三角形的边与角的认识

三角形三大专题

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题型一：整数边三角形

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1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形．

2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则

⑴ 三角形的最小的边a 满足：03

a b c

a ++<≤，当且仅当a

b

c ==时，等号成立；

⑵ 三角形的最大的边c 满足：32

a b c a b c

c ++++<

≤，当且仅当a b c ==时，等号成立．

方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验．

例题精讲

【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？

典题精练

【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围.

⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长

的三角形共有多少个？

【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的

三角形.

⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．

⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．

题型二：多边形及其内、外角和

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多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和

1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线

内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠

对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD .

n 边形对角线条数：

(3)

2

n n -条

② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图）

图（a ）为凸多边形

图（b ）为凹多边形

（

a ）

（b ）

③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D

E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠

2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -⋅°

① 多边形内角和公式推理方法一：

过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 边形分成

(2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内角和．

将n 边形分成()2n -个三角形

② 多边形内角和公式推理方法二：

在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这

(1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -⋅-=-⋅°°°

将n 边形分成()1n -个三角形

F

E

D

C

B A

A

B

C

D ③ 多边形内角和公式推理方法三：

在n 边形内部取一点O 与n 边形各顶点相连，得n 个三角形：ABO △、BCO △、

CDO △……，这n 个三角形所有内角之和为

123456180BOA BOC COD n ∠+∠+∠+∠

+∠+∠+∠+∠+∠+=⋅° 故()1231803602180n n ∠+∠+∠+=⋅-=-⋅°°°

取多边形内一点，连结各顶点，将n 边形分成n 个三角形． （二）多边形外角和 1．多边形外角和等于360° 如图：180

1α∠=-∠°，1802β∠=-∠°，1803r ∠=-∠°，…… 所以r αβ∠+∠+∠+1801180=-∠+∠-°°21803∠+-∠°+…… 等式右边共有n 个180°相加，123∠+∠+∠+代表n 边形的内角和， 整理得180(2)180n n ⋅--⋅°°，即r αβ∠+∠+∠+360=°

多边形外角和恒等于360︒． 2．多边形边数与内外角和关系

①多边形内角和与边数相关：边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少；

每增加一条边，内角和增加180°，反过来也成立． ②多边形外角和恒等于360°，与边数多少无关．

③多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角。 ④在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.

⑤在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.

典题精练

【例3】 ⑴ 下列平面图形 不具有稳定性．（黑点表示连接点）

⑵ 如果四边形四条边依次为2、4、7、x ，则x 的取值范围是（ ）

A ．27x <<

B ．213x <<

C ．013x <<

D ．113x <<

⑶ 科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上

按照图示中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为

（ ）

A ．6米

B ．8米

C ．12米

D ．不确定

（西城抽样测试）