郑君里信号与系统习题第四章

例4-1

求下列函数的拉氏变换

拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以 表示 单边拉氏变换,以 表示 双边拉氏变换.若文字中未作说明,则 指单边拉氏变换.单边拉氏变换只研究 的时间函数,因此,它和傅里叶变换 之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面.本例只讨论时移 定理.请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。

例4-2

求三角脉冲函数 如图4-2（a ）所示的象函数

和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。

方法一：按定义式求解

方法二：利用线性叠加和时移性质求解

方法三：利用微分性质求解 方法四：利用卷积性质求解

方法一：按定义式求解

()()

1-=t tu t f ()s F ()t f ()s F B ()t f 0≥t ()()[]()()()[]s

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s s t u t u t L t tu L s F -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+--=-=1111112()t f ()⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=其它 02t 1 21t 0

t t t f ()()

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⎰⎰⎰

⎰⎰

---

--

方法二：利用线性叠加和时移性质求解

由于

于是

方法三：利用微分性质求解

信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。 将 微分两次，所得波形如图4-2（b ）所示

显然

根据微分性质

由图4-2（b ）可以看出

于是

方法四：利用卷积性质求解 可看作是图4-2(c ）所示的矩形脉冲 自身的卷积 于是，根据卷积性质 而

所以

()()()()()()22112--+---

=t u t t u t t tu t f ()[]()[]()0

02

1

st e s F t t f L s

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)

222211211s s s e

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-

--'-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00222sf f s F s dt t f d L (),00=-f ()00='-f ()

()

2

21s e s F s --=()()

22

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e s s F --=()()()t

f t f t f 11*=()t f ()t f 1()()()

s F s F s F 11=()

()

s

e

s s F --=111()

()

2211s e s s F --=

例4-3

应用微分性质求图4-3（a ）中的 象函数下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b ）是 的导数

的波形。

（1）对于单边拉氏变换,

故二者的象函数相同，即

因此

因而

这是应用微分性质应特别注意的问题。

()()t f t f t f 321),(

,(),1t f (),2t f ()t f 3()()()t f t f t f 321,,'''图4-4（b)

()(

)(),21t u t f t f =由于()()s

s F s F 3

21==()()()()()，因而，但虽然t f t f s F s F 21212≠=()[]()[]

t

f L t f L 21'≠'()

()

，故，由于

对于2022=-f t f ()[]

()122=-='s sF t f L ()

()，故，由于

对于0011=-f t f ()[]()301=-='s sF t f L ()()()()()，，一阶导数相同，但和虽然002033232==--f f t f t f ()()()()200202+=+=⎰⎰-

--dx x f dx x t f t

t δδ()()()()dx

x f dx x t f t t ⎰

⎰-

-=+=-03030δδ()()[]()s f s t F s s F 3

01122=

+=-δ()()[]()s

f s t F s s F 1

01133=+=-δ

由图4-3（b ）知

例4-4

某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统

为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出

阶跃响应 则

例4-5

电路如图4-5（a ）所示 （1）求系统的冲激响应。 （2）求系统的起始状态 ()[]()301

=-='s sF t f L ()s s F 31=则()[]()122=-='s sF t f L ()s

s F 32=则()()

dx x t f t ⎰

-

=03δ()()[]()

s

f s t F s s F 101133=+=-δ则()()()()()；时，系统的输出为当输入t u e t t y t t x t -+==

δδ11()()()()()；时，系统的输出为当输入t u e t y t t u t x t

-==322()

t x 3

当输入()t y 3()()()()()t

h t y t y t y t y zi zs zi +=+=1()()()()()

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t g t y t h t y t y t y t y zi zi zs zi +=+=+=--)1()1(1()()()()

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e t t h t h t y t y ---=+=-2)1(21δ()()1

2

11+-=-s s H s s H ()()()

t u e t t h t --=δ()

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u e t y t y t y t y t h t zs

zi -=-=-=212()

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t u e t y t y t g t

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31231313---+=---+=-----t u e t u e t u e t g t g t y t y t t t zi ()

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