2019年中考数学真题分类训练——专题14：图形的相似

2019年中考数学真题分类镰一题
14：图形的相似
A
B.
1. ( 2019邵阳)如图，以点 O 为位似中心，把厶ABC 放大为原图形的 2倍得到△ AB ，C,以下说法中
错误的是
A △ABC —A'B'C
B. 点C 点Q 点C 三点在同一直线上
C. AO: AAF: 2
D. AB||A ,B ,
【答案】C
2. ( 2019温州)如图，在矩形 ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正形 BEFG,边EF 交CD 于点H 在
M 使BM=BC,作MN||BG 交CD 于点L,交FG 于点H 欧几里得在《几何原本》中利用该图解
了 ( a+b) ( at>) =a
2画 现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线酬于点P,堆P,记△ EPH 的面
S 的備
狗S,图屮阴影部分的面初 &.若点A L, G 在同一直线上，则
S
2
h --------
a
a --------- 峙B
.■ ■』7 E
/ •• / • ;/
a
P
H
L
L
F .V
G
边BE 上取点
AD AN A ——=——
AN AE c DN NE • W = MC
【答案】C
5. （2019玉林）如图，AB || EF|| DC, AD || BC, EF 与AC 交于点G 则是相似三角形共有
c .
42
D. V2
【答案】C
3. （2019淄博）如图，在厶 ABC 中，AC=2, BC=4, D 为BC 边上的一点，且z CAD=zB.
若AADC 的面积为a,
则AABD 的面积为
A 2a C. 3a
【答案】C
4. （2019杭州）如图，在△ ABC 中, 重合），连接AM 交DE 于点N,则
点D E 分别在AB 和AC 上，DE ： BC, M 为BC
上一点（不与点 B, C
BD MN B.
MN CE
DN
NE
D.
MC BM
A 3 时 5 SI 6E ）j 8 对
【答案】C
6. （ 2019常德）如图，在等腰三角形△ ABC 中，AB=AC,图屮所有三角形均相似，其中最小的三角形面积
为A ABC 的面积张，则四边形DBCE 的面积是
B
C
A 20
B. 22
C. 24
D. 26
【答案】D
E, 贝ij BE: EC=
【答案】B
8. （ 2019 赤峰）如图， Q E 分别是△ ABC 边 AB, AC ±的点，z ADE —ACB,若 AD=2, AB=6, AC=4,贝ij AE
的长是
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
7.
（2019凉山）如图，在公ABC 屮, D 在AC 边上，AD: DC=1: 2, O 是BD 的屮点，连杞并延长陋于
A 1: 2
B. 1: 3
D. 2: 3
C. 1: 4
9. （ 2019 重庆）如图，△ ABO —CDO,若 BO=6, DO=3, CD=2,風B 的长是
【答案】B
BC =
12. （ 2019 兰州）已知△ ABC -
AB=8, AB 二6,则
B. 3
D. 5
【答案】C
10. （2019连云港）在如图所示的象楫（各个小正方形的边长均相筹 4 根据吗走于 的规则吗"
应落在下列哪个位置处，能使"马气"车气 訣矿所在位置的格点构成的三角形与勿巾气纺T 、 “兵"所在位置的格点构成的三角形相似
A ①处 B.②处
D.④处
【答案】B
11. （ 2019 安徽）如图，在 RfABC 屮，z ACB=90°, AC 二 6, BC=12,点D 在边BC 上，点
EF 丄AC 于点F, EG±EF 交AB 于点G 若EF=EG, OD 的长为
A 3.6
B. 4
C. 4.8
D
C. 4 C.③处
BC
A 2
B. 4
C. 3
D. 16
3
丁
【答案】B
13. （ 2019常州）若公ABC 〜△A'BC,相似比为2,则△ ABC 与A /XBC 的周长的比为 A 2: 1
B. 1: 2
C. 4: 1
D. 1: 4
【答案】B 二、填空题
14. （ 2019吉林）在某一时刻，测得一枫妁8 m 的竹竿的影长3师，同时同地测得一栋楼的影长为 90 m,则这栋楼的腐 __________ m.
【答案】54
15. （2019台州）如图，直綢II2III3, A B, C 分别逍线，丨2,丨3上的动点，接AB, BC, AC,线
D.设直线，I2Z 间的距斷n 直线，IsZ 间的距离n,若zABC=90。

,
m 2
BD=4,且—=一，贝ij mm 的最大憊
n 3
16. （2019南京）如图，在厶ABC 屮，BC 的垂直平分陇N 交AB 于点D CD 平分z ACB.若AD=2, BD=3,
则AC 的长 __________
段AC 交直綾于点
【答案】
25
【答案】E
17.(2019)烟台)如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1个单位长度，△ ABO 的顶点坐标分别
为 A (-2，-1 ) , B (-2 ,・ 3) , 0(0, 0) , A AiB O 的顶点坐标分别为 A (1,邛)，B 1,・5 ) , O ( 5,
1), △ ABO 与Z\ABO 是以点P 为位似中心的位似图形，则
P 点的坐标为 ___________
A B 的坐标分别是 A(4, 2) , B (5, 0),以点O 为位似屮心,
相似比为 丄，把△ ABO 缩小，得到△ ABiQ 则点A 的对应点A 的坐标为 2 . 【答案】(2, 1)或(-2 , -1 )
18.(2019)本溪)在平面直角坐标系中，点
19. （ 2019 宜宾） 如图，已知直角厶 ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC 二4, BC=3,则
AD=
【答案】一
5
20. (2019河池)如图，以点O 为位似中心，将AOAB 放大后得到△ OCD, OA 二2, AC 二 3,贝ij AB CD
2
【答案】-
5
21. （2019淮安）如图，hULIIIs.直线a 、b 与I “ I 2、I 3分别相交于点 A 、B 、C 和点D 、E 、F.若 DE=2, BC=6, E»F= _
a
v
_____ D
l.
B /
E . / *2
/C
F
【答案】4 三、解答题
22. （ 2019福建）已知△ ABC 和点A ,如图.
（1）以点A 为一个顶点作△ A B* C ,使注3 0沁ABC,且△ A' B C 的面积等于△ ABC 面积的4倍;
求：尺规作图，不写作法，保留作图遊
（2）茂E 、F 分别是△ ABC 三AB. BC 、AC 的中点，D 、E 、F 分别是你所作的厶ABC 三边B 、 B C 、C A'的屮点，求证：△ DEF — D E F .
解：(1)作线段C=2 AC. A 1 B f =2 AB 、B C=2 BC,得△ A B C 即可所求・
AB=3,
（要
C
\ A f C=2 AC、A* B'=2 AB. B1 C=2 BC,
S AB
MDO = ---------------- =
1 1
2 ( )4
S AB
△
ABC C 9
(2)如图
,
•. D、E.=F-分别是△ ABO三朋、BC.= AC的中点,
1
DE BC , DF
2 1
AC , EF
2
1
AB,
2
DEF— ABC
同理：△ D E F -A A B C ,
由(1)可知：△ ABC-△ A'BC,
DEF— DEF*.
23. ( 2019绍兴)如图，矩形ABCD中，AB=a, BC=b,点M N分别滋B, CD ±，点
AD±, MN, EF 交于点P, fc&MN： EF.
(1)若a： b的值为当MN丄EF时，求k的值.
1 ,求k的最大值和最小值.
(2)若a： b的值为
2
E, F分别妙C, (3)若k的值为当点N是矩形的顶点，MPg60°, MP=EF=3PE时，求a： b的值.
解：(1)如圈中,
作FH 丄BC 于H, MQ 丄CD 于Q EF 交MN 于点
••四边形ABCD 是正方形…•・FH=AB, MQ=BC, vAB=CB, .\FH=MQ,
•. EF 丄MN, ..z EON=90。

，
•.N ECN 二90。

，MNQ+^CEO=180°, z FEH+zCEO 二 180。

，
.•.zFEH 二zMNQ, Tz EHF 二zMQ 帕0。

，
FHE 旻△ MQN ASA),
/.MN=EF, /.k=MN ： EF=1.
(2) •/ a ： b=1: 2, b=2a,
由题意：2a< Mf^V5a, a< EE< >/5 a,
.•.当MN 的长取最大时EF 取最短，此肘的值最大，最大值为，
、L
当MN 的长取最短时EF 的值取最大，此肘的值最小，最小值倉5
(3) 连跑
ME.
图1
MN EF = =3, vk=3, MP=EF=3PE,
PM PE
PN PF
PNF — PME,
NF PN 辰=丽厘MEHNF , BE=2m RiF=4m MP=6m NP=12m
①如图屮，当点N 与点D 重合时，点
vz MPE=2FPH=60°, .-.PH=2m FH=2y^ m DH=10m
b AD HD 5
综上所述，a ： b 的俯3 或2 3
5 13 •
PM ~~PE ②如搂I 屮，当点N 与点C 重合，过点 /.HC=PH+PC=13m /. tanzHCE=——
MB HE
BC HC 13
・・ME||FC, ・・・zMEB —FCB —CFD,
•・N B=N D ・・△ MEB-△ CFD,
CD MB FC
ME 2, M 恰好与点B 重合.过点F 作FH 丄BD 于点H.
團2
E 作EH 丄MN 于点H BH=m HE
3
a CD 2MB
24. （2019凉山）如图，z ABD二zBCD=90°, DB 平分zADC,过圧作BM||CD交AD于M连伽交DB于
(1) 求证：BD 2=AD- CD；
(2) 若CD=6, AD=8,求MN 的长.
解：(1)证明：T DB平分z ADC,
.•.z ADB二zCDB,且z ABD=zBCD=90°,
ABD” BCD,
AD BD
■
----- = ------ ,
BD CD
.-.BD 2=AD- CD.
(2) . BMIICD, ..zMBD二zBDC,
.•.n ADB二zMBD,且z ABD二90。

，
.*.BM=MD, zMAB—MBA,
；.BM=MD=AM=4,
•. BD 2=AD- CD,且CD=6, AD=8, /. BD2=4&
.*.BC 2=BD2- CD2=12,
.-.MC 2=MB2+BC2=28,
/.MC=
・・・BM||CD, ••・△MNB-A CND,
.•.MN 二 4“
25. （ 2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理拓展.
（1）温故：如喲 在A ABC 中，AD 丄BC 于点D 正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点 上，若BC=a, AD=h,求正方形 PQMN 的边长（用h 表示）.
（2）操作：如何画出这个正方形 PQMN 呢？
如图 小波画出了图的^ABC,然后按数学家波利亚在《怎样解题》屮的方法进行操作：在 AB 上任取
N 画NM 丄BC 于点M NP 丄NM 交AB 于点P, PQ 丄BC 于点Q 得到四边形 PQM.N
（3）推理：证明图屮的四边形 PQMN 是正方形.
zQEM=90°时，求“波利亚线” BN 的长（用h 表示）.
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.
解：（1）证明：如阁 由正方形 PQMN 得PN||BC, . A APN-A ABC,
NP AE H1 PN h-PN
.•-——=——,即——= ----------- ,
BC AD a h
o h
解得PhL _ _ •BM MN CD" ~ CN =-,且MC 二旷 37 ,
P ，N 分别在AB, AC ■点P ,画正方形 PQMN ，使点Q , M 在BC 边上，点N 在△ ABC 内，然后多
N* 并延长交AC 于点
（4）拓展：小波把图屮的线称为“波利亚线”，在线上戦
NE=NM,送Q, EM （如的,当
a +h
图1
图2 图3
(3)证明：由画法得，z QMN/PNM=zPOM=90°, 二四边形PQM洞矩形，
vN M 丄BC, NM丄BC,
/.NM1 || NM,
BN' M— BNM,
.N'M' BN1
…NM二丽’同理可得
N'M' _ P'N1
NM PN '
•. NM二PN, NM二PN,
四边形PQM刑正方形.
(4)如图过点N作NR丄ME于点R
團3
•. NE=NM, /.z NEM=zNME,
1
.-.ER=RM — EM
= 2 ,
又TZ EQM+zEMQ—EMQ+zEMN二90。

，
图1
NP BN*
NP BN
:上 EQM=zEMN.
又zQEM二zNRM二90°, NM=QM,
EQM竺△ RMN (AAS),
..EQ 二RM,
1
. .EQ二一EM
2 ,
•.zQEM=90。

，「.z BEQ+zNEM=90。

,
.•.N BEQ二zEMB,
又TZ EBM=zQBE,
BEQ— BME,
BQ BE EQ 1
■
■
BE BM EM 2
BQ=x, ®E=2x, BM=4x,
/.QM=BM- BQ=3x=MN=NE,
/.BN=BE+NE=5x,
5 5ah
..BN二一NM --------- •
3= 3a+3h
26. ( 2019巴中)△ ABC在均1的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心，作出△ ABC的位似图形△ AiBiC,使其位似比为1: 2.且A AB I C位于点C的异侧，并表示出A的坐标.
②作岀△ ABC绕点C顺紂棚0。

后的图形厶ABQ
③在②的条件下求出点B经过的路径
解：①如图，△ ABC 为所作，点 A 的坐标为（3,・3）・
② 如图，△ ABC 为所作.
③ O Bp 准 + 42 =yT7'
点B 经过的路径长=90. TT .JTZ JT7兀
180 2
RtAABC 中，Z C=90° , AC=6, zBAC=60° , AD 平分Z BAC 交 BC 于点 D 过点
（1） 求CD 的长.
（2） 若点M 是线段AD 的中点，求圧的值.
DF
（3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段
DE±恰好只有一点 P,使得Z CPG=60° ?
解：（1） TAD 平分Z BAC, ZBAC=6O° , /.ZDAC=- z BAC=30°
2,
在 RtAADC 中，
DC=AC?tan30
27. （ 2019衢州）如图，在 D 作DE
AC 交AB 于点E,
点M 是线段AD±的动点，连结
BM 并延长分别交DE, AC 于点F 、
G
备用图
(2)由题意易知BC=6 3J_BD二4 3jT
•.DE||AC, ..z EDA二zDAC, zDFM二zAGM,
•. AM二DM, DFM旻△AGM (ASA)，二DF=AG,
由DE||AC,得公BFE Y BGA,
EF BE BD
AG ' "AB _= ---- ,
BC
EF EF BD 4 品 2
DF AG BC 6.73 " 3
(3) TZ CPG=60°,过G P, G作外接圆，圆妁Q
CQG是顶角鬼0。

的等腰三角形.
①当G) Q与DE相切时，甜I,过点Q作QH丄AC于H,并延IHQ与DE交于点P.迪C, QG.
设0 Q 的半径QP=r. r +lr=2 /3,
~2 2 *
CG=¥^<G=2,
易知△ DFM— AGM,可得°M _ °F _ 4
7WT =_3
②当G) Q经过点E时，过点C作CK丄AB,垂足肉
设O Q 的半径QC=QE=r.如K 二旷3 - r.
图2
在RfEQK 中，1 r _ 2亍，解彳导「=丄兰®
2
+ ( 3 3 r)
一 ~
2
+ (3 3 r)
/.CG 14 0 3. 14
=—9—x V =-3-'
③当O Q 经过D 时，如图3屮，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，可得DM=F 3 .
28. （ 2019荆门）如图，为了测量-働OE,小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退B 处
,
综上所述，当
3时，满足条件的点
P 只有
易知△ DFM" AGM,可得DM
DM
或『
图3
DM< 4
A B, Q D在同一条直线上)，AC=2 m, BD=2.1 m,如果小明眼睛距地面髙度DG为1.6m,试确定楼的高度OE.
解：如图，殴关于O的对称点为由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M连断并延长交OE
于点H,
•••GF||AC, MAC— MFG,
AC MA MO
FG MF MH 即・・AC = OE =_OE
BD MH MO+OH OE + BF OE 2
OE
------------ =------- ,・.OE=32,
OE+1.6 2.1
答：楼的高度OE为32米.
29. ( 2019 安徽)如图，RfABC 中，zACB=90。

，AC=BC, P 为^ABC 内部一点,
且z APB=^BPC=135°.
(1) 求证：△ PAB-A PBC；
(2) 求证：PA=2PC；
(3)若点P到三角形的AB, BC, CA的距离分别hp h2, h3,求证h
2* 2=h
证(1) TN ACB=90°, AB二BC,
:上 ABC=45°=z PBA+z PBC,
XzAPB=135°, /.z PAB+zPBA=45°,
:上 PBC—PAB,
又・・z APB=zBPC=135°,
PAB— PBC.
/.PA=2PC.
(3)如图，过P作PD丄BC, PE丄AC交BC、AC于点D E,
/.PF=hn PD=h2, PE=h3,
•••z CPB+^APB=135o+135°=270°,
:上 APC=90°,
(2) •・・△ PAB— PBC,
PA PB AB
PB = PC = BC
AB
在RM ABC
屮，
PB 二W P C
AB=AC,
BC
PA
:上 EAP+^ACP=90°,
又Tz ACB 二zACP+zPCD 二90。

,
:上 EAP —PCD, • •RfAEP -RfCDP,
2 2
hi =2h2 =2112 h2 =h2h3.即 h r h3. 2=h
1
30. ( 2019长沙)根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做
似四边形.相似四边形对应边的比叫細似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时 得到如下三个命题，请判断它们是否正确直接在横线上填续”
或假')•
① 四条边成比例的两个凸四边形相似;( _________ 命题) ② 三个角分别相等的两个凸四边形相似;( __________ 命题)
证：四边形ABCD 与四边形ABCD 相似.
(3)如图四边形ABCD 中，AB||CD, AC 与BD 相交于点 Q 过点O 作EF||AB 分别交AD, BC 于点
四边形ABFE 的面粥，四边形EFCD 的面蹋，若四边形 ABFE 与四边形EFCD 相似，求
PE AP 一=一
=2 DP PC
/. h 3=2h 2
,
③两个大小不同的正方形相似.(
命题)
(2)如阁 在四边形 ABCD 和四边形 ABGD 中，zABC 二zABG, zBCD 二zBCD,
AB BC AB
1 1
BC
1 1
E, F.
S
2的值.
S
2
h
2
BC
解：(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等• ②三
个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例.
③两个大小不同的正方形相似.是真命题・故答案为：假，假，真・
(2)证明：均1屮，连EQ, BD.
BC CD
• z BCD二zBiGD,且------- = -----
BC C D
1 1 1 1
・・△BCD” BCD,
・.z CDB=zCiDiB, z CiBD二zCBD,
AB 二BC 二CD
AB BC C D
1 1 1 1 1 1
•.z ABC=.zAiBiG 9 ・.z ABD二zAiBD,
・・△ABD~A ABD,
-ACT
= ,Z ADB=Z ADB,
AD
1 1
AB
1 1
Cl
・」B B\ a
2
Ci
RD = AR
B D AB
1 1 1 1
AB
BC CD AD =
= = ,zADC=z ADCu Z A I zABC 二 z ABG, Z AB
BC
C D AD BCD 二ZBGD,
1 1 1 1 1 1 1 1
TAD 二 DE+AE,
—? —=-T
"DE AE AE .•.2AE 二 DE+AE,
・・.AE 二 DE,
・•.四边形ABCD 与四边形 ABC D 相似. (3)证明：•・•四边形 ABCD 与四边形EFCD 相似. DE _EE ■
…AE AB •••EF 二
-DB = QE "QF
AE AB
•••EF AB CD,
-D£ =QE -DE-OC =* ■
■
AD AB ' AD AB AB -DE +-DE =OE +3 -AD AD AB AB
=-DE AD AE。