第十章协方差分析

2 ij 2 2
df T ( y ) = kn − 1 = 4 × 12 − 1 = 47
2、处理间和处理内平方和与自由度
2 1 1 550 . 50 SSt ( y) = ∑ yi2. − Cy = (141 .802 +130 .102 +144 .802 +133 .802 ) − = 11.68 n 12 48
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例如： 例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果， 研究几种配合饲料对猪的增重效果， 希望试验仔猪的初始重相同， 希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重 不同， 不同，将影响到猪的增重。 将影响到猪的增重。经研发现： 经研发现：增重与初 始重之间存在线性回归关系。 始重之间存在线性回归关系。 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与其增重 (记为y)的回归关系， 的回归关系， 将仔猪增重都矫正为初始 重相同时的增重， 重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的 影响就消除了。 影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方 法将初始重控制一致而得到的， 法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。 统计控制是试验控制的一种辅助手段。 统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过 这种矫正， 这种矫正，误差将减小， 误差将减小，处理效应估计更为准 上一张 下一张 主 页 退 出 确。
协方差（covariance），记为COV(x,y) 或 σ xy 。 样本相关系数r可用均方MSx、MSy，均积 MPxy表示为： 表示为：
r=
MPxy
MS x MS y
COV ( x, y )
总体相关系数ρ
ρ=
σ xσ y
=
σ xy σ xσ y
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均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的 性质。 性质。在方差分析中， 在方差分析中，一个变量的总平方和与自 由度可按变异来源进行剖分， 由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应的均 方。统计学已证明： 统计学已证明：两个变量的总乘积和与自由 度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。 度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。 这种把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源 进行剖分并获得获得相应均积的方法亦称为协方 差分析。 差分析。
表 观测值x、y的单向分组资料的一般形式
处 理 观测指标 观测值 xij、yij
(i=1,…k j=1,…n) x x11 x12 … x1j … x1n x1.
处理1
y y11 y12 … y1j … y1n y1.
处理2
x x21 x22 … x2j … x2n x2. y y21 y22 … y2j … y2n y2.
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第二节 单因素试验资料的协方差分析
设有k个处理、 个处理、n次重复的双变量试验资 料，每处理组内皆有n对观测值x、y，则该资 料为具kn对x、y观测值的单向分组资料， 观测值的单向分组资料，其 数据一般模式如表所示。 数据一般模式如表所示。
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1.35 1.20 1.45 1.20 1.40 1.30 1.15 1.30 1.35 1.15 1.35 1.20 15.40 1.28
10.20 9.40 12.20 10.30 11.30 11.40 12.80 10.90 11.60 8.50 12.20 9.30 130.80 10.84
= 1.75
dfT（x）=kn-1=4×12-1=47
2、处理间平方和与自由度
SS t ( x ) 1 k 2 = ∑ Ti . − C x n i =1
2 1 63 . 15 = (18.25 2 + 15.40 2 + 15.65 2 + 13.85 2 ) − 12 48 = 0.83
df t ( x ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
1.15 1.10 1.10 1.05 1.40 1.45 1.30 1.70 1.40 1.45 1.25 1.30 15.65 1.30
10.00 10.60 10.40 9.20 13.00 13.50 13.00 14.80 12.30 13.20 12.00 12.80 144.80 12.07
44 0.92 0.021
总变异 47 1.75
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分析结果表明， 分析结果表明，4种处理的供试仔猪平均初 生重间存在着极显著的差异， 生重间存在着极显著的差异，其50 日龄平均重 差异不显著。 差异不显著。须进行协方差分析， 须进行协方差分析，以消除初生重 不同对试验结果的影响， 不同对试验结果的影响，减小试验误差， 减小试验误差，揭示出 可能被掩盖的处理间差异的显著性。 可能被掩盖的处理间差异的显著性。
处理内(误差)(e) 44 总变异(T) 47
(四) 对x和y各作方差分析 表 初生重与50日龄重的方差分析表
x变量 变异 处理间 误差 df 3 SS 0.83 MS F SS y变量 MS F F值
0.28 13.33** 11.68 85.08 96.76
3.89 2.02 1.93 F0.05=2.82 F0.01=4.26
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(三) 求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由度 1、总乘积和与自由度 k n TxTy SPT = ∑∑ xij yij − = 1.50 × 12.40 + 1.85 ×12.00 kn i =1 j =1
63.15 × 550.50 + ... + 1.10 × 11.00 − 4 ×12 63.15 × 550.50 = 8.25 df T ( x , y ) = kn − 1 = 47 = 732.50 − 4 × 12
df t ( y ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
SS e ( y ) = SS T ( y ) − SS t ( y ) = 96 .76 − 11 .68 = 85 .05
df e ( y ) = df T ( y ) − df t ( y ) = 47 − 3 = 44
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′ y 将回归分析与方差分析结合在一起， 将回归分析与方差分析结合在一起，对试验 数据进行分析的方法， 数据进行分析的方法，叫做协方差分析 (analysis of covariance)。
二、估计协方差组分 两个相关变量相关系数： 两个相关变量相关系数：
r=
∑ ( x − x )( y − y ) ∑ (x − x) ∑ ( y − y)
SST ( y ) = SSt ( y ) + SS e ( y )
平方和、自由度的剖分 SST（x）= SSt（x）+ SSe （x） SST（y）= SSt （y）+ SSe （y） SPT(xy)=SPt(xy)+SPe(xy)
【例1】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪食 欲增进剂， 欲增进剂，以增进食欲， 以增进食欲，提高断奶重， 提高断奶重，对哺乳仔 猪做了以下试验： 试验设对照、 、配方1、配方 猪做了以下试验： 试验设对照 2、配方3共四个处理， 共四个处理，重复12 次，选择初始 条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头 ， 完全随机分为4组进行试验， 组进行试验，结果见表， 结果见表，试作分 析。
1.20 1.00 1.15 1.10 1.00 1.45 1.35 1.15 1.10 1.20 1.05 1.10 13.85 1.15
12.40 9.80 11.60 10.60 9.20 13.90 12.80 9.30 9.60 12.40 11.20 11.00 133.8 1.15
1.45 1.50 1.55 1.40 1.50 1.60 1.70
第十章 协方差分析
第一节 协方差分析的意义
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协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制， 统计控制，二是对协方差组分进行估计， 二是对协方差组分进行估计，现分述 如下。 如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。 但在有些情况下， 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以 使试验控制达到预期目的。 使试验控制达到预期目的。
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3、处理内乘积和与自由度
SPe = SPT − SPt = 8.25 − 1.64 = 6.61
df e ( x , y ) = df T ( x − v ) − df t ( x −v ) = 47 − 3 = 44
表 x与y的平方和与乘积和表
变异来源 处理间(t) df 3 SSx 0.83 0.92 1.75 SSy 11.68 85.08 96.76 SPxy 1.64 6.61 8.25
2、处理间乘积和与自由度
TxTy 1 1 k = (18.25×141.80 +15.40×130.10 + SP xi . yi . − ∑ t = n i=1 kn 12 63.15× 550.50 15.65×144.80 +13.85×133.80) − = 1.64 4 ×12 df t ( x , y ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
计量； 计量；
2 ( y − y ) ∑
n −1
2 均方（ 的无偏估 均方（MSy），它是方差 ），它是方差 σ y
计量； 计量；
∑ ( x − x )( y − y ) 为x与y的平均的离均差的乘积和， 的平均的离均差的乘积和，
n −1
简称均积，记为MPxy，MPxy是总体协方差 COV(x,y)的无偏估计量， 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。