平面ABCD所成的角为45∘，求二面角A−PD−F的余弦值．21.已知函数f(x)=x−ln x,g(x)=x+a 2x,(其中a>0).（Ⅰ）求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;（Ⅱ）若x=1是函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a的值;（Ⅲ）若对任意的x1,x2∈[1,e]，（e为自然对数的底数，e≈2.718）都有f(x1)≤g(x2)，求实数a的取值范围.22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=12，a n＋2S n S n−1＝0(n≥2)．（Ⅰ）问：数列{1S n}是否为等差数列？并证明你的结论；（Ⅱ）求S n和a n；（Ⅲ）求证：S12+S22+S32+⋅⋅⋅+S n2<12−14n．参考答案选择题答案01-05 CDCDC 06-08 BBA 09 ACD 10 AD 11 AC 12ＡＢＤ填空题答案13 5 14 9 15 28 16 100π解答题17.解：设P={x|x2−4ax+3a2<0(a>0)}，可解得：P=(a,3a)，设可解得：，∵q是的必要不充分条件∵a>0,∴a≥2。
18.解析：（I）f(x)=a⋅b−√32=sinωx cosωx+√3cos2ωx−√32=12sin2ωx+√32cos2ωx=sin(2ωx+π3)∵f(x)的最小正周期为π，且ω＞0。
∴2π2ω=π,∴ω=1,∴f(x)=sin(2x+π3).由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z得f(x)的增区间为[−512π+kπ,π12+kπ](k∈Z)（II）由b2+c2=a2+√3bc,∴b2+c2−a2=√3bc,又由cos A=b 2+c2−a22bc=√3bc2bc=√32∴在ΔABC中，A=π6∴f(A)=sin(2×π6+π3)=sin2π3=√3219、解：（1）由等腰直角三角形ABC中AB=AC=18km得： OB =OA=9√2km，又∠ABC=π4，所以0≤α≤π4.所以点P到A、B、C的距离之和为y=2PB+PA=2×9√2cosα+(9√2−9√2tanα)=9√2+9√2×2−sinαcosα故所求函数关系式为y =9√2+9√2×2−sin αcos α. (0≤α≤π4)答：变电站建于距O 点3√6km 处时，它到三个小区的距离之和最小.20. 解：（Ⅰ）证明：连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2， 又AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2， ∴DF ⊥AF ．又PA ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ， ∴DF ⊥平面PAFPF ⊂平面PAF}⇒DF ⊥PF.（Ⅱ）过点E 作EH ∥FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD 且AH ＝14A再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14A P ，∴平面EHG ∥平面PF∴EG ∥平面PF D ．从而满足AG ＝14AP 的点G 为所求．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角．又有已知得∠PBA =45∘，所以PA =AB =1，所以 A (0,0,0),B (1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)．设平面PFD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z )，由{n ⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{x +y −z =0x −y =0，令z =1，解得：x =y =12．所以n ⃗ =(12,12,1)．又因为AB ⊥平面PAD ， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAD 的法向量， 易得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 所以cos⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=12√4+4+1=√66． 由图知，所求二面角A −PD −F 的余弦值为√66．21. 解：（Ⅰ）ℎ(x)=f(x)+g(x)=x −ln x +x +a 2x 2=2x +a 2x−ln x定义域(0,+∞)∴ℎ′(x)=2−a 2x 2−1x =2x 2−x−a 2x 2，法一：令ℎ′(1)=0，解得a 2=1， 又a >0，∴a =1， 经验证a =1符合条件. 法二：令ℎ′(x)=2x 2−x−a 2x 2=0，∴2x 2−x −a 2=0，Δ=1+8a 2>1∴x 1,2=1±√1+8a 24，∵x >0，∴x =1+√1+8a 24为极值点，∴x =1+√1+8a 24=1，解得a 2=1，又a >0，∴a =1，（Ⅱ）对任意的x 1,x 2∈[1,e ]都有f(x 1)≤g(x 2)成立， 等价于对任意的x ∈[1,e ]都有fmin max 成立， 当x ∈[1,e ]，f ′(x)=1−1x =x−1x ≥0，∴f(x)在[1,e ]上单调递增， f max .g ′(x)=1−a 2x 2=(x−a)(x+a)x 2，x ∈[1,e ]，a >0 ∴（1）若0<a ≤1，g ′(x)=1−a 2x 2=x 2−a 2x 2=(x−a)(x+a)x 2≥0，g(x)=x +a 2x在[1,e ]单调递增，∴g2min ， ∴1+a 2≥e −1，解得√e −2≤a ≤1.（2）若1<a <e 当1≤x <a ，则g ′(x)=(x−a)(x+a)x 2<0 当a ≤x ≤e ，则g ′(x)=(x−a)(x+a)x 2≥0∴g(x)在1,a )递减，在[a,e ]递增，gmax min ，∴a≥e−1，又1<a<e，∴a∈(1,e)2≤0，∴g(x)在[1,e]递减，（3）当a≥e时g′(x)=(x−a)(x+a)x2g a2， a2≥−e恒成立.e max min综上所述a∈√e−2,+∞).22．。