一多项式函数的概念

f (x) 有重因式，取 g(x) f (x) x2 x 2 (x 1)(x 2) f (x) 中 d ( x)
仅有因式(x 1)(x 2) f (x) (x 1)k1 (x 2)k2 .
下面用综合除法确定k1, k2 .
1 1 5 6 －4 －8 1 6 12 8
1 1 6 12 8 0 1 7 19
(x )| f (x) ；反之，当(x )| f (x) 时, f (x) (x )q(x)
f ( ) 0 ,即 是 f (x) 的根.
□
➢ 由该性质可以引入重根概念：
称为 f (x) 的 k 重根，如果 x 是 f (x) 的 k 重因式. k 1 时,
称 为单根， k > 1时, 称 为重根.
f
( x)
x
1 2
此时，f ( x)有重根， x
1 2
为
f ( x)的二重根．
例3 举例说明下面命题是不对的．
"是f '( x)的n重根 是f ( x)的n 1重根"
解：令 f ( x) 1 x3 x2 x 5, 则 3
f '( x) x2 2x 1 ( x 1)2,
x 1 是 f '( x) 的2重根， 但 f (1) 1 1 1 5 0,
f ( ) 为 x 时 f ( x)的值
注：当p为 实数域时， f ( x) 为中学数学或数学分析中 的多项式函数
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二 多项式函数的性质
1 f (x), g (x) P[x], f (x) g (x) P, f ( ) g ( ) ,且
h1(x) f (x) g (x) h1( ) f ( ) g ( ) ； h2 (x) f (x)g (x) h2 ( ) f ( ) g ( ) .
(1) '(1)
A 4A
B1 2B
0 0
A 1
B
2
注：
① 是 f ( x) 的重根 x 是 f ( x) 的重因式． ② f ( x) 有重根 f ( x) 必有重因式．
反之不然，即 f ( x) 有重因式未必 f ( x)有重根． 例如， f ( x) ( x2 1)2 R[x], x2 1 为 f ( x) 的重因式，但在R上 f ( x)没有根．
r r ,即 f ( ) r 成立.
例1
□
➢ 若 f (x) 将 x 代入多项式 f (x) 得 f ( ) 0 ，则称 为 f (x)
的一个根或零点.
例1 求 f ( x) x4 x2 4x 9在 x 3处的函数值. 法一： 把 x 3代入 f ( x), 求 f (3).
□
例2 求 t 值，使 f ( x) x3 3x2 tx 1 有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x2 6x t
3x2
3 2
x
f (x)
x3 3x2 tx 1
x3
2x2
1 3
tx
1 3
x
1 3
15 2
x
t
15 2
x
15 4
t
15 4
x2
2 3
tx
1
x2
2x
1 3
t
(
2 3
3 1 不是 f ( x)的根，从而不是 f ( x) 的3重根．
例4 若 ( x 1)2 | Ax4 Bx2 1, 求 A, B.
解： ( x 1)2 | Ax4 Bx2 1 1为 f ( x) Ax4 Bx2 1 的重根，
从而，1为 f '( x)的根．
于是有，
f f
三 多项式函数的根（补充内容）
定理：c是f(x)的根 <=> x－c|f(x) (f(c) = r = 0). 证明： 据带余除法定理,存在q(x), r(x)∈P[x], 使得 f(x) = (x－c)q(x) + r , r = 0 或 ∂r = 0 ，故 c是f(x)的根<=> f(c) = (c－c)q(c) + r = r = 0 <=> f(x) = (x-c)q(x) <=> x－c|f(x) . ➢ 该定理说明，可用综合除法判定c是否为f(x)的根.
t
2)
x
(1
1 3
t
)
r1
(
x)
t
3,
3 t3
r1( x)
2x
1
i) 若 r1( x) 0, 即 t 3, 则
f
( x),
f
( x)
1 3
f
( x)
(x
1)2,
此时，f ( x)有重根， x 1 为 f ( x)的三重根．
ii)
若 r1( x) 0,
t
15 4
0,
即
t
15 4
,
则
f
( x),
则 f ( x) g( x).
,n 1
定理8 证：设 f (x) P[x], f (x) 0 若 f ( x) 0, 即 f ( x) c 0,
此时对 P,有 f ( ) c 0. 即 f ( x)有0个根.
f ( x) n 时，由因式分解及唯一性定理，
f ( x) 可分解成不可约多项式的乘积， 由推论， f ( x) 的根的个数等于 f ( x)分解式中 一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 n.
➢ 结合该部分内容及综合除法，可解决如下问题：
判断f(x)在给定数域P中是否有重因式？重因式的重数是多少？
例 f(x) = x4 + 5x3 + 6x2 －4x－8∈Q[x], 给出其分解式.
分析： 判断 f(x)的重因式，并确定其重数的步骤：
1. 由 f (x) 求 f / (x) ； 2. 求( f (x), f / (x)) （辗转相除法）;
3. 若( f (x), f / (x)) 1 f (x) 无重因式;
若(
f
( x),
f
/ (x))
1
g(x)
(
f
f (x) (x), f / (x))
的因式为
f
(x)
所含因式
4. 若 g(x) 所含因式为一次因式，可用综合除法确定重数.
解： f / (x) 4x3 15x2 12x 4 → 辗转相除得d (x) x 4 4x 4 1
定理9 证：令 h( x) f ( x) g( x), 则有
h(i ) 0, i 1,2, , n 1, 即 h( x) 有 1,2 , n1, n 1 个根，
由定理８，若 h( x) 0 的话，则 h( x) n.
矛盾． 所以，h( x) 0, 即 f ( x) g( x).
2 (定理 7：余数定理)
f (x) P[x],
P
f (x) (x )q(x) r
f
(
)
r.
r 0或r 0；
证明： 据带余除法定理， f (x) (x )q(x) r, r 0或 r 0 （因
为 r < (x ) 1，故 r 0 ）→ 以 代 x , 得 f ( ) ( )q( )
法二： 用 x 3去除 f ( x), 所得余数就是 f (3).
答案： f (3) 69 .
3 (推论) 是 f (x) 的根（即 f ( ) 0 ） (x )| f (x) .
证明： 据带余除法定理有 f (x) (x )q(x) r, r 0或 r 0 成立,
故 f ( ) 0 时, 0 f ( ) ( )q( ) r r f (x) (x )q(x)
4. 定理8 (根的个数定理)
任一 P[x]中的 n次多项式(n 0), 在 P 中的根 不可能多于 n 个，重根按重数计算．
5. 定理9
f ( x), g( x) P[x], 且 f ( x), g( x) n,
若有 1,2 , n1 P, 使 f (i ) g(i ), i 1, 2,
一、多项式函数的概念 二、多项式函数的概念
三、多项式函数的性质 四、多项式函数的根
一、多项式函数的概念
定义 设 f ( x) a0 xn a1xn1 an , 数 p, 取 代入f ( x)，得
f ( ). = a0 n a1 n1 an ,
称 f ( x)为P上的一个多项式函数．
1 7 19 27 0
－2 1 6 12 8 －2 －8 －8
－2 1 4 4 0 －2 －4
12 0
故 f (x) (x 1)(x 2)3 .
x 1是 f (x)的单因式，且 f (x) (x 1) f2 (x)，其中
f2 (x) x3 6x2 12x 8 f1(x) (x 2)3 即 x 2是 f (x)的3重因式