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2023年全国统一高考数学试卷(北京卷)含答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x ∣∣，则M N （）A.{21}x x ∣B.{21}x x ∣C.{2}xx ∣ D.{1}xx ∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是( ，则z 的共轭复数z （）A.1B.1C.1D.13.已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b rrrr，则22||||a b rr（）A.2B.1C.0D.14.下列函数中，在区间(0,) 上单调递增的是（）A.()ln f x x B.1()2xf xC.1()f x xD.|1|()3x f x 5.512x x的展开式中x 的系数为（）．A.80B.40C.40D.806.已知抛物线2:8C y x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x 的距离为5，则||MF （）A.7B.6C.5D.47.在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，则C （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π68.若0xy ，则“0x y ”是“2y xx y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列 n a 满足 31166(1,2,3,)4n n a a n，则（）A.当13a 时， n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M 恒成立B.当15a 时， n a 为递增数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立C.当17a 时， n a 为递减数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立D.当19a 时， n a 为递增数列，且存在常数0M ，使得n a M 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x ，则12f____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0) 和(2,0)，离心率为，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若, 为第一象限角，且，则tan tan ．能说明p 为假命题的一组, 的值为 __________， _________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ，则7a ___________；数列 n a 所有项的和为____________．15.设0a，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a ，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a 上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设 111222,,,M x f x xa N x f x x a ，则||1MN ；④设 333444,,,P x f x xa Q x f x x a ．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面ABC ，1PA AB BC PC，．（1）求证：BC 平面PAB ；（2）求二面角A PC B 的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x．（1）若(0)2f，求的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33上单调递增，2π13f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求, 的值．条件①：π3f；条件②：π13f；条件③：()f x 在区间ππ,23上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b 的离心率为3，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x ，曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x ．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x ，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列 ,n n a b 的项数均为m (2)m ，且,{1,2,,},n n a b m L ,n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ．对于 0,1,2,,k m L ，定义max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m L ∣，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ，且112,1,2,,1,j j j r r r j m L ，求n r ；（3）证明：存在 ,,,0,1,2,,p q s t m L ，满足,,p q s t 使得t p sq A B A B ．参考答案【1题答案】A 【2题答案】D 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】D 【7题答案】B 【8题答案】C 【9题答案】C 【10题答案】B 【11题答案】1【12题答案】22122x y 【13题答案】9π4π3【14题答案】48384【15题答案】②③【16题答案】（1）证明略（2）π3【17题答案】（1）π3.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1 ，π6.【18题答案】（1）0.4（2）0.168（3）不变【19题答案】（1）22194x y （2）证明略【20题答案】（1）1,1a b（2）略（3）3个【21题答案】（1）00r ，11r ，22r ，33r （2）,n r n n N （3）证明略。

2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答

2023年北京市高考数学试卷一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=（）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}x x -<≤∣ C. {2}x x ≥-∣D. {1}x x <∣2. 在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =（）A. 1B. 1-C.1-+D. 1-3. 已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=（） A. 2-B. 1-C. 0D. 14. 下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A. ()ln f x x =- B. 1()2xf x =C. 1()f x x=-D. |1|()3x f x -=5. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）． A. 80-B. 40-C. 40D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5,则||MF =（）A. 7B. 6C. 5D. 47. 在ABC ∆中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=（） A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美．如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD ,则该五面体的所有棱长之和为（）A. 102mB.112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+=,则（） A. 当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B. 当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C. 当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D. 当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),,则C 的方程为____________． 13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β= _________．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15. 设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩,给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减； ②当1a ≥时,()f x 存在最大值； ③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x xa ≤>,则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC,1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面P AB ；（2）求二面角A PC B --的大小．17. 设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．（1）若(0)f =求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件①：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件①：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分．18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示．在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D分别是E 的左、右顶点,||4AC =．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20. 设函数3()e ax b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y ．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈,定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣,其中,max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=-,求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈,满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．2023年北京市高考数学试卷解析一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. A解：由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣ 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤<.故选：A 2. D解：z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-+由共轭复数的定义可知,1z =-. 故选：D 3. B解：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- 所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B 4. C解：对于A,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误；对于B,因为2xy =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误；对于C,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确；对于D,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --===== 显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选：C. 5. D解：512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选：D 6. D解：因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,准线方程为2x =-,点M 在C 上所以M 到准线2x =-的距离为MF 又M 到直线3x =-的距离为5 所以15MF +=,故4MF =. 故选：D. 7. B解：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-,即222a c ab b -=-则222a b c ab +-=,故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又0πC <<,所以π3C =. 故选：B. 8. C解：因为0xy ≠,且2x yy x+=- 所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件. 故选：C 9. C解：如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接,OG OM由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠所以5tan tan EMO EGO ∠=∠=. 因为EO ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以EO BC ⊥ 因为EG BC ⊥,,EO EG ⊂平面EOG ,EO EG E ⋂= 所以BC ⊥平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥ 同理：OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形所以由10BC =得5OM =,所以EO 所以5OG =所以在直角三角形EOG 中,EG ==在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,8EB ===又因为55255515EF AB =--=--=所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C 10.B解：因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=-- 对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤ 证明：当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立；设当n k =时,63k a -≤-成立则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +< 故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--,结合160n a +-< 所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立故A 不成立. 对于B ,若15,a 可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<证明：当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时,56k a ≤<成立则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时, 可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤ 证明：当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立；设当n k =时,67k a <≤成立则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得：()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时, 可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥ 证明：当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立；设当n k =时,9k a ≥成立则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立由数学归纳法可得9n a ≥成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误. 故选：B.二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 1解：函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：112. 22122x y -=解：令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =由双曲线C,得ca=解得a =则b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=13. ①9π4 ① π3解：因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,若00π02<<<αβ,则00tan tan <αβ取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ,即tan tan αβ<令12k k >,则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ,则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ 即12k k >,则αβ>. 不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ,即9ππ,43αβ==满足题意. 故答案为：9ππ;43. 14. ① 48 ① 384解：设前3项的公差为d ,后7项公比为0q >则4951921612a q a ===,且0q >,可得2q则53212a a d q=+=,即123d +=,可得1d = 空1：可得43733,48a a a q ===空2：()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++15. ②③解：依题意,0a >当x a <-时,()2f x x =+,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时,()f x =易知其图像是,圆心为()0,0,半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时,()1f x =,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①,取12a =,则()f x 的图像如下显然,当(1,)x a ∈-+∞,即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,故①错误；对于②,当1a ≥时当x a <-时,()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时,()f x =a ；当x a >时,()112f x =<≤- 综上：()f x 取得最大值a ,故②正确；对于③,结合图像,易知在1x a =,2x a >且接近于x a =处,()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小当1x a =时,()10y f x ==,当2x a >且接近于x a =处,()221y f x =<此时,1211MN y y >->>,故③正确；对于④,取45a =,则()f x 的图像如下因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-结合图像可知,要使PQ 取得最小值,则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭ 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a 此时,因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1,则1OP k =-,故直线OP 的方程为y x =-联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,则()1,1P -显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,满足PQ 取得最小值即45a =也满足PQ 存在最小值,故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦,故④错误. 故答案为：②③.三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （1）证明见解析（2）π3【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC所以PA BC ⊥,同理PA AB ⊥ 所以PAB 为直角三角形又因为PB ==,1,BC PC ==所以222PB BC PC +=,则PBC 为直角三角形,故BC PB ⊥ 又因为BC PA ⊥,PA PB P =所以BC ⊥平面PAB . 【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ,又AB ⊂平面PAB ,则BC AB ⊥以A 为原点,AB 为x 轴,过A 且与BC 平行的直线为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系如图则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =,则11y =-,所以(1,1,0)m =- 设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =,则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩ 令21x =,则21z =,所以(1,0,1)n =所以11cos ,22m n m n m n⋅===⨯又因为二面角A PC B --为锐二面角所以二面角A PC B --的大小为π3. 17. （1）π3ϕ=-. （2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件①可解得1ω=,π6ϕ=-. 【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅== 因为π||2ϕ<,所以π3ϕ=-. 【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><,所以() f x 的最大值为1,最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1,最小值为1-,所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω== 所以()()sin f x x ϕ=+又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈ 所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=-.所以1ω=,π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-,即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 以下与条件②相同． 18. （1）0.4 （2）0.168 （3）不变【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为：160.440= 【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次.不变的有9次,下跌的有2次. 因此估计第41次不变的概率最大.19. （1）22194x y +=（2）证明见解析【小问1详解】依题意,得c e a ==,则c =又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b = 所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a = 所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n +=易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--033PDn n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即 ()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+ 令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =- 所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++-- ()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+ 又022303CD k +==-,即MN CD k k = 显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD . 20. （1）1,1a b =-= （2）答案见解析（3）3个【小问1详解】因为3R ()e,ax bf x x x x +=-∈,所以()()2313e ax bf x a x x ++'=-因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y 所以(1)110f =-+=,(1)1f '=-则()311e 013e 1a b a ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩ 所以1,1a b =-=. 【小问2详解】由（1）得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-则()()1266ex x g x x x -+'+-=-令2660x x -+=,解得3x =±不妨设13x =23x =,则120x x << 易知1e 0x -+>恒成立.所以令()0g x '<,解得10x x <<或2x x >；令()0g x '>,解得0x <或12x x x<<；所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞,单调递增区间为(),0∞-和(3.【小问3详解】由（1）得()31R ()ex f x x x x -+=-∈,()()23113e x f x x x -+'-=-由（2）知()f x '在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增当0x <时,()24011e f '-=<-,()010f '=>,即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点,不妨设为3x ,则310x -<<此时,当3<x x 时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当30x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点；当()10,x x ∈时,()f x '在()10,x 上单调递减则()(()131120f x f f '''=<=-<,故()()100f f x ''< 所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点,不妨设为4x ,则410x x <<此时,当40x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；当41x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点；当()12,x x x ∈时,()f x '在()12,x x 上单调递增则()(()23310f x f f '''=>=>,故()()120f x f x ''< 所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点,不妨设为5x ,则152x x x <<此时,当15x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当52x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=>时,()232330x x x x -=-<所以()()231013ex f x x x-+'=->-,则()f x 单调递增所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上：()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点,在()10,x 上有一个极大值点,共有3个极值点.21. （1）00r =,11r =,21r =,32r = （2）,n r n n =∈N （3）证明见详解【小问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ======== 当0k =时,则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=,故00r =；当1k =时,则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=,故11r =；当2k =时,则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时,则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>,故32r =；综上所述：00r =,11r =,21r =,32r =. 【小问2详解】由题意可知：n r m ≤,且n r ∈N因为1,1n n a b ≥≥,则111,1n n A a B b ≥=≥=,当且仅当1n =时,等号成立所以010,1r r ==又因为112i i i r r r -+≤+,则11i i i i r r r r +--≥-,即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-= 可得11i i r r +-≥反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤- 当i j ≥时,则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时,则11i i r r +-=则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-又因为11j m ≤≤-,则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+> 假设不成立,故11n n r r +-=即数列{}n r 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】（①）若m m A B ≥,构建,1n n n r S A B n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≥,且n S 为整数反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≥ 则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<,可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≤-. ①若存在正整数N ,使得0N N N r S A B =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+； ①若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y X r Y r A B A B -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+；（①）若m m A B <,构建,1n n r n S B A n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≤,且n S 为整数反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≤- 则1,0K K r K r K B A m B A +-≤--> 可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≥-. ①若存在正整数N ,使得0N N r N S B A =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y r X r Y B A B A -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+；综上所述：存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得ps q r B B A A +=+．。

2024年北京卷数学高考试卷(原卷+答案)

1. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的第一部分（选择题共403．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦数2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京绝密★启用前卷）学注意事项：干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

.分）一项．已知集合 M x x =−<<{|31}，N x x =−≤<{|14}，则M N ⋃=（）A. x x −≤<11}{ B. {x x >−3}C. x x −<<|34}{D.x x <4}2. {已知zi=−−1i ，则z =（）．A.−−1i B.−+1i C. −1i D. 3. +1i 圆x y x y +−+=26022的圆心到直线x y −+=20的距离为（）A.B. 2C. 3D.4.在x4x 3(的展开式中，的系数为（）A.6 B.−6 C. 12 D. 5. 设−12a ，b 是向量，则“(a b a b +−=)·)0”是(“a b =−或a b =6. B. 必要不充分条件D. A. 充分不必要条件C. ”的（）．充要条件既不充分也不必要条件设函数ωω(()f x 1=−f x x =>sin 0).已知1()，f x 2)=1(，且x x −12的最小值为2π，则D. C. B. ω=（）234A. 17. 生物丰富度指数ln d =NS −1是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由 2.1提高到 3.15，则（）A. 32=N N 21 B. 23=N N 21C.N N =2123D.N N =218. 32如图，在四棱锥−P ABCD 中，底面是边长为4ABCD 的正方形，PA PB ==4，PC PD ==，该棱锥的高为（ B. A. ）.12C.D.9. 已知),(x y 11，),(x y 22是函数y =2x 的图象上两个不同的点，则（）A. < ++y y x x 22log 21212B. > ++y y x x 22log 21212C. +2log 212y y 12<+x x D. +2log 21210. y y 12>+x x 已知==+−≤≤≤≤2)(){(,|,12,01M x y y x t xx x t }是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值， S 是 M 表示的图形的面积，则（）A. S <d =3，1 B. S >d =3，1C.d =S <1D.d =，11. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分第二部分（非选择题共110S >1分）.抛物线y x 12. 的焦点坐标为________2=16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角为始边，它们终边关于原点对称.β均以Ox 若⎣⎦α⎡⎤∈63,π13. 的最大值为________cos ，则π⎢⎥β．若直线(y k x =−3)与双曲线4y 2−=1x 2只有一个公共点，则k 的一个取值为230mm ，则斗量器的高为65mm,325mm,325mm 状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为1014. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”________．是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为______mm ，升量器的高为________的．15. mm 设}{a n 与}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.{b n 记集合k k M k a b k ==∈|,N *结论：①}，给出下列4{个若}{a n 与}{b n 均②等差数列，则M 中最多有1个元素；若} {a n 与}③均为等比数列，则M 中最多有2{b n 个元素；若} {a n 为等差数列，}④为等比数列，则M 中最多有3{b n 个元素；若}{a n 为递增数列，}16. 其中正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程为递减数列，则M 中最多有1个元素{b n ..在ABC 中，内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，∠A 为钝角，a =7， =7sin 2cos B B （1）．求（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得∠A ；ABC 存在，求ABC 条件①的面积．：；条件②b =7：14cos B =；条件③13：=c A sin 17. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在四棱锥−P ABCD 中，BC AD //，AB BC ==1，AD =3,点E 在AD 上，且（1）PE DE ==2⊥PE AD ，．若PE F 为线段中点，求证：PCD BF //平面．为（2）若PAB PAD AB ⊥平面，求平面与平面18. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录PCD 夹角的余弦值．并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：（i 假设：一份保单保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望（ⅱE X )(；）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加的数学期望估计值与（i 20%，试比较这种情况下一份保单毛利润）中19. E X )(估计值的大小．（结论不要求证明）已知椭圆E ：a b22(x y 22a b E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形+=>>10)，以椭圆.过点t t >0,)((且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和C (0,1)的直线AC 与椭圆E的另一个交点为（1）D ．求椭圆（2）若直线BD 的斜率为0，求t E 的方程及离心率；的值．的20. 设函数)f x x k x k =++≠ln 10)((()，直线l 是曲线 =y f x )(在点,（1）(t f (t ))(t >0)处的切线．当 k =−1时，求(（2）f x )的单调区间.求证：l 不经过点k =(0,0).1时，设点A t f t t >,0)(())(，(0,C f t ))(，O (0,0)，B 为l 与y 轴的交点，SACO 与SABO分别△（3）当表示ACO 与ABO 的面积．是否存在点 A 使得△△215S S ACO ABO =成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：<<1.09ln31.10，<<1.60ln51.61，21. <<1.94ln71.95）已知集合=∈∈∈∈+++{}{}{}{}){(,,,1,2,3,4,5,6,7,8,且:,,,M i j k w i j k w i j k w 为偶数}．给定数列128A a a a ，和序列T T T s Ω:,,12,,,1,2,,，其中T i j k w M t s )=∈=t t t t t ()(，对数列A 进行如下变换：将A 的第i j k w ,,,1111项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1T (A )；将1(A )的第i j k w ,,,2222项均加1，其余项不变，得到数列记作21(T T A )；……；以此类推，得到(21T T T A )s，简记为（1）Ω(A )．给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7)()(（2）Ω(A )(，写出)；是否存在序列Ω，使得Ω(A )为a a a a a a a a 2,6,4,2,8,2,4,412345678++++++++，若存在，写出一个符合条件（3）Ω；若不存在，请说明理由；若数列A 的各项均为正整数，且+++a a a a 1357为偶数，求证：“存在序列Ω，使得等”的充要条件为Ω(A )的各项都相“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．的1. 答案解析已知集合 M x x =−<<{|31}，N x x =−≤<{|14}，则M N ⋃=（）A. {x x −≤<11}B. {x x >−3}C. −<<{x x |34}D.【答案】C 【详解】{x x <4}由题意得−<<N 2. 故选：M ⋃={x x |34}.C.已知zi=−−1i ，则z =（）．A.−−1i B.−+1i C.−1i D. 【答案】C 【详解】+1i 由题意得i 1i 3. 故选：z =−−=−(1i ).C.圆 22x y x y +−+=260的圆心到直线x y −+=20的距离为（）A.B. 2C. 3D.x y x y +−+=【答案】D 【详解】由题意得26022，即x y −++=131022))((，则其圆心坐标为−(1,3)，则圆心到直线x y −+=20=故选：D.4. 在x 4x (的展开式中，3的系数为（）A.6B.−6 C. 12 D. 【答案】−12A【详解】x 4(的二项展开式为==−=r rr rrr +T xxr r C C 1,0,1,2,3,414424−4−(())(，令−= r243，解得r =2，故所求即为22)5. 设故选：C 16(−=4.A.a ，b 是向量，则“(a b a b +−=)·)0”是“(a b =−或a b =”的（）．B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【详解】A. 充分不必要条件C. 充要条件【答案】B 因为a b a b a b 22)()0+⋅−=−=(，可得a b 22=，即a b =，可知a b a b +⋅−=)()0(等价于a b =若，a b =或a b =−，可得a b =，即a b a b +⋅−=)()0 (，可知必要性成立；若a b a b +⋅−=)()0(，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()(a b ==1,0,0,1)，满足a b =，但a b ≠且a b ≠− 综上所述，，可知充分性不成立；“a b a b +⋅−=)()0”是(“a b ≠且a b ≠−故选：B.6. ”的必要不充分条件.设函数ωω(()f x f x x =>sin 0).已知1)=−1(，f x 2)=1(，且x x −12的最小值为2π，则D. C. B. ω=（）234x A. 1【答案】B 【详解】由题意可知：1为f x )(的最小值点，x 2为f x )(的最大值点，则T 22πminx x 12−==，即T =π，且ω>0，所以T故选：B.7. ω==22π.生物丰富度指数ln d =NS −1是河流水质的一个评价指标，其中总数.生物丰富度指数d S N ,分别表示河流中的生物种类数与生物个体越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为 N 2，生物丰富度指数由 2.1提高到3.15，则（）A. 32=N N 21 B. 23=N N 21C. N N =2123D. N N =21【详解】【答案】32D 由题意得N N S S ln ln ==2.1, 3.15−−1112，则=122.1ln 3.15ln N N ，即122ln 3ln =N N ，所以N N =218. 故选：32.D 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，，该PC PD ==.棱锥的高为（ B. A. ）.12C.D.【答案】D 【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设PA PB AB PC PD =====4,，分别取AB CD ,的中点E F ,，连接,,PE PF EF ，则⊥⊥PE AB EF AB ,，且 PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面 PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作 EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABCD ，由题意可得： 2,4PE PF EF PE PF EF ===，则+=222，即PE PF ⊥，则⋅=⋅22PE PF PO EF 11，可得 ⋅EFPO ==PE PF ，当相对的棱长相等时，不妨设PA PC ==4，PB PD ==因为==+BD PB PD ，此时不能形成三角形PBD 9. 故选：，与题意不符，这样情况不存在.D.已知,)(x y 11，,y =2x )(x y 22是函数的图象上两个不同的点，则（）A. <++y y x x 22log 21212B. >++y y x x 22log 21212C. +2log 212y y 12<+x x D. +2log 212y y 12>+xxx x 12【答案】B 【详解】由题意不妨设<，因为函数022y =2x是增函数，所以<<x x 12，即对于选项AB 0<<y y 12，：可得++2>=222x x 212x x 12，即++2 2y y 12>>20x x 12，根据函数y x =log 2是增函数，所以>=+++y y x x 22log log 22221212对于选项D ，故B 正确，A x x 12错误；：例如x x ==0,112，则y y 12==1,2，可得+22322y y 12=∈(log log 0,1)，即 +2对于选项C log 1212，故D y y 12<=+x x 错误；：例如x x =−=−1,212，则y y ==24,1112，可得+282223==−∈−−y y 12(log log log 332,1)，即 +2故选：B.10. log 3212，故C y y 12>−=+x x 错误，已知==+−≤≤≤≤2)(){(,|,12,01M x y y x t xx x t }是平面直角坐标系中的点集.设d 是 M 中两点间距离的最大值，S 是 M 表示的图形的面积，则（）A. d =3， S <1 B. d =3，S >1C. d =S <1D.d =，x ∈[1,2【答案】C 【详解】S >1对任意给定]，则xx x x −=−≥102)(，且t ∈[0,1]，可知x x t x x x x x x ≤+−≤+−=222)(，即⎩再结合x x y x 2≤≤，的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域≤≤⎪≥≤x ⎪⎨y x 12⎧y x 2，如图阴影部分所示，其中()()(A B C 1,1,2,2,2,4)，可知任意两点间距离最大值d AC ==；阴影部分面积△ABC 2y x 的焦点坐标为________2=故选：C.11. S S <=⨯⨯=1211.抛物线16．【答案】【详解】(4,0)由题意抛物线的标准方程为y x2=16，所以其焦点坐标为(4,0).故答案为：12. (4,0).在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以为始边，它们的终边关于原点对称.Ox 若⎣⎦⎢⎥α⎡⎤∈63,πcos β的最大值为________π，则．【答案】 −21##【详解】−0.5由题意βα=++∈,Z ππ2k k ，从而=++=−cos cos cos βαα(π2k π)，因为⎣⎦⎢⎥α⎡⎤∈63,ππ，所以cos α的取值范围是⎣⎦⎢⎡22,1，cos β的取值范围是⎣⎦−− ⎡⎤22⎢⎥1，当且仅当α=3π，即3π2k k β=+∈,Z 4π时，cos β取得最大值，且最大值为 −21.故答案为： −213. 1.若直线(y k x =−3)与双曲线 4y −=12x 2只有一个公共点，则k 的一个取值为________．【答案】21（或 −2【详解】1，答案不唯一）联立⎩⎨⎪4y −=12⎪y k x =−3⎧x 2)(，化简并整理得：−+−−=k x k x k2222)(14243640，由题意得140k −=2或2222)kk k )(()Δ=++−=(244364140，解得k =±21或无解，即 k =±2，经检验，符合题意1.故答案为：21（或−2230mm ，则斗量器的高为65mm,325mm,325mm 14. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10，答案不唯一）1.的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为______mm ，升量器的高为________②. ①. ．mm 【答案】2357.5##2【详解】115设升量器的高为h 2h 1，斗量器的高为（单位都是mm ），则⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫h h ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪22ππ⎝⎭⎝⎭==1022⨯230 ⎪ ⎪ππ12 6532522h 232532522，故h 2=23mm ， 2mm h 1115=.故答案为： 223mm,mm 15. 115.设}{a n 与}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.{b n 记集合k k M k a b k ==∈|,N *①}，给出下列4{个结论：若}{a n 与②}均为等差数列，则M 中最多有1{b n 个元素；若} {a n 与}③均为等比数列，则M 中最多有2{b n 个元素；若}{a n 等差数列，}④为等比数列，则M 中最多有3{b n 个元素；若}{a n 为递增数列，} 其中正确结论的序号是______.【答案】①③④【详解】对于①为递减数列，则M 中最多有1个元素{b n .，因为n n },{{a b }均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故对于②中至多一个元素，故①正确M .，取n n n −1n −1a b ==−−2,2,()则a b n n ,{}{}均为等比数列，但当n n n 为偶数时，有22n −1对于③M 中有无穷多个元素，故②错误n −1a b ===−−)(，此时.，设n n(b AqAq q =≠≠±0,1)，n (a kn b k =+≠0)，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程Aq kn b 至少有4n=+个不同的正数解，若q q >≠0,1，则由y Aq n=和y kn b =+的散点图可得关于Aq kn b nn 的方程=+至多有两个不同的解，矛盾；若q q <≠±0,1，考虑关于n 的方程Aq kn b n=+奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq kn b n=+有偶数解，此方程即为 A q kn b n=+，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Ak q ln 0>，为否则Ak q <ln 0，因 ==+y A q y kn b n,单调性相反，方程A q kn b n=+至多一个偶数解，当Aq kn b n=+有奇数解，此方程即为−=+A q kn b n，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时Ak q −>ln 0即 Ak q <ln 0否则Ak q ln 0>，因 =−=+y A q y kn b n,单调性相反，方程A q kn b n=+至多一个奇数解，因为Ak q >ln 0，Ak q <ln 0不可能同时成立，故对于④Aq kn b 不可能有4个不同的整数解，即M 中最多有3个元素，故③正确n =+.，因为}{a n 为递增数列，}16. 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.故答案为：{b n 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，①③④.在ABC 中，内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，∠A 为钝角，a =7，=7（1）sin 2cos B B ．求（2）从条件①、条件②、条件③∠A ；这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 条件①的面积．：；条件②b =7：14cos B =；条件③13：=c A sin 【答案】（1注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．） A =3（2）选择①无解；选择②和③△ABC 2π；面积均为 4【解析】【小问1.详解】由题意得 =B B b B 72sin cos cos ，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则=2sin B，则===BA A b a sin sin sin 7，解得 2sin A =，因为A 为钝角，则A =3选择【小问22π.详解】①b =7，则B sin 7===A =32π，则B 为锐角，则B π=3，此时选择A B +=π，不合题意，舍弃；②14cos B =13，因为B为三角形内角，则14B sin ==，则代入=72sin B得b 1472⨯=，解得b =3， ⎪=+=+=+333⎛⎫C A B B B B ⎝⎭sin sin sin sin cos cos sin 2π2π2π)(⎝⎭ ⎪ =+−⨯=⎛⎫21421414131,则ABCSab C ==⨯⨯⨯=22144sin 73选择11.③=c A sinc ⨯=2c =5，则由正弦定理得=sin sin a c A C=sin C 5，解得 14sin C =，因为C为三角形内角，则C 14cos ==11，则 ⎪=+=+=+333⎛⎫B AC C C C ⎝⎭sin sin sin sin cos cos sin 2π 2π2π)(⎝⎭ ⎪ =+−⨯=⎛⎫21421414111，则 △S ac B ==⨯⨯⨯=ABC 22144sin 7517. 11如图，在四棱锥−P ABCD 中，//BC AD ，AB BC ==1，E AD =3,点在AD 上，且PE DE ==2PE AD ⊥，．（1）若F 为线段PE 中点，求证：（2）PCD BF //平面．若AB ⊥平面 PAD ，求平面PAB 与平面（2【答案】（1）PCD 夹角的余弦值．证明见解析）30【解析】【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则 ==2SF ED SF ED //,11，而 =ED BC ED BC //,2，故=//,SF BC SF BC ，故四边形SFBC 为平行四边形，故BF SC //，而BF ⊄平面 PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以BF //平面【小问2PCD .详解】因为ED =2，故AE =1，故//,=AE BC AE BC ，故四边形 AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而PE ED ⊂,平面PAD ，故⊥⊥,PE ED CE PE CE ED ，而⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A B C D P () )()−−)((则PA PB PC PD (0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2)，()()()(0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,=−−=−−=−=− )设平面PAB 的法向量为(,,m x y z=)，则由m PA ⋅=0m PB ⋅=0⎩⎪⎨⎪⎧可得⎩⎨x y z −−=y z 20⎧−−=20，取m =−(0,2,1)，设平面PCD 的法向量为n a b c =(,,)，则由n PC ⋅=0n PD ⋅=0⎩⎪⎨⎪⎩b c ⎧可得−=⎨220⎧a b −=20，取n =(2,1,1)，1故cos ,m n −==−⨯ 530，故平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为3018. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：（i 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望（ⅱE X )(；）如果无索赔的保单的保费减少 4%，有索赔的保单的保费增加的数学期望估计值与（i 20%，试比较这种情况下一份保单毛利润）中【答案】（1E X )(估计值的大小．（结论不要求证明））10（2）(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i 1）中【解析】【小问1E X )(估计值详解】设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得++++ ++80010060301010（ⅰ【小问2P A )6030101==(.详解】）设0,0.8,1.6,2.4,3ξξ为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得10005100010P P ξξ0,0.880041001) ()(======，ξ100050P ( 1.6)===603， ξ1000100P ( 2.4)===303，ξ1000100P (3)===101，故 51050100100E (ξ)=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4133100.8 1.6 2.430.278故（ⅱ（万元）E X )=−=0.40.2780.122(.）由题设保费的变化为 ⨯⨯+⨯⨯=550.496%0.4 1.20.4032 41，故E Y =+−=0.1220.40320.40.1252()（万元），从而()<(19. E X E Y ).已知椭圆E ：a b a b+=>>1022E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形)x y 22(，以椭圆.过点t t >0,)((且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A B ,，过点A 和C (0,1)的直线AC 与椭圆E的另一个交点为（1）D ．求椭圆【答案】（1（2）若直线BD 的斜率为0，求t E 的方程及离心率；的值．）+==4221,e （2x y 22）【解析】【小问1t =2详解】由题意b c ===，从而 a ==2，所以椭圆方程为42+=1x y 22，离心率为e =2【小问2；详解】直线AB AB 斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，从而设AB y kx t k t =+≠>:,0,(，,,,1122)((A x y B x y )，联立⎩=+⎪⎪y kx t ⎨42+=1⎧x y 22，化简并整理得+++−=k x ktx t 222)(124240，由题意k t k t k t1682128420Δ=−+−=+−>222222)()()(，即k t ,应满足420kt 22+−>，所以++−−k k x x x x +==1221, 424221212kt t 2，若直线斜率为0BD ，由椭圆的对称性可设 D x y 22)(−,，所以+x x −AD y x x y 12:=−+11y y 12)(，在直线AD 方程中令x =0，得+x x x x x x kt ty t +++−x y x y 42121212122112211212k t 2−(x kx t x kx t kx x t x x )42)()2()C ====+==1(+++++，所以t =2，此时k 应满足⎩⎨k ≠k t k +−=−>0⎧42420222，即k应满足k <−2或k >2，综上所述，t =2满足题意，此时k <2或 k >220. .设函数f x x k x k =++≠ln 10)(()()，直线l 是曲线 =y f x )(在点, （1）(t f (t ))(t >0)处的切线．当k =−1时，求（2）的单调区间f x )(.求证：l 不经过点k =1(0,0).时，设点A t f t t ,0)(())(>，C f t 0,O (0,0)(())，，B 为l 与Sy 轴的交点，ACO 与SABO分别△（3）当表示ACO 与ABO 的面积．是否存在点 A 使得△△215S S ACO ABO =成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据： 1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，【答案】（1）1.94ln71.95<<）单调递减区间为−(1,0)，单调递增区间为（3）+∞(0,).2（2）证明见解析【解析】【小问1详解】=−+=−=>− 'f x x x f x x 11++xx x()ln(1),()1(1)1，当('x ∈−1,0)时，(f x )<0；当(0,x ∈+∞)，fx∴f x ()；在(1,0)−上单调递减，在(0,)上单调递增+∞.则f x ()的单调递减区间为(1,0)−，单调递增区间为(0,)+∞.【小问2详解】'1+k x f x ()1=+，切线l 的斜率为 1+k t1+，则切线方程为⎝⎭⎪ −=+−>1+⎛⎫k t y f t x t t ()1()(0)，将(0,0)代入则⎝⎭⎝⎭−=−+=+ f t t f t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪11k k t t ()1,()1++，即t k t t t+++=+t k 1ln(1)，则t 1+t t ln(1)+=， +−=t 1+tt ln(1)0，令F t t =+−1+tt()ln(1)，假设l 过(0,0)，则F t ()在存在零点t ∈+∞(0,).'=−=>t t t 1(1)(1)+++11+−t t t 22∴F t ()F t ()0，在(0,)+∞上单调递增，∴F t F t F ()(0)0>=，()在+∞(0,)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过k =【小问3(0,0).详解】1时，' 11++x +x x()ln(1),()10f x x x f x =++=+=>12.Stf t ACO=2()1，设l 与y 轴交点B 为qt >(0,)，0时，若q <0，则此时l 与由（2必有交点，与切线定义矛盾f x ().）知.q ≠0所以q >0，则切线l 的方程为⎝ 1+t y t t ⎛⎫−−+=+⎭1(x t )ln 1) ⎪1−(，令x =0，则 ===+−t +t 1215SS y q y t ln(1).ACOABO =，则⎣⎦tf t t t ⎡⎤⎢⎥t +t 12()15ln(1)=+−，t t 1+t t13ln(1)2150∴+−−=，记1+=+−−>h t t t t t ∴()13ln(1)2(0)15t，满足条件的A 有几个即h t ()有几个零点.'++++++−++−t t t t t t t t t 1(1)(1)(1)(1)h t ()2=−−===1315294(21)(4)13132211522222+−−+−2t t t )(，当⎝⎭⎪t ⎛⎫∈20,1时， '(h t )<0，此时(h t )单调递减；当⎝⎭⎪t ⎛⎫∈2,4 1时，'h t )>0(，此时h t )(单调递增；当(4, 't ∈+∞)时，(h t )<0，此时(h t )单调递减；因为⎝⎭⎪ ⎛⎫2(0)0,0,(4)13ln 52013 1.6200.80h h h ==−⨯−=>1， =−−=−−<⨯−−=−<⨯2555h (24)13ln 254826ln 54826 1.614820.54015247272，所以由零点存在性定理及h t ()的单调性，h t ()在⎝⎭⎪⎛⎫2 ,41上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h t ()有两个零点，即满足215S S =ACO ABO 的21. 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题A 有两个.【点睛】.已知集合=∈∈∈∈+++{}{}{}{}){(,,,1,2,3,4,5,6,7,8,且:,,,M i j k w i j k w i j k w 为偶数}．给定数列128A a a a ，和序列T T T s Ω:,,12,,,1,2,,，其中T i j k w M t s )=∈=t t t t t ()(，对数列A 进行如下变换：将A 的第i j k w ,,,1111项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1(A )；将T 1(A )的第i j k w ,,,2222项均加1，其余项不变，得到数列记作21((21T T A )；……；以此类推，得到T T T A )s，简记为（1）Ω(A )．给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列)()((（2）Ω(A Ω:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7)，写出)；是否存在序列Ω，使得Ω(A )为a a a a a a a a 2,6,4,2,8,2,4,412345678++++++++，若存在，写出一个符合条件的（3）Ω；若不存在，请说明理由；若数列A 的各项均为正整数，且+++1357a a a a 为偶数，求证：“存在序列Ω，使得等”的充要条件为Ω(A )的各项都相“ +=+=+=+12345678【答案】（1a a a a a a a a ”．）（2）Ω(A ):3,4,4,5,8,4,3,10不存在符合条件的（3）证明见解析【解析】【小问1Ω，理由见解析详解】因为数列A :1,3,2,4,6,3,1,9，由序列 T 1(1,3,5,7)可得1T A ):2,3,3,4,7,3,2,9(；由序列T 2 (2,4,6,8)可得21(T T A ):2,4,3,5,7,4,2,10；由序列 T 3(1,3,5,7)可得321T T T A ):3,4,4,5,8,4,3,10(；所以【小问2详解】Ω(A ):3,4,4,5,8,4,3,10.解法一：假设存在符合条件的Ω，可知Ω(A )的第1,2项之和为a a s 12++，第3,4项之和为a a s 34++，则⎩+++=++⎪+++=++3434)42⎪1212)(⎨(a a a a s)26)(⎧(a a a a s，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4Ω；，假设存在符合条件的Ω，且 ⋅⋅⋅):,,,128Ω(A b b b ，因为+++++++4共有8=826428244，即序列Ω项，由题意可知：−−n n n n b b a a n 8,1,2,3,4212212+−+== ) )((，检验可知：当n =2,3时，上式不成立，即假设不成立，所以不存在符合条件的s ...【小问3详解】Ω.解法一：我们设序列21(T T T A )为s n ,}(≤≤0,{a n 18)，特别规定nn (T T T 必要性：aa n =≤≤18).若存在序列sΩ:,,12，使得Ω(A )的各项都相等.则=======s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8 a a a a a a a a ，所以+=+=+=+s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8a a a a a a a a .根据s ...21( T T T A )的定义，显然有−−−−s j s j s j s j ,21,21,211,2j =a a a a +=++1，这里1,2,3,4，s =1,2,....所以不断使用该式就得到+=+=+=+=+−s s 12345678,1,2a a a a a a a a a a s ，必要性得证.充分性：若+=+=+=+12345678a a a a a a a a .由已知，+++1357a a a a 为偶数，而+=+=+=+12345678a a a a a a a a ，所以+++=+−+++2468121357)(4(a a a a a a a a a a )也是偶数.我们设s ...21T T T A )(是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列Ω(A )中，使得−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8最小的一个.上面已经说明−−−−s j s j s j s j a a a a +=++1,21,21,211,2，这里j =1,2,3,4，s =1,2,....从而由+=+=+=+12345678 a a a a a a a a 可得+=+=+=+=++s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,812a a a a a a a a a a s .同时，由于+++i j k w t t t t 总是偶数，所以+++t t t t ,1,3,5,7a a a a 和+++t t t t ,2,4,6,8a a a a 的奇偶性保持不变，从而+++s s s sa a a a ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得−a a s j s j −≥2,21,2.假设存在，根据对称性，不妨设j =1，−a a s j s j −≥2,21,2，即s s 情况1a a ,1,2−≥2.：若s s s s s s ,3,4,5,6,7,8a a a a a a −+−+−=0，则由+++s s s s a a a a ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数，知s s a a ,1,2−≥4.对该数列连续作四次变换)()()((2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7)后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 4,14,24,34,44,54,64,74,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8减少4，这与情况2−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾；：若s s s s s s ,3,4,5,6,7,8a a a a a a −+−+−>0，不妨设s s 情况2-1a a ,3,4−>0：如果s s a a ,3,4−≥1，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7,2,4,6,8)()(后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 2,12,22,32,42,52,62,72,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8至少减少2，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8情况2-2的最小性矛盾；：如果s s a a ,4,3−≥1，则对该数列连续作两次变换)((2,3,5,8,2,3,6,7)后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 2,12,22,32,42,52,62,72,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8至少减少2，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有−,21,2a a s j s j −≤1.假设存在j =1,2,3,4使得−,21,2.a a s j s j −=1，则−+,21,2a a s j s j 是奇数，所以+=+=+=+s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8N a a a a a a a a 都是奇数，设为+21.则此时对任意j =1,2,3,4，由−a a s j s j −≤1,21,2可知必有−s j s j{}=+,21,2{a a N N ,,1}.而+++s s s s a a a a ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数，故集合s m =,{m a N }中的四个元素i j k w ,,,之和为偶数，对该数列进行一次变换,,,(i j k w )，则该数列成为常数列，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 1,11,21,31,41,51,61,71,8等于零，比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8更小，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8最小性矛盾.的综上，只可能−s j s j ,21,2(a a j −==01,2,3,4)，而+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8，故s n ,}=Ω(是常数列，充分性得证{a A ).解法二：由题意可知：Ω中序列的顺序不影响Ω(A )的结果，且,,,,,,,12345678)()()(（ⅰ(a a a a a a a a )相对于序列也是无序的，）若+=+=+=+12345678a a a a a a a a ，不妨设≤≤≤a a a a 1357，则≥≥≥a a a a 2468①，当===a a a a 1357，则===8642a a a a ，分别执行a 1个序列(2,4,6,8)、a 2个序列(1,3,5,7)，可得++++++++,,,,,,,1212121212121212②a a a a a a a a a a a a a a a a ，为常数列，符合题意；当a a a a ,,,1357中有且仅有三个数相等，不妨设==a a a 135，则==246a a a ，即,,,,,,,12121278a a a a a a a a ，分别执行a 2个序列a (1,3,5,7)、7个序列(2,4,6,8)可得++++++++,,,,,,,1227122712272778a a a a a a a a a a a a a a a a ，即++++++++,,,,,,,1227122712272712a a a a a a a a a a a a a a a a ，因为+++1357a a a a 为偶数，即3a a 17+为偶数，可知,a a 17的奇偶性相同，则−2aa71∈N *，分别执行−a a 271个序列(1,4,5,8)(2,3,5,8)(1,3,6,8)(1,3,5,7)，，，，可得+−+−+−+−+−+−+−+−a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 22222222,,,,,,,③，323232323232323272172172172172172172172为常数列，符合题意；若=<=1357a a a a ，则=>=2468a a a a ，即,,,,,,,12125656a a a a a a a a ，分别执行a 5个(1,3,6,8)、a 1个(2,4,5,7)，可得++++++++a a a a a a a a a a a a a a a a ,,,,,,,1512151215561556，因为+=+a a a a 1256，可得++++++++a a a a a a a a a a a a a a a a ,,,,,,,1512151215121512④即转为①，，可知符合题意；当a a a a ,,,1357中有且仅有两个数相等，不妨设a a =13，则a a =24，即,,,,,,,12125678a a a a a a a a ，分别执行a 1个(2,4,5,7)、a 5个(1,3,6,8)，可得++++++++,,,,,,,1512151215561758a a a a a a a a a a a a a a a a ，且+=+a a a a 1256，可得++++++++,,,,,,,1512151215121758a a a a a a a a a a a a a a a a ，因为+++=++21357157a a a a a a a 为偶数，可知,a a 57的奇偶性相同，则+++++++=++15151517157)43)()()((a a a a a a a a a a a 为偶数，且+=+=+<+15151517⑤a a a a a a a a ，即转②，可知符合题意；若<<<1357a a a a ，则>>>a a a a 2468，即,,,,,,,12345678a a a a a a a a ，分别执行a 1个(2,3,5,8)、a 3个(1,4,6,7)，可得++++++++,,,,,,,1312133415363718a a a a a a a a a a a a a a a a ，且+=+1234a a a a ，可得++++++++,,,,,,,1312131215363718a a a a a a a a a a a a a a a a ，因为+++1357a a a a 为偶数，则+++++++=+++++13131537131357)()2()()()((a a a a a a a a a a a a a a )为偶数，且+=+<+<+13131537a a a a a a a a ，即转为④，可知符合题意；综上所述：若+=+=+=+12345678Ωa a a a a a a a ，则存在序列，使得（ⅱΩ(A )为常数列；）若存在序列Ω，使得Ω(A )为常数列，为因为对任意⋅⋅⋅):,,,128Ω(A b b b ，均有+−+=+−+12123434)()()((b b a a b b a a )56567878)=+−+=+−+)( )()((b b a a b b a a 成立，若Ω(A )为常数列，则+=+=+=+b b b b b b b b 12345678，所以+=+=+=+12345678综上所述：“a a a a a a a a ；存在序列Ω，使得Ω(A )为常数列”的充要条件为“+=+=+=+a a a a a a a a 12345678”.。

2023高考英语北京卷试卷带答案解析（完整版）

2023高考英语北京卷试卷带答案解析2023高考英语北京卷试卷带答案解析(完整版)2023北京高考英语听说考试满分50分，其他外语(非英语)听力考试满分30分，取两次听说(听力)考试的最高成绩与其他部分试题成绩一同组成外语科目成绩计入高考总分。

以下是小编汇总关于2023高考英语北京卷试卷带答案解析的相关内容，供大家参考!2023年北京市高考英语试卷第一部分知识运用(共两节，30分)第一节(共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

I was always timid(羞怯的). Being new to the school made me even ____1____ , so it was surprising I’d ____2____ to anyone around me. Now I was paying the price﹣to write a five﹣page es say on “Why I Should Not Talk in Class”. That would take all night!After I got home, though. I took my time petting the cat﹣postponing the pain.When I finally sat down to ____3____, I began with the reasons Ms Black would want to hear.Talking kept me and my neighbours from ____4____. One paragraph down; now what? I chewed on my pencil. Aha! What if talking were the first step towards life as a criminal? Without the education I was throwing away, I’d turn to theft and go to prison. When I got out, people would say, “She used to talk in class.” The pages began ____5____.But when mum got home from work, I was still ____6____, “Five pages! That’s impossible!”“Well, you’d better get back to work,” she said. “and Iwant to read it when you’re through.”Soon after dinner, I handed the essay to mum. I half expected a____7____﹣at least an “I hope you’ve learned your lesson”. ____8____, mum laughed and laughed as she read.The next day, when Ms Black read the essay to the class, everyone laughed. I could ____9____ they weren’t making fun of me: they laughed because I had the power to tell a funny story. My____10____ still needed some nudging(激发), but I did learn I wasn’t shy in print.1. A. freer B. shyer C. calmer D. happier2. A. nod B. point C. listen D. chat3. A. weep B. rest C. write D. read4. A. learning B. playing C. planning D. laughing5. A. standing out B. flying by C. breaking up D. checking in6. A. celebrating B. longing C. complaining D. warning7. A. lecture B. reason C. reward D. solution8. A. Therefore B. Moreover C. Meanwhile D. Instead9. A. hope B. imagine C. tell D. predict10. A. patience B. confidence C. tolerance D. independence第二节(共15分)A阅读下面短文，根据短文内容填空。

2024年北京高考英语试卷(附答案)

2024年北京高考英语试卷（附答案）英语第一部分知识运用(共两节，30分)第一节(共10小题;每小题 1.5分，共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

I’d just arrived at school,ready for another school day.I was reading a book in the classroom when there was an___1___.“Today at1:10there will be auditions(面试)for a musical.”My friends all jumped up in excitement and asked me,“Will you be going,Amy?”“Sure,”I said.I had no___2___in drama,but I’d try out because my friends were doing it.At1:10,there was a___3___outside the drama room.Everyone looked energetic.I hadn’t expected I’d be standing there that morning.But now that I was doing it,I___4___felt nervous.What if I wasn’t any good?I entered the room and the teachers made me say some lines from the musical.They then___5___my singing skills and asked what role I wanted to play.The teachers were smiling and praising me.I felt like I had a___6___, so I said,“A big role.”They said they’d look into it.I started getting really nervous.What if I didn’t get a main role?Soon,the cast list was___7___.My friends checked and came back shouting,“Amy,you got the main role!”Sure enough,my name was at the top.I just stared at it and started to___8___.I was so happy.After two months we were all prepared and ready to go on stage.It was fun.And when people started___9___, that gave me a boost of confidence.It stayed with me and made me feel___10___.I realised that by trying something new,I can have fun—even if it means stepping out of my comfort zone.1.A.assignment B.initiative C.announcement D.interview2.A.hesitancy B.interest C.worry D.regret3.A.game B.show C.play D.line4.A.suddenly B.continuously C.originally D.generally5.A.advertised B.tested C.challenged D.polished6.A.demand B.credit C.dream D.chance7.A.traded B.posted C.questioned D.claimed8.A.well up B.roll in C.stand out D.go off9.A.whispering B.arguing C.clapping D.stretching10.A.funnier B.fairer C.cleverer D.braver【答案】1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D7.B8.A9.C10.D【解析】【导语】本文是一篇记叙文。

2023年新高考北京高考语文真题(含答案)

（取材于叶浩生、苏得权等的相关文章）
材料二：
有许多实验支持具身认知的假设。例如，有一个实验要求学生参加一个关于耳机舒适度的测试。研究者告诉学生，这种耳机已经在走路、跳舞、听课等情况下进行了测试，现在要测试的是在水平移动头部（即摇头）和垂直移动头部（即点头）时耳机声音的质量。学生被随机分成3组，分别为头部水平移动组、垂直移动组和对照组。在随后的测试中，学生先听到一段音乐，然后是广告商推荐这款耳机的一段话。水平移动组一边听一边摇头，垂直移动组一边听一边点头，对组不需要移动头部。最后学生需要完成一份简单的问卷，给这款耳机打分，并回答是否同意广商的观点。
2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
语文
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面材料，完成下面小题。
材料一：
认知与身体的关系一直是认知心理学关注的一个重要问题。
最初，符号加工模式在认知心理学中居于主流地位。该模式认为认知的本质就是计算，如果把大脑比作计算机的硬件，那么认知就是运行在这个“硬件”上的“程序”。认知功能是相对独立的，不依赖于身体，就像程序在功能上是独立于硬件的，这就是所谓的“离身认知”。离身认知观把人比作机器，把认知过程看成计算，认为人只能接受指令算法。如果把某个人收到的刺激信号输入到另外一个人的大脑中，可以得到同样的感觉体验。可是，现实情况是，不同的人对世界的感知千差万别。面对同一事物可能会有“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”的惬意，也可能会有“感时花溅泪，恨别鸟惊心”的惆怅。
6.下列对句中加点词语的解释，不正确的一项是（）
A.辟地广境数千里广：宽广
B.遂从嗜欲从；放纵
C.则取勇猛能操切百姓者操切：胁迫
D.黩货之风日甚一日黩：贪求
7.下列各组语句中，加点词的意义和用法都相同的一组是（）

2024年北京卷化学高考试卷(原卷+答案)

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）化学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷满分100分，考试时间90分钟。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16第一部分本部分共14题，每题3分，共42分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1. 我国科研人员利用激光操控方法，从Ca 原子束流中直接俘获41Ca 原子，实现了对同位素41Ca 的灵敏检测。

41Ca 的半衰期(放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间)长达10万年，是14C 的17倍，可应用于地球科学与考古学。

下列说法正确的是A. 41Ca原子核内有21个中子B. 41Ca 的半衰期长，说明41Ca 难以失去电子C.41Ca 衰变一半所需的时间小于14C 衰变一半所需的时间D. 从Ca 原子束流中直接俘获41Ca 原子的过程属于化学变化 2. 下列化学用语或图示表达不正确的是A. 22H O 的电子式：B. 4CH 分子的球棍模型：C. 3+Al 的结构示意图：D. 乙炔的结构式：H C C H ——的3. 酸性锌锰干电池的构造示意图如下。

关于该电池及其工作原理，下列说法正确的是A. 石墨作电池的负极材料B. 电池工作时，+4NH 向负极方向移动 C. 2MnO 发生氧化反应 D. 锌筒发生的电极反应为-2+Zn-2e Zn =4. 下列说法不正确的是A. 葡萄糖氧化生成2CO 和2H O 的反应是放热反应B. 核酸可看作磷酸、戊糖和碱基通过一定方式结合而成的生物大分子C. 由氨基乙酸形成的二肽中存在两个氨基和两个羧基D. 向饱和的NaCl 溶液中加入少量鸡蛋清溶液会发生盐析 5. 下列方程式与所给事实不相符的是A. 海水提溴过程中，用氯气氧化苦卤得到溴单质：--222Br +Cl Br +2Cl =B. 用绿矾(42FeSO 7H O ⋅)将酸性工业废水中的2-27Cr O 转化为3+2+2-+3+3+272Cr :6Fe +Cr O +14H 6Fe +2Cr +7H O =C. 用245%?Na SO 溶液能有效除去误食的2+2-2+44Ba :SO +Ba BaSO =↓D. 用23Na CO 溶液将水垢中的4CaSO 转化为溶于酸的3CaCO ：2+2-33Ca +CO CaCO =↓ 6. 下列实验的对应操作中，不合理的是眼睛注视锥形瓶中溶液A ．用HCl 标准溶液滴定A. AB. BC. CD. D7. 硫酸是重要化工原料，工业生产制取硫酸的原理示意图如下。

北京高考试题及答案

北京高考试题及答案一、语文试题及答案**（一）现代文阅读**1. 阅读下面的文字，完成下列各题。

材料一：在人类文明的发展历程中，文字的出现无疑是一个重要的里程碑。

文字不仅是记录语言的工具，也是传承文化、传递信息的重要载体。

随着社会的发展，文字的形式和功能也在不断演变。

在数字化时代，文字的表现形式更加多样化，如电子书籍、网络文章等，它们极大地丰富了人们的阅读体验。

材料二：近年来，随着人工智能技术的发展，机器翻译技术取得了显著进步。

机器翻译能够快速、准确地将一种语言翻译成另一种语言，极大地促进了跨文化交流。

然而，机器翻译在处理一些复杂语境和文化差异时，仍然存在一定的局限性。

问题：（1）根据材料一，简述文字在人类文明发展中的作用。

（2）根据材料二，分析机器翻译技术的优势与局限性。

答案：（1）文字在人类文明发展中的作用主要体现在两个方面：一是作为记录语言的工具，它使得语言得以跨越时间和空间的限制，为人类知识的积累和传承提供了可能；二是作为传承文化、传递信息的载体，文字促进了不同文化之间的交流与融合，推动了社会的进步和发展。

（2）机器翻译技术的优势在于其快速、准确的翻译能力，能够极大地提高跨文化交流的效率。

然而，其局限性主要表现在对复杂语境和文化差异的处理上，机器翻译可能无法完全理解语言背后的深层含义和文化背景，导致翻译结果出现偏差。

**（二）古诗文阅读**2. 阅读下面的唐诗，完成下列各题。

《春夜喜雨》杜甫好雨知时节，当春乃发生。

随风潜入夜，润物细无声。

野径云俱黑，江船火独明。

晓看红湿处，花重锦官城。

问题：（1）这首诗描绘了一幅怎样的画面？（2）“润物细无声”一句在诗中有什么含义？答案：（1）这首诗描绘了一幅春夜细雨滋润万物的宁静画面，诗人通过对雨的描写，表达了对春雨的喜爱和对春天生机勃勃景象的赞美。

（2）“润物细无声”一句在诗中形象地描绘了春雨悄然无声地滋润着大地，使万物复苏，同时也隐含了诗人对春雨默默无闻、无私奉献的赞美。

2024北京高考真题物理(含答案)

2024北京高考真题物理本试卷分第一部分和第二部分．满分100分，考试时间90分钟．第一部分本部分共14小题，每小题3分，共42分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．1．已知钍234的半衰期是24天.1g钍234经过48天后，剩余钍234的质量为（）A．0g B．0.25g C．0.5g D．0.75g2．一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，汽车的制动距离为（）A．5m B．10m C．20m D．30m3．一个气泡从恒温水槽的底部缓慢上浮，将气泡内的气体视为理想气体，且气体分子个数不变，外界大气压不变．在上浮过程中气泡内气体（）A．内能变大B．压强变大C．体积不变D．从水中吸热4．如图所示，飞船与空间站对接后，在推力F作用下一起向前运动．飞船和空间站的质量分别为m和M，则飞船和空间站之间的作用力大小为（）A．MFM m+B．mFM m+C．MFmD．mFM5．如图甲所示，理想变压器原线圈接在正弦式交流电源上，输入电压u随时间t变化的图像如图乙所示，副线圈接规格为“6V，3W”的灯泡．若灯泡正常发光，下列说法正确的是（）A．原线圈两端电压的有效值为B．副线圈中电流的有效值为0.5AC．原、副线圈匝数之比为1∶4D．原线圈的输入功率为12W6．如图所示，线圈M和线圈P绕在同一个铁芯上，下列说法正确的是（）A．闭合开关瞬间，线圈M和线圈P相互吸引B ．闭合开关，达到稳定后，电流表的示数为0C ．断开开关瞬间，流过电流表的电流方向由a 到bD ．断开开关瞬间，线圈P 中感应电流的磁场方向向左7．如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道BC 在B 点平滑连接．一小物体将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C ．下列说法正确的是（）A ．物体在C 点所受合力为零B ．物体在C 点的速度为零C ．物体在C 点的向心加速度等于重力加速度D ．物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点的动能8．将小球竖直向上抛出，小球从抛出到落回原处的过程中，若所受空气阻力大小与速度大小成正比，则下列说法正确的是（）A ．上升和下落两过程的时间相等B ．上升和下落两过程损失的机械能相等C ．上升过程合力的冲量大于下落过程合力的冲量D ．上升过程的加速度始终小于下落过程的加速度9．图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置．手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示．下列说法正确的是（）A ．0t =时，弹簧弹力为0B ．0.2s t =时，手机位于平衡位置上方C ．从0t =至0.2s t =，手机的动能增大D ．a 随t 变化的关系式为24sin(2.5π)m /s a t =10．水平传送带匀速运动，将一物体无初速度地放置在传送带上，最终物体随传送带一起匀速运动．下列说法正确的是（）A ．刚开始物体相对传送带向前运动B ．物体匀速运动过程中，受到静摩擦力C ．物体加速运动过程中，摩擦力对物体做负功D ．传送带运动速度越大，物体加速运动的时间越长11．如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M 、N 两点，P 、Q 是MN 连线上的两点，且MP QN =．下列说法正确的是（）A ．P 点电场强度比Q 点电场强度大B ．P 点电势与Q 点电势相等C ．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P 点电场强度大小也变为原来的2倍D ．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P 、Q 两点间电势差不变12．如图所示为一个加速度计的原理图．滑块可沿光滑杆移动，滑块两侧与两根相同的轻弹簧连接；固定在滑块上的滑动片M 下端与滑动变阻器R 接触良好，且不计摩擦；两个电源的电动势E 相同，内阻不计．两弹簧处于原长时，M 位于R 的中点，理想电压表的指针位于表盘中央．当P 端电势高于Q 端时，指针位于表盘右侧．将加速度计固定在水平运动的被测物体上，则下列说法正确的是（）A ．若M 位于R 的中点右侧，P 端电势低于Q 端B ．电压表的示数随物体加速度的增大而增大，但不成正比C ．若电压表指针位于表盘左侧，则物体速度方向向右D ．若电压表指针位于表盘左侧，则物体加速度方向向右13．产生阿秒光脉冲的研究工作获得2023年的诺贝尔物理学奖，阿秒（as ）是时间单位，181as 110s −=⨯，阿秒光脉冲是发光持续时间在阿秒量级的极短闪光，提供了阿秒量级的超快“光快门”，使探测原子内电子的动态过程成为可能．设有一个持续时间为100as 的阿秒光脉冲，持续时间内至少包含一个完整的光波周期．取真空中光速83.010m /s c =⨯，普朗克常量346.610J s h −=⨯⋅，下列说法正确的是（）A ．对于0.1mm 宽的单缝，此阿秒光脉冲比波长为550nm 的可见光的衍射现象更明显B ．此阿秒光脉冲和波长为550nm 的可见光束总能量相等时，阿秒光脉冲的光子数更多C ．此阿秒光脉冲可以使能量为1813.6eV( 2.210J −−−⨯的基态氢原子电离D ．为了探测原子内电子的动态过程，阿秒光脉冲的持续时间应大于电子的运动周期14．电荷量Q 、电压U 、电流I 和磁通量Φ是电磁学中重要的物理量，其中特定的两个物理量之比可用来描述电容器、电阻、电感三种电磁学元件的属性，如图所示．类似地，上世纪七十年代有科学家预言Φ和Q 之比可能也是一种电磁学元件的属性，并将此元件命名为“忆阻器”，近年来实验室已研制出了多种类型的“忆阻器”．由于“忆阻器”对电阻的记忆特性，其在信息存储、人工智能等领域具有广阔的应用前景．下列说法错误的是（）A．QU的单位和ΦI的单位不同B．在国际单位制中，图中所定义的M的单位是欧姆C．可以用IU来描述物体的导电性质D．根据图中电感L的定义和法拉第电磁感应定律可以推导出自感电动势的表达式I E LM∆=∆第二部分本部分共6小题，共58分．15．（8分）（1）某同学测量玻璃的折射率，作出了如图1所示的光路图，测出了入射角i和折射角r，则此玻璃的折射率n=___________________．图1（2）用如图2所示的实验装置探究影响感应电流方向的因素．如图3所示，分别把条形磁体的N极或S极插入、拔出螺线管，观察并标记感应电流的方向．图2 图3关于本实验，下列说法正确的是____________（填选项前的字母）．A．需要记录感应电流的大小B．通过观察电流表指针的偏转方向确定感应电流的方向C．图3中甲和乙表明，感应电流的方向与条形磁体的插入端是N极还是S极有关（3）某兴趣小组利用铜片、锌片和橘子制作了水果电池，并用数字电压表（可视为理想电压表）和电阻箱测量水果电池的电动势E和内阻r，实验电路如图4所示．连接电路后，闭合开关S，多次调节电阻箱的阻值R，记录电压表的读数U，绘出图像，如图5所示，可得：该电池的电动势E=____________V，内阻r=________kΩ．（结果保留两位有效数字）图4 图516．（10分）如图甲所示，让两个小球在斜槽末端碰撞来验证动量守恒定律．（1）关于本实验，下列做法正确的是____________（填选项前的字母）．A ．实验前，调节装置，使斜槽末端水平B ．选用两个半径不同的小球进行实验C ．用质量大的小球碰撞质量小的小球（2）图甲中O 点是小球抛出点在地面上的垂直投影，首先，将质量为1m 的小球从斜槽上的S 位置由静止释放，小球落到复写纸上，重复多次．然后，把质量为2m 的被碰小球置于斜槽末端，再将质量为1m 的小球从S 位置由静止释放两球相碰，重复多次．分别确定平均落点，记为M 、N 和P （P 为1m 单独滑落时的平均落点）．a ．图乙为实验的落点记录，简要说明如何确定平均落点；b ．分别测出O 点到平均落点的距离，记为OP 、OM 和ON ．在误差允许范围内，若关系式____________成立，即可验证碰撞前后动量守恒．（3）受上述实验的启发，某同学设计了另一种验证动量守恒定律的实验方案．如图丙所示，用两根不可伸长的等长轻绳将两个半径相同、质量不等的匀质小球悬挂于等高的O 点和O '点，两点间距等于小球的直径．将质量较小的小球1向左拉起至A 点由静止释放，在最低点B 与静止于C 点的小球2发生正碰．碰后小球1向左反弹至最高点A '，小球2向右摆动至最高点D ．测得小球1，2的质量分别为m 和M ，弦长1AB l =、23A B l CD l '==、．推导说明，m 、M 、1l 、2l 、3l 满足什么关系即可验证碰撞前后动量守恒．17．（9分）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S ，管口离水池水面的高度为h ，水在水池中的落点与管口的水平距离为d ．假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g ，h 远大于管口内径．求：（1）水从管口到水面的运动时间t ；（2）水从管口排出时的速度大小0v ；（3）管口单位时间内流出水的体积Q ．18．（9分）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图．在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L 的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C 的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦．已知磁场的磁感应强度大小为B ，导体棒的质量为m 、接入电路的电阻为R ．开关闭合前电容器的电荷量为Q ．（1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I ；（2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a ；（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v 随时间t 的变化图线．19．（10分）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样．以某一点O 为观测点，以质量为m 的小星体（记为P ）为观测对象．当前P 到O 点的距离为0r ，宇宙的密度为0ρ．（1）求小星体P 远离到02r 处时宇宙的密度ρ；（2）以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面．P 受到的万有引力相当于球内质量集中于O 点对P 的引力．已知质量为1m 和2m 、距离为R 的两个质点间的引力势能12p m m E GR=−，G 为引力常量．仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动．a ．求小星体P 从0r 处远离到02r 。

2024北京高考真题真题卷及答案

2024北京高考真题生物本试卷满分100分，考试时间90分钟。

第一部分本部分共15题，每题2分，共30分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1. 关于大肠杆菌和水绵的共同点，表述正确的是（）A. 都是真核生物B. 能量代谢都发生在细胞器中C. 都能进行光合作用D. 都具有核糖体2. 科学家证明“尼安德特人”是现代人的近亲，依据的是DNA的（）A. 元素组成B. 核苷酸种类C. 碱基序列D. 空间结构3. 胆固醇等脂质被单层磷脂包裹形成球形复合物，通过血液运输到细胞并被胞吞，形成的囊泡与溶酶体融合后，释放胆固醇。

以下相关推测合理的是（）A. 磷脂分子尾部疏水，因而尾部位于复合物表面B. 球形复合物被胞吞的过程，需要高尔基体直接参与C. 胞吞形成的囊泡与溶酶体融合，依赖于膜的流动性D. 胆固醇通过胞吞进入细胞，因而属于生物大分子4. 某同学用植物叶片在室温下进行光合作用实验，测定单位时间单位叶面积的氧气释放量，结果如图所示。

若想提高X，可采取的做法是（）A. 增加叶片周围环境CO2浓度B. 将叶片置于4℃的冷室中C. 给光源加滤光片改变光的颜色D. 移动冷光源缩短与叶片的距离5. 水稻生殖细胞形成过程中既发生减数分裂，又进行有丝分裂，相关叙述错误的是（）A. 染色体数目减半发生在减数分裂ⅠB. 同源染色体联会和交换发生在减数分裂ⅡC. 有丝分裂前的间期进行DNA复制D. 有丝分裂保证细胞的亲代和子代间遗传的稳定性6. 摩尔根和他的学生们绘出了第一幅基因位置图谱，示意图如图，相关叙述正确的是（）果蝇X染色体上一些基因的示意图A. 所示基因控制的性状均表现为伴性遗传B. 所示基因在Y染色体上都有对应的基因C. 所示基因在遗传时均不遵循孟德尔定律D. 四个与眼色表型相关基因互为等位基因7. 有性杂交可培育出综合性状优于双亲的后代，是植物育种的重要手段。

六倍体小麦和四倍体小麦有性杂交获得F1。

2024年北京卷语文高考试卷(原卷+答案)

之前有研究发现，古代气候变化深刻影响了我国古代农耕社会文明的发展，我国历史上百年尺度的冷暖变化与社会经济波动之间呈现同期性，总体上表现出“冷抑暖扬”研究人员将气候重建的结果与中国历史朝代相对应，发现不同历史时期的气候呈现出冷暖交替的特点。

比如，隋朝末年气候偏于冷干，唐朝初期和中期温暖湿润，后期快速转冷，与之相伴的是干旱化。

五代十国时期，北方经历了70从重建的温度与降水结果来看，我国北方地区的气候呈现出不断变冷、变干的大趋势。

大约前3000年变化缓慢，之后的2000年变化加速。

这主要与太阳辐射变化有关，太阳辐射能量在过去5000年间持续下降。

另外，过去2000年以来的快速冷干现象还可能与太阳活动、局部火山活动等因素有关。

而且这一时期内区域植被六盘山北联池靠近中华文明核心区，由中国科学院、南京大学、兰州大学等单位的研究人员组成的联合团队选取这里的沉积物样品，借助brGDGTs ，通过定量分析，重建了5000年以来我国北方更高分辨率的暖季（4月至10月）温度变化过程。

结合山西某地沉积物的孢粉重建的降水记录，联合团队获得了我国北方地区5000brGDGTs 是细菌细胞膜的组成部分，其分子结构中有4到6个甲基和0到2个环戊烷。

如同人天冷需要加衣、天热需要减衣一样，寒冷的气候条件下细菌倾向于合成更多的甲基，而温暖的环境下合成的甲基数量则减少。

微生物活体死亡后，细胞膜中的brGDGTs 等大分子能在地质体中长期保留下来，可以通过brGDGTs 结构阅读下面材料，完成各题。

材料一气候的波动变化对文明发展产生了重要影响，重建古代气候变化过程具有重要意义。

由于缺乏合适的温度代用指标，我国古温度重建结果分辨率较低，且多以定性记录为主，定量的古温度重建相对较少。

全球历史温度变化曲线的重建主要借助冰芯、深海沉积物和树轮的记录，而我国是传统的农耕文明社会，陆地上的沉积记录才能更好地反映我国历史气候变化。

随着技术的革新，微生物分子化石的研究蓬勃发展，微生物分子化石中的一类化合物——brGDGTs （支链甘油二烷基甘油四醚酯）——3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2024年高考真题——英语(北京卷)含答案

2024年普通高等学校招生高考真题全国统一考试(北京卷)英语（答案在最后）第一部分知识运用(共两节，30分)第一节(共10小题;每小题 1.5分，共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

I’d just arrived at school,ready for another school day.I was reading a book in the classroom when there was an___1___.“Today at1:10there will be auditions(面试)for a musical.”My friends all jumped up in excitement and asked me,“Will you be going,Amy?”“Sure,”I said.I had no___2___in drama,but I’d try out because my friends were doing it.At1:10,there was a___3___outside the drama room.Everyone looked energetic.I hadn’t expected I’d be standing there that morning.But now that I was doing it,I___4___felt nervous.What if I wasn’t any good?I entered the room and the teachers made me say some lines from the musical.They then___5___my singing skills and asked what role I wanted to play.The teachers were smiling and praising me.I felt like I had a___6___,so I said,“A big role.”They said they’d look into it.I started getting really nervous.What if I didn’t get a main role?Soon,the cast list was___7___.My friends checked and came back shouting,“Amy,you got the main role!”Sure enough,my name was at the top.I just stared at it and started to___8___.I was so happy.After two months we were all prepared and ready to go on stage.It was fun.And when people started___9___,that gave me a boost of confidence.It stayed with me and made me feel___10___.I realised that by trying something new,I can have fun—even if it means stepping out of my comfort zone.1.A.assignment B.initiative C.announcement D.interview2.A.hesitancy B.interest C.worry D.regret3.A.game B.show C.play D.line4.A.suddenly B.continuously C.originally D.generally5.A.advertised B.tested C.challenged D.polished6.A.demand B.credit C.dream D.chance7.A.traded B.posted C.questioned D.claimed8.A.well up B.roll in C.stand out D.go off9.A.whispering B.arguing C.clapping D.stretching10.A.funnier B.fairer C.cleverer D.braver【答案】1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D7.B8.A9.C10.D【导语】本文是一篇记叙文。

2023年北京高考数学试卷(带答案解析)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合M ={x ∣x +2≥0},N ={x ∣x -1<0}，则M ∩N =()A.{x ∣-2≤x <1}B.{x ∣-2<x ≤1}C.{x ∣x ≥-2}D.{x ∣x <1}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-1,3)，则z 的共轭复数z=()A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i3.已知向量a ，b 满足a +b =(2,3),a -b =(-2,1)，则|a |2-|b |2=()A.-2B.-1C.0D.14.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f (x )=-lnx B.f (x )=12xC.f (x )=-1xD.f (x )=3|x -1|5.2x -1x5的展开式中x 的系数为()A.-80B.-40C.40D.806.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线x =-3的距离为5，则|MF |=()A.7B.6C.5D.47.在△ABC 中，(a +c )(sinA -sinC )=b (sinA -sinB )，则∠C =()A.π6 B.π3C.2π3D.5π68.若xy ≠0，则“x +y =0”是“y x +xy=-2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB =25m ,BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为()A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3,⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在常数M >6，使得a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 为递增数列，且存在常数M >0，使得a n <M 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2024版高考语文北京试卷

选择题
下列哪部作品是鲁迅的散文集？
A. 《呐喊》
B. 《朝花夕拾》（正确答案）
C. 《野草》
D. 《故事新编》
“采菊东篱下，悠然见南山”出自哪位诗人的作品？
A. 李白
B. 杜甫
C. 陶渊明（正确答案）
D. 王维
下列哪个成语与“画蛇添足”意思相近？
A. 锦上添花
B. 多此一举（正确答案）
C. 雪中送炭
D. 亡羊补牢
下列哪部作品是曹雪芹所著？
A. 《水浒传》
B. 《红楼梦》（正确答案）
C. 《西游记》
D. 《三国演义》
“春风又绿江南岸”中的“绿”字，用了哪种修辞手法？
A. 比喻
B. 拟人（正确答案）
C. 夸张
D. 借代
下列哪位诗人被誉为“诗仙”？
A. 杜甫
B. 李白（正确答案）
C. 白居易
D. 王维
下列哪部作品是巴金的代表作之一？
A. 《骆驼祥子》
B. 《家》（正确答案）
C. 《子夜》
D. 《雷雨》
“不以物喜，不以己悲”出自哪篇古文？
A. 《岳阳楼记》（正确答案）
B. 《滕王阁序》
C. 《出师表》
D. 《陈情表》
下列哪个词语与“匠心独运”意思相反？
A. 别出心裁
B. 独具匠心
C. 粗制滥造（正确答案）
D. 独辟蹊径。

2024年高考真题英语(北京卷)含参考答案

2024年普通高等学校招生高考真题全国统一考试（北京卷）英语（含参考答案）第一部分知识运用(共两节，30分)第一节(共10小题;每小题 1.5分，共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

I’d just arrived at school,ready for another school day.I was reading a book in the classroom when there was an ___1___.“Today at1:10there will be auditions(面试)for a musical.”My friends all jumped up in excitement and asked me,“Will you be going,Amy?”“Sure,”I said.I had no___2___in drama,but I’d try out because my friends were doing it.At1:10,there was a___3___outside the drama room.Everyone looked energetic.I hadn’t expected I’d be standing there that morning.But now that I was doing it,I___4___felt nervous.What if I wasn’t any good?I entered the room and the teachers made me say some lines from the musical.They then___5___my singing skills and asked what role I wanted to play.The teachers were smiling and praising me.I felt like I had a___6___,so I said,“A big role.”They said they’d look into it.I started getting really nervous.What if I didn’t get a main role?Soon,the cast list was___7___.My friends checked and came back shouting,“Amy,you got the main role!”Sure enough,my name was at the top.I just stared at it and started to___8___.I was so happy.After two months we were all prepared and ready to go on stage.It was fun.And when people started___9___,that gave me a boost of confidence.It stayed with me and made me feel___10___.I realised that by trying something new,I can have fun—even if it means stepping out of my comfort zone.1.A.assignment B.initiative C.announcement D.interview2.A.hesitancy B.interest C.worry D.regret3.A.game B.show C.play D.line4.A.suddenly B.continuously C.originally D.generally5.A.advertised B.tested C.challenged D.polished6.A.demand B.credit C.dream D.chance7.A.traded B.posted C.questioned D.claimed8.A.well up B.roll in C.stand out D.go off9.A.whispering B.arguing C.clapping D.stretching10.A.funnier B.fairer C.cleverer D.braver第二节(共10小题;每小题1.5分，共15分)A阅读下列短文，根据短文内容填空。

2024年北京语文高考试卷

选择题
下列哪项不是中国古代四大名著之一？
A. 《红楼梦》
B. 《西游记》
C. 《水浒传》
D. 《封神演义》（正确答案）
下列诗句中，哪一句出自唐代诗人杜甫的作品？
A. 明月几时有，把酒问青天
B. 会当凌绝顶，一览众山小（正确答案）
C. 独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲
D. 春风又绿江南岸，明月何时照我还
下列哪个成语与古代科举考试无关？
A. 名落孙山
B. 金榜题名
C. 桂冠诗人（正确答案）
D. 独占鳌头
下列哪部作品是鲁迅的散文集？
A. 《呐喊》
B. 《朝花夕拾》（正确答案）
C. 《故事新编》
D. 《彷徨》
下列哪个字在古汉语中常用作第一人称代词？
A. 汝
B. 吾（正确答案）
C. 彼
D. 其
下列哪首诗的作者是宋代女词人李清照？
A. 《静夜思》
B. 《如梦令·常记溪亭日暮》（正确答案）
C. 《登鹳雀楼》
D. 《春晓》
下列哪个词语不是用来形容书法艺术的？
A. 龙飞凤舞
B. 铁画银钩
C. 妙笔生花
D. 余音绕梁（正确答案）
下列哪部古典小说以贾宝玉和林黛玉的爱情故事为主线？
A. 《三国演义》
B. 《金瓶梅》
C. 《红楼梦》（正确答案）
D. 《西游记》
下列哪个成语典故与春秋时期的历史人物无关？
A. 退避三舍
B. 卧薪尝胆
C. 破釜沉舟（正确答案）
D. 一鸣惊人。