高中数学选修4-4《1【创意版】.3【创意版】.1圆的极坐标方程》【创意版】.ppt
2018-2019学年高二数学人教A版选修4-4课件：第一讲 三 简单曲线的极坐标方程 1.圆的极坐标方程
2．圆的极坐标方程 (1)圆心在 C(a,0)(a＞0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为 __ρ_＝__2_a_c_o_s__θ__.
(2)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 __ρ_＝__r_.
(3) 圆 心 在 点 a，π2 处 且 过 极 点 的 圆 的 方 程 为 __ρ_＝ ___2_a_s_i_n__θ_(_0_≤__θ_≤_．π)
(2)两边同时乘以 ρ，得 ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即 x2＋y2＝9x ＋9y，整理得x－922＋y－922＝821.
它是以92，92为圆心，以9 2 2为半径的圆． (3)将 ρ＝4 两边平方，得 ρ2＝16，即 x2＋y2＝16. 它是以原点为圆心，以 4 为半径的圆． (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即 2x－3y＝5，是一条直线．
几种特殊情形下的圆的极坐标方程 当圆心在极轴上即 θ0＝0 时，方程为 r2＝ρ02＋ρ2－ 2ρρ0cos θ，若再有 ρ0＝r，则其方程为 ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ， 若 ρ0＝r，θ0≠0，则方程为 ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程 经常用来判断图形的形状和位置．
1．求圆心为
2±1，π4 也适合上式，所以 Nhomakorabea的极坐标方程为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＋1＝0.
2．求圆心在 A2，32π处并且过极点的圆的极坐标方程．
解：设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任 意一点，连接 OM，MB，则有|OB|＝4， |OM|＝ρ， ∠MOB＝θ－32π，∠BMO＝90°，从而△ BOM 为直角三角形． ∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB 即 ρ＝4cosθ－32π＝－4sin θ.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
人教版选修4-4：1.3.1《圆的极坐标方程》PPT教学课件
（２）方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
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曲线的极坐标方程
二、怎样求曲线的极坐标方程？
与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线 上动点Ｐ的坐标与之间的关系， 然后列出方程f(,)=0 ，再化简并 说明。
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教学目的
1、认识曲线的极坐标方程的条件， 比较与曲线与直角坐标方程的异同。
2、掌握各种圆的极坐标方程。 3、能根据圆的极坐标方程画出其对
应的图形
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教学重点： 总结怎样求极坐标方程的方法与步骤
教学难点：极坐标方程是涉及长度与角 度的问题，列方程实质是解直角或斜 三角形问题，要使用旧的三角知识。
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复习引入
一、复习： 曲线的方程概念：…… 二、讨论回答： 曲线的极坐标方程概念：……
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探究
如图，半径为a的圆的圆心坐 标为(a,0)(a>0)，你能用一个 等式表示圆上任意一点的极 坐标(,)满足的条件？
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O
C(a,0)
x
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思路分析
1、先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴
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例1 已知圆O的半径为r，建立怎样 的坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
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题组练习1
求下列圆的极坐标方程
（１）中心在极点，半径为２；
＝2
（２）中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａ；
人教版高中数学 选修4-4 1.3.1圆的极坐标方程教案设计
通过例题学习，归纳圆的极坐标方程类型，提高学生学习的兴趣
组
织
探
讨
类型二：圆心在极轴上且过极点的圆
例8：求圆心坐标为C(a,0)（a>0）、半径为a的圆的极坐标方程？
变式训练：课本p14页练习第2题
求圆心在A 、半径为3的圆的极坐标方程？
类型三：圆心在点 处且过极点的圆
世纪金榜p18教师引导学生什么知识解决归纳解题坐标方程设计逐步加深其中类型一二三是圆的极坐标方程的特例结合练习熟悉类坐标方程并能画出简单草图要求学生在教回答问题圆的极坐标方程的方法设出圆上动点m的极坐标再根据圆的几何特征利用已知的定理公式等得出满足的方程
课题
1.3.1圆的极坐标方程
课时
1
授课
时间
主备人：
师生共同
总结
掌握由圆心和半径写出圆的极坐标方程方法
布置
作业
课后思考：例9求圆心在A（2，0）、半径为1的圆的极坐标方程？
做在作业本上（课本p18页习题1-2第4题第（3）节，第11题第（1）节）
教师引导学生分析，讨论，根据圆的几何特征，发掘出用什么知识解决问题，归纳解题规律，图形与极坐标方程有什么规律。
要求学生在教师的引导下，自主发言，回答问题
设计逐步加深，其中类型一、二、三是圆的极坐标方程的特例，结合练习熟悉类型一、二、三圆的极坐标方程，并能画出简单草图
归
纳
总
结
圆的极坐标方程的方法
设出圆上动点M的极坐标 ,再根据圆的几何特征，利用已知的定理、公式等，得出 满足的方程。
教学难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程
教师活动
学生活动
设计意图
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
OP＝OD· θ， cos ∵OP＝ρ，OD＝2r， ∴ρ＝2rcos θ(ρ≠0，ρ≠2r)． 这就是所求轨迹的方程．
[悟一法] (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系．
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点． ③列出ρ，θ的关系式． ④化简整理． (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立
极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案： 第一讲 第3节 第1课时 圆的极坐标方程 Word版含答案
第1课时 圆的极坐标方程[核心必知]1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程圆心为C (a ，0)(a >0)半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos_θ．[问题思考]1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P 的一极坐标为(π4，π4)，那么点P 适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(π4，9π4)就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．2．圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2处且过极点的圆的方程又是什么？提示：圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r ；圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为ρ＝2a sin_θ(0≤θ≤π)．设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程．[精讲详析]本题考查极坐标方程的求法，解答此题需要根据题目特点建立恰当的极坐标系，然后再求直角顶点的轨迹方程．设直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点，OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示：设P(ρ，θ)为轨迹上的一点，则OP＝ρ，∠xOP＝θ.在直角三角形ODP中，OP＝OD·cos θ，∵OP＝ρ，OD＝2r，∴ρ＝2r cos θ(ρ≠0，ρ≠2r)．这就是所求轨迹的方程．(1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：①建立适当的极坐标系．②设P(ρ，θ)是曲线上任一点．③列出ρ，θ的关系式．④化简整理．(2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键．1．设M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，过M 作MP ⊥MA 交OA 于P ，求P 点的轨迹方程．解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图． 设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点． ∵MP ⊥MA ，∴|MA |2＋|MP |2＝|P A |2.由余弦定理，可知|MA |2＝a 2＋r 2－2ar cos θ，|MP |2＝a 2＋ρ2－2aρcos θ.而|P A |＝r －ρ，由此可得a 2＋r 2－2ar cos θ＋a 2＋ρ2－2aρcos θ＝(r －ρ)2.整理化简，得ρ＝a （a －r cos θ）a cos θ－r.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程． [精讲详析]在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知：CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ，∴r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．故其极坐标方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法．(2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ；若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．2．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫3，π3，半径为3，Q 点在圆周上运动．(1)求圆C 的极坐标方程； (2)若P 是OQ 中点，求P 的轨迹． 解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ 、OQ ， 则|OD |＝6， ∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π3，∠DQO ＝π2.在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos (θ－π3)， 即ρ＝6cos (θ－π3)．(2)若P 的极坐标为(ρ，θ)，则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． ∴2ρ＝6cos (θ－π3)，∴ρ＝3cos (θ－π3)．∴P 的轨迹是圆.进行直角坐标方程与极坐标方程的互化 (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0；(3)ρcos 2θ2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝12－cos θ.[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式． (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2θ2＝1，∴ρ·1＋cos θ2＝1，即ρ＋ρcos θ＝2.∴x 2＋y 2＋x ＝2.化简，得y 2＝－4(x －1)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (5)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2x 2＋y 2－x ＝1.化简，得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．3．把极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程．解：由ρcos (θ－π6)＝1得32ρcos θ＋12ρsin θ＝1，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得32x ＋y2＝1，即3x ＋y －2＝0.利用圆的极坐标方程求圆心、半径，再利用圆心、半径解决问题，是高考命题的重点题型之一．湖南高考以填空题的形式考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考命题的一个新亮点．[考题印证](湖南高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．[命题立意] 本题考查将圆的极坐标方程化为直角坐标方程的方法． [解析] ∵ρ＝2sin θ， ∴ρ2＝2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2y ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2y ＝0一、选择题1．(北京高考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫1，π2B.⎝⎛⎭⎫1，－π2C ．(1，0)D ．(1，π)解析：选B 因为该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心的直角坐标方程为(0，－1)，化为极坐标是(1，－π2)．2．极坐标方程ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选D ∵ρ＝cos (π4－θ)＝22cos θ＋22sin θ，ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，∴x 2＋y 2＝22x ＋22y ，这个方程表示一个圆． 3．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．22 D ．2 3解析：选C ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点(4，π6)化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为（23）2＋（2－2）2－22＝2 2.4．(安徽高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B. 4＋π29C.1＋π29D. 3解析：选D 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.二、填空题5．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ⇒x 2＋y 2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝06．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝5，则圆C 的极坐标方程为________．解析：将圆心C (2，π3)化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5.化简，得ρ2－4ρcos (θ－π3)－1＝0，此即为所求的圆C 的极坐标方程．答案：ρ2－4ρcos (θ－π3)－1＝07．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________．解析：圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，圆心C (2，0)．点P 的直角坐标为(2，23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 38．已知曲线C 与曲线ρ＝53cos θ－5sin θ关于极轴对称，则曲线C 的极坐标方程是________．解析：曲线ρ＝53cos θ－5sin θ＝10cos (θ＋π6)，它关于极轴对称的曲线为ρ＝10cos (－θ＋π6)＝10cos (θ－π6)．答案：ρ＝10cos (θ－π6)三、解答题 9.如图，在圆心极坐标为A (4，0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．解：设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点，连接OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0， 所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ，故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ. 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0为轨迹的直角坐标方程．10．指出极坐标方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，ρ＝2cos θ代表的曲线，并指出它们之间的关系．解：ρ＝2cos (θ＋π3)是以点(1，－π3)为圆心，半径为1的圆．ρ＝2cos (θ－π3)是以点(1，π3)为圆心，半径为1的圆． ρ＝2cos θ是以点(1，0)为圆心，半径为1的圆．因此曲线ρ＝2cos (θ＋π3)，可看成曲线ρ＝2cos θ绕极点顺时针旋转π3得到的曲线．ρ＝2cos (θ－π3)是由曲线ρ＝2cos θ绕极点逆时针旋转π3得到的曲线．11．已知半径为R 的定圆O ′外有一定点O ，|OO ′|＝a (a >R )，P 为定圆O ′上的动点，以OP 为边作正三角形OPQ (O 、P 、Q 按逆时针方向排列)，求Q 点的轨迹的极坐标方程．解：如图所示，以定点O 为极点，射线OO ′为极轴正向建立极坐标系， 则⊙O ′的极坐标方程是ρ2－(2a cos θ)ρ＋a 2－R 2＝0. 设Q (ρ，θ)，则有P (ρ，θ－π3)，又P 在⊙O ′上，∴ρ2－[2a cos (θ－π3)]ρ＋a 2－R 2＝0.即所求Q 点的轨迹方程是：ρ2－2aρcos (θ－π3)＋a 2－R 2＝0.。
高中数学选修4-4《1.3.1圆的极坐标方程》 PPT课件 图文
总结： （1）曲线的极坐标方程概念 （2）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的常见的极坐标方程
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功 ，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你 真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种 事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前单位有一个姑娘，工作
1.3.1圆的极坐标方程PPT课件(17张) 人教A版 高中数学 选修4-4
(4)圆心为C (a , )( a 0), 半径为a的 圆的极坐标方程为 2a cos ; 3 (5)圆心为C (a , )( a 0), 半径为a 2 的圆的极坐标方程为 2a sin .
[探究3] 在极坐标平面上 , 求圆心为
A(1, ), 半径为 1的圆方程. 4
在平面直角坐标系中，平面曲线 C可以用方程f(x，y)=0表示。 (1)曲线C上点的坐标都是方程 f(x，y)=0的解； (2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的 点都在曲线上。
在平面直角坐标系中，平面曲线 C可以用方程f(x，y)=0表示。 (1)曲线C上点的坐标都是方程 f(x，y)=0的解； (2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的 点都在曲线上。 在极坐标系中，平面曲线是否可以 用方程f(,)=0表示？
[探究3] 在极坐标平面上 , 求圆心为
A(1, ), 半径为 1的圆方程. 4
求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程。
极坐标方程与直角坐标方程的互化
[探究4] 把极坐标方程 sin(
3
)化
为平面直角坐标方程 .
[探究5] 直角坐标方程与极坐标
方程的互化: (1) 5; ( 2) x y 2ax 0; 1 ( 3) 2 cos 2 2 (4) a sin 2
求曲线的极坐标方程的一般步骤: ①在曲线上任取一动点P(ρ, θ)
②利用几何法或坐标法建立ρ与
θ的方程.
[探究2] 已知圆O的半径为r，建
立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
常用的圆的极坐标方程：
(1)圆心在极点 , 半径为r的圆的极坐标 方程为 r ; ( 2)圆心为C (a ,0)( a 0), 半径为a的圆的 极坐标方程为 2a cos ; ( 3)圆心为C (a , )( a 0), 半径为a的圆 2 的极坐标方程为 2a sin ;
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
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在进行两种坐标方程间的互化时，要注意： (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐 标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重
合，两种坐标系的单位长度相同．
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1．曲线的极坐标方程 (1)在极坐标系中，如果曲线C上 任意一点 的极坐标中 至少 有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ， θ)＝0的点 的 都在曲线C上 ，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 极坐标方程 ．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是： ①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简．
2 2 2 2 2
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4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝1； π (2)ρ＝2cos(θ－ )． 4
解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1， 所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.
所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1. π π (2)因为 ρ＝2cos θcos ＋2sin θsin ＝ 2cos θ＋ 2sin θ， 4 4
3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y＝ 3x；(2)x2－y2＝1.
解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y＝ 3x π 得 ρsin θ＝ 3ρcos θ，从而 θ＝ . 3 (2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2－y2＝1， 1 得 ρ cos θ－ρ sin θ＝1，化简，得 ρ ＝ . cos 2θ
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几种特殊情形下的圆的极坐标方程 当圆心在极轴上即 θ0＝0 时，方程为 r2＝ρ2＋ρ2－ 0 2ρρ0cos θ， 若再有 ρ0＝r， 则其方程为 ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ，若 ρ0＝r，θ0≠0，则方程为 ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个 方程经常用来判断图形的形状和位置．
人教版高中数学选修4-4同步备课教案：1-3-1圆的极坐标方程
三 简单曲线的极坐标方程课 题: 1、圆的极坐标方程教学目标：1、掌握极坐标方程的意义[来源:学.科.网]2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程[来源:学.科.网]教学重点、极坐标方程的意义教学难点：极坐标方程的意义 [来源:学科网ZXXK]教学方法：启发诱导，讲练结合。
教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：问题情境1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程极坐标系的建立是否可以求曲线方程？学生回顾1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？[来源:Z*xx*]2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课：1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(r,q)满足的条件？解：设M (r ,q)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，则有：OM=OAcosθ，即：ρ＝2acosθ ①，2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？可以验证点O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上.3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？[来源:学科网]①建系；②设点；M （ρ，θ）③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r④证明或说明.变式练习：求下列圆的极坐标方程(１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a ；(２)中心在(a,p/2)，半径为a ；(３)中心在Ｃ(a,q ０)，半径为a答案：(1)r ＝2acos q (2) r ＝2asin q (3)0cos()a ρθθ-＝２例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为 ＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
题组练习 1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
选修4-4,1.3.1圆的极坐标方程
§1.3.1圆的极坐标方程课时安排：1课时；编写人：李崇博；审核人：田清明；电子打版：郭君红；编写时间：2017.2.18教学目标：1.曲线的极坐标方程概念.2.求圆的极坐标方程.教学重点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化.教学难点：求圆的极坐标方程.教学过程：一、知识导读：1.曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0fρθ=并且坐标适合方程___________的点都在曲线C上，那么方程________叫做曲线C的极坐标方程.2.常见圆的极坐标方程例1.推导上述表中常见的圆的极坐标方程.变式1. (1)求圆心在(,)a π (0)a >半径为a 的圆的极坐标方程.(2)求圆心在,2a π⎛⎫- ⎪⎝⎭(0)a >半径为a 的圆的极坐标方程例2.已知圆心在11(,)C ρθ半径为r ，求此圆的极坐标方程.变式2.求以3,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆的极坐标方程.例3.把圆的直角坐标方程220x y y +-=化为极坐标方程.变式3.把圆的直角坐标方程22(5)25x y -+=化为极坐标方程.例4.将极坐标方程6sin ρθ=化为直角坐标方程.变式4.将极坐标方程cos 4sin ρθθ=-化为直角坐标方程.三、课堂练习：1.圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为（ ）A.1ρ=B.cos ρθ=C.2cos ρθ=D.2sin ρθ= 2.圆sin ρθ=的面积为_________面积单位. 3.将下列直角坐标方程化成极坐标方程. （1）4x = (2)2216x y -=4.将下列极坐标方程化成直角坐标方程. （1）sin 2ρθ= （2）10sin ρθ=四、课堂小结：五、课后作业：P15 习题1.3 3,4题板书设计：课后反思：。
人教A版高中数学选修4-4课件1.1.3圆的极坐标方程.pptx
阿基米德螺线 a
玫瑰线
a sin k
练习1
写出圆心在点Q
2，
2
处，且过极点的圆的
极坐标方程，并把它化成直角坐标方程.
=4sin x2 y 22 4
例2 已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin
求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin两边同乘以得 2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
=20 cos 0
例1
分别写出以C1
a, 0 , C2
a,
2
,
C3
a,
, C4
a,
3
2
为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程.
=20 cos 0
=2a cos
=2a sin
= 2a cos
= 2a sin
极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意
一点的极坐标中至少有一个满足方程f ( , ) 0, 并且坐标适合方程f ( , ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
任取过圆锥曲线 eP 焦点的弦MN， 1 e cos
设M(1 ,1 )、N (2 ,1 )
1
1
eP
e cos1
，2
1
e
eP
cos(1
)
1
eP
e cos1
MN
1 2
2eP
1 e2 cos2 1
由圆锥曲线的对称性，只需考虑1
0，
2
情况.
由于
cos
在
0，
2
单调递减，故1
=
2
时，MN
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是 x, y， 极坐标是 , .两种坐标之间的关系是：
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
探 究
O
C(a,0)
A
x
解：圆经过极点 。设圆与极轴的另一个 O 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... 1) .( 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式1) ( 2
2 化为直角坐标系为 2＝4 sin
2 2 2 2
即x y 4 y x ( y 2) 4
6、已知圆C1 : 2cos ,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0, 试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x 1) 2 y 2 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ( y 3 ) 2 1，圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 2所以两圆相外切。
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 上任意 C 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 ( , ) 0 f 并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都在曲线 上， f C 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 为极点，从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
选修4-4 1.3.1 圆的极坐标方程
一、复习与自主学习
2.自主学习 P12~P13 【思考】在平面直角坐标系中，曲线与方程 满足如下关系：(1)纯粹性：曲线 C 上点的 坐标都是方程 f ( x, y ) 0 的解；(2)完备性：以 方程 f ( x, y ) 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 那么， 在极坐标系中,平面曲线是否可以 用方程 f ( , ) 0 表示呢？
二、新授
1.圆的极坐标方程 回想下， 在直角坐标 系中， 圆心位于什么位置 圆的方程最为简洁呢？ 那么， 当圆心放在极点半 径为 a 时，圆的极坐标方 程又是怎样的呢？你能 用一个等式来表示圆上 的任意一点的极坐标 ( , ) 满足的条件吗？
二、新授
1.圆的极坐标方程 【探究 1】 如图半径为 a 的圆的圆心坐标为 C (a,0)(a 0) .你能用一个 等式来表示圆上的任 意 一 点 的 极 坐 标 ( , ) 满足的条件吗？
.
他们的极坐标方程吗？
三、课堂练习
1.若点 C 的直角坐标为 (1,1) ， 求以点 C 为 圆心,且经过原点 O 的圆的极坐标方程.
3 2 2 cos( ) 4
四、课堂小结
掌握求特殊位置的圆的极坐标方程，比 较直角坐标方程与极坐标方程的异同和各 自的优点.
五、课外作业
预习 P13—P14. 掌握直线的极坐标方程的求解方法，和 极坐标方程与直角坐标方程的互化.
选修4-4
1.3.1圆的极坐标方程
李吉文
一、复习与自主学习
1.复习 极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在 平面内取一个定点 O，叫 做 极点 ,自极点 O 引一 条射线 Ox,叫做 极轴 ;再 选定一个 长度单位 , 一个 角度单位 (通常取弧度 )及 其正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立 了一个极坐标系．
苏教版高二数学选修4-4 圆的极坐标方程
圆的极坐标方程
如果以圆心为极点，那么极轴通过圆的半径。
圆的方程非常简单：ρ=R
如果以圆的直径AB的左端点为极点，以直径AB为极轴建立极坐标系
ρ＝ABcosθ＝2Rcosθ
如果以原平面直角坐标系的原点为x轴，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，那么，在平面直角坐标系中圆的方程为：
(x-a)²+(y-b)²=R²
化为一般方程，得，x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0
令x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入上式，得，
ρ²-2acosθ-2bsinθ+a²+b²-R²=0
这就是任意圆的极坐标方程。
1、如果半径为R的圆的圆心在直角坐标的x=R,y=0点，即（R，0），也就是极坐标的ρ=R，θ=0，即（R，0）点：那么该圆的极坐标方程为：
ρ=2Rcosθ。
2、如果圆心在x=R,y=R,或在极坐标的（√2 R，π/4），该圆的极坐标方程为：
ρ^2-2Rρ(sinθ+cosθ)+R^2=0
3、如果圆心在x=0,y=R,该圆的极坐标方程为：
ρ=2Rsinθ。
4、圆心在极坐标原点：
ρ=R（θ任意）。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
2． 圆心在极点， 半径为 r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点(a， π 2)处且过极点的圆的方程又是什么？
提示：圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r；圆心 π 在点(a，2)处且过极点的圆的方程为 ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)．
[研一题] [例1] 设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
[精讲详析]
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos ∠COP， ∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)． 故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
[通一类] π 2．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3，3)，半径为 3，Q 点在 圆周上运动． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹．
解：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连结 DQ、OQ， 则|OD|＝6， π ∠DOQ＝3－θ，
π π 或∠DOQ＝θ－3，∠DQO＝2. π 在 Rt△ODQ 中，|OQ|＝|OD|cos (θ－3)， π 即 ρ＝6cos (θ－3)． (2)若 P 的极坐标为(ρ，θ)，则 Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． π π ∴2ρ＝6cos (θ－3)，∴ρ＝3cos (θ－3)． ∴P 的轨迹是圆．
2θ
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
选修4-4圆的极坐标方程
圆心为(a, )(a 0)半径为a
圆的极坐标方程为＝2a cos( )
此圆过极点O
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.
2
cos
4
B.
2
sinFra bibliotek4
C. 2cos 1 D. 2sin 1
你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标
(, )满足的条件吗？
M (,)
O
C(a,0) A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(x,y)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(x,y)=0 ；
(２)方程f(x,y)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(x,y)=0 。
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a, 0)(a 0)
所以， 2a cos就是圆心在 C(a,0)(a 0), 半径
为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
Or
x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r.
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7
练习2.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1 为半径的圆的方程是 （ ）
A.
2
cos
4
B.
2 sin
4
C. 2cos 1 D. 2sin 1
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8
思考1:回顾：点的直角坐标和极坐标如何相互转化？曲线的 直角坐标方程和极坐标方程是否也可以相互转化？
定义：在极坐标系中，如果曲线Ｃ上的 点M(,)与方程f(,)=0有如下关系:
(1)曲线Ｃ上任一点的极坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(2)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在 曲线Ｃ上。 则称曲线Ｃ的极坐标方程是f(,)=0 。
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3
例1.已知圆O的半径为r，探究圆的极坐 标方程，如何建立极坐标系？
（1）x2 ( y a)2 a2
（2）(x a)2 ( y b)2 r2
练习4.把下列极坐标方程转化为直角坐标方程：
（1） 2 （2） 5cos
（3） 4sin （4）
2 cos( )
4
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11
课后思考: 1.在极坐标中，方程分别是ρ＝cosθ
和ρ＝sinθ的两个圆 （1）求其圆心极坐标和半径 （2）求两圆圆心距
x2 y2 r2
r
(x - a)2 y2 a2 2a cos
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9
曲线的直角坐标方程和极坐标方程互相转化：
x cos
y sin
f (x, y) 0
f (, ) 0
2 x2 y2
tan y
x
f (, ) 0
f (x, y) 0
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10
练习3.把下列直角坐标方程转化为极坐标方程：
1.3 简单曲线的极坐标方程
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1
回顾：如何建立直角坐标系研究
显见，直角坐标系中，曲线C与其方程f(x,y)=0有如 下对应关系：
(1)曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
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2
曲线的极坐标方程
小结：如何求圆的极坐标方程（一般方法）？
构造一个三角形（以极点O、圆心C、 圆上任一点M(,)为顶点），在三角形
中找出 和 之间的关系
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6
练习1:求下列圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为2；
＝2
(2)圆心在(a,/2)，半径为a；
＝2a sin
(3)圆心在Ｃ(0,０)，半径为r。
M(x,y)
x2 y2 r2
r, [0,2 )
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4
探究
如图，半径为a，圆心极坐标(a,0)(a>0)， 则圆的极坐标方程为？
| OM|| OA| cos 2a *cos
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5
思考：还有更一般的方法求解上述问题吗？
CM2 OM2 OC2 2OM*OC*cos MOC a2 2 a2 2a cos 2cos
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12
总结： （1）曲线的极坐标方程概念 （2）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的常见的极坐标方程
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13