三角形的边与角的认识

三角形三大专题知识互联网题型一：整数边三角形思路导航1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形．2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则⑴ 三角形的最小的边a 满足：03a b ca ++<≤，当且仅当abc ==时，等号成立；⑵ 三角形的最大的边c 满足：32a b c a b cc ++++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立．方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验．例题精讲【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？典题精练【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围.⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形共有多少个？【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的三角形.⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．题型二：多边形及其内、外角和思路导航多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD .n 边形对角线条数：(3)2n n -条② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图）图（a ）为凸多边形图（b ）为凹多边形（a ）（b ）③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C DE F ∠=∠=∠=∠=∠=∠2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -⋅°① 多边形内角和公式推理方法一：过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 边形分成(2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内角和．将n 边形分成()2n -个三角形② 多边形内角和公式推理方法二：在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这(1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -⋅-=-⋅°°°将n 边形分成()1n -个三角形FEDCB AABCD ③ 多边形内角和公式推理方法三：在n 边形内部取一点O 与n 边形各顶点相连，得n 个三角形：ABO △、BCO △、CDO △……，这n 个三角形所有内角之和为123456180BOA BOC COD n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+=⋅° 故()1231803602180n n ∠+∠+∠+=⋅-=-⋅°°°取多边形内一点，连结各顶点，将n 边形分成n 个三角形． （二）多边形外角和 1．多边形外角和等于360° 如图：1801α∠=-∠°，1802β∠=-∠°，1803r ∠=-∠°，…… 所以r αβ∠+∠+∠+1801180=-∠+∠-°°21803∠+-∠°+…… 等式右边共有n 个180°相加，123∠+∠+∠+代表n 边形的内角和， 整理得180(2)180n n ⋅--⋅°°，即r αβ∠+∠+∠+360=°多边形外角和恒等于360︒． 2．多边形边数与内外角和关系①多边形内角和与边数相关：边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少；每增加一条边，内角和增加180°，反过来也成立． ②多边形外角和恒等于360°，与边数多少无关．③多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角。

④在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.⑤在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.典题精练【例3】 ⑴ 下列平面图形 不具有稳定性．（黑点表示连接点）⑵ 如果四边形四条边依次为2、4、7、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．27x <<B ．213x <<C ．013x <<D ．113x <<⑶ 科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图示中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）A ．6米B ．8米C ．12米D ．不确定（西城抽样测试）⑷m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m n k++=．【例4】⑴若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8（北京中考）⑵若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．6(北京中考)⑶一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这是（）边形.A．10 B．22 C．15 D．8（人大附中期中）⑷如果一个五边形的4个内角都是100︒，则第5个内角的度数是．⑸一个凸多边形的每一个内角都等于140︒，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是．【例5】⑴一个凸n边形，除一个内角外，其余1n-个内角的和是2400︒，则n的值为．⑵如图，试求A ABP C D PEF F∠+∠+∠+∠+∠+∠的值．题型三：镶嵌思路导航1．镶嵌含义：用一种或多种平面图形拼在一起，形成完整的，没有缝隙的平面，这种拼图方式称为镶嵌或密铺．设正多边形边数为n，所以每一个内角等于(2)180nn-⋅°，镶嵌时用m块，即(2)180nmn-⋅⋅°360 =°，故422 mn=+-2．多边形内角的度数与镶嵌的关系①用同一种正多边形镶嵌时，要求这种正多边形的每个内角都能够整除360°．②拼接在同一个点的各个角的和等于360°③任意三角形、任意四边形一定可以镶嵌．PFEDC BA3.用多边形不重叠无缝隙地把平面的一部分完全覆盖．在做镶嵌问题时经常要和不定方程结合．典题精练【例6】⑴幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形②四边形③正五边形④正六边形⑤正八边形A．③④⑤B．①②④C．①④D．①③④⑤⑵如果用一种正多边形作平面镶嵌，而且每一个正多边形的每一个顶点周围都有六个正多边形，则该正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．6【例7】我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫作平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360︒时，就能够拼成一个平面图形，某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60120360x y︒⋅+︒⋅=︒，化简26x y+=．因为x、y都是正整数，所以只有当2x=，2y=或4x=，1y=时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图①、图②、图③．⑴请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图④中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）⑵如果用形状、大小相同的如图方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．复习巩固1图图23图图460°60°60°60°60°60°5题型一 整数边三角形 巩固练习【练习1】一个三角形的周长为偶数，其中的两条边长分别为4和2003，则满足上述条件的三角形的个数为( )A ．1个B ．3个C ．5个D ．7个题型二 多边形及其内、外角和 巩固练习【练习2】⑴已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12⑵一个多边形内角和为1260︒，且每个内角相等，那么这个多边形的一个外角为（ ）A ．30︒B ．36︒C ．40︒D ．45︒【练习3】如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，求n 的值．【练习4】如图，已知AC 是正五边形ABCDE 的对角线，求α∠的度数．题型三 镶嵌 巩固练习【练习5】如果限于用一种正多边形镶嵌，下列正多边形不能镶嵌成一个平面图形的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形EDCBAαGF EDCB A。