上海市育才中学2018-2019学年度高一上学期期末数学试卷(含答案)
【优质文档】2018-2019学年高中名校高一第一学期期末调研数学试卷(一)含答案
5．设 l , m, n 表示不同的直线， 表示平面，已知 m∥ l ，下列结论错误的是（
）
A．若 m∥ n ，则 l ∥ n
B ．若 m n ，则 l n
C．若 m ∥ ，则 l ∥
D ．若 m ，则 l
6．已知 a 20180.2 ， b 0.22018 ， c log 2018 0.2 ，则（
2018-2019 学年高中名校高一第一学期期末调研数学试卷（一）
数学
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
★祝考试顺利 ★
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题作答用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
A． 1
B ． 0,1 C ． 1,0,1 D ． 0,1,2
3．函数 f x
x 2 ln 1 x 的定义域为（
）
A． 2,1
B ． 2,1 C ． 2,1 D ． 1,
2
2
4．直线 4 x 3 y 6 0 与圆 x 4
y 1 25 的位置关系是（
）
A．相离
B ．相切 C ．相交且过圆心
D ．相交但不过圆心
）
A．
B
．
C
．
D
．
11．三棱锥 P ABC 中， PA, PB, PC 两两垂直， AB 2 ， BC 5 ， AC 7 ，则该
三棱锥外接球的表面积为（
）
A． 4
B ．8
C ． 16
D
．8 2
3
12．已知圆 M : x2 y2 2x 10y 25 0，圆 N : x2 y2 14x 6y 54 0 ，点 P, Q
2018-2019学年上海中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1．函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域为．2．设函数为奇函数，则实数a的值为．3．已知y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝．4．方程的解为．5．对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则＝．6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为．7．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝．8．函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为．9．若函数（a＞0且a≠1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则a的取值范围为．10．已知x＞0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x））＝f（6.5），则正数x的取值范围为．11．已知函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为．12．已知函数f（x）＝，（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：（1）n＝0时，m∈（0，2]；（2）n＝时，；（3）时，m∈（n，2]，其中正确的结论的序号为．二、选择题13．下列函数中，是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．f（x）＝﹣x3D．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数m满足f（|m﹣1|）＞f（﹣1），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）15．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞] 16．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）＝，当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（）B．[）C．D．三、解答题17．已知函数f（x）＝2x﹣1的反函数是y＝f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）画出f（x）＝2x﹣1的图象；（2）解方程f﹣1（x）＝g（x）．18．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．（1）求k的值，并用定义证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，求函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b]⊂D，使得f（x）同时满足，①f （x）在[a，b]上是单调函数，②当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”[a，b]；（2）函数是否存在“和谐区间”[a，b]？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．21．定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，h （﹣2）＝h（0）＝1，h（﹣3）＝﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）+3﹣e成立，求a的取值范围；（3）设f（x）＝，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]＝a+5的解的个数．2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域为（1，2]．【解答】解：由题意可得，解得1＜x≤2，故函数的定义域为：（1，2]，故答案为：（1，2]2．设函数为奇函数，则实数a的值为1．【解答】解：是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即，∴x2+（a﹣1）x﹣a＝x2+（1﹣a）x﹣a，∴（a﹣1）x＝（1﹣a）x，∴a＝1．故答案为：1．3．已知y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝2x．【解答】解：由a的任意性，x＝1时，y＝2，故y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P（1，2），把P（1，2）代入指数函数f（x）＝a x，a＞0且a≠1，得a＝2，所以f（x）＝2x，故答案为：2x．4．方程的解为﹣．【解答】解：由题意，92x+1＝，∴92x+1•3x＝1，32（2x+1）•3x＝1，32（2x+1）+x＝1，即35x+2＝1．∴5x+2＝0，∴x＝﹣．故答案为：﹣．5．对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则＝1．【解答】解：令x＝y＝3，则f（9）＝2f（3）＝4，∴f（3）＝2，令，则，∴．故答案为：1．6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为3．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是幂函数，则m2﹣5m+7＝1，即m2﹣5m+6＝0，解得m＝2或m＝3；当m＝2时，f（x）＝x2不是R上的增函数，不满足题意；当m＝3时，f（x）＝x3是R上的增函数，满足题意．则m的值为3．故答案为：3．7．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝﹣1．【解答】解：由题意，x≤0，2x＝，∴x＝﹣1，∴f﹣1（）＝﹣1．故答案为﹣1．8．函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为（﹣∞，1），[3，5）．【解答】解：函数t＝|x2﹣6x+5|的图象如图，内层函数大于0的减区间为（﹣∞，1），[3，5）；而外层函数为定义域内的减函数，∴函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为（﹣∞，1），[3，5）．故答案为：（﹣∞，1），[3，5）．9．若函数（a＞0且a≠1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则a的取值范围为（1，2）．【解答】解：∵y＝x2﹣ax+2＝（x﹣）2+2﹣在对称轴左边递减，∴当x1＜x2≤时，y1＞y2∵对任意的x1、x2，当x1＜x2≤时，f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2），故应有a＞1 ①又因为y＝x2﹣ax+3在真数位置上所以须有2﹣＞0⇒﹣2＜a＜2②综上得1＜a＜2故答案为：（1，2）．10．已知x＞0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x））＝f（6.5），则正数x的取值范围为．【解答】解：由题意，f（6.5）＝7，故f（3x+f（x））＝7，∴6＜3x+f（x）≤7，当f（x）＝1时，0＜x≤1，此时6＜3x+1≤7，解得，不符合题意；当f（x）＝2时，1＜x≤2，此时6＜3x+2≤7，解得，满足题意；当f（x）＝3时，2＜x≤3，此时6＜3x+3≤7，解得，不符合题意；易知，当时均不符合题意；综上，实数x的取值范围为．故答案为：．11．已知函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．【解答】解：函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，可得f（x）＝0，即mx+2＝2m+1+＞0，有且只有一个实根，m＝0，x＝2显然成立；由mx2+（1﹣2m）x﹣2＝0，△＝（1﹣2m）2+8m＝0，解得m＝﹣，此时x＝2成立；由m（x﹣2）＝﹣1＝，即（x﹣2）＝0，由x≠2，可得mx+1＝0，2m+2≤0，即m≤﹣1．综上可得m的范围是m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．故答案为：m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．12．已知函数f（x）＝，（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：（1）n＝0时，m∈（0，2]；（2）n＝时，；（3）时，m∈（n，2]，其中正确的结论的序号为（2）（3）．【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）＝22﹣x+1﹣3＝23﹣x﹣3，单调递减，当﹣1＜x＜1时，f（x）＝22+x﹣1﹣3＝21+x﹣3，单调递增，∴f（x）＝22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴当x＝1时，取最大值为1，∴绘出22﹣|x﹣1|﹣3的图象，如图下方曲线：（1）当n＝0时，f（x）＝，由函数图象可知：要使f（x）的值域是[﹣1，1]，则m∈（1，2]；故（1）错误；（2）当n＝时，f（x）＝，f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴m∈（，2]；故（2）正确；（3）当n∈[0，）时，m∈[1，2]；故（3）正确；故答案为：（2）（3）．二、选择题13．下列函数中，是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．f（x）＝﹣x3D．【解答】解：在A中，f（x）＝﹣x是奇函数，在区间（1，+∞）上是减函数，故A错误；在B中，是偶函数，在区间（1，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，f（x）＝﹣x3是奇函数且在区间（1，+∞）上是减函数，故C错误；在D中，f（x）＝﹣log2是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数，故D正确．故选：D．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数m满足f（|m﹣1|）＞f（﹣1），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）【解答】解：∵偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，∵f（|m﹣1|）＞f（﹣1），∴|m﹣1|＜1，∴﹣1＜m﹣1＜1，∴0＜m＜2故不等式的解集为{m|0＜m＜2}，故选：C．15．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞]【解答】解：因为函数f（x）＝lg为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得lg＝lg+lg，即＝×，且a＞0，所以a＝，令t＝2x0，则t＞0，所以，a＝＝+，由t＞0得＜a＜3，即a的取值范围是（，3）．故选：B．16．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）＝，当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（）B．[）C．D．【解答】解：当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，当x∈（0，1）时，x﹣1∈（﹣1，0），f（x）＝＝＝x，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1]内恰有3个零点，即方程|f（x）﹣|﹣mx﹣m＝0在（﹣1，1]内恰有3个根，也就是函数y＝|f（x）﹣|与y＝mx+m的图象有三个不同交点．作出函数图象如图：由图可知，直线y＝mx+m恒过点（﹣1，0），过点（﹣1，0）与点（0，）的直线的斜率为；过点（﹣1，0）与（1，）的直线斜率为，可得|f（x）﹣||与y＝mx+m的图象有三个不同交点的m的取值范围为[，）．故选：C．三、解答题17．已知函数f（x）＝2x﹣1的反函数是y＝f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）画出f（x）＝2x﹣1的图象；（2）解方程f﹣1（x）＝g（x）．【解答】解：（1）如图所示，（2）由y＝2x﹣1，解得：x＝log2（y+1），把x与y互换可得：y＝log2（x+1），∴f（x）的反函数是y＝f﹣1（x）＝log2（x+1）（x＞﹣1）．方程f﹣1（x）＝g（x）即log2（x+1）＝log4（3x+1）．∴（x+1）2＝3x+1＞0，解得：x＝0，1．18．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．（1）求k的值，并用定义证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，求函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围．【解答】解：（1）因为定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．所以f（0）＝k﹣1＝0，解得k＝1，∴f（x）＝a x﹣a﹣x，当a＞1时，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（a﹣a）﹣（a﹣a）＝（a﹣a）+（a﹣a），＝（a﹣a）+（﹣）＝（a﹣a）+＝（a﹣a）+＝（a﹣a）（1+），∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a，即a﹣a＜0，a＞0，∴f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上是增函数．（2）由（1）知，k＝1，又因为f（1）＝，a﹣a﹣1＝，解得a＝2或﹣（舍），所以g（x）＝22x+2﹣2x＝4x+4﹣x＝4x+，令t＝4x，（1≤t≤4）则y＝t+，所以t∈[2，]，函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围[2，]．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）＝（k为常数），∵p（2）＝400﹣k（10﹣2）2＝272，∴k＝2．∴p（t）＝．∴p（6）＝400﹣2（10﹣6）2＝368；（2）由，可得Q＝，当2≤t＜10时，Q＝180﹣（12t+），当且仅当t＝5时等号成立；当10≤t≤20时，Q＝﹣60+≤﹣60+90＝30，当t＝10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20．对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b]⊂D，使得f（x）同时满足，①f （x）在[a，b]上是单调函数，②当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”[a，b]；（2）函数是否存在“和谐区间”[a，b]？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x3；∴f（x）在R内单调递增；再令f（x）＝x3＝x，∴x＝﹣1，0，1；∴f（x）＝x3的“和谐区间”为：[﹣1，0]、[0，1]、[﹣1，1]；（2）假设函数存在和谐区间，∴；∴x2+3x﹣4＝0或x2﹣3x+4＝0①当x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4或1；在[﹣4，1]内f（x）不单调，故不成立；②当x2﹣3x+4＝0时，x无解，故不成立；∴综上所述：函数不存在和谐区间；（3）∵函数有“和谐区间”；∴f（x）在（2，k）内单调递增，且f（x）＝x在定义内有两个不等的实数根；∴在定义内有两个不等的实数根；即：2m＝x+＝；∵x∈（2，k），∴，即m；∵在（2，3）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增，∴k＞3；∵函数与直线y＝2m在（2，k）有两个交点，g（2）＝6∴，∴正整数k最小值为5，此时g（5）＝6；∴2m＝6；即m＝3；此时m的取值范围为（，3）．21．定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，h （﹣2）＝h（0）＝1，h（﹣3）＝﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）+3﹣e成立，求a的取值范围；（3）设f（x）＝，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]＝a+5的解的个数．【解答】解：（1）∵g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，∴g（﹣x）+2g（x）＝e﹣x+2e x﹣9，由以上两式联立可解得，g（x）＝e x﹣3；∵h（﹣2）＝h（0）＝1，∴二次函数的对称轴为x＝﹣1，故设二次函数h（x）＝a（x+1）2+k，则，解得，∴h（x）＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣2x+1；（2）由（1）知，g（x）＝e x﹣3，其在[﹣1，1]上为增函数，故g（x）max＝g（1）＝e ﹣3，∴h（x1）+ax1+5≥e﹣3+3﹣e＝0对任意x∈[﹣1，1]都成立，即对任意x∈[﹣1，1]都成立，∴，解得﹣3≤a≤7，故实数的a的取值范围为[﹣3，7]；（3），作函数f（x）的图象如下，令t＝f（x），a∈[﹣3，7]，则f（t）＝a+5∈[2，12]，①当a＝﹣3时，f（t）＝2，由图象可知，此时方程f（t）＝2有两个解，设为t1＝﹣1，t2＝ln5∈（1，2），则f（x）＝﹣1有2个解，f（x）＝ln5有3个解，故共5个解；②当﹣3＜a＜e2﹣8时，f（t）＝a+5∈（2，e2﹣3），由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解，设为t3＝ln（a+8）∈（ln5，2），则f（x）＝t3＝ln（a+8）有3个解，故共3个解；③当a＝e2﹣8时，f（t）＝a+5＝e2﹣3，由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解t4＝2，则f（x）＝t4＝2有2个解，故共2个解；④当e2﹣8＜a≤7时，f（t）＝a+5∈（e2﹣3，12]，由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解t5＝ln（a+8）∈（2，ln15]，则f（x）＝t5有1个解，故共1个解．。
2018-2019标准试卷(含答案)高一(上)期末数学试卷 (3)
2018-2019标准试卷（含答案）高一（上）期末数学试卷 (3)一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 集合共有________子集．2. 计算的值是________．3. 函数的最小正周期是________．4. 函数的定义域是________．5. 计算的值是________．6. 函数，且图象恒过的定点坐标为________．7. 已知幂函数的图象经过点，则的值是________．8. 已知，且，则的值为________．9. 在平面直角坐标系中，已知单位圆与轴正半轴交于点，为圆上一点，则劣弧的弧长为________．10. 若方程在区间上有实数根，其中为正整数，则的值为________．11. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再奖得到的图象向右平移个单位长度，记所得图象的函数解析式为，则的值是________．12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值是________．13. 已知向量，，若函数，其中，则的最大值为________．14. 如图，已知菱形中，，，是边的中点，若点是线段上的动点，则的取值范围是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知全集，集合，．求求16. 已知向量，满足，，，，求向量，的夹角值；当时，的值．17. 已知，求的值；求的值．18. 四边形是的内接等腰梯形，为直径，且．设，的周长为．求周长关于角的函数解析式，并指出该函数的定义域；当角为何值时，周长取得最大值？并求出其最大值．19. 已知函数，其定义域为，且在定义域上是奇函数，求的值；判断函数的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；若函数有两个零点，求实数的取值范围．20. 已知函数．若，写出函数单调区间；设函数，且，若不等式（）恒成立，求的取值范围；已知对任意的都有成立，试利用这个条件证明：当时，不等式恒成立．答案1. 【答案】【解析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有个元素，则它有个子集．【解答】解：集合有个元素，故有个子集．故答案为：．2. 【答案】【解析】利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：由于；故答案为：．3. 【答案】【解析】根据三角函数的周期公式进行求解即可【解答】解：由正弦函数的周期公式得函数的周期，故答案为：4. 【答案】【解析】由对数的真数大于零、偶次根号下被开方数大于等于零，求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，需满足：解得，所以函数的定义域是，故答案为：．5. 【答案】【解析】根据指数幂的运算性质进行计算即可．【解答】解：原式；故答案为：．6. 【答案】【解析】根据指数函数过定点的性质，令指数，进行求解即可．【解答】解：由得，此时，故图象恒过的定点坐标为，故答案为：7. 【答案】【解析】根据幂函数的图象经过点，求出的解析式，再计算的值．【解答】解：∵幂函数的图象经过点，∴ ，解得，∴；∴．故答案为：．8. 【答案】【解析】利用完全平方公式，先求出，即可得到结论．【解答】解：由，平方得，则，∵，∴ ，即，则，故答案为：；9. 【答案】【解析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：，为圆上一点．∴劣弧所对的圆心角为．∴劣弧的弧长．故答案为：．10. 【答案】【解析】方程在区间上有实数根可化为函数在区间上有零点，从而由零点的判定定理求解．【解答】解：方程在区间上有实数根可化为函数在区间上有零点，函数在定义域上连续，，；故方程在区间上有实数根，故的值为；故答案为：．11. 【答案】【解析】按照左加右减的原则，求出将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式，再求出将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式，即可代入求值．【解答】解：将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为：；再将得到的图象向右平移个单位长度，记所得图象的函数解析式为：，则．故答案为：．12. 【答案】【解析】先根据得到，所以可以变成．【解答】解：由得：；∴ ．故答案为：．13. 【答案】【解析】由已知将两个向量进行数量积的运算，然后利用倍角公式等化简三角函数式微一个角的一个三角函数的形式，然后由角度的范围求最大值．【解答】解：由已知，，因为，所以，所以的最大值为；故答案为：．14. 【答案】【解析】因为菱形中，，，是边的中点，所以，所以以为原点，，所在是直线分别为，轴建立坐标系，分别写出所求中向量的坐标，利用坐标运算解答．【解答】解：因为菱形中，，，是边的中点，所以，所以以为原点，，所在是直线分别为，轴建立坐标系，因为菱形中，，，是边的中点，所以，，，设，其中，所以，，，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，当时，，所以的取值范围为；故答案为：．15. 【答案】解：由题意得，．所以; 因为，所以【解析】求出集合，，利用集合的基本运算进行求解即可．;【解答】解：由题意得，．所以; 因为，所以16. 【答案】解：由已知，，得，，所以向量，的夹角余弦值为，所以；由可知，当时，得，所以．【解析】由已知求出向量，的坐标，然后解答．【解答】解：由已知，，得，，所以向量，的夹角余弦值为，所以；由可知，当时，得，所以．17. 【答案】解： ∵，∴ ．∵ ，，∴，．; ∵，，∴，∴ ，∴ ，∴．【解析】利用二倍角公式求出，利用同角三角函数的基本关系求出的值．; 根据角的范围求出，可得的值，进而求得的值，根据范围求出的大小．【解答】解： ∵，∴ ．∵ ，，∴，．; ∵，，∴，∴ ，∴ ，∴．18. 【答案】解：由题意可知，，．，．∴周长关于角的函数解析式为：；;由．当，即，时，．∴当时，周长取得最大值．【解析】由三角形中的正弦定理得到．再由直角三角形中的边角关系求得．则周长关于角的函数解析式可求，并结合实际意义求得函数的定义域；; 把化为关于的二次函数，利用配方法求得当，即时，周长取得最大值．【解答】解：由题意可知，，．，．∴周长关于角的函数解析式为：；;由．当，即，时，．∴当时，周长取得最大值．19. 【答案】解：因为函数是定义域为上的奇函数，所以，即，…所以，即，则，得或；当时，无意义，所以；…（注：若用解得，未加以代入检验扣分）; 由知函数，该函数是定义域上的减函数；…证明：设、为区间上的任意两个值，且，则，…；…因为，所以，又因为，所以；则，，所以；所以函数是定义域上的减函数；…; （3），要使有两个零点，即关于的方程有两个互异实根，…?当时，在区间上单调减，所以函数的值域为；…‚当时，在区间上单调增，所以函数的值域为；…所以实数的取值范围为．…【解析】由奇函数的定义，得，求出的值；; 函数单调性的定义，判断并证明在定义域上的单调性即可；; 考查函数的图象与性质，得出有两个零点，即关于的方程有两个互异实根，?求出满足条件的的取值范围即可．【解答】解：因为函数是定义域为上的奇函数，所以，即，…所以，即，则，得或；当时，无意义，所以；…（注：若用解得，未加以代入检验扣分）; 由知函数，该函数是定义域上的减函数；…证明：设、为区间上的任意两个值，且，则，…；…因为，所以，又因为，所以；则，，所以；所以函数是定义域上的减函数；…; （3），要使有两个零点，即关于的方程有两个互异实根，…?当时，在区间上单调减，所以函数的值域为；…‚当时，在区间上单调增，所以函数的值域为；…所以实数的取值范围为．…20. 【答案】解：当时，，所以函数的单调减区间为，增区间为．）; 因为，所以，设则，∴ （）可化为．令，其对称轴为，①当，即时，在上单调递增，所以，由得，所以；②当即时，函数在上递减，在上递增，所以．由，解得．所以．③当，即时，函数在，递减，所以，由，得，舍去．综上：．; ?当时，，由题意都有成立，可得时，，∴ ，当时，恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以恒成立．‚当时，，由题意可得，，因为，，当当时，恒成立，所以，即恒成立，所以恒成立，综上，恒成立．【解析】原函数化简为，根据二次函数的图象和性质即可得到单调区间；; 先求出的值域，原不等式可化为，构造函数，根据二次函数的性质分类讨论，求出函数的最小值，再解不等式，即可得到答案；;分别根据当或，充分利用所给的条件，根据判别式即可证明．【解答】解：当时，，所以函数的单调减区间为，增区间为．）; 因为，所以，设则，∴ （）可化为．令，其对称轴为，①当，即时，在上单调递增，所以，由得，所以；②当即时，函数在上递减，在上递增，所以．由，解得．所以．③当，即时，函数在，递减，所以，由，得，舍去．综上：．; ?当时，，由题意都有成立，可得时，，∴ ，当时，恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以恒成立．‚当时，，由题意可得，，因为，，当当时，恒成立，所以，即恒成立，所以恒成立，综上，恒成立．。
【优质文档】2018-2019学年高一(上)期末数学试卷(含答案)
18．已知向量 =（ x，﹣ 1）， =（ x﹣2 ，3）， =（ 1﹣ 2x， 6）． （ 1）若 ⊥（ 2 + ），求 | | ； （ 2）若 ? ＜ 0，求 x 的取值范围．
2
19．已知函数 f（ x）=Asinx+cosx， A＞ 0． （ 1）若 A=1，求 f （ x）的单调递增区间；
．
22. 解： Ⅰ）若 a=1，则 f（ x）=
，
函数 f （ x）的图象如下图所示：
；
（Ⅱ）若 f（ x） ≥２﹣ x 对任意 x∈[1，2] 恒成立， 即 x2﹣ 4ax+3a2≥２﹣ x 对任意 x∈[1 ，2] 恒成立， 即 x2+（ 1﹣4 a） x+（3a2﹣ 2） ≥０对任意 x∈[1 ， 2]恒成立，
（ 2）函数 f（ x）在 x=x0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．已知 f （ x）是定义在 R上的偶函数，当 x ≥０时， f（ x） =xa（ a∈R），函数 f（ x）的图象经过点（ （ 1）求函数 f （ x）的解析式； （ 2）解不等式 f （ x2）﹣ f（﹣ x2+x﹣ 1）＞ 0．
4， 2）．
3
21．已知向量 =（ sinx ，﹣ 1）， =（ cosx ， m），m∈ R．
（ 1）若 m= ，且 ∥ ，求
的值；
（ 2）已知函数 f （ x） =2（ + ） ? ﹣2m2﹣ 1，若函数 f（ x）在 [ 0， ] 上有零点，求 m 的取值范围．
22. 设函数 f （ x） =
由 y=x2+（ 1﹣ 4a） x+（ 3a2﹣ 2）的图象是开口朝上，且以直线 x=
为对称轴的抛物线，
2023-2024学年上海育才中学高一数学上学期期末质量检测卷附答案解析
2023-2024学年上海育才中学高一数学上学期期末质量检测卷（时间120分钟，满分150分）2024．1一.填空题（满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1．设全集{}07,Z U x x x =≤≤∈，{}2,4,6,7A =，则A =2．已知方程230x x +-=的两根为12,x x ，则2212x x +=3．函数()lg(1)f x x +-的定义域为.4．若角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α的值为.5．若指数函数()3xy m =-在R 上是严格减函数，则实数m 的取值范围是.6．已知3log 7a =，7log 4b=，用a 、b 表示7log 42为.7．用反证法证明“设332a b +=，求证2a b +≤”时，第一步的假设是．8．若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）9．已知函数()2()57(0)m f x m m x x =++≠是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m =．10．已知问题：“35x x a ++-≥恒成立，求实数a 的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a 的取值范围．11．已知()y f x =是定义域为()3,3-上的偶函数，且()f x 在()0,3上严格减函数，若()()232f a f a -<-成立，则实数a 的范围是12．若函数(3)(1),()20.25,xx x x af x x a -+-≤⎧=⎨->⎩有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围二、选择题（满分20分，每题5分）13．如果0a b <<，那么下列不等式中成立的是（）A ．11a b<B ．1a b <C ．2a ab >D ．22a b<14．下列函数中，值域是()0,+∞的是A ．2y x=B ．211y x =+C ．2xy =-D ．()lg 1(0)y x x =+>15．函数()2lg xf x x =的图象大致为（）A．B ．C ．D．16．设函数|1|y x =-的定义域为[,]a b ，值域为[0,3]，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，b 的值不唯一B ．当1b =时，a 的值不唯一C ．b a -的最大值为3D ．b a -的最小值为3三、解答题（满分76分）17．已知a ，b 都是正实数，求证：3322a b a b ab +≥+，并指出等号成立的条件.18．已知全集U =R ，集合203x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，()(){}210B x x a x a =---<.(1)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围；(2)命题p:x A ∈，命题q:x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.19．（1）已知3sin 5θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πtan 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（21cos 2αα-=-，求πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.20．设常数a ∈R ，函数()133x x f x a =⋅+.(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)当2a =-时，用定义证明()y f x =在[]0,1上是严格减函数.21．中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()c x （万元），当年产量不足90台时，21()602c x x x =+（万元）；当年产量不少于90台时，8100()1212180c x x x =+-（万元），若每台设备的售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)当年产量不足90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少；(2)当年产量不少于90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少？22．设集合(){M f x β=存在正实数β，使得定义域内任意x 都有()()}f x f x β+>.（1）若()22x f x x =-，证明()1f x M ∉；（2）若31()34g x x x =-+，且()a g x M ∈，求实数a 的取值范围；（3）若3()log k h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)1,x ∞∈+，k ∈R 且2()h x M ∈､求函数()y h x =的最小值.1．{}0,1,3,5【分析】直接利用补集的概念求解即可.【详解】全集{}07,Z U x x x =≤≤∈，{}2,4,6,7A =，则{}0,1,3,5A =故答案为：{}0,1,3,52．7【分析】根据题意，利用根与系数的关系，解222121212()2x x x x x x +=+-，即可求解.【详解】由方程230x x +-=的两根为12,x x ，可得0∆>，且12121,3x x x x +=-=-，则2212221212()2(1)2(3)7x x x x x x =+-=--⨯-=+.故答案为：7.3．(]1,4【分析】函数定义域满足4010x x -≥⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】函数()lg(1)f x x =-的定义域满足：4010x x -≥⎧⎨->⎩，解得14x <≤.故定义域为(]1,4.故答案为：(]1,44．45##0.8【分析】直接根据三角函数定义求解即可.【详解】解：因为角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以根据三角函数单位圆的定义得4sin 5α=故答案为：455．34m <<【分析】由指数函数单调性去判断即可解决.【详解】由指数函数()3xy m =-在R 上是严格减函数可知031m <-<，即34m <<故答案为：34m <<6．112b a ++【分析】由已知直接利用对数的运算性质以及换底公式求解.【详解】因为，3log 7a=，7log 4b=，37log 7log 31⋅=，所以，71log 3a =，771log 2log 422b==，()77771log 42log 3271log 3log 212ba =⨯⨯=++=++.故答案为：112b a ++.7．2a b +>【解析】根据反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．即可得解；【详解】解：用反证法证明“设332a b +=，求证2a b +≤”，第一步为假设结论不成立，即假设2a b +>故答案为：2a b +>【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．1.3【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解.【详解】由表格中的数据，可得函数()31f x x x =--的零点在区间(1.3125,1.3475)之间，结合题设要求，可得方程310x x --=的一个近似解为 1.3x =.故答案为：1.3.9．3-【分析】根据幂函数的定义得到2571m m ++=，求出m 值，进行检验即可.【详解】根据其为幂函数，则2571m m ++=，解得2m =-或3-，当2m =-时，221()f x xx -==，则其定义域关于原点对称，()()()21x f f x x =-=-，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示：故2m =-舍去，当3m =-时，33()1f x x x -==，则其定义域关于原点对称，()()()31f x f x x -==--，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示：故答案为：3-.10．(][),82,-∞-+∞ 【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解.【详解】根据三角不等式33x x a a++-≥+，所以35x x a ++-≥恒成立，只需35a +≥，所以35a +≤-或35a +≥解得(][),82,a ∈-∞-+∞U .故答案为：(][),82,-∞-+∞ 11．()0,1【分析】根据偶函数的性质和单调性知识解不等式即可.【详解】因为()y f x =是定义域为()3,3-上的偶函数，()()232f a f a -<-成立，所以3233323a a -<-<⎧⎨-<-<⎩，()()232f a f a -<-，则1533a -<<，又因为()f x 在()0,3上严格减函数，所以232a a ->-，平方得()()22232a a ->-，解得01a <<，所以01a <<.故答案为：()0,112．[)(,3)2,1-∞--【分析】把函数(3)(1)y x x =-+-，20.25xy =-的图象画在同一直角坐标系中，直线x a =在平移过程中，可得到函数()f x 与x 轴的不同交点个数，从而即可求解.【详解】解：把函数(3)(1)y x x =-+-，124x y =-的图象画在同一直角坐标系中，如图所示：直线x a =在平移过程中，可得到函数()f x 图象与x 轴的不同交点个数，当[)(,3)2,1a ∈-∞-- 时，函数(3)(1),()20.25,xx x x a f x x a -+-≤⎧=⎨->⎩与x 轴有且只有一个交点，所以实数a 的取值范围是[)(,3)2,1-∞-- ，故答案为：[)(,3)2,1-∞-- ．13．C【分析】作差即可判断A 、B 项；根据不等式的性质可判断C 、D 项.【详解】对于A 项，11b a a b ab --=，因为0a b <<，所以0ab >，0b a ->，所以110->a b ，所以11a b >，故A 项错误；对于B ，1a a b b b --=，因为0a b <<，所以0a b -<，所以10a b ->，所以1>a b ，故B 项错误；对于C 项，因为0a b <<，根据不等式的性质可得2a ab >，故C 项正确；对于D 项，因为0a b <<，所以0a b ->->，根据不等式的性质可得()()22a b ->-，即22a b >，故D 项错误.故选：C.14．D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥ ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+，211y x ∴=+的值域为(]0,1；对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x > ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选D ．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．15．D【分析】先判断函数的奇偶性，排除A,B ，再利用特殊值(1)0f =，根据(0,1)之间函数值正负的不同，取110x =，即可得到函数值，判断出结果.【详解】()2lg x f x x =，那么()()()22lg lg x x f x f x x x --===-，那么函数为偶函数，故排除A,B ，当1x =时，(1)0f =，取110x =，那么21lg11101000110110010f -⎛⎫===-< ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,那么排除C.故选：D 16．D【分析】代入0a =，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b 的值唯一，则A 项错误；代入1b =，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a 的值唯一，则B 项错误；分1a ≥、1b ≤、1a b <<三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出b a -的范围，即可判断C 、D 项.【详解】对于A 项，当0a =时，显然1b >，则1,0111,1x x y x x x b -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩.函数在[]0,1上的值域为[]0,1，在(]1,b 上的值域为(]0,1b -，又函数在[,]a b 上的值域为[0,3]，所以13b -=，4b =，故A 项错误；对于B 项，当1b =时，函数|1|1y x x =-=-，则此时函数的值域为[]0,1a -，由已知可得13a -=，所以2a =-，故B 错误；对于C 、D 项，①当1a ≥时，函数|1|1y x x =-=-，此时函数的值域为[]1,1a b --，由已知可得1013a b -=⎧⎨-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩，所以3b a -=；②当1b ≤时，函数|1|1y x x =-=-，则此时函数的值域为[]1,1b a --，由已知可得1013b a -=⎧⎨-=⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩，所以3b a -=；③当1a b <<时，1,111,1x a x y x x x b -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩.此时函数在[],1a 上的值域为[]0,1a -，在(]1,b 上的值域为(]0,1b -.由已知可得，01313b a <-≤⎧⎨-=⎩或13013b a -=⎧⎨<-≤⎩.当01313b a <-≤⎧⎨-=⎩时，即142b a <≤⎧⎨=-⎩，此时有36b a <-≤；当13013b a -=⎧⎨<-≤⎩时，即421b a =⎧⎨-≤<⎩，则12a -<-≤，此时有36b a <-≤.综上所述，36b a ≤-≤.故C 项错误，D 项正确.故选：D.17．证明见解析【分析】利用作差法证明即可.【详解】证明：()()()332222()a b a b ab a b a ab b ab a b +-+=+-+-+()()2a b a b =-+≥所以3322a b ab a b +≥+，且等号当且仅当a b =时成立18．(1)[][)1,13,-+∞(2)(,2⎤-∞⋃⎦【分析】（1）根据一元二次不等式解法化简两个集合，结合交集概念求解答案；（2）将必要条件转化为集合包含关系，进而直接列式求解.【详解】（1）由203x x -<-，得()()23030x x x ⎧--<⎨-≠⎩，则23x <<，即()202,33x A x x ⎧⎫-=<=⎨⎬-⎩⎭，比较21,a a +的大小，由22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，则21a a +>，所以()(){}()2210,1B x x a x a a a =---<=+，因为A B ⋂=∅，所以212a +≤或3a ≥，所以11a -≤≤或3a ≥，即实数a 的取值范围为[][)1,13,-+∞ （2）因为命题p:x A ∈，命题q:x B ∈，若q 是p 的必要条件，所以A B ⊆，所以2213a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得a ≤2a ≤≤，即实数a的取值范围为(,2⎤-∞⋃⎦19．（1）17-；（2）1516【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得3tan 4θ=，结合两角差的正切公式，即可求解；（2）根据题意，利用两角差的正弦公式，求得π1sin()64α-=-，结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】（1）因为3sin 5θ=且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5θ==，则3tan 4θ=，又由π3tan tan1π144tan π3471tan tan 144θθθ--⎛⎫-==- ⎪⎝⎭++.（231π1cos 2(sin cos )2sin()2262ααααα-=⋅-=-=-，可得π1sin()64α-=-，又由22πππ115cos 2cos 21sin 1366416ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.20．(1)1a =-(2)证明见解析【分析】（1）利用奇函数的定义，即()()f x f x -=-恒成立，求a 的值；（2）利用作差法直接证明即可．【详解】（1）由题意知：函数()f x 的定义域为R ，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即113(3)33xx x x a a --⋅+=-⋅+，即13(3)33x x x x aa +=-⋅+，整理可得：(1)(91)0x a ++=，10a ∴+=，1a =-（2）证明：由已知得1()233x x f x =-⨯+，任取1201x x ≤<≤①，则12()()f x f x -()()212112121112333323333x x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，3x y = 是增函数，∴21330x x >>，即21330x x ->，12()()0f x f x ∴->，12()()f x f x ∴>，即()f x 在[0,1]上是严格单调减函数．21．(1)生产60台时，获利最大，最大值为1300万元；(2)生产90台时，获利最大，最大值为1500万元.【分析】（1）表达出获利为()201621300w x -+-=，090x <<，求出最值；（2）表达出获利为81001680y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最值.【详解】（1）设当年产量不足90台时，该企业在这一电子设备的生产中获利为w ，则()2201162601205020500w x x x x x x =-+=----()201601023x =-+-，090x <<，故当60x =时，w 取得最大值，故当生产60台时，获利最大，最大值为1300万元；（2）设当年产量不少于90台时，该企业在这一电子设备的生产中获利为y ，则8100810012121801680120500y x x x x x ⎛⎫-+=-++ ⎭=--⎝16801500≤-=，90x ≥，当且仅当8100x x =，即90x =时，y 取得最大值，最大值为1500，故当生产90台时，获利最大，最大值为1500万元.22．（1）证明见解析；（2）1a >；（3）(3min3log (1),11()log ,13k k h x k +-<<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩.【解析】（1）利用()()101f f ==判断()f x M ∉．（2）()()0f x a f x +->，化简，通过判别式小于0，求出a 的范围即可．（3）由()()0f x a f x +->，推出()()()332log 2log 02k k h x h x x x x x ⎡⎤⎛⎫+-=++-+> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，得到202k k x x x x ++>+>+对任意[)1,x ∞∈+都成立，然后分离变量，通过当10k -≤<时，当01k <<时，分别求解最小值即可．【详解】（1）()()10f f = ，()1f x M ∴∉．（2）由()()()()33223111330444g x a g x x a x x a x ax a x a a +-=+--++=++->43191204a a a ⎛⎫∴∆=--< ⎪⎝⎭，故1a >；（3）由()()()332log 2log 02k k h x h x x x x x ⎡⎤⎛⎫+-=++-+> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，即()33log 2log 2k k x x x x ⎡⎤⎛⎫++>+ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭202k k x x x x ∴++>+>+对任意[)1,x ∞∈+都成立()232131k k x x k k k x <⎧<+⎧∴⇒⇒-<<⎨⎨>->-⎩⎩当10k -≤<时，()()()3min 1log 1h x h k ==+；当01k <<时，()()()3min 1log 1h x h k ==+；当13k ≤<时，()(3min log h x h ==．综上：()()(3min3log 1,11log ,13k k h x k ⎧+-<<⎪=⎨≤<⎪⎩【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，重点是理解新定义M β的意义，本题第三问的关键是代入定义后转化为不等式恒成立问题，利用参变分离后求k 的取值范围，再根据[)3()log ,1,,k h x x x k Rx ⎛⎫=+∈+∞∈ ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，讨论k 的取值，求得()h x 的最小值.。
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(答案+解析)7
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．56．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为πC．f（x）图象关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间[，]上是增函数9．（5分）函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．（5分）已知函数的图象过点，若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．1611．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定二、填空题13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为．14．（5分）=．15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知tanα=2．（1）求的值；（2）求．18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．19．（12分）已知函数的最大值为3．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y= g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cos x的图象经如下变换得到：现将g （x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，①求实数m的取值范围．②证明：cos（α﹣β）=﹣1．22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；（Ⅱ）若=2，求的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】∵θ是锐角，∴0°＜θ＜90°∴0°＜2θ＜180°，∴2θ是小于180°的正角．故选C.2．A【解析】点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，所以Q（cos，sin），即Q点的坐标为：（﹣，）．故选：A．3．C【解析】2018°=5×360°+218°，为第三象限角，∴sin2018°=sin218°＜0，cos2018°=cos218°＜0，∴A在第三象限，故选：C．4．A【解析】=（）+3（）=+5，又=，所以，则与共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．故选A．5．B【解析】∵扇形圆心角1弧度，所以扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=r，故扇形周长C=l+2r=3r=6cm，∴r=2cm扇形面积S=π•r2•=2cm2．故选：B．6．D【解析】由题意可得，=∴==﹣故选D.7．B【解析】∵sin（+θ）=，∴（sinθ+cosθ）=，∴两边平方，可得：（1+sin2θ）=，解得：sin2θ=﹣，故选：B．8．D【解析】A．由于f（﹣x）=|sin（﹣2x+）|=|sin（2x﹣）|≠f（x），故A错；B．由于f（x+）=|sin[2（x）+]|=|sin（2x++π）|=|sin（2x+）|=f（x），故f（x）最小正周期为，故B错；C．函数f（x）=|sin（2x+）|的图象可看作由函数f（x）=|sin2x|的图象平移可得，而函数f（x）=|sin2x|的图象无对称中心，如图，故C错；D．由于函数f（x）=|sin2x|的增区间是[]，k∈Z，故函数f（x）的增区间为[]，k∈Z，k=1时即为[，]，故D正确．故选D．9．A【解析】由已知中函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x，解得a=﹣，故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A.10．C【解析】函数的图象过点，∴f（0）=sinφ=，∴φ=，∴f（x）=sin（ωx+）；又对x∈R恒成立，∴ω•+=2kπ+，k∈Z，即ω=24k+4，k∈Z，∴ω的最小值为4．故选：C．11．A【解析】∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α=＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β=，故选：A．12．C【解析】令f（t）=|t|2=t2+2t•+2，∴△=4（•）2﹣4•≤0恒成立，当且仅当t=﹣=﹣cosθ时，f（t）取得最小值1，∴（﹣cosθ）2•+2（﹣cosθ）••+2=1，化简sin2θ=1．∴θ确定，则||唯一确定，故选：C.二、填空题13．﹣1【解析】∵，∴即∴1+λ=0∴λ=﹣1故答案为﹣114．【解析】原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：.15．【解析】∵sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）=sin[2π﹣（x+）]﹣cos2（x+）﹣π]=﹣sin（x+）+cos2（x+）=﹣sin（x+）+1﹣2=﹣+1﹣=，故答案为：．16．[﹣1，+1]【解析】∵•=1，∴×cos＜＞=1，∴cos＜＞=．∴的夹角为．设，=（，），设=．则==（，），∴||=，∵|+|=1，∴|+﹣|=1，即|﹣|=||=1．∴C在以D为圆心，以1为半径的圆上，∴||的最小值为，||的最大值是+1．故答案为[﹣1，+1]．三、解答题17．解：（1）∵tanα=2，∴==；（2）===﹣．18．解：（1）∵||=3，||=4，的夹角为，∴=||•||•cos=3×4×=6，∴2=||2+||2﹣2•=9+16﹣2×6=13，∴2=，（2）设=（x，y），则x2+y2=9①，由，∴2x=y，②，由①②解得，，或，故的坐标为，.19．解：（1）∵=sin x cos﹣cos x sin+sin x cos+cos x sin+cos x+a=2sin x cos+cos x+a==．∴f（x）max=2+a=3，即a=1；（2）由f（x）＞0，得，即．∴，k∈Z．则，k∈Z．∴f（x）＞0成立的x的取值集合为{x|，k∈Z}．20．解：（Ⅰ）已知：，，则：=m sin2x+n cos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z），则：单调递增区间为：[]（k∈Z），故答案为：（Ⅰ）m=，n=1，（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）.21．（1）解：将g（x）=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cos x的图象，再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sin x，从而函数f（x）=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+（k∈Z）．（2）①解：f（x）+g（x）=2sin x+cos x=（sin x+cos x）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）依题意，sin（x+φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．②证明：因为α，β是方程sin（x+φ）=m在区间[0，2π）内的两个不同的解，所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=﹣1．22．解：（Ⅰ）α=时，=（λ+2，λ2﹣），=（m，+），由于⊥，则=0，即有（λ+2）m+（）（）=0，即有+mλ+=0对一切λ∈R均有解，当m=﹣时，λ=﹣2成立，当m时，△=m2﹣4××≥0，≤m≤，且m，综上，可得，m的取值范围是[，]；（Ⅱ）=2，则λ+2=2m且=m+2sinαcosα，消去λ，得（2m﹣2）2﹣m=sin2，即有4m2﹣9m+4=2sin（2）∈[﹣2，2]，由﹣2≤4m2﹣9m+4≤2，解得，，则==2﹣∈[﹣6，1]．则有的取值范围是[﹣6，1]．。
上海市2018-2019学年上海中学东校区高一上期末数学期末试卷(解析版)
4. 设函数������(������) = ������ ‒ 1，������ ∈ [������,������ + 1)，������ ∈ ������，函数������(������) = ������������������2������，则方程
∴
������
=
1
3，
∴
������
+
������
=
1
3．
1
故答案为3
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，������( ‒ ������) = ������(������)，且定义域关于原点对称， ������ ‒ 1 =‒ 2������． 本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，������( ‒ ������) = ������(������)；奇函数和偶函数的
由此下区 x 的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了，
即有 3 个根．
故选：C． 此题考查的是根的存在性与根的个数判断问题.在解答的过程当中可以通过画图观察解
决，也可以通过对自然数 n 逐一取值进行验证获得解答． 此题考查的是根的存在性与根的个数判断问题.在解答的过程当中充分体现了数形结合 的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会反思．
6. 若������������������2(������ + 1) = 3，则������ = ______． 【答案】7 【解析】解：������������������2(������ + 1) = 3，可得������ + 1 = 8，解得������ = 7． 故答案为：7．
2018-2019标准试卷(含答案)高一(上)期末数学试卷 (12)
2018-2019标准试卷（含答案）高一（上）期末数学试卷 (12) 一．选择题（共12道，每题5分，共计60分）1. 若，，，则A. B. C. D.2. 已知向量，则等于（）A. B. C. D.3. 已知，则等于（）A. B. C. D.4. 函数的值域是（）A. B. C. D.5. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的函数是（）A. B. C. D.6. 已知角与角的终边相同，那么的终边不可能落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 若幂函数在上是增函数，则（）A. B. C. D.不能确定8. 在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形．上述命题正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②③④9. 下列各式中，值为的是（）A. B.C. D.10. 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A. B. C. D.11. 已知是偶函数，它在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，的地方种草，的内接正方形为一水池，其余地方种花，（为定值），，的面积为，正方形的面积为，当取得最小值时，角的值为（）A. B. C. D.二、填空题（共4道，每题5分，共计20分）1. 的值为________．2. 已知，则________．3. 函数的定义域是________．4. 下列命题中，正确的是________（1）若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；（2）已知，其中，则；（3）函数与函数是同一函数；（4）•．三、解答题（第17题10分，第18题至第22题每题12分，共计70分）1. 已知．（1）化简；（2）若 是第三象限角，且，求 的值．2. 已知，，与的夹角是 ． 计算：当 为何值时，？3. 已知函数（1）在给定直角坐标系内直接画出 的草图（不用列表描点），并由图象写出函数 的单调减区间；（2）当 为何值时 有三个不同的零点．4. 已知， ， （1）求的值；（2）当 时，求 的最值．5. 已知坐标平面上三点 ， ， ． （1）若（ 为原点），求向量与夹角的大小；（2）若，求 的值．6. 已知角 的顶点在原点，始边与 轴的正半轴重合，终边经过点 ．若函数 的图象关于直线对称，其中 为常数，且．（1）求 的表达式及其最小正周期；（2）若将 图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到 的图象，设函数 对任意 ，有，且当时，，求函数 在 上的解析式．（3）设（2）中所求得函数 ，可使不等式 对任意恒成立，求实数 的取值范围．参考答案与试题解析2016-2017学年新疆兵团二师华山中学高一（上）期末数学试卷一．选择题（共12道，每题5分，共计60分）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用两个集合的并集的定义求出，再利用集合的补集的定义求出．2.【答案】B【考点】平面向量的简单坐标运算【解析】利用向量的数乘运算法则和向量的减法运算法则求出向量的坐标．3.【答案】A【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】利用诱导公式即可求得答案．4.【答案】B【考点】指数函数的图像与性质【解析】根据指数函数的性质求出函数的单调性，求出函数的值域即可．5.【答案】A【考点】函数的零点函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．6.【答案】C 【考点】终边相同的角象限角、轴线角【解析】首先利用终边相同角的表示方法，写出的表达式，再写出的表达式，由此判断终边位置．7.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的单调性即可得出．8.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算零向量向量加减混合运算及其几何意义【解析】利用向量的运算法则；锐角三角形需要三个角全为锐角．9.【答案】D【考点】二倍角的正切公式同角三角函数基本关系的运用二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】，选项通过二倍角公式求得结果均不为，项代入也不得．10.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数图象可求周期，里周期公式可求，根据时，，代入验证，即可得解．11.【答案】C【考点】函数单调性的性质偶函数【解析】利用偶函数的性质，，在上是减函数，在上单调递增，列出不等式，解出的取值范围．12.【答案】B【考点】三角形的面积公式导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】据题知三角形为直角三角形，根据三角函数分别求出和，求出三角形的面积；设正方形的边长为，利用三角函数分别表示出和，利用列出方程求出，算出；由比值，可设来化简求出与的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的．二、填空题（共4道，每题5分，共计20分）1.【答案】【考点】两角和与差的正弦公式【解析】把变为，然后利用两角和的正弦函数公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．2.【答案】【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．3.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数成立的条件建立条件关系即可得到结论．4.【答案】（2）（4）．【考点】命题的真假判断与应用【解析】（1）当时，则与不一定是共线向量；（2）由，可得．利用数量积和平方关系，可得；（3）利用倍角公式可得：函数，其中，．对于函数，再求出其定义域，比较即可得出．（4）利用商数关系、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、诱导公式即可得出．三、解答题（第17题10分，第18题至第22题每题12分，共计70分）1.【答案】解：（1）．（2）由是第三象限角，且，可得，即，∴，故．【考点】运用诱导公式化简求值【解析】（1）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．（2）利用诱导公式求得，再利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值．2.【答案】解：由已知得，．①∵，∴．∵，∴，∴，即．∴．即时，．【考点】平面向量数量积的运算【解析】利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．………○…………线……________………○…………线…… 利用向量垂直的充要条件列出方程求出 的值． 3.【答案】 解：（1）作出 的图象．如右图所示…．由图象可知该函数的单调减区间为 ， …（2）作出直线 ， 有三个不同的零点等价于函数 和函数 的图象恰有三个不同的交点…由 的图象可知， … ∴ … 【考点】分段函数的应用 【解析】（1）根据函数解析式得到函数的图象，根据图象分别找到图象上升和下降的部分，即可得到单调区间； （2）作出直线 ， 有三个不同的零点等价于函数 和函数 的图象恰有三个不同的交点． 4.【答案】解：（1）∵， ∴； （2）∵时， ∴， ∴，∴ ， ∴ x ． 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，代入计算，即可求的值；（2）当 时，，利用正弦函数的性质，即可求 的最值． 5. 【答案】解：（1）∵，， ∴ ， ∴ ．又 ， ，设 与的夹角为 ，则： ，∴ 与的夹角为 或．（2）解：∵ ，， 由，∴， 可得，①∴，∴，【考点】二倍角的正弦公式数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】（1）首先根据，求出 ，再根据向量的积求出夹角即可．（2）先表示出向量 和 ，然后根据向量垂直的条件得出，，从而求出，然后得出它的平方，进而求得 ． 6.【答案】解：（1）依题意知，，，∴，又 的图象关于直线对称， ∴ ，即，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，；（2）将图象上各点的横坐标变为原来的，得到的图象，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到，∵函数对任意，有，∴是以为周期的函数，又当时，，∴当时，，；当时，，，∴；（3）令，则为增函数，∴当时， x，∴不等式对任意恒成立 x恒成立，∴．∵当时，，由知，，，即时，，令，则，∴转化为：（）恒成立；令（），则在区间上单调递增，∴．∴实数的取值范围为．【考点】三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）依题意，可求得，的图象关于直线对称，而，可求得，从而可得的表达式及其最小正周期；（2）利用函数的图象变换可求得，易知是以为周期的函数，从而由当时，，即可求得函数在上的解析式；（3）令，不等式对任意恒成立 x 恒成立，转化为（）恒成立，从而可求得实数的取值范围．。
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷(答案+解析)
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题1．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣2．（5分）用二分法研究函数f（x）=x3﹣2x﹣1的理念时，若零点所在的初始区间为（1，2），则下一个有解区间为（）A．（1，2）B．（1.75，2）C．（1.5，2）D．（1，1.5）3．（5分）已知x0是函数f（x）=ln x﹣6+2x的零点，则下列四个数中最小的是（）A．ln x 0B．C．ln（ln x0）D．4．（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．25．（5分）集合{α|kπ+≤α≤kπ+，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A．B．C．D．6．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．7．（5分）若sinα＞0且tanα＜0，则的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第一象限或第三象限D．第三象限或第四象限8．（5分）若函数y=a x﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，+∞）D．∅9．（5分）若，化简=（）A．sinθ﹣cosθB．sinθ+cosθC．cosθ+sinθD．cosθ﹣sinθ10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．11．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b 有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）二、填空题13．（5分）工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为60°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm．则制作这样一面扇面需要的布料为cm2．14．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象在R上连续不断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是．15．（5分）=．16．（5分）f（x）=有零点，则实数m的取值范围是．三、解答题17．（10分）计算：sin+tan（）.18．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求tan（3π﹣α）的值．19．（12分）计算：已知角α终边上的一点P（7m，﹣3m）（m≠0）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求2+sinαcosα﹣cos2α的值．20．（12分）共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0）．（1）若a=﹣1，求函数的零点；（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．22．（12分）已知函数为奇函数．（1）求常数k的值；（2）设，证明函数y=h（x）在（2，+∞）上是减函数；（3）若函数g（x）=f（x）+2x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵tan60°=m，则cos120゜====，故选：B．2．C【解析】设函数f（x）=x3﹣2x﹣1，∵f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（1.5）=﹣＜0，∴下一个有根区间是（1.5，2），故选：C．3．C【解析】f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴x0是f（x）的唯一零点，∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（e）=﹣5+2e＞0，∴2＜x0＜e．∴ln x 0＞ln＞ln=ln2＞0，∵ln x0＜lne=1，∴ln（ln x0）＜0，又（ln x0）2＞0，∴ln（ln x0）最小．故选：C．4．B【解析】∵函数的零点为1，即解得a=﹣，故选B．5．C【解析】当k取偶数时，比如k=0时，+≤α≤+，故角的终边在第一象限．当k取奇数时，比如k=1时，+≤α≤+，故角的终边在第三象限．综上，角的终边在第一、或第三象限，故选C．6．B【解析】∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B.7．C【解答】解；∵sinα＞0且tanα＜0，∴α位于第二象限．∴+2kπ＜α＜2kπ+π，k∈Z，则+kπ＜＜kπ+k∈Z，当k为奇数时它是第三象限，当k为偶数时它是第一象限的角∴角的终边在第一象限或第三象限，故选：C．8．A【解析】①当0＜a＜1时，易知函数y=a x﹣x﹣a是减函数，故最多有一个零点，故不成立；②当a＞1时，y′=ln a•a x﹣1，故当a x＜时，y′＜0；当a x＞时，y′＞0；故y=a x﹣x﹣a在R上先减后增，且当x→﹣∞时，y→+∞，当x→+∞时，y→+∞，且当x=0时，y=1﹣0﹣a＜0；故函数y=a x﹣x﹣a有两个零点；故成立；故选A．9．D【解析】∵，∴sinθ＜cosθ．∴== =cosθ﹣sinθ．故选：D．10．D【解析】f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sin x，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sin x=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D.11．C【解析】∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴α＞﹣β，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选C．12．C【解析】∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．故选C．二、填空题13．450π【解析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为××60×60﹣××30×30=450π．故答案为：450π．14．（0，1）【解析】设h（x）=f（x）﹣g（x），则∵h（0）=f（0）﹣g（0）=﹣0.44＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=0.532＞0，∴h（x）的零点在区间（0，1），故答案为：（0，1）.15．﹣1【解析】===﹣1，故答案为：﹣1．16．（﹣1，1）【解析】函数f（x）=有零点，可得函数y==的图象和直线y=m有交点，如图所示：数形结合可得﹣1＜m＜1，∴实数m的取值范围是（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．三、解答题17．解：sin+tan（）==．18．解：（1）f（α）==；（2）由，得，又α为第三象限角，∴，∴．19．解：依题意有；（1）原式==；（2）原式=2+=2+=2﹣=. 20．解：（1）依题设，总成本为20000+100x，则；（2）当0≤x≤400时，，则当x=300时，y max=25000；当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，则y＜60000﹣100×400=20000，∴当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．21．解：（1）若a=﹣1，则f（x）=﹣x2+2x﹣1，由f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，得x2﹣2x+1=0，解得x=1，∴当a=﹣1时，函数f（x）的零点是1．（2）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a，且a≤0，①当a=0时，f（x）=2x﹣2，由2x﹣2=0，得x=1，且1∈（0，1]，∴当a=0时，函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．②当a≠0时，由f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=0易得f（1）=0，∴f（x）=0必有一个零点1∈（0，1]，设另一个零点为x0，则，即，∵函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．从而x0≤0，或x0≥1，，解得a≤﹣2或﹣1≤a＜0，综合①②得，a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0]．22．解：（1）∵f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，∴4﹣k2x2=4﹣x2，整理得k2=1．∴k=﹣1（k=1使f（x）无意义而舍去）．（2）由（1）k=﹣1，故h（x）=，设a＞b＞2，∴h（a）﹣h（b）=﹣=∵a＞b＞2时，b﹣a＜0，a﹣2＞0，b﹣2＞0，∴h（a）﹣h（b）＜0，∴h（x）在（2，+∞）递减，（3）由（2）知，f（x）在（2，+∞）递增，∴g（x）=f（x）+2x+m在[3，4]递增．∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，∴g（3）＞0或g（4）＜0，∴m＞log35+8或m＜﹣15．。
2018-2019学年高一上期末数学试卷(答案+解析)2
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|3．（5分）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）A．f（x）=ln x B．C．f（x）=|x| D．f（x）=e x4．（5分）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=ae nt，假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有升，则m的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）函数y=cos2x+8cos x﹣1的最小值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣8 D．﹣107．（5分）函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图，则函数y=f（x）•g（x）的图象为（）A．B．C．D．8．（5分）将函数y=sin x的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin（x﹣）的图象，则φ等于（）A．B． C． D．9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2009）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（5分）已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．B．C．D．11．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B． C．4 D．1212．（5分）设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）求值sin60°•cos160°（tan340°+）=．14．（5分）若函数y=x2﹣8x在区间（a，10）上为单调函数，则a的取值范围为．15．（5分）已知点A（0，0），B（6，﹣4），N是线段AB上的一点，且3AN=2AB，则N点的坐标是．16．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②函数f（x）=2x（x∈R）是单函数，③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是（写出所有真命题的编号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）如图，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，3），（1）若∥，试求x与y之间的表达式；（2）若⊥，且，求x，y的值．18．（12分）函数f1（x）=lg（﹣x﹣1）的定义域与函数f2（x）=lg（x﹣3）的定义域的并集为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2，a∈R）的值域为集合B.（1）求集合A，B（2）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．19．（12分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）．（1）求sin2α﹣tanα的值；（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数y=f（﹣2x）﹣2f2（x）在区间[0，]上的取值范围．20．（12分）设f（x）=mx2+3（m﹣4）x﹣9（m∈R），（1）试判断函数f（x）零点的个数；（2）若满足f（1﹣x）=f（1+x），求m的值；（3）若m=1时，存在x∈[0，2]使得f（x）﹣a＞0（a∈R）成立，求a的取值范围．21．（12分）已知O为坐标原点，=（2sin2x，1），=（1，﹣2sin x cos x+1），f（x）=•+m（m∈R），（1）若f（x）的定义域为[﹣，π]，求y=f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）的定义域为[，π]，值域为[2，5]，求m的值．22．（10分）（1）计算：log2.56.25+lg+ln+2（2）已知x+x﹣1=3，求x2﹣x﹣2．【参考答案】一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．D【解析】由{0，1}∪A={0，1}易知：集合A⊆{0，1}而集合{0，1}的子集个数为22=4故选D.2．B【解析】逐一考查所给的选项：A．y=x3是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；B．y=|x|+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；C．y=﹣x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意；D．y=2﹣|x|是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意．故选B．3．A【解析】函数的定义域是{x|x＞0}，对于A：定义域是{x|x＞0}，对于B：定义域是{x|x≠0}，对于C：定义域是R，对于A：定义域是R，故选A．4．D【解析】==2tanα=6，故选D.5．D【解析】令a=a e nt，即=e nt，∵=e5n，∴=e15n，比较知t=15，m=15﹣5=10．故选D．6．C【解析】函数y=cos2x+8cos x﹣1=2cos2x+8cos x﹣2=2（cos x+2）2﹣10，因为cos x∈[﹣1，1]，所以cos x=﹣1时，函数取得最小值：﹣8．故选C．7．A【解析】由图象可知，y=f（x）为偶函数，其定义域为R，y=g（x）为奇函数，其定义域为{x|x≠0}∴f（﹣x）•g（x）=﹣f（x）•g（x），∴y=f（x）•g（x）为奇函数，且定义域为{x|x≠0}∴f（x）•g（x）的图象关于原点对称，故选A．8．D【解析】将函数y=sin x向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位得到函数y=sin（x+φ）．根据诱导公式知当φ=π时有：y=sin（x+π）=sin（x﹣）．故选D．9．C【解析】∵当x＞3时满足f（x）=﹣f（x﹣3）=f（x﹣6），周期为6，∴f（2009）=f（334×6+5）=f（5）=f（﹣1）当x≤0时f（x）=1﹣x）∴f（﹣1）=1∴f（2009）=f（﹣1）=log22=1故选C．10．C【解析】∵，∴，∴．故选C.11．B【解析】由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选B．12．A【解析】分别作出四个函数y=，y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况．由图象知：∴a＜b＜c．故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．1【解析】原式=sin320°（tan340°+）=﹣sin40°（﹣tan20°﹣）=sin40°（tan20°+）=•=1．故答案为1．14．[4，10）【解析】函数y=x2﹣8x的对称轴为：x=4，由函数y=x2﹣8x在区间（a，10）上为单调函数，可得：4≤a，即a∈[4，10）．故答案为[4，10）．15．（4，﹣）【解析】设N的坐标为：（x、y），∵点A（0，0），B（6，﹣4），∴=（x，y），=（6，﹣4），∵3AN=2AB，∴3（x，y）=2（6，﹣4），∴，解得x=4，y=﹣，故答案为（4，﹣）16．②③④【解析】∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数，∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，且x1≠x2，若f（x1）=f（x2），则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；④同②；故答案为②③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，3）∴=﹣（）=﹣（4+x，4+y）=（﹣4﹣x，﹣4﹣y），∵∥，∴，解得x=y．（2）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，3），∴=（6+x，1+y），=（x﹣2，y+3），=﹣（）=﹣（4+x，4+y）=（﹣4﹣x，﹣4﹣y），⊥，且，∴，解得x=y=．18．解：（1）由题意可得M={x|﹣x﹣1＞0}={x|x＜﹣1}，N={x|x﹣3＞0}={x|x＞3}，∴A=N∪M={x|x＜﹣1，或x＞3}．由于x≤2，可得2x∈（0，4]，故函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为B=（﹣a，4﹣a]．（2）若函数A∩B=B，则B⊆A，∴B=∅，或B≠∅．当B=∅时，﹣a≥4﹣a，a无解．当B≠∅，则有4﹣a＜﹣1，或﹣a≥3，求得a＞5，或a≤﹣3，综合可得，a＞5或a≤﹣3．19．解：（1）∵角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，），∴x=﹣3，y=，r=|OP|==2，∴sinα==，cosα==﹣，tanα==﹣，∴sin2α﹣tanα=2sinαcosα﹣tanα=﹣+=﹣．（2）函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cos[（x﹣α）+α]=cos x，∴函数y=f（﹣2x）﹣2f2（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=2（sin2x﹣cos2x）﹣1=2sin（2x﹣）﹣1，在区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣或时，函数y取得最小值为﹣2；当2x﹣=时，函数y取得最大值为1，故函数y在区间[0，]上的取值范围为[﹣2，1]．20．解：（1）①当m=0时，f（x）=﹣12x﹣9为一次函数，有唯一零点；②当m≠0时，由△=9（m﹣4）2+36m=9（m﹣2）2+108＞0故f（x）必有两个零点；（2）由条件可得f（x）的图象关于直线x=1对称，∴﹣=1，且m≠0，解得：m=；（3）依题原命题等价于f（x）﹣a＞0有解，即f（x）＞a有解，∴a＜f（x）max，∵f（x）在[0，2]上递减，∴f（x）max=f（0）=﹣9，故a的取值范围为a＜﹣9．21．解：（1）=（2sin2x，1），=（1，﹣2sin x cos x+1），f（x）=•+m=2sin2x﹣2sin x cos x+1+m=2+m﹣cos2x﹣sin2x=2+m﹣2sin（2x+），由+2kπ≤2x+≤2kπ+（k∈Z），即为+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，得y=f（x）在R上的单调递增区间为[+kπ，kπ+]，k∈Z，又f（x）的定义域为[﹣，π]，∴y=f（x）的增区间为：[﹣，﹣]，[，]．（2）当≤x≤π时，≤，∴﹣1≤sin（2x+）≤，即有1+m≤2+m﹣2sin（2x+）≤4+m，∴1+m≤f（x）≤4+m，由题意可得，解得m=1．22．解：（1）log2.56.25+lg+ln+2=2+0﹣2++6=．（2）x+x﹣1=3，可得：x2+x﹣2+2=9，x2+x﹣2﹣2=5，x﹣x﹣1=，x2﹣x﹣2=（x+x﹣1）（x﹣x﹣1）=.。
2018-2019标准试卷(含答案)高一(上)期末数学试卷 (2)
2018-2019标准试卷（含答案）高一（上）期末数学试卷 (2)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若角的终边上有一点，则的值是________．2. 若的最小正周期是，其中，则的值是________．3. 化简：________．4. 已知向量，，则与的夹角的大小为________．5. 已知，那么角是第________象限角．6. 已知向量，，若，则________．7. ________．8. 把函数的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为________．9. 函数在区间上有个零点，则实数的取值范围________．10. 已知函数，满足，则________．11. 在中，有命题：①；②；③若•，则为等腰三角形；④若为直角三角形，则．上述命题正确的是________（填序号）．12. 已知函数，则函数的定义域是________．13. 已知，，与的夹角为，要使与垂直，则________．14. 在中，，是边上任意一点（与、不重合），且，则等于________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知向量，，且．求的值；求的值．16. 已知，，当为何值时：（1）与垂直；（2）与平行，平行时它们是同向还是反向？17. 已知函数的图象如图所示，求出函数的解析式；若将函数的图象向右移动个单位得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心．18. 已知，，且．求的值；若，且，求的值．19. 某休闲农庄有一块长方形鱼塘，米，米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊、和，考虑到整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且．设，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；经核算，三条走廊每米建设费用均为元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．20. 如图，已知扇形周长，面积为，且．求的大小；如图所示，当点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中、，求的最大值与最小值的和；若点、在以为圆心的圆上，且．问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值．答案1. 【答案】【解析】利用任意角的三角函数的定义，求出它的正切值，即可得到的值．【解答】解：由题意可知：，所以故答案为：2. 【答案】【解析】根据三角函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：∵的最小正周期是，∴，解得，故答案为：3. 【答案】【解析】利用两角和的正弦函数公式的逆应用，即可得到特殊角的三角函数值即可．【解答】解：；故答案为：．4. 【答案】【解析】运用向量的数量积的坐标表示，以及向量的夹角公式，由夹角的范围计算即可得到．【解答】解：由向量，，可得，，，则，，由，，可得与的夹角的大小为．故答案为：．5. 【答案】第三或第四【解析】本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角函数值判断角所在的象限．根据，结合同角三角函数关系运算，及三角函数在各象限中的符号，我们不难得到结论．【解答】解∵且∴角是第三或第四象限角故答案为：第三或第四6. 【答案】【解析】运用向量的平方即为模的平方的性质，可得，再由向量的或塑料件的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：若，则，即有，即为，由向量，，则，解得．故答案为：．7. 【答案】【解析】先利用两角和的正切公式求得．【解答】解：∵．故答案为：．8. 【答案】【解析】根据的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为：．故答案为：．9. 【答案】【解析】函数在区间上有个零点可转化为函数与有两个不同的交点，作图象求解．【解答】解：作函数在区间上的图象如下，从而可得，；即；故答案为：．10. 【答案】【解析】根据解析式得出，求解即可．【解答】解：∵ ，∴∵，∴，故答案为：11. 【答案】②③【解析】在中，有命题：①，即可判断出正误；②由向量的加法可知：，正确；③由•，可得，即可判断出正误；④虽然为直角三角形，但是没有给出哪一个角为直角，因此不一定正确．【解答】解：在中，有命题：①，因此不正确；②，正确；③若•，则，因此为等腰三角形，正确；④若为直角三角形，没有给出哪一个角为直角，因此不一定正确．综上可得：只有②③．故答案为：②③．12. 【答案】且【解析】根据三角函数的性质，结合二次根式的性质得到不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：且，,，故答案为：且．13. 【答案】【解析】由已知中，，与的夹角为，代入向量数量积公式，我们可以计算出值，又由与垂直，即，我们可以构造出一个关于的方程，解方程即可求出满足条件的值．【解答】解：∵，，与的夹角为，∴若与垂直，则解得故答案为：14. 【答案】【解析】作，垂足为，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系．设，，，．由，可得，化为，化简可得，进而得出．【解答】解：作，垂足为，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系．设，，，．∵，∴，∴，∴ ，即，又，∴ ，∴ ，∴点和关于原点对称，∴ 为等腰三角形．∴ ，∵ ，∴ ．故答案为：．15. 【答案】解： ∵向量，，且，∴ ，即，则；; ∵ ，∴原式．【解析】由两向量的坐标及两向量数量积为，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理求出的值即可；; 原式分子分母除以，利用同角三角函数间基本关系化简，把的值代入计算即可求出值．【解答】解： ∵向量，，且，∴ ，即，则；; ∵ ，∴原式．16. 【答案】解：由题意可得，，由与垂直可得，解得．; 由与平行，可得，解得，此时，，，显然与方向相反．【解析】由题意可得和的坐标，由与垂直可得它们的数量积等于，由此解得的值．; 由与平行的性质，可得，解得的值．再根据和的坐标，可得与方向相反．【解答】解：由题意可得，，由与垂直可得，解得．; 由与平行，可得，解得，此时，，，显然与方向相反．17. 【答案】解：由题意，，∴，，∴，时，，可得：，∵，∴，函数的解析式为：．; （2），增区间，，即，；增区间，，当，；解得，．对称中心【解析】通过函数的图象求出振幅，周期，以及．求出函数的解析式；; 利用平移变换的运算求出函数的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．【解答】解：由题意，，∴，，∴，时，，可得：，∵，∴，函数的解析式为：．; （2），增区间，，即，；增区间，，当，；解得，．对称中心18. 【答案】解： ∵，，∴，∵，∴，化为．∴．; ∵，，∴，，∴．∴．∴．【解析】利用数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的余弦公式即可得出；; 由，，可得，，．利用即可得出．【解答】解： ∵，，∴，∵，∴，化为．∴．; ∵，，∴，，∴．∴．∴．19. 【答案】解： ∵在中，，，，∴在中，，，，∴ ．又，∴ ，∴ ．当点在点时，这时角最小，此时；当点在点时，这时角最大，求得此时．故此函数的定义域为；; 由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可．由得，，，设，则，∴由，又，得，∴，从而当，即时，，所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．【解析】要将的周长表示成的函数关系式，需把的三边分别用含有的关系式来表示，而，，分别可以在，中求解，利用勾股定理可求，从而可求．; 要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可．由得，，利用换元，设，则，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．【解答】解： ∵在中，，，，∴在中，，，，∴ ．又，∴ ，∴ ．当点在点时，这时角最小，此时；当点在点时，这时角最大，求得此时．故此函数的定义域为；; 由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可．由得，，，设，则，∴由，又，得，∴，从而当，即时，，所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．20. 【答案】解：设扇形的半径为，．∵扇形周长，面积为，∴ ，解得．∴．; 如图所示，建立直角坐标系．则，．设．∵，∴ ，解得，∴，∵，∴．∴，∴ ．∴ 的最大值与最小值的和为．; 设，∵，∴ ，由可得：．∵ ，∴ ，∴．∴的最大值为，当，即时，取得最大值．此时，．∴，，．∴，∴．∴与的夹角，的值最大为．【解析】设扇形的半径为，．利用扇形面积计算公式与弧长公式可得，解得即可；; 如图所示，建立直角坐标系．则，．设．由于，可得，可得，即可得出最值．; 设，由，可得，由可得：．由，可得，．可得的最大值为，当，取得最大值．此时，．再利用向量夹角公式可得，即可得出．【解答】解：设扇形的半径为，．∵扇形周长，面积为，∴ ，解得．∴．; 如图所示，建立直角坐标系．则，．设．∵，∴ ，解得，∴，∵，∴．∴，∴ ．∴ 的最大值与最小值的和为．; 设，∵，∴ ，由可得：．∵ ，∴ ，∴．∴的最大值为，当，即时，取得最大值．此时，．∴，，．∴，∴．∴与的夹角，的值最大为．。
2018-2019学年高一上学期期末考试化学试题(答案+解析)
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.满足2，的集合A的个数是A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．故选：C．2.已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意有2＝4a，得a＝，所以，当时，m＝9.3.的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】.4.已知直线：，：，：，若且，则的值为A. B. 10 C. D. 2【答案】C【解析】由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以．故选：C．5.已知2a＝5b＝，则＋＝()A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，利用换底公式可得：＋＝2＋5＝10＝2.6.如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，在正方体中，连结，则，，由线面垂直的判定定理得平面，所以，所以异面直线与所成的角的大小是．故选：C．7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】＝，故选D．8.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】，，故选D.9.已知函数，则（）A. 1B.C. 2D. 0【答案】C【解析】由题意，函数，．故选：C．10.若存在正数x使成立，则a的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选：D．11.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，即球心到截面圆圆心的距离为，由勾股定理可得，解得，因此，球的体积为．故选：A．12.已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，是定义在R上的单调函数，满足，则为常数，设，则，又由，即，则有，解可得，则，若，即，则，若，必有，则有，又由，则，解可得，即，所以，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为___________。
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期末考数学试卷含详解
2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数()ln(1)f x x =+-的定义域为________.2.设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______．3.已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．4.方程21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．5.对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f=______．6.已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．7.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.8.函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______．9.若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122ax x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______．10.已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．11.已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______．12.已知函数()()1221log 1,123,x x x nf x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，(]0,2m Î；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．二、选择题13.下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是．A.()1f x xx=- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()3f x x=- D.()21log 1x f x x +=--14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m的取值范围是A.(),0-∞ B.()(),02,-∞+∞ C.（0，2） D.()2,+∞15.如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg 21xaf x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是A.13,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.3,32⎛⎫⎪⎝⎭C.3,32⎛⎤⎥⎝⎦D.(]3,+∞16.定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+-当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+若函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是A.19,416⎛⎫⎪⎝⎭B.19[,416C.11[,)42D.11,42⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题17.已知函数()21xf x =-的反函数是()1y fx -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像；（2）解方程()()1fx g x -=．18.已知定义在R 上的奇函数()xxf x ka a-=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．19.松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ；（2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．21.定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229xx g x g x e e+-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数()ln(1)f x x =+-的定义域为________.【答案】(1,2].【分析】使表达式有意义，直接解不等式组可得.【详解】由2010x x -≥⎧⎨->⎩得：12x <≤，故答案为：(1,2]【点睛】此题考函数定义域的求法，属于简单题.2.设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______．【答案】1a =【分析】一般由奇函数的定义应得出()()0f x f x +-=，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为()()0f x f x +-=是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a 的值．【详解】解： 函数(1)()()x x a f x x+-=为奇函数，()()0f x f x ∴+-=，(1)(1)0f f ∴+-=，即2(1)00a -+=，1a \=．故答案为1．【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求a 而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．3.已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．【答案】()2xf x =【分析】由题意求出点P 的坐标，代入()f x 求函数解析式．【详解】解：由题意log 2a y x =+，令1x =，则2y =，即点(1,2)P ，由P 在指数函数()f x 的图象上可得，令()x f x a =()01a a >≠且12a ∴=，即2a =，故()2xf x =故答案为()2xf x =【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．4.方程21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．【答案】25-【分析】将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可．【详解】21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭()22133x x+-∴=()221x x ∴+=-解得25x =-故答案为25-【点睛】本题考查指数幂的运算，以及指数方程，关键是将方程转化为同底指数式，属于基础题．5.对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f =______．【答案】1【分析】由题意，对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，采用特殊值法，求出f ．【详解】解：由题意，对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，令3x y ==则()()()()933334f f f f =⨯=+=()32f ∴=令x y ==()32f fff ==+=1f∴=故答案为1【点睛】本题考查抽象函数求函数值，根据题意合理采用特殊值法是解答的关键，属于基础题．6.已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．7.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得1x =-；当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x =；又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.8.函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______．【答案】(),1-∞-和（3，5）【分析】令2()|65||(1)(5)|0t x x x x x =-+=-->，可得函数()f x 的定义域为()()(),11,55,-∞+∞ ．本题即求()t x 在函数()f x 的定义域的减区间，数形结合可得函数()t x 的减区间．【详解】令2()|65||(1)(5)|0t x x x x x =-+=-->，可得1x ≠，且5x ≠，故函数()f x 的定义域为()()(),11,55,-∞+∞ .由于34()log ()f x t x =，根据复合函数的单调性，本题即求()t x 在函数()f x 的定义域上的减区间．画出函数()t x 的图象，如图：故函数()t x 的减区间(,1)-∞、()3,5，故答案为(,1)-∞、()3,5．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性规律的应用，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9.若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122ax x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______．【答案】(1,【分析】确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道1a >且真数恒大于0，求得a 的取值范围．【详解】解：令2222(224a a y x ax x =-+=-+-在对称轴左边递减，∴当122ax x <时，12y y > 对任意的1x ，2x 当122ax x <时，21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >故应有1a >又因为22y x ax =-+在真数位置上所以须有2204a ->∴a -<<综上得1a <<故答案为(1,【点睛】本题考查了复合函数的单调性．复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．10.已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．【答案】45,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由题意可得63()7x f x <+，即63()73x f x x -<-，对x 的范围进行讨论得出答案．【详解】解：()(3()) 6.5f x f x f += ，(3())7f x f x ∴+=63()7x f x ∴<+，63()73x f x x∴-<-当01x <时，()1f x =，632x -，不符合题意；当2x 时，()2f x ，731x -≤，不符合题意；当12x <<时，()2f x =，∴63273x x ∴-<-，解得4533x <．故答案为45,33⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．11.已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______．【答案】1m ≤-或12m =-或0m =【详解】∵函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，∴22210mx m x+=++>∴()()2mx 10x -+=当m 0=时，方程有唯一根2，适合题意当m 0≠时，2x =或1x m=-1x m =-显然符合题意的零点∴当12m -=时，1m 2=-当12m -≠时，220m +≤，即1m ≤-综上：实数m 的取值范围为1m ≤-或12m =-或0m =故答案为1m ≤-或12m =-或0m =点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12.已知函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，(]0,2m Î；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．【答案】（2）【分析】根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案．【详解】解：当1x >时，10x ->，213()2323x x f x -+-=-=-，单调递减，当11x -<<时，211()2323x x f x +-+=-=-，单调递增，2|1|()23x f x --∴=-在(1,1)-单调递增，在(1,)+∞单调递减，∴当1x =时，取最大值为1，∴绘出()f x的图象，如图：①当0n =时，1221(1)10()230x log x x f x x m ----⎧⎪=⎨⎪-<⎩，由函数图象可知：要使()f x 的值域是[1-，1]，则(1m ∈，2]；故（1）错误；②当12n =时，12()(1)f x log x =-，()f x 在[1-，12单调递增，()f x 的最大值为1，最小值为1-，∴1(,2]2m ∈；故（2）正确；③当1[0,2n ∈时，[1m ∈，2]；故（3）错误，故答案为（2）【点睛】本题考查函数的性质，分段函数的图象，考查指数函数的性质，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．二、选择题13.下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是．A.()1f x xx=- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()3f x x=- D.()21log 1x f x x +=--【答案】D【分析】根据函数的奇偶性的定义及函数的单调性进行判断．【详解】解：在A 中，1()f x x x=-是奇函数，在区间(1,)+∞上是减函数，故A 错误；在B 中，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数，但在区间(1,)+∞上是减函数，故B 错误；在C 中，3()f x x =-是奇函数且在区间(1,)+∞上是减函数，故C 错误；在D 中，21()log 1x f x x +=--是奇函数且在区间(1,)+∞上是增函数，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m的取值范围是A.(),0-∞ B.()(),02,-∞+∞ C.（0，2） D.()2,+∞【答案】C【分析】根据函数()f x 为R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，可得函数在()0,∞+上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得．【详解】由题意，函数()f x 为R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()()11f m f ->- 11m ∴-<-解得02m ∴<<即()0,2m ∈故选C【点睛】本题考查偶函数的性质，偶函数图象关于y 轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，属于基础题．15.如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg21x a f x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是A.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.(]3,+∞【答案】B 【分析】根据条件将问题转化为方程0021213(21)x x a a +=++在0x R ∈上有解的问题即可得解．【详解】解：()21x af x lg =+ ,0x R a ∴∈> 函数()21x a f x lg =+为“可拆分函数”，∴存在实数0x ，使00021321213(21)x x x a a a a lg lg lg lg +=+=+++成立，∴方程0021213(21)x x aa +=++在0x R ∈上有解，即000113(21)331222121x x x a +++==+++ 在0x R ∈上有解，0x R ∈ ，∴011(0,1)21x +∈+，3,32a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，a ∴的取值范围为：3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选B【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．16.定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+-当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+若函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是A.19,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.19[,416 C.11[,)42 D.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】若()0,1x ∈，则()11,0x -∈-，()()1111,111f x f x x x x-=-==-+，根据函数的平移变换与翻折变换，画出()12f x -在()1,1-上的图象，则()1y m x =+与()12y f x =-的图象有三个交点时，函数()102f x mx m ---=有三个零点，可得()()111122,114012AC AB k k ====----，()1y m x =+是斜率为m ，且过定点()1,0A -的直线，绕()1,0A -旋转直线，由图知，当1142m ≤<时，直线与曲线有三个交点，函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，m ∴的取值范围是11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.三、解答题17.已知函数()21x f x =-的反函数是()1y f x -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像；（2）解方程()()1f xg x -=．【答案】（1）详见解析；（2）0x =或1x =．【分析】（1）作图见解析；（2）先求出()21xf x =-的反函数，再利用换底公式将底数化成一样的，即可得到关于x 的方程，需注意对数的真数大于零．【详解】（1）如图：（2）()21x f x =- 即21x y =-12xy ∴+=()2log 1x y ∴=+()()12log 1f x x -∴=+()()4log 31g x x =+ ()()1f x g x -∴=即()()24log 1log 31x x +=+()()421log 31log 312x x +=+ ()()221log 1log 312x x ∴+=+()213110310x x x x ⎧+=+⎪∴+>⎨⎪+>⎩解得0x =或1x =【点睛】本题考查求反函数的解析式，以及函数方程思想，属于基础题．18.已知定义在R 上的奇函数()x x f x ka a -=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．【答案】（1）1k =，证明见解析；（2）172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数()f x 为R 上的奇函数，可求得k 的值，即可得函数()f x 的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（2）根据()1f 的值，可以求得a ，即可得()g x 的解析式，利用换元法，将函数()g x 转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；【详解】解：（1）()x x f x ka a -=- 是定义域为R 上的奇函数，(0)0f ∴=，得1k =，()x x f x a a -∴=-，()()x x f x a a f x --=-=- ，()f x ∴是R 上的奇函数，设任意的21,x x R ∈且21x x >，则22112112211()()()()()(1)x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a---=---=-+ ，1a >Q ，21x x a a ∴>，21()()0f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数；（2）()312f =，132a a ∴-=，即22320a a --=，2a ∴=或12a =-（舍去），则22()22x x g x -=+，[]0,1x ∈，1()44x xg x =+令4x t =，则[]1,4t ∈，则1()g t t t=+，[]1,4t ∈由对勾函数的性质可得1()g t t t =+在[]1,4t ∈上单调递增，故17()2,4g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x ∴的值域为172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．19.松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t -=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）24002(10),210()400,1020t t p t t ⎧--<=⎨⎩（2）5t =，()()max 60Q t =【分析】（1）由题意知，2400(10),210()(400,1020k t t p t k t ⎧--<=⎨⎩为常数），结合()2272p =求得2k =，则()p t 的表达式可求；（2）写出分段函数21(12180300),2101(60900),1020t t t t Q t t t⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【详解】解：（1）由题意知，2400(10),210()(400,1020k t t p t k t ⎧--<=⎨⎩为常数），()22400(102)272p k =--= ，2k ∴=．24002(10),210()400,1020t t p t t ⎧--<∴=⎨⎩．（2）由6()150060p t Q t-=-，可得21(12180300),2101(60900),1020t t t t Q t t t⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，当210t <时，300180(1218060Q t t =-+-=，当且仅当5t =时等号成立；当1020t 时，90060609030Q t =-+-+=，当10t =时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点睛】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ；（2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．【答案】（1）[]1,0-，[]0,1，[]1,1-；（2）不存在；理由见解析；（3）5823，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 【分析】（1）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求3y x =符合条件的“和谐”区间；（2）判断函数()43f x x=-是否满足“和谐”函数的条件即可；（3）根据函数()f x 是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）因为函数()3f x x =在R 上单调递增，所以有3311a a a b b b a b ⎧==-⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩或10a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩；即[][],1,1a b =-或[][],1,0a b =-或[][],0,1a b =．（2）画出函数()43f x x=-的图象()43,0443,03443,3x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪∴=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩由图可知函数在(),0-∞，4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；且函数值域为[)0,+∞，故在(),0-∞上不存在“和谐区间”；假设函数在区间40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦存在“和谐区间”[],a b ，则4343b a a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩方程组无解，假设不成立；同理可得函数在区间4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭也不存在“和谐区间”．故函数()43f x x=-不存在“和谐区间”．（3）()421f x m x =-- 在()2,k 上有“和谐区间”，所以存在区间[],a b ，使函数()f x 的值域为[],a b ，()421f x m x =-- 函数在()2,k 上单调递增()421f x m x ∴=--在[],a b 单调递增，即421421a m a b m b ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，,a b ∴为关于x 的方程42-1x m x =-的两个实根，即方程421x m x =--在()2,k 上有两个不等的实根，即421m x x =+-在()2,k 上有两个不等的实根，令()4(),21g x x x x =+>-与2y m =，问题转化为函数()4(),21g x x x x =+>-与2y m =，在()2,k 上存在两个不同的交点.考察函数()4(),21g x x x x =+>-如图函数()4()21=+>-g x x x x 在()23，单调递减，在[)3,+∞上单调递增.min 4()(3)3531g x g ==+=-，且()()256==g g ，∵函数()g x 在()2,3上递减，当23k <≤时，直线2y m =与函数()y g x =不可能有两个交点，∴3k >∵()g x 在()3,k 递增，由图象可知，当3k >时，函数()y g x =与2y m =在()2,k 存在两个交点，所以正整数k 的最小值为4，()1643= g ，此时，16523<<m ，解得5823<<m .故5823，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m .【点睛】本题主要考查“和谐”函数的定义及应用，将“和谐”函数的定义转化为函数的零点个数是解决本题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于中等题.21.定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229x x g x g x e e+-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．【答案】（1）()3x g x e =-，()221h x x x =--+；（2）[]3,7-；（3）见解析【分析】（1）通过x -代替x ，推出方程，求解函数()g x 的解析式．利用()h x 是二次函数，且(2)(0)1h h -==，可设()(2)1h x ax x =++，然后求解即可．（2）设2()()5(2)6x h x ax x a x φ=++=-+-+，()33x x F x e e e e =-+-=-，转化条件为当11x -时，()()min max x F x φ，通过函数的单调性求解函数的最值，列出关系式即可求出实数a 的取值范围．（3）设5t a =+，由（2）知，画出函数在212()t f x 的图象，设()f x T =，则()f T t =当2t =，当223t e <<-，当23t e =-，当2312e t -<，分别判断函数的图象交点个数，得到结论．【详解】解：（1） 2()2()9x x g x g x e e +-=+-，①2()2()9x x g x g x e e ---+=+-，即1()2()29x x g x g x e e-+=+-，②由①②联立解得：()3x g x e =-．()h x 是二次函数，且(2)(0)1h h -==，可设()(2)1h x ax x =++，由(3)2h -=-，解得1a =-．2()(2)121h x x x x x ∴=-++=--+()3x g x e ∴=-，2()21h x x x =--+．（2）设2()()5(2)6x h x ax x a x φ=++=-+-+，()33x x F x e e e e =-+-=-，依题意知：当11x -时，()()min maxx F x φ()x F x e e =-，在[]1,1-上单调递增，()()10max F x F ∴==∴(1)70(1)30a a φφ-=-⎧⎨=+⎩，解得：37a -∴实数a 的取值范围为[]3,7-．（3）设5t a =+，由（2）知，212()t f x ，的图象如图所示：设()f x T =，则()f T t=当2t =，即3a =-时，11T =-，25T ln =，()1f x =-有两个解，()5f x ln =有3个解；当223t e <<-，即238a e -<<-时，(3)T ln t =+且52ln T <<，()f x T =有3个解；当23t e =-，即28a e =-时，2T =，()f x T =有2个解；当2312e t -<，即287e a -<时，(3)2T ln t =+>，()f x T =有1个解．综上所述：当3a =-时，方程有5个解；当238a e -<<-时，方程有3个解．【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数的性质，函数的导数的综合应用，函数的图象以及函数的零点个数的求法，考查分类讨论思想数形结合思想以及转化思想的应用．。
2019年春季期育才中学高一数学期末考试试卷
2019年春季期育才中学高一数学期末考试试卷各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢2006年春季期育才中学高一数学期末考试试卷一、选择题：1．若为锐角，且，则等于（）A．B．c．D．2．设，若则等于（）A．B．c．D．3．如图，已知四边形ABcD是梯形，AB∥cD，E、F、G、H分别是AD、Bc、AB与cD的中点，则等于（）A．B．c．D．4．已知△ABc的三个顶点分别是A（1，），B（4，2），c（1，y），重心为G（x，1），则x、y的值分别为（）A．x=2，y=5B．x=1，y=c．x=1，y=1D．x=2，y=5．等于（）A．0B．c．D．6．设P分有向线段的比为λ，若P在线段P1P2（∞，的延长线上，则λ的取值范围为（）A．1）B．（1，0）c．（∞，0）D．（∞，）7．函数的最小正周期为（）A．B．c．D．8．已知A（5，7），B（2，3），将=（4，1）平移后的坐标为（）A．（3，4）B．（4，3）c．（1，3）D．（3，1）9．已知是第二象限角，下列四个不等式①②③④可能成立的是（）A．①②B．①③c．②③D．③④10．把函数的图象向右平移个单位，所得图象正好关于轴对称，则的最小正值是（）A．B．c．D．11．已知，则△ABc一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形c．钝角三角形D．等腰直角三角形12．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A．1公里B．sin10°公里c．cos10°公里D．cos20°公里二、填空题13．，则.14．已知，则.15．已知的夹角为120°，且，，当时，k=.16．△ABc 的三个角A三、解答题：17．在△ABc 中，a、b、c分别是角A、B、c的对边，设a+c=2b，Ac=，求sinB的值.18．设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.19．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点（函数取最大值的点）为，在原点右侧与x轴的第一个交点为。