第六讲 三级火箭发射卫星模型综述

和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大
量气体从火箭末端喷出，给火箭一个
向前的推力。火箭飞行要受地球引力
、空气阻力、地球自转与公转等的影
响，使火箭升空后作曲线运动。
1）模型假设 为使问题简化，假设：
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，
火箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为
dm m( t t )v( t t ) m(t )v (t ) t (t ) v (t ) u dt
dm dm m( t )v( t ) v( t ) t u t ( t ) dt dt
dm dm m( t t )v(t t ) m(t )v (t ) v( t ) t u t (t ) dt dt
有引力定律可知其引力大小为
Mm F G 2 r
如果把卫星放在地球表面，则由（1）式，得
(1)
Mm mg G 2 R
R F mg r
2
mv R mg r r
2
2
g vR r
v 7.6km / s
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 2.火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机
v(t)，且均为时间t的连续可微函数； v u

2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本
身的速度u为常数,即气体相对于地球的速 度为v(t)-u
2）建模与分析
由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不
断减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
即
dm m( t t ) m(t ) t ( t ) dt dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt dm m( t t ) m(t ) t (t ) dt
dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt
m( t t )v(t t )
dm dv m( t ) t (t ) v( t ) t (t ) dt dt
dv dm m( t )v( t ) m( t ) t v (t ) t ( t ) dt dt
比例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小
于所载燃料的1/9是很难做到的。 目前技术条件下不妨设
相对火箭的喷气速度u=3km/s. 3.2 初速度v0忽略不计，即v0 =0.
2）建模与求解
因为升空火箭的最终 (燃料已耗尽)质量为mp+ms。然
后将燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体，由式 (1)及假
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
中于球心；
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 设地球半径为R， 中心 为O，质量为M，曲线C表示 地球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。 O
r
R
C′
C
2）建模与求解
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万
设3.2得到其末速度为 m0 v u ln (2) m m s p 令 ms ( mF ms ) ( m0 m p ) ，代入上式，得
m m 0 0 v (v t ) u v0ln u ln (3) (1 )m m m( t ) p 0 由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭
数学建模
第六讲
运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为
了使问题简单明了，我们只从动
力系统和整体结构上分析，并且
总假设火箭的推动力是足够强大 的。 一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星 二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆 周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面 匀速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
3. 一级火箭末速度上限 火箭 —— 卫星系统的质量可分为三部分：净载质量
(有效负载，如卫星)mp, ， 燃料质量mF ，结构质量(如外
壳、燃料容器及推进器 ) m S 。 一级火箭末速度上限主 要是受目前技术条件的限制。 1) 模型假设 3.1
ms 1 mF m s 9
一般来说，结构质量mS在mS+ mF中占有一定的
dv u dm m v(0) v0
（ 1）
dv dm m u dt dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度 (相
对火箭)的乘积。
m0 v ( t ) v0 u ln m( t )
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度 (相对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确 途径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这 需要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质 量，这要从结构上想办法。
dm m( t t ) m(t ) t (t ) dt
dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒
定律有
dm m( t )v( t ) m(t t )v (t t ) t (t ) v (t ) u dt
dv dm m( t t )v( t t ) m( t )v( t ) m( t ) t v( t ) t (t ) dt dt
dv dm m u dt dt
v(0) v0
m0 v ( t ) v0 u ln m( t )