平面向量数乘运算及其几何意义PPT课件
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2
作一作，看成果
已知非零向量
r a
,作出
rrr aaa
,你能发现什么？
r
a
rr
aa
O
A
r a
B
C
r 3a
rr 3 a 与 a 方向相同
rr 即3a 3 a
类比上述结论，( a r) ( a r) ( a r) 又如何呢？
r
r
r
a a a
N
M
Q
P
r 3a
3
r a
与
r a
r方向相r反
即3a 3a
.
3
一般地，我们规定实数λ与向量
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
ur uur uuur已 知 ur两 个 uur非 uu零 ur向 量 ure1和 eu2 ur不 uu共 ur线 ， ur如 果 uur AB2e13e2， BC6e123e2， CD4e18e2， 求 证 :A、 B、 D三 点 共 线 .
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。 a
3(2a)
3(2a) = 6a
b
aபைடு நூலகம்
2a2b
ab
2b
2 (a b)2 a2 b
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
， 是 实 数 ，
r
r
（ 1 ） （ a ) ( ) a ;
r rr
(2 )( )a a a ;
rr r r
(3 ) (a b ) a b .
r
r
特别地:（）a a
r r r r
ab ab
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1) (3)4a 12a
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作
r a
，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） |a||||a|;
（2）当 0时， 当 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r
ar
a
r
的方向相同；
的方向相反。
r
特别的，当 0 时，a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
.
4
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
.
12
ur uur
u u u r u r u u ru u u ru r u u r
C 设uuD uer1 , e 22是eur1两个euur2不，共若线A、的B向、量D，三点A B 共 线2 e ，1 求k e k2 的,C 值B . e 1 3 e 2 ,
.
13
例5.如u A uB u 图r ，a r平,u A u 行D ur四边b r形，A你BC能D用的ar两、条br 对来角表线示相M u u 交u A r、 于u M u 点u B r、 Mu M u ，u C u r且和 u M u u D u r 。
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾顺次连，起点 指终点
C
ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
B aC
bab
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar 点：平移同起点，br 方向B指被减 uuur r r
r b
O
r
.a
A
BAab
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
.
10
rr
uuur r r
例3.如图，已知任意两个向量
u u u r r ru u u r r r
a
、b
，试作OAab,
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
r
b
r
a
.
O
11
D
C
M
b
A
r a
B
练一练: 书本P92,11题
.
14
.
15
C
.
16
D
.
17
①②④
.
18
.
19
.
20
.
21
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
.
直线AB∥直线CD
22
书本P91，A组，9,10 B组,3
.
23
r r
使 b a .
rr 即 a与 b共 线
r rr r
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
.
9
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解：A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC
5b
( 3 ) 2 a ( a 3 b 5 b c ) 2 c( 3 a 2 b c )
练一练: 书本P90,练习5
思考:
(1)若br a(ra0),则a,b位置关系?如何 b // a
(2)若 b//a(a0),则 ba是否成 ? 立
成立
向量共线定理：
rr r r
向 量 a (a 0 ) 与 b 共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 ,
作一作，看成果
已知非零向量
r a
,作出
rrr aaa
,你能发现什么？
r
a
rr
aa
O
A
r a
B
C
r 3a
rr 3 a 与 a 方向相同
rr 即3a 3 a
类比上述结论，( a r) ( a r) ( a r) 又如何呢？
r
r
r
a a a
N
M
Q
P
r 3a
3
r a
与
r a
r方向相r反
即3a 3a
.
3
一般地，我们规定实数λ与向量
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
ur uur uuur已 知 ur两 个 uur非 uu零 ur向 量 ure1和 eu2 ur不 uu共 ur线 ， ur如 果 uur AB2e13e2， BC6e123e2， CD4e18e2， 求 证 :A、 B、 D三 点 共 线 .
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。 a
3(2a)
3(2a) = 6a
b
aபைடு நூலகம்
2a2b
ab
2b
2 (a b)2 a2 b
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
， 是 实 数 ，
r
r
（ 1 ） （ a ) ( ) a ;
r rr
(2 )( )a a a ;
rr r r
(3 ) (a b ) a b .
r
r
特别地:（）a a
r r r r
ab ab
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1) (3)4a 12a
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作
r a
，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） |a||||a|;
（2）当 0时， 当 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r
ar
a
r
的方向相同；
的方向相反。
r
特别的，当 0 时，a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
.
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(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
.
12
ur uur
u u u r u r u u ru u u ru r u u r
C 设uuD uer1 , e 22是eur1两个euur2不，共若线A、的B向、量D，三点A B 共 线2 e ，1 求k e k2 的,C 值B . e 1 3 e 2 ,
.
13
例5.如u A uB u 图r ，a r平,u A u 行D ur四边b r形，A你BC能D用的ar两、条br 对来角表线示相M u u 交u A r、 于u M u 点u B r、 Mu M u ，u C u r且和 u M u u D u r 。
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾顺次连，起点 指终点
C
ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
B aC
bab
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar 点：平移同起点，br 方向B指被减 uuur r r
r b
O
r
.a
A
BAab
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
.
10
rr
uuur r r
例3.如图，已知任意两个向量
u u u r r ru u u r r r
a
、b
，试作OAab,
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
r
b
r
a
.
O
11
D
C
M
b
A
r a
B
练一练: 书本P92,11题
.
14
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15
C
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16
D
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①②④
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18
.
19
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20
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21
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
.
直线AB∥直线CD
22
书本P91，A组，9,10 B组,3
.
23
r r
使 b a .
rr 即 a与 b共 线
r rr r
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
.
9
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解：A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC
5b
( 3 ) 2 a ( a 3 b 5 b c ) 2 c( 3 a 2 b c )
练一练: 书本P90,练习5
思考:
(1)若br a(ra0),则a,b位置关系?如何 b // a
(2)若 b//a(a0),则 ba是否成 ? 立
成立
向量共线定理：
rr r r
向 量 a (a 0 ) 与 b 共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 ,