广义最小二乘法
中国农业大学《计量经济学》(6 广义最小二乘法(GLS)与异
——对于线性函数，模型参数可以通过求解由一阶条件构成的 方程组估计得出；
——对于非线性方程，我们常常无法确保得到估计参数的解析 解，但通常能够利用数值逼近方法得到方程组的近似解。 此时估计参数可能不是唯一的，并且存在收敛困难。
线性性、无偏性、最小方差性
~
Var(b )
E
~ (b
b
~ )(b
b
)
E (
X
1X
)
1X
1
1uu
1X
(
X
1X
)
1
2 u
(
X
1
X
)1
s 4、
2 u
的估计：
2 e*e* * n k 1
二、异方差
1、含义
Var(ui
)
2 u
f
(
X
i
)
i 1,2,...n
即可：通u过i在散解点释图变观量察取。不同值时方差不同，异方差是X 的函数。
um
1 ni
Yi ni
Yij
j 1
1 ni
X i1 ni
X ij1
j 1
1 ni
X i2 ni
X ij 2
j 1
(i 1, 2, ...,m)
(i 1, 2,...,m)
(i 1, 2,...,m)
1 ni
X ik
ni
X ijk
j 1
(i 1, 2,...,m)
1
E(ui
4
NLS估计技术
求解非线性方程组的常用方法：
——线性化迭代求解法(Iterative linearization method)，即从一组参数的初始值开始将非线性 函数线性化，然后求解线性方程组并得到新的估 计值；重复上述步骤直到估计结果达到收敛标准 或达到最大迭代次数时为止。
广义最小二乘法stata命令
广义最小二乘法stata命令以《广义最小二乘法Stata命令》为标题，本文将讨论广义最小二乘法（GLS），它是统计推断中最常用的一种回归方法，在Stata统计软件平台上有独立的命令可以完成GLS回归分析。
1. 什么是GLSGLS是一种对复杂数据做回归分析的方法，它用于拟合把观测值和未知参数之间的非线性关系。
GLS是统计推断中最常用的一种回归方法，它的优点是可以处理模型中的噪声和缺失数据，有利于提高模型的准确性和稳定性。
GLS一般采用最小二乘法，即尽可能将观测值与预测值之间的差值最小化。
由于GLS可以处理模型中的噪声和缺失数据，可以有效地避免常规最小二乘法的一些问题，因此GLS被广泛用于统计推断的分析中。
2. Stata中GLS的应用Stata是统计分析和数据挖掘的集成统计分析软件，具有一种独特的GLS回归命令“regress, g”。
该命令用来对复杂的数据做回归分析，使用GLS方法完成参数估计。
在Stata中，GLS回归分析的步骤非常简单，只需在Stata命令窗口输入：regress, g y x1 x2 x3 x4 x5，就可以进行GLS回归分析，其中y为因变量，x1x2x3x4x5为自变量。
经过GLS回归分析后，将会生成拟合的模型参数，预测因变量的方差和参数的显著性等结果，以及其它一些诊断统计量（如残差分析，残差正态性检验等）和图表（如残差图、方差膨胀因子图等）。
3. GLS的缺点尽管 GLS具有很多优点，但它也有一些缺点。
GLS要求模型满足线性性质，即数据是正交的，如果模型中存在多重共线性，则会导致GLS的结果不准确。
此外，GLS非常耗时，在进行大数据量的回归分析时，计算时间会变得非常长，影响模型的分析和应用。
总之，GLS是一种用于统计推断分析的有用工具，它可以有效地处理复杂数据，是对模型进行准确拟合的有力工具。
然而，GLS也有一些不足，如果没有恰当的处理，可能会给模型的准确性带来负面影响。
广义最小二乘法的推导
广义最小二乘法的推导1. 引言广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）是一种用于解决线性回归问题的方法。
与最小二乘法相比，GLS可以处理数据中存在异方差（heteroscedasticity）和自相关（autocorrelation）的情况，提高了回归模型的准确性和效果。
在本文中，我们将详细推导广义最小二乘法的数学原理和推导过程。
首先，我们将介绍最小二乘法的基本概念和原理，然后讨论广义最小二乘法的推导过程，并最后给出一个示例来说明广义最小二乘法的应用。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的用于拟合线性回归模型的方法。
其基本思想是通过最小化残差平方和来选择最优的回归系数。
对于一个具有n个数据点的线性回归模型：Y=Xβ+ε其中，Y是n维的因变量向量，X是n行p列的自变量矩阵，β是p维的系数向量，ε是n维的误差向量。
最小二乘法的目标是找到最优的β，使得残差平方和最小：εTεminβ通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂=(X T X)−1X T Y其中，β̂表示最优的回归系数。
3. 广义最小二乘法最小二乘法假设误差项具有同方差且不相关的性质，然而在实际问题中，数据往往存在异方差和自相关的情况。
为了解决这些问题，我们引入广义最小二乘法。
3.1 异方差问题当误差项具有异方差性质时，最小二乘法的估计结果可能是偏误的。
为了解决异方差问题，我们可以对误差项进行加权处理。
假设误差项的方差为σi2，我们可以使用加权最小二乘法来估计回归系数。
目标函数可以表示为：minεT Wεβ其中，W是一个对角矩阵，对角线元素为σi−2。
通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂GLS=(X T WX)−1X T WYβ̂GLS表示广义最小二乘法的估计系数。
3.2 自相关问题当误差项存在自相关性质时，最小二乘法的估计结果也可能是偏误的。
计量经济学简答题及答案
计量经济学简答题及答案1、比较普通最小二乘法、加权最小二乘法和广义最小二乘法的异同.答:普通最小二乘法的思想是使样本回归函数尽可能好的拟合样本数据，反映在图上就是是样本点偏离样本回归线的距离总体上最小，即残差平方和最小.只有在满足了线性回归模型的古典假设时候,采用OLS才能保证参数估计结果的可靠性。
在不满足基本假设时，如出现异方差，就不能采用OLS。
加权最小二乘法是对原模型加权,对较小残差平方和赋予较大的权重，对较大赋予较小的权重，消除异方差，然后在采用OLS估计其参数。
在出现序列相关时，可以采用广义最小二乘法，这是最具有普遍意义的最小二乘法.最小二乘法是加权最小二乘法的特例,普通最小二乘法和加权最小二乘法是广义最小二乘法的特列。
6、虚拟变量有哪几种基本的引入方式？它们各适用于什么情况？答：在模型中引入虚拟变量的主要方式有加法方式与乘法方式，前者主要适用于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况.除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量,这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。
7、联立方程计量经济学模型中结构式方程的结构参数为什么不能直接应用OLS估计?答:主要的原因有三:第一,结构方程解释变量中的内生解释变量是随机解释变量，不能直接用OLS来估计;第二，在估计联立方程系统中某一个随机方程参数时，需要考虑没有包含在该方程中的变量的数据信息，而单方程的OLS 估计做不到这一点;第三，联立方程计量经济学模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性，表现于不同方程随机干扰项之间，如果采用单方程方法估计某一个方程,是不可能考虑这种相关性的，造成信息的损失.2、计量经济模型有哪些应用。
答:①结构分析，即是利用模型对经济变量之间的相互关系做出研究，分析当其他条件不变时，模型中的解释变量发生一定的变动对被解释变量的影响程度.②经济预测,即是利用建立起来的计量经济模型对被解释变量的未来值做出预测估计或推算。
计量经济学重点知识归纳整理
1.一般最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，一般最小二乘法要求样本回来函数尽可以好地拟合这组值，即样本回来线上的点∧i Y 及真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。
一般最小二乘法给出的推断标准是：被说明变量的估计值及实际观测值之差的平方和最小。
2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比一般最小二乘法更普遍的意义，或者说一般最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特别状况。
从今意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。
3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采纳一般最小二乘法估计其参数。
4.工具变量法IV ：工具变量法是克服说明变量及随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。
5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生说明变量的简化式方程采纳一般小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。
7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回来模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
假如模型的随机干扰项违反了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是说明变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。
广义最小二乘法
4.2
OLS估计
首先，我们需要看看一般化线性回归模型的 OLS 估计量的性质：
4
4.3. GLS估计—
已知
5
1. 小样本性质1 (1) 无偏性： E (b) = β (2) 方差： V ar (b) = σ 2 (X X)−1 X (3) 分布： b ∼ N (β, σ 2 (X X)−1 X 2. 大样本性质 给定如下假设 1 X X = Q0 n →∞ n lim 和 1 X n →∞ n lim X = Q1 (4.2) X(X X)−1 = σ 2 (X X)−1 X(X X)−1 )
1 X 2. limn →∞ n
(4.1)
是一个正定对角矩阵；
X = Q∗ ，其中， Q∗ 正定、有限。
假设 1 是我们本章考虑的重点，我们将干扰项的方差-协方差矩阵从经典 OLS 回归模型中 的 σ 2 I 一般化为非均齐方差 σ 2 。这是一般化线性回归模型的根本特点。利用该假设，我们可
以捕捉单个干扰项的方差，即， V ar (ε) 对角线上的元素的差异（这就是我们后面将要提到的异 方差问题）；同时也可以捕捉两个干扰项之间的同期相关性，即， V ar (ε) 非对角线上的元素不 为零（如后面提到的自相关和 SURE 模型）。处理一般化模型的基本思路是通过一些变换，使 其满足经典 OLS 回归模型中的基本假设，然后采用 OLS 进行估计即可。 假设 2 也是一个新加的假设条件。它限制了样本矩阵 X 和方差-协方差矩阵 σ 2 的关系，
5.6
异方差和序列相关形式未知时的 OLS 稳健性估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 5.6.2 Newey-West 估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wooldridge 估计方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
加权最小二乘法广义最小二乘法
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量 的影响被包含在随机误差项中。
每个企业所处的外部环境对产出量的影 响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项的方差并不随某一个 解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈 现复杂型。
❖ 如果 无任何特征和规律可言，整个计量模 型的建立将无法开展，因此，我们需要人为地 为它设定一些假定条件。
❖ 如果下列假定条件满足，我们就可以用最小二 乘法对模型进行回归估计。
❖ 事实上，我们进行OLS之前，规定了误差项必 须遵守的假定
❖ 因此有了对于误差项的高斯经典假定。
假设1：给定X1i， X2i，… Xki时，εi的条件分布均值 为零。 即：随机误差项具有零均值。
异方差性的后果
1。OLS估计量仍然具有无偏性、相合性和渐进 正态性。 2。 OLS估计量不再具有有效性 或者最小方差 性。
3。 Gauss-Markov 定理不再成立，即OLS不再是 最佳线性无偏估计（BLUE）。
❖ 在存在异方差时，如果画出散点图和残 差图，可能是以下形状。
异方差的检验
❖ 1。画图法。 ❖ 2。White检验。 ❖ 3。BP检验。
Var(Yi) Var( 0 1Xi) Var(i) Var(i) 2
• 异方差一般可归结为三种类型：
6 广义最小二乘法(GLS)与异方差
e =α0 +α1 f (X j ) +ε
c. 用WLS法消除。 法消除。 法消除
3、怀特（White）检验 、怀特（ ） a. 建立模型 例如： 例如 2 b. 检验统计量 检验统计量：
2 e =α0 +α1X1 +α2 X2 +α3X12 +α4 X2 +α5 X1X2
m= nR
2
n为样本容量，R2为可决系数，m 即LM统计量 朗格 为样本容量， 为可决系数， 统计量(朗格 为样本容量 统计量 拉日乘子统计量），近似服从自由度为 k (解释变量 拉日乘子统计量），近似服从自由度为 解释变量 ）， 2 的个数) 分布。 的个数 的 χ 分布 c. 判断 判断：在Eviews的模型估计结果输出窗口中， 选 View/ Residual Test/ White Heteroskedasticity
X2
2526.9 875.6 839.8 1088.0 1067.7 647.8 644.3 814.4 876.0 887.0 753.5 963.4 410.3 2526.9 875.6
4446.4 湖 2633.1 湖 1674.8 广 1346.2 广 480.5 海 1303.6 重 547.6 四 596.2 贵 5218.4 云 2607.2 西 3596.6 陕 1006.9 甘 2327.7 青 1203.8 宁 1511.6 新 1014.1
异方差检验
（1）图示法 ）
进一步的统计检验 (2)G-Q检验 检验 将原始数据按X 排成升序，去掉中间的7 将原始数据按 2排成升序，去掉中间的 个数据，得两个容量为12的子样本 的子样本。 个数据，得两个容量为 的子样本。 对两个子样本分别作OLS回归，求各自的 对两个子样本分别作 回归， 回归 2 2 e1 和 残差平方和 e2 ：
gls广义最小二乘法模型
知识创造未来
gls广义最小二乘法模型
广义最小二乘法（GLS）是一种最小二乘回归模型，通过对数据进
行权重化处理来更好地适应数据。
这种方法通常用于解决存在异方差
性的数据，即方差不均一的情况。
GLS模型基于正态分布假设，即数据的误差服从均值为零和方差为一个可确定函数的正态分布。
首先，GLS对每个观测值计算一个权重，该权重是方差与均值的函数。
通常使用逆方差函数来计算权重，即较
大的误差会得到较小的权重，反之亦然。
然后，根据权重重新权衡数据，使每个观测值的影响与它们的方
差成反比。
最后，在应用线性回归时，GLS使用加权最小二乘法来最小化残差平方和。
GLS模型的优点是可以更好地适应异方差性的数据，提高模型的精度和准确性。
它还可以通过对不同变量赋予不同的权重来优化模型。
但是，要正确应用GLS，需要正确估计权重函数，并且对正态分布的假设进行评估。
总之，GLS模型是一个非常有用的工具，可以帮助研究人员更好地适应异方差性的数据，提高模型的准确性和精度。
但是，对于使用GLS 模型的研究人员来说，需要仔细评估数据的正态性和异方差性，以确
保模型的可靠性。
1 / 1。
eviews广义最小二乘法操作
eviews广义最小二乘法操作
在eViews中进行广义最小二乘法操作，您可以按照以下步骤进行：
1. 打开eViews软件并加载数据集。
2. 选择“Quick”菜单栏中的“Estimate Equation”选项。
3. 在弹出的窗口中，选择“Single Equation”模型，并单击“OK”按钮。
4. 在“Specification”选项卡中，输入广义最小二乘法模型的方程式。
5. 在方程式中，使用最小二乘法运算符“ls”表示广义最小二乘法操作。
6. 根据需要，指定其他变量、约束条件和随机项等。
7. 单击“Estimate”按钮，开始进行广义最小二乘法估计。
8. 估计过程完成后，您将获得估计结果、统计检验和诊断结果等。
9. 您还可以使用eViews的图表和图形工具进行结果可视化和解释。
以上是在eViews中进行广义最小二乘法操作的简要步骤。
请注意，在实际操作中，您可能还需要根据具体情况进行模型设定、数据准备和结果解释等步骤。
(完整版)计量经济学重点知识归纳整理
1.普通最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，普通最小二乘法要求样本回归函数尽可以好地拟合这组值，即样本回归线上的点∧i Y 与真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。
普通最小二乘法给出的判断标准是：被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和最小。
2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比普通最小二乘法更普遍的意义，或者说普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特殊情况。
从此意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。
3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
4.工具变量法IV ：工具变量法是克服解释变量与随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。
5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生解释变量的简化式方程采用普通小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。
7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回归模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是解释变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。
广义最小二乘法的推导
广义最小二乘法的推导广义最小二乘法是一种用于拟合数据的统计方法，在该方法中，我们希望通过拟合一个参数向量β，使得模型预测值与实际观测值之间的残差（差异）平方和最小。
设我们有一个数据集D，其中包含n个样本，每个样本都有d个特征。
我们用矩阵X表示这些样本的特征，其中每行对应一个样本，每列对应一个特征。
向量y表示样本的目标值（即实际观测值）。
根据最小二乘法的原理，我们的目标是找到一个参数向量β，使得模型预测值ŷ和实际观测值y之间的平方差和最小。
我们的模型可以表示为：ŷ= Xβ为了表示残差的平方差和最小，我们引入了损失函数（loss function）的概念。
广义最小二乘法使用的损失函数是残差的平方和的平均值，即均方误差（mean squared error）：L(β) = (∑(y - ŷ)²) / n为了推导广义最小二乘法，我们需要最小化损失函数。
为了实现这一目标，我们需要计算损失函数关于参数向量β的导数，并将导数等于零的点解释为参数的最优解。
计算损失函数关于β的导数，可以得到一个关于β的向量，记为∇L(β)。
令∇L(β)等于零并求解，可以得到参数向量β的估计值β_hat。
为了计算∇L(β)，我们可以利用矩阵运算和微积分的规则。
具体而言，我们可以将损失函数展开，然后计算其关于β的偏导数。
这样，我们就可以使用线性代数的方法将∇L(β)表示为一个与数据集相关的矩阵和向量的函数。
当我们求解∇L(β) = 0时，可能没有解析解。
此时，我们可以使用数值优化算法，如梯度下降法（gradient descent），来逼近解。
梯度下降法通过迭代更新参数向量β，使得损失函数逐渐减小，从而找到最优解β_hat。
总之，广义最小二乘法通过最小化损失函数，找到一个最优的参数向量β，从而实现数据拟合的目标。
这是一种常用的统计方法，在回归分析等领域得到了广泛应用。
几种最小二乘法递推算法的小结
一、 递推最小二乘法递推最小二乘法的一般步骤：1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵ϕ：] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=ϕ没有给出输出序列的还要先算出输出序列。
本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ϕ。
2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。
一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别大，本例中取σ=100。
3. 按照下式计算增益矩阵G ：)()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ϕϕϕ-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ：)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=k k k y k G k k T θϕθθ5. 按照下式计算新的协方差阵P ：)1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ϕ6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准那么。
如满足，那么不再递推；如不满足，那么从第三步开场进展下一次地推，直至满足要求为止。
停机准那么：εϑϑϑ<--)(ˆ)1(ˆ)(ˆmax k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准那么。
7. 别离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中别离出来。
8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。
为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪声， 辨识结果为，，，b ，与真实值2，5，，b5相差无几。
程序5-7-2-1在计算模拟观测值时参加了白噪声序列，由于噪声的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。
辨识结果为a1 =， a2 =，756，b378。
程序5-7-2-2在计算模拟观测值时参加了有色噪声，有色噪声为E(k)+1.642E(k-1)+0.715E(k-2)，E(k)是白噪声序列，由于有色噪声的影响，此时的辨识结果变动范围远比白噪声时大，任取一组结果作为辨识结果。
广义最小二乘法
广义最小二乘法第五章广义最小二乘法当计量经济学模型同时存在序列相关和异方差,而且随机误差项的方差-协方差矩阵未知时我们可以考虑使用广义最小二乘法(gls)。
即下列模型：y=xβ+μ满足这样一些条件：e(μ)=0cov(μμ')=δ2ωω=11ω1221ω221ωn2...ω1n...ω2nωnn设立ω=dd'用d左乘y=xβ+μ的两边，得到一个新的模型d-1y=d-1xβ+d-1μy=x**-1β+μ*（1）该模型具备同方差性和随机误差相互独立性。
因为可以证明：e(μ*μ*')=δ2i于是需用普通最轻二乘法估算（1）式，获得的参数估计结果为ˆ=(x*'x*)-1x*'y*β=(x'ωx)x'ωy整个过程最重要的一步就是要估计ω，当模型存在一阶自相关时。
我们取-1-1-1ρn-1ρn-2ρn-1ρn-21案例四：广义最小二乘法在这里我们举例子去表明广义最轻二乘法的应用领域。
在探讨这个问题时所使用的数据如下表中5.1右图：首先我们计算ρ，我们可以直接根据ols估计出来的dw来计算，ols估计出来的结果为下表5.2：可以根据ρ=1-dw/2，dw=0.8774，因此ρ=0.5613,在这个基础上,我们可以得出结论这个方差-协方差矩阵。
方差协方差矩阵可以由以下一个程序去赢得：!p=0.5613matrix(17,17)fac1for!i=1to17fac1(!i,!i)=1for!j=1to17for!i=!j+1to17fac1(!i,!j)=!p^(!i-!j)fac1(!j,!i)=fac1(!i,!j)得到的矩阵结果为下表5.3下面再展开cholosky水解,获得d,展开cholosky水解时所用至的命令如下:1sym(17,17)fact1matrixfact1=@cholesky(fact)得到的fact1矩阵如下解fact1的逆矩阵就可以将数据展开切换,获得m2和gdp,解逆矩阵时使用的命令如下:matrix(17,17)fact2**fact2=@inverse(fact)得到的fact1矩阵的逆矩阵fact2如下m2*=m2*fact2gdp*=gdp*fact这样就可以获得一组转换后的数据,数据如下再对这组数据进行普通最小二乘法就可以得到这个方程的广义最小二乘法的估计结果,结果如下:可以看见，采用广义最轻二乘法后，序列有关的情况获得提升。
Chapter3 广义最小二乘法
第1章 广义最小二乘法在经典假定条件下，OLS 估计量具有BLUE 性质。
解释变量与误差项不相关保证了OLS 估计量的无偏性，误差项的同方差、无序列相关保证了OLS 估计量的有效性。
但实践中，这些假定很可能被违背。
因此，模型估计之后需要检验这些假定是否得到满足；如果某些假定被违背的的话，则需要对其进行修正。
本章介绍异方差、自相关情况下的模型修正。
1.1 异方差和自相关的概念在随机误差项u 满足同方差和没有序列自相关的假定下，u 的方差协方差矩阵Var(u ) 是一个对角矩阵。
即Var(u )主对角线上的元素都是相同的常数；非主对角线上的元素为零。
当这两个假定不成立时，V ar(u ) 不再是一个纯量对角矩阵。
Var(u ) = Ω = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛TT T T T T σσσσσσσσσ (2)12222111211≠σ 2 I 1.1 当Var(u )主对角线上的元素不相等时，表示误差项存在异方差。
如果非主对角线上的元素不为0，表示误差项存在序列相关。
当模型存在异方差或自相关时，1ˆE(|)E[(')'|]-=+=βX βX X X u X 0 111121ˆˆˆVar(|)E[()()'|]E[(')''(')|](')'(')(')σ-----=--= =≠βX ββββX X X X uu X X X X X X X ΩX X X X X因此，异方差和自相关不会影响OLS 估计量的无偏性，但会导致非有效性。
存在异方差或自相关时，参数估计量的方差估计量σ 2 (X 'X )-1是真实方差的有偏估计量，可能会低估或高估真实的方差。
t 统计量不再服从t 分布，即使是在大样本的情况下也是如此。
F 统计量也不再是F 分布。
由此导致错误的推断或预测。
比如，σ 2 (X 'X )-1低估了真实方差，那么t 统计量就高估了，就容易将不显著的变量错误地判断为显著。
常用算法分析——最小二乘法
常用算法分析——最小二乘法目录1.引言2.普通最小二乘法（OLS）3.OLS实现4.广义最小二乘法（GLS）简介1、引言最小二乘法应该是我们最早接触的一种数值估计算法。
它的特殊形式，一元线性回归，被广泛地应用于多种数值统计分析场合。
例如，在验证欧姆定律（U = IR）时，通常的实验方法是分别测量出多个不同电压Ui下，通过电阻的电流值Ii，然后将这些(Ui, Ii)观测点，代入到一元最小二乘公式(1-1)中，便可计算出\hat{R}。
\begin{cases}a&=&\frac{\sum{xy}-\frac{1}{N}\sum{x}\sum{y}}{\sum{x^2}-\frac{1}{N}(\sum{x})^2}\\b&=&\frac{1}{N}\sum{y}-\frac{a}{N}\sum{x}\end{cases} (1-1)由此可得出线性拟合式(1-2)\hat{y}=a\hat{x}+b (1-2)其中，\hat{y}=\hat{U},\ \hat{x}=\hat{I},\ a=\hat{R},\ b 是残差。
通过此方法将观测点及拟合曲线绘制在同一个直角坐标系中，正常情况下可以直观地看到，观测点会均匀分布在直线附近，且每个点的残差平方和（即方差）最小。
“最小二乘法”由此得名。
2、普通最小二乘法（OLS）最小二乘法显然不只是一元线性回归那么简单，它还可以应用于多元参数的拟合。
本节将对普通最小二乘法（Ordinary Least Squares）的原理进行简单的推导和证明。
2.1、高斯—马尔可夫定理高斯—马尔可夫定理（the Gauss–Markov theorem，简称G-M定理）在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量（即Best Linear Unbiased Estimator，简称BLUE)。
G-M定理共对OLS普通线性方程提出5个假设：假设1（线性关系）：要求所有的母集团参数（population parameters）为常数，用来保证模型为线性关系。
广义最小二乘法(GLS)与异方差
2 Xn
1
X2
1 Xn
P 左乘 Y b 0 b1 X u, 得
1
Y1 1 X1 x1 Y 1 2 X x2 2 1 Yn xn Xn
参数非线性
当模型为参数非线性形式ຫໍສະໝຸດ ，需要采用非线性估计 技术。 非线性模型的一般形式为：
——Yi = f(Xi, b) + ei
——式中f(.)为一个可微分的非线性函数，b为（K+1）×1 未知参数向量，X为 n ×(K+1） 解释变量矩阵，e为服从 某种形式统计分布的误差项（通常用正态分布）。
Y1 1 X 11 X 12 X 1k b 0 u1 Y2 1 X 21 X 22 X 2 k b1 u2 Ym 1 X m1 X m 2 X mk b k um
0
1
2
F
F F F F
2 e 1
2 H1 : 12 2
2 e 2
~
nc nc F( 2, 2) 2 2
拒绝H 0 ，有异方差； 接受H 0 ，无异方差。
五、模型估计—GLS
1、对分组资料情况， 已知
Yi b 0 b1 X i1 b 2 X i 2 ... b k X ik ui ( i 1, 2, ..., m )
12 1n 2 2 2n
2n
2 n
β的OLSE 特性：线性性、无偏性、方差最小不成立。
glm 最小二乘法
glm 最小二乘法glm是广义线性模型（Generalized Linear Model）的缩写，最小二乘法是glm中的一种参数估计方法。
最小二乘法是一种通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计模型参数的方法。
最小二乘法是统计学中常用的参数估计方法之一，它可以用于解决线性回归问题。
线性回归是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的回归分析方法。
在线性回归中，我们希望找到一条直线，使得该直线与观测数据点的残差平方和最小。
最小二乘法通过最小化残差平方和来寻找最优拟合直线的参数。
最小二乘法的基本思想是，通过最小化残差平方和来求解模型参数。
在线性回归中，我们假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
我们的目标是通过观测数据来估计β0和β1的值，从而得到最优拟合直线。
最小二乘法通过最小化残差平方和来估计模型参数。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，残差平方和则是所有观测值的残差平方的和。
最小二乘法的思想是，通过调整模型参数，使得残差平方和最小。
具体地，我们可以通过对残差平方和对模型参数求导，然后令导数等于零，求解方程组得到最优参数估计。
最小二乘法适用于线性回归模型，当模型中存在非线性关系时，最小二乘法的估计结果可能不准确。
为了解决这个问题，可以使用广义线性模型（glm）。
广义线性模型是线性回归模型的一种扩展，它允许因变量与自变量之间存在非线性关系。
广义线性模型通过引入链接函数和矩阵乘积来描述因变量与自变量之间的关系，从而使模型能够适用于更广泛的数据类型。
最小二乘法是glm中的一种参数估计方法，它是一种通过最小化残差平方和来估计模型参数的方法。
最小二乘法适用于线性回归模型，当模型中存在非线性关系时，可以使用广义线性模型来解决。
广义线性模型通过引入链接函数和矩阵乘积来描述因变量与自变量之间的关系，从而使模型能够适用于更广泛的数据类型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.5 广义最小二乘法（GLS ） GLS----Generalized Least Squares 1. 基本原理广义最小二乘法的基本思想在于引入一个所谓成形滤波器（白化滤波器），把相关噪声)(k ξ转化成白噪声)(k ε。
由方程（4-4）、（4-5），系统的差分方程可以表示为)()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=-- （4-114）式中n n z a z a z a z a ----++++=ΛΛ221111)(nn z b z b z b b z b ----++++=ΛΛ221101)(如果知道有色噪声序列)(k ξ的相关性，则可以把)(k ξ看成白噪声通过线性系统后所得的结果。
这种线性系统通常称为成形滤波器，其差分方程为)()()()(11_k z d k zc εξ---= （4-115）式中)(k ε是均值为零的白噪声序列，)()(11_---z d 、z c 是1-z 的多项式。
令 _111212_1()()1()m m c z f z f z f z f z d z ------==+++L L （4-116）有 )()(1)()()()(11k z f k k k z f εξεξ--==或 （4-117）即1212(1)()()m m f z f z f z k k ξε---++++=L L （4-118）或)()()2()1()(21k m k f k f k f k m εξξξξ+-------=ΛΛ ()1,,n k n N =++L L（4-119）这一噪声模型（自回归模型）的阶m ，一般事先是不知道的，实际经验表明，若指定m为2或3，就可以获得令人满意的描述)(k ξ的模型。
把方程（4-119）看作输入为零的差分方程，并由此式来写出N 个方程。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+---+--+-=+++-+---+-=+++-+-----=+)()()2()1()()2()2()()1()2()1()1()1()()1(212121N n m N n f N n f N n f N n n m n f n f n f n n m n f n f n f n m m m εξξξξεξξξξεξξξξΛΛM ΛΛΛΛ写成向量矩阵形式为εξ+Ω=f （4-120）其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n ξξξM ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m f f f M 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n εεεM ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+--+--+--+--+----=Ω)()2()1()2()()1()1()1()(m N n N n N n m n n n m n n n ξξξξξξξξξM Λ(4-120)式所示的线性组合关系是辨识问题的基本表达形式,称作最小二乘格式。
应用我们熟知的最小二乘法，可求出f 的估值。
1ˆ[]T T fξ-=ΩΩΩ （4-121） 考虑在噪声模型（4-117）下，系统的差分方程。
将（4-117）式得到的)()(1)(1k z f k εξ-=，代入（4-114）式有)()(1)()()()(111k z f k u z b k y z a ε---+= （4-122）变换成 )()()()()()()(1111k k u z f z b k y z f z a ε+=---- （4-123）令 )()()(1k y k y z f =- （4-124）)()()(1k u k u z f =- （4-125）于是可得 )()()()()(11k k u z b k y z a ε+=-- （4-126）即1201()(1)(2)()()(1)()()n n y k a y k a y k a y k n b u k b u k b u k n k ε=-------++-++-+L L （4-127）在（4-126）或（4-127）式中，)(k ε为不相关的随机序列（白噪声），故可以用最小二乘法得到θ的无偏估计（即n o n b b b a a ΛΛ11,,,）。
由此可见，广义最小二乘法（GLS ）是建立在最小二乘法（LS ）的基础之上的。
【3】基本最小二乘法只是广义最小二乘法在1)(1=-z f 时的特例。
2. 计算步骤：广义最小二乘法的关键问题是如何用比较简便的方法找到成形滤波器的系数。
其计算是逐次逼近法。
下面以（4-121）和（4-123）式为依据来讨论。
第一步：应用输入、输出数据)2,1)(()(N n k k y k u +=Λ和，按最初的模型a ()()()()()k k ub k y ξ+Z =Z--11求出θ的最小二乘估计(1)(1)(1)T (1)(1)(1)(1)(1)(1)121ˆˆˆ[]ˆˆˆˆˆˆTn o n a b a a a b b b θ=⎡⎤=⋯⋯⋯⋯⎣⎦这个估值是不精确的，它只是被估参数的一次近似。
第二步：计算残差)()1(κe ，并拟合成形滤波器的模型：)()(ˆ)()(ˆ)(1)1(1)1()1(k u b k y ae --Z -Z =κ （4-128） 或 (1)(1)(1)(1)(1)(1)11ˆˆˆˆˆ()()(1)()()(1)()n o ne y a y k a y k n b u k b u k b u k n κκ=+-+⋯⋯+-----⋯⋯-- ()N n n k +⋯⋯+=,1 （4-129）)(k e 称为广义残差，用广义残差e )1(k 代替ζ（k ）注意：残差)(k e 是模型噪声，而()k ε是系统噪声，可用最小乘法拟合出一个成型滤波器的模型。
)()()1()()1()1(1)1(k m k e f k e f k e m ε=--⋯⋯--=N n n k ++=ΛΛ,1 （4-130）利用（4-121）式得到f 的最小二乘估值)1()1(1)1()1()1(][ˆe fT T ΩΩΩ=- （4-131） 其中 (1)(1)(1)(1)12ˆˆˆˆ[]T mf f f f =L LT N n e n e n e e ]2)1([)1()1()1()1(）（）（+++=ΛΛ(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)()e n e n m e n N e n m N ⎡⎤--+⎢⎥Ω=⎢⎥⎢⎥-+--+⎣⎦L LMML L第三步：应用而所得的成形滤波器，对输入输出数据滤波由（4-124）（4-125）式有：⎪⎭⎪⎬⎫Z =Z =--)()(ˆ)()()(ˆ)(1)1()1(1)1()1(k u f k u k y f k y （4-132） 或 ⎪⎭⎪⎬⎫-++-+=-++-+=)()1(ˆ)()()(ˆ)1(ˆ)()()1()1(1)1()1()1(1)1(m k u f k u f k u k u m k y f k y f k y k y m mΛΛΛΛ （4-133） 第四步：求出参数θ的第二次估值θˆ（2）按模型a(z -1))()()()()1(1)1(k k u z b k yε+=-重新估计θ，得其最小=乘估值)2(ˆθ，并转入第二步。
以下将重复以上步骤：由)2(ˆθ，按步骤2计算残差()(2)k e，估值)2(ˆf ；按步骤3计算(2)(2)()();yk u k 、按步骤求θ的第3次估值)3(ˆθ。
进行多次循环，直到θ的第i 次估值)(ˆi θ收敛为止。
循环程序的收敛性判断：lim()1ˆ()1i i fz -→∞= （4-134） 这意味着残差e )(k 已经白噪声化，数据不需要继续滤波)(ˆi θ是参数θ的一个良好估计。
广义最小二乘辩识算法的程序框图：图4.12 广义最小二乘辩识算法的程序框图3．算例：将GLS 算法与LS 算法进行比较 有一单输入一单输出系统)()1()2()1()(121k k u b k y a k y a k y ξ+-+---=θ的真值为 []121[-0.5 0.5 1.0]T a a b θ==输入u （k ）是具有零均值和单位方差的独立高斯随机变量序列；)(k ξ 的成形滤波器模型为：11()()(1.00.85)()()f z k z k k ξξε--=+=即)(85.0,0.1110相关较大是为了使残差强烈f f f ==)(k ε 是具有方差20.64δ=的零均值白噪声。
辩识结果：利用了N=300的输入输出数据，用广义最小二乘法（GLS ）进行迭代计算。
每次迭代计算，都计算出残差的均方误差：Ne e T =2ˆσ，计算结果绘于图X 中。
图4.13 辨识结果图4. 优缺点：优：能够克服当存在有色噪声干扰时，基本最小二乘估计的有偏性，估计效果较好，在实际中得到较好的应用。
缺：——计算量大，每个循环要调用两次最小二乘法及一次数据滤波，——求差分方程（4-123）的参数估值，是一个非线性最优化问题，不一定总能保证算法对最优解的收敛性。
广义最小二乘法本质上是一种逐次逼近法。
对于循环程序的收敛性还没有给出证明。
——GLS 算法的最小二乘指标函数J 中可能存在一个以上局部极小值，（特别在信噪比不大时，J 可能是多举的）。
GLS 方法的估计结果往往取决于所选用参数的初始估值。
参数估计初值应选得尽量接近优参数。
在没有验前信息的情况下，最小二乘估值被认为是最好的初始条件。
——广义最小二乘法的收敛速度不是很高。
（图4.11即是一个说明）。
4.6 递推广义最小二乘法（RGLS ）RGLS---Recursive Generalized Least Squares 首先回顾整批GLS 辨识方法中的有关算式：11()()()()()a z y k b z u k k ξ--=+ （4-114）)()()(1k k z f εξ=- （4-117）)()()()()()()(1111k k u z f z b k y z f z a ε+=---- （4-123）)()()(1k y z f k y -= （4-124） )()()(1k u z f k u -= （4-125）)()()()()(11k k u z b k y z a ε+=-- （4-126）（4-126）式的形式和（4-4）、（4-5）式完全一样，相应有ξφθεθφ+=↔+=Y Y （4-33）（4-135）为建立递推计算公式，当观测数据长度为N 时，把（4-135）式写成：N N N N Y εθφ+= （4-136）广义最小二乘法的递推计算过程可分成二部分：（1）按递推最小二乘法（RLS ），随着N 的增大，不断计算N θˆ（逐步接近于无偏）和Nf ˆ（逐步使噪声白化）； （2）在递推过程中，N θˆ和Nf ˆ是时变的，则过滤信号)().(k y k u 及残差)(k e 是由时变系统产生，要不断计算)().(k y k u 及)(k e 。