数理方程复习
数理方程与特殊函数数理方程复习
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
初三数学复习资料(方程与方程组)
初三数学复习资料（方程与方程组）知识要点1.方程：含有未知数的叫做方程2.使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.3.一元一次方程：（1）在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为()0≠a.（2）解一元一次方程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.4．二元一次方程：含有未知数（元）并且未知数的次数是的整式方程.5. 二元一次方程组：由2个或2个以上的组成的方程组叫二元一次方程组.6. 解二元一次方程的方法有消元和消元法两种.7．一元二次方程：（1）在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.（2） 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法 （2）配方法： （3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)2b x b ac a-±=-≥.（4）因式分解法 （5）换元法8．分式方程:（1）分母中含有 的方程叫分式方程.（2）解分式方程的一般步骤：（1）去分母 （2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.二．练习题1．x 的5倍比x 的2倍大12可列方程为 . 2．如果方程2130m x-+=是一元一次方程，则m =.3．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____．4． 关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.5.若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ． 6．已知2是关于x 的方程23x2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________. 7.关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23xp-=的解为_____.8．(08福建)若关于x 方程2332+-=--x mx x 无解，则m的值是 ．9. (08黄冈)分式方程3111122=---x x 的解是 ．10. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x B ．⎩⎨⎧=+=+75z y y x C ．⎩⎨⎧=-=6231y x x D ．⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x 11. 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+my x my x 932的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m=（ ） A ．2 B ．-1 C ．1 D ．-2 12.下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x2=7 x ②32y =8 ③3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0⑤2( x2+1)=10⑥24x -x-1=0A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤13.一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)后a,b,c 的值为（ ）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，414．一元二次方程2x2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 215. 以下是方程1211=--xxx 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ）A ．112=--x B.112=+-x C.xx 212=+-D.x x 212=--16．（08泰安）分式方程21124x x x -=--的解是（ ）A ．32-B ．2-C ．52- D ．3217.分式方程1421-=+-x x x 的解是（ ） A.71=x , 12=x B. 71=x ,12-=x C. 71-=x , 12-=x D. 71-=x 12=x18.不等式组2450x x >-⎧⎨-⎩≤的解集是（ ） （Ａ）2x >- （Ｂ）25x -<≤ （Ｃ）5x ≤ （Ｄ）无解19．中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息锐）．设到期后银行应向储户支付现金x 元，则所列方程正确的是（ ） （A ）50005000 3.06x -=⨯%（B ）5000205000(1 3.06)x +⨯=⨯+%%（C ）5000 3.06205000(1 3.06)x +⨯⨯=⨯+%%% （D ）5000 3.06205000 3.06x +⨯⨯=⨯%%% 三．解方程（1）()()() 3175301x x x --+=+； （2）21101136x x ++-=.（3）⎩⎨⎧=-=+1392x y y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=---=+1213343144y x y x(5) x2－5x －6＝0 ； (6) 3x2－4x －1＝0（用公式法）；(7) 4x2－8x ＋1＝0（用配方法）； （8）22)21()3(x x -=+1.若方程组{31x y x y +=-=与方程组{84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值. 2.（2008湘潭）小刚、小明一起去精品文具店买同种钢笔和同种练习本，根据下面的对话解答问题：小刚：阿姨，我买3支钢笔，2个练习本，共需多少钱？售货员：刚好19元．小明：阿姨，那我买1支钢笔，3个练习本，需多少钱呢？售货员：正好需11元．（1）求出1支钢笔和1个练习本各需多少钱？（2）小明现有20元钱，需买1支钢笔，还想买一些练习本，那么他最多可买练习本多少个？3．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．复习----------小测试1．如果1x =-是方程234x m -=的根，则m 的值是 .2．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 3．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 . 4．一元二次方程2230x x --=的根是 .5．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .6．解方程12112-=-x x 会出现的增根是（ ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=xD.2=x7．（06泸州）如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( )A ．9B ．7C ．5D ．38．（06临沂）如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（ ） A ．35=+y y x B ．31=-y x y C ．312=y xD ．4311=++y x9．（08宜宾）若分式122--x x 的值为0，则x的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D.2 10. 如果xy y xb a b a2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）A.x ＝－3，y ＝2B.x ＝2，y ＝－3C.x ＝－2，y ＝3D.x ＝3，y ＝－211.解方程（1）1233xx x=+--． （2）xx 4)1(2=+；（3）{4519323a b a b +=--=。
小学数学复习资料式与方程
小学数学复习资料式与方程(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--小学数学复习资料式与方程一、用字母表示数1 用字母表示数的意义和作用 * 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式3 用字母表示数的写法数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
4将数值代入式子求值* 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。
字母表示的是数，后面不写单位名称。
* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。
二、简易方程（一）方程和方程的解1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
方程和算术式不同。
算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。
方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。
2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
三、解方程解方程，求方程的解的过程叫做解方程。
四、列方程解应用题1、列方程解应用题的意义* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2、列方程解答应用题的步骤* 弄清题意，确定未知数并用x表示；* 找出题中的数量之间的相等关系；* 列方程，解方程；* 检查或验算，写出答案。
3、列方程解应用题的方法* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
数理方程复习要点摘要
或 或
utt a 2 uxx
utt a2 (uxx uyy )
2 2u 2u 2u 2 u a ( 2 2 2) 2 t x y z
或
utt a2 (uxx uyy uzz )
Ay ( B B 2 AC ) x C 1 Ay ( B B 2 AC ) x C2
Ay Bx C1
返回
AC B 2 x C 2
退出
a 0 双曲型(波动) 方程
2
一维 二维 三维
2u 2u a2 2 t2 x
抛物型 uxx (2u u )x 2(2u u ) (2u u ) 4 2u 4u u 2u
x2 2 y C
x 2 2 y, x
uxy (2u u )y 2(2u u ) 4u 2u uyy (2u )y 2(2u ) 4u
退出
二阶线性偏微方程的一般形式
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 2D 2E Fu f ( x, t ) x xy y x y
双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程
A B AC B 2 0 B C A B AC B 2 0 B C A B B 2 AC 0 B C
X ( x ) X ( x ) 0 X (0) X ( L) 0
n 0,1, 2, 3,
2
X ( x ) X ( x ) 0 X (0) X ( L) 0
n 1, 2, 3,
《方程的复习课》课件
二元一次方程组的应用
总结词
二元一次方程组在日常生活和科学研究中有着广泛的 应用，如路程问题、工资问题、经济问题等。
详细描述Байду номын сангаас
二元一次方程组在许多实际问题中都有应用，例如在路 程问题中，我们可以使用二元一次方程组来表示两个物 体的相对位置和速度；在工资问题中，我们可以使用二 元一次方程组来表示工人和雇主之间的利益关系；在经 济问题中，二元一次方程组可以用来描述供求关系、价 格变动等问题。此外，在物理学、化学、工程学等领域 中，二元一次方程组也经常被用来描述各种现象和规律 。
04
方程的解法技巧
消元法
总结词
通过消除两个变量，简化方程组的方 法。
详细描述
消元法是一种常用的解线性方程组的 方法，通过加减消元或代入消元的方 式，将方程组中的变量消除，从而得 到一个或多个简单的一元一次方程， 进而求解出方程组的解。
代入法
总结词
通过将一个方程的解代入另一个方程，求解 未知数的方法。
详细描述
代入法是解线性方程组的一种基本方法，通 过将一个方程的解代入另一个方程，将一个 未知数消除，从而将问题简化为一个一元一 次方程，进而求解出未知数的值。
公式法
总结词
通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解的方法。
详细描述
公式法是一种通用的解线性方程组的方法， 通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解未知数的值。这种方法 适用于任何线性方程组，但需要对方程进行
适当的变形。
图像法
总结词
通过绘制方程的图形，直观地求解未知数的方法。
详细描述
图像法是一种直观的解线性方程组的方法，通过绘制 方程的图形，可以直观地观察到方程的解。这种方法 适用于一些简单的线性方程组，但需要具备一定的几 何基础。
方程的整理与复习
整体法
总结词
通过将一个方程中的变量看作一个整体，对方程进行变换和化简，从而求解。
详细描述
整体法是一种较为高级的解二元一次方程组的方法。首先，选择一个方程中的变量看作一个整体，进 行代数变换和化简。然后，将化简后的结果代回原来的方程组中，求得变量的值。整体法可以简化计 算过程，提高解题效率，但需要较高的代数变换技巧。
方程的几何应用问题
方程的几何应用问题
这类问题通常涉及到几何图形的性质和关系，如面积、周长、角度等。解决这 类问题需要利用几何知识建立方程，然后求解方程。
例子
已知一个直角三角形两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
THANKS
感谢观看
02
一元一次方程的解法
移项与合并同类项
移项
将方程中的某项从一边移动到另一边 ，以简化方程。
合并同类项
将方程中相同或相似的项合并在一起 ，使方程更易于解决。
系数化为
01
将方程中的未知数系数化为1，从 而找到未知数的具体数值。
02
通过两边同时除以未知数的系数 来实现。
去括号与去分母
去括号
消除方程中的括号，将其中的项展开， 以简化方程。
方程的整理与复习
• 方程的概念与分类 • 一元一次方程的解法 • 二元一次方程组的解法 • 一元二次方程的解法 • 分式方程的解法 • 方程的应用题解法
01
方程的概念与分类
方程的定义
总结词
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具。
详细描述
方程是通过数学符号和等号来表 示数量之间相等或不等的关系， 通常由等号连接两个或多个数学 表达式。
方程的分类
总结词
方程可以根据不同的标准进行分类。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程总结完整版
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
数理方程-总结复习及练习要点(1)
数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。
在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。
下面是数理方程的总结复习及练习要点。
一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。
二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。
三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。
因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。
数理方程复习
J −1 / 2 ( x ) =
2 cos x πx
Ex12 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程 （不解贝塞尔方程）
1 ⎧ 2 ⎪ utt = a ( uρρ + ρ uρ ), ( t > 0,0 < ρ < 1) ⎪ ⎪ ⎨ uρ |ρ =1 = 0, u |ρ = 0 < +∞ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = 1 − ρ 2 ⎪ ⎪ ⎩
1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x −atψ (ξ )dξ 2 2a x – at < 0 1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) − ϕ (at − x )] + ∫at − xψ (ξ )dξ 2 2a 7/16
− ( 1 + iλ ) x
dx
∞ 0
1 e ( 1 − iλ ) x = 1 − iλ
1 e − ( 1 + iλ ) x − −∞ 1 + iλ
1 1 2 = + = 1 − i λ 1 + iλ 1 + λ 2
13/16
例6 用付氏变换解热传导问题
⎧ ∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), (− ∞ < x < +∞ , t > 0 ) ⎪ ∂x ⎨ ∂t ⎪u ⎩ t =0 = ϕ ( x )
∞
n≥1
6/16
达朗贝尔公式
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 ∂t 2 ∂x ∂u u t = 0 = ϕ ( x ), ∂t
华中科技大学数理方程课件——数理方程复习
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
4. 求解下列定解问题 x 0, y 0 u xy 1, u (0, y ) y 1, y 0 u ( x,0) 1, x0 解法一（积分变换法） 记 Ly [u( x, y)] U ( x, p) ，则 d d 1 x pU ( x, p) 1 1 p U ( x, p ) U ( x, p ) 2 C dx p dx p p 1 1 由于 U (0, p) Ly [ y 1] 2 ，于是 U ( x, p) x 1 1 p p p2 p2 p 从而所求解为：
n x l
n 2 n l 2 xd sin x x sin x |0 0 l n l n
l
l
0
sin
n为偶数 0, n l 2l n 2 2 cos x |0 2 2 (1) 1 4l , n为奇数 n l n n 2 2
l 4l u e 2 2 2 n1 2n 1
2hl2 2 l n Cn u ( x,0) sin xdx 2 c(l c)n 2 l 0 l
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
2. 解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为 u (0, t ) u (l , t ) u ( x,0) x, 0, 0 x x 2 u 2 u , 0 x l, t 0 a 2 x t u (l , t ) u (0, t ) 0, 0, t 0 x x 0 xl u ( x,0) x, u( x, t ) X ( x)T (t ) u (0, t ) X (0)T (t ) 0 x T X a 2TX u (l , t ) X (l )T (t ) 0 T X x 2 aT X X (0) 0, X (l ) 0
数理方程总复习 复习1(第二章分离变量法)
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐 次，转换为齐 次边界条件 定 解 问 题 选择合适 的坐标系 非齐次方程， 齐次边界条件
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程， 齐次边界条件 分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W
西安理工大学研究生数理方程课件及复习题
A 0
，即一维热传导方程
为抛物型的，类似可得弦振动方程和二维Laplace方程分别 为双曲型和椭圆型的。
3.2、两个自变量的二阶微分方程的化简 下面我们通过自变量的变换，对方程在区域 内的某点 ( x0 , y0 ) 的近旁进行化简。
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
D( , ) x 假设上述变换是二次连续可微的，且 D ( x, y ) x
其中
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) dx dx 2 x x x x x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
x l
u x
0
x l
u x (l , t ) 0
(3) 弹性支承端：在 x l 端受到弹性系数为 k 的弹簧的支承。
u T x
x l
k u x l
或
u u 0 x x l
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (l , t ) 0
(2)自由端：x l 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u T x
0
第 章 典型方程和定解条件的推导
第一章 典型方程和 定解条件
初三数学方程组复习资料
初三数学方程组复习资料初三数学方程组复习资料数学是一门需要不断练习和巩固的学科，而方程组是数学中的一个重要概念。
初三学生在学习方程组时，常常会遇到一些难题和困惑。
为了帮助同学们更好地复习和理解方程组，下面将提供一些复习资料，希望对大家有所帮助。
一、方程组的基本概念和解法1. 方程组的定义方程组是由多个方程组成的一组等式。
通常用字母表示未知数，通过求解方程组，可以找到满足所有方程的未知数的值。
2. 方程组的分类根据方程组的未知数个数和方程个数的不同，可以将方程组分为三类：一元一次方程组、二元一次方程组和三元一次方程组。
3. 一元一次方程组的解法一元一次方程组是最简单的方程组形式，可以通过消元法或代入法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数为1，然后代入另一个方程中消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
4. 二元一次方程组的解法二元一次方程组是两个未知数和两个方程构成的方程组。
可以通过消元法、代入法或加减法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
加减法则是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值。
5. 三元一次方程组的解法三元一次方程组是三个未知数和三个方程构成的方程组。
可以通过消元法、代入法或加减法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
加减法则是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值。
二、方程组的应用1. 几何问题中的方程组方程组在几何问题中有广泛的应用。
例如，通过两条直线的交点可以构成一个方程组，求解该方程组可以得到两条直线的交点坐标。
又如，在平面上给定一个点和一条直线，通过求解方程组可以判断该点是否在直线上。
数学解方程初中知识点梳理
数学解方程初中知识点梳理解方程是数学中非常重要的一部分内容，它涉及到数学中最基本的运算和推理能力。
在初中阶段，学生们开始接触和学习解线性方程、一元二次方程以及简单的一元三次方程。
本文将梳理初中数学中解方程的知识点，为学生们提供一个全面的复习和总结。
一、线性方程线性方程是解方程中最简单的一类，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
解线性方程的基本思路是通过运算将含有未知数x的项逐步移项，并最终得到x的解。
解线性方程的步骤如下：1. 将所有含有未知数x的项移至方程的左边，所有常数项移至方程的右边，使其化简为ax = -b的形式。
2. 如果方程中的a不等于零，那么可以通过除以a的操作消除x前的系数，得到x = -b/a的解。
举例说明：解方程3x - 5 = 4，首先将方程化简为3x = 4 + 5 = 9的形式，然后除以3，得到x = 9/3 = 3的解。
二、一元二次方程一元二次方程是含有未知数x的二次项的方程，一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a不等于零。
解一元二次方程的步骤如下：1. 对于方程ax² + bx + c = 0，可以先用求根公式计算判别式D = b² - 4ac的值。
如果D大于零，则方程有两个不相等的实数解；如果D等于零，则方程有两个相等的实数解；如果D小于零，则方程无实数解，但可以有虚数解。
2. 根据判别式D的值和求根公式x = (-b ± √D) / (2a)，计算方程的解。
举例说明：解方程2x² - 5x + 3 = 0，首先计算判别式D = (-5)² - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1。
因为D大于零，所以方程有两个不相等的实数解。
然后使用求根公式，得到x = (5 ± √1) / (2 * 2)，化简后可得到x = 1或x = 3/2。
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ut a uxx 0
2
X ''( x) X ( x) 0 T '(t ) a 2T (t ) 0
' a2nt
Tn (t ) Cn e
Cn e
' a 2 n 2t
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
拉普拉斯方程： 1、矩形区域：
uxx u yy 0
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数理方程
求解非齐次方程—特征函数法
2 2u u 2 0 x l, t 0 t 2 a x 2 f ( x, t ), t 0 u (0, t ) u (l , t ) 0, u ( x, 0) u ( x, 0) ( x), ( x), 0 x l t
k 0
数理方程 复数形式的傅里叶变换
F ( )
f ( x )e
i x
dx
傅里叶变换式
1 f ( x) 2
F ( )ei x d
傅里叶逆变换式
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉 斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。
2 u 0 (2n 1) x 0 2n 1 , X n ( x) A sin x, 2l 2l ux x l 0
n 0,1, 2,
ux
x 0
u x l
(2n 1) 2n 1 , X n ( x) A cos x, 2l 0 2l
l
t
na f n ( ) sin (t )d l
本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
格林函数
主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程
1、 熟记第一格林公式和第二格林公式
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
w( x, t ) A(t ) x B(t ) u x (0, t ) 1 (t ) wx (0, t ) 1 (t ) u (l , t ) 2 (t ) w(l , t ) (t ) 2
w( x, t ) A(t ) x B(t ) x u x (0, t ) 1 (t ) wx (0, t ) 1 (t ) u x (l , t ) 2 (t ) w (l , t ) (t ) 2 x
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
解题步骤: 写出定解问题 边界是否齐次
N
边界齐次化 方程非齐次项和初值条件的级 数展开
Y
写出本征值、本征函数、待求 物理量的傅立叶级数展开式
代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值 写出解的表达式和系数 南京邮电大学、应用数理系
数理方程
边界齐次化（考点）
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
1 l 1 l nx a 0 f ( x)dx ak f ( x) cos dx , l 2l l l l 1 l nx bk f ( x) sin dx l l l
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nx nx f ( x) a0 (an cos bn sin ) l l n 1
南京邮电大学、应用数理系
r 2 R '' rR ' R 0 '' 0
n n 2 , n 0,1,2,3, n An cos n Bn sin n
数理方程
2 r R '' rR ' R 0, R(0) . 若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。
将V（x,t）按W（x,t）的本征函数进行展开，如：
n 令： V vn (t )sin x l n 1 若 f ( x, t ) 表达式与x无关或可以写成关于x的正余弦 形式， f ( x, t ) 不用展开，否则， f ( x, t ) 也需要按W
的本征函数展开。
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数理方程 波动方程 (双曲型偏微分方程)
数 学 物 数学角度 理 方 程
偏微分方程
输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程)
积分方程 微分积分方程
定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和
历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解
条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理
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0
2
n 0,1, 2,
数理方程
波动方程：
utt a uxx 0
2
X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a 2T (t ) 0
Tn (t ) C 'n cos a t D 'n sin a t
热传导方程：
2
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边界条件（四种）：
X '' X 0
数理方程
2 u 0 n x 0 n x, n 1, 2, , X n ( x) A sin l l u x l 0 2 u 0 n x x 0 n x, n 0,1, 2, , X n ( x) A cos l l u 0 x x l
数理方程
将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始 条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。
'' n2 2a 2 vn ( t ) vn ( t ) f n ( t ) 2 l vn (0) 0, v 'n (0) 0
vn (t )
na 0
定解问题或简称为定解问题。 南京邮电大学、应用数理系
数理方程
三类基本方程在直角坐标系中的表示
一、 波动方程
utt a u a (uxx uyy uzz )
2 2 2
二、热传导方程
ut a u a (uxx uyy uzz )
2 2 2
三、拉普拉斯方程
2u 0 即uxx uyy uzz =0
当 =0时，R0 c0 d0 ln r,
当 =n2时, Rn cn r n dn r n
满足有界性条件 R(0) . 的通解为：
Rn cn r
n
n 0, 1, 2 ,
,
dn 0, n 0,1, 2
在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两 边的系数，达到化简叠加系数的目的.
w( x, t ) A(t ) x B (t ) u (0, t ) 1 (t ) w(0, t ) 1 (t ) u (l , t ) 2 (t ) w(l , t ) (t ) 2
w( x, t ) A(t ) x B (t ) u (0, t ) 1 (t ) w(0, t ) 1 (t ) u x (l , t ) 2 (t ) w (l , t ) (t ) 2 x
e Yn Cn
n y a
X X 0 Y Y 0
e Dn
n y a
2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r ''( ) ( ) 0, ( ) ( 2 ),
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数理方程
定解问题＝泛定方程+定解条件 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；
若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
边界条件确定本征值和本征函数 初始条件确定级数叠加系数 要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件， 如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却 等）以及初始条件的表述方法。
u t 0 ( x) u t t 0 ( x)
——达朗贝尔公式
( x )
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数理方程
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
通解的物理意义：
对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想 传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为 两个方向传播出去，波速为
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数理方程
数学物理方程的分类
1、线性二阶偏微分方程的一般形式
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f
f 0
该方程为齐次的
f 0
该方程为非齐次的
2 a12 a11a22 0
方程为双曲型 方程为抛物型 方程为椭圆型
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数理方程
二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法：
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0 x xy y x y
其特征方程为：
A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0
其特征方程的解即为特征线方程： 如
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数理方程
2 2V V 2 t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, t 0, V (0, t ) V (l , t ) 0, V ( x, 0) V ( x, 0) 0, 0 x l , t