§22 冲激响应和阶跃响应99422
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信号与系统 2.2 冲激响应和阶跃响应
系统冲激响应的求解方法(两种)
方法一： 按照求系统零状态响应的方法来求 例：描述某二阶LTI的微分方程为：
y (t ) 5 y (t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
'' ' '' '
求其冲激响应h(t)
系统冲激响应的求解方法二
方法二： 设置中间变量来求解 一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
一、冲激响应 h(t)
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
ht
T {0}
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示
g(t)= T [ε(t) ，{0}]
(t )
1
0
g (t )
(t )
t
g (t )
LTI
0
t
零状态
阶跃响应
◆阶跃响应和冲激响应之间的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d
t
d g (t ) , h(t ) dt
yn (t ) an1 yn1 (t ) ..... a0 y(t ) bm f m (t ) bm1 f m1(t ) .... b0 f (t )
求解系统的冲激响应h(t)可分为两步进行： ①选新变量h1(t),使它满足方程式左端相同，而右端只含 f(t),即满足方程：
§2.2 冲激响应和阶跃响应
例：
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 d t d t dt
解：
求特征根
n 2, m 1, n m
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3 h ( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
1 C1 C 2 1 C1 2 3C1 C 2 2 C 1 2 2
根据系数平衡，得
1 t h( t ) e e 3 t ( t ) 2
第 8页
法三：线性时不变性质法
求冲激响应
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 dt dt dt
h, (0+) – h,(0-) = – 2 0 ， 0 ( t )dt 0 h(0+) – h(0-) =1
h， ( 0 ) 2
h(0 ) 1
1 t 3t h( t ) (e e ) ( t ) 2
第 7页
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
注意：系数a 同
代入微分方程，利用δ (t) 系数匹配:
h,, ( t ) , ( t ) 2 ( t ) r1 ( t ) ( t ) ( t ) r2 ( t ) 所以：h， h( t ) r3 ( t ) (1) ( 2)
a=1
b=-2
对式(1)从0-到0+积分得: 对式(2)从0-到0+积分得:
C1 C 2 ( t ) C1e t 3C 2e 3t ( t ) ht C C t C 3C t C e 9C e t
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 d t d t dt
解：
求特征根
n 2, m 1, n m
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3 h ( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
1 C1 C 2 1 C1 2 3C1 C 2 2 C 1 2 2
根据系数平衡，得
1 t h( t ) e e 3 t ( t ) 2
第 8页
法三：线性时不变性质法
求冲激响应
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 dt dt dt
h, (0+) – h,(0-) = – 2 0 ， 0 ( t )dt 0 h(0+) – h(0-) =1
h， ( 0 ) 2
h(0 ) 1
1 t 3t h( t ) (e e ) ( t ) 2
第 7页
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
注意：系数a 同
代入微分方程，利用δ (t) 系数匹配:
h,, ( t ) , ( t ) 2 ( t ) r1 ( t ) ( t ) ( t ) r2 ( t ) 所以：h， h( t ) r3 ( t ) (1) ( 2)
a=1
b=-2
对式(1)从0-到0+积分得: 对式(2)从0-到0+积分得:
C1 C 2 ( t ) C1e t 3C 2e 3t ( t ) ht C C t C 3C t C e 9C e t
第二章(2)冲激响应和阶跃响应
f (k )
f t
f t
f k
f (t )
- 0 2
k
t
k
f (k ) p (t k )
n
pn (t )作用于系统的零状态响 hn (t ) 应为
y f (t )
k
f (k )h (t k )
y f ( t ) lim f ( k )hn ( t k )
f ht d
这是求解零状态响 应的另一种方法.
y f (t ) f t * ht
f t * ht
二、卷积的图示
第一步，画出 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到 f1 () f 2 () 和 的波形。
h(t ) b h (t ) b h
( m) m 1
( m1) m1 1
(t ) b0h1 (t )
例2.2-2：描述系统的微分方程为：
y'' ( t ) y' ( t ) y( t ) f '' ( t ) f ' ( t ) f ( t )
单位阶跃响应时，系统的零状态响应。
1.若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),当
f (t ) (t )时，系统的零状态响应g(t)满足方程：
g ( n ) ( t ) a n 1 g ( n 1 ) ( t ) a0 g ( t ) ( t ) ( j) g (0 ) 0 j 0,1,2, , n 1
g1 t C1e C 2 e
t
冲激响应和阶跃响应
二．阶跃响应 1．定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。
et
r t
H
ut
gt
H
系统的输入 e(t)=u(t)
，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数 u(t) ，所以
除了齐次解外，还有特解项。
我们也可以根据线性时不变系统特性，利用 冲激响应与 阶跃响应关系求阶跃响应。
§2.2 冲激响应和阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应
一．冲激响应 1．定义
系统在单位冲激信号
作(t用) 下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用 h(t)表示。
t
ht
H
2．一阶系统的冲激响应
例 2-5-1 一阶系统的冲激响应 求下图 RC 电路的冲激响应。
（条件： vC 0 0 ）
h(t ) A1et A2e3t u(t )
h (t ) A1et A2e3t (t ) A1et 3A2e3t u(t ) A1 A2 (t) A1et 3A2e3t u(t )
ht A1 A2 t A1 3A2 t A1et 9A2e3t ut
RC
整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
RCA (t) (t)
RCA 1 A 1 RC
vC (t ) h(t )
波形
ht
vC (t)
1 RC
1t
e RC u(t )
1 RC
O
t
iC (t)
iC
(t
)
C
d
vC (t dt
)
1
1 R2C
1
e RC
t
u(t)
阶跃响应、冲激响应
计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测
冲激响应和阶跃响应
2e(t)
解： 将 e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d2 h(t ) dt2
4
d h(t) dt
3h(t )
d (t) dt
2
(t)
求特征根 2 4 3 0 1 1, 2 3
n 2, m 1, n m
ht 中不包含冲激项
冲激响应
h(t ) ( A1et A2e3t )u带(t )u(t)
1 2
hˆ(t ) 1 et e3t u(t )
2
则由系统的线性时不变特性
h(t) dhˆ(t) 2hˆ(t) dt
ht 1 et 3 e3t u(t ) 1 et 1 e3t (t ) et e3t u(t )
2
2
2
2
1 et e3t u(t) 2
系统框图
e RC u t
方法 2：奇异函数项相平衡原理
已知方程
RC
d
vC (t) dt
vC
(t)
(t)
冲激响应
t
vC (t) Ae RC u(t)
求导
d vC (t) A (t)
A
1t
e RC u(t )
dt
RC
注意其中 (t) 项！
RC
1
t
Ae RC
u(t )
RCA
(t)
t
Ae RC
u(t )
(t)
奇异函数项相平衡原理已知方程冲激响应求导注意其中rcrcrcrcrc整理方程左右奇异函数项系数相平衡波形注意其中时有一冲激这就是电容电压突变的原因3n阶系统的冲激响应1冲激响应的数学模型对于线性时不变系统可以用一高阶微分方程表示响应及其各阶导数最高阶为n2ht解答的形式由于时都为零因而方程式右端的自由项恒等于零这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同
信号与系统§2.2 冲激响应和阶跃响应
f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ(t) f (t) af (t) f (t)
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
第 5页
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
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∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
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一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
2.2 冲激响应和阶跃响应
求其冲激响应h(t)。
■
第5页
冲激响应求解举例1
例1 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。
解 根据h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12
▲
■
第7页
对t>0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0
h0 1 , h' 0 2
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t) 1 (et e3t ) (t)
2
▲
■
第 12 页
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t) C1et C2e3t (t)
h (t) C1et C2e3t (t) C1et 3C2e3t (t) C1 C2 (t) C1et 3C2e3t (t)
hn(t) an1hn1(t) a1h1(t) a0h(t)
bm m(t) bm1 m1(t) b1 1(t) b0 (t)
▲
■
第3页
• h(t)解答的形式
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
■
第5页
冲激响应求解举例1
例1 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。
解 根据h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12
▲
■
第7页
对t>0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0
h0 1 , h' 0 2
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t) 1 (et e3t ) (t)
2
▲
■
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法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t) C1et C2e3t (t)
h (t) C1et C2e3t (t) C1et 3C2e3t (t) C1 C2 (t) C1et 3C2e3t (t)
hn(t) an1hn1(t) a1h1(t) a0h(t)
bm m(t) bm1 m1(t) b1 1(t) b0 (t)
▲
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第3页
• h(t)解答的形式
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
§2.2 冲激响应和阶跃响应
©南昌航空大学电子信息工程学院电子工程系
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信号与系统
二、阶跃响应
由单位阶跃信号 (t)所引起的零状态响应，
简称阶跃响应，记为g(t)。 g(t)= T [(t) ，{0}]
1
0
(t )
g (t )
t
t
(t )
LTI
g (t )
0
t
t
(t ) (t )dt
h(t ) (C1 C2 ) (t ) (C1 3C2 ) (t ) (C1et 9C2e3t ) (t )
代入方程 (C1 C2 ) (t ) (3C1 C2 ) (t ) (t ) 2 (t )
1 C1 C2 1 C1 C2 2 3C1 C2 2
h(0 ) h(0 ) 0
h(0 ) h(0 ) 12, h(0 ) h(0 ) 3
h(0 ) 3, h(0 ) 12
t 0 时, h(t ) 5h(t ) 6h(t ) 0
h(t ) (C1e 2t C2e 3t ) (t )
(1) (t)所引起的零状态响应；h(t)=T[{ (t) }, {0}] 待定系数---奇异函数项平衡法 (2) 也可视为t＞0时，以 (t)作用为初始条件的 零输入响应 。 h(t)=T[{0} , {h[ (0)] }] 待定系数---0+初值法
h( n ) (t ) a1h ' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
代入方程得： d (t ) (C1 C2 5) (t ) (3C1 2C2 6) (t ) () (t ) (t ) 2 (t ) 3 (t ) 据系数平衡得 d 1
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信号与系统
二、阶跃响应
由单位阶跃信号 (t)所引起的零状态响应，
简称阶跃响应，记为g(t)。 g(t)= T [(t) ，{0}]
1
0
(t )
g (t )
t
t
(t )
LTI
g (t )
0
t
t
(t ) (t )dt
h(t ) (C1 C2 ) (t ) (C1 3C2 ) (t ) (C1et 9C2e3t ) (t )
代入方程 (C1 C2 ) (t ) (3C1 C2 ) (t ) (t ) 2 (t )
1 C1 C2 1 C1 C2 2 3C1 C2 2
h(0 ) h(0 ) 0
h(0 ) h(0 ) 12, h(0 ) h(0 ) 3
h(0 ) 3, h(0 ) 12
t 0 时, h(t ) 5h(t ) 6h(t ) 0
h(t ) (C1e 2t C2e 3t ) (t )
(1) (t)所引起的零状态响应；h(t)=T[{ (t) }, {0}] 待定系数---奇异函数项平衡法 (2) 也可视为t＞0时，以 (t)作用为初始条件的 零输入响应 。 h(t)=T[{0} , {h[ (0)] }] 待定系数---0+初值法
h( n ) (t ) a1h ' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
代入方程得： d (t ) (C1 C2 5) (t ) (3C1 2C2 6) (t ) () (t ) (t ) 2 (t ) 3 (t ) 据系数平衡得 d 1
冲激响应和阶跃响应
信号与系统说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励如果冲激响应 不同，说明其系统特性不同， 冲激响应可以衡量系统的特性。
()t δ()h t 1．定义系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h (t )表示。
()t δ响应及其各阶导数(最高阶为n 次)2.冲激响应的数学模型1011110111d ()d ()d ()()d d d d ()d ()d ()()d d d n n n n n n m m m m m m r t r t r t C C C C r t t t te t e t e t E E E E e t t t t------++++=++++对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示()(1)(1)011()(1)(1)011()()()()()()()()n n n n m m m m C h t C h t C h t C h t E t E t E t E t δδδδ----++++=++++激励及其各阶导数(最高阶为m 次)令 e (t )=δ(t ) 则 r (t )=h (t )设特征根为简单根（无重根的单根）1()e ()()i nt i i h t A u t f t λ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 由于δ(t ) 及其导数在 t > 0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
②与n, m 相对大小有关①与特征根有关3. h (t ) 解的形式4.求法:直接代入确定待定系数()()n m h t t δ>不包含 及其各阶导数。
1()e ()i nt i i h t A u t λ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()()n mh t t δ=包含 。
01()e ()()int i i h t C u t D t λδ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()n mh t t δ<包含 及其各阶导数，最阶次为m - n()∑∑-==+⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm k k k n i t i t D t u C t h i 01)()(e )(δλ例: 系统微分方程为)(2d )(d )(3d )(d 4d )(d 22t e tt e t r t t r t t r +=++试求其冲激响应。
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
t t t t g ( t ) Ae u ( t ) e u ( t ) Ae e u(t ) 将
代入
d g (t ) g (t ) (t ) 2e t u (t ) dt
得
( A 1) (t ) ( Aet et )u(t ) ( Aet et )u(t ) (t ) 2et u(t )
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
信号与系统
小
冲激响应的定义 •零状态；
结
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ( t )，看 响应 h( t )，h( t )不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 （1）系统的在 x(t ) 激励下的零状态响应为 yzs (t ) x(t )* h(t ) （2）LTI系统因果性的充要条件可表示为 当
信号与系统
二．阶跃响应
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
u (t ) ( ) d
t
t
d (t ) u (t ) dt
dg (t ) h(t ) = dt
g (t ) h( ) d
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限
t
冲激响应和阶跃响应
02
利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t)
方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解
方法2：直接解方程求解（见教材）
求阶跃响应
02
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。
2．一阶系统的冲激响应
3．n阶系统的冲激响应
响应及其各阶导数(最高阶为n次)
1).冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
一．冲激响应
设特征根为简单根（无重根的单根）
由于δ(t) 及其导数在 t>0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
03
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
04
总结
01
三．齐次解法求冲激响应（补充）
方法1：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。
方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。
方法3: 齐次解法求冲激响应。
求冲激响应的几种方法
冲激响应的求解至关重要。
01
冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
02
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t)
方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解
方法2：直接解方程求解（见教材）
求阶跃响应
02
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。
2．一阶系统的冲激响应
3．n阶系统的冲激响应
响应及其各阶导数(最高阶为n次)
1).冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
一．冲激响应
设特征根为简单根（无重根的单根）
由于δ(t) 及其导数在 t>0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
03
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
04
总结
01
三．齐次解法求冲激响应（补充）
方法1：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。
方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。
方法3: 齐次解法求冲激响应。
求冲激响应的几种方法
冲激响应的求解至关重要。
01
冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
02
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
信号与线性系统分析 §2.2 冲激响应和阶跃响应
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
ht
T {0}
▲
■
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示
▲ ■ 第 3页
• h(t)解答的形式
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端 的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关 例:当特征根均为单根时
n i t h(t ) Ci e (t ) i 1
举例
②与n, m相对大小有关
当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数； 当n m时，ht 中应包含 t ； 当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
▲ ■ 第 4页
3. 基本单元的冲激响应
f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ (t) f (t) af (t) f (t)
d n y (t ) dt bm
n
a n 1
d n 1 y (t ) dt
n 1
a1
d y (t ) dt
a0 y (t ) b0 f (t )
d m f (t ) dt
m
bm 1
d m 1 f (t ) dt
m 1
b1
d f (t ) dt
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ (t-T) f (t)
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
ht
T {0}
▲
■
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示
▲ ■ 第 3页
• h(t)解答的形式
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端 的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关 例:当特征根均为单根时
n i t h(t ) Ci e (t ) i 1
举例
②与n, m相对大小有关
当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数； 当n m时，ht 中应包含 t ； 当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
▲ ■ 第 4页
3. 基本单元的冲激响应
f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ (t) f (t) af (t) f (t)
d n y (t ) dt bm
n
a n 1
d n 1 y (t ) dt
n 1
a1
d y (t ) dt
a0 y (t ) b0 f (t )
d m f (t ) dt
m
bm 1
d m 1 f (t ) dt
m 1
b1
d f (t ) dt
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ (t-T) f (t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应x
d n y (t ) dt bm
n
a n 1
d n 1 y (t ) d t n 1
d y (t ) a1 a0 y (t ) dt b1 d f (t ) b0 f (t ) dt
d m f (t ) dtm
bm 1
d m 1 f (t ) d t m 1
h (t ) C1e t C2 e 3t (t ) C1e t 3C2 e 3t (t )
1 2 1 t 2 3t
1
2
1
2
1
t
2
3t
将h(t ), h(t ), h(t )代入原方程
C1 C2 (t ) 3C1 C2 (t ) 0 (t ) (t ) 2 (t )
带 ε ( t)
h(t ) (C1e C2e
t
3t
) (t )
两种求待定系数方法： •求0+法
• 奇异函数项相平衡法
▲ ■ 第 7页
法一：求0+值确定系数
d 2 ht a t b t r1 t 2 dt d ht a t r2 t dt ht r3 t
设
h0 1 , h' 0 2 代入h(t)，确定系数C1,C2，得
1 t 3t h(t ) (e e ) (t ) 2
▲ ■ 第 8页
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t ) C1e t C2e 3t (t )
C C (t ) C e 3C e (t ) ht C C t C 3C t C e 9C e t
n
a n 1
d n 1 y (t ) d t n 1
d y (t ) a1 a0 y (t ) dt b1 d f (t ) b0 f (t ) dt
d m f (t ) dtm
bm 1
d m 1 f (t ) d t m 1
h (t ) C1e t C2 e 3t (t ) C1e t 3C2 e 3t (t )
1 2 1 t 2 3t
1
2
1
2
1
t
2
3t
将h(t ), h(t ), h(t )代入原方程
C1 C2 (t ) 3C1 C2 (t ) 0 (t ) (t ) 2 (t )
带 ε ( t)
h(t ) (C1e C2e
t
3t
) (t )
两种求待定系数方法： •求0+法
• 奇异函数项相平衡法
▲ ■ 第 7页
法一：求0+值确定系数
d 2 ht a t b t r1 t 2 dt d ht a t r2 t dt ht r3 t
设
h0 1 , h' 0 2 代入h(t)，确定系数C1,C2，得
1 t 3t h(t ) (e e ) (t ) 2
▲ ■ 第 8页
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t ) C1e t C2e 3t (t )
C C (t ) C e 3C e (t ) ht C C t C 3C t C e 9C e t
冲激响应和阶跃响应
RC
整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
RCA (t) (t)
RCA 1 A 1 RC
vC (t ) h(t )
波形
ht
vC (t)
1 RC
1t
e RC u(t )
1 RC
O
t
iC (t)
iC
(t
)
C
d
vC (t dt
)
1
1 R2C
1
e RC
t
u(t)
1 R
(t)
O R
t
注意其中 (t) 项！
h(t ) A1et A2e3t u(t )
h (t ) A1et A2e3t (t ) A1et 3A2e3t u(t ) A1 A2 (t) A1et 3A2e3t u(t )
ht A1 A2 t A1 3A2 t A1et 9A2e3t ut
求待定系数
求 0+法,
奇异函数项相平衡法
求 0+定系数
设
d2 d
dr d
rt
t2
t
t
a t a t
b t but
cut
rt aut
所以：h(0+)=1 ,h’(0+)=2
代入 h(t),得
h0 h'0
A1 A1
A2 3 A2
1 2
Байду номын сангаас
A1
A2
1
2 1
2
用奇异函数项相平衡法求待定系数
特征根
1 RC
t
vC (t) Ae RC u(t)
t 0时的解
下面的问题是确定系数 A,求 A 有两种方法：
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§2.2 冲激响应和阶跃响应
? 冲激响应 ? 阶跃响应
■
第1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数 δ(t) 所引起的 零状态响应 称为单位冲 激响应，简称冲激响应 ，记为h(t)。
h(t)=T[{0},δ(t)]
? ?t ?
h?t ?
T {0}
▲
■
第2页
2．系统冲激响应的求解
?冲激响应的数学模型
令 f(t)=?(t)
则 y(t)=h(t)
激励及其各 阶导数 (最 高阶为 m 次)
h?n?(t) ? an?1h?n?1?(t) ? ? ? a1h?1?(t) ? a0h(t)
? bm? ?m?(t) ? bm?1? ?m?1?(t ) ? ? ? b1? ?1?(t) ? b0? (t)
▲
■
对于LTI系统,可以用一 n阶微分方程 表示
dn d
y(t ) tn
?
an?1
d n?1 y(t) d t n?1
?
?
?
a1
d y(t) dt
?
a0
y (t )
?
bm
dm f (t) dtm
?
bm ? 1
dm?1 f (t) d t m?1
?
?
?
b1
d
f (t) dt
?
b0
f
(t)
响应及其各 阶导数 (最 高阶为 n 次)
, h(t) ? d g(t) dt
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t
t
? ? ,对因果系统：
－?
0?
▲
■
第6页Βιβλιοθήκη ?当n ? m时，h?t ?中应包含 ? ?t?；
?当n ? m时，h?t?应包含? ?t ?及其各阶导数。
▲
■
第4页
3. 基本单元的冲激响应
f (t)
af (t)
a
(a) 数乘器h(t) = aδ (t)
f (t)
d
d f (t)
dt
dt
(c) 微分器h(t) =δ '(t)
f (t)
f (t -T)
第3页
? h(t)解答的形式
由于?(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的 冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
例:当特征根均为单根时
? h(t) ?
? ?
n
Ci
e
?
it
?
??
(t
)
?i?1
?
举例
②与n, m相对大小有关
?当n ? m时，h?t?不含? ?t ?及其各阶导数；
T
(b) 延时器h(t) =δ (t-T)
f (t)
∫
t
? f (x)d x ??
(d) 微分器h(t) =ε (t)
▲
■
第 5页
二．阶跃响应
g(t)= Tε(t) [，{0}]
线性时不变系统满足 微、积分 特性
t
? ?(t) ? ? (t) d t ?? t
? g(t) ? h(?) d? ??
? 冲激响应 ? 阶跃响应
■
第1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数 δ(t) 所引起的 零状态响应 称为单位冲 激响应，简称冲激响应 ，记为h(t)。
h(t)=T[{0},δ(t)]
? ?t ?
h?t ?
T {0}
▲
■
第2页
2．系统冲激响应的求解
?冲激响应的数学模型
令 f(t)=?(t)
则 y(t)=h(t)
激励及其各 阶导数 (最 高阶为 m 次)
h?n?(t) ? an?1h?n?1?(t) ? ? ? a1h?1?(t) ? a0h(t)
? bm? ?m?(t) ? bm?1? ?m?1?(t ) ? ? ? b1? ?1?(t) ? b0? (t)
▲
■
对于LTI系统,可以用一 n阶微分方程 表示
dn d
y(t ) tn
?
an?1
d n?1 y(t) d t n?1
?
?
?
a1
d y(t) dt
?
a0
y (t )
?
bm
dm f (t) dtm
?
bm ? 1
dm?1 f (t) d t m?1
?
?
?
b1
d
f (t) dt
?
b0
f
(t)
响应及其各 阶导数 (最 高阶为 n 次)
, h(t) ? d g(t) dt
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t
t
? ? ,对因果系统：
－?
0?
▲
■
第6页Βιβλιοθήκη ?当n ? m时，h?t ?中应包含 ? ?t?；
?当n ? m时，h?t?应包含? ?t ?及其各阶导数。
▲
■
第4页
3. 基本单元的冲激响应
f (t)
af (t)
a
(a) 数乘器h(t) = aδ (t)
f (t)
d
d f (t)
dt
dt
(c) 微分器h(t) =δ '(t)
f (t)
f (t -T)
第3页
? h(t)解答的形式
由于?(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的 冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
例:当特征根均为单根时
? h(t) ?
? ?
n
Ci
e
?
it
?
??
(t
)
?i?1
?
举例
②与n, m相对大小有关
?当n ? m时，h?t?不含? ?t ?及其各阶导数；
T
(b) 延时器h(t) =δ (t-T)
f (t)
∫
t
? f (x)d x ??
(d) 微分器h(t) =ε (t)
▲
■
第 5页
二．阶跃响应
g(t)= Tε(t) [，{0}]
线性时不变系统满足 微、积分 特性
t
? ?(t) ? ? (t) d t ?? t
? g(t) ? h(?) d? ??