第六讲 三级火箭发射卫星模型综述
数学建模习题
数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。
已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu ）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u 为贮存时间（季度数）。
已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：由于木材不易久贮，所有库贮木材于每年秋季售完。
确定最优采购计划。
2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。
又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。
3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1） 设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=r g R ;，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球表面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v 应为多少。
（2） 设火箭飞行中速度为v （t ），质量为m （t ），初速为零，初始质量0m ，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽视重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明v （t ）=)(ln 0t m mu 。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。
（3） 火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料仓等）s m ，其中s m 在f m +s m 中的比例记作λ，一般λ不小于10%。
证明若p m =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为m ν=-λln u .已知目前的u=3km/s ，取λ=10%，求m ν。
这个结果说明什么。
数学建模培训火箭问题3
分，显然效率会高一些，如图1.3所示。
在图1.3中
dm t dt
表示丢弃的结构质量，
表示燃烧掉的燃料喷出的气体质量。
dm (1 ) t dt
设在 t 到 t t 时间内，把总丢弃质量当作1 （总丢弃质量等于丢弃的结构质量加上燃烧掉的 燃料质量）。
把丢弃的结构质量当作λ (0<λ<1) ，则燃烧掉 的燃料质量为(1-λ) 。 当然，不可能制造这样的理想火箭。即要作 到无用部分外壳连续不断地丢弃。
立模型的方法。
发射卫星为什么用三级火箭? 当你坐在电视机前观看奥运会精彩的比赛实 况时，你可曾想到是通过什么手段把画面瞬间从 比赛现场传到世界各地呢？
是通讯卫星。
卫星靠什么送入太空轨道的呢？ 靠的是三级火箭。
那么为什么要用三级火箭，而不用一级、
二级或四级火箭呢？ 下面通过运载火箭的数学模型来论证三级 火箭的设计是最优的。
数学模型
主讲 雷鸣
为什么要学习数学模型?
随着现代科学技术的迅猛发展，要求人们 在解决各类实际问题时更加精确化和定量化，特 别是在计算机的普及和广泛应用的今天，数学更 深入地渗透到各种科学技术领域。 数学模型正是从定性和定量的角度去分析 和解决所遇到的实际问题，为人们解决实际问题 提供一种数学方法，一种思维方式，因此越来越 受到人们的重视。
(1.8)
(1.8)式左端表示火箭所受的推力T。
令
dv T m dt
dm T u dt
得
即是说，推力等于燃料消耗的速度与气体相
对于火箭运动速度的乘积。
将(1.8)式改写为 请现在推导上式
dv d (ln m) u dt dt
u为常数，积分上式得
三级火箭发射卫星数学模型
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m(t
)v(t
)
m(t
t
)v(t
t
)
dm dt
t
(t )
v(t) u
m(t
t
)v(t
t
)
m(t
)v(t
)
dm dt
t
(t )
v(t) u
m(t)v(t) v(t) dm t u dm t (t )
dt
三级火箭发射卫星数 学模型
第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动 力系统和整体结构上分析，并且 总假设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
如何选择质量m1，m2，…，mn，使得有效负荷mp 最大。 2) 模型假设 同前所述
团结 信赖 创造 挑战
2) 模型建立 根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束 的优化问题。
max m p
S.T .
v
u
ln
m1 m2
m1 m2
mn mp m2
mn mp m2
m1 m2 mn m p m0 ,
火箭的初始质量为
航天卫星发射工作原理
航天卫星发射工作原理航天卫星的发射是一个复杂而关键的过程，涉及到多个阶段和各种工作原理的应用。
本文将介绍航天卫星发射的工作原理及其在不同阶段的应用。
一、发射前准备阶段在航天卫星发射前，需要进行一系列的准备工作。
首先是选择合适的发射场地，根据卫星任务要求和地理条件来确定最佳的发射场所。
其次是对航天器进行检测、调试和包装，确保其正常工作。
最后是将卫星与运载火箭进行组装，确保卫星能够顺利地与运载火箭连接。
二、离地起飞阶段航天卫星的发射通常使用的是多级火箭，离地起飞阶段是整个发射过程的起点。
在这个阶段，火箭利用内部的推进剂，通过引擎燃烧产生的推力来克服地球引力，达到离地起飞的目标。
这个阶段的工作原理主要是推力和重力的相互作用，通过逐渐减小重力与推力的差值，使火箭能够逐步脱离地球引力的束缚。
三、加速上升阶段在离地起飞后，火箭进入加速上升阶段。
这个阶段的工作原理是火箭引擎通过燃烧燃料产生推力，使火箭持续加速上升，以克服空气的阻力和地球的引力。
此外，火箭在这个阶段还会利用多级火箭的原理，逐级分离废弃的火箭级别，减轻负载质量，提高速度和高度。
四、进入轨道阶段当火箭达到一定高度和速度后，进入进入轨道阶段。
这个阶段的工作原理主要是利用火箭的动力学原理和引力平衡原理。
具体而言，通过调整火箭的高度、速度和方向，使得火箭能够穿过地球的大气层，进入空间。
在进入轨道后，火箭会进一步调整其轨道和姿态，确保其能够与地球的旋转速度和方向相匹配，以保持相对固定的位置。
五、卫星分离阶段当火箭将卫星送入预定轨道后，卫星分离阶段开始。
在这个阶段，卫星与火箭分离，并通过各种机械结构或推力装置，使其进一步调整轨道和姿态，以达到预定任务目标。
在卫星分离后，其工作原理将根据具体任务而有所不同。
比如，通信卫星将开始进行天线展开和通信设备启动，遥感卫星将开始进行数据采集和传输等。
综上所述，航天卫星发射的工作原理涉及到火箭的推力、重力平衡、动力学和引力平衡等原理的应用。
多级火箭建模讲解
得：
2
3ln
mm022.是呢m1m1mm否？1PP 三最11级简 火 单 0箭 的.mmm1m就 方PP2 2是 法11最 就 省 是
3ln
k 1 2 0.1k 1
6 ln
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 卫星速度
(公里)
(公里/秒)
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)
有： m(t t) m(t) dm t O(t2 )
100
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0 （常数），7.80
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫
的调整，以保证区域内飞机互不相撞；
（5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域
Pi 代表第i架飞机，
v 飞机的飞行速度
t 时间
(xi, yi ) 第i架飞机的位置
(xi0, yi0)第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻）
又应用W（Wn131 .1WW112） WW可m32 in求WWk得n11k12末nk速k1kn2度ulan：kn[mk1W1 1
织女星火箭固体发动机研制故障综述
Ｐ８０［２，６］ ３０００
Ｚｅｆｉｒｏ ２３［２，１８］ １９２５
Ｚｅｆｉｒｏ ９Ａ［２，２６］ １９０５
Ｌｅｎｇｔｈ ／ ｍｍ
１０ ５６０
７５８０
３８６０
Ｐｒｏｐｅｌｌａｎｔ ｔｙｐｅ
ＨＴＰＢ １９１２
ＨＴＰＢ １９１２
ＨＴＰＢ １９１２
Ｐｒｏｐｅｌｌａｎｔ ｍａｓｓ ／ ｋｇ
８８ ３６５
２３ ８２０
封头热结构失效，导致火箭出现异常，发射任务失败。 ２０２０ 年 １１ 月 １６ 日，因控制系统电缆装反导致火箭上 面级失去控制，“ 织女星” 运载火箭火箭发射 ８ ｍｉｎ 后 偏离预定轨道，发射任务失败。
除了现役的 Ｖｅｇａ 运载火箭，自 ２０１４ 年起，欧空局 陆续开启 Ｖｅｇａ Ｃ、Ｖｅｇａ Ｅ、Ｖｅｇａ Ｃ Ｌｉｇｈｔ 等一系列固体 运载火箭的研发。 Ｖｅｇａ Ｃ 运载火箭发动机采用三级固 体火箭发动机加末端修正级液体火箭发动机构型：第 一级为 Ｐ１２０Ｃ 固体发动机，第二级为 Ｚｅｆｉｒｏ ４０ 固体发 动机， 第 三 级 为 Ｚｅｆｉｒｏ ９ 固 体 发 动 机， 末 级 为 改 进 型 ＡＶＵＭ 液体发动机。 近地轨道约 ２３００ ｋｇ 的运载能力， 计划 ２０２１ 年 首 飞。 Ｖｅｇａ Ｅ 运 载 火 箭 第 一 级 采 用 Ｐ１２０Ｃ 固体发动机，第二级为 Ｚｅｆｉｒｏ ４０ 固体发动机，第 三级采用 Ｍ１０ 液体发动机，瞄准小型卫星发射市场， 计划 ２０２４ 年首飞。 Ｖｅｇａ Ｃ Ｌｉｇｈｔ 是 Ｖｅｇａ Ｃ 的缩小版 本，该火箭仅由 Ｚｅｆｉｒｏ ４０、 Ｚｅｆｉｒｏ ９ （ 改进型） 和 ＡＶＵＭ ｐｌｕｓ 组成，将用于发射重达几百公斤甚至更少的有效 载荷［２］ 。
Ｖｅｇａ 运载火箭的研究始于 ２０００ 年，２０１２ 年完成 首飞，２０１３ 年完成首次商业飞行。 截止到 ２０２０ 年 １２ 月，共进行了 １７ 次发射，成功 １５ 次，失败 ２ 次。 ２０１９ 年 ７ 月 １０ 日，火箭遭遇了首次发射失败。 搭载阿联酋 首枚光学间谍卫星的织女星火箭从法属圭亚库鲁航天 发射中心起飞 １３０ ｓ 以后，因第二级 Ｚｅｆｉｒｏ ２３ 发动机前
高中二年级下学期物理《反冲现象 火箭》教学设计
学生课上做题，展示并讲解分析过程和答案
强化学生知识的应用能力，规范学生解题步骤。
【例题2】载人的气球原来静止在离地面高为h的空中，气球质量为M，质量为m的人要沿气球上的绳梯安全着地，如图所示，则绳梯长度至少为多长？
答案：பைடு நூலகம்
学生自主做题，解决实际问题。
强化新学知识的应用。
备课人
学科
物理
课题
人教版高中物理选择性必修一反冲现象火箭
教学目标
核心素养目标：
1.物理观念：理解反冲现象的本质，培养学生的运动与相互作用观和能量观；
2.科学思维：培养学生物理建模的思维，学会从多角度分析物理现象的科学思维，培养学生科学严谨的逻辑思维，进一步提高运用动量守恒定律分析和解决实际问题的能力
【提出问题】卫星发射最小速度为7.9km/s，为如何能提升火箭的发射速度，解决卫星发射问题？
1、现代的火箭喷气速度通常在2000-5000m/s
2、增加质量比：一般小于10，否则火箭的强度会有问题。
【解决办法】：多级火箭
多级火箭发射时，较大的第一级火箭燃烧结束后，便自动脱落，接着第二级、第三级依次工作，燃烧结束后自动脱落，这样可以不断地减小火箭壳体的质量，减轻负担．目前多级火箭一般都是三级火箭，因为三级火箭能达到目前发射人造卫星的需求．而且级数越多，结构越复杂，并难以控制。
知识拓展
我国航天成就
培养学生的爱国情怀和民族自豪感
教学反思与评价
本节课是动量守恒定律在生活中的一类特殊应用，课程难度不是特别大，但是与实际生活中的情境联系的尤为紧密。所以本节课的设计突出从实际生活中的情境进行带入，帮助学生构建理想化的物理模型，利用所构建的模型和理论知识来解决实际问题。所以本节课要充分发挥学生的主观能动性，让学生参与到课堂活动中来。
航天模型入门知识点总结
航天模型入门知识点总结一、航天模型的起源和历史航天模型起源于中国的古代，最早可以追溯到汉代的火箭技术。
随着现代科学技术的发展，航天模型开始成为一种独特的科普教育和娱乐方式，深受人们的喜爱。
20世纪初，随着人类对太空的探索，航天模型开始成为一种重要的研究工具，帮助人们更好地了解太空。
二、航天模型的种类1. 固体燃料火箭模型固体燃料火箭模型是最为简单和常见的航天模型之一，其结构相对简单，容易操作，适合初学者入门。
其优点是安全性高，使用便捷，但其缺点是飞行高度和距离有限。
2. 液体燃料火箭模型液体燃料火箭模型的构造相对复杂，但是飞行距离和高度也更高，可以更好地模拟真实的火箭发射过程。
这种模型需要较多的工具和耗材，适合在较为宽阔的地方飞行。
3. 无火箭动力模型除了火箭动力模型，还有一些以其他方式进行驱动的航天模型，比如弹射式模型、气球模型等。
这些模型可以更好地模拟太空探测器、卫星等载具的工作原理，是航天科普教育的重要工具。
4. 无人机航天模型随着无人机技术的发展，无人机也成为了一种重要的航天模型。
无人机航天模型不仅可以飞行，还可以进行一些特定的任务，比如拍摄航天飞行器的图像、检测大气层等。
5. 太阳能动力航天模型太阳能动力航天模型是一种新兴的航天模型，其利用太阳能驱动发动机，达到飞行的目的。
这种模型的优点是环保、节能，但是需要在阳光充足的地方使用。
三、航天模型的基本原理航天模型的基本原理包括了飞行动力、气动力、飞行控制等。
1. 飞行动力航天模型的飞行动力可以通过火箭发动机、电机、风力等方式进行驱动。
火箭发动机是最为常见的飞行动力，其通过燃烧燃料产生高温高压气体，从而产生推力。
电机是无人机等模型的常用动力来源，其通过电能驱动螺旋桨等部件产生推力。
风力则是一种相对简单的飞行动力，适合一些轻型模型的飞行。
气动力是航天模型飞行的重要基础，其包括了升力、阻力、稳定性等概念。
航天模型的气动力设计包括了翼型、机翼面积、气动外形等参数，影响着模型的飞行性能和稳定性。
三级火箭模型 PPT
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
2018/7/21 8
四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为:
ms (mF ms) (m0 mp)
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
2018/7/21
五 火箭系统的质量
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2018/7/21
13
五 火箭系统的质量
2018/7/21 7
设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
2018/7/21 3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
数学建模教程-三级火箭运载模型
20
八 n级火箭的质量分配
V : 火箭末速度
已知：U :
：
气体喷射速度
结构比
？如何使 选得 取mm1p,最m2大,...,mn
m0 : 初始总质量
即
max
f
( ) m1,m2,mn,mp
_ mp min f (m)
m0
max
^
f
(x)
m
p
mp
mp m1 m2 mn m0
（1m）0
2023/5/17
21
ln
mp
m0 m1m2
mn
mp m2mn mp m2m3mn
...
mp mn mp mn
V n
（2）
mp, m1, m2, ..., mn 0
(3)
a 记
i
mp mi mn mp mi1 mn
(i 1,2,,n)
则
ln
a1
1(a1
1)
a2
1(a2
an
1) 1(an
发动机的功力 火箭的结构外型涉及到强度与阻力 火箭的控制系统
2023/5/17
3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
引入重要指标:
火箭的结构比:
ms mF ms
1
mF mF ms
2023/5/17
13
五 火箭系统的质量
ms (mF ms)(m0 mp)
V uln m0 uln
数学建模习题-第五章
习 题1、对于节传染病的SIR 模型证明；①若σ/10>s ，则)(t i 先增加，在σ/1=s 处达到最大 ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至∞s 。
②若σ/10<s ，则)(t i 单调减少并趋于零，)(t s 单调减少至∞s 。
2、对于传染病的SIR 模型证明(20)~(22)式。
3、在节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数)(t Q 折算成现金，仍用)(t Q 表示。
考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为)(t p (设1)0(=p )。
则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间满足)(t y =)()(t P t Q 。
①导出)(t y 、)(t Q 、)(t p 的相对增长率之间的关系，并作解释。
②设雇佣工人数目为)(t L ，每个工人工资为)(t W ，企业的利润简化为从产品的收入)(t y 中扣除工人的工资和固定的成本。
利用节的（5）式讨论，企业应雇佣多少工人能使利润最大。
4、在节的房室模型中证明方程（3）对应的齐次方程通解如（4）、（5）式所示，说明方程的两个特征根α和β一定是负实根。
5、模仿节建立的二室模型建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出浓度曲线图。
6、利用上题建立的一室模型，讨论按固定时间间隔T 每次给予固定剂量D 的多次重复给药方式。
为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度C 控制在（21,C C ）范围内。
设中心室容积V 为已知。
① 在快速静脉注射的多次重复给药方式下，写出血药浓度表达式并作图，讨论怎样确定T 和D 使血药浓度的变化满足上述要求。
② 在恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）的多次重复给药方式下，给出血药浓度变化的简图，并在这两种方式选择一种来讨论确定T 和D 的问题。
7、在节香烟过滤嘴模型中，① 设800=M 毫克，801=l 毫米，202=l 毫米，02.0=b （1/秒），08.0=β（1/秒），50=v 毫米/秒，3.0=a ，求Q 和21/Q Q 。
物理领域中的数学建模
1 2）单位时间内向径 r (t) 扫过的面积是常数A，即 r A 2
2
3）行星运行周期 T 满足 T 2 a 3，其中 为绝对常数，与 哪颗行星无关 。 4）行星运行时受的作用力 f 等于行星加速度 r 和质量m的乘 积，即 f mr
2 4 A r 2 ur (4) pr 2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
(3)
将（1）（3）代入（2）
因为 r rur 和 f mr
数学建模
模型建立
2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
图1.2 单级火箭1) 地球是半径为 R 的均匀球体
2) 卫星将在距地面高度为h的平面轨道上做匀速圆周运动
3) 忽略火箭系统重力和大气阻力的影响 4) 火箭系统在t时刻的质量和速度分别为m(t)和v(t) 5) 火箭系统喷气对箭体的相对速度为常值 u
数学建模
模型建立与求解
ru u r r r 2 r r r ur r 2r u
数学建模
模型建立
1 2 r A 2
根据假设
2r 0 r
有
=
2 A 4 Ar , r2 r3
只需再证A2/p是常数即 可得到万有引力定律
1 2 r A 2
4 2 m Mm f r0 : k 2 r0 2 r r
4 2
TA ab
假设1）、3）
A2 p
微分方程模型
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直 至绝灭！
2 T ln r
人口倍增时间
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测的优缺点
优点 缺点 原因 短期预报比较 准确 不适合中长期预报 预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环 境对人口增长的制约作用。
机动
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结束
医学(流行病,传染病问题)模型,经济(商业销 售,财富分布,资本主义经济周期性危机)模 型,战争(正规战,游击战)模型等。 下面,我们给出如何利用方程知识建立 数学模型的几种方法。
机动
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结束
1.利用题目本身给出的或隐含的等量 关系建立微分方程模型。这就需要我们仔 细分析题目,明确题意,找出其中的等量关 系,建立数学模型。 2.从一些已知的基本定律或基本公式出 发建立微分方程模型.我们要熟悉一些常用 的基本定律,基本公式.例如力学中的牛顿第 二运动定律，电学中的基尔霍夫定律等.从 这些知识出发我们可以建立相应的微分方 程模型。
到t t时刻, 除去死亡的人外 , 活着的都变成了
r dr1 , r dr dr1 区间内的人, t t时刻年龄在
即p(r dr 1 , t dt) dr.这里dr 1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r , t pr , t drdt, 它们之间的关系为 : pr , t dr pr dr 1 , t dt dr r , t p r , t drdt r , t pr , t drdt
[原创]浅析有关火箭的两个问题doc高中物理
![[原创]浅析有关火箭的两个问题doc高中物理](https://img.taocdn.com/s3/m/4d71879e89eb172ded63b7b0.png)
[原创]浅析有关火箭的两个问题doc 高中物理火箭是中学物理新课标教材选修35-中的内容。
在具体教学过程中，总有一部分学有余力的学生会提出这两个咨询题：1.什么缘故火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气。
2.什么缘故要用三级火箭发射人造卫星，而不是二级或四级。
下面我们来做具体的分析。
1.什么缘故火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气如下图为多级火箭示意图，发射时先点燃第一级火箭，燃料用完后，空壳自动脱落，然后下级火箭开始工作。
多级火箭能及时把空壳抛掉，使总质量减少，因而达到专门高的速度，可用来发射洲际导弹，人造卫星，宇宙飞船等。
试通过运算讲明：火箭不是一次把燃气喷完而是逐步向后喷气以获得更大反冲速度的道理。
(每次喷出的气体相对火箭的速度是相同的)为了研究方便，我们不考虑空气阻力和重力对火箭的阻碍。
设火箭总质量为M ，燃料及空壳质量为m ，每次喷出的气体相对火箭的速度为v 。
假设取火箭的速度方向为正方向，那么喷出气体对地的速度v v v =+气对地气对箭箭对地假设三级火箭一次把燃料喷完,运载物获得速度为V ,依照动量守恒定律03()MV m v V =+-+得 3 (1)3mv V M m=+ 假设三级火箭逐步向后喷气,运载物获得的速度依次为1V ，2V ，3V ，依照动量守恒定律第一级火箭喷完时： 110(2)()M m V m v V =++-+卫星第三级第二级第一级得 1 (2)3mv V M m=+ 第二级火箭喷完时： 122(2)()()M m V M m V m v V +=++-+得 2 (3)23mv mv V M m M m=+++ 第三级火箭喷完时： 233()()M m V MV m v V +=+-+得 3 (4)23mv mv mv V M m M m M m=+++++ 由于3V V >，因此火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气以获得更大反冲速度。
上面推算出的物理模型依旧专门简单的，但在中学时期足以讲明咨询题。
高分三号_精品文档
高分三号高分三号卫星，全称为中国高分辨率对地观测系统三号卫星，是中国自主研发和制造的一颗高分辨率对地观测卫星。
作为中国高分辨率对地观测系统的一部分，高分三号卫星拥有极高的分辨率和较大的覆盖范围，为我国在农业、林业、环境监测、城市规划等领域提供了宝贵的数据支持。
一、高分三号卫星的概述高分三号卫星是中国空间技术研究院所研制的一款高性能卫星。
于2016年8月10日由长征四号B型运载火箭成功发射，并于同年11月30日正式开始运行。
高分三号卫星采用了多传感器融合技术，包括光学、红外、微波等传感器，可以实现多层次、多频段、多角度的对地观测任务。
其分辨率可达到亚米级，较之前的高分卫星有了显著提升。
二、高分三号卫星的应用领域高分三号卫星的应用领域非常广泛，主要包括农业、林业、生态环境、城市规划、交通运输、灾害监测等。
首先，在农业领域，高分三号卫星可以实时监测农作物生长状况、土壤湿度、农田灌溉等信息，为农业生产提供精确的数据支持，有助于提高农业生产效率和农作物品质。
其次，在林业方面，高分三号卫星可以监测森林面积、植被覆盖度，及时发现森林火灾等问题，保护森林资源。
此外，高分三号卫星还可以用于生态环境监测，帮助监测水体质量、海洋污染等环境问题，为环保工作提供数据支持。
在城市规划方面，高分三号卫星可以实时监测城市用地利用、市区扩张等情况，为城市规划和建设提供参考。
另外，高分三号卫星还可以用于交通运输监测，包括路况监测、车辆定位等方面，提供交通管理部门相关的数据。
最后，在灾害监测方面，高分三号卫星可以实时监测地震、洪水、火灾等灾害情况，为救援和灾后重建提供有力的支持。
三、高分三号卫星的优势相比于其他卫星，高分三号卫星具有以下几个优势。
首先，高分三号卫星具备高分辨率的能力，可以提供更精确的图像和数据，使得观测结果更加准确可靠。
其次，高分三号卫星具有覆盖范围广的优势，可以在短时间内覆盖较大的区域，大大提高了观测效率。
再次，高分三号卫星采用多传感器融合技术，在光学、红外、微波等方面都具有较强的观测能力，可以同时获取多种数据，提供更全面的观测结果。
火箭的相关知识点总结
火箭的相关知识点总结一、基本结构火箭的基本结构主要由“发射器”、“推进器”、“控制装置”和“载荷”四大部分组成。
发射器主要负责将火箭送入空间，推进器则产生推力，控制装置用于控制火箭的运行轨迹和姿态，而载荷则根据不同的任务搭载不同的科学仪器、设备或者载人舱等。
二、原理火箭的推进原理主要依赖于牛顿第三定律。
当火箭内燃料和氧化剂燃烧产生高温高压的气体时，通过喷嘴喷出，使得火箭产生反向的推进力。
这种推进力将火箭推向相反的方向，从而实现火箭的加速和飞行。
三、分类根据不同的应用和发射方式，火箭可以分为很多种类。
按照用途来分，可以分为载人火箭、货运火箭、卫星运载火箭等；按照发射方式来分，可以分为垂直发射火箭、水平发射火箭等。
四、发展历程火箭技术的发展历程可以追溯到二战时期，德国为了打造先进的武器而推进了火箭技术的发展。
战后，火箭技术逐渐被用于航天领域，1957年苏联发射了世界上第一个人造卫星，标志着航天时代的开始。
随后，美国、中国、欧洲等国家也相继开展了航天计划，并取得了一系列重要的突破和成就。
五、未来发展方向随着科技的不断进步，火箭技术也在不断地发展。
未来，火箭技术可能会朝着更加节能环保、可重复使用等方向发展。
同时，随着太空探索的深入，火箭技术的应用范围可能会越来越广泛，包括太空旅游、资源开采、环境监测等方面。
总的来说，火箭技术是航天领域的重要组成部分，在现代社会中具有重要的意义。
随着科技的不断进步和发展，火箭技术也将会不断地实现新的突破和创新，为人类探索宇宙、利用太空资源等方面带来更多的可能性。
北斗专列—CZ-3A系列火箭发展回顾和未来展望
第４卷 第６期２０２０年１１月宇航总体技术Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏｌ．４Ｎｏ．６Ｎｏｖ．２０２０收稿日期：２０２０－０１－０１；修订日期：２０２０－０５－０１作者简介：张亦朴（１９７８－），男，硕士，高级工程师，主要研究方向为运载火箭总体设计技术。
Ｅ－ｍａｉｌ：１８９１０５９３６５５＠ｓｏｈｕ．ｃｏｍ北斗专列—ＣＺ－３Ａ系列火箭发展回顾和未来展望张亦朴，周天帅，刘立东，李 聃，胡 炜（北京宇航系统工程研究所，北京１０００７６）摘 要：ＣＺ－３Ａ系列运载火箭承担了北斗工程，包括北斗一号、北斗二号和北斗三号的全部发射任务，被称为“北斗专列”。
在北斗工程历时２６年的研制过程中，ＣＺ－３Ａ系列火箭突破了一系列关键技术，使火箭具备了从地球同步转移轨道（ＧＴＯ）到倾斜同步转移轨道（ＩＧＴＯ）、中圆转移轨道（ＭＴＯ），从一箭一星发射至转移轨道，到一箭双星发射至转移轨道，再到一箭双星直接发射入轨的发射能力，实现了跨越发展。
满足了北斗工程的发射任务需求，北斗工程共计４４箭、５９星，ＣＺ－３Ａ系列火箭发射均获得了圆满成功，成功率达到了１００％。
关键词：ＣＺ－３Ａ；运载火箭；北斗 中图分类号：Ｖ４２ 文献标识码：Ａ文章编号：２０９６－４０８０（２０２０）０６－００１６－０７Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｒｅｔｒｏｓｐｅｃｔ ａｎｄ Ｆｕｔｕｒｅ Ｐｒｏｓｐｅｃｔ ｏｆ ＬＭ－３ＡＳｅｒｉｅｓ Ｌａｕｎｃｈ Ｖｅｈｉｃｌｅ ｆｏｒ Ｂｅｉｄｏｕ ＭｉｓｓｉｏｎｓＺＨＡＮＧ Ｙｉｐｕ，ＺＨＯＵ Ｔｉａｎｓｈｕａｉ，ＬＩＵ Ｌｉｄｏｎｇ，ＬＩ Ｄａｎ，ＨＵ Ｗｅｉ（Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００７６，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ＬＭ－３Ａｓｅｒｉｅｓ ｌａｕｎｃｈ ｖｅｈｉｃｌｅｓ ｕｎｄｅｒｔｏｏｋ ａｌｌ ｔｈｅ ｌａｕｎｃｈｉｎｇ ｍｉｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｉｄｏｕ－１，Ｂｅｉｄｏｕ－２ａｎｄ Ｂｅｉｄｏｕ－３．Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｉｄｏｕ ｍｉｓｓｉｏｎｓ，ｔｈｅ ＬＭ－３Ａｓｅｒｉｅｓ ｌａｕｎｃｈｖｅｈｉｃｌｅｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｇｒｏｕｎｄｂｒｅａｋｉｎｇ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ ａｎｄ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｔｈｅ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ．Ｔｈｅａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｌａｕｎｃｈｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐａｙｌｏａｄｓ ｔｏ ＧＴＯ，ＩＧＴＯ ａｎｄ ＭＴＯ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｄ，ｆｒｏｍ ｓｅｎｄｉｎｇｏｎｅ ｓａｔｅｌｌｉｔｅｓ ｉｎｔｏ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｏｒｂｉｔ ｔｏ ｓｅｎｄｉｎｇ ｔｗｏ ｓａｔｅｌｌｉｔｅｓ ｉｎｔｏ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｏｒｂｉｔ，ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ ｔｏｓｅｎｄｉｎｇ ｔｗｏ ｓａｔｅｌｌｉｔｅｓ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｏｒｂｉｔ ｄｉｒｅｃｔｌｙ．Ｔｈｅ ｌａｕｎｃｈ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｉｄｏｕ ｍｉｓｓｉｏｎ ｈａｖｅｂｅｅｎ ｍｅｔ，ｗｉｔｈ ４４ｌａｕｎｃｈｅｓ ａｎｄ ５９ｓａｔｅｌｌｉｔｅｓ ｉｎ ｔｏｔａｌ．Ａｌｌ ｔｈｅ ｌａｕｎｃｈｅｓ ｗｅｒｅ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ，ｗｉｔｈ ｔｈｅｓｕｃｃｅｓｓ ｒａｔｅ ｏｆ １００％．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＣＺ－３Ａ；Ｌａｕｎｃｈ ｖｅｈｉｃｌｅ；Ｂｅｉｄｏｕ０ 引言２０２０年６月２３日，长征三号乙遥六十八火箭在西昌卫星发射中心成功发射了北斗工程第５５颗全球导航卫星，即北斗三号最后一颗卫星，标志着我国全球卫星导航定位系统的建成。
多级火箭建模概要
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln ( 1) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u )t O(t 2 ) dt dt
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
数学模型：《三级火箭发射人造卫星分析》（很齐全，很给力）00
三级火箭发射人造卫星分析摘要：发射人造卫星是一个复杂的系统工程，我们从中抽出几个问题，忽略一些次要因素将问题简化得到几个简单的数学模型。
首先通过天体物理学知识求解得到发人造卫星的在轨速度。
又通过动力守恒定律求解出火箭的飞行速度与其喷气推动力、火箭初始质量和飞行过程中的质量有关，进而分析得出提高火箭的飞行速度的简单措施。
问题一：由万有引力定律及牛顿第三定律推理得到rgR v =，当s km r 600=时，带入（5-1-3）式得：s km v 58.7=末问题二：由)(ln)(0t m m u t v =式得火箭的末速度有喷气速度及火箭在飞行中的质量决定，为了提高火箭的末速度可以通过提高喷气速度和减少火箭在飞行过程中的质量。
具体地说就是加大火箭推力，抛掉已经没用的结构，以此来加大火箭末速度。
问题三：由计算得到λln u v m -=，当s km u 3=，%10=λ时：s km v m 6.6=，由此得到结论：使用一级火箭不能发射人造卫星。
问题四：燃料用完时末速度为()Pm m u v 0ln 1λ-= 问题五：二级火箭：要使s km v /5.102=，则应使： 2.11≈k ，而：14921≈++PPm m m m 即发射一吨重的卫星需要148吨重的火箭。
三级火箭：要使s km v /5.103=，则25.3≈k ，而()77321≈+++P P m m m m m 即发射一吨重的卫星需要76吨重的火箭，由此可见三级火箭比二级火箭几乎节省了一半。
四级火箭：⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11.01ln 1211.01ln 344k k k k v 要使s km v /5.104=，则()()92.1,45.211.01≈≈++k k k ，而()654321≈++++P P m m m m m m 。
即使用四级火箭发射1吨重的卫星需要64吨重的火箭，比三级火箭要省。
但是由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。
(完整版)数学建模期末考试题
班级：通工13**学号：0313****姓名：***成绩：西安邮电大学理学院2014年12月3日一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答:为了一定的目的，人们对原型的一个抽象。
通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻的认识所研究的对象。
举例：牛顿定律。
假设：(1)物体为质点，忽略物体的大小和形状。
(2)没有阻力、摩擦力及其他外力。
令x （t ）表示在t 时刻物体的位置，则F =ma =m d 2x dt 22．数学模型答:数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁，在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
它包括三大特征：1.实践性：有实际背景，有针对性，接受实践的检验。
2.应用性：注意实际问题的要求。
强调模型的实用价值。
3.综合性：数学知识的综合，模型的综合。
举例：管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
假设：(1)直圆管，粗细一致。
(2)带子无弹性等宽。
(3)带宽小于圆管截面周长。
(4)包扎时不剪断带子且不重叠。
设W 为带宽，C 为截面周长，L 为管长，M 为带长。
则M=+LC W C 2‒W 23．抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型。
举例：如汽车司机对方向盘的操作。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类答：（1） 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。
（2） 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
（3） 按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。
（4） 按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。
（5） 按应用的离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。
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2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本
身的速度u为常数,即气体相对于地球的速 度为v(t)-u
2）建模与分析
由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不
断减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
即
dm m( t t ) m(t ) t ( t ) dt dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt dm m( t t ) m(t ) t (t ) dt
比例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小
于所载燃料的1/9是很难做到的。 目前技术条件下不妨设
相对火箭的喷气速度u=3km/s. 3.2 初速度v0忽略不计，即v0 =0.
2）建模与求解
因为升空火箭的最终 (燃料已耗尽)质量为mp+ms。然
后将燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体，由式 (1)及假
和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大
量气体从火箭末端喷出，给火箭一个
向前的推力。火箭飞行要受地球引力
、空气阻力、地球自转与公转等的影
响，使火箭升空后作曲线运动。
1）模型假设 为使问题简化，假设：
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，
火箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为
3. 一级火箭末速度上限 火箭 —— 卫星系统的质量可分为三部分：净载质量
(有效负载，如卫星)mp, ， 燃料质量mF ，结构质量(如外
壳、燃料容器及推进器 ) m S 。 一级火箭末速度上限主 要是受目前技术条件的限制。 1) 模型假设 3.1
ms 1 mF m s 9
一般来说，结构质量mS在mS+ mF中占有一定的
dv dm m( t t )v( t t ) m( t )v( t ) m( t ) t v( t ) t (t ) dt dt
dv dm m u dt dt
v(0) v0
m0 v ( t ) v0 u ln m( t )
数学建模
第六讲
运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为
了使问题简单明了，我们只从动
力系统和整体结构上分析，并且
总假设火箭的推动力是足够强大 的。 一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星 二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆 周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面 匀速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
中于球心；
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 设地球半径为R， 中心 为O，质量为M，曲线C表示 地球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。 O
r
R
C′
C
2）建模与求解
ห้องสมุดไป่ตู้
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万
有引力定律可知其引力大小为
Mm F G 2 r
如果把卫星放在地球表面，则由（1）式，得
(1)
Mm mg G 2 R
R F mg r
2
mv R mg r r
2
2
g vR r
v 7.6km / s
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 2.火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机
dm m( t t )v( t t ) m(t )v (t ) t (t ) v (t ) u dt
dm dm m( t )v( t ) v( t ) t u t ( t ) dt dt
dm dm m( t t )v(t t ) m(t )v (t ) v( t ) t u t (t ) dt dt
设3.2得到其末速度为 m0 v u ln (2) m m s p 令 ms ( mF ms ) ( m0 m p ) ，代入上式，得
m m 0 0 v (v t ) u v0ln u ln (3) (1 )m m m( t ) p 0 由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭
dv u dm m v(0) v0
（ 1）
dv dm m u dt dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度 (相
对火箭)的乘积。
m0 v ( t ) v0 u ln m( t )
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度 (相对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确 途径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这 需要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质 量，这要从结构上想办法。
dm m( t t ) m(t ) t (t ) dt
dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒
定律有
dm m( t )v( t ) m(t t )v (t t ) t (t ) v (t ) u dt
dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt
m( t t )v(t t )
dm dv m( t ) t (t ) v( t ) t (t ) dt dt
dv dm m( t )v( t ) m( t ) t v (t ) t ( t ) dt dt