参数方程完全解析(非原创)
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参数方程参数方程是一种数学中常用的表示曲线的方法，它是通过一组参数来描述曲线上的点的位置。
与直角坐标系中的函数表示方式不同，参数方程给出的是曲线上每一个点在某个参数下的坐标值。
参数方程的一般形式为：x = f(t) y = g(t)其中，x 和 y 是曲线上某一点的坐标，t 是参数。
通过改变参数 t 的取值，可以得到曲线上的不同点坐标，从而描绘出整个曲线。
参数方程的表示形式参数方程的表示形式可以有多种，常见的包括：•二维参数方程：x = f(t), y = g(t)•三维参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)以二维参数方程为例，可以通过给定不同的参数 t 的取值范围，来绘制出对应的曲线。
参数 t 通常是一个连续的变化的数值，可以是时间、角度或其他物理量。
通过改变参数t，我们可以得到曲线上的点的坐标变化情况，从而得到曲线的形状。
参数方程的应用参数方程在数学和物理中有广泛的应用，特别是在几何学、物理学和计算机图形学中。
在几何学中，参数方程可以用来表示各种曲线，例如抛物线、椭圆、双曲线等，通过调整参数的取值范围，可以绘制出不同形状的曲线。
参数方程还可以用来表示曲线的长度、曲率等几何性质。
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，一个抛出的物体在空中的运动可以用参数方程来表示。
通过改变参数 t 的取值，可以得到物体在不同时刻的位置坐标，从而得到物体的运动轨迹。
在计算机图形学中，参数方程可以用来生成各种图形。
通过给定不同的参数t，可以计算出曲线上的点的坐标，然后将这些点连接起来，就可以生成各种精美的图形，如曲线、曲面等。
参数方程的优缺点参数方程相较于直角坐标系的表示方法，有一些明显的优点和缺点。
优点：•对于复杂的曲线，参数方程可以更加简洁地描述其形状。
•参数方程可以处理直角坐标系中无法表示的曲线，如极坐标系下的曲线。
缺点：•参数方程需要额外的参数 t，增加了计算的复杂度。
高中数学函数参数方程解析
高中数学函数参数方程解析一、引言在高中数学学习中，函数参数方程是一个重要的知识点。
本文将从基础概念出发，通过具体题目的举例，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧，帮助读者更好地理解和应用函数参数方程。
二、函数参数方程的基本概念函数参数方程是指用参数表示的函数方程。
一般形式为：y = f(x, a)，其中a为参数。
参数可以是任意实数，通过改变参数的取值，可以得到不同的函数图像。
三、函数参数方程的应用举例1. 例题一：求参数方程y = a^2 - x^2的图像。
解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。
令y = f(x, a) = a^2 - x^2，其中a为参数。
通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。
当a = 1时，函数图像为一个单位圆；当a = 2时，函数图像为一个半径为2的圆。
可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。
2. 例题二：求参数方程x = a + t，y = a - t的图像。
解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。
令x = f(t, a) = a + t，y = g(t, a) = a - t，其中a为参数。
通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。
当a = 0时，函数图像为直线y = -x；当a = 1时，函数图像为直线y = 1 - x。
可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。
四、函数参数方程的考点分析1. 参数的取值范围：在解题过程中，需要注意参数的取值范围，以保证函数有意义。
例如，在例题一中，参数a不能取负值，否则函数图像将不存在。
2. 函数图像的特点：通过观察函数图像的特点，可以发现一些规律。
例如，在例题一中，当参数a取不同的值时，函数图像的形状和大小都会发生变化。
这表明参数a对函数图像具有一定的控制作用。
3. 函数图像的对称性：在解题过程中，可以通过观察函数图像的对称性来简化问题。
例如，在例题一中，函数图像y = a^2 - x^2关于y轴对称，这可以帮助我们更好地理解和绘制函数图像。
参数方程知识讲解及典型例题
参数方程一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。
二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：特殊：圆心是（0,0），半径为r 的圆：θθsin cos r y r x ==一般：圆心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数，θ的几何意义为圆心角），Eg1：已知点P （x ，y ）是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x 2+y 2的最值；（2）x+y 的最值；（3）点P 到直线x+y-1=0的距离d 的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos θ （2） x=sin θ （3） x=t+t1y=3sin θ y=cos θ y=t 2+21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程： θθsin cos 00b y y a x x +=+=Eg ：求椭圆203622y x +=1上的点到M （2,0）的最小值。
3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线：θθtan sec b y a x == （θ为参数，代表离心角），中心在（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pt y pt x 222== （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。
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高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念， 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义， 掌握参 数方程与普通方程的互化方法 .会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 直线的参数方程 (1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线 l(如图)的参数方程是xxtcosa为参数)(ty y 0tsina(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tg α=b 的直线的参数方程是ax x 0at (t 不参数)②y y 0 bt在一般式②中，参数t 不具备标准式中 t 的几何意义，假设a 2+b 2=1,②即为标准式，此 时，｜t ｜表示直线上动点 P 到定点P0的距离；假设 a 2+b 2≠1，那么动点P 到定点P0的距离是a 2b 2｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P(x,y),倾斜角为α的直线l 的参数方程是0 0 0x x 0 tcosa〔t 为参数〕y y 0tsina假设P 、P是l 上的两点，它们所对应的参数分别为 t,t ，那么121 2(1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； ｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，那么t= t 1 t 22中点t1t2｜P到定点P的距离｜PP｜=｜t｜=｜002假设P0为线段P1P2的中点，那么t1+t2=0.圆锥曲线的参数方程(1)圆x a rcos圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是b(φ是参数)y rsinφ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆x2y21(a＞b＞0)的参数方程是a2b2x acosy bsin(φ为参数)椭圆y2y2(a＞b＞0)的参数方程是a12b2x bcos(φ为参数)asin极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.互化公式x cos2x2y2 y(xy sin'tg0)x三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：x 2 5cos〔 为参数〕y1 5sin那么圆上点P 坐标为(2+5cos ，1+5sin )，它到所给直线之距离120cos15sin 30d=4232故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这局部内容自1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程ρ=1所确定的图形是〔 〕2 3sincosA.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线11 1解：ρ=231cos2[1()] 1 sin()2 26(三)综合例题赏析例3x3cos(是参数)的两个焦点坐标是椭圆1〔 〕y5sinA.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得(x3) 2 (y 1)21925a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是 (3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程xcos sin22(02)表示y1(1sin)2A.双曲线的一支，这支过点(1，1)B.抛物线的一局部，这局部过(1，21 )2C.双曲线的一支，这支过 (-1，1)D.抛物线的一局部，这局部过 (-1，21 )2解：由参数式得 x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=1x 2(x ＞0).2∴应选B.例5x sin ()在方程(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是ycosA.(2,-7)B.〔1，2〕C.(1，1)D.(1，0)3 322解：y=cos2=1-2sin2=1-2x 2将x=1 代入，得y=12 2∴应选C.例6 以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是 ( )x t x cost xtgtC.A.B.ycos 2t1 cos2t yty1 cos2ttgtD.1cos2ty 1cos2t解：普通方程 x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.2cos 2t2t=11 2C.中y=2t =ctg 2tx 2 =，即xy=1，故排除C.2sintg∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ =４sin θ化成直角坐标方程为()2+(y+2)2=42+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2 +y 2=4解：将ρ=x 2y 2，sin θ=y 代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.x 2 y 2∴应选B.例8 极坐标ρ=cos( )表示的曲线是 ()4A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ =12(cos θ+sin θ) 22=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为 2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆. 应选D. 例9 在极坐标系中，与圆ρ =4sin θ相切的条直线的方程是 ( ) A.ρsin θ=2 B. ρcos θ=2 C.ρcos θ=-2 D. ρcos θ=-4 例9图 解：如图. ⊙C 的极坐标方程为ρ =4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切，交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，那么有cos θ=OB2，得ρcos θ=2，OP∴应选B.例10 4ρsin 22=5表示的曲线是()A.圆B. 椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22=54ρ·cos2 122 cos5.把ρ= x 2y 2ρcos θ=x ，代入上式，得2x 2 y 2 =2x-5.平方整理得y 2=-5x+25..它表示抛物线.4∴应选D.例11极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线2y 2223x ,它表示两相交直线.解：由4sin θ=3,得4·x 2y 2 ＝3, 即y=3x，y=±∴应选B.四、能力训练 (一)选择题1.极坐标方程ρcos θ=4表示( )3A.一条平行于 x 轴的直线B.一条垂直于 x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：x 2cos (为参数)的位置关系是() y 2sin,A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.假设(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，那么以下各组曲线：①θ=和sin θ=1；②θ=和tg θ=3，③ρ2-9=0和ρ=3；④6263x22t2和x2 2t y1y3 t3t2其中表示相同曲线的组数为()4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足以下关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，那么M ，N 两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=D.关于极轴2对称极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程3是()x11tx11tx11tA ．2 B.2 C.23 3 3yt t t5y5y5222y1 3tD.2 x51t2m22m将参数方xam 22m2yb2m 2 m 2 2m2(m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是 ( )x 2 y 2 1(xa)x 2 y 2 1(xa) A.b 2B.b 2a 2a 2C.x 2y 21( x)x 2 y 2 1(xa)a 2b 2aD.b 2a 28.圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+)，那么圆心的极坐标和半径分别为()6A.(1,),r=2 B.(1,),r=1C.(1,),r=1 D.(1,363-),r=23xt19.参数方程t (t为参数)所表示的曲线是()y2A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线x 2tg 双曲线(θ为参数)的渐近线方程为()y 12secA.y-1=1(x2)B.y=1x C.y-1=2(x 2)22D.y+1=2(x2)11.假设直线x 4 at((t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，那么直线的倾斜角为( )y btA.B.2C.或2D.333 3 3或53x 2pt 2 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，12.曲线(ty2pt那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t22 C.│2p(t 1-t 2)│1+t 2)D.2p(t 1-t 2)213.假设点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin2θ与x 轴两个交点距离的最大值是 ( )315.直线ρ=3与直线l关于直线θ=(ρ∈R)对称，那么l的方程是()2cossin4A．3B．3sin2cos cos2cosC．3D．32sin cos2sincos(二)填空题x34t16.假设直线l的参数方程为5(t为参数)，那么过点(4，-1)且与l平行的直线3ty25在y轴上的截距为.x coscos17.参数方程1〔为参数〕化成普通方程为.sinycos118.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.19.x13t(t为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x，y)与点M(-1，直线23ty2)的距离为.(三)解答题20.设椭圆x4cos(θ为参数)上一点P，假设点P在第一象限，且∠xOP=，求y23sin3点P的坐标.21.曲线C的方程为x2pt2y (p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C的端2pt点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S=14，求P的值.△AFB22.椭圆x2y2=1及点B(0，-2)，过点B作直线BD，与椭圆的左半局部交于C、2D两点，又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.(1)试判断满足│2BD是否存在?并说明理BC│·│BD│=3│GF│·│F2H│成立的直线由.假设点M为弦CD的中点，S△BMF2=2，试求直线BD的方程.x 8 4sec23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线(θ为参数)的左焦点y 3tg和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为9，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 4，B为椭圆x2y2上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大a2b2=1，(a＞b＞0)值和最小值.25.椭圆x2y2=1，直线l∶xy=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，24161282又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.(word 版)高中数学参数方程知识点大全,文档11 / 1111参考答案 (一 (二；２=-2(x-1),(x≤1);18.抛物线；°,|32t|22(三)20.(85,415)；21. 2 3;55322.(1) 不存在，(2)x+y+2=0；23.1(27-341)；max=ab，s max =a 2b 2;5 2a 2b 2(x 1)2(y1)2不同时为零)25.=1(x,y)5 5 22。
参数方程完全解析(非原创)
知识点二：常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程
（1）经过定点
，倾斜角为 的直线 的参数方程为：
（ 为参数）；
其中参数 的几何意义：
，有
在 下方时，
)。
，即 表示直线上任一点 M 到定点 的距离。（当 在 上方时， ，
（2）过定点
，且其斜率为 的直线 的参数方程为：
（ 为参数， 为为常数，
）；
其中 的几何意义为：若 是直线上一点，则
(t 为参数) ； （2）
（t 为参数）.
【答案】：（1）由
得
，代入
化简得
.
∵
,∴
,
.
故所求方程为
（
，
）
4
（2）两个式子相除得 ∵
，代入
得
，故所求方程为
，即
.
(
).
【变式 2】（1）圆
的半径为_________ ；
（2）参数方程 A、双曲线一支，且过点 C、双曲线一支，且过点 【答案】： （1）
其中 （2）
（2）若 为参数， 为常数，求此曲线的离心率。
【答案】：（1）方程可化为
消去 ,得：
∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为
。
（2）方程化为 消去 ，得 ∴曲线为椭圆，其中
类型二：圆渐开线以及摆线
4.已知圆渐开线的参数方程是
解析：
， 面积为 16
，
，
，
，
，从而
。
，则基圆面积是_______。
7
举一反三： 【变式 1】半径为 10 的基圆的渐开线方程是___________;
.
总结升华：
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
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2018届高考数学理大一轮复习教师用书：选修4-4第二节
第二节参数方程突破点(一) 参数方程1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤本节主要包括2个知识点： 1.参数方程；参数方程与极坐标方程的综合问题.第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0<x ≤1， 当t ≤－1时，－1≤x <0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． [解] (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313. (2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.[方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k 1＋k 2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，因为y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0<y <6， 所以所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0<y <6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．2．[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴将A 点坐标代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y－3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.3．[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4．[考点二]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得 t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α， 由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．[解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0. 因为圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1， 所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，d <1，直线l 与曲线C 1相交． (2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点， 且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝ 1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，①曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎨⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的普通方程为4x －3y ＋5＝0.(2)因为直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32. 6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. [课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．(2017·郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 解：(1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M轨迹的直角坐标方程．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋22t ，y ＝y 0＋22t (t 为参数)，由直线l 1与曲线C 相交可得：3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0，由|MA |·|MB |＝83，得t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋2y 20－232＝83，即x 20＋2y 20＝6，x 2＋2y 2＝6表示一椭圆，设直线l 1为y ＝x ＋m ，将y ＝x ＋m 代入x 22＋y 2＝1得，3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0得－3<m <3，故点M 的轨迹是椭圆x 2＋2y 2＝6夹在平行直线y ＝x ±3之间的两段椭圆弧．4．(2017·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)可得其普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|1＋k 2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k2－1，故|6k ＋3|1＋k 2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43.5．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－3，－32，曲线C 的极坐标方程为ρ＝5，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若|AB |＝8，求直线l 的直角坐标方程． 解：(1)由ρ＝5 知ρ2＝25，所以x 2＋y 2＝25， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝25.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α(t 为参数)，① 将参数方程①代入圆的方程x 2＋y 2＝25， 得4t 2－12(2cos α＋sin α)t －55＝0，∴Δ＝16[9(2cos α＋sin α)2＋55]>0，上述方程有两个相异的实数根，设为t 1，t 2， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝9(2cos α＋sin α)2＋55＝8， 化简有3cos 2α＋4sin αcos α＝0， 解得cos α＝0或tan α＝－34，从而可得直线l 的直角坐标方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.6．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．7．(2017·河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ相交于A ，B 两点． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x (x ≠0)．由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62，因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.8．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值． 解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得，ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α＜0，故1|AF |＋1|BF |＝1|t 1|＋1|t 2|＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t1＋t2)2－4t1t2|t1t2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin2α2＋64sin2α16sin2α＝12.。
高中数学知识点精讲精析 参数方程
3.4参数方程1、定义一般地，在直角坐标系中如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式所确定的点P 都在曲线上，那么方程叫做曲线C 的参数方程．t 叫参变量． 2． 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点.此时2||cos 1v α==，0||||||P P tv t ∴==，因而||t 恰好为线段0PP 的长度。
事实上，若规定了直线l 的方向，则t 的几何意义如下：当0t >时，0P P 与l 有相同的方向，且0||t P P =；当0t <时，0P P 与l 有相反的方向，且0||t PP =-；当0t =时，P 与0P 的重合.由此可见，直线的参数方程的标准式是直线的参数方程的特殊形式，它的特点是参数t 的几何意义非常明显，在解决有关线段长度的问题时显得十分简便. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221tt + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 3.直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）4．圆的参数方程1）圆的参数方程的推导（1）设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0POP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别表示 成以θ为自变量的函数？根据三角函数的定义，cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩， ①显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
高考数学中的参数方程问题解析
高考数学中的参数方程问题解析在高考数学中，参数方程是一个比较重要的概念。
我们知道，对于平面上的一条曲线，我们可以使用直角坐标系下的函数来表示它。
但是，在一些特殊情况下，我们使用参数方程会更加方便。
本文将从基础概念出发，对高考数学中的参数方程问题进行解析，希望对广大考生有所帮助。
一、基础概念1、参数在代数中，我们经常使用字母来代表某个数。
例如，我们常常用x来表示未知数。
在参数方程中，我们同样使用字母来代表一个数，这个数我们称之为“参数”。
2、参数方程参数方程是用参数表示函数中每一个元素的表达式。
例如，平面上的一个点可以用它在x轴和y轴上的坐标表示，也可以用参数方程表示。
对于坐标为(x,y)的点，可以用以下参数方程表示：x = 2ty = t + 1其中，t是任意实数。
3、消参在有些时候，我们需要将参数方程转化成直角坐标系下的函数表示。
这个操作被称为“消参”。
假设有一个参数方程：x = ty = 2t + 1我们可以将x的值带入y的式子中，得到：y = 2x + 1这个式子就是原来参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的表达式。
二、常见问题1、判断曲线的类型我们已经知道，参数方程可以描述平面上的任意一条曲线。
但是，不同的参数方程所描述的曲线类型可能不同。
例如，以下参数方程可以描述一个抛物线：x = ty = t²以下参数方程可以描述一个圆：x = cos(t)y = sin(t)对于每一个参数方程，我们需要分析它所描述的曲线的性质，才能正确理解和解决问题。
2、一次代数式在高考数学中，我们经常需要求一个参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的方程。
如果这个曲线可以表示成一次代数式，那么求解就比较简单了。
例如，以下参数方程：x = 2t + 1y = 3t - 5我们可以将x和y联立，解出t的值，再将t的值带入任一方程中，得到:y = 3x - 11这个式子就是原来参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的方程。
2017-2021年高考真题 参数方程 解答题全集 (学生版 解析版)
2017-2021年高考真题 参数方程 解答题全集 （学生版+解析版）1．（2021•乙卷）在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C （2，1），半径为1． （1）写出⊙C 的一个参数方程；（2）过点F （4，1）作⊙C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．2．（2020•江苏）在极坐标系中，已知A （ρ1，π3）在直线l ：ρcos θ＝2上，点B （ρ2，π6）在圆C ：ρ＝4sin θ上（其中ρ≥0，0≤θ＜2π）． （1）求ρ1，ρ2的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．3．（2020•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2−t −t 2，y =2−3t +t 2（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A ，B 两点． （1）求|AB |；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 4．（2020•新课标Ⅱ）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：{x =4cos 2θ，y =4sin 2θ（θ为参数），C 2：{x =t +1t ，y =t −1t（t 为参数）．（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．5．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ，y =sin kt （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ﹣16ρsin θ+3＝0．（1）当k ＝1时，C 1是什么曲线？（2）当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．6．（2019•江苏）在极坐标系中，已知两点A （3，π4），B （√2，π2），直线l 的方程为ρsin （θ+π4）＝3．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．7．（2019•新课标Ⅲ）如图，在极坐标系Ox 中，A （2，0），B （√2，π4），C （√2，3π4），D（2，π），弧AB ̂，BC ̂，CD ̂所在圆的圆心分别是（1，0），（1，π2），（1，π），曲线M 1是弧AB̂，曲线M 2是弧BC ̂，曲线M 3是弧CD ̂． （1）分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；（2）曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |=√3，求P 的极坐标．8．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中，O 为极点，点M （ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A （4，0）且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当θ0=π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．9．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2，y =4t 1+t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．10．（2018•江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin （π6−θ）＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．11．（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ（θ为参数），过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． （1）求α的取值范围；（2）求A ，B 中点P 的轨迹的参数方程．12．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =4sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．13．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0． （1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．14．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |•|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为（2，π3），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．15．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =−8+ty =t 2（t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s （s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．16．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为 {x =a +4ty =1−t ，（t 为参数）．（1）若a ＝﹣1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ．17．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =2+ty =kt ，（t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =−2+my =m k，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cos θ+sin θ）−√2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．2017-2021年高考真题 参数方程 解答题全集 （学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•乙卷）在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C （2，1），半径为1． （1）写出⊙C 的一个参数方程；（2）过点F （4，1）作⊙C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【解答】解：（1）⊙C 的圆心为C （2，1），半径为1， 则⊙C 的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1， ⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ（θ为参数）．（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y ﹣1＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k +1＝0， 圆心C （2，1）到切线的距离d =|2k−1−4k+1|√k +1=1，解得k ＝±√33， 所以切线方程为y ＝±√33（x ﹣4）+1， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsin θ＝±√33（ρcos θ﹣4）+1． 2．（2020•江苏）在极坐标系中，已知A （ρ1，π3）在直线l ：ρcos θ＝2上，点B （ρ2，π6）在圆C ：ρ＝4sin θ上（其中ρ≥0，0≤θ＜2π）． （1）求ρ1，ρ2的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解答】解：（1）∵A （ρ1，π3）在直线l ：ρcos θ＝2上，∴ρ1cos π3=2，解得ρ1＝4．∵点B （ρ2，π6）在圆C ：ρ＝4sin θ上，∴ρ2=4sin π6，解得ρ2＝2或ρ2＝0时，点B （ρ2，π6）表示极点，而圆C 经过极点，所以满足条件，极点的极坐标表示ρ为0，极角为任意角．故ρ2＝2或0．（2）由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ＝1．∵θ∈[0，2π]，∴2θ=π2，∴θ=π4． ∴ρ=4×sin π4=2√2．故公共点的极坐标为（2√2，π4）．3．（2020•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2−t −t 2，y =2−3t +t2（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A ，B 两点． （1）求|AB |；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【解答】解：（1）当x ＝0时，可得t ＝﹣2（1舍去），代入y ＝2﹣3t +t 2，可得y ＝2+6+4＝12，当y ＝0时，可得t ＝2（1舍去），代入x ＝2﹣t ﹣t 2，可得x ＝2﹣2﹣4＝﹣4， 所以曲线C 与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，12）， 则|AB |=√(−4)2+122=4√10；（2）由（1）可得直线AB 过点（0，12），（﹣4，0）， 可得AB 的方程为y 12−x 4=1，即为3x ﹣y +12＝0， 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ﹣ρsin θ+12＝0．4．（2020•新课标Ⅱ）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：{x =4cos 2θ，y =4sin 2θ（θ为参数），C 2：{x =t +1t ，y =t −1t （t 为参数）．（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解答】解：（1）曲线C 1，参数方程为：{x =4cos 2θ，y =4sin 2θ（θ为参数），转换为直角坐标方程为：x +y ﹣4＝0，所以C 1的普通方程为x +y ＝4（0≤x ≤4）． 曲线C 2的参数方程：{x =t +1t ，①y =t −1t，②（t 为参数）． 所以①2﹣②2整理得直角坐标方程为x 24−y 24=1，所以C 2的普通方程为x 2﹣y 2＝4．（2）法一：由{x +y =4x 24−y 24=1，得{x =52y =32，即P 的直角坐标为（52，32）．设所求圆的圆心的直角坐标为（x 0，0），由题意得x 02＝（x 0−52）2+94， 解得x 0=1710， 因此，所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ． 法二：由{x +y =4x 24−y 24=1，整理得{x +y =4x −y =1，解得：{x =52y =32，即P （52，32）．设圆的方程（x ﹣a ）2+y 2＝r 2， 由于圆经过点P 和原点， 所以{a 2=r 2(52−a)2+(32)2=r 2，解得{a =1710r 2=289100，故圆的方程为：(x −1710)2+y 2=289100，即x 2+y 2−175x ＝0，转换为极坐标方程为ρ=175cosθ． 5．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ，y =sin k t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ﹣16ρsin θ+3＝0．（1）当k ＝1时，C 1是什么曲线？（2）当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．【解答】解：（1）当k ＝1时，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sint ，（t 为参数）， 消去参数t ，可得x 2+y 2＝1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；（2）法一：当k ＝4时，C 1：{x =cos 4t y =sin 4t ，消去t 得到C 1的直角坐标方程为√x +√y =1，C 2的极坐标方程为4ρcos θ﹣16ρsin θ+3＝0可得C 2的直角坐标方程为4x ﹣16y +3＝0，{√x +√y =14x −16y +3=0，解得{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为（14，14）．法二：当k ＝4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4ty =sin 4t ，（t 为参数），两式作差可得x ﹣y ＝cos 4t ﹣sin 4t ＝cos 2t ﹣sin 2t ＝2cos 2t ﹣1， ∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2， 整理得：（x ﹣y ）2﹣2（x +y ）+1＝0（0≤x ≤1，0≤y ≤1）． 由4ρcos θ﹣16ρsin θ+3＝0，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴4x ﹣16y +3＝0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936（舍），或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为（14，14）．6．（2019•江苏）在极坐标系中，已知两点A （3，π4），B （√2，π2），直线l 的方程为ρsin （θ+π4）＝3．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．【解答】解：（1）设极点为O ，则在△OAB 中，由余弦定理，得 AB 2＝OA 2+OB 2﹣2OA •OBcos ∠AOB ，∴AB =√32+(√2)2−2×3×√2×cos(π2−π4)=√5； （2）由直线l 的方程ρsin （θ+π4）＝3，知 直线l 过（3√2，π2），倾斜角为3π4，又B （√2，π2），∴点B 到直线l 的距离为(3√2−√2)•sin(3π4−π2)=2．7．（2019•新课标Ⅲ）如图，在极坐标系Ox 中，A （2，0），B （√2，π4），C （√2，3π4），D（2，π），弧AB ̂，BC ̂，CD ̂所在圆的圆心分别是（1，0），（1，π2），（1，π），曲线M 1是弧AB̂，曲线M 2是弧BC ̂，曲线M 3是弧CD ̂．（1）分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；（2）曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |=√3，求P 的极坐标．【解答】解：（1）由题设得，弧AB ̂，BC ̂，CD ̂所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝﹣2cos θ，则M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，（0≤θ≤π4），M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，（π4≤θ≤3π4）， M 3的极坐标方程为ρ＝﹣2cos θ，（3π4≤θ≤π），（2）设P （ρ，θ），由题设及（1）知，若0≤θ≤π4，由2cos θ=√3得cos θ=√32，得θ=π6， 若π4≤θ≤3π4，由2sin θ=√3得sin θ=√32，得θ=π3或2π3， 若3π4≤θ≤π，由﹣2cos θ=√3得cos θ=−√32，得θ=5π6，综上P 的极坐标为（√3，π6）或（√3，π3）或（√3，2π3）或（√3，5π6）．8．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中，O 为极点，点M （ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A （4，0）且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当θ0=π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解答】解：（1）当θ0=π3时，ρ0=4sin π3=2√3， 在直线l 上任取一点（ρ，θ），则有ρcos(θ−π3)=2， 故l 的极坐标方程为有ρcos(θ−π3)=2；（2）设P （ρ，θ），则在Rt △OAP 中，有ρ＝4cos θ， ∵P 在线段OM 上，∴θ∈[π4，π2]，故P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈[π4，π2]．9．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2，y =4t 1+t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【解答】解：（1）由{x =1−t 21+t 2，y =4t 1+t2（t 为参数），得{x =1−t 21+t 2y 2=2t 1+t 2， 两式平方相加，得x 2+y 24=1（x ≠﹣1）， ∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1（x ≠﹣1）， 由2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0，得2x +√3y +11=0． 即直线l 的直角坐标方程为得2x +√3y +11=0； （2）法一、设C 上的点P （cos θ，2sin θ）（θ≠π）， 则P 到直线得2x +√3y +11=0的距离为： d =√3sinθ+11|√7=√7．∴当sin （θ+φ）＝﹣1时，d 有最小值为√7．法二、设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0， 联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0，得16x 2+4mx +m 2﹣12＝0． 由△＝16m 2﹣64（m 2﹣12）＝0，得m ＝±4．∴当m ＝4时，直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小，为√22+3=√7．10．（2018•江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin （π6−θ）＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解答】解：∵曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，⇒x 2+y 2＝4x ， ∴曲线C 是圆心为C （2，0），半径为r ＝2得圆． ∵直线l 的方程为ρsin （π6−θ）＝2，∴12ρcosθ−√32ρsinθ=2， ∴直线l 的普通方程为：x −√3y ＝4． 圆心C 到直线l 的距离为d =2√1+3=1， ∴直线l 被曲线C 截得的弦长为2√r 2−d 2=2√4−1=2√3．11．（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ（θ为参数），过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． （1）求α的取值范围；（2）求A ，B 中点P 的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ（θ为参数），∴⊙O 的普通方程为x 2+y 2＝1，圆心为O （0，0），半径r ＝1，当α=π2时，过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 的方程为x ＝0，成立； 当α≠π2时，过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 的方程为y ＝tan α•x −√2， ∵倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离d =√2|√1+tan α1，∴tan 2α＞1，∴tan α＞1或tan α＜﹣1， ∴π4＜α＜π2或π2＜α＜3π4，综上α的取值范围是（π4，3π4）．（2）l 的参数方程为{x =tcosαy =−√2+tsinα，（t 为参数，π4＜α＜3π4），设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B2， 且t A ，t B 满足t 2−2√2tsinα+1=0， ∴t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα， ∵P （x ，y ）满足{x =t P cosαy =−√2+t p sinα，∴AB 中点P 的轨迹的参数方程为：{x =√22sin2αy =−√22−√22cos2α，（α为参数，π4＜α＜3π4）．12．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =4sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =4sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为：y 216+x 24=1．直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα（t 为参数）．①当斜率存在时，转换为直角坐标方程为：x sin α﹣y cos α+2cos α﹣sin α＝0． ②当斜率不存在时，转换为直角坐标方程为x ＝1． （2）把直线的参数方程{x =1+tcosαy =2+tsinα（t 为参数），代入椭圆的方程得到：(2+tsinα)216+(1+tcosα)24=1整理得：（4cos 2α+sin 2α）t 2+（8cos α+4sin α）t ﹣8＝0， 则：t 1+t 2=−8cosα+4sinα4cos 2α+sin 2α，（由于t 1和t 2为A 、B 对应的参数） 由于（1，2）为中点坐标， 所以利用中点坐标公式t 1+t 2＝0， 则：8cos α+4sin α＝0， 解得：tan α＝﹣2， 即：直线l 的斜率为﹣2．当tan θ＝0或tan θ不存在时，不满足条件， 故直线的斜率为﹣2．13．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0． （1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程． 【解答】解：（1）曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2+2x ﹣3＝0， 转换为标准式为：（x +1）2+y 2＝4．（2）由于曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2，则：该射线关于y 轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该射线与曲线C 2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y ＝kx +2的距离等于半径2． 故：√1+k 2=2，或√1+k 2=2解得：k =−43或0，当k ＝0时，不符合条件，故舍去， 同理解得：k =43或0经检验，直线y =43x +2与曲线C 2．有两个交点． 故C 1的方程为：y =−43|x|+2．14．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |•|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为（2，π3），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x ＝4， 设P （x ，y ），M （4，y 0），则x4=yy 0，∴y 0=4yx ，∵|OM ||OP |＝16，∴√x 2+y 2√16+y 02=16，即（x 2+y 2）（1+y 2x2）＝16，∴x 4+2x 2y 2+y 4＝16x 2，即（x 2+y 2）2＝16x 2， 两边开方得：x 2+y 2＝4x ， 整理得：（x ﹣2）2+y 2＝4（x ≠0），∴点P 的轨迹C 2的直角坐标方程：（x ﹣2）2+y 2＝4（x ≠0）．（2）点A 的直角坐标为A （1，√3），显然点A 在曲线C 2上，|OA |＝2，∴曲线C 2的圆心（2，0）到弦OA 的距离d =√4−1=√3， ∴△AOB 的最大面积S =12|OA |•（2+√3）＝2+√3．15．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =−8+ty =t 2（t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s （s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解答】解：直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y +8＝0，∴P 到直线l 的距离d =2√2s+8|√5=√2s−2)2√5，∴当s =√2时，d 取得最小值√5=4√55． 16．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为 {x =a +4ty =1−t ，（t 为参数）．（1）若a ＝﹣1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2＝1；a ＝﹣1时，直线l 的参数方程化为一般方程是x +4y ﹣3＝0；联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0，解得{x =3y =0或{x =−2125y =2425， 所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和（−2125，2425）． （2）l 的参数方程{x =a +4ty =1−t（t 为参数）化为一般方程是：x +4y ﹣a ﹣4＝0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π）， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =√17=√17，φ满足tan φ=34，且的d 的最大值为√17． ①当﹣a ﹣4≤0时，即a ≥﹣4时，|5sin （θ+φ）﹣a ﹣4|≤|﹣5﹣a ﹣4|＝|5+a +4|＝17 解得a ＝8和﹣26，a ＝8符合题意．②当﹣a ﹣4＞0时，即a ＜﹣4时|5sin （θ+φ）﹣a ﹣4|≤|5﹣a ﹣4|＝|1﹣a |＝17， 解得a ＝﹣16和18，a ＝﹣16符合题意． 综上，a ＝8或a ＝﹣16．17．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =2+ty =kt ，（t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =−2+my =m k ，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cos θ+sin θ）−√2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解答】解：（1）∵直线l 1的参数方程为{x =2+t y =kt ，（t 为参数），∴消掉参数t 得：直线l 1的普通方程为：y ＝k （x ﹣2）①； 又直线l 2的参数方程为{x =−2+my =m k，（m 为参数），同理可得，直线l 2的普通方程为：x ＝﹣2+ky ②；联立①②，消去k 得：x 2﹣y 2＝4，即C 的普通方程为x 2﹣y 2＝4（y ≠0）； （2）∵l 3的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）−√2=0， ∴其普通方程为：x +y −√2=0，联立{x +y =√2x 2−y 2=4得：{x =3√22y =−√22， ∴ρ2＝x 2+y 2=184+24=5．∴l 3与C 的交点M 的极径为ρ=√5．。
参数方程_精品文档
参数方程参数方程是一种数学描述形状的方法，通过给定参数的范围，可以得到一系列点的坐标，进而得到形状。
在许多科学和工程领域中，参数方程被广泛应用。
什么是参数方程参数方程是一种使用参数变量来描述形状的方法。
通常情况下，我们使用的坐标系是直角坐标系，其中一个点的坐标由它在 x 轴和 y 轴上的投影得到。
但是在参数方程中，我们使用参数变量 t 来表示一个点的位置。
通过改变参数 t 的值，我们可以得到一系列点的坐标，这些点连接在一起可以形成一个曲线。
参数方程的表示方法参数方程可以用以下形式表示：x = f(t)y = g(t)这里的 f(t) 和 g(t) 是两个关于参数变量 t 的函数。
通过给定参数 t 的范围，我们可以计算出相应的 x 和 y 坐标。
参数方程的例子让我们来看一个简单的例子：绘制一个圆。
圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中 r 是圆的半径，t 是参数变量，在范围[0, 2π] 内变化。
通过改变参数 t 的值，我们可以计算出圆上一系列点的坐标，从而绘制出整个圆。
参数方程的优点参数方程有一些独特的优点，使它在某些情况下比直角坐标系更有用：1.参数方程可以轻松地描述曲线的弯曲和扭曲，而直角坐标系可能需要更复杂的表达式。
2.参数方程可以很容易地绘制出一些具有特殊形状的曲线，如椭圆、双曲线等。
3.参数方程可以轻松地描述一些与时间相关的现象，如物体在空中的轨迹。
参数方程的应用参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.物理学中，参数方程可以用来描述物体在空间中的运动轨迹，如抛体运动、行星运动等。
2.工程学中，参数方程可以用来描述曲线的形状，如航线规划、平面曲线设计等。
3.计算机图形学中，参数方程可以用来描述二维和三维模型的形状，如计算机动画、三维建模等。
参数方程的总结参数方程是一种描述形状的方法，通过使用参数变量 t，我们可以得到一系列点的坐标，从而形成曲线或者其他形状。
高考参数方程知识点讲解
高考参数方程知识点讲解高考数学中，参数方程是一个比较重要的知识点。
参数方程是一种以参数形式表示的函数，通过引入一个或多个参数，可以更灵活地描述图形在坐标平面上的运动轨迹。
接下来，我们将对参数方程的相关知识点进行讲解。
1. 参数方程的概念及表示方式在解析几何中，参数方程是用参数表示一个集合点的位置所满足的运算关系。
一般来说，参数方程通过引入独立变量（或称为参数），从而将平面上的点与参数之间建立起一种对应关系。
参数方程的标准形式可以写作：x = f(t)，y = g(t)，其中x和y是平面上的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
2. 参数方程的图形表示参数方程可以用于描述一条曲线在平面上的运动轨迹。
以二维平面为例，我们可以通过改变参数t的取值范围，使得曲线上的点在平面上运动。
通过适当地选择参数的取值范围，可以得到曲线的各个特点，例如曲线的形状、方向等。
3. 参数方程与直角坐标方程的转换在解题时，有时我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程表示为参数方程。
这种转换可以帮助我们更好地理解和分析问题。
将直角坐标方程转换为参数方程时，我们可以通过引入适当的参数，将曲线上的点与参数建立起一一对应的关系，从而得到参数方程的表示式。
相反地，将参数方程转换为直角坐标方程时，我们需要通过消元法或代数运算将参数方程表示为关于x和y的等式。
这样，在直角坐标系下，我们可以得到曲线的方程。
4. 参数方程的应用参数方程在物理学、力学等领域有着广泛的应用。
通过引入参数，我们可以更好地描述和分析运动过程中物体的位置、速度、加速度等物理量。
在几何学中，参数方程可以用于描述曲线的性质和形状。
例如，通过引入角度参数，我们可以得到单位圆的参数方程，进而分析圆的性质。
参数方程也可以用于描述曲线的运动轨迹、曲率等特征。
此外，参数方程还可以用于解决几何题。
在解题过程中，我们可以通过构造合适的参数方程，将问题转化为方程组求解或参数边界求解等数学问题。
最全的参数方程
r
M
o
M0
x
讲授新课
如果在时刻t，点M转过的角度是， 坐标是M(x,y)，那么＝t.设|OM|＝r， 那么由三角函数定义有 x y y cos t ,sin t , r r M 即
x r cos t (t为参数) y r sin t
r
o
M0
x
讲授新课
2 (4,0) 的圆心为_________，半径为______.
2. 参数法求轨迹方程 例1. 如图，圆O的半径为2，P是圆上 的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是 PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动 时，求点M的轨迹的参数方程. y
P
M
Q(6, 0)
o
x
练习.
(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0 (t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹 是( D ) A.一个定点 C.一条抛物线 B.一个椭圆 D.一条直线
x cos (1)参数方程 ( 为参数) 2 y sin 表示的曲线是( C )
2
A.直线
B.圆
C.线段
D.射线
复习回顾
3. 练习
x sin (2)在方程 ( 为参数) 所 y cos 2 表示的曲线上一个点的坐标是( C )
练习.
小结
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为
x r cos , ( 为参数); y r sin .
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为
x a r cos , ( 为参数). y b r sin .
课后作业
训练2：
数学参数方程归纳总结
数学参数方程归纳总结数学中的参数方程是一种描述曲线和曲面的方式，它将曲线或曲面上的点的坐标表示为一个或多个参数的函数形式。
通过归纳总结不同类型的参数方程，可以更好地理解和应用数学知识。
本文将就常见的数学参数方程进行归纳总结，并对其应用进行探讨。
一、平面曲线的参数方程1. 直线的参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程可以表示为：x = x1 + aty = y1 + bt其中，x1、y1为直线上一点的坐标，a、b为直线的方向向量。
2. 圆的参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程可以表示为：x = a + rcosθy = b + rsinθ其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径，θ为角度。
3. 椭圆的参数方程在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程可以表示为：x = a + acosθy = b + bsinθ其中，(a, b)为椭圆的中心坐标，a、b为椭圆在x轴和y轴上的半径，θ为角度。
4. 抛物线的参数方程在平面直角坐标系中，抛物线的参数方程可以表示为：x = at^2y = 2at其中，a为抛物线的参数，t为自变量。
5. 双曲线的参数方程在平面直角坐标系中，双曲线的参数方程可以表示为：x = asecθy = btanθ其中，a、b为双曲线的参数，θ为角度。
二、空间曲面的参数方程1. 平面的参数方程在空间直角坐标系中，平面的参数方程可以表示为：x = a + su + tvy = b + mu + nvz = c + pu + qv其中，(a, b, c)为平面上一点的坐标，(s, t)、(m, n)、(p, q)为平面的方向向量。
2. 球面的参数方程在空间直角坐标系中，球面的参数方程可以表示为：x = a + rsinθcosφy = b + rsinθsinφz = c + rcosθ其中，(a, b, c)为球心的坐标，r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。
3. 圆柱面的参数方程在空间直角坐标系中，圆柱面的参数方程可以表示为：x = a + rcosθy = b + rsinθz = cu其中，(a, b, c)为圆柱面上一点的坐标，r为圆柱面的半径，θ为角度，u为高度。
数学参数方程知识点总结8篇
数学参数方程知识点总结8篇第1篇示例：数学中的参数方程是一种常用的描述曲线、曲面的方法，它的应用非常广泛，涉及到几何、物理、工程等各个领域。
掌握数学参数方程的知识对于深入理解数学的原理和应用非常重要。
下面将对数学参数方程的相关知识点进行总结。
一、参数方程的定义参数方程是指用一个或多个参数表示的方程。
通常情况下，参数方程用t表示参数。
比如一个二维曲线的参数方程可以表示为x=f(t),y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别表示曲线上点的横坐标和纵坐标关于参数t 的函数。
1. 描述曲线的形状参数方程可以用来描述各种不规则曲线，如螺旋线、心形曲线等。
通过选择合适的参数函数，可以绘制出各种形状独特的曲线。
2. 计算曲线的长度对于参数方程表示的曲线，可以利用微积分的知识计算曲线的长度。
通过计算曲线上相邻两点之间的距离，对其进行积分求和，可以得到曲线的长度。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标。
利用参数方程表示的曲线可以通过求导计算出曲线的曲率，并进一步研究曲线的几何性质。
4. 综合应用在物理学、工程学等领域中，参数方程的应用非常广泛。
比如在物体运动学的研究中，可以用参数方程描述物体在空间中的运动轨迹，从而计算速度、加速度等物理量。
三、参数曲面方程除了参数方程可以描述曲线外，参数方程也可以用来描述曲面。
一个三维曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v)，其中f(u,v)、g(u,v)、h(u,v)分别表示曲面上点的三个坐标关于参数u,v的函数。
四、常见参数曲线1. 抛物线：x=t, y=t^2。
这个参数方程描述了抛物线的形状，t的取值范围可以确定抛物线的长度和位置。
2. 圆弧：x=a\cos t, y=a\sin t。
这个参数方程描述了以原点为圆心、半径为a的圆的圆弧。
五、总结第2篇示例：数学中的参数方程是一种描述曲线或曲面的方法，它利用参数表示曲线或曲面上的点的位置。
参数方程知识点
参数方程知识点参数方程是解决数学问题的一种常见方法，它可以将曲线的坐标表示为一个或多个参数的函数。
参数方程在几何学、物理学和工程学等领域被广泛应用，它为我们研究和描述复杂的曲线提供了一种便捷的方式。
在本文中，我们将探讨参数方程的相关知识点。
一、参数方程的基本概念参数方程是用参数的形式给出曲线上的点的坐标。
通常，参数方程可以表示为x = f(t)和y = g(t)的形式，其中t是参数，x和y是与t相关的函数。
通过改变参数t的值，可以得到曲线上不同的点，从而描绘出完整的图形。
二、参数方程的应用1. 曲线的轨迹在几何学中，参数方程常用于描述曲线的轨迹。
例如，当我们考虑一个运动物体的轨迹时，可以用参数方程来描述其位置随时间的变化情况。
这种方法特别适用于复杂的曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。
2. 曲线的长度参数方程还可以用于计算曲线的长度。
通过将曲线分成若干小段，并使用勾股定理计算每一段的长度，然后将它们相加，我们可以得到整个曲线的长度。
这在计算弯曲管道或其他曲线形状的长度时十分有用。
3. 参数方程的变换参数方程的另一个重要应用是进行坐标变换。
在平面几何学中，我们常常需要将坐标系从直角坐标系转换为极坐标系或其他坐标系。
通过使用参数方程，我们可以轻松地进行这种坐标变换，便于进一步分析和计算。
三、参数曲面的方程除了参数方程用于描述曲线外，我们还可以将其推广到参数曲面的方程。
与参数方程类似，参数曲面的表示形式为x = f(u, v)、y = g(u, v)和z = h(u, v)，其中u和v是两个参数。
通过改变u和v的值，我们可以得到曲面上不同的点，描绘出整个曲面的形状。
参数曲面的方程在三维几何学、计算机图形学和工程学中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以用参数曲面方程来描述三维模型的形状，从而实现真实感觉的渲染和动画效果。
四、参数方程的求解与性质在使用参数方程解决问题时，我们常常需要求解参数方程的一些性质，如曲线的对称性、拐点和渐近线等。
2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程讲义(含解析)新人教A版选修4-4
三 直线的参数方程1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)由α为直线的倾斜角知 α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数． (3)当M 与M 0重合时，t ＝0.直线的参数方程[例1] 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(1)分别求t ＝0,2，－2时对应的点M (x ，y )； (2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义． [思路点拨] (1)直接代入t 的值求解；(2)把直线的参数方程化为普通方程求倾斜角或把直线的参数方程化为标准形式求倾斜角；(3)利用参数t 的几何意义，即M 0M ―→＝te 求解． [解] (1)由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)知，当t ＝0,2，－2时，分别对应直线l 上的点(－3，2)，(0,3)，(－23，1)．(2)法一：把直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)化为普通方程为y －2＝33(x＋3)，设直线l 的倾斜角为α，则k ＝tan α＝33(0≤α<π)，解得α＝π6.故直线l 的倾斜角为π6.法二：易知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，则直线l 过定点M 0(－3，2)，且倾斜角为π6，故直线l 的倾斜角为π6.(3)由(2)可知直线l 的单位向量e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，且M 0(－3，2)， 又已知M (－33，0)，所以M 0M ―→＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， 所以点M (－33，0)对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M ―→|＝4，且M 0M ―→与e 方向相反．理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)的倾斜角为( )A.π3 B.2π3 C.4π3D.5π3解析：选B 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ＝1－12·(－2t )，y ＝2－3t ＝2＋32·(－2t ).所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝－12.因为θ∈[0，π)，所以θ＝2π3.2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋22t ＝6， 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.直线的参数方程的应用[例2] 已知直线l 过点P (2,0)，斜率为3，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 两点间的距离|PM |； (2)点M 的坐标，线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 首先由参数方程的概念求出直线l 的参数方程，然后再利用参数的几何意义求解．[解] (1)因为直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)．因为直线l 和抛物线相交，将直线l 的参数方程代入抛物线y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0. 因为Δ＝(－15)2＋4×8×50>0， 所以设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2. 则t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254，因为M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程①，得点M 坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516，y ＝45×1516.即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝5738.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A ，B 两点坐标．解：(1)∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7.整理得t 2－43t ＋9＝0.① 设A ，B 对应的参数分别t 1和t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9， ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3. (2)解①得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，B 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2.所以直线l 的倾斜角为π4.(2)易知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.一、选择题1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 80°，y ＝3＋t cos 80°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．10°C ．160°D ．140°解析：选B 将直线的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 10°，y ＝3＋t sin 10°(t 为参数)，故其倾斜角为10°，故选B.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)的斜率为( )A ．－33B ．－32C.33D.12解析：选A 直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)化为普通方程为y －1＝－33(x －3)，则直线的斜率k ＝－33. 3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：选D 直线可化为yx＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程可化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 4．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝3＋t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－ty ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－ty ＝3－2t (t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t y ＝5＋55t (t 为参数)解析：选 C 直线2x －y ＋1＝0经过点(1,3)，斜率k ＝2，可得直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3－2t (t 为参数)．直线还经过点(2,5)，相应的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋55t ，y ＝5＋255t (t为参数)．二、填空题5．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋0.8t ，y ＝2＋0.6t (t 为参数)，则它的普通方程是________．解析：由直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋0.8t ，y ＝2＋0.6t (t 为参数)，消去参数t 整理得3x －4y ＋5＝0. 答案：3x －4y ＋5＝06．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析：设P (－2－2t,3＋2t )是直线上满足条件的点，则(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，t 2＝12，t ＝±22，则P (－3,4)或(－1,2)． 答案：(－3,4)或(－1,2)7．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t ，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________．解析：由|PM 0|＝2知，t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.答案：±1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t (t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y ＝10－4t ，得y ＝10－4(x －5)3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5－35(－5t )，y ＝10＋45(－5t )，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的单位长度，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)将直线l 的参数方程化为标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ′，y ＝32t ′(t ′为参数)，代入y 2＝8x ，并整理得3t ′2－16t ′－64＝0， 则t 1′＋t 2′＝163，t 1′t 2′＝－643，所以|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝323. 10．经过P (－2,3)作直线交抛物线y 2＝－8x 于A ，B 两点． (1)若线段AB 被P 平分，求AB 所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为π4时，求|AB |.解：设AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)．代入抛物线方程，整理得t 2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t －7＝0.于是t 1＋t 2＝－6sin α＋8cos αsin 2α，t 1t 2＝－7sin 2α. (1)若P 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0⇒tan α＝－43.故AB 所在的直线方程为y －3＝－43(x ＋2)．即4x ＋3y －1＝0.(2)|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6sin α＋8cos αsin 2α2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－7sin 2α＝2sin 2α16＋12sin 2α. 又α＝π4，∴|AB |＝2sin2π416＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＝87.。
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结参数方程是描述曲线的一种方式，它使用参数来表示曲线上的点的位置。
在数学中，参数方程被广泛应用于描述曲线、曲面以及其他几何图形。
本文将对数学参数方程的相关知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、参数方程的基本概念。
参数方程是由参数 t 的函数组成的向量函数，通常用 (x(t), y(t)) 表示。
其中 x(t) 和 y(t) 分别是关于参数 t 的函数，描述了曲线上点的位置随参数 t 变化的轨迹。
参数方程可以描述直线、圆、椭圆、双曲线等各种曲线。
二、参数方程与直角坐标系的关系。
参数方程描述的曲线通常是在平面直角坐标系中的曲线，通过参数 t 的取值，我们可以得到曲线上的点的坐标 (x, y)。
参数方程和直角坐标系的转换可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
三、参数方程的应用。
1. 参数方程在物理学中的应用。
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹。
例如，抛体运动、圆周运动等都可以通过参数方程进行描述，这对于研究物体的运动规律具有重要意义。
2. 参数方程在工程学中的应用。
在工程学中，参数方程也有着重要的应用价值。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以描述曲线和曲面的形状，用于建模和渲染。
在机械设计中，参数方程也可以描述各种复杂的曲线轨迹，用于设计和制造。
四、参数方程的性质和特点。
1. 参数方程可以描述一些直角坐标系下无法简单表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
2. 参数方程可以描述一些复杂的曲线轨迹，如螺旋线、阿基米德螺线等。
3. 参数方程可以方便地描述曲线上的点的运动规律，对于研究曲线的性质和特点有着重要的意义。
五、参数方程的求解和应用技巧。
1. 求解参数方程通常需要用到代数、几何、微积分等知识，需要灵活运用各种数学方法进行分析和计算。
2. 在应用参数方程进行实际问题求解时，需要根据具体情况选择合适的参数化方法，灵活运用参数方程的性质和特点进行分析和推导。
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参数方程目标认知学习目标：1.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；2.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。
重点、难点：理解参数方程的概念及转化方法，重点掌握直线和圆的参数方程及椭圆的参数方程，并能利用它们解决一些应用问题；以及利用参数建立点的轨迹方程。
知识要点梳理:知识点一：参数方程1. 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2. 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等.把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化围。
互化时，必须使坐标x, y的取值围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。
知识点二：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。
（当在上方时，，在下方时，)。
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：（为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。
（3）若直线l的倾角a=0时，直线l的参数方程为.2．圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。
如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。
（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。
5. 抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。
6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；（2）摆线的参数方程（是参数）。
规律方法指导1.参数方程作为选考容，试题容涉及参数方程与普通方程的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及在解题中的应用中。
由于该容在高考试题的特殊位置，仅以填空题的形式出现一般为容易题或中等题。
以考察基础知识，基本运算为主。
2. 加强消参的技巧性学习，注意等价性，消参常用的方法有代入法、三角法、加减法等。
3.从数的角度理解，圆与椭圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆、椭圆问题提供了一条新的途径.经典例题精析类型一：参数方程与普通方程互化1.已知圆的方程是，将它表示为圆的参数方程形式。
思路点拨:将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式进行三角代换转化为参数方程。
解析：配方得圆的标准方程令，得圆的参数方程为（q为参数）.总结升华：圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用进行三角代换。
举一反三：【变式】化普通方程为参数方程。
（1）（2）【答案】：（1）配方得圆的标准方程，令，得圆的参数方程为（q为参数）.（2）变形得，令，得椭圆的参数方程为（q为参数）.2．把参数方程化为普通方程(1) (，为参数)；(2)(，为参数）；(3) (,为参数)；(4)(为参数).思路点拨:（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的围。
解析：（1）∵，把代入得；又∵,, ∴,,∴所求方程为：(,)（2）∵,把代入得.又∵，∴,. ∴所求方程为(,).（3）（法一）：,又，,∴所求方程为(,).（法二）：由得,代入,∴（余略）.（4）由得, ∴,由得,当时，；当时，，从而.法一:，即（），故所求方程为（）法二: 由得，代入得，即∴再将代入得，化简得.总结升华：1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值围，一般来说应分别给出、的围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式1】化参数方程为普通方程。
（1）(t为参数) ；（2）（t为参数）.【答案】：（1）由得，代入化简得.∵, ∴,.故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即.∵，故所求方程为().【变式2】（1）圆的半径为_________ ；（2）参数方程(表示的曲线为（）。
A、双曲线一支，且过点B、抛物线的一部分，且过点C、双曲线一支，且过点D、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）其中，，∴半径为5。
（2），且，因而选B。
【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（）。
A、B、C、D、（2）为锐角，直线的倾斜角（）。
A、B、C、D、【答案】：（1），相除得，∴倾斜角为，选C。
（2），相除得，∵，∴倾角为，选C。
3．已知曲线的参数方程（、为常数）。
（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。
解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数）取两式的平方和，得曲线是以为圆心，为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,两式相除，可得，即,曲线是过点且斜率的直线。
总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。
因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。
举一反三：【变式1】已知椭圆的参数方程为（为参数），求出此椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率和准线方程.【答案】：由题意得:,, 得. ∴, .即:椭圆的长轴长为26，短轴长为10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为，准线方程为：和.【变式2】已知曲线C的参数方程为（t为参数）（1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系（2）点Q(2,a)在曲线l上，求a的值.（3）化为普通方程，并作图（4）若t≥0，化为普通方程，并作图.【答案】：（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x, y，即可以求出相应t值.所以，令，∴t无解，∴点P1不在曲线C上.同理，令，∴点P2在曲线C上.（2）∵Q在曲线C上，∴.（3）将代入y=3t2+1,如图.（4）∵t≥0, ∴ x=2t≥0, y=3t2+1≥1, 消去t，，∴ t≥0时，曲线C的普通方程为(x≥0, y≥1).点评:在（4）中，曲线C的普通方程的围也可以只写出x≥0, 但不能写成y≥1，这是因为是关于x的自变量，y为因变量的函数，由x的围可以确定y的取值围，但反过来不行.即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的围都应标注出来.【变式3】已知圆锥曲线方程为。
（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】：（1）方程可化为消去,得：∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
（2）方程化为，消去，得，∴曲线为椭圆，其中，，，从而。
类型二：圆渐开线以及摆线4.已知圆渐开线的参数方程是，则基圆面积是_______。
解析：，面积为16举一反三：【变式1】半径为10的基圆的渐开线方程是___________;【答案】：（为参数）[变式2]摆线的参数方程为，则一个拱的宽度是_________，高度是_________。
【答案】：半径，一个拱宽度为一个圆的周长为16，高度为直径16类型三：求最值5.P是椭圆上的点，求P到直线的距离的最大值与最小值，并求出达到最值时P点的坐标.思路点拨:利用参数方程求最值。
解析：∵点P是椭圆上的点，∴可设，q?[0，2p].P到l的距离.当时，即时，，此时P点坐标为.当即时，，此时P点坐标为.总结升华：利用参数方程求最值是很常见的一种方法，利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。
举一反三：【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。
【答案】：设到的距离为，则（当且仅当即时取等号）。
∴点到直线的最小距离为，此时点，即。
【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个. 【答案】：已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离为，即，∴或又，∴，从而满足要求的点一共有三个.【变式3】椭圆接矩形面积的最大值为_____________.【答案】：设椭圆上第一象限的点，则当且仅当时，取最大值，此时点.【变式4】已知实数x, y满足,求:（1）x2+y2的最大值（2）x+y的最小值.【答案】：原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.用参数方程表示为:（q为参数，0≤q≤2p）.（1）∴当，即时，(x2+y2)max=16.（2）∴当，即时，.选校网.xuanxiao.高考频道专业大全历年分数线上万大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)。