数理方程复习
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南京邮电大学、应用数理系
r 2 R '' rR ' R 0 '' 0
n n 2 , n 0,1,2,3, n An cos n Bn sin n
数理方程
2 r R '' rR ' R 0, R(0) . 若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。
w( x, t ) A(t ) x B (t ) u (0, t ) 1 (t ) w(0, t ) 1 (t ) u (l , t ) 2 (t ) w(l , t ) (t ) 2
w( x, t ) A(t ) x B (t ) u (0, t ) 1 (t ) w(0, t ) 1 (t ) u x (l , t ) 2 (t ) w (l , t ) (t ) 2 x
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法：
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0 x xy y x y
其特征方程为：
A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0
其特征方程的解即为特征线方程： 如
2 a12 a11a22 0
2 a12 a11a22 0
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
行 波 法
一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) 1 1 x at [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x at
l
t
na f n ( ) sin (t )d l
本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
格林函数
主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程
1、 熟记第一格林公式和第二格林公式
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
解题步骤: 写出定解问题 边界是否齐次
N
边界齐次化 方程非齐次项和初值条件的级 数展开
Y
写出本征值、本征函数、待求 物理量的傅立叶级数展开式
代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值 写出解的表达式和系数 南京邮电大学、应用数理系
数理方程
边界齐次化（考点）
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
定解问题＝泛定方程+定解条件 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；
若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
边界条件确定本征值和本征函数 初始条件确定级数叠加系数 要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件， 如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却 等）以及初始条件的表述方法。
定解问题或简称为定解问题。 南京邮电大学、应用数理系
数理方程
三类基本方程在直角坐标系中的表示
一、 波动方程
utt a u a (uxx uyy uzz )
2 2 2
二、热传导方程
ut a u a (uxx uyy uzz )
2 2 2
三、拉普拉斯方程
2u 0 即uxx uyy uzz =0
u t 0 ( x) u t t 0 ( x)
——达朗贝尔公式
( x )
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
通解的物理意义：
对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想 传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为 两个方向传播出去，波速为
dy
2
2dxdy 3dx 0
2
(dy 3dx) dy dx 0 3x y C1 x y C2
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程 三、傅里叶级数
过其中每一点有两条不同的实的特征线
过其中每一点不存在实的特征线
过其中每一点有一条实的特征线
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
w( x, t ) A(t ) x B(t ) u x (0, t ) 1 (t ) wx (0, t ) 1 (t ) u (l , t ) 2 (t ) w(l , t ) (t ) 2
w( x, t ) A(t ) x B(t ) x u x (0, t ) 1 (t ) wx (0, t ) 1 (t ) u x (l , t ) 2 (t ) w (l , t ) (t ) 2 x
当 =0时，R0 c0 d0 ln r,
当 =n2时, Rn cn r n dn r n
满足有界性条件 R(0) . 的通解为：
Rn cn r
n
n 0, 1, 2 ,
,
dn 0, n 0,1, 2
在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两 边的系数，达到化简叠加系数的目的.
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
2 2V V 2 t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, t 0, V (0, t ) V (l , t ) 0, V ( x, 0) V ( x, 0) 0, 0 x l , t
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
数学物理方程的分类
1、线性二阶偏微分方程的一般形式
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f
f 0
该方程为齐次的
f 0
该方程为非齐次的
2 a12 a11a22 0
方程为双曲型 方程为抛物型 方程为椭圆型
e Yn Cn
n y a
X X 0 Y Y 0
e Dn
n y a
2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r ''( ) ( ) 0, ( ) ( 2 ),
k 0
数理方程 复数形式的傅里叶变换
F ( )
f ( x )e
i x
dx
傅里叶变换式
1 f ( x) 2
F ( )ei x d
傅里叶逆变换式
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉 斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。
南京邮电大学、应用数理系
0
2
n 0,1, 2,
数理方程
波动方程：
utt a uxx 0
2
X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a 2T (t ) 0
Tn (t ) C 'n cos a t D 'n sin a t
热传导方程：
ut a uxx 0
2
X ''( x) X ( x) 0 T '(t ) a 2T (t ) 0
' a2nt
Tn (t ) Cn e
Cn e
' a 2 n 2t
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
拉普拉斯方程： 1、矩形区域：
uxx u yy 0
1 l 1 l nx a 0 f ( x)dx ak f ( x) cos dx , l 2l l l l 1 l nx bk f ( x) sin dx l l l
南京邮电大学、应用数理系
nx nx f ( x) a0 (an cos bn sin ) l l n 1
2 u 0 (2n 1) x 0 2n 1 , X n ( x) A sin x, 2l 2l ux x l 0
n 0,1, 2,
ux
x 0
u x l
Biblioteka Baidu
(2n 1) 2n 1 , X n ( x) A cos x, 2l 0 2l
a ，也即 :
沿
f1 ( x at)
f 2 ( x at )
以速度 以速度
a
x
负方向移动的行波
a 沿 x 正方向移动的行波
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
三维达朗贝尔公式物理意义： （1）空间任一点M在任意时刻t>0的状态完全由以该点为心， at为半径的球面上 初始状态决定；（2）三维空间的局部有 界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效； （3）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。
数理方程
将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始 条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。
'' n2 2a 2 vn ( t ) vn ( t ) f n ( t ) 2 l vn (0) 0, v 'n (0) 0
vn (t )
na 0
数理方程 波动方程 (双曲型偏微分方程)
数 学 物 数学角度 理 方 程
偏微分方程
输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程)
积分方程 微分积分方程
定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和
历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解
条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
求解非齐次方程—特征函数法
2 2u u 2 0 x l, t 0 t 2 a x 2 f ( x, t ), t 0 u (0, t ) u (l , t ) 0, u ( x, 0) u ( x, 0) ( x), ( x), 0 x l t
u( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
2 2W W 2 t 2 a x 2 W (0, t ) W (l , t ) 0, W ( x, 0) W ( x, 0) ( x), ( x) t
2 2V V 2 t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, t 0, V (0, t ) V (l , t ) 0, V ( x, 0) V ( x, 0) 0, 0 x l , t
将V（x,t）按W（x,t）的本征函数进行展开，如：
n 令： V vn (t )sin x l n 1 若 f ( x, t ) 表达式与x无关或可以写成关于x的正余弦 形式， f ( x, t ) 不用展开，否则， f ( x, t ) 也需要按W
的本征函数展开。
南京邮电大学、应用数理系
2
南京邮电大学、应用数理系
边界条件（四种）：
X '' X 0
数理方程
2 u 0 n x 0 n x, n 1, 2, , X n ( x) A sin l l u x l 0 2 u 0 n x x 0 n x, n 0,1, 2, , X n ( x) A cos l l u 0 x x l
r 2 R '' rR ' R 0 '' 0
n n 2 , n 0,1,2,3, n An cos n Bn sin n
数理方程
2 r R '' rR ' R 0, R(0) . 若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。
w( x, t ) A(t ) x B (t ) u (0, t ) 1 (t ) w(0, t ) 1 (t ) u (l , t ) 2 (t ) w(l , t ) (t ) 2
w( x, t ) A(t ) x B (t ) u (0, t ) 1 (t ) w(0, t ) 1 (t ) u x (l , t ) 2 (t ) w (l , t ) (t ) 2 x
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法：
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0 x xy y x y
其特征方程为：
A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0
其特征方程的解即为特征线方程： 如
2 a12 a11a22 0
2 a12 a11a22 0
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
行 波 法
一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) 1 1 x at [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x at
l
t
na f n ( ) sin (t )d l
本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。
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数理方程
格林函数
主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程
1、 熟记第一格林公式和第二格林公式
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
解题步骤: 写出定解问题 边界是否齐次
N
边界齐次化 方程非齐次项和初值条件的级 数展开
Y
写出本征值、本征函数、待求 物理量的傅立叶级数展开式
代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值 写出解的表达式和系数 南京邮电大学、应用数理系
数理方程
边界齐次化（考点）
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
定解问题＝泛定方程+定解条件 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；
若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
边界条件确定本征值和本征函数 初始条件确定级数叠加系数 要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件， 如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却 等）以及初始条件的表述方法。
定解问题或简称为定解问题。 南京邮电大学、应用数理系
数理方程
三类基本方程在直角坐标系中的表示
一、 波动方程
utt a u a (uxx uyy uzz )
2 2 2
二、热传导方程
ut a u a (uxx uyy uzz )
2 2 2
三、拉普拉斯方程
2u 0 即uxx uyy uzz =0
u t 0 ( x) u t t 0 ( x)
——达朗贝尔公式
( x )
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
通解的物理意义：
对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想 传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为 两个方向传播出去，波速为
dy
2
2dxdy 3dx 0
2
(dy 3dx) dy dx 0 3x y C1 x y C2
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程 三、傅里叶级数
过其中每一点有两条不同的实的特征线
过其中每一点不存在实的特征线
过其中每一点有一条实的特征线
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
w( x, t ) A(t ) x B(t ) u x (0, t ) 1 (t ) wx (0, t ) 1 (t ) u (l , t ) 2 (t ) w(l , t ) (t ) 2
w( x, t ) A(t ) x B(t ) x u x (0, t ) 1 (t ) wx (0, t ) 1 (t ) u x (l , t ) 2 (t ) w (l , t ) (t ) 2 x
当 =0时，R0 c0 d0 ln r,
当 =n2时, Rn cn r n dn r n
满足有界性条件 R(0) . 的通解为：
Rn cn r
n
n 0, 1, 2 ,
,
dn 0, n 0,1, 2
在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两 边的系数，达到化简叠加系数的目的.
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
2 2V V 2 t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, t 0, V (0, t ) V (l , t ) 0, V ( x, 0) V ( x, 0) 0, 0 x l , t
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
数学物理方程的分类
1、线性二阶偏微分方程的一般形式
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f
f 0
该方程为齐次的
f 0
该方程为非齐次的
2 a12 a11a22 0
方程为双曲型 方程为抛物型 方程为椭圆型
e Yn Cn
n y a
X X 0 Y Y 0
e Dn
n y a
2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r ''( ) ( ) 0, ( ) ( 2 ),
k 0
数理方程 复数形式的傅里叶变换
F ( )
f ( x )e
i x
dx
傅里叶变换式
1 f ( x) 2
F ( )ei x d
傅里叶逆变换式
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉 斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。
南京邮电大学、应用数理系
0
2
n 0,1, 2,
数理方程
波动方程：
utt a uxx 0
2
X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a 2T (t ) 0
Tn (t ) C 'n cos a t D 'n sin a t
热传导方程：
ut a uxx 0
2
X ''( x) X ( x) 0 T '(t ) a 2T (t ) 0
' a2nt
Tn (t ) Cn e
Cn e
' a 2 n 2t
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
拉普拉斯方程： 1、矩形区域：
uxx u yy 0
1 l 1 l nx a 0 f ( x)dx ak f ( x) cos dx , l 2l l l l 1 l nx bk f ( x) sin dx l l l
南京邮电大学、应用数理系
nx nx f ( x) a0 (an cos bn sin ) l l n 1
2 u 0 (2n 1) x 0 2n 1 , X n ( x) A sin x, 2l 2l ux x l 0
n 0,1, 2,
ux
x 0
u x l
Biblioteka Baidu
(2n 1) 2n 1 , X n ( x) A cos x, 2l 0 2l
a ，也即 :
沿
f1 ( x at)
f 2 ( x at )
以速度 以速度
a
x
负方向移动的行波
a 沿 x 正方向移动的行波
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
三维达朗贝尔公式物理意义： （1）空间任一点M在任意时刻t>0的状态完全由以该点为心， at为半径的球面上 初始状态决定；（2）三维空间的局部有 界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效； （3）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。
数理方程
将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始 条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。
'' n2 2a 2 vn ( t ) vn ( t ) f n ( t ) 2 l vn (0) 0, v 'n (0) 0
vn (t )
na 0
数理方程 波动方程 (双曲型偏微分方程)
数 学 物 数学角度 理 方 程
偏微分方程
输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程)
积分方程 微分积分方程
定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和
历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解
条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
求解非齐次方程—特征函数法
2 2u u 2 0 x l, t 0 t 2 a x 2 f ( x, t ), t 0 u (0, t ) u (l , t ) 0, u ( x, 0) u ( x, 0) ( x), ( x), 0 x l t
u( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
2 2W W 2 t 2 a x 2 W (0, t ) W (l , t ) 0, W ( x, 0) W ( x, 0) ( x), ( x) t
2 2V V 2 t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, t 0, V (0, t ) V (l , t ) 0, V ( x, 0) V ( x, 0) 0, 0 x l , t
将V（x,t）按W（x,t）的本征函数进行展开，如：
n 令： V vn (t )sin x l n 1 若 f ( x, t ) 表达式与x无关或可以写成关于x的正余弦 形式， f ( x, t ) 不用展开，否则， f ( x, t ) 也需要按W
的本征函数展开。
南京邮电大学、应用数理系
2
南京邮电大学、应用数理系
边界条件（四种）：
X '' X 0
数理方程
2 u 0 n x 0 n x, n 1, 2, , X n ( x) A sin l l u x l 0 2 u 0 n x x 0 n x, n 0,1, 2, , X n ( x) A cos l l u 0 x x l