工程数学2复习线性代数

工程数学2综合练习（2011）

线性代数部分

一、判断下列各题是否正确

1． 若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A ＋2AB ＋B 2。

（×） 2． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。 （×）

3． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。

（√） 4． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A )＝r ，秩(B )=s ,则r = s 。 （√）

5．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。 （× ）

6．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。 （√ ）

二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）

1．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++020

209873232321x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ D ]。

（A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －4

2．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ C ]。

(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) |

A | = －|

B |

3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ D ]。

（A ）（2A ）-1 = 2 A -1 (B) |2A | = 2 | A | (C)

()A A A 11*--= (D) (A -1 )T = ( A T )-1 4．设61152101

12344321

--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44

= [ A ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5．已知可逆方阵

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21731A ，则A ＝ [ B ]。

（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3172 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3172 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173

6．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ C ]。

(A) A 为方阵 （B ）A 为非零矩阵 (C) A 为可逆方阵 (D) A 为对角阵

7．下列矩阵中，（ B ）不是初等矩阵。

（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8.设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。则1(2)A E -+=（ C ）

(A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +

三、计算下列各题

1． 已知AB ＝A ＋2B ，其中矩阵

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B 。 2． 已知A 、B 为4阶方阵，且｜A ｜＝－2，｜B ｜＝3，求 (1) | 5AB | ; (2) |-

A B T | ; (3) | ( AB )-1 |。

3． 已知AP ＝PB ，其中

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B ，求矩阵A 及A 5。 4．已知A+B=AB ，且

121342122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵B 。 四、证明题：

1． 设方阵A 满足A 2－A －2E ＝0，证明：A 和A ＋2E 都可逆。

2．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结论。

计算题：

1． 已知AB ＝A ＋2B ，其中矩阵

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B 。 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==--91221006920106830013211210110113243222;)2(1

行初等变换解：A E A B A B E A

2． 已知A 、B 为4阶方阵，且｜A ｜＝－2，｜B ｜＝3，求 (1) | 5AB | ; (2) |- A B T | ; (3) | ( AB )-1 |。

解：(1) ｜5AB ｜＝54｜A ｜｜B ｜＝-3750

(2) ｜-AB T ｜＝（－1）4｜A ｜｜B ｜＝-6

(3) ｜（AB ）-1｜＝｜AB ｜-1＝－1/6 3. 已知AP ＝PB ，其中

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B ，求矩阵A 及A 5。 .,;;;116002001;114012001,1551

55121121111A PBP A B B P PB A P PB PBP PBP A PBP A PBP A P P =======⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---------故而解：先求

4．解法一：

AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-。将A E -与A 组成一个矩阵(|)A E A -，用初等行变换求

1(|())E A E A --。 ()|A E A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233121120)(31r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233100001

21313,r r r r -- ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12112014323010000123r r -

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121120222110100001 322r r - 100001011222001325⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭3r -

100001011222001325⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭