高考真题立体几何文科
文科立体几何长度和角度
1、如图，三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，1111A B B C ⊥ ，12AA AB == ，1BC = ，E 为11A C 中点. （I ） 求证：1A B ⊥平面11AB C ； (II) 求三棱锥1B ECC - 的体积；（III ） 设平面EAB 与直线11B C 交于点H ，求线段1B H 的长.2、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面PAB ； (2)求证：平面PBD ⊥平面PAC ； (3)当三棱锥M －BCD 的体积等于34时，求PB 的长．3、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC 与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．4、如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)①求证：AE与PB是异面直线；②求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．5、如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝π3，AD＝2.(1)求证：平面FCB∥平面AED；(2)若二面角A－EF－C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．6、如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.7、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.8、如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.9、如图,几何体ABC-A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得,AB=4,AA1=3,A1D=1,AA1⊥平面ABC,M为AB的中点,E为棱AA1上一点,且EM∥平面BC1D.(1)若N在棱BC上,且BN=2NC,证明:EN∥平面BC1D;(2)过A作平面BCE的垂线,垂足为O,确定O的位置(说明作法及理由),并求线段OE的长.10、如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,点O是线段AB的中点,PO⊥平面ABCD,PO=CD=DA=AB=4,M是线段PA的中点.(1)证明:平面PBC∥平面ODM;(2)求点A到平面PCD的距离.11、如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.12、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.13、如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE⊥平面BB1C1 C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.14、已知四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点.(1)证明:平面PCD⊥平面PDE;(2)若PD=AD,求点E到平面PBC的距离.15、如图,在梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,DE∥BF,BD⊥CF,AF⊥CE.(1)求证:CE⊥DF;(2)求证:BD⊥平面BCF;(3)求AB的长.16、如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,M为CD的中点,BD⊥PM.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若∠APD=90°,四棱锥P-ABCD的体积为,求三棱锥A-PBM的高.17、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=CC1=2,M是AB的中点.(1)求证:平面A1CM⊥平面ABB1A1;(2)求点M到平面A1CB1的距离.18、已知等腰梯形ABCE中,AB∥EC,AB=BC=EC=4,∠ABC=120°,D是EC的中点,将△ADE沿AD 折起,构成四棱锥P-ABCD,M,N分别是BC,PC的中点.(1)求证:AD⊥平面DMN;(2)当平面PAD⊥平面ABCD时,求点C到平面PAB的距离.⇒19、在平面四边形ADBC(如图(1))中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°,将△ABC沿AB折起,构成如图(2)所示的三棱锥C'-ABD.(1)当C'D=时,求证:平面C'AB⊥平面DAB;(2)当AC'⊥BD时,求三棱锥C'-ABD的高.20、如图，已知三棱锥A－BPC，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：BC⊥平面APC；(2)若BC＝3，AB＝10，求点B到平面DCM的距离．21、如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.22、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.23、如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面ABC ⊥平面ABD ,点M 为棱AB 的中点,AB=2,AD=2 ,∠BAD=90°. (1)求证:AD ⊥BC ;(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值; (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.24、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，=2AD BC ，90DAB ABP ∠=∠=︒．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求证：AB ⊥PC ；（Ⅲ）若点E 在棱PD 上，且CE ∥平面PAB ，求PEPD的值．25、如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD △是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（Ⅰ）求三棱锥D ABC -的体积； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面DEF ；（Ⅲ）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且38CN CA =，求证：MN //平面DEF ．26、如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC ,点M 是棱CC 1的中点.(1)在棱AB 上是否存在一点N ,使MN ∥平面AB 1C 1?若存在,请确定点N 的位置.若不存在,请说明理由;(2)当△ABC 是等边三角形,且AC=CC 1=2时,求点M 到平面AB 1C 1的距离.AB CD NFM E27.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.28、如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.30、如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.。
高二文科数学立体几何测试卷
高二文科数学立体几何测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则下列图形:①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.不可能是其俯视图的有( )(A)①②(B)②③ (C)③④(D)①④2.如图所示为正方体木块堆成的几何体的三视图,则组成此几何体的正方体木块共有( )(A)3块(B)4块(C)5块(D)6块3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )4．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A．8－2π3B．8－π3C．8－2π D.2π35. 如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,F为线段BC1的中点,E为直线A1C1上的动点,则下列结论中正确的为( )(A)存在点E使EF∥BD1 (B)不存在点E使EF⊥平面AB1C1D(C)三棱锥B 1ACE的体积为定值 (D)EF与AD1不可能垂直6.已知m、n为直线，α、β为平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥n⇒n∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥βn⊥β⇒m∥n；③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥β⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αn⊂βα∥β⇒m∥n.其中正确命题的序号是()A．③④B．②③C．①②D．①②③④7. 如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1中,P为线段BC1上的动点,则下列判断错误的是( )(A)DB1⊥平面ACD1 (B)BC1∥平面ACD1(C)BC1⊥DB1 (D)三棱锥P ACD1的体积与P点位置有关8.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面MNP的图形的序号是( )(A)①③(B)②③(C)①④ (D)②④9. 四棱锥P ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图所示,则四棱锥P ABCD的表面积为( )(A)(2+1)a2 (B)2a2(C)(1+)a2 (D)(2+)a210.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的体积为( )(A)18 cm3 (B)15 cm3(C)12 cm3 (D)9 cm311.三棱锥P ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的( )(A)内心 (B)外心 (C)垂心(D)重心12.在二面角αlβ的两个面α、β内,分别有直线a、b,它们与棱l都不垂直,则( )(A)当该二面角是直二面角时,可能a∥b,也可能a⊥b(B)当该二面角是直二面角时,可能a∥b,但不可能a⊥b(C)当该二面角不是直二面角时,可能a∥b,但不可能a⊥b(D)当该二面角不是直二面角时,不可能a∥b,也不可能a⊥b二、填空题(每小题4分,共16分)13.如图所示,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.14.如图所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A其中正确结论的序号是.15．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件__________时，有MN∥平面B1BDD1.16.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)如图所示,梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直,其中AB∥DC,AD=CD=AB,且O为AB的中点.(1)求证:BC∥平面POD;(2)求证:AC⊥PD.18.(本小题满分12分)如图所示,三棱锥P ABC中,PB⊥面ABC, BCA=90°,PB=BC=CA=4,E 为PC的中点,M为AB的中点,点F在PA上,且AF=2FP.(1)求证:BE⊥平面PAC;(2)求证:CM∥平面BEF;(3)求三棱锥F ABE的体积.20.(本小题满分12分)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M、N分别是AB、AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN⊥AC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.21.(本小题满分12分)如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,CD=2AB=2AD.(1)求证:BC⊥BE;(2)在EC上找一点M,使得BM∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.22.(本小题满分14分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面ACFE ⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)当EM为何值时,AM∥平面BDF?证明你的结论.。
高考文科立体几何题汇总（含答案）
19．（本小题满分12分）2008 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ^平面ABCD ，AB DC ∥，P AD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ^平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．的体积．18.（本小题满分12分）分） 2009 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点. （1） 设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 证明:平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C. 2010 （20）（本小题满分12分）分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面^,PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD AD ==．（Ⅰ）求证：平面PDC EFG 平面^; （Ⅱ）求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --．A B C M P D EA B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D 2011 19．（本小题满分12分）分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ^平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=Ð60° （Ⅰ）证明：1AA BD ^；（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面．2012 (19) ( (本小题满分本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =^. (Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =°，M 为线段AE 的中点，的中点， 求证：DM ∥平面BEC .53238545545523163 ACM PDOEA B C F 1 1 C 1 D 1 D F 1 EC 1 1 C 1 D 1 D 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ，△BCF 为正三角形，为正三角形， 60BCF Ð=°,△ACF 为等腰三角形，且30ACF Ð=°所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C, 所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC Ì平面D 1AC, 所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C. 2010 （20）本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、）本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力。
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选择题1.（12年四川卷）如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的 一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点 间的球面距离为 （ ）A. RB. 4R πC. RD. 3R π 2.（12年广东卷）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π3.（12年重庆卷）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a 且长为a的棱与长为的棱异面，则a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.4.（12年浙江卷）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） A.1cm 3 B.2cm 3 C.3cm 3 D.6cm3图1C5.（12年浙江卷）设l 是直线，αβ，是两个不同的平面 （ ）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB. 若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD. 若α⊥β， l ∥α，则l ⊥β6.（12年新课标卷）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）A .6B .9C .12D .187. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A．28+ B．30+ C．56+ D ．60+ 8.（12年福建卷）一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 9.（12年湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ ）10.（12年江西卷）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ( ) A B C DA ．112 B.5 C.4 D. 9211.（12年大纲卷）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A ．2 BCD ．1 12.（12年陕西卷）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）填空题1．（12年湖北卷）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .左视图主视图俯视图侧视图正视图俯视图2.（12年四川卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD ，1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.3.（12年山东卷）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 为线段C B 1上的一点，则三棱锥1DED A -的体积为___________ .4.（12年安徽卷）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_____.5.（12年江苏卷）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．NA 1A B CC 1 A 1 侧（左）视图正（主）视图 4俯视图 5 4 26.（12年辽宁卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.7.（12年辽宁卷）已知点P A B C D ，，，，是球O 表面上的点，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD是边长为.若PA =，则OAB ∆的面积为______________. 8.（12年大纲卷）已知正方形1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1BB ，1CC 的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为 ．9.（12年上海卷）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 10.（12年天津卷）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积 3m.2.（12年山东卷）(本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .3.（12年广东卷）(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ． 6.（12年新课标卷）（本小题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，o 90ACB ∠=，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的 中点.(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.选择题1.【答案】A【分析】由已知可知，AOP CBD ⊥面面，∴cos cos cos AOP AOB BOP =∠∠∠，带入数据得12cos ==224AOP ∠，arccos 4AP R ∴=. 2. 【答案】C【分析】几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为32141π3π330π233V =⨯⨯+⨯⨯= 3.【答案】：A【分析】：如图所示，取,EF 分别为,PC AB 的中点，依题意可得PB BC ⊥，所以 GEAB FCPD H2BE ==.在BEF ∆中，BF BE <，所以2AB BF =<4. 【答案】C【分析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为11123132⨯⨯⨯⨯=. 5.【答案】B【分析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则α⊥β．如选项A ：l ∥α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α时，l ∥β或l β⊂；选项D ：若α⊥β，l ∥α时，l ∥β或l ⊥β．6. 【答案】B【分析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，底边上高为3的等腰三角形，棱锥的高为3，故其体积为1163332⨯⨯⨯⨯=9，故选B. 7. 【答案】B 【分析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式，可得：=10=10=10S S S S 后右左底，，，因此该几何体表面积30S =+，故选B .8. 【答案】D【分析】圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆.9. 【答案】D【分析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均相同，原图下面部分应为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C 都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面部分应为中间有条虚线的矩形..10. 【答案】C【分析】通过观察几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为六边形（2条对边长为1，其余4），高为1的直棱柱.所以该几何体的体积为112122142V sh ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选D.11. 【答案】D【分析】因为底面的边长为2，高为,AC BD ，得到交点为O ，连接EO ，1//EO AC ，则点1C 到平面BDE 的距离等于C 到平面BDE 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三角形OCE 中，利用等面积法，可得1CH =，故选答案D. 12.【答案】B【分析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线1AD 可见，所以用实线表示；而割线1B C 不可见，所以用虚线表示．故选B ．填空题1. 【答案】12π【分析】该几何体的左中右均为圆柱体，其中左右圆柱体全等，是底面半径为2，高为1的 圆柱体；中间部分是底面半径为1，高为4的圆柱体，所以所求的体积为：22π212π14=12πV =⨯⨯⨯+⨯⨯.2. 【答案】o 90【分析】方法一：连接D 1M ，易得DN ⊥A 1D 1 ，DN ⊥D 1M ，所以，DN ⊥平面A 1MD 1，又A 1M ⊂平面A 1MD 1，所以，DN ⊥A 1M ，故夹角为o 90 方法二：以D 为原点，分别以DA ， DC ， DD 1为x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系D —xyz .设正方体边长为2，则D （0，0，0），N （0，2，1），M （0，1，0），A 1（2，0，2）故1(0,2,1)(2,1,2)DN MA ==-， 所以， 111cos ,0DN MA DN MA DN MA <>==，故DN ⊥A 1M ，所以夹角为o 90.3. 【答案】61【分析】求1DED A -的体积，显然为定值，也就是说三棱锥的底面面积与三棱锥的高都为定值，因此，我们需要找一个底面为定值的三角形，三角形1ADD 的面积为21（为定值），而E 点到底面1ADD 的高恰为正方体的高为1（为定值），因此体积为61. 4. 【答案】56 【分析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的的体积是：()12544562V =⨯+⨯⨯=5. 【答案】6【分析】∵长方体底面ABCD 是正方形 ，∴△ABD 中BD cm ，BD 边上的高（它也是四棱锥11A BB D D -的高）∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯6. 【答案】12π+【分析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为3411112ππ⨯⨯+⨯⨯=+7.【答案】【分析】点P A B C D O 、、、、为球内接长方体的顶点，14O OAB ∴∆球心为该长方体对角线的中点，的面积是该长方体对角面面积的，164OAB AB PA S ∆===⨯=8. 【答案】35【分析】首先根据已知条件，连接DF ，则由//DF AE 可知1DFD ∠或其补角为异面直线AE 与1D F 所成的角，设正方体的棱长为2，则可以求解得到112DF D F DD ===，再由余弦定理可得22211115543cos 2255D F DF D D DFD D F DF +-+-∠===⋅⨯.9. 【答案】π6【分析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：22π2π4π2π6πS rh r =+=+=.10. 【答案】30【分析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的底面为直角梯形的直四棱柱构成的组合体.长方体的体积为24243=⨯⨯，直四棱柱的体积是6412)21(=⨯⨯+，所以几何体的总体积为30.2. 【证明】(Ⅰ)设BD 的中点为O ，连接,OC OE , 则由BC CD CO BD =知垂直 又CE BD ⊥，所以BD OCE ⊥平面 所以BD OE ⊥，即OD 是BE 的垂直平分线BE DE =所以(Ⅱ)取AB 的中点为N ，连接MN ,DN ONM因为M 是AE 的中点，，所以//MN BE 因为ABD ∆是等边三角形，所以DN ⊥AB由o o 12030BCD CBD ∠=∠=知，所以o 90ABC ∠=，即BC ⊥AB所以ND //BC所以平面MND //平面BEC ，故DM //平面BEC3. 【解】（1）AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD PH AB ⇒⊥ 又,PH AD ADAB A PH ⊥=⇒⊥面ABCD（2）E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离1122h PH ==三棱锥E BCF -的体积1111113326212BCF V S h FC AD h ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯= （3）过D 作DG PA G ⊥于，连接EG ，易得EG PAD ⊥面 由AB ⊥平面PAD ⇒面PAD ⊥面PAB DG ⇒⊥面PAB E P B E GP A A B P是的中点，⊥，⊥ 11//,//////22EG AB DF AB EG DF DG EF ⇒⇒⇒ 得：EF ⊥平面PAB6. 【解】（Ⅰ）由题设知1BC CC ⊥，BC AC ⊥，1CC AC C =∩，∴BC ⊥面11ACC A又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥，由题设知01145A DC ADC ∠=∠=，∴1CDC ∠=090，即1DC DC ⊥，又∵DC BC C =∩，∴1DC ⊥面BDC ， ∵1DC ⊂面1BDC ，∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，精品文档精品文档 ∴11():V V V =1:1，∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.。
立体几何测试题(文科)
立体几何文科试题一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 2、已知直线,l m与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂ ，，和mγ⊥，则有A ．αγ⊥且l m⊥ B ．αγ⊥且//m β C ．//m β且lm⊥ D ．//αβ且αγ⊥3.若()0,1,1a =- ，()1,1,0b = ，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ）A .－1 B.0 C.1 D.－24、已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β5一个几何体的三视图及长度数据如图，则几何体的表面积与体积分别为()3,27+A ()328，+B()2327，+C ()23,28+D6、已知长方体的表面积是224cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（ ）A. B. 4cm C. D.7、已知圆锥的母线长5l cm =，高4h cm =，则该圆锥的体积是____________3cmA. 12π B 8π C. 13π D. 16π8、某几何体的三视图如图所示，当ba +取最大值时，这个几何体的体积为 （ ）A ．61 B ．31 C ．32 D ．219、已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =AC =8A D =,则,B C 两点间的球面距离是 （ ）A. 3πB. 43π C. 23π D. 53π10、四面体A B C D 的外接球球心在C D 上，且2C D =，3=AB ，在外接球面上A B ，两点间的球面距离是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π611、半径为2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ） A ．4cmB ．2cmC ．cm 32D ．cm 312、 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m ，4的对面的数字为n ，那么m+n 的值为（ ） A ．3B ．7C ．8D ．11二．填空题：本大题共4个小题。
文科立体几何大题高考真题
文科立体几何大题高考真题1（19年全国1卷）如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE（2）求点C 到平面1C DE 的距离.&[.2（19年全国2）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C 的体积．` ￥—>3（18年全国1）如图，在平行四边形ABCM中，3AB AC==，90ACM=︒∠，以AC 为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB DA⊥．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BP DQ DA==，求三棱锥Q ABP-的体积．；#）4．（18全国卷2）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MB MC 2=，求点C 到平面POM 的距离．~，'—5（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．、* >6（2017•新课标2）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=。
（1） 证明：直线//BC 平面PAD ；（2） 若PCD ∆的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积。
高三文科立体几何练习题(含答案)
1.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.2.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，AD BC =，则______(写出所有正确结论编号)。
①四面体ABCD 每组对棱相互垂直②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。
而小于180。
④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长3.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断：① m ⊥ n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________________________.4.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.5.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）A 、若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥αB 、若b ⊂α, a//b 则 a//αC 、若a//α,α∩β=b 则a//bD 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b6. 已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为正方形。
若则△OAB 的面积为______________.7. 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱1AA 上任意一点。
（Ⅰ）证明：BD 1EC ⊥ ；（Ⅱ）如果AB =2，AE =2，1EC OE ⊥,，求1AA 的长。
立体几何近12年全国真题(及答案文科)
综上所述，总有 ．
15.【解析】（Ⅰ）如图：
…………… 3分
（Ⅱ）所求多面体体积
．
（Ⅲ）证明：在长方体 中，
连结 ，则 ．
因为 分别为 ， 中点，所以 ，
从而 ．又 平面 ，所以 面 ．
16.【解析】（Ⅰ）因为 是等边三角形， ，
所以 ，
可得 ．
如图，取 中点 ，连结 ， ，
37.（2018年全国Ⅰ卷第18题）如图，在平行四边形 中， ， ，以 为折痕将△ 折起，使点 到达点 的位置，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积．
38.（2018年全国Ⅱ卷第19题）如图，在三棱锥 中， ，
， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
26.（2017年全国Ⅰ卷第16题）已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 的体积为9，则球O的表面积为________.
27.（2015年全国Ⅰ卷第18题）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点， .
（ ）证明：平面 平面 ；
9.（2013年全国Ⅱ卷第16题）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周
都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者
的高与体积较大者的高的比值为______________．
10.（2017年全国Ⅰ卷第6题）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是
（ ）若 ，
三棱锥 的体积为 ，
立体几何(文科专用)(解析版)
专题09 立体几何1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．3．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ． （2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==． 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=． 【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.一、考向分析：二、考向讲解考查内容解 题 技 巧 几何 体表 面积 与体 积1、空间几何体表面积的求法（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量。
全国各省文科立体几何大题真题
全国各省文科立体几何大题真题Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202014-2018全国各省文科立体几何大题真题一、解答题（共35小题；共455分）1. 如图，四边形AAAA是平行四边形，平面AAA⊥平面AAAA，AA∥AA，AA=2，AA=3，AA=AA=1，AA=√6，∠AAA= 60°，A为AA的中点．（1）求证：AA∥平面AAA；（2）求证：平面AAA⊥平面AAA；（3）求直线AA与平面AAA所成角的正弦值．2. 如图，已知正三棱锥AAAA的侧面是直角三角形，AA=6，顶点A在平面AAA内的正投影为点A，A在平面AAA内的正投影为点A，连接AA并延长交AA于点A．（1）证明：A是AA的中点；（2）在图中作出点A在平面AAA内的正投影A（说明作法及理由），并求四面体AAAA的体积．3. 如图，四棱锥AAAAA中，AA⊥底面AAAA，AA∥AA，AA=AA=AA=3，AA=AA=4，A为线段AA上一点，AA=2AA，A为AA的中点．（1）证明AA∥平面AAA；（2）求四面体AAAA的体积．4. 如图，在平行四边形AAAA中，AA=AA=3，∠AAA=90°，以AA为折痕将△AAA折起，使点A到达点A的位置，且AA⊥AA．（1）证明：平面AAA⊥平面AAA；（2）A为线段AA上一点，A为线段AA上一点，且AA=AA=2AA，求三棱锥AAAA的体积．35. 如图，在三棱锥AAAA中，平面AAA⊥平面AAA，△AAA为等边三角形，AA⊥AA且AA=AA=√2，A，A分别为AA，AA的中点．（1）求证：AA∥平面AAA；（2）求证：平面AAA⊥平面AAA；（3）求三棱锥AAAA的体积．6. 如图，在三棱锥AAAA中，AA=AA=2√2，AA=AA=AA=AA=4，A为AA的中点．（1）证明：AA⊥平面AAA；（2）若点A在棱AA上，且AA=2AA，求点A到平面AAA的距离．7. 如图，矩形AAAA所在平面与半圆弧AA所在平面垂直，A是AA上异于A，A的点．（1）证明：平面AAA⊥平面AAA；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD说明理由．8. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求证：EF∥平面PCD；9. 如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．1. 证明：AC⊥BD；2. 已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．AD，10. 如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2√7，求四棱锥PABCD的体积．11. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；，求该四棱锥的侧面（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥PABCD的体积为83积．12. 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．13. 如图，在四棱锥PABCD中，AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2．（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．14. 由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．（1）证明：A1O∥平面B1CD1；（2）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．15. 如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF说明理由．16. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（1）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△DEF的位置．（1）证明：AC⊥HD；，OD=2√2，求五棱锥DABCFE的体积．（2）若AB=5，AC=6，AE=5418. 如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求四面体NBCM的体积．19. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π，A1B1长6，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．为π3（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．AD．20. 如图，在四棱锥中PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（2）证明：平面PAB⊥平面PBD．21. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥PAOC的体积，并求异面直线PA与OE所成角的余弦值．22. 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．23. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线DF⊥平面BEG ·24. 如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，（1）求三棱锥PABC的体积；的值．（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC25. 如图，三棱台DEFABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．26. 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C到平面PDA的距离．27. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD= CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．（1）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由．的值．（2）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V228. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．29. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．（1）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（2）求三棱锥PABC体积的最大值；（3）若BC=√2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．30. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=√6，DE=3，∠BAD=60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.31. 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（1）证明：平面AEC⊥平面BED；（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为√63，求该三棱锥的侧面积．32. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2√5，AA1=√7，BB1=2√7，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．33. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．34. 如图，三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=π2，点D，E在线段AC上，且AD= DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（1）证明：AB⊥平面PFE；（2）若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长．35. 如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图（2）中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，四棱锥A1BCDE的体积为36√2，求a的值．答案第一部分1. （1）设BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC，且OG=12DC=1，又因为EF∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG，且EF=OG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE，因为FG平面BED，OE平面BED，所以FG∥平面BED．（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理可得BD=√3，进而得∠ADB=90°，即BD⊥AD，又因为平面AED⊥平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，所以BD⊥平面AED，因为BD平面BED，所以平面BED⊥平面AED．（3）因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED=ED，由（2）知AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=√6，由余弦定理得cos∠ADE=23，所以sin∠ADE=√53，所以AH=AD√53=√53，在Rt△AHB中，sin∠ABH=AHAB =√56，所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为√56．2. （1）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD．因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE．所以AB⊥平面PED，又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点．（2）如图，在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由（1）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=23CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=23PG，DE=13PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=2√2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=13×12×2×2×2=43．3. （1）取PB中点Q，连接AQ，NQ．因为N是PC中点，NQ∥BC，且NQ=12BC，又AM=23AD=23×34BC=12BC，且AM∥BC，所以QN∥AM，且QN=AM，所以AQNM是平行四边形．所以MN∥AQ．又MN平面PAB，AQ平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）由（1）QN∥平面ABCD，所以V NBCM=V QBCM=12V PBCM=12V PBCA．所以V NBCM=12×13PAS△ABC=16×4×2√5=4√53．4. （1）由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC，又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3√2，又BP=DQ=23DA，所以BP=2√2，作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC，QE=13DC，由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥QABP的体积为V QABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×2√2sin45°=1.5. （1）因为O，M分别为，AB，VA的中点，所以OM∥VB .又因为VB平面MOC，又因为MO平面MOC，所以VB∥平面MOC．（2）因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC平面ABC，所以OC⊥平面VAB，所以平面MOC⊥平面VAB．（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=√2，所以AB=2，OC=1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB=√3，又因为OC⊥平面VAB，所以V CABV=13×OC×S△VAB=√33，又因为V VABC=V CABV，所以V VABC=√33．6. （1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2√3．连接OB．因为AB=BC=√22AC，所以 △ABC 为等腰直角三角形，且 OB ⊥AC ，OB =12AC =2．由 OP 2+OB 2=PB 2 知，OP ⊥OB ．由 OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知 PO ⊥平面ABC ．（2） 作 CH ⊥OM ，垂足为 H ．又由（1）可得 OP ⊥CH ，所以 CH ⊥平面POM ．故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．由题设可知 OC =12AC =2，CM =23BC =4√23，∠ACB =45°． 所以 OM =2√53，CH =OCMCsin∠ACB OM=4√55． 所以点 C 到平面 POM 的距离为 4√55．7. （1） 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为 CD ．因为 BC ⊥CD ，BC 平面ABCD ，所以 BC ⊥平面CMD ，故 BC ⊥DM ．因为 M 为 CD 上异于 C ，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM ⊥CM ．又 BC ∩CM =C ，所以 DM ⊥平面BMC ．而 DM 平面AMD ，故 平面AMD ⊥平面BMC ．（2） 当 P 为 AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连接 AC 交 BD 于 O ．因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点．连接 OP ，因为 P 为 AM 中点，所以 MC ∥OP ．MC 平面PBD ，OP 平面PBD ，所以 MC ∥平面PBD ．8. （1） 因为 平面PAD ⊥平面ABCD ，且 平面PAD ∩平面ABCD =AD ， 因为 PA =PD ，E 为 AD 中点，所以 PE ⊥AD ．又 PE 平面PAD ，所以 PE ⊥平面ABCD ，又 BC 平面ABCD ，所以PE⊥BC．（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又PA⊥PD，且PD∩CD=D，所以PA⊥平面PCD，又PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．（3）取PC中点G，连FG，DG，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG为△PBC的中位线，BC，所以FG∥BC，FG=12又E为AD的中点，四边形ABCD为矩形，BC，所以ED∥BC，ED=12所以FG∥ED，FG=ED，所以四边形EFGD为平行四边形，所以EF∥DG，又EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF∥平面PCD．9. 1. 取AC中点O，连接DO，BO，因为△ABC是正三角形，AD=CD，所以DO⊥AC，BO⊥AC，因为DO∩BO=O，所以AC⊥平面BDO，因为BD平面BDO，所以AC⊥BD．2. 法一：连接OE，由（1）知AC⊥平面OBD，因为OE平面OBD，所以OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，所以O是线段AC垂直平分线上的点，所以 EC =EA =CD =√2，由余弦定理得：cos∠CBD =BC 2+BD 2CD 22BCBD =BC 2+BE 2CE 22BCBE ， 即 4+422×2×2=4+BE 222×2×BE ，解得 BE =1 或 BE =2，因为 BE <BD =2，所以 BE =1，所以 BE =ED ，因为四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 ℎ，因为 BE =ED ，所以 S △DCE =S △BCE ，所以四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．法二：设 AD =CD =√2，则 AC =AB =BC =BD =2，AO =CO =DO =1， 所以 BO =√41=√3，因为 BO 2+DO 2=BD 2，所以 BO ⊥DO ，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C (1,0,0)，D (0,0,1)，B(0,√3,0)，A (1,0,0)，设 E (a,b,c )，DE⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)， 则 (a,b,c1)=λ(0,√3,1)，解得 E(0,√3λ,1λ)，所以 CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3λ,1λ)，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3λ,1λ)， 因为 AE ⊥EC ，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ =1+3λ2+(1λ)2=0， 由 λ∈[0,1]，解得 λ=12，所以 DE =BE ，因为四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 ℎ，因为 DE =BE ，所以 S △DCE =S △BCE ，所以四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．10. （1） 四棱锥 PABCD 中，因为 ∠BAD =∠ABC =90°．所以 BC ∥AD ，因为 AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，所以 直线BC ∥平面PAD ；（2） 设 AD =2x ，则 AB =BC =x ，CD =√2x ，设 O 是 AD 的中点，连接 PO ，OC ，CD 的中点为 E ，连接 OE ，由题意得，四边形ABCO为正方形，则CO⊥AD．因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥AD，PO⊥平面ABCD，因为CO底面ABCD，所以PO⊥CO，则OE=√22x，PO=√3x，PE=√PO2+OE2=√7x√2，△PCD面积为2√7，可得：12PECD=2√7，即：12√72×√2x=2√7，解得x=2，PO=2√3．则V PABCD=13×12(BC+AD)×AB×PO=13×12×(2+4)×2×2√3=4√3.11. （1）因为在四棱锥PABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，所以AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，所以AB⊥PD，因为PA∩PD=P，所以AB⊥平面PAD，因为AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连接PO，因为PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，所以PO⊥底面ABCD，且AD=√a2+a2=√2a，PO=√22a，因为四棱锥PABCD的体积为83，所以V PABCD=13×S四边形ABCD×PO=13×AB×AD×PO=13×a×√2a×√22a=13a3=83.解得a=2，所以PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2√2，PO=√2，所以PB=PC=√4+4=2√2，所以该四棱锥的侧面积为：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×√PB2(BC2)2=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×2√2×√82=6+2√3.12. （1）由PA⊥AB，PA⊥BC，AB平面ABC，BC平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD平面ABC，可得PA⊥BD．（2）由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC．（3）PA∥平面BDE，PA平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=12PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=12S△ABC=12×12×2×2=1，则三棱锥EBCD的体积为13DES△BDC=13×1×1=13．13. （1）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，由已知，得AP=√AD2+PD2=√5，故cos∠DAP=ADAP =√55，所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为√55．（2）因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC=B，且PB平面PBC，BC平面PBC，所以PD⊥平面PBC．（3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由于AD∥BC,DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，DF=√16+4=2√5，可得sin∠DFP=PDDF =√55，所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为√55．14. （1）取B1D1中点G，连接A1G，CG，因为四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，所以四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后，A1G∥OC，A1G=OC，所以四边形OCGA1是平行四边形，所以A1O∥CG，因为A1O平面B1CD1，CG平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1．（2）四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后，BD∥B1D1，BD=B1D1，因为M是OD的中点，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，所以BD⊥A1E，因为四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，所以AO⊥BD，因为M是OD的中点，E为AD的中点，所以EM⊥BD，因为A1E∩EM=E，所以BD⊥平面A1EM，因为BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面A1EM，因为B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1．15. （1）因为PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC=C，所以DC⊥平面PAC．（2）因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PC⊥AB．又AC∩PC=C，所以AB⊥平面PAC．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．（3）棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF．证明如下：取PB中点F，连接EF，CE，CF．又因为E为AB的中点，所以EF∥PA．又因为PA平面CEF，EF平面CEF，所以PA∥平面CEF．16. （1）连接DE，因为EF∥BD，所以EF与BD确定一个平面．因为AE=EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC；同理可得BD⊥AC．又因为BD∩DE=D，所以AC⊥平面BDEF，又因为FB平面BDEF，所以AC⊥FB．（2）设FC的中点为I，连接GI，HI．在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF．又EF∥DB，所以GI∥DB；在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC．又GI∩HI=I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH∥平面ABC．17. （1）由已知得AC⊥BD，AD=CD．又由AE=CF得AEAD =CFCD，故AC∥EF．由此得EF⊥HD，EF⊥HD，所以AC⊥HD．（2）由EF∥AC得OHDO =AEAD=14．由AB=5，AC=6得DO=BO=√AB2AO2=4．所以OH=1，DH=DH=3．于是OD2+OH2=(2√2)2+12=9=DH2，故OD⊥OH．由（1）知AC⊥HD，又AC⊥BD，BD∩HD=H，所以AC⊥平面BHD，于是AC⊥OD．又由OD⊥OH，AC∩OH=O，所以OD⊥平面ABC．又由EFAC =DHDO得EF=92．五边形ABCFE的面积S=12×6×812×92×3=694．所以五棱锥DABCFE的体积V=13×694×2√2=23√22．18. （1）由已知条件，得AM=23AD=2．取BP的中点T，连接AT，TN．因为N为PC的中点，所以TN∥BC，TN=12BC=2，所以TN=AM．又AD∥BC，所以TN∥AM，且TN=AM，故四边形AMNT为平行四边形，所以MN∥AT．因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA．取BC的中点E，连接AE．因为AB=AC=3，所以 AE ⊥BC ，AE =√AB 2BE 2=√5．因为 AM ∥BC ，所以点 M 到 BC 的距离为 √5，故 S △BCM =12×4×√5=2√5．所以四面体 NBCM 的体积 V NBCM =13×12PAS △BCM =4√53． 19. （1） 由题意可知，圆柱的母线长 l =1，底面半径 r =1． 圆柱的体积 V =πr 2l =π×12×1=π，圆柱的侧面积 S =2πrl =2π×1×1=2π．（2） 设过点 B 1 的母线与下底面交于点 B ，则 O 1B 1∥OB ，所以 ∠COB 或其补角为 O 1B 1 与 OC 所成的角．由 A 1B 1 长为 π3，可知 ∠AOB =∠A 1O 1B 1=π3，由 AC 长为 5π6，可知 ∠AOC =5π6，∠COB =∠AOC∠AOB =π2， 所以异面直线 O 1B 1 与 OC 所成的角的大小为 π2．20. （1） 取棱 AD 的中点 M(M ∈平面PAD)，点 M 即为所求的一个点， 理由如下：因为 AD ∥BC ，BC =12AD ，所以 BC ∥AM ，且 BC =AM ．所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CM ∥AB ．又 AB 平面PAB ，CM 平面PAB ，所以 CM ∥平面PAB ．（2） 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为 AD ∥BC ，BC =12AD ， 所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA ⊥平面ABCD ．从而 PA ⊥BD ．因为 AD ∥BC ，BC =12AD ，所以 BC ∥MD ，且 BC =MD ．所以四边形 BCDM 是平行四边形．所以 BM =CD =12AD ， 所以 BD ⊥AB ．又 AB ∩AP =A ，所以 BD ⊥平面PAB ．又 BD 平面PBD ，所以平面 PAB ⊥平面PBD ．21. V PAOC =13×12×2=13．因为 AC ∥OE ，所以 ∠PAC 为异面直线 PA 与 OE 所成的角或其补角． 由 PO =2，OA =OC =1，得 PA =PC =√5，AC =√2．在 △PAC 中，由余弦定理得 cos∠PAC =√1010， 故异面直线 PA 与 OE 所成角的余弦值为 √1010．22. （1） 交线围成的正方形 EHGF 如图．（2） 作 EM ⊥AB ，垂足为 M ，则 AM =A 1E =4，EB 1=12，EM =AA 1=8． 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH =EF =BC =10．于是 MH =√EH 2EM 2=6，AH =10，HB =6．故 S 四边形A 1EHA =12×(4+10)×8=56，S 四边形EB 1BH =12×(12+6)×8=72． 因为长方体被平面 α 分为两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97（79 也正确）．23. （1） 点 F ，G ，H 的位置如图所示．（2） 平面BEG ∥平面ACH ．证明如下：因为六面体 ABCDEFGH 为正方体，所以 BC ∥FG ，BC =FG ．又 FG ∥EH ，FG =EH ，所以 BC ∥EH ，BC =EH ，于是四边形 BCHE 为平行四边形．所以 BE ∥CH ．又 CH 平面ACH ，BE 平面ACH ，所以 BE ∥平面ACH ．同理 BG ∥平面ACH ．又 BE ∩BG =B ，所以 平面BEG ∥平面ACH ．（3） 连接 FH ，与 EG 交于点 O ，连接 BD ．因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 DH ⊥平面EFGH ．因为 EG 平面EFGH ，所以 DH ⊥EG ．又 EG ⊥FH ，DH ∩FH =H ，所以 EG ⊥平面BFHD ．又 DF 平面BFHD ，所以 DF ⊥EG ．同理DF⊥BG．又EG∩BG=G，所以DF⊥平面BEG．24. （1）在△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=60°S△ABC=12ABACsin∠BAC=12×1×2×sin60°=√32又因为PA⊥面ABC，所以PA是三棱锥PABC的高，所以V三棱锥PABC =13PAS△ABC=13×1×√32=√36（2）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，则MN⊥面ABCAC面ABCMN⊥ACMN∩BN=NAC⊥面BMNBM面BMNAC⊥BM此时M即为所找点，在△ABN中，易知AN=12CMPC=CNAC322=34PMMC=1325. （1）证法一：如图，连接DG，CD，设CD∩GF=O，连接OH．在三梭台DEFABC中，AB=2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF=GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD．又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH．证法二：在三棱台DEFABC中，由BC=2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH=EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB．又GH∩HF=H，所以平面FGH∥平面ABED．因为BD平面ABED，所以BD∥平面FGH．（2）如图，连接HE．因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB．由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF=HC，因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE．又CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE,GH平面EGH，HE∩GH=H，所以BC⊥平面EGH．又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH．26. （1）∵四边形ABCD为长方形，∴BC∥AD．又BC平面PDA，AD平面PDA，∴BC∥平面PDA．（2）∵BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD且平面PDC∩平面ABCD=CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面PDC．∵PD平面PDC，∴BC⊥PD．（3）取CD的中点E，连接PE，AC．∵PD=PC，∴PE⊥CD，∴PE=√PC2CE2=√4232=√7．∵平面PDC⊥平面ABCD且平面PDC∩平面ABCD=CD，PE平面PDC，∴PE⊥平面ABCD．由（2）知BC⊥平面PDC．又AD∥BC，∴AD⊥平面PDC．又PD平面PDC，∴AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为ℎ，则V CPDA=V PACD，∴13S△PDAℎ=13S△ACD PE，∴ℎ=S△ACD PES△PDA =12×3×6×√712×3×4=3√72，故点C到平面PDA的距离为3√72．27. （1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．因为DE平面PCD，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC．由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（2）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1=13S长方形ABCDPD=13BCCDPD.由（1）知，DE是鳖臑DBCE的高，BC⊥CE，所以V2=13S△BCE DE=16BCCEDE.在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=√22CD，于是V1 V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.28. （1）证明：如图，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1．又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC,BC∩BB1于点B，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1．（2）设AB的中点为D，连接A1D，CD，如图．因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB．又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1．因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．由题设，∠CA1D=45°，所以A1D=CD=√32AB=√3．在RtAA1D中，AA1=√A1D2AD2=√31=√2，所以FC=12AA1=√22．故三棱锥FAEC的体积V=13S△AEC FC=13×√32×√22=√612．29. （1）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO．又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC．因为DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO．（2）因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1．又AB=2，所以△ABC面积的最大值为12×2×1=1．又因为三棱锥PABC的高PO=1，故三棱锥PABC体积的最大值为13×1×1=13．（3）解法一：在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB=√12+12=√2．同理PC=√2，所以PB=PC=BC．在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C共线时，CE+OE取得最小值．又因为OP=OB，CP=CB，所以OC垂直平分PB，即E为PB的中点．从而OC=OE+EC=√22+√62=√2+√62，即CE+OE的最小值为√2+√62．解法二：在△POB中，PO=OB=1，∠POB＝90°，所以 ∠OPB ＝45°，PB =√12+12=√2．同理，PC =√2．所以 PB =PC =BC ，所以 ∠CPB ＝60°．在三梭锥 PABC 中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BCP ，使之与平面 ABP 共面，如图所示． 当 O ，E ，C ′ 共线时，CE ＋OE 取得最小值．所以在 △OCP 中，由余弦定理得OC 2=1+22×1×√2×cos (45°+60°)=1+22√2(√22×12√22×√32)=2+√3.从而 OC =√2+√3=√2+√62． 所以 CE +OE 的最小值为√2+√62． 30. （1） 取 BD 的中点为 O ，连接 OE ，OG ．在 △BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，所以 OG ∥DC ，且 OG =12DC =1．又因为 EF ∥AB ，AB ∥DC ，所以 EF ∥OG ，且 EF =OG =1，从而四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FG ∥OE ．又 FG 平面BED ，OE 平面BED ，所以 FG ∥平面BED .（2） 在 △ABD 中，AD =1，AB =2，∠BAD =60°， 由余弦定理，得 BD =√3，则 ∠ADB =90°，即 BD ⊥AD ．又 平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD =AD ，所以 BD ⊥平面AED ．又 BD 平面BED ，所以 平面BED ⊥平面AED ．（3） 因为 EF ∥AB ，所以直线 EF 与平面 BED 所成的角就是直线 AB 与平面 BED 所成的角．过点 A 作 AH ⊥DE 于点 H ，连接 BH ．因为 平面BED ⊥平面AED ，所以 AH ⊥ 平面 BED ，则 ∠ABH 是直线 AB 与平面 BED 所成的角．在 △ADE 中，AD =1，DE =3，AE =√6，由余弦定理，得 cos∠ADE =23，因为 ∠ADE 为锐角，所以 sin∠ADE =√53， 因此 AH =ADsin∠ADE =√53． 在 Rt △AHB 中，sin∠ABH =AH AB =√56， 所以直线 AB 与平面 BED 所成角的正弦值为 √56．31. （1） 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ．因为 BE ⊥平面ABCD ，所以 AC ⊥BE ，故 AC ⊥平面BED ．又 AC 平面AEC ，所以 平面AEC ⊥平面BED ．（2） 设 AB =x ，在菱形 ABCD 中，又 ∠ABC =120°，可得 AG =GC =√32x ，GB =GD =x 2．因为 AE ⊥EC ，所以在 Rt △AEC 中，可得 EG =√32x ． 由 BE ⊥平面ABCD ，知 △EBG 为直角三角形，可得 BE =√22x ． 由已知得，三棱锥 EACD 的体积V 三棱锥EACD =13×12ACGDBE =√624x 3=√63, 故 x =2．从而可得 AE =EC =ED =√6． 所以 △EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 √5．故三棱锥 EACD 的侧面积为 3+2√5．32. （1） 如图，连接 A 1B ．在 △A 1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC 和 A 1C 的中点，所以 EF ∥BA 1．又因为 EF 平面A 1B 1BA ，所以 EF ∥平面A 1B 1BA ．（2） 因为 AB =AC ，E 为 BC 的中点，所以 AE ⊥BC ．因为 AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥A 1A ，所以 BB 1⊥平面ABC ，从而 BB 1⊥AE ．又因为 BC ∩BB 1=B ，所以 AE ⊥平面BCB 1．又因为 AE 平面AEA 1，所以 平面AEA 1⊥平面BCB 1．（3） 如图，取 BB 1 的中点 M 和 B 1C 的中点 N ，连接 A 1M ，A 1N ，NE ．因为 N 和 E 分别为 B 1C 和 BC 的中点，所以NE∥B1B，NE=12B1B，故NE∥A1A，且NE=A1A，所以A1N∥AE，且A1N=AE．又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE=2，所以A1N=AE=2．因为BM∥AA1，BM=AA1，所以A1M∥AB，A1M=AB．又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1．在Rt△A1MB1中，可得A1B1=√B1M2+A1M2=4．在Rt△A1NB1中，可得sin∠A!B1N=A1NA1B1=12．因此∠A1B1N=30°．所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°．33. （1）设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE．由题意得A1E⊥平面ABC．又因为AE平面ABC，所以A1E⊥AE．因为AB=AC，所以AE⊥BC．又因为A1E∩BC=E，A1E平面A1BC，BC平面A1BC．所以AE⊥平面A1BC．由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE=B1B，从而DE∥A1A，DE=A1A，所以四边形A1AED为平行四边形．故A1D∥AE．又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．（2）作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF．因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E．因为BC⊥AE，AE∩A1E=E，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F．又因为DE∩BC=E，所以A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB=AC=2，∠CAB=90°，得EA=EB=√2．由A1E⊥平面ABC，得A1A=A1B=4，A1E=√14．由DE=BB1=4，DA1=EA=√2，∠DA1E=90°，得A1F=√72．所以sin∠A1BF=√78．34. （1）由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC．又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．因为∠ABC=π2，EF∥BC，所以AB⊥EF．从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PFE．（2）设BC=x，则在Rt△ABC中，AB=2BC2=√36x2从而S△ABC=12ABBC=12x√36x2．由EF∥BC知，AFAB =AEAC=23，得△AFE∽△ABC，故S△AFES△ABC =(23)2=49，即S△AFE=49S△ABC．由AD=12AE，S△AFD=12S△AFE=12×49S△ABC=29S△ABC=19x√36x2，从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC =S△ABC S△AFD=12x√36x219x√36x2=718x√36x2．由（1）知PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高．在Rt△PEC中，PE=√PC2EC2=√4222=2√3，所以V四棱锥PDFBC =13S四边形DFBCPE=13×718x√36x2×2√3=7，所以x436x2+243=0，解得x2=9或x2=27．由于x>0，因此x=3或x=3√3．所以BC=3或BC=3√3．35. （1）在题图（1）中，因为AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，∠BAD=π2，所以BE⊥AC．即在题图（2）中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC．又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，又由（1）可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE．即A1O是四棱锥A1BCDE的高．由题图（1）知，A1O=√22AB=√22a，平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2，从而四棱锥A1BCDE的体积为V=13SA1O=13×a2×√22a=√26a3.由√26a3=36√2，得a=6．。
全国各省文科立体几何大题真题
2014-2018全国各省文科立体几何大题真题一、解答题（共35小题；共455分）1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=√6，∠BAD=60∘，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．2. 如图，已知正三棱锥P−ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．3. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求四面体N−BCM的体积．4. 如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90∘，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；DA，求三棱锥Q−ABP的体（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23积．5. 如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC= BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；（3）求三棱锥V−ABC的体积．6. 如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．7. 如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD?说明理由．8. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA= PD，E，F分别为AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求证：EF∥平面PCD；9. 如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．1. 证明：AC⊥BD；2. 已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．AD，10. 如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12∠BAD=∠ABC=90∘．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2√7，求四棱锥P−ABCD的体积．11. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90∘．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；，求该四棱锥的（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，且四棱锥P−ABCD的体积为83侧面积．12. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E−BCD的体积．13. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2．（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．14. 由四棱柱ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．（1）证明：A1O∥平面B1CD1；（2）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．15. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF?说明理由．16. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（1）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△DʹEF的位置．（1）证明：AC⊥HDʹ；，ODʹ=2√2，求五棱锥Dʹ−ABCFE的体积．（2）若AB=5，AC=6，AE=5418. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求四面体N−BCM的体积．，A1B1 19. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．长为π3（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．AD．20. 如图，在四棱锥中P−ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90∘，BC=CD=12（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（2）证明：平面PAB⊥平面PBD．21. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P−AOC的体积，并求异面直线PA与OE 所成角的余弦值．22. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．23. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线DF⊥平面BEG ·24. 如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60∘，（1）求三棱锥P−ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PM的值．MC25. 如图，三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．26. 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C到平面PDA的距离．27. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．（1）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由．（2）记阳马P−ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1的值．V228. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45∘，求三棱锥F−AEC的体积．29. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．（1）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（2）求三棱锥P−ABC体积的最大值；（3）若BC=√2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．30. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=√6，DE=3，∠BAD=60∘，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.31. 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（1）证明：平面AEC⊥平面BED；（2）若∠ABC=120∘，AE⊥EC，三棱锥E−ACD的体积为√63，求该三棱锥的侧面积．32. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2√5，AA1=√7，BB1=2√7，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．33. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．34. 如图，三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=π2，点D，E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（1）证明：AB⊥平面PFE；（2）若四棱锥P−DFBC的体积为7，求线段BC的长．35. 如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图（2）中△A1BE的位置，得到四棱锥A1−BCDE．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，四棱锥A1−BCDE的体积为36√2，求a的值．答案第一部分1. （1）设BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，因为G是BC的中点，DC=1，所以OG∥DC，且OG=12又因为EF∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG，且EF=OG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE，因为FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，所以FG∥平面BED．（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60∘，由余弦定理可得BD=√3，进而得∠ADB=90∘，即BD⊥AD，又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，所以BD⊥平面AED，因为BD⊂平面BED，所以平面BED⊥平面AED．（3）因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED=ED，由（2）知AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=√6，由余弦定理得cos∠ADE=23，所以sin∠ADE=√53，所以AH=AD⋅√53=√53，在Rt△AHB中，sin∠ABH=AHAB =√56，所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为√56．2. （1）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD．因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE．所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG．又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点．（2）如图，在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由（1）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=23CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=23PG，DE=13PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=2√2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=13×12×2×2×2=43．3. （1）取PB中点Q，连接AQ，NQ．因为N是PC中点，NQ∥BC，且NQ=12BC，又AM=23AD=23×34BC=12BC，且AM∥BC，所以QN∥AM，且QN=AM，所以AQNM是平行四边形．所以MN∥AQ．又MN⊄平面PAB，AQ⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）由（1）QN∥平面ABCD，所以V N−BCM=V Q−BCM=12V P−BCM=12V P−BCA．所以V N−BCM=12×13PA⋅S△ABC=16×4×2√5=4√53．4. （1）由已知可得，∠BAC=90∘，BA⊥AC，又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD，又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3√2，又BP=DQ=23DA，所以BP=2√2，作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC，QE=13DC，由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥Q−ABP的体积为V Q−ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×2√2sin45∘=1.5. （1）因为O，M分别为，AB，VA的中点，所以OM∥VB .又因为VB⊄平面MOC，又因为MO⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC．（2）因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB，所以平面MOC⊥平面VAB．（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=√2，所以AB=2，OC=1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB=√3，又因为OC⊥平面VAB，所以V C−ABV=13×OC×S△VAB=√33，又因为V V−ABC=V C−ABV，所以V V−ABC=√33．6. （1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2√3．连接OB．因为AB=BC=√22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2．由 OP 2+OB 2=PB 2 知，OP ⊥OB ．由 OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知 PO ⊥平面ABC ．（2） 作 CH ⊥OM ，垂足为 H ．又由（1）可得 OP ⊥CH ，所以 CH ⊥平面POM ．故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．由题设可知 OC =12AC =2，CM =23BC =4√23，∠ACB =45∘． 所以 OM =2√53，CH =OC⋅MC⋅sin∠ACB OM=4√55． 所以点 C 到平面 POM 的距离为 4√55．7. （1） 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为 CD ．因为 BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以 BC ⊥平面CMD ，故 BC ⊥DM ．因为 M 为 CD 上异于 C ，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM ⊥CM ．又 BC ∩CM =C ，所以 DM ⊥平面BMC ．而 DM ⊂平面AMD ，故 平面AMD ⊥平面BMC ．（2） 当 P 为 AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连接 AC 交 BD 于 O ．因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点．连接 OP ，因为 P 为 AM 中点，所以 MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以 MC ∥平面PBD ．8. （1） 因为 平面PAD ⊥平面ABCD ，且 平面PAD ∩平面ABCD =AD ，因为 PA =PD ，E 为 AD 中点，所以 PE ⊥AD ．又 PE ⊂平面PAD ，所以PE⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PE⊥BC．（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又PA⊥PD，且PD∩CD=D，所以PA⊥平面PCD，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．（3）取PC中点G，连FG，DG，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG为△PBC的中位线，BC，所以FG∥BC，FG=12又E为AD的中点，四边形ABCD为矩形，BC，所以ED∥BC，ED=12所以FG∥ED，FG=ED，所以四边形EFGD为平行四边形，所以EF∥DG，又EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．9. 1. 取AC中点O，连接DO，BO，因为△ABC是正三角形，AD=CD，所以DO⊥AC，BO⊥AC，因为DO∩BO=O，所以AC⊥平面BDO，因为BD⊂平面BDO，所以AC⊥BD．2. 法一：连接 OE ，由（1）知 AC ⊥平面OBD ，因为 OE ⊂平面OBD ，所以 OE ⊥AC ，设 AD =CD =√2，则 OC =OA =1，所以 O 是线段 AC 垂直平分线上的点，所以 EC =EA =CD =√2，由余弦定理得：cos∠CBD =BC 2+BD 2−CD 22BC⋅BD =BC 2+BE 2−CE 22BC⋅BE ， 即 4+4−22×2×2=4+BE 2−22×2×BE ，解得 BE =1 或 BE =2，因为 BE <BD =2，所以 BE =1，所以 BE =ED ，因为四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 ℎ，因为 BE =ED ，所以 S △DCE =S △BCE ，所以四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．法二：设 AD =CD =√2，则 AC =AB =BC =BD =2，AO =CO =DO =1， 所以 BO =√4−1=√3，因为 BO 2+DO 2=BD 2，所以 BO ⊥DO ，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C (−1,0,0)，D (0,0,1)，B(0,√3,0)，A (1,0,0)，设 E (a,b,c )，DE⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)， 则 (a,b,c −1)=λ(0,√3,−1)，解得 E(0,√3λ,1−λ)，所以 CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3λ,1−λ)，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3λ,1−λ)， 因为 AE ⊥EC ，所以 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+3λ2+(1−λ)2=0， 由 λ∈[0,1]，解得 λ=12，所以 DE =BE ，因为四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 ℎ，因为 DE =BE ，所以 S △DCE =S △BCE ，所以四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．10. （1） 四棱锥 P −ABCD 中，因为 ∠BAD =∠ABC =90∘．所以 BC ∥AD ，因为 AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以 直线BC ∥平面PAD ；（2） 设 AD =2x ，则 AB =BC =x ，CD =√2x ，设 O 是 AD 的中点，连接 PO ，OC ，CD 的中点为 E ，连接 OE ，由题意得，四边形 ABCO 为正方形，则 CO ⊥AD ．因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ， 所以 PO ⊥AD ，PO ⊥平面ABCD ，因为 CO ⊂底面ABCD ，所以 PO ⊥CO ，则 OE =√22x ，PO =√3x ，PE =√PO 2+OE 2=√7x √2， △PCD 面积为 2√7，可得：12PE ⋅CD =2√7，即：12√7√2×√2x =2√7，解得 x =2，PO =2√3．则V P−ABCD =13×12(BC +AD )×AB ×PO =13×12×(2+4)×2×2√3=4√3.11. （1） 因为在四棱锥 P −ABCD 中，∠BAP =∠CDP =90∘，所以 AB⊥PA ，CD ⊥PD ，又AB∥CD，所以AB⊥PD，因为PA∩PD=P，所以AB⊥平面PAD，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连接PO，因为PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，平面PAB⊥平面PAD，所以PO⊥底面ABCD，且AD=√a2+a2=√2a，PO=√22a，因为四棱锥P−ABCD的体积为83，所以V P−ABCD=13×S四边形ABCD×PO=13×AB×AD×PO=13×a×√2a×√22a=13a3=83.解得a=2，所以PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2√2，PO=√2，所以PB=PC=√4+4=2√2，所以该四棱锥的侧面积为：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×√PB2−(BC2)2=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×2√2×√8−2=6+2√3.12. （1）由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD．（2）由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC．（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=12PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=12S△ABC=12×12×2×2=1，则三棱锥E−BCD的体积为13DE⋅S△BDC=13×1×1=13．13. （1）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，由已知，得AP=√AD2+PD2=√5，故cos∠DAP=ADAP =√55，所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为√55．（2）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC=B，且PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC．（3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由于AD∥BC,DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC−BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，DF=√16+4=2√5，可得sin∠DFP=PDDF =√55，所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为√55．14. （1）取B1D1中点G，连接A1G，CG，因为四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，所以四棱柱ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后，A1G∥OC，A1G=OC，所以四边形OCGA1是平行四边形，所以A1O∥CG，因为A1O⊄平面B1CD1，CG⊂平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1．（2）四棱柱ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后，BD∥B1D1，BD=B1D1，因为M是OD的中点，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥A1E，因为四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，所以AO⊥BD，因为M是OD的中点，E为AD的中点，所以EM⊥BD，因为A1E∩EM=E，所以BD⊥平面A1EM，因为BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面A1EM，因为B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1．15. （1）因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC=C，所以DC⊥平面PAC．（2）因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB．又AC∩PC=C，所以AB⊥平面PAC．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．（3）棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF．证明如下：取PB中点F，连接EF，CE，CF．又因为E为AB的中点，所以EF∥PA．又因为PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF．16. （1）连接DE，因为EF∥BD，所以EF与BD确定一个平面．因为AE=EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC；同理可得BD⊥AC．又因为BD∩DE=D，所以AC⊥平面BDEF，又因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．（2）设FC的中点为I，连接GI，HI．在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF．又EF∥DB，所以GI∥DB；在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC．又GI∩HI=I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．17. （1）由已知得AC⊥BD，AD=CD．又由AE=CF得AEAD =CFCD，故AC∥EF．由此得EF⊥HD，EF⊥HDʹ，所以AC⊥HDʹ．（2）由EF∥AC得OHDO =AEAD=14．由AB=5，AC=6得DO=BO=√AB2−AO2=4．所以OH=1，DʹH=DH=3．于是ODʹ2+OH2=(2√2)2+12=9=DʹH2，故ODʹ⊥OH．由（1）知AC⊥HDʹ，又AC⊥BD，BD∩HDʹ=H，所以AC⊥平面BHDʹ，于是AC⊥ODʹ．又由ODʹ⊥OH，AC∩OH=O，所以ODʹ⊥平面ABC．又由EFAC =DHDO得EF=92．五边形ABCFE的面积S=12×6×8−12×92×3=694．所以五棱锥Dʹ−ABCFE的体积V=13×694×2√2=23√22．18. （1）由已知条件，得AM=23AD=2．取BP的中点T，连接AT，TN．因为N为PC的中点，所以TN∥BC，TN=12BC=2，所以TN=AM．又AD∥BC，所以TN∥AM，且TN=AM，故四边形AMNT为平行四边形，所以MN∥AT．因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA．取BC的中点E，连接AE．因为AB=AC=3，所以AE⊥BC，AE=√AB2−BE2=√5．因为AM∥BC，所以点M到BC的距离为√5，故S△BCM=12×4×√5=2√5．所以四面体N−BCM的体积V N−BCM=13×12PA⋅S△BCM=4√53．19. （1）由题意可知，圆柱的母线长l=1，底面半径r=1．圆柱的体积V=πr2l=π×12×1=π，圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π．（2） 设过点 B 1 的母线与下底面交于点 B ，则 O 1B 1∥OB ，所以 ∠COB 或其补角为 O 1B 1 与 OC 所成的角．由 A 1B 1 长为 π3，可知 ∠AOB =∠A 1O 1B 1=π3，由 AC 长为 5π6，可知 ∠AOC =5π6，∠COB =∠AOC −∠AOB =π2， 所以异面直线 O 1B 1 与 OC 所成的角的大小为 π2．20. （1） 取棱 AD 的中点 M(M ∈平面PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下：因为 AD ∥BC ，BC =12AD ，所以 BC ∥AM ，且 BC =AM ．所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CM ∥AB ．又 AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以 CM ∥平面PAB ．（2） 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为 AD ∥BC ，BC =12AD ，所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA ⊥平面ABCD ．从而 PA ⊥BD ．因为 AD ∥BC ，BC =12AD ，所以 BC ∥MD ，且 BC =MD ．所以四边形 BCDM 是平行四边形．所以 BM =CD =12AD ，所以 BD ⊥AB ．又 AB ∩AP =A ，所以 BD ⊥平面PAB ．又 BD ⊂平面PBD ，所以平面 PAB ⊥平面PBD ．21. V P−AOC =13×12×2=13．因为 AC ∥OE ，所以 ∠PAC 为异面直线 PA 与 OE 所成的角或其补角．由 PO =2，OA =OC =1，得 PA =PC =√5，AC =√2．在 △PAC 中，由余弦定理得 cos∠PAC =√1010， 故异面直线 PA 与 OE 所成角的余弦值为√1010． 22. （1） 交线围成的正方形 EHGF 如图．（2） 作 EM ⊥AB ，垂足为 M ，则 AM =A 1E =4，EB 1=12，EM =AA 1=8．因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH =EF =BC =10．于是 MH =√EH 2−EM 2=6，AH =10，HB =6．故 S 四边形A 1EHA =12×(4+10)×8=56，S 四边形EB 1BH =12×(12+6)×8=72．因为长方体被平面 α 分为两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97（79 也正确）．23. （1） 点 F ，G ，H 的位置如图所示．（2） 平面BEG ∥平面ACH ．证明如下：因为六面体 ABCD −EFGH 为正方体，所以 BC ∥FG ，BC =FG ．又 FG ∥EH ，FG =EH ，所以 BC ∥EH ，BC =EH ，于是四边形 BCHE 为平行四边形．所以 BE ∥CH ．又 CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以 BE ∥平面ACH ．同理 BG ∥平面ACH ．又 BE ∩BG =B ，所以 平面BEG ∥平面ACH ．（3） 连接 FH ，与 EG 交于点 O ，连接 BD ．因为 ABCD −EFGH 为正方体，所以 DH ⊥平面EFGH ．因为 EG ⊂平面EFGH ，又EG⊥FH，DH∩FH=H，所以EG⊥平面BFHD．又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG=G，所以DF⊥平面BEG．24. （1）在△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=60∘⇒S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12×1×2×sin60∘=√32又因为PA⊥面ABC，所以PA是三棱锥P−ABC的高，所以V三棱锥P−ABC =13PA⋅S△ABC=13×1×√32=√36（2）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，则MN⊥面ABCAC⊂面ABC⇒MN⊥ACMN∩BN=N⇒AC⊥面BMNBM⊂面BMN⇒AC⊥BM此时M即为所找点，在△ABN中，易知AN=12⇒CMPC=CNAC⇒322=34⇒PMMC=1325. （1）证法一：如图，连接DG，CD，设CD∩GF=O，连接OH．在三梭台DEF−ABC中，AB=2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF=GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH．证法二：在三棱台DEF−ABC中，由BC=2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH=EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB．又GH∩HF=H，所以平面FGH∥平面ABED．因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH．（2）如图，连接HE．因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB．由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF=HC，因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE．又CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE,GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，所以BC⊥平面EGH．又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH．26. （1）∵四边形ABCD为长方形，∴BC∥AD．又BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，∴BC∥平面PDA．（2）∵BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD且平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PDC．∵PD⊂平面PDC，∴BC⊥PD．（3）取CD的中点E，连接PE，AC．∵PD=PC，∴PE⊥CD，∴PE=√PC2−CE2=√42−32=√7．∵平面PDC⊥平面ABCD且平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，∴PE⊥平面ABCD．由（2）知BC⊥平面PDC．又AD∥BC，∴AD⊥平面PDC．又PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为ℎ，则V C−PDA=V P−ACD，∴13S△PDA⋅ℎ=13S△ACD⋅PE，∴ℎ=S△ACD⋅PES△PDA =12×3×6×√712×3×4=3√72，故点C到平面PDA的距离为3√72．27. （1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC．由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（2）由已知，PD是阳马P−ABCD的高，所以V1=13S长方形ABCD⋅PD=13BC⋅CD⋅PD.由（1）知，DE是鳖臑D−BCE的高，BC⊥CE，所以V2=13S△BCE⋅DE=16BC⋅CE⋅DE.在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=√22CD，于是V1 V2=13BC⋅CD⋅PD16BC⋅CE⋅DE=2CD⋅PDCE⋅DE=4.28. （1）证明：如图，因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1．又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC,BC∩BB1于点B，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1．（2）设AB的中点为D，连接A1D，CD，如图．因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB．又三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1．因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．由题设，∠CA1D=45∘，所以A1D=CD=√32AB=√3．在RtAA1D中，AA1=√A1D2−AD2=√3−1=√2，所以FC=12AA1=√22．故三棱锥F−AEC的体积V=13S△AEC⋅FC=13×√32×√22=√612．29. （1）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO．又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC．因为DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO．（2）因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1．又AB=2，所以△ABC面积的最大值为12×2×1=1．又因为三棱锥P−ABC的高PO=1，故三棱锥P−ABC体积的最大值为13×1×1=13．（3）解法一：在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90∘，所以PB=2+12=√2．同理PC=√2，所以PB=PC=BC．在三棱锥P−ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCʹP，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，Cʹ共线时，CE+OE取得最小值．又因为OP=OB，CʹP=CʹB，所以OCʹ垂直平分PB，即E为PB的中点．从而OCʹ=OE+ECʹ=√22+√62=√2+√62，即CE+OE的最小值为√2+√62．解法二：在△POB中，PO=OB=1，∠POB＝90∘，所以∠OPB＝45∘，PB=√12+12=√2．同理，PC=√2．所以PB=PC=BC，所以∠CPB＝60∘．在三梭锥P−ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCʹP，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．所以在 △OCʹP 中，由余弦定理得OCʹ2=1+2−2×1×√2×cos (45∘+60∘)=1+2−2√2(√22×12−√22×√32)=2+√3.从而 OCʹ=√2+√3=√2+√62． 所以 CE +OE 的最小值为√2+√62． 30. （1） 取 BD 的中点为 O ，连接 OE ，OG ．在 △BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，所以 OG ∥DC ，且 OG =12DC =1． 又因为 EF ∥AB ，AB ∥DC ，所以 EF ∥OG ，且 EF =OG =1，从而四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FG ∥OE ．又 FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以 FG ∥平面BED .（2） 在 △ABD 中，AD =1，AB =2，∠BAD =60∘， 由余弦定理，得 BD =√3，则 ∠ADB =90∘，即 BD ⊥AD ．又 平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD =AD ，所以 BD ⊥平面AED ．又 BD ⊂平面BED ，所以 平面BED ⊥平面AED ．（3） 因为 EF ∥AB ，所以直线 EF 与平面 BED 所成的角就是直线 AB 与平面 BED 所成的角．过点 A 作 AH ⊥DE 于点H ，连接 BH ．因为 平面BED ⊥平面AED ，所以 AH ⊥ 平面 BED ，则 ∠ABH 是直线 AB 与平面 BED 所成的角．在 △ADE 中，AD =1，DE =3，AE =√6，由余弦定理，得 cos∠ADE =23，因为 ∠ADE 为锐角，所以 sin∠ADE =√53， 因此 AH =AD ⋅sin∠ADE =√53． 在 Rt △AHB 中，sin∠ABH =AH AB =√56， 所以直线 AB 与平面 BED 所成角的正弦值为 √56．31. （1） 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ．因为 BE ⊥平面ABCD ，所以 AC ⊥BE ，故 AC ⊥平面BED ．又 AC ⊂平面AEC ，所以 平面AEC ⊥平面BED ．（2） 设 AB =x ，在菱形 ABCD 中，又 ∠ABC =120∘，可得 AG =GC =√32x ，GB =GD =x 2．因为 AE ⊥EC ，所以在 Rt △AEC 中，可得 EG =√32x ． 由 BE ⊥平面ABCD ，知 △EBG 为直角三角形，可得 BE =√22x ． 由已知得，三棱锥 E −ACD 的体积V 三棱锥E−ACD =13×12⋅AC ⋅GD ⋅BE =√624x 3=√63, 故 x =2．从而可得 AE =EC =ED =√6． 所以 △EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 √5．故三棱锥 E −ACD 的侧面积为 3+2√5．32. （1） 如图，连接 A 1B ．在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1．又因为EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA．（2）因为AB=AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BB1∥A1A，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE．又因为BC∩BB1=B，所以AE⊥平面BCB1．又因为AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1．（3）如图，取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE．因为N和E分别为B1C和BC的中点，B1B，故NE∥A1A，且NE=A1A，所以NE∥B1B，NE=12所以A1N∥AE，且A1N=AE．又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE=2，所以A1N=AE=2．因为BM∥AA1，BM=AA1，所以A1M∥AB，A1M=AB．又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1．在Rt△A1MB1中，可得A1B1=√B1M2+A1M2=4．在Rt△A1NB1中，可得sin∠A!B1N=A1NA1B1=12．因此∠A1B1N=30∘．所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30∘．33. （1）设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE．由题意得A1E⊥平面ABC．又因为AE⊂平面ABC，所以A1E⊥AE．因为AB=AC，所以AE⊥BC．又因为A1E∩BC=E，A1E⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC．所以AE⊥平面A1BC．由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE=B1B，从而DE∥A1A，DE=A1A，所以四边形A1AED为平行四边形．故A1D∥AE．又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．（2）作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF．因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E．因为BC⊥AE，AE∩A1E=E，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F．又因为DE∩BC=E，所以A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB=AC=2，∠CAB=90∘，得EA=EB=√2．由A1E⊥平面ABC，得A1A=A1B=4，A1E=√14．由DE=BB1=4，DA1=EA=√2，∠DA1E=90∘，得A1F=√72．所以sin∠A1BF=√78．34. （1）由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC．又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．因为∠ABC=π2，EF∥BC，所以AB⊥EF．从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PFE．（2）设BC=x，则在Rt△ABC中，AB=√AC2−BC2=√36−x2，从而S△ABC=12AB⋅BC=12x√36−x2．由EF∥BC知，AFAB =AEAC=23，得△AFE∽△ABC，故S△AFES△ABC =(23)2=49，即S△AFE=49S△ABC．由AD=12AE，S△AFD=12S△AFE=12×49S△ABC=29S△ABC=19x√36−x2，从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC =S△ABC−S△AFD=12x√36−x2−19x√36−x2=718x√36−x2．由（1）知PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P−DFBC的高．在Rt△PEC中，PE=2−EC2=√42−22=2√3，所以V四棱锥P−DFBC =13S四边形DFBC⋅PE=13×718x√36−x2×2√3=7，所以x4−36x2+243=0，解得x2=9或x2=27．由于x>0，因此x=3或x=3√3．所以BC=3或BC=3√3．35. （1）在题图（1）中，因为AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，∠BAD=π2，所以BE⊥AC．即在题图（2）中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC．又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，又由（1）可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE．即A1O是四棱锥A1−BCDE的高．由题图（1）知，A1O=√22AB=√22a，平行四边形BCDE的面积S=BC⋅AB=a2，从而四棱锥A1−BCDE的体积为V=1S⋅A1O=1×a2×√2a=√2a3.由√26a3=36√2，得a=6．。
立体几何（文科）高考真题
立体几何（文科）高考真题1若直线l 不平行于平面a ，且l a Ë，则，则(A) a 内的所有直线与l 异面异面 (B) (B) a 内不存在与l 平行的直线平行的直线 (C) a 内存在唯一的直线与l 平行平行 (D) (D) a 内的直线与l 都相交相交2.2.已知平面已知平面a 截一球面得圆M ，过圆心M 且与a 成060，二面角的平面b 截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4p ，则圆N 的面积为的面积为(A)7p (B)9p (c)11p (D)13p3.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）4.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于_____________. 5.5.已知正方体已知正方体1111ABCD A B C D -中，中，E E 为11C D 的 中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为6. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ^平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=Ð60°.（Ⅰ）证明：1AA BD ^； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.60°BAONM7．如图3，在圆锥PO 中，已知2,PO O = 的直径 2,,AB C AB D AC =Ð 点在上,且CAB=30为的中点．的中点． （I ）证明：;AC POD ^平面（II ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．所成角的正弦值． 8.如图如图,,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形为平行四边形,,45ADC Ð=,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ,PO⊥平面⊥平面ABCD,PO=2,M 为PD 的中点的中点. .(Ⅰ)证明PB PB∥平面∥平面ACM ; (; (ⅡⅡ)证明AD AD⊥平面⊥平面PAC; (Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值所成角的正切值. .9.如图，四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。
(完整版)高考文科立体几何证明专题
立体几何专题1．如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D , E 分别是 AB, AC 边上的点， AD AE ，F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点G ，将 ABF 沿 AF 折起，获取如图5 所示的三棱锥A BCF ，其中 BC2 ．2(1) 证明： DE // 平面 BCF ；(2) 证明： CF 平面 ABF ；(3) 2时，求三棱锥 FDEG 的体积 V F DEG ．当 AD3ADGEBFC图 4【剖析】（ 1）在等边三角形ABC 中， ADAEAD AE ,A BCF 中DB在折叠后的三棱锥EC也成立， DE / / BC ,Q DE平面 BCF ，BC 平面 BCF ，DE / / 平面 BCF ；AGEDFCB图 5（2 ）在等边三角形ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AFBC 1 ①， BF CF.2Q 在三棱锥 ABCF 中， BC2， BC 2 BF 2 CF 2 CF BF ②2Q BF CF F CF 平面 ABF ；（ ）由（ ）可知 GE / /CF ，结合（ 2）可得 GE平面 DFG.3 1VF DEGV E1 11 1 1 1 3 13 DFG3 DG FG GF2 3 3 2332423【剖析】 这个题是入门级的题，除了立体几何的内容， 还观察了平行线分线段成比率这个平面几何的内容 .2．如图 5 所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB平面PAD,AB CD,PD=AD,E是PB的中点，F是 DC 上的点且 DF= 1AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高．2（1）证明： PH 平面 ABCD ；（2）若PH=1，AD= 2 ,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF平面PAB．解： (1)PH 为PAD中的高PH AD又 AB面PAD，PH平面PADPH ABAB AD A所以PH平面ABCD(2):过 B 点做 BG BG CD ，垂足为 G ；连接 HB, 取 HB 中点 M ，连接 EM ，则 EM 是BPH 的中位线由(1)知： PH平面ABCDEM平面 ABCDＥＭ平面 BCF即 EM 为三棱锥E - BCF底面上的高ＥＭ＝1PH1 22SBCF 1FC ? BG =11 22 222 1V E BCF? S BCF ? EM1 2 13 2 2212.（3）：取 AB 中点 N， PA 中点 Q，连接 EN ， FN ，EQ， DQ AB // CD , CD平面PADAB平面PAD，PA平面PADAB PA又EN 是 PAB 的中位线EN // PAAB EN1又DF AB四边形NADF是距形AB FNEN FN NAB平面NEF又 EF平面NEFEF AB四边形NADF是距形AB NF 3、如图，已知三棱锥 A —BPC 中，AP ⊥ PC ， AC ⊥ BC ，M为 AB 中点， D 为 PB 中点，且△ PMB 为正三角形。
高三立体几何题(文科含答案)
23正视图图1侧视图 图22 俯视图 2图3立几习题21若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 2.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面3．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4 C ．23 D ．24.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A.283π- B.83π-C.8-2πD.23π5、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD的中点 求证：（1）直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD5（本小题满分13分）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=，2OD=，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
1∥；（Ⅰ）证明直线BC EF Array -的体积.（Ⅱ）求棱锥F OBED6.（本小题共14分）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；.（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由Array7．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
高考数学最新真题专题解析—立体几何(文科)
高考数学最新真题专题解析—立体几何（文科）考向一 线面夹角【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】 在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30，则（ ） A. 2AB AD =B. AB 与平面11AB C D 所成的角为30C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒ 【答案】D【试题解析】【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b B D B D==，即b c =，22212B D c a b c ==++2a c =． 对于A ，AB a ，AD b ，2AB AD =，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，因为2tan c BAE a ∠==30BAE ∠≠，B 错误； 对于C ，223AC a b c =+=，2212CB b c c =+=，1AC CB ≠，C 错误； 对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠，112sin 22CD a DB C B D c ∠===，而1090DB C <∠<，所以145DB C ∠=．D 正确． 故选：D ．【命题意图】本题主要考查直线与平面夹角，是一道容易题.【命题方向】这类试题在考查题型上选择题、填空题、解答题形式出现，试题难度不大，多为中低档题，重点考查线面夹角的求法问题. 【得分要点】（1）找斜线在平面中的射影； （2）求斜线与其射影的夹角； 考向二 线面平行、垂直的证明【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】 如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积． 【试题解析】【小问1详解】由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD . 【小问2详解】依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形， 所以2,1,3AC AE CE BE ====由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFCS AC EF =⋅⋅，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小值.过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以34BF BD =. 过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==， 所以34FH =,所以11133233324F ABC ABCV SFH -=⋅⋅=⨯⨯=【命题意图】本题考查线面平行、垂直的证明.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的必考题型． 常见的命题角度有：（1）线面平行的证明；（2）线面垂直的证明；（3）面面平行的证明；（4）面面垂直的证明. 【得分要点】（1）利用线面、面面平行的判定定理与性质定理； （2）利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理. 真题汇总及解析 一、单选题1．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知,αβ为空间的两个平面，直线,l ααβ⊄⊥，那么“l ∥α”是“l β⊥”的（ ）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要C ．充分且必要D ．不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】当直线,l ααβ⊄⊥，l ∥α，则l β//，l 与β相交，故充分性不成立； 当直线l α⊄，且αβ⊥，l β⊥时，l ∥α，故必要性成立， ⸫“l ∥α”是“l β⊥”的的必要不充分条件. 故选：A.2．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1A D 的中点，则直线CM 与11A C 所成的角为（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D 【解析】 【分析】11AC AC ∥，所求角为ACM∠，利用几何体性质，解CMA 即可【详解】设正方体棱长为1，连接11,,AC AC AC CM ∴与11A C 所成角即是CM 与AC 所成角，22222221162,,1,2222AC AM CM AM CM AC ⎛⎫⎛⎫===++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CMA ∴为Rt △，1πsin ,26AM ACM ACM AC ∠∠==∴= 故选：D3．（2022·青海·模拟预测）已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，其外接球的6π，则下列结论错误的是（ ） A ．四面体ABCD 的棱长均为2 B ．异面直线AC 与BD 2 C ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒D ．四面体ABCD 的内切球的体积等于6π27【答案】C 【解析】 【分析】对于A, 设该四面体的棱长为a ，表示出高，根据其外接球的体积等于6π，求得外接球半径，即可求得a ,判断A;对于B, 分别取BD,AC 的中点为E,F ,连接EF ,求得EF 的长，即可判断；对于C ，证明线面垂直即可证明异面直线AC 与BD 互相垂直，即可判断;对于D ，利用等体积法求得内切球半径，即可求得内切球体积，即可判断. 【详解】如图示，设该四面体的棱长为a ，底面三角形BCD 的重心为G ,该四面体的外接球球心为O ，半径为R ，连接AG ,GB,OB ,AG 为四面体的高，O 在高AG 上，在Rt AGB △中，2223336,()33BG AG a a ===-, 在Rt OGB △中，22263()()R R =-+，解得6R = ， 6π，即34π6π3R ,故336R =故38,2a a == ，故A 正确； 分别取BD,AC 的中点为E,F ,连接EF ,正四面体ABCD 中，AE=EC ,故EF AC ⊥ ,同理EF BD ⊥, 即EF 为AC,BD 的公垂线，而3232CE =⨯= , 则2222(3)12EF CE CF =-=-= ,故B 正确；由于,AE BD CE BD ⊥⊥ , AE CE ⊂，平面ACE ,故BD ⊥平面ACE , 又AC ⊂平面ACE ,所以BD AC ⊥，即异面直线AC 与BD 所成角为90︒ ，故C 错误； 设四面体内切球的半径为r ,而263AG =,故11433BCDBCDSr SAG ⨯⨯⨯=⨯⨯，故646AG r a ==， 所以四面体ABCD 的内切球的体积等于3344666ππ()π3327r a ==，故D 正确， 故选：C4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线PB 与直线1A D 垂直，直线PB ∥平面11B DC B ．直线PB 与直线1D C 平行，直线PB ⊥平面11AC D C ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面11ADC B D ．直线PB 与直线11B D 相交，直线PB ⊂平面1ABC【答案】A 【解析】 【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定. 【详解】连接11111,,,,DB A B D B D C B C ；由正方体的性质可知1BA BD =，P 是1A D 的中点，所以直线PB 与直线1A D 垂直；由正方体的性质可知1111//,//DB D B A B D C ，所以平面1//BDA 平面11B D C ， 又PB ⊂平面1BDA ，所以直线PB ∥平面11B D C ，故A 正确；以D 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，()111,1,,0,1,122PB D C ⎛⎫==- ⎪⎝⎭显然直线PB 与直线1D C 不平行，故B 不正确；直线PB 与直线AC 异面正确，()1,0,0DA =，102PB DA ⋅=≠，所以直线PB 与平面11ADC B 不垂直，故C 不正确；直线PB与直线B D异面，不相交，故D不正确；11故选：A.5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测）下列四个命题，真命题的个数为（）（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面；（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；（3）平行于同一个平面的两条直线平行；（4）a与b为空间中的两条异面直线，点A不在直线a，b上，则过点A有且仅有一个平面与直线a，b都平行．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的定义即可判断命题(1)；根据线面垂直的性质定理即可判断命题(2)；根据空间中线面的位置关系即可判断命题(3)；结合图形即可判断命题(4). 【详解】命题(1)：由直线垂直平面的定义可知，若直线垂直于一个平面的任意直线，则该直线垂直于该平面，故命题(1)错误；命题(2)：由直线与平面垂直的性质定理可知，过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故命题(2)正确；命题(3)：平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，故命题(3)错误；命题(4)：如图，当点A在如图上底面时，不存在平面同时平行于直线a、b；点A不在异面直线a、b上，若点A在直线a、b之间，则可以确定一个平面同时平行于直线a、b；若点A在直线a、b的外侧，也可以确定一个平面同时平行于直线a、b，故命题(4)错误.故选：B.6．（2022·河南安阳·模拟预测（文））如图，在四面体ABCD中，90BCD AB∠=︒⊥，平面BCD，AB BC CD==，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（）A．π6B．π4C．π3D．π2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，证明BP⊥平面ACD即可推理计算作答.【详解】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，则AB CD⊥，而90BCD∠=︒，即BC CD⊥，又AB BC B⋂=，,AB BC⊂平面ABC，则有CD⊥平面ABC，而BP⊂平面ABC，于是得CD BP ⊥，因P 为AC 的中点，即AC BP ⊥，而AC CD C =，,AC CD ⊂平面ACD ，则BP ⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，从而得BP AD ⊥， 所以直线BP 与AD 所成的角为π2. 故选：D7．（2022·四川成都·模拟预测）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，A ，B ，C ，D 是该三棱锥表面上四个点，则直线AC 和直线BD 所成角的余弦为（ ）A ．0B ．13C ．13-D 22【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原几何体，根据线面垂直的判定有BG ⊥面AGD ，线面垂直的性质可得BG AC ⊥，再由线面垂直的判定和性质得AC BD ⊥，即可得结果. 【详解】由三视图可得如下几何体：BG AG ⊥，BG DG ⊥，AG DG G =，则BG ⊥面AGD ，又AC ⊂面AGD ，则BG AC ⊥，而AC GD ⊥， 由BG GD G ⋂=，则AC ⊥面BGD ，又BD ⊂面BGD ， 所以AC BD ⊥，故直线AC 和直线BD 所成角的余弦为0. 故选：A8．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O 的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．43π C ．6π D ．26π【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，设在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】 如下图所示：在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =， 因为AB ⊥平面BCD ，BC 、BD 、CD ⊂平面BCD ，则AB BC ⊥，AB BD ⊥，CD AB ⊥，CD BC ⊥，AB BC B ⋂=，CD平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC CD ∴⊥，所以，三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形，且2222BD BC CD =+=，2223AD AB BD =+=，设线段AD 的中点为O ，则12OB OC AD OA OD ====， 所以，点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，设球O 的半径为R ，则132R AD ==，因此，球O 的表面积为2412R ππ=. 故选：A. 二、填空题9．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为________.【答案】816283++ 【解析】 【分析】根据三视图可知这是一个四面体，根据长度即可根据三角形面积公式求每一个面的面积，进而可得表面积. 【详解】该几何体的直观图是正方体中的四面体ABCD ，4,42,43AB AD BD BC CD AC ======，()21113448,44282,44282,42832224ABD ABC ADC DBCS S SS =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯==⨯= 故答案为： 816283++.10．（2022·上海普陀·二模）已知一个圆锥的侧面积为2π，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为________. 3π3 【解析】 【分析】由圆锥侧面积公式求得底面半径12r =3.【详解】由题设，令圆锥底面半径为r ，则体高为3r ，母线为2r ， 所以12222r r ππ⨯⨯=，则12r =，故圆锥的体积为2133324r r ππ⨯⨯=. 故答案为：324π 11．（2022·黑龙江·佳木斯一中模拟预测（理））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是棱1AA 上的一个动点，平面1BFD 交棱1CC 于点E ，则下列正确说法的序号是___________.①存在点F 使得11A C ∥平面1BED F ； ②存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ； ③对于任意的点F ，都有EF BD ⊥；④对于任意的点F 三棱锥1E FDD -的体积均不变. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①，找到点F 为1AA 的中点时，满足11A C ∥平面1BED F ；②，证明出11,BD B D 相交，得到不存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ；③，作出辅助线，证明线面垂直，进而得到线线垂直； ④，得到三棱锥1E FDD -的体积等于正方体体积的16，为定值. 【详解】当点F 为1AA 的中点，此时点E 为1CC 的中点，此时连接EF ，可得：11A C EF ， 因为11A C ⊄平面1BED F ，EF ⊂1BED F ，所以11A C ∥平面1BED F ，①正确；连接11,BD B D ，因为11//BB DD ，且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形， 所以11,BD B D 相交， 因为1BD ⊂平面1BED F ，所以不存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ，②错误连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AA ⊥BD ， 因为1AA AC A =， 所以BD ⊥平面11AAC C ，因为EF ⊂平面11AAC C ， 所以BD ⊥EF ，③正确；连接DF ，EF ，ED ，则无论点F 在1A A 的何处，都有1112DFD SDD AD =⋅，是定值，为正方形11ADD A 面积的一半，又高等于CD ，故体积也为定值，为正方体体积的16，④正确.故选：①③④12．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 是棱CD 上的两个动点，点E 在点F 的左边，且满足122EF DC BC ==，给出下列结论：①11B D ⊥平面1B EF ；②三棱锥11D B EF -的体积为定值； ③1A A //平面1B EF ； ④平面11A ADD ⊥平面1B EF . 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②． 【详解】11B D 与11D C 显然不垂直，而11//EF C D ，因此11B D 与EF 显然不垂直，从而11B D ⊥平面1B EF 是错误的，①错；1111D B EF B D EF V V --=，三棱锥11B D EF -中，平面1D EF 即平面11CDD C ，1B 到平面11CDD C 的距离为11B C 是定值，1D EF 中，EF 的长不变，1D 到EF 的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；平面1B EF 就是平面11B A DC ，而1AA 与平面11B A DC 相交，③错；长方体中CD ⊥平面11A D DA ，CD ⊂平面11B A DC ，所以平面11A D DA ⊥平面11B A DC ，即平面11A ADD ⊥平面1B EF ，④正确． 故答案为：②④．三、解答题13．（2022·四川成都·模拟预测（文））如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，,PB PD 在底面ABCD 内的射影分别为,AB AD ，222PA AB AD CD ．(1)求证：PC BC ⊥； (2)求D 到平面PBC 的距离． 【答案】(1)证明见解析 3【解析】 【分析】（1）由题意可证AD PA ⊥、AB PA ⊥，则可得PA ⊥面ABCD ，即可知PA BC ⊥，又AC BC ⊥则可得BC ⊥面PAC ，即可证PC BC ⊥.（2）分别计算出BCD S 与PBC S ，再利用等体积法D PBC P BCD V V --=即可求出答案. (1)因为PB 在底面ABCD 内的射影为AB ，所以面PAB ⊥面ABCD ， 又因为AD AB ⊥，面PAB ⋂面ABCD AB =，AD ⊂面ABCD 所以AD ⊥面PAB ，又因PA ⊂面PAB 因此AD PA ⊥， 同理AB PA ⊥，又AB AD A ⋂=,AD ⊂面ABCD ,AB 面ABCD 所以PA ⊥面ABCD ，又BC ⊂面ABCD ,所以PA BC ⊥，连接AC ，易得2AC =45BAC ∠=，又2AB =， 故AC BC ⊥，又PA AC A =,PA ⊂面PAC ,PA ⊂面PAC 因此BC ⊥面PAC ， 又PC ⊂面PAC 即PC BC ⊥；(2)在RT PAC 中426PC =+=在RT ACB 中422BC =-把D 到平面PBC 的距离看作三棱锥D PBC -的高h ， 由等体积法得，D PBC P BCD V V --=，故1133PBC BCD S h S PA ，即123213622BCD PBCS PA h S ，故D 到平面PBC 的距离为33． 14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，22CD AB ==，2AD =，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱PC 上一点．(1)若2MC MP =，求证：//AP 平面MBD ．(2)若MC MP =，求点P 到平面BDM 的距离．【答案】(1)证明见解析22 【解析】【分析】（1）连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH ，先证明//AP MH ，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）由等体积法B DMP P BMD V V --=，即可求出点P 到平面BDM 的距离.(1)连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH ．由90BAD ADC ∠=∠=︒，得//AB CD ，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PM HC MC =， ∴//AP MH ，又MH ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴//AP 平面MBD ．(2) 由已知易得3BD DM ==，3BM =，所以在等边BMD 中，BM 边上的高为32h =，所以BMD 的面积为13333224BMD S =⨯⨯=△， 易知三棱锥B PDM -的体积为116132326B DMP V -=⨯⨯⨯⨯=， 又因为B DMP P BMD V V --=，所以点P 到平面BDM 的距离为3223P BMD BMD V d S -==△． 15．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图，四棱锥P ABCD -中，平面,PAB ABCD ⊥平面,AB CD ∥,AB AD ⊥3,3,2,60AB AD AP CD PAB ====∠=︒.M 是CD 中点，N 是PB 上一点.(1)若3,BP BN =求三棱锥P AMN -的体积；(2)是否存在点N ,使得MN 平面PAD ,若存在求PN 的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1；(2)存在，73=PN . 【解析】 【分析】 （1）证得点M 到平面PAB 的距离是3AD =，进而可求出结果； （2）证得//MN PE ，进而可证出MN //平面PAD ，从而可求出PN 的长.(1)P AMN M PAN V V --=， 由面PAB ⊥面ABCD 且交线是AB ，又DA AB ⊥，DA ⊂面PAB ， 所以DA ⊥平面PAB ，又MD //AB ， ∴点M 到平面PAB 的距离是3AD =， 又3BP BN =，则22123sin603332APN APB S S ==⨯⨯⨯⨯=， ∴三棱锥P AME -的体积13313=⨯⨯=. (2)存在.//,3,2AB DC AB CD==，连接BM并延长至于AD交于点E，//DM AB，∴在EAB中：13 EM DMEB AB==，∴在PBE△中：在PB上取点N，使得23 BN BMBP BE==，而13PN PB=，则//MN PE，又MN⊄平面PAD，PE⊂平面PAD，MN∴//平面PAD，在PAB△中，2212322372PB=+-⨯⨯⨯=7PN∴=。
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文科立体几何4、如图,矩形ABCD中,ABE AD 平面⊥,2===BC EB AE ,F 为CE 上的点,且ACE BF 平面⊥、C1 (Ⅰ)求证:BCEAE平面⊥;(Ⅱ)求证;BFDAE平面//;(Ⅲ)求三棱锥BGFC-的体积、5、如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中,E、F分别为1DD、DB的中点.(Ⅰ)求证://EF平面11ABC D;(Ⅱ)求证:1EF B C⊥;(III)求三棱锥EFCBV-1的体积.6、如图,在四棱锥ABCDP-中,底面ABCD就是正方形,侧棱⊥PD底面ABCD,1==DCPD,E就是PC的中点,作PBEF⊥交PB于点F.(I) 证明: PA∥平面EDB;(II) 证明:PB⊥平面EFD;(III) 求三棱锥DEFP-的体积.7、如图, 在三棱柱111ABC A B C-中,3AC=,1CC⊥平面ABC,4BC=,5AB=,14AA=,点D就是AB的中点,(1)求证:1AC BC⊥;(2)求证:11AC CDBP平面;(3)求三棱锥11C CDB-的体积。
8、如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE＝EB＝BC＝2,F且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;(2)求三棱锥D－AEC的体积;A BDEFA1B1(3)设M 在线段AB 上,且满足AM ＝2MB,试 在线段CE 上确定一点N,使得MN ∥平面DAE 、9、如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 就是菱形,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a 2,点E,F分别在PD,BC 上,且PE:ED=BF:FC 。
(1)求证:PA ⊥平面ABCD; (2)求证:EF//平面PAB 。
10、正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面CDE ,且3AE =,6AB =.(1)求证:AB ⊥平面ADE ;(2)求凸多面体ABCDE 的体积.11、如图的几何体中,AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,22AD DE AB ===,F 为CD 的中点.(1)求证://AF 平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面CDE ; (3)求这个几何体的体积. 1213、已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB ＝1,BC ＝2,CD ＝1＋3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使DE ⊥EC 、ABCDE(1)求证:BC ⊥平面CDE ; (2)求证:FG ∥平面BCD ; (3)求四棱锥D －ABCE 的体积、17、如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别就是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 就是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到图 4GEF ABCD如图5所示的三棱锥A BCF -,其中22BC =、 (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -、 18、如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别就是AB,BB 1的中点、(1) 证明: BC 1//平面A 1CD;(2) 设AA 1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C 一A 1DE 的体积、19、如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 就是边长为2的菱形,60BAD ∠=o 、已知2,6PB PD PA === 、(Ⅰ)证明:PC BD ⊥(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积、19.G1、G4、G3[2014·安徽卷] 如图1-5所示,四棱锥P - ABCD 的底面就是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217、点G ,E ,F ,H 分别就是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH 、图 5DGBFCAE图1-5(1)证明:GH ∥EF ;(2)若EB ＝2,求四边形GEFH 的面积.20.G1、G5[2014·重庆卷] 如图1-4所示四棱锥P ABCD 中,底面就是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,AB ＝2,∠BAD ＝π3,M 为BC 上一点,且BM ＝12、(1)证明:BC ⊥平面POM ;(2)若MP ⊥AP ,求四棱锥P -ABMO 的体积.图1-417.G2、G8[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示,平行于棱AD ,BC 的平面分别交四面体的棱AB ,BD ,DC ,CA 于点E ,F ,G ,H 、图1-4(1)求四面体ABCD 的体积; (2)证明:四边形EFGH 就是矩形.17.G4 、G5[2014·北京卷] 如图1-5,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别就是A1C1,BC的中点.图1-5(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥EABC的体积.16.G4、G5[2014·江苏卷] 如图1-4所示,在三棱锥P -ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB 的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5、求证:(1)直线P A∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC、图1-418.G4、G11[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3,四棱锥P -ABCD中,底面ABCD为矩形,P A ⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP＝1,AD＝3,三棱锥P -ABD的体积V＝34,求A到平面PBC的距离.18.G5,G4[2014·山东卷] 如图1-4所示,四棱锥P ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB ＝BC ＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点.图1-4(1)求证:AP ∥平面BEF ; (2)求证:BE ⊥平面P AC 、18.G4、G5[2014·四川卷] 在如图1-4所示的多面体中,四边形ABB 1A 1与ACC 1A 1都为矩形.(1)若AC ⊥BC ,证明:直线BC ⊥平面ACC 1A 1、(2)设D ,E 分别就是线段BC ,CC 1的中点,在线段AB 上就是否存在一点M ,使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明您的结论.图1-419.G5,G7[2014·福建卷] 如图1-6所示,三棱锥A BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD 、 (1)求证:CD ⊥平面ABD ;(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1,M 为AD 中点,求三棱锥A - MBC 的体积.19.G5、G7[2014·辽宁卷] 如图1-4所示,△ABC与△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC ＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.图1-4(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D -BCG的体积.19.G5 G11[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C、图1-4(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC -A1B1C1的高.19.G5 G11[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C、图1-4(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC -A1B1C1的高.18.G1,G4,G5[2015·北京卷] 如图1-5,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC＝BC＝2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.18.G1,G4,G5[2015·四川卷] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1-2所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明您的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG、图1-218.G4,G5,G11[2015·广东卷] 如图1-3,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD＝PC＝4,AB＝6,BC＝3、(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.图1-316.G4、G5[2015·江苏卷] 如图1-2,在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1,设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E 、求证:(1)DE ∥平面AA 1C 1C ;(2)BC 1⊥AB 1、图1-218.G5[2015·全国卷Ⅰ] 如图1-5,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD 、(1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC ＝120°,AE ⊥EC, 三棱锥E - ACD 的体积为63,求该三棱锥的侧面积.18.G5[2015·陕西卷] 如图1-5(1),在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD ＝π2,AB ＝BC ＝12AD ＝a ,E 就是AD 的中点,O 就是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1 BCDE 、(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1 BCDE 的体积为362,求a 的值.图1-5 20.G5、G7[2015·重庆卷] 如图1-4,三棱锥P - ABC 中,平面P AC ⊥平面ABC ,∠ABC ＝π2,点D ,E 在线段AC 上,且AD ＝DE ＝EC ＝2,PD ＝PC ＝4,点F 在线段AB 上,且EF ∥BC 、(1)证明:AB ⊥平面PFE ;(2)若四棱锥P - DFBC 的体积为7,求线段BC 的长.图1-419.G12[2015·安徽卷] 如图1-5,三棱锥P -ABC 中,P A ⊥平面ABC ,P A ＝1,AB ＝1,AC ＝2,∠BAC ＝60°、(1)求三棱锥P -ABC 的体积;(2)证明:在线段PC 上存在点M ,使得AC ⊥BM ,并求PM MC的值.图1-519.G1、G4[2016·全国卷Ⅲ] 如图1-5,四棱锥P - ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点.(1)证明:MN ∥平面P AB ;(2)求四面体N - BCM 的体积.图1-518.G4,G5[2016·北京卷] 如图1-4,在四棱锥P - ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,DC ⊥AC 、(1)求证:DC ⊥平面P AC 、(2)求证:平面P AB ⊥平面P AC 、(3)设点E 为AB 的中点,在棱PB 上就是否存在点F ,使得P A ∥平面CEF ？说明理由.18.G4,G5[2016·山东卷] 在如图1-5所示的几何体中,D 就是AC 的中点,EF ∥DB 、(1)已知AB ＝BC ,AE ＝EC ,求证:AC ⊥FB ;(2)已知G ,H 分别就是EC 与FB 的中点,求证:GH ∥平面ABC 、图1-517.G7、G4、G5[2016·四川卷] 如图1-4,在四棱锥P - ABCD 中,P A ⊥CD ,AD ∥BC ,∠ADC＝∠P AB ＝90°,BC ＝CD ＝12AD 、 (1)在平面P AD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面P AB ,并说明理由;(2)证明:平面P AB ⊥平面PBD 、图1-418.G5[2016·全国卷Ⅰ] 如图1-4,已知正三棱锥P - ABC 的侧面就是直角三角形,P A ＝6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面P AB 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G 、(1)证明:G 就是AB 的中点;(2)作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.图1-419.G5[2016·全国卷Ⅱ] 如图1-4,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H 、将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明:AC ⊥HD ′;(2)若AB ＝5,AC ＝6,AE ＝54,OD ′＝22,求五棱锥D ′ABCFE 的体积.图1-411、【2017课标1,文18】如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o .(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积. 12、【2017课标II,文18】如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= (1)证明:直线//BC 平面PAD ;(2)若△PAD 面积为27,求四棱锥P ABCD -的体积、13、【2017课标3,文19】如图,四面体ABCD 中,△ABC 就是正三角形,AD =CD .(1)证明:AC ⊥BD ;(2)已知△ACD 就是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.14、【2017山东,文18】(本小题满分12分)由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD ,(Ⅰ)证明:1A O ∥平面B 1CD 1;(Ⅱ)设M 就是OD 的中点,证明:平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1、15、【2017天津,文17】如图,在四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面PDC ,AD BC ∥,PD PB ⊥,1AD =,3BC =,4CD =,2PD =、(I)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值;(II)求证:PD ⊥平面PBC ;(Ⅲ)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值、16、【2017北京,文18】如图,在三棱锥P –ABC 中,PA ⊥AB ,PA ⊥BC ,AB ⊥BC ,PA =AB =BC =2,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点.(Ⅰ)求证:PA ⊥BD ;(Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面PAC ;(Ⅲ)当PA ∥平面BD E 时,求三棱锥E –BCD 的体积.。