a小学数学奥赛5-1-3-3数阵图(三).教师版
五年级下册数学奥数有趣的数阵图人教版
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
假设重叠数是a、b、c 5+6+7+8+9+10+a+b+c=24×3
45+a+b+c=72 a+b+c=27
8+9+10=27
8 76 9 5 10
2 9 561 3 8 45～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次， 三个角上的数都加了两次， 有三个数要设字母吗？
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
1
3
2
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
5
36+a+b=42 a+b=6
4
8
7
1+5=6或2+4=6
将1、3、5、7、9、11、13、15这八个数，分别填入图中的 八个○内，使得每个大圆上五个○内数的和都是39。
1+3+5+……+15=64
3
5
1
39×2-64=14
7
9
中间的两个圆圈数重叠一次， 15 13 11
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
三年级下册数学竞赛试题- 树阵图 北师大版(含答案)
数阵图【名师解析】填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。
另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。
关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。
【例题精讲】例1：在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？练习：在下图中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。
和是多少呢？例2：把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。
练习：数字1——6填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。
例3：在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。
练习：把1——8填入下图中，使每边3个数的和等于13。
例4：把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。
求最大的和是多少？练习：把3——10填入下图○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？例5：在下图各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和都是21。
练习：图中各圆的空余部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和是15。
例6：在下图所示的圈内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。
642537练习：在下图所示的圈内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是21．若A、B、C的和为30，则三个顶点上的三个数的和是________。
选讲：将1--12这十二个自然数分别填人下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为___________。
【综合精练】1.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条直线上三个数的和相等。
2.把6、8、10、12、14、16、18七个数填在下图的○中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是32。
3.把5、6、7、8、9、10这六个数填入下图三角形三条边的○内，使得每条边上的三个数的和是21。
五年级奥数数阵图(三)学生版
1.五年级奥数数阵图（三）学生版2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点[或方格]和关键点[或方格]； 第二步：在数阵图的少数关键点[一般是交叉点]上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【例 2】 将1~9填入下图的○中,使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8[1已填出]．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n[n≤8]。
则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈．依此下去,走7次恰好不重复地进入每个圆圈,最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。
现在请你调整一部分数的位置,但保留1、10、5、6不动,使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。
【例 5】图中是一个边长为1的正六边形,它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形,把每个菱形的四个顶点上的数相加,填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：a b g f A+++=）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除,那么a g d⨯⨯=___________．【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数,使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。
(小学奥数)5-1-4-2 幻方(二).学生版
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
五年级奥数-数阵图(AB卷)答案(可编辑修改word版)
四、数阵图(A卷)
_____年级_____班姓名_____ 得分_____ 1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等.
2. 把1~8.
3. 把1~9.
4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.
5. 将1~8个数分别填入图中,
圆圈上五个数和分别为
6. 把1~7填入下图中,使每条线
段上三个○内的数的和相等.
7. 把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等
8. 把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.
9.
把1~8这
8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.
10. 把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相等.
11. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等
.
12. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.
13. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.
14. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.
五年级奥数－数阵图(AB 卷)答 案
1. . . .
a b c
. . .
d e f 2. 3.
b 4.
5.
6. . . .
a b c 7.
8. 9.
10.
12. 13.。
三年级奥数第39讲数阵图
数阵图
数阵图：将一些数字依照必然的要求排列而成的某些图形。
数阵图的分类：
辐射型封闭型复合型
【例 1】 (★★)【例2】(★★★)
将 1～7 这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的将1~11填入以下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数之和三个○内数的和都等于 14 。
相
等。
1
【例 3】(★★★)【例4】(★★★★★)
你能把 1～ 6 六个数字分别填入以下图的六个圆圈中，使每一边三个数相将1~7七个数字填入以下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的加的和都等于 11 吗？三个数之和都相等。
【例 5】(★★★★)【例6】(★★★★★)
将 1~6 这六个数字分别填入以下图的六个○内，使得三条直线上的数以以下图，大三角形被分成了9 个小三角形。
试将 1， 2， 3，4， 5，字之和都相等。
6 ，
7， 8， 9 分别填入这 9 个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要
求凑近大三角形 3 条边的每 5 个数相加的和相等，问这 5 个数的和最
大
2
【本讲总结】
数阵图一、
分类
辐射型封闭型复合型
二、基本关系
各数之和＋重叠数×重叠次数＝线和×线数
三、辐射型数阵图
窍门：掐头、去尾、取中间
四、注意事项
(a)要点点：特别地址
(b)(b) 复合型 :在调整的时候，不能够改变原有边和
3。
小学五年级奥数 举一反三课件数阵(附讲解步骤及答案)
15 19 16
A＝19
13
15
17
4
在下图（1），每边上的数加起来之和都是5，所有数的和是12，现用任何 数字重新排列填入（2）（3）中，使每边的数字之和仍为5，但全部数的和
是13、14。
2 1 2
1
2 1
1 2 2
2
2 1
1 2 2
2
2 2
1
2
1
2
2
1
5
把1~12分别填入下图的空格中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形及 四条直线上的四个数之和都为26。 3 4 12 6 2 8
数阵 基础卷
1
把3~10分别填在下图中正方体的八个顶点上的圆圈里，使每个面 四个顶点上圆圈中的数的和相等。
9 6 7 4
3 8 5
10
2
把1~14分别填入下图中的方格内，使“十一”三笔中每五个方格 内的数的和相等。
5 7
2
4
3 10
11
13
14
1
6
8
9
12
把1~9分别填入下图中的圆圈中，使七个三角形（四个小三角形，
5
1
11
9
10
7
2 3 3 3 4 4 4 5 5
2
把1~16分别填入下图中的十六个圆圈中，使每条线段上四个圆圈内的数的 和相等，两个八边形顶点上的数的和也相等。
5 6 4
2 1 9
10 11
7 8
15
3
16
13 14
12
3
在下图的七个圆圈内各填一个数，要求在每条线上的三个数中，当中的 数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，求A。
(完整)小学三年级奥数--数阵图
数阵图（一）在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
试一试：练习与思考第1题。
例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。
试一试：练习与思考第1 题。
例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。
小学奥数举一反三五年级数阵问题PPT课件
• 一、知识介绍
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正 方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正 方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、 十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。这 里，和同学们讨论一些数阵的填法。
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• 一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
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• 例4 将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。 第16页/共19页
• 解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若 都是12，数字总和便是12×4＝48，可是1～8八个数字 总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复 使用，才能解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填 成12。把1～8八个数四个一组，和为12的有： 6＋3＋2＋1 5＋4＋2＋1 上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的 数字。
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• 例3 将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。 第8页/共19页
• 解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数， 每条线上的数字和才能相等。
1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4， 可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4次， 填1恰符合条件。
三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9， 才能符合条件。
确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！ 这题还可有许多解法，上图只是其中一种。
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• 例2下图是四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数 字的和都是15。
a小学数学奥赛5-1-3-3 数阵图(三).教师版
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
奥数知识点 简单数阵图
简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。
先求重叠数。
数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。
例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使例4、将1~7这七个自然数填入左下图的每条直线上的三个数之和相等七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。
五年级上册数学培优奥数讲义-第23讲数阵图
第23讲数阵图知识与方法数阵图问题千变万化，需要综合运用各种数学知识来解决问题，而往往同学们喜欢毫无顺序的“瞎试”，本讲要介绍一些通用的方法。
所以，一般是先用公式法分析出重复数，再用尝试法进行试填。
方法一：尝试法：所给的是一个等差数列，并且每条线上的数是奇数个时，中间数只能填最大数、最小数或中间数，因此可以依据这个规律进行尝试。
方法二：公式法：线和×线数＝数字和＋重复数×重复次数初级挑战1将1～7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
思维点拨：观察发现，每条线上的三个数之和相等，而这三条线相交刚好重复了一个数，我们叫做重复数。
除去重复数，三条线上其他两数之和应相等。
1～7中，找出三组和相等的六个数即可，剩下的一个数填中间。
答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分别填入下图的○内，使每条线段上3个○内数的和相等。
答案：中间重复数为1或6或11。
给出一种填法：（答案不唯一）初级挑战2将数字1～8填入图中，使横行方框中的数之和与竖列方框中的数之和相等且为19。
思维点拨：本题的关键在于先确定中间重复数。
横行和竖列的和为19×2＝38，而实际上所有方框中的数之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出来的2正好是中间重复的数。
答案：（答案不唯一）能力探索2将2～8填入下图的方框中，使横行、竖列的和相等且为20。
答案：中间重复数：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。
（答案不唯一）中级挑战1将1～10这十个自然数填入下图的○中，使每个圆上六个数的和为29。
思维点拨：两个大圆圈的和为29×2＝58，而圆圈上所有的数之和为：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中间两个圆圈数（重复数）的和为58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中间的两个圆圈数分别为1和2，再两两配对填出其它数即可。
答案：（答案不唯一）把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。
四年级奥数之《数阵图》 教参+配套练习 覆盖面广,类型全面,针对性强,可直接下载
数阵图
数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。
数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。
解答这类问题时，常用以下知识：
等差数列的求和公式：总和﹦（首项+末项）x项数÷2
计算中的奇偶问题：
奇数±奇数﹦偶数
偶数±偶数﹦偶数
奇数±偶数﹦奇数
10以内数字有如下关系：
（1）1+9=2+8=3+7=4+6
（2）1+8=2+7=3+6=4+5
（3）2+9=3+8=4+7=5+6
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。
例1：
把1，2，3，4，5，6这六个数填在下图的6个○中,使每条边上的三个数之和都等于9。
例2：
把1—12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。
随堂练习1
1、（1）将5—10这六个数字分别填入左下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。
四年级奥数教程第7讲有趣的数阵图ppt课件
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
随堂练习2
如下图， 将数字1~6填入图中的小圆圈内，使每 个大圆上4个数字和都是16.
开放型（辐射型）数阵图
例4：把1-7这7个数分别填入下图中的7个圆圈内， 使每条线段上的三个圆圈内各数之和都相等。
数学游戏千姿百态，种类很多。在前面我们
已经学习了找规律、魔牌二十四、算式谜等。下 面我们再来学习一种很有趣的填数游戏—数阵图。 它的特点是把一些数字按照一定的要求，填入各 种各样的图形中。数阵图主要有封闭型、开放型 （也称辐射型）和复合型。它的填写需要有一定 的技巧，要求同学们必须有敏锐的观察能力，灵 活的思维能力才能找到答案。
解：此题解答的关键是确定正方形4个顶点上的数。
1 11 6 4
12
5
7
10
2983
像以上介绍的各条边相互连接的数阵图叫做封闭
型数阵图。对于封闭型数阵图，解题的关键是先确定 顶点处的数字，然后再根据条件要求试验找出正确的 解。另外，数阵的解，多数都是不唯一的，如果题目 没有特别要求，只要求出一个基本解即可。
使竖列和横行口内数的和相等。
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（2）如下图，把数字1，3,4,5,6分别填入图中 三角形3条边上的5个○内，使每条边上3个○内 数的和等于9.
例3：把1-12这12个数，分别填在下图正方形的四条 边上的12个 内，使每条边上4个 内数的和都等于 22，试求出一个基本解。
解：解答本题的关键是确定中心 内的数，另外 还知道每条线段上3个数的和是几？经试验，可 得出3个基本解。
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1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）；第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．例题精讲数阵图与数论例1】把0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8 题数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．考点】数阵图与数论难度】 3 星题型】填空解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、E 分别只能是0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为45-10=35. 设所形成的等差数列的首项为a1，公差为 d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6 ，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.答案】 2 种可能例2】将1~ 9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．解析】根据题意可知1的两边只能是 3与7；2的两边只能是 6与9 ；3的两边只能是 1、5或 8；4的两边只 能是 7与 9．可以先将 3— 1—7--写出来，接下来 7的后面只能是 4， 4的后面只能是 9，9 的后面只 能是 2， 2的后面只能是 6，可得： 3—1—7—4—9—2—6--，还剩下 5和 8两个数．由于 6 8 14是 7 的倍数，所以接下来应该是 5，这样可得： 3—1—7— 4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法 符合题意．答案】 3—1—7—4—9—2— 6—5—8—3例 3】 在下面 8个圆圈中分别填数字 l ，2，3，4，5，6，7，8（1已填出）．从 1开始顺时针走 1步进入下 一个圆圈，这个圆圈中若填 n （n ≤8。
） 则从这个圆 圈开始顺时针走 n 步进入另一个圆圈．依此下 去，走 7 次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空 关键词】走美杯， 5 年级，决赛，第 12 题， 15分解析】 按顺时针方向： 1,2，5,3，8，7,4，6或 1,5,2，4，8，6，7,3或1,6,2,3，8，5，7，4或 1,6，4，2，8，7，5，3 （答对任一种给 6分，总得分不超过 12）由于无论如何填 8 都是最后一个填写，而填之前，已 经走过了 28步，因为 28÷8=3余4，即 8永远只能在最底下的圆圈里。
顺推：试算，从 1到8顺序 填写发现可以，此时从 1 顺时针为 1、2、5、3、8、7、4、6；逆推： 8 前面的一个填有 2、 3、 5、6、 7共 5种可能。
假设为 2，如上图，再往前一个数有 3、4、5、7共4种可能，设为 3，再前推一个 数可能是 4或 6，设为 4， ⋯依次类并排除错误的选择，可得 1、5、2、 4、 8、6、7、3。
答案】 1、 5、2、 4、 8、6、 7、 3。
例 4】 在圆的 5条直径的两端分别写着 1～10（如图） 。
现在请你调整一部分数的位置， 但保留 1、10、5、6 不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上） 。
关键词】走美杯，五年级，初赛，第 4 题 解析】 共 6 种考点】数阵图与数论难度】 4 星 考点】数阵图与数论 难度】 5 星 【题型】填空 题型】填空答案】考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空 关键词】希望杯，六年级，二试，第 18 题，10 分解析】 图中共有 4 个不同的数，每个数除以 3 的余数只可能有 0、1、2 三种，根据抽屉原理可知，这 4个 数中必然至少存在一对同余的数，那么这两个数的差必然为 3 的倍数，故不存在这样的填法。
答案】不存在这样的填法例 7】 如图 ABC 被分成四个小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求： （1）任例 5 】 图中是入 7 个圆圈之中． 填在菱形的中心 F 依次分别个边长为 1 的正六边形，它被分成六个小三角形．将 相邻的两个小正三角形可以组成 6 个菱形， 、、、 、 、位置上（例如：4、6、8、10、12、14、16 各一个填把每个菱形的四个顶点上的数相加， gA ）．已知 A 、B 、C 、D 、E 、 【难度】 5 星初赛，第12 题先考虑菱形顶点的和为 3、 6的倍数， 7 个数被 3 除的余数分别为 1、0、2、 中间数 g 8 或 14，同样分析 5 的倍数， 7 的倍数，得到具体的填法（如图）， 评注：采用余数分析法，找到关键数的填法。
考点】数阵图与数论 关键词】迎春杯，六年级， 解析】 1、 0、2、1，可以得到a g d 4 8 10 320答案】 320在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被 样的填法存在吗 ?如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。
3 整除。
请问这2、3、 4、5、何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数（如：2和3是互为倒数）；（2）四个小三角形里的数字的32 乘积等于225。
则中问小三角形里的数是考点】数阵图与数论【难度】 3 星【题型】填空关键词】希望杯，六年级，初赛，第3题，6分解析】四个小三角形共三对相邻三角形，这三对的积都是1，所以将这三对数乘起来，得到的积还是1,但其中中间的数被乘了 3 次,如果只乘 1 次那么积为225，所以中间的数是1 .151答案】115例8】（2010年第8届走美杯3年级初赛第8题）2010年是虎年，请把1~11这11个数不重复的填入虎额上的“王”字中，使三行，一列的和都等于18考点】复合型数阵图【难度】 5 星【题型】填空关键词】走美杯， 3 年级，初赛解析】三个答案均可三个交叉点数的和是： 1 2 L 11 4 18 6 ，只能是 6 1 2 3 。
剩下通过整数分拆即可得到如图的三种实质不同的答案答案】819562107431161114729853107110452118639819562107431161114729853107110452118639A例9】将1～9 这9 个数字填入下图9 个圆圈内，使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可的得到个不同的和）。
考点】数阵图与数论【难度】 5 星关键词】走美杯， 3 年级，决赛，第4题，8 分例10 】 在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的。
右图中 A 有 3 个相邻的方格，而 B 有 8 个相邻的方格。
图中每一个奇数表示与它相邻的方格中，偶数的个数（如 3 表示相邻的方格中有 3 个 偶数），每个偶数表示与它相邻的方格中，奇数的个数（如 4 表示相邻的方格中有 4 个奇数）。
请 在下面的 4×4 的棋盘中填数（至少有一个奇数） ，满足上面的要求。
答案】答案不唯一例 11 】 在右图所示的 5 5 方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、每条对角线上的数的和 都是30。
要求：填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的 2 倍。
617 51614513考点】复合型数阵图 【难度】 5 星 【题型】填空 关键词】走美杯， 3 年级，决赛，第 12 题， 12分 解析】提 示：设填入的较小的数为 a ，则较大的数为 2a 。
第一行要填的两数之和为 16，最后一列要填的两 数之和为 8，由此知第一行填入了两个较大的数， 第一列填入了两个较小的数。
较大的数为 16÷ 2=8， 较小的数为 8÷ 2 4。
得到下图。
8681 7 5164解析】 答 案不唯一。
例如：答案】2 3 3 2 3 4 4 3 34 4 3 2 3322 3 4 2 4 3 3 3 33 34 24 322 3 3 2 3 443 34 4 3 23322 3 4 2 4 3 3 3 33 34 2432解析】 如 右图其余数容易填入。
8 6 8 1 7 5 8 8 8 1 8 8 6 4444 4 4 14 544 13 4例 12 】 请在右图所示 4×4 的正方形的每个格子中填入 l 或 2 或 3，使得每个 2×2 的正方形中所填 和各不相同。
考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空关键词】走美杯， 4 年级，决赛，第 10 题， 12分 解析】答案】答案不唯一例 13】 请在 8×8 表格的每个格子中填人 1 或 2 或 3 ，使得每行、每列所填数的和各不相同考点】数阵图与数论 关键词】走美杯，决赛， 解析】 答案不唯一1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 123 3 3 3 1 1 2 3 3 3 3 3 1 2 33 3 3 3 3 2 3 33 3 3 3 3答案】答案】8 6 8 1 7 5 8 8 8 1 8 8 6 4444 4 4 14 544 13 44 个数的1 1 1 1 1 12 2 23 3 3 1 2331 1 12 1 1 2 1 23 3 2 23 331 1 1 1 1 12 2 23 3 3 12331 1 12 1 1 2 1 23 3 2 2333难度】 4 星 5 年级，决赛，第 12 题， 10 分11111111 11111113 11111133 11111333 11123333 11233333 12333333 23333333例14 】在8×8 表格的每格中各填入一个数，使得任何一个5×5 正方形中25 个数的平均数都大于3，而整个8×8 表格中64 个数的平均数都小于 2 ．考点】【难度】星【题型】填空关键词】走美杯， 5 年级，决赛，第12 题，15 分解析】如图所示，根据题意，在任何一个任何一个5×5 正方形中的总和应该大于75，而整个的数之和要小于128 ，其中粗线格部分的在所有的5×5 的正方形里都存在，我们要让它尽可能的大，同时让外边的尽可能的小，则外面的60 个方格最小和为60，中间四个方格，应该小于68。