统计学第七章、第八章课后题答案

统计学复习笔记

第七章参数估计

一、思考题

1. 解释估计量和估计值

在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

2. 简述评价估计量好坏的标准

（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。

（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估

计量，有更小方差的估计量更有效。

（3）—致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体

的参数。

3. 怎样理解置信区间

在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。

4. 解释95%的置信区间的含义是什么

置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95% （的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。

5. 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1. 估计总体均值时样本量n为

其中:

E2

2. 样本量n与置信水平1- a、总体方差•：、估计误差E之间的关系为

与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需

要的样本量越大；

与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；与与

总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估

计误差的平方越大，所需的样本量越小。

二、练习题

1. 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量

为40的样本，样本均值为25。

1）样本均值的抽样标准差二x等于多少？

2）在95%的置信水平下，估计误差是多少?

解：1）已知尸5，n 二40，x = 25

J = 5 /V40 〜0.79

估计误差 E = 1.96 X 5-V40 〜1.55

2. 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

1）假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差

2）在95%的置信水平下，求估计误差

3）如果样本均值为120元，求总体均值□的95%的置信区间

解：1）已知（r= 15，n 二

49

)

X ? C J

S = 15 + 49 = 2.14

a

估计误差 E = 1.96 X 15-V49 〜4.2

3) 已知x = 120

v 置信区间为X士E

其置信区间二120 士4.2

3. 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到X=104560, 假定总体标准差(r= 85414,试构建总体均值□的95%的置信区间。

解：已知n =100, X=104560,卢85414,1-：= 95%，二 - -':，由于是正态总体，且总体标准差已知。总体均值J在1-置信

水平下的置信区间为

10

x 土电2石"0%46609士恢X 85414“ 100

=105.36 — 3.92

= 二湖翔葩刼6741.144

4. 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到X=81, s=12。要求：

1) 构建□的90%的置信区间。

2) 构建□的95%的置信区间。

3) 构建□的99%的置信区间。

解：由于是正态总体，但总体标准差未知。总体均值’在1「置信水

平下的置信区间公式为

牙+亍

"石 81 士% X 12-V 100 = 81 士勾 X 1.2

1) 1“ = 90% % - 1.65

其置信区间为81 士 1.98

2) 1- : = 95% , J 一

其置信区间为81 士 2.352

3) 1- « = 99% % -2.58

其置信区间为81 士 3.096

5. 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

1) X = 25，卢 3.5, n =60,置信水平为 95%

2) X =119, s =23.89, n =75,置信水平为 98%

3) X =3.149, s =0.974, n =32,置信水平为 90% 解：T X -

Z-.②——或X - ••• 1) 1-：= 95% , 其置信区间为：25 ± 1.96 X 3.5-V 60

=25 士 0.885

2 ) 1- : = 98%，贝卩:=0.02, ： /2=0.01,1- ： /2=0.99,查标 准正态分布表，可知：亠二—2.33

其置信区间为：119 士 2.33 X 23.89-V 75

=119 士 6.345

知25訂96

Z ： 2

-未知）

3) 1- a = 90% 7讹匸 1.65

其置信区间为:3.149 士 1.65 X 0.974 + 32

士 0.284

6. 利用下面的信息，构建总体均值 卩的置信区间：

1) 总体服从正态分布，且已知 (r= 500 , n = 15 , x =8900,置信 水平为95%。

解： N=15，为小样本正态分布

，但 (T 已知。贝卩1-〉= 95%

信水平为95%

解：为大样本总体非正态分布，但。已知。则1-〉= 95%,

信水平为90%。

解：为大样本总体非正态分布，且 c 未知，1-Q = 90%，锻"1.65。

其置信区间为：

匚 8900士 1.65 X 500-V 35= (8761 9039) 4) 总体不服从正态分布， c 未知，n = 35 , x =8900, s =500，置 信水平为99%。 •••置信区间为： 8900士 1.96 X 500-V 15= (8646.73,6 9祜3.2 )

= (101.44,109.28) 叡―U -乂。其置信区间公式为 =

d x "r =105.36_1.96 10

25

2) 总体不服从正态分布，且已知 卢500 , n = 35 , x =8900,置

二置信区间

为： 8900士 1.96 X 500-V 35= (87339二处6.1 ) = 1101.44,109.28 乱―巳。其置信区间公式为 10

25

3) 总体不服从正态分布， c 未知，n = 35 , x =8900, s =500，置

=3.149 = 105.36-1.96