江苏省宿迁市高中数学第2章推理与证明第4课时直接证明导学案(无答案)苏教版选修2_2
高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明(一)学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2
2．2.1 直接证明(一) 课时目标 1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.2.了解这两种方法的思考过程、特点．1．直接证明(1)直接从________________逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式 ⎭⎪⎬⎪⎫本题条件⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论． 2．综合法(1)定义从____________出发，以已知的________、________、________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．(2)综合法的推理过程已知条件⇒…⇒…⇒结论.3．分析法(1)定义从问题的________出发，追溯导致________成立的条件，逐步上溯，直到________________________________________为止，这种证明方法称为分析法．(2)分析法的推理过程结论⇐…⇐…⇐已知条件.一、填空题1．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为____________．2．设a ，b 是两个正实数，且a <b ，则下列式子一定成立的是________．①a >a ＋b 2>ab >b ；②b >ab >a ＋b 2>a ； ③b >a ＋b 2>ab >a ；④b >a >a ＋b 2>ab .3．已知xy ＝19，0<x <y <1，则log 13x ·log 13y 的取值范围是__________． 4．如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是________．5．要证明a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是________．6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．7．已知a 、b 、u 均为正实数，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是__________．二、解答题8．已知a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2.能力提升 10．a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为________． 11．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log xa ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c .1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．3．综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，这些方法是综合法和分析法的延续与补充．§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 直接证明(一)答案知识梳理1．(1)原命题的条件 (2)已知定义 已知公理已知定理2．(1)已知条件 定义 公理 定理3．(1)结论 结论 使结论成立的条件和已知条件吻合作业设计1．a >c >b解析 ∵(7＋2)2＝9＋214， (6＋3)2＝9＋218. ∴7＋2<6＋3，∴7－3<6－2，即b <c . 又22>6，∴2>6－2，即a >c .∴a >c >b .2．③3．(0,1)解析 log 13x >0，log 13y >0， log 13x ·log 13y ≤log 13x ＋log 13y 2＝12log 13(xy ) ＝12×2＝1.∴0<log 13x ·log 13y <1. 4．23－2解析 由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3.∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2.5．分析法解析 要证a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4， 只要证a ＋a ＋7＋2aa ＋7 <a ＋3＋a ＋4＋2a ＋3a ＋4， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证0<12.由此可知，最合理的是分析法．6．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b . 7．(－∞，16]解析 ∵a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋2b a ×9a b＝16， 当且仅当b a ＝9a b即3a ＝b 时取等号， 若a ＋b ≥u 恒成立，则u ≤16.8．证明 ∵b 2a ＋a 2b ＝a 3＋b 3ab＝a ＋b a 2－ab ＋b 2ab， 又∵a >0，b >0，∴a 2－ab ＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2－ab ＋b 2≥ab ，∴a 2－ab ＋b 2ab ≥1， ∴(a ＋b )·a 2－ab ＋b 2ab≥a ＋b . ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 9．证明 ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立． ②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立， 只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2.即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①、②知，命题得证．10．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. 若1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立，即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立． a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c ＝4. ∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号． ∴n 的最大值为4.11．证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2 <log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )． 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。
江苏省宿迁中学高中数学选修2-2苏教版导学案：第2章推理与证明第4课时直接证明缺答案
第4课时 直接证明
【学习目标】
结合已经学过的教学实例，了解直接证明的两种基本方法—综合法和分析法;了解综合法和分析法的思考过程和特点。
【合作探究】
阅读课本内容，思考：
直
接证明是
的证明.
直接证明的一般形式为：
【展示点拨】
1。
设a,b 是两个相异的正数，求证：关于x 的一元二次方程（a 2+b 2） x 2+4abx+2ab=0没有实数根。
思考：上述两题的证明过程有什么不同点，有什么相同点？
3。
如图所示：已知AB,CD 相交于点O ，△ACO ≌△BDO,AE=BF
，2.
求证：CE=DF
4。
如图所示:,
,B PB A PA =⊥αα 于PB a AB a a ⊥⊥⊂求证：,,α
【总结回顾】
分析法格式：
… … … … α
a P A B A E C
O
F B
D
综合法：
分析法：
【学以致用】
1．设a,b为互不相等的正数，且a+b=1，分别用综合法、分析法证明: 11 4.
+>
a b
2。
已知ΔABC3个顶点坐标分别为A（5，—2)，B（1，2）,C(10，3)分别用综合法、分析法证明：
ΔABC为直角三角形。
高二数学 第二章推理与证明导学案
§2.1.1 合情推理（1）1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 . 新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理. ※ 典型例题 例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24， 1+3+5+7+9=25=25， …… 你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， ……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且n nn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{na }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.※ 动手试试练1. .练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升 ※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；①从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221n n F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.A.()f n 可以为偶数B. ()f n 一定为奇数C. ()f n 一定为质数D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________. 5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出_____________ .1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)nn n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.§2.1.1 合情推理（2）1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.30381.已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥ . 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .二、新课导学 ※ 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.※ 动手试试练1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=• .若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？练2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？三、总结提升 ※ 学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；①用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.※ 知识拓展试一试下列题目： 1. 南京∶江苏A. 石家庄∶河北B. 渤海∶中国C. 泰州∶江苏D. 秦岭∶淮河 2. 成功∶失败A. 勤奋∶成功B. 懒惰∶失败C. 艰苦∶简陋D. 简单∶复杂 3.面条∶食物A. 苹果∶水果B. 手指∶身体C. 菜肴∶萝卜D. 食品∶巧克力学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列说法中正确的是（ ）. A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ⋅=⋅ ,则a b = ”类推出“若00a b ⋅=⋅ ,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出 “()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+ ” 类推出“a b a bc c c+=+（c≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ） 3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n①N ，则2007()f x = （ ）.A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x 4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2019个圆中有 个黑圆. 5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和nS 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S§2.1.2 演绎推理学习目标1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.3942复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 复习2：合情推理的结论 .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：演绎推理的概念 问题：观察下列例子有什么特点？ （1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ； （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； （3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C ︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C ︒时， ； （4）一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，sin α是三角函数，所以 ；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式： 大前提—— ； 小前提—— ； 结论—— .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.※ 典型例题例1 在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”： 大前提： 小前提： 结 论：例2证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提） 菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提） 菱形是正多边形. （结 论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确. ※ 动手试试练1. 用三段论证明：通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列.练2. 在ABC ∆中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证ACD BCD ∠>∠.证明：在ABC ∆中，,CD AB AC BC ⊥>， 所以AD BD >， 于是ACD BCD ∠>∠. 指出上面证明过程中的错误.三、总结提升 ※ 学习小结1. 合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确.2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.※ 知识拓展乒乓球教练组将从右手执拍的选手R 、S 、T 和左手执拍的选手L 、M 、N 、O 中选出四名队员去参加奥运会。
高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修2_2
2.2.1 直接证明证明数学问题.1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为________．(2)直接证明的一般形式为：⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒________.2．综合法(1)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为________．(2)综合法的推证过程是：________⇒…⇒…⇒______. 预习交流1做一做：已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n，求证：数列{a n }为等比数列． 3．分析法(1)从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为________．(2)分析法的推证过程是：______……________. 预习交流2做一做：求证：6＋7≥22＋ 5.预习导引1．(1)直接证明 (2)本题结论 2．(1)综合法 (2)已知条件 结论预习交流1：提示：∵a n ＝2n，∴a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2·2n2n ＝2(常数)．∴由等比数列的定义可知，数列{a n }为公比是2的等比数列．3．(1)分析法 (2)结论 已知条件预习交流2：提示：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242＞240，由于上式显然成立，因此原不等式成立．一、综合法的应用设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c＞a ＋b ＋c .思路分析：(1)综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式．(2)综合法证明不等式时，要注意不等式的性质和已证过的不等式各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB =AD ，∠BAD =60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .1．综合法的证明步骤：(1)分析条件，选择方向，确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．(2)转化条件，组织过程，将条件合理转化，书写出严密的证明过程．2．综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性，奇偶性；立体几何中的证明，不等式的证明等问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型．二、分析法的应用如图，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .思路分析：利用线线垂直、线面垂直的相互转化寻求AF ⊥SC 成立的条件．当a ＋b ＞0时，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，得到结论，但这个倒推过程可以省略．三、综合法和分析法的综合应用求证：当x ≥0时，sin x ≤x .思路分析：不等式的成立问题，可以转化为函数最值问题来解决．已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，①sin θcos θ＝sin 2β，②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β). 实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x(x ＜0)，则a 与b 的大小关系为__________．2．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝2x，当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝__________.3．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x ＞0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．4．已知实数a ≠0，且函数f (x )＝a (x 2＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1a 有最小值－1，则a ＝__________.5．补充下面用分析法证明基本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ， 只需证________， 只需证________．由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：活动与探究1：证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a ，b ，c 不全相等，∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )＞2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab ＞a ＋b ＋c . 故1a ＋1b ＋1c＞a ＋b ＋c .迁移与应用：证明：(1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD .(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， 所以△ABD 为正三角形． 因为F 是AD 的中点， 所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF ⊂平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面PAD .活动与探究2：证明：要证AF ⊥SC ，而EF ⊥SC ，故只需证SC ⊥平面AEF ， 只需证AE ⊥SC ，而AE ⊥SB ，故只需证AE ⊥平面SBC ， 只需证AE ⊥BC ，而AB ⊥BC ，故只需证BC ⊥平面SAB .只需证BC ⊥SA ，而由SA ⊥平面ABC 可知SA ⊥BC ，即上式成立，∴AF ⊥SC . 迁移与应用：证明：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．活动与探究3：证明：要证x ≥0时，sin x ≤x ，只需证x ≥0时，sin x －x ≤0即可． 设f (x )＝sin x －x ，则即证x ≥0时，f (x )≤0，即证x ≥0时， f (x )的最大值小于或等于0即可．∵f (x )＝sin x －x ，∴f ′(x )＝cos x －1， ∴当x ≥0时f ′(x )≤0， ∴f (x )在[0，＋∞)上递减．∴当x ≥0时，f (x )max ＝f (0)＝0， ∴f (x )max ≤0成立，∴原不等式成立． 迁移与应用：证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)， 即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.③因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入上式，可得4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证． 当堂检测1．a ＞b 解析：∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b ＝e x ＜e 0＝1，故a ＞b .2．24 解析：∵1＝log 22＜log 23＜log 24＝2，∴3＜log 23＋2＜4.由已知得f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝log 3223log 33222⨯＋＝＝8×3＝24.3．综合法4．1 解析：f (x )＝ax 2－2x ＋a －1a有最小值，则a ＞0，对称轴x ＝1a，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2－2·1a ＋a －1a＝－1，即a －2a＝－1，则a 2＋a －2＝0.∵a ＞0，∴a ＝1.5．a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0。
江苏省宿迁市高中数学 第2章 推理与证明 第7课时 数学归纳法(2)导学案(无答案)苏教版选修22
第7课时 数学归纳法(2)【教学目标】会用数学归纳法证明有关正整数n 的整除、不等式、数列等问题.【自主学习】一般地，证明一个与自然数n 有关的命题P(n ），有如下步骤：（1）证明当n 取第一个值0n 时命题成立;（2）假设当n=k （ ）时命题成立，证明当 时命题也成立 ，综合（1）（2），对一切自然数n （n≥0n ），命题P(n ）都成立.【合作探究】例1 设*N n ∈,1325)(1+⨯+=-n n n f .(1)当4,3,2,1=n ，计算)(n f 的值；(2)你对)(n f 的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想.例2 在平面上画n 条直线，且任何两条直线都相交，其中任何3条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少个部分？例3 数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2， a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【回顾反思】1.用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等.2.解决数列问题“归纳—猜想—证明”题的关键环节：(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论．(3)用数学归纳法证明之．【学以致用】1.三个连续自然数的立方和能被9整除.2.设*N n ∈，,1>n 求证：n n >++++1312113.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．。
高中数学第2章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修
高中数学第2章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修2、2、1 直接证明1、了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法的证明思路与步骤、(重点)2、会用综合法、分析法证明一些数学问题、(重点、难点)3、综合法、分析法的格式区别、(易混点)[基础初探]教材整理直接证明阅读教材P46～P48“练习”以上部分，完成下列问题、直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明、1、综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法、(2)推证过程：⇒…⇒…⇒、2、分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止、这种证明方法常称为分析法、(2)推证过程：⇐…⇐…⇐、1、判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理、()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件、()(3)证明不等式“＋<＋”最合适的方法是分析法、()(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程、()【答案】(1)√(2) (3)√(4)√2、命题“对于任意角θ，cos4θ-sin4θ＝cos2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ＝(cos2θ-sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ-sin2θ＝-＝cos2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”)、【解析】从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法、【答案】综合法3、在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件为________、【导学号：】【解析】要证∠A为钝角，只需证cos A＝<0即可，也就是b2＋c2<a2、【答案】b2＋c2<a2[质疑手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]综合法的应用(1)在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状一定是__________、(2)已知方程(x2-mx＋2)(x2-nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m-n|＝__________、(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；②a(1-a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、其中恒成立的有__________、【自主解答】(1)∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B-sin AsinB>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π-C)>0，∴cos C<0，又0<C<π，∴<C<π，所以△ABC是钝角三角形、(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，x1＝，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4、设公比为q，则x4＝x1q3，∴4＝q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴|m-n|＝、(3)①a2＋b2＋3＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝ab＋(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立)、②a(1-a)＝-a2＋a＝-2＋≤、③当a与b异号时，不成立、④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立、【答案】(1)钝角三角形(2) (3)①②④1、综合法处理问题的三个步骤→ ↓→ ↓→2、用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)a＋b≥2(a≥0，b≥0)、[再练一题]1、综合法是()A、执果索因的逆推证法B、由因导果的顺推证法C、因果分别互推的两头凑法D、原命题的证明方法【答案】B分析法的应用设a，b为实数，求证：≥(a＋b)、【精彩点拨】待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键、【自主解答】当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立、当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab、∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立、综上所述，不等式成立、1、当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误、2、逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解、[再练一题]2、已知a>0，->1，求证：>、【证明】由已知->1及a>0可知0<b<1，要证>，只需证>1，只需证1＋a-b-ab>1，只需证a-b-ab>0，即>1，即->1，这是已知条件，所以原不等式得证、[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”、探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因、已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)-1＋(b＋c)-1＝3(a ＋b＋c)-1、【精彩点拨】先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决、【自主解答】法一：(分析法)要证(a＋b)-1＋(b＋c)-1＝3(a＋b＋c)-1，即证＋＝，只需证＋＝3，化简，得＋＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a ＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac、因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60，所以cos B＝＝，即a2＋c2-b2＝ac成立、∴(a＋b)-1＋(b＋c)-1＝3(a＋b＋c)-1成立、法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60、由余弦定理，有b2＝c2＋a2-2accos60、所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a ＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得＋＝1，所以＋＝3，即＋＝，所以(a＋b)-1＋(b＋c)-1＝3(a＋b＋c)-1、综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程、[再练一题]3、设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy、【证明】因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2、将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]-[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2-1]-[xy(x＋y)-(x＋y)]＝(xy＋1)(xy-1)-(x＋y)(xy-1)＝(xy-1)(xy-x-y＋1)＝(xy-1)(x-1)(y-1)、因为x≥1，y≥1，所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0，从而可得不等式x＋y＋≤＋＋xy成立、[构建体系]—1、已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy的最大值为______________、【解析】∵1＝＋≥2＝、∴xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时等号成立、【答案】32、如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________、【导学号：】【解析】要使a>b，只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，即a>b>0、【答案】a>b>03、将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________，即证__________、由于__________显然成立，因此原不等式成立、【解析】用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2-2ab≥0，即证(a-b)2≥0、由于(a-b)2≥0显然成立，所以原不等式成立、【答案】a2＋b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥04、设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________、【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋6＝9、当且仅当a＝b＝c时等号成立、【答案】95、已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式＋≥＋、【证明】要证原不等式成立只需证：a＋b≥(＋)，即只需证()3＋()3≥(＋)，只需证(＋)(a-＋b)≥(＋)，只需证a-＋b≥，即(-)2≥0，而上式显然成立，故原不等式得证、我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
高中数学第2章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修1-2(2021学年)
２017-20１８版高中数学第2章推理与证明２.2．1 直接证明学案苏教版选修1-２编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（２017-2０18版高中数学第２章推理与证明 2.２.1 直接证明学案苏教版选修1－2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2。
1 直接证明学习目标1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.知识点一综合法阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x，y满足ｘ+ｙ＝1,求证：2ｘ＋２ｙ≥2＼r（2).证明:因为x+y＝1，所以２x＋2y≥２＼r（2x·２y)＝2错误!＝2错误!,故2x＋2y≥２错误!成立．思考1 本题的条件和结论分别是什么?思考2 本题的证明顺序是什么?１．综合法的定义:从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止,这种证明方法常称为综合法．2.推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒错误!。
知识点二分析法证明不等式：3＋２2<２＋错误!成立．可用下面的方法进行．要证明：错误!+2错误!＜2＋错误!,由于错误!+2错误!>０，2＋错误!>0．只需证明(错误!＋2错误!)2＜（2＋错误!)2，展开得１1+4错误!<１1+４错误!，只需证明６＜7,显然6＜7成立,∴＼r（３)＋2＼ｒ（2）<２＋＼r（７)成立.思考上述证明过程从哪里开始？证明思路是什么？1．分析法的定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止,这种证明方法常称为分析法．2.推证过程：错误!⇐…⇐…⇐错误!。
2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修1_2word版本
2.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 直接证明思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和基本不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．知识点二 分析法和综合法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab.证明：方法一 ∵a ，b >0，(a －b)2≥0， ∴(a)2＋(b)2－2ab ≥0， ∴a ＋b ≥2ab ， ∴a ＋b2≥ab. 方法二 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 又a ，b >0，只需证(a －b)2≥0，∵(a －b)2≥0显然成立，∴原不等式成立．答案 方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件． 梳理 综合法和分析法定义比较1．综合法是执果索因的逆推证法．( × ) 2．综合法证明的依据是三段论．( √ )3．综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( √ )4．分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )类型一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A2≥32b .考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝错误!＋错误!＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a2＋b2－c22ab ＋c·b2＋c2－a22bc＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b2 ＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A2≥32b .反思与感悟 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路． 第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3.类型二 分析法的应用例2 已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a2＋b2＋c23≥a ＋b ＋c3. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 要证a2＋b2＋c23≥a ＋b ＋c3， 只需证a2＋b2＋c23≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32，只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a2＋b2＋c23≥a ＋b ＋c3成立． 反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”． 跟踪训练2 已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ， 求证：|a|＋|b||a ＋b|≤ 2.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a|＋|b||a ＋b|≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即证(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证． 类型三 分析法与综合法的综合应用例3 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶6.求证：a b ＝a ＋ba ＋b ＋c .证明 要证a b ＝a ＋ba ＋b ＋c ，只需证a 2＋ab ＋ac ＝ab ＋b 2， 即证a (a ＋c )＝b 2.由正弦定理，只需证sin A (sin A ＋sin C )＝sin 2B . ∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶6， ∴A ＝π9，B ＝29π，C ＝69π，即sin π9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9＋sin 69π＝sin 229π，即sin π9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9＋sin 39π＝sin 229π，即sin π9·2sin 2π9cos π9＝sin 229π，即2sin π9cos π9＝sin 29π，显然成立．∴a b ＝a ＋ba ＋b ＋c成立． 反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 跟踪训练3 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c .考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证 log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由已知0<x <1，只需证 a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc ，由公式a ＋b 2≥ab>0，b ＋c 2≥bc>0，a ＋c 2≥ac>0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a2b2c2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.1．设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x(x <0)，则a 与b 的大小关系为________． 答案 a >b解析 ∵a ＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是________．答案 c解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x>2x ＝a ， ∵11－x－(x ＋1)＝错误!＝错误!>0，∴c >b >a . 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的值为________． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案π3解析 cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.4．欲证2－3<6－7成立，只需证下列各式中的________．(填序号) ①(2－3)2<(6－7)2； ②(2－6)2<(3－7)2； ③(2＋7)2<(3＋6)2； ④(2－3－6)2<(－7)2. 答案 ③解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9. 证明 方法一 (综合法)左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋1≥5＋4＝9，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时等号成立．原不等式得证．方法二 (分析法)要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9成立， ∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－x ≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2， 即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．一、填空题1．a 2＋2＋2a2＋2与22的大小关系是________________．答案 a 2＋2＋2a2＋2>2 22．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 3解析 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝xy 3， ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．3．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________.答案 －b解析 函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－b.4．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4 (a≥0)，则P与Q的大小关系为________．答案P<Q解析∵P2＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，∴P2<Q2，又∵P>0，Q>0，∴P<Q.5．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知asinA＝bsinB＝2R，又A，B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.6．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1.(填“>”“<”“＝”)答案<解析要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2错误!<2n＋5＋2错误!.只需证错误!<错误!，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6显然成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.7．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)答案垂心解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO ⊥平面ABC ，连结AO ，BO . ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ，SA ∩SO ＝S ， ∴BC ⊥平面SAO ，∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心．8．如果a a ＋b b>a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b解析 a a ＋b b>a b ＋b a ⇔a a －a b>b a －b b ⇔a (a －b)>b (a －b)⇔(a －b )(a －b)>0 ⇔(a ＋b)(a －b)2>0，故只需a ≠b ，且a ，b 都不小于零即可． 9．已知函数f (x )＝2x，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________． 答案 C <B <A解析 ∵a ＋b 2>ab>2aba ＋b ，又∵f (x )＝2x在R 上为增函数， ∴A >B >C .10．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab)________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab)2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab)2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab)2≤lg[(1＋a )(1＋b )]， 即lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋bc ＋a ＝________.答案 1解析 由余弦定理知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，①a b ＋c ＋b a ＋c＝错误!＝错误!，② 将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c＝1. 二、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2. 证明 要证a ＋12＋b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4， 又a ＋b ＝1， 即只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122 ＝1＋12＋122＝1成立， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 所以a ＋12＋b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 AC ⊥BD (答案不唯一)解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．即当BD ⊥AC 时，有A 1C ⊥B 1D 1.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2Sn n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an ＜74. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题(1)解 当n ＝1时，2S11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2， 解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，② ①－②，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理，得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即an ＋1n ＋1＝an n ＋1，an ＋1n ＋1－an n ＝1，当n ＝1时，a22－a11＝2－1＝1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以an n＝n ，即a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明 因为1an ＝1n2＜错误!＝错误!－错误!(n ≥2)， 所以1a1＋1a2＋…＋1an ＝112＋122＋132＋…＋1n2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》word导学案(含解析)
第2章推理与证明第1课时合情推理——归纳推理教学过程一、问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2.归纳推理的思维规程大致为:概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.[3](见学生用书P33)[处理建议]题目简单,让学生自己解答.[规范板书]解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解对于凸n边形,n=3时,内角和180°=180°×1;n=4时,内角和360°=180°×2;n=5时,内角和540°=180°×3;……由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.(2)<,<,<,…由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5][处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).[题后反思]根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)(例3)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.[题后反思]根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1)寻找它们的共同特征,如例1;(2)寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;(3)结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,===+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{a n}的一个通项公式.(见学生用书P34)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.[规范板书]解当n=1时,a 1=1=;当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;……由此我们猜想{a n}的一个通项公式为a n=.四、课堂练习1.(1)一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2)先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…1+3+5+…+(2n-1)=n2.2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为9.3.应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、课堂小结1.归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2.归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b∈a+c=b+c(2)减法法则:a=b∈a-c=b-c(3)乘法法则:a=b∈ac=bc(4)除法法则:a=b∈a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b∈a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)[处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) ↔ 乘(×)加数、被加数↔ 乘数、被乘数和↔ 积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d ↔ =q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d ↔ b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d ↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2 ↔ =b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q ↔ b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∈BFD=∈A,DE∈BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行, (大前提)∈BFD与∈A是同位角,且∈BFD=∈ A,(小前提)所以,DF∈EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∈BA且DF∈EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:∈mb<ma∈ab+mb<ab+ma∈<∈<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)[处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0), (大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为∈ABC三边长依次为3,4,5,所以∈ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)∈ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)∈ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线, (大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;①演绎推理得到的结论一定是正确的;①演绎推理一般模式是“三段论”形式;①演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①①①.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?①问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=.①公式①的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔ 平面三角形↔ 棱锥梯形↔ 棱台进而有梯形底边长↔ 棱台底面积三角形面积↔ 棱锥体积梯形面积↔ 棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),①其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式: V棱台=h(S上+S下),①其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.①式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式①中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想①是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)①的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与①式相比,公式①的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式①从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式①比公式①更合理.既然①式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台==h(S上+k=+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0= ,①式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 直接证明学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学学
2.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 直接证明思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和基本不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．知识点二 分析法和综合法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：方法一 ∵a ，b >0，(a －b )2≥0， ∴(a )2＋(b )2－2ab ≥0， ∴a ＋b ≥2ab ， ∴a ＋b2≥ab .方法二 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0，又a ，b >0，只需证(a －b )2≥0，∵(a －b )2≥0显然成立，∴原不等式成立．答案 方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件． 梳理 综合法和分析法定义比较 直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法 已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法结论⇐…⇐…⇐已知条件1．综合法是执果索因的逆推证法．( × ) 2．综合法证明的依据是三段论．( √ )3．综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( √ )4．分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )类型一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路． 第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 类型二 分析法的应用例2 已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题 证明 要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32， 只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪训练2 已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ， 求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即证(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证． 类型三 分析法与综合法的综合应用例3 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶6.求证：a b ＝a ＋ba ＋b ＋c.证明 要证a b ＝a ＋ba ＋b ＋c，只需证a 2＋ab ＋ac ＝ab ＋b 2，即证a (a ＋c )＝b 2.由正弦定理，只需证sin A (sin A ＋sin C )＝sin 2B . ∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶6， ∴A ＝π9，B ＝29π，C ＝69π，即sin π9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9＋sin 69π＝sin 229π，即sin π9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9＋sin 39π＝sin 229π，即sin π9·2sin 2π9cos π9＝sin 229π，即2sin π9cos π9＝sin 29π，显然成立．∴a b ＝a ＋ba ＋b ＋c成立．反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 跟踪训练3 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证 log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由已知0<x <1，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc ，由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立．∴log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.1．设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x(x <0)，则a 与b 的大小关系为________． 答案 a >b解析 ∵a ＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是________．答案 c解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，∴c >b >a . 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的值为________． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.4．欲证2－3<6－7成立，只需证下列各式中的________．(填序号) ①(2－3)2<(6－7)2； ②(2－6)2<(3－7)2； ③(2＋7)2<(3＋6)2； ④(2－3－6)2<(－7)2. 答案 ③解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.证明 方法一 (综合法) 左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝4＋2⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋xy＋1≥5＋4＝9， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时等号成立．原不等式得证．方法二 (分析法)要证⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9成立，∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－x ≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2， 即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．一、填空题 1．a 2＋2＋2a 2＋2与22的大小关系是________________． 答案 a 2＋2＋2a 2＋2>2 2 2．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 3解析 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy12＝xy3，∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．3．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________.答案 －b解析 函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .4．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4 (a≥0)，则P与Q的大小关系为________．答案P<Q解析∵P2＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，∴P2<Q2，又∵P>0，Q>0，∴P<Q.5．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R，又A，B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.6．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1.(填“>”“<”“＝”)答案<解析要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6显然成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.7．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)答案垂心解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO ⊥平面ABC ，连结AO ，BO . ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ，SA ∩SO ＝S ， ∴BC ⊥平面SAO ，∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心．8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b解析 a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b ，且a ，b 都不小于零即可． 9．已知函数f (x )＝2x，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________． 答案 C <B <A 解析 ∵a ＋b2>ab >2aba ＋b， 又∵f (x )＝2x在R 上为增函数， ∴A >B >C .10．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab )2≤lg[(1＋a )(1＋b )]， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则ab ＋c ＋bc ＋a＝________.答案 1解析 由余弦定理知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，① a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2，② 将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c ＝1. 二、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2. 证明 要证a ＋12＋b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4， 又a ＋b ＝1， 即只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122 ＝1＋12＋122＝1成立， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 所以a ＋12＋b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 AC ⊥BD (答案不唯一)解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1， 因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1， 故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．即当BD ⊥AC 时，有A 1C ⊥B 1D 1.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，② ①－②，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ， 整理，得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n n ＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n (n ≥2)， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2 ＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
江苏省宿迁市高中数学第2章推理与证明第5课时间接证明导学案(无答案)苏教版选修2_2
第5课时间接证明【学习目标】结合已经学习的数学实例，了解反证法是间接证明的一种方法；了解反证法的思考过程和特点.【合作探究】阅读课本内容，填空：1．_____________________的方法通常称为间接证明，______________是一种常用的间接证明的方法；2．用反证法来证明时，要从_____________开始，经过_______________，导致_______________，从而达到新的否定（即肯定原命题）3．反证法的步骤：(1) 反设-------_______________________________________________________________;(2) 归谬-------_______________________________________________________________;(3) 存真-------________________________________________________________________.【展示点拨】例1 求证：正弦函数没有比2π小的正周期.a b c是互不相等的实数，求证：由例 2 已知,,222=++=++=++确定的三条抛物线至少有一条与x y ax bx c y bx cx a y cx ax b2,2,2轴有两个不同的交点.例3 已知ABC 的三边,,a b c 的倒数成等差数列，求证：090B <.例4 .【学以致用】1、用反证法证明“在一个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，应反设 ___________________________________________; 用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时，应反设____________________________.2、设实数,,a b c 满足1a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个数不小于_______________.3、设,a b 是异面直线，在a 上任取两点12,A A ,在b 上任取两点12,B B ,试证：1122A B A B 与也是异面 直线.4.5、设二次函数2()(0) f x ax bx c a =++≠中的,,a b c 均为整数，且(0)(1)f f 、均为奇数，求证：方程()=0f x 无整数根.。
高中数学第2章推理与证明4直接证明教学案无答案苏教版选修22
直接证明【教学目标】1.掌握分析法和综合法的逻辑结构特点；2.会分析问题并用直接法证明问题；3.了解推理与证明的联系与区别，体会“斗胆推理，小心求证”.【预习导引】1.若,a b R ∈，a b >，则下面三个不等式①11b b a a ->-；②22(1)(1)a b +>+；③22(1)(1)a b ->-，成立的有___________个.2.<,其中最合理的为( )A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法的大小关系是______________【典型例题】例1.,a b R +∈2a b +≤练习：,a b R +∈≥例2.设0,0a b >>，2c a b >+，求证：①2c ab >；②c a c <<例3.若tan()2tan αβα+=，求证：3sin sin(2)βαβ=+例 4.已知集合A 是由适合下列性质的函数组成：对任意实数,a b ，a b ≠，都有|()()|||f a f b a b -<-，判断函数()f x =是不是在集合A 中，并说明理由.【学后反思】1.以已知概念、定理、公理为依据，慢慢下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方式称为____________法；推证进程为……⇒……2.从问题的结论动身，追溯致使结论成立的条件,慢慢上溯直到使结论成立的条件和已知或事实吻合为止，这种证明方式常称为______________法.推证进程为……⇐……3.分析法和综合法都是直接法.综合法是从条件动身，通过推理，导出所需的结论，步骤比较简练明了，但入手比较难找，而分析法则是从要证的结论动身，寻求它的依据，直至归结到题设条件，运用综合法.分析法需对题目进行分析，找到证明的起点，二者相辅相成，辩证统一.通常可以用分析法找证明思路，用综合法书写证明进程.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（47）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1.已知(21)2()21x x a f x +-=+是奇函数，则实数a=2.已知是不相等的正数，x y ==，则的大小关系是 3.已知2421(2),2(2)2a a p a a q a a -+-=+>=>-，则的大小关系是 4.设a ＝ln 2，b ＝ln 32，c ＝ln 43，则的大小关系是______________.5.求证3)a <≥6.ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列，求证：090B <7.用分析法或综合法证明：在ΔABC 中，成等差数列的充要条件是223coscos 222C A b a c +=【B 组题】1.设0,0x y >>，,111x y x y A B x y x y+==+++++,则A 与B 的大小关系为 2．概念在 R 上的二次函数2()4f x ax ax b =-+在区间［0，2］上是增函数，且()(0)f m f ≥，则实数m 的取值范围3．设实数0a ≠，且函数21()(1)(2)f x a x x a =+-+有最小值－1，（1）求a 的值；（2）设数列{}n a 的前项和()n S f n =，令242n n a a a b n++⋅⋅⋅+=，证明数列{}n b 是等差数列。
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第4课时 直接证明
【学习目标】
结合已经学过的教学实例，了解直接证明的两种基本方法—综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点。
【合作探究】
阅读课本内容，思考：
直接证明是 的证明。
直接证明的一般形式为：
【展示点拨】
1.设a,b 是两个相异的正数，求证：关于x 的一元二次方程(a 2+b 2) x 2+4abx+2ab=0没有实数根。
思考：上述两题的证明过程有什么不同点，有什么相同点？
3.如图所示：已知AB,CD 相交于点O ，△ACO ≌△BDO,AE=BF ，求证：CE=DF
2.
4.如图所示：,,B PB A PA =⊥αα
于PB a AB a a ⊥⊥⊂求证：,,α
【总结回顾】
分析法格式：
α
a P A B A E C
O
F B
D
… … … 综合法:
分析法:
【学以致用】
11 4.
1．设a,b为互不相等的正数，且a+b=1，分别用综合法、分析法证明:
+>
a b
2.已知ΔABC3个顶点坐标分别为A（5，-2），B(1,2),C(10,3)分别用综合法、分析法证明：ΔABC为直角三角形。