2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(解析版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

考点一 直线与圆的位置的关系

【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））

若直线y b =

+与圆221x y +=相切，

则b =（ ） A

．3

±

B

． C ．2± D

．【答案】C

【解析】由题得圆的圆心坐标为（0,0）

1,2b =∴=±.故选C 【一隅三反】

1．（2018·福建高一期末）若直线 :1(0)l y kx k =+<与圆22:4230C x

x y y ++-+=相切，则直线l 与

圆2

2:(2)3D x y -+=的位置关系是（ ）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定

【答案】A

【解析】圆C 的方程可化为()()2

2

212x y ++-=，故圆心为()2,1C -

，半径C r =.由于直线l ：

10kx y -+=和圆C

=k 0<解得1k =-，所以直线l 的方程为

10x y --+=，即10x y +-=.圆D 的圆心为()2,0D

，半径为D r D 到直线l

的距离为

2

=

C ．直线过圆心

D ．相交但直线不过圆心

【答案】D

【解析】圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为(0,0)O ，半径为1， 因为圆心(0,0)O 到直线y ＝x ﹣1

12

=

<， 所以直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1相交，

因为001≠-，所以直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1的位置关系为相交但直线不过圆心. 故选：D

3．（2020·辉县市第二高级中学高二期中（文））“点(),a b 在圆22

1x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆

221x y +=相离”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若点(),a b 在圆2

2

1x y +=内，则221a b +<

则圆心O 到直线10ax by ++=

的距离1d =>

则直线10ax by ++=与圆2

2

1x y +=相离

反之直线10ax by ++=与圆22

1x y +=相离，则圆心O 到直线10ax by ++=

的距离1d =

>，

即221a b +<，则点(),a b 在圆2

2

1x y +=内

所以“点(),a b 在圆2

2

1x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆2

2

1x y +=相离”的充分必要条件

故选：C

考点二 弦长

【例2】（2020·全国高三其他（文））直线21y x =+被圆2

2

1x y +=截得的弦长为（ ）

A ．1 B

C

．

5

D

【答案】C

【解析】圆心()0,0到直线21y x =+

，所求弦长为=

C ． 【一隅三反】

1．（2020·河南濮阳。高一期末（文））斜率为1的直线l 被圆x 2+y 2＝4x 截得的弦长为4，则l 的方程为（ ） A ．y ＝x ﹣3 B ．y ＝x +3 C ．y ＝x ﹣2 D ．y ＝x +2

【答案】C

【解析】由题设知圆心的坐标为（2，0），半径r ＝2，又弦长为4＝2r ，所以直线l 过圆心（2，0），且斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x ﹣2.故选：C.

2．（2020·广东高一期末）已知圆22

:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，

则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】B

【解析】圆22

:(1)(2)25C x y -+-=的圆心坐标为(1,2)C ，半径为5，

由直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，得()2740m x y x y +-++-=，

联立27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩

，∴直线l 过定点(3,1)P ，

点(3,1)P 在圆内部，则当直线l 与线段PC 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，

此时PC ==，

∴直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为=

故选：B ．

3．（2020·全国高三课时练习（理））⊙C 1：(x －1)2＋y 2＝4与⊙C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2＋y 2＝4截得弦长为（ ）

A B ．4

C ．

13

D ．

13

【答案】D

【解析】由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0.