第6章 非线性有限元法(几何非线性)
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x3
Pxi dxi
一个应变测度应该能反映出材料一段 长度发生的改变。因此，应变张量可以由 下式定义：
Pxi
x2
Pxi
x1
ds ds
2
2
dxi dxi dxidxi
提醒：由于Green应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状
态，因此该应变张量也应在初始状态下计算。
第六章 非线性有限元法（几何非线性）
几何非线性的有限元方程一 1、变形体的运动描述 般采用T.L或U.L列式法建立！
变形体上的质点的运动状态 可以随不同的坐标选取以下几 种描述方法：
1、全拉格朗日列式法（T.L列式
法—Total Lagrangian Formulation)：
tn
x3
tn+1=tn+Δtn
2、Green变形张量也可写为： 1 eij Cij ij 2 式中，Cij是Cauchy变形张量
1 ui u j uk uk ij ij 2 xj xi xi xj u j 1 uk uk 1 u i ij ij 2 x j xi 2 xi x j
ds2 ds2 dxi dxi dxidxi
dxiFki Fkj dxj dxidxi Fki Fkj ij dxidxi 2eij dxidxi
1 eij Fki Fkj ij 2
ds ds
dxi dxi dxidxi
1 uk u k eij ki kj 2 xi xj ij
1、Green应变张量
eij ij ij
为小应变张量与一个非线性二 次项之和，这意味所有大变形 分析都是非线性的。
３、应变与变形测度
由于变形梯度张量Fij中包含了刚体运动，因此不能直接用于定 义应变测度。而材料方向矢量则不包含刚体运动，因此它的平方值 可以作为衡量从某一状态到变形后状态的一个测度，定义为： 初始状态: 变形后状态：
ds2 dxidxi
ds
2
dxi dxi
Qxi dxi
xi u F ij i x j x j
1 ij
变形前面积dA’
ni(变形后面积法向矢量)
逆映射F-1ij 体积映射:
变形后面积dA
由二阶张量特性，变形梯度张量 的三个不变量为：
dV det Fij dV JdV
1 面积映射： n j dA JNi Fij dA
t0=0
P0
Pn An
Pn+1
An+1
选取t0=0时刻未变形物体的构 形A0作为参照构形进行分析。
A0
x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法—Updated Lagrangian Formulation）： 选取tn时刻的物体构形An作为参照构形。由于An随计算而变化，因 此其构形和坐标值也是变化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时增量 步的开始时刻。 3、欧拉描述法(Eulerian Formulation)： 独立变量是质点当前时刻的位置xn+1与时间tn+1。
x dxi i dxj Fij dxj xj x Fij i xj
Qxi dxi
x3
Pxi dxi
Pxi
x2
Pxi
x1
式中，Fij称为变形梯度张量。
２、变形梯度张量
由位移方程，得：
Fij xi xi ui xj xj xj
２、变形梯度张量
1、首先采用Lagrangian方法， 将一个物体的加载过程划分为 一系列平衡状态。 初始状态与变形后状态之间坐 标关系为： 位移方程
初始/未变形
x3
变形后
P’
位移u
P
x’
x1
x
xi xi ui
x2
2、然后，考虑材料方向矢量，这个矢量 描述物体内一段无限小的单元。
初始状态与变形后状态之间材料方向矢量 的关系：
I1 Fii Fij ij I 2 1 Fij Fij Fii Fjj 2 I3 det Fij J
Ni (初始面积法向矢量)
ui 或写为： Fij ij x j
映射Fij
Fij是一个二阶张量。
由于Fij表示从初始状态到变 形后状态的一个映射，其逆映射 Fij-1一定存在，即：
1 1 dxi dxi dxi Fki Fkj dx j
1 1 ij Fki Fkj dxi dxi 2 Eij dxi dxi
Eij
1 1 1 ij Fki Fkj 2
式中，eij称为Green应变张量或 Green-Lagrangian应变张量。
式中：
1 ui u j ij 2 xj xi
Cij Fki Fkj
为小变形应变张量；
ij
1 uk uk 2 xi xj
式中，Eij称为Almanshi应变张量 或Almanshi –Eular应变张量。
可以证明Green应变张量和Almanshi应变张量都是二阶对称张量。
３、应变与变形测度
2、Green – Lagrangian应变张量eij与小应变张量εij的关系
将变形梯度张量表达式代入到 Green应变张量公式中，得：
３、应变与变形测度
1、Green 应变张量
Green应变张量采用Lagrangian运 动描述方法，即按初始状态下的 构形定义应变张量。 由于大变形问题有 限元方程主要采用 ２、 Almanshi应变张量 T.L列式法或U.L列式 Almanshi 应变张量采用Eular运动 法建立，因此应在初 描述方法，即按当前状态下的构 始状态下定义应变张 形定义应变张量。 量，即采用Green应 变张量。 2 2
Pxi dxi
一个应变测度应该能反映出材料一段 长度发生的改变。因此，应变张量可以由 下式定义：
Pxi
x2
Pxi
x1
ds ds
2
2
dxi dxi dxidxi
提醒：由于Green应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状
态，因此该应变张量也应在初始状态下计算。
第六章 非线性有限元法（几何非线性）
几何非线性的有限元方程一 1、变形体的运动描述 般采用T.L或U.L列式法建立！
变形体上的质点的运动状态 可以随不同的坐标选取以下几 种描述方法：
1、全拉格朗日列式法（T.L列式
法—Total Lagrangian Formulation)：
tn
x3
tn+1=tn+Δtn
2、Green变形张量也可写为： 1 eij Cij ij 2 式中，Cij是Cauchy变形张量
1 ui u j uk uk ij ij 2 xj xi xi xj u j 1 uk uk 1 u i ij ij 2 x j xi 2 xi x j
ds2 ds2 dxi dxi dxidxi
dxiFki Fkj dxj dxidxi Fki Fkj ij dxidxi 2eij dxidxi
1 eij Fki Fkj ij 2
ds ds
dxi dxi dxidxi
1 uk u k eij ki kj 2 xi xj ij
1、Green应变张量
eij ij ij
为小应变张量与一个非线性二 次项之和，这意味所有大变形 分析都是非线性的。
３、应变与变形测度
由于变形梯度张量Fij中包含了刚体运动，因此不能直接用于定 义应变测度。而材料方向矢量则不包含刚体运动，因此它的平方值 可以作为衡量从某一状态到变形后状态的一个测度，定义为： 初始状态: 变形后状态：
ds2 dxidxi
ds
2
dxi dxi
Qxi dxi
xi u F ij i x j x j
1 ij
变形前面积dA’
ni(变形后面积法向矢量)
逆映射F-1ij 体积映射:
变形后面积dA
由二阶张量特性，变形梯度张量 的三个不变量为：
dV det Fij dV JdV
1 面积映射： n j dA JNi Fij dA
t0=0
P0
Pn An
Pn+1
An+1
选取t0=0时刻未变形物体的构 形A0作为参照构形进行分析。
A0
x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法—Updated Lagrangian Formulation）： 选取tn时刻的物体构形An作为参照构形。由于An随计算而变化，因 此其构形和坐标值也是变化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时增量 步的开始时刻。 3、欧拉描述法(Eulerian Formulation)： 独立变量是质点当前时刻的位置xn+1与时间tn+1。
x dxi i dxj Fij dxj xj x Fij i xj
Qxi dxi
x3
Pxi dxi
Pxi
x2
Pxi
x1
式中，Fij称为变形梯度张量。
２、变形梯度张量
由位移方程，得：
Fij xi xi ui xj xj xj
２、变形梯度张量
1、首先采用Lagrangian方法， 将一个物体的加载过程划分为 一系列平衡状态。 初始状态与变形后状态之间坐 标关系为： 位移方程
初始/未变形
x3
变形后
P’
位移u
P
x’
x1
x
xi xi ui
x2
2、然后，考虑材料方向矢量，这个矢量 描述物体内一段无限小的单元。
初始状态与变形后状态之间材料方向矢量 的关系：
I1 Fii Fij ij I 2 1 Fij Fij Fii Fjj 2 I3 det Fij J
Ni (初始面积法向矢量)
ui 或写为： Fij ij x j
映射Fij
Fij是一个二阶张量。
由于Fij表示从初始状态到变 形后状态的一个映射，其逆映射 Fij-1一定存在，即：
1 1 dxi dxi dxi Fki Fkj dx j
1 1 ij Fki Fkj dxi dxi 2 Eij dxi dxi
Eij
1 1 1 ij Fki Fkj 2
式中，eij称为Green应变张量或 Green-Lagrangian应变张量。
式中：
1 ui u j ij 2 xj xi
Cij Fki Fkj
为小变形应变张量；
ij
1 uk uk 2 xi xj
式中，Eij称为Almanshi应变张量 或Almanshi –Eular应变张量。
可以证明Green应变张量和Almanshi应变张量都是二阶对称张量。
３、应变与变形测度
2、Green – Lagrangian应变张量eij与小应变张量εij的关系
将变形梯度张量表达式代入到 Green应变张量公式中，得：
３、应变与变形测度
1、Green 应变张量
Green应变张量采用Lagrangian运 动描述方法，即按初始状态下的 构形定义应变张量。 由于大变形问题有 限元方程主要采用 ２、 Almanshi应变张量 T.L列式法或U.L列式 Almanshi 应变张量采用Eular运动 法建立，因此应在初 描述方法，即按当前状态下的构 始状态下定义应变张 形定义应变张量。 量，即采用Green应 变张量。 2 2