小题满分练1 -2021年高考数学二轮专题突破(新高考)(解析版)

小题满分练1一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设集合A ＝{x|x 2－4≤0}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，则a 等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4 【答案】 B【解析】 A ＝{x|－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2. 由A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，知－a2＝1，所以a ＝－2.2．已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋i ，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】 D【解析】 ∵(1－i)z ＝2＋i ， ∴(1－i)(1＋i)z ＝(2＋i)(1＋i)， 即2z ＝1＋3i ，z ＝12＋32i ，∴z ＝12－32i ，∴z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3．(2020·全国Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名 【答案】 B【解析】 由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，即第二天确保完成新订单1 600份，减去超市每天能完成的1 200份，加上积压的500份，共有1 600－1 200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名)．4．设a ＝log 42，b ＝1212⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1313⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a>b>c B ．c>b>a C ．b>a>c D ．b>c>a【答案】 D【解析】 a ＝242211log 2log 2log 2,22=== 111136621111,3982c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1133111,283a c ⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以b>c>a.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4S 8＝13，则S 8S 16等于( )A.310B.13C.19D.18 【答案】 A【解析】 根据等差数列的性质，若数列{a n }为等差数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12也成等差数列．∵S 4S 8＝13，∴数列S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12是以S 4为首项，以S 4为公差的等差数列，则S 8＝3S 4，S 16＝10S 4，∴S 8S 16＝310. 6．已知α∈(0，π)，12sin 2α＝cos 2α＋1，则cos α等于( )A.55或0 B.55 C.255D.255或0 【答案】 A【解析】 ∵12sin 2α＝cos 2α＋1，∴sin αcos α＝2cos 2α，∵α∈(0，π)，∴cos α＝0或sin α＝2cos α， ∵sin 2α＋cos 2α＝(2cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝15，解得cos α＝55或cos α＝－55(舍去)．∴cos α＝0或cos α＝55. 7.(2020·广州模拟)△ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点．将△ABM 沿BM 折起到△PBM 的位置，则当三棱锥P －BCM 的体积最大时，三棱锥P －BCM 外接球的表面积为( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7π【答案】 C【解析】 当三棱锥P －BCM 的体积最大时，P 点最高，此时PM ⊥MC ，PM ⊥BM ，BM ⊥MC ，因为三棱锥P －BCM 的外接球与以MP ，MB ，MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球，设其半径为R ，又因为MP ＝MC ＝1，MB ＝3，所以(2R)2＝MP 2＋MC 2＋MB 2＝1＋1＋3＝5，所以三棱锥P －BCM 外接球的表面积为4πR 2＝5π.8．(2020·广州模拟)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a>0)的两个焦点，过点F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于A ，B 两点．若|AB|＝2，则△ABF 2的内切圆半径为( ) A.23 B.33 C.223 D.233【答案】 B【解析】 由双曲线C 的方程可知b ＝1， 依题意知，|AB|＝2b2a ＝2，∴a ＝ 2.又c 2＝a 2＋b 2＝3，∴|F 1F 2|＝2c ＝2 3. 又|AF 1|＝|BF 1|＝12|AB|＝22，∴|AF 2|＝|BF 2|＝2a ＋|AF 1|＝22＋22＝522. ⎝⎛⎭⎪⎫或|AF 2|＝|BF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋232＝522 设△ABF 2的内切圆半径为r ，则S △ABF 2＝12|AB||F 1F 2|＝12(|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|)·r ，即r ＝|AB||F 1F 2||AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2×232＋522＋522＝33. 二、多项选择题9．(2020·石家庄模拟)国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%.某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查(每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个)．如图是调查结果的扇形统计图，则以下结论不正确的是( )A．回答该问卷的受访者中，选择(2)和(3)的人数总和比选择(4)的人数多B．回答该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C．回答该问卷的受访者中，选择(4)的人数比选择(2)的人数可能多30D．回答该问卷的总人数不可能是1 000【答案】ABC【解析】对于A，回答该问卷的受访者中，∵选择(2)和(3)的人数总和所占百分比为15.75%＋27%＝42.75%，选择(4)的人数的百分比为45.75%，∴回答该问卷的受访者中，选择(2)和(3)的人数总和比选择(4)的人数少，故A错误；对于B，回答该问卷的受访者中，由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小，∴选择“校园外宣传”的人数是最少的，故B错误；对于C，回答该问卷的受访者中，选择(4)的人数比选择(2)的人数可能多30%，故C错误；对于D，回答该问卷的总人数若是1 000，则选择(2)和(4)的人数分别为157.5,457.5，不是整数，故D正确．10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AD1的中点，F为BD的中点，则( )A．EF∥CD1B．EF⊥AD1C．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥平面AB1C1D【答案】AD【解析】连接AC，D1C(图略)，则F为AC的中点，所以EF∥CD1，故A正确；在△AFD1中，AF≠FD1，E为AD1的中点，则EF和AD1不垂直，故B错误；EF和平面AA1D1D相交，而平面AA1D1D ∥平面BB1C1C，则EF和平面BB1C1C相交，故C错误；因为D1C⊥DC1，D1C⊥AD，AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面AB1C1D，又EF∥D1C，所以EF⊥平面AB1C1D，故D正确．11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过M 点且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则下列结论中正确的是( ) A ．k 的取值范围是(－1,1) B ．y 1y 2＝8x 1x 2C ．存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD ．若△ABF 的面积为162，则直线AB 的倾斜角为π6或5π6【答案】 CD【解析】 依题意得，F(2,0)，M(－2,0)，直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，因为直线l 与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，4k 2－82－16k 4>0，解得－1<k<1且k ≠0，故A 选项错误；因为x 1x 2＝4k 2k 2＝4，所以y 21y 22＝8x 1×8x 2＝64×4＝256，易知y 1，y 2同号，所以y 1y 2＝16，于是y 1y 2＝4x 1x 2，故B 选项错误；由于FA →＝(x 1－2，y 1)，FB →＝(x 2－2，y 2)，所以FA →·FB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝4－2·8－4k 2k 2＋4＋16＝32－16k 2，显然当k 2＝12时，FA →·FB →＝0，此时∠AFB 为直角，即以AB 为直径的圆经过点F ，故C 选项正确；△AFB 的面积S ＝|S △MFA －S △MFB |＝12·|MF|·|y 1－y 2|＝2y 1＋y 22－4y 1y 2，而y 1＋y 2＝k(x 1＋2)＋k(x 2＋2)＝k(x 1＋x 2＋4)＝8k，y 1y 2＝16，所以S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－4×16＝161k 2－1，令S ＝162，得k ＝±33，所以直线AB 的倾斜角为π6或5π6，故选项D 正确．12．(2020·威海模拟)设函数f(x)＝2cos 2x－2－cos 2x，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增B ．f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 C ．f(x)的一个周期为πD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称【答案】 BC【解析】 对于A ，函数f(x)＝2cos 2x－2－cos 2x由y ＝2t －2－t和t ＝cos 2x 复合而成，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，t ＝cos 2x 单调递减，又y ＝2t－2－t在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，故A 错误；对于B ，因为t ＝cos 2x ，所以t ∈[－1,1]．又因为y ＝2t －2－t 单调递增，所以y min ＝2－1－2＝－32，y max ＝2－2－1＝32，所以f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，故B 正确；对于C ，因为f(x ＋π)＝2cos 2(x ＋π)－2－cos 2(x ＋π)＝2cos 2x－2－cos 2x＝f(x)，所以π是f(x)的一个周期，故C 正确；对于D ，设g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2－sin 2x－2sin 2x，在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上任取一点(x ，g(x))，则(x ，g(x))关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，－g x ，将π2－x 代入g(x)，得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2－sin 2x －2sin 2x ＝g(x)≠－g(x)，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，－g x 不在函数f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故D 错误．三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种． 【答案】 36【解析】 将4名同学分成人数为2,1,1的3组有C 24＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A 33＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种． 14．|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝60°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则nm ＝________.【答案】 1【解析】 因为OA →·OB →＝0，所以OA →⊥OB →，故可建立直角坐标系，如图所示，则OA →＝(1,0)，OB→＝(0，3)，故OC →＝mOA →＋nOB →＝m(1,0)＋n(0，3)＝(m ，3n)， 又点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝60°，所以tan 60°＝3n m ，所以nm＝1. 15．将正整数排成如图：试问2 020是表中第________行的第________个数． 【答案】 11 997【解析】 由题意得第n 行有2n －1个数，∵20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝1－2101－2＝1 023， 20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝1－2111－2＝2 047， ∴2 020是表中第11行的第997个数．16．已知函数f(x)＝2ln x －12ax 2＋(a －2)x ＋a ＋1(a>0)的值域与函数y ＝f(f(x))的值域相同，则a 的取值范围为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 【解析】 因为f(x)＝2ln x －12ax 2＋(a －2)x ＋a ＋1(a>0)，所以f ′(x)＝2x－ax ＋(a －2)(x>0)，由于a>0，故函数f ′(x)在(0，＋∞)上为减函数， 又f ′(1)＝0，故当x ∈(0,1)时，f ′(x)>0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max ＝f(1)＝－12a ＋a －2＋a ＋1＝32a －1，且当x →＋∞时，f(x)→－∞，当x →0时，f(x)→－∞，故函数f(x)的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32a －1，作出函数f(x)的草图如图所示，由图可知，要使函数f(x)的值域与函数y ＝f(f(x))的值域相同，则需32a －1≥1，解得a ≥43.。