第七章_频响函数的估计

如果S yx

不为零，则可得系统的频响函数的第二种计算式

7.频响函数的估计(相干分析)

7.1. SISO 系统的频响函数及其估计

对于SISO 系统，其频响函数的估计有很多计算方法， 主要的有三种估计式。 在没有噪声污染的情况下，它们的估计是等价的。但是实际上，由于不可避免的 存在噪声，三种估计有所差异。

本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差

7.1.1. 随机激励下的频响函数

考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为H 。设随机输入和响

应信号分别为x(t)和y(t)，其傅立叶变换分别为X()和Y()，贝U 有

上式两端乘以X * ，取时间平均及集合平均，并注意 H 与平均无关，则

lim - Y X * H lim - X X T

T

T

T

如果S x

不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式

S xy

S x

同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以Y *

，取时间平均和集合平均，得

S yx

xy

H S x

H i

S y

(1)

H 2

将系统输入/出频谱式两端取共轭，得

*

Y

乘以原输入/出频谱式，并去时间平均和集合平均，得

考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为 H 。设系统的实际 输入和响

应信号分别为u(t)和v(t)，其傅立叶变换分别为U()和2()，它们的 测量信号分别为x(t)和y(t)，其傅立叶变换分别为X()和Y()。

输出端噪声的影响

若只有输出端受到噪声信号n(t)的污染，并设它与系统的u(t)和v(t)无关 则有

S y S yx

7.1.2 S y

H

2

S

可得系统的频响函数的幅值计算式

H a

2

S y S x

频响函数的估计方法

xt u t X U y t v t nt Y V N

A 、 第一估计式

根据第一估计式的定义，有

S xy S x

lim - Y X T

T

1 * 1 lim —V X - N

T

T

T

由于噪声n(t)与激励u(t)，亦即x(t)无关，故根据大数定律，平均次数足够 多时S un

为零，则

I? Suv

H

H 1

H i

S u

结果表明：只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的 频响函数估计是实际频响函数的无偏估计。

B 、 第二估计式

根据第二估计式的定义，有

H?i

S xv

S xn

S uv

un

S y

yx

lim 1

Y Y T T lim 1

X Y T

T

1 *

1

* 1

*

1

lim —V V —N V —— V N -N N T

T

T

T

T

1 * 1 *

lim 一

X V — X N

T

T

T

S v

S vn S nv

S n

S v

S vn S nv S n

S vx

S nx

S vu

S nu

由于噪声n(t)与响应v(t)，以及激励u(t)亦即x(t)无关，故根据大数定律，平 均次数足够多时S vn

、S nv

和S un 都为零，则

式中,

H 2

vu

可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的 频响函数估计是实际频响函数的有偏估计，是过估计

H?2

H?2

S v

H 2

S v

S v

第二估计式

根据第二估计式的定义，有 lim 1

U U T

T

式中,

H a

可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的 频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有偏估计，也是过估计。

因此，只有输出响应受到噪声污染时，频响函数的三种估计式有如下关系：

H l H H a H 2

输入端噪声的影响

若只有输入端受到噪声信号m(t)的污染，并设它与系统的u(t)和v(t)无关

H?a

S x *

Y

lim 1

Y T

T

1

* lim

X X T

T

1

* 1 * 1 * 1

lim

V V

N V V N

T

T

T T

T

S v S vn

S nv

S n S v S vn S nv S n

S u

S u

由于噪声n(t)与响应v(t)无关，故根据大数定律, S nv

都为零，则

平均次数足够多时S vn

和

H?a

S v &

S U H a

S u

S y N N