2018年最新人教版九年级数学上册全册导学案含答案)

人教版九年级数学上册全册导学案

人教版九年级数学上册全册导学案The document was prepared on January 2, 2021第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少__1个__．(2)它们最高次数分别是几次__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4 .3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x 2＝25__，根据平方根的意义，得x ＝__±5__，即x 1＝__5__，x 2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm .探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4方程(2x －1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为两个一元一次方程，从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝2x 2＝2．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x ＋3＝±2__ ，方程的根为x 1＝ __－1__，x 2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0， (2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝12.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2；(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；(3)x 1＝－1，x 2＝13； (4)x 1＝16，x 2＝－16； (5)x 1＝92，x 2＝－92； (6)x 1＝0，x 2＝－10；(7)x 1＝1，x 2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p ≥0学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟)1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋__p2__)2.2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗解：移项，得x 2＋6x ＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2＋bx ＋(b 2)2的形式，得 __x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x ＋3)2＝25__，开平方，得__x ＋3＝±5__， (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9. 解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52； (3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；(2)x2－x＋__14__＝(x－__12__)2；(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.(2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32，x 2＝－52－32.(3)去括号，整理得x 2＋4x －1＝0，移项得x 2＋4x ＝1，配方得(x ＋2)2＝5，x ＋2＝±5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m /s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x 2－14x ＋24＝0，(x －7)2＝25，x －7＝±5，∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5. 解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5；(2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2；(3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174； (4)x 1＝62，x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a ，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根； (2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根(2)有两个相等的实数根(3)没有实数根解：(1)m＜14；(2)m＝14；(3)m ＞14.3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－32＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0.解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；(2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32； (3)x 1＝1，x 2＝－3；(4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；(5)x 1＝0，x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c 的值，再算．出b 2－4ac 的值、最后代．入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－＝0，于是得x ＝0或10－＝0， ②∴x 1＝__0__，x 2≈．上述解中，x 2≈表示物体约在 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__，即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52. 2．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72； (3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2； (3)(x ＋5)2＝3x ＋15. 解：(1)x 1＝0，x 2＝45；(2)x 1＝23，x 2＝－12；(3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程： (1)4x 2－144＝0； (2)(2x －1)2＝(3－x)2； (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(4)3x 2－12x ＝－12. 解：(1)x 1＝6，x 2＝－6； (2)x 1＝43，x 2＝－2；(3)x 1＝12，x 2＝－12；(4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0； (3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0； (5)(x －4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x 1＝0，x 2＝－1； (2)x 1＝0，x 2＝23； (3)x 1＝x 2＝1； (4)x 1＝112，x 2＝－112；(5)x 1＝3，x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__； (3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m . 则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟) 自学1：完成下表：方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 x 2－5x ＋6＝0 2 3 5 6 x 2＋3x －10＝0 2－5－3－10问题：你发现什么规律 ①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． ②x 2＋px ＋q ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律. 答：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q. 自学2：完成下表：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2x 1x 2 2x 2－3x －2＝2－12 －13x 2－4x ＋1＝1问题：上面发现的结论在这里成立吗(不成立) 请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝2a．x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0.解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0； (3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15； (2)x 1＋x 2＝－73，x 1x 2＝－3；(3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a ，b ，c.2．已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．解：另一根为32，k ＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β. 解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x 2－3x ＝15; (2)5x 2－1＝4x 2； (3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15； (2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1； (3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8； (4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C )A ．7x 2－12x ＋5＝0B ．6x 2－13x －5＝0C ．4x 2＋21x ＋5＝0D ．x 2＋15x －8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a ，b ，c.2．当且仅当b 2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x 1＋x 2＝－b a (比前面有负号)，x 1x 2＝ca (比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x ＋(6－x)]＝1008__，解得 x 1＝__2__，x 2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A ．x(x ＋1)＝2550B ．x(x －1)＝2550C ．2x(x ＋1)＝2550D ．x(x －1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x －1)张相片，全班共送出x (x －1)张相片，可列方程为x (x －1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支解：设每个支干长出x 个小分支，则有1＋x ＋x 2＝91，即x 2＋x －90＝0，解得x 1＝9，x 2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和102．教材P第2题、第3题21学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x 为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大(精确到绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈，x2≈．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈，y2≈(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝＝%.答：所求的年利率是%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg，2013年平均每公顷产8460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为x，则有7200(1＋x)2＝8460，解得x1＝，x2＝－(舍)．即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．。

人教版九年级上册数学全册导学案

人教版九年级上册数学全册导学案《21.1一元二次方程》导学案 NO ：01班级_______姓名_______小组_______评价_______一、学习目标1、认识一元二次方程及根的概念；2、掌握一元二次方程的一般形式，并会将任何一个一元二次方程化成一般形式。

二、自主学习１、一元二次方程的概念（1）阅读教材引例，在练习本上自己按题意列出方程并整理，写出最后的方程是；说一说这个方程是元次方程。

(2)用类似的方法研究问题1、问题2，经整理后的两个方程分别是；；它们都是元次方程。

(3)归纳总结：含有个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程。

说一说一元二次方程有哪些特点？（与同学认真交流）2、一元二次方程的一般形式阅读教材：一元二次方程的一般形式（抄写三遍）。

说一说哪一项是二次项？系数是多少？有什么要求？哪一项是一次项？一次项系数是多少？哪一项是常数项？（与同学认真交流课堂展示）3、一元二次方程的根阅读教材，说一说什么叫一元二次方程的根？它有什么特点？（与同学认真交流。

）自学检测：1、若关于x 的方程023)1(=---x x m n是一元二次方程，则m ≠ _，n =______；2、方程1)12)(3(-=+-x x x 写成一般式是；二次项是 ____；一次项系数是。

三、合作探究1、下列方程中，是一元二次方程的有①2x=－2 ②32=x ③2y 2－3y+1=0④x －3y=4⑤11=-x x⑥5x 2=x 2、根不为x ＝-2的方程是（）A 、022=+x xB 、5x+10＝0C 、0232=+-x xD 、083=+x3、如果ax 2－x －12＝0是x 的一元二次方程，则a 的取值范围是如果（m －3）011=++-x xm 是x 的一元二次方程，则m 的取值是_________4、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。

【人教版】九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．《一、自学指导．(10分钟) 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1）2＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究：}(1)方程①②中未知数的个数各是多少__1个__．(2)它们最高次数分别是几次__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉． |二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．判断下列方程，哪些是一元二次方程 (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1； (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)；(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2＋bx ＋c ＝0. 解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x 2－3x ＝5x ＋10.移项，合并同类项，得3x 2－8x －10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10. ）点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0，无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1， ∵(m －4)2≥0，∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2＋1≠0.∴无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2－8m ＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的根 `－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x ＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断下列方程是否为一元二次方程． (1)1－x 2＝0; (2)2(x 2－1)＝3y ；(3)2x 2－3x －1＝0; (4)1x 2－2x ＝0； (5)(x ＋3)2＝(x －3)2; (6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是．￥2．若x ＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根，求a 的值．解：∵x ＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根， ∴4a ＋8－5＝0，解得a ＝－34.3．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x 2＝25，4x 2－25＝0；(2)x(x －2)＝100，x 2－2x －100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．"2．一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，特别强调a≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2 解一元二次方程21．配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x 2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x 2＝1500__，由此可得__x 2＝25__，根据平方根的意义，得x ＝__±5__，即x 1＝__5__，x 2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm . :探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4方程(2x －1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x －1＝±5__，即将方程变为__2x －1＝5和__2x －1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝__1＋52，x 2＝__1－52__．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x ＋3＝±2__ ，方程的根为x 1＝ __－1__，x 2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 解下列方程：(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2＝50； (3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2－4x ＋1＝0.解：(1)2y 2＝8， (2)2(x －8)2＝50， *y 2＝4， (x －8)2＝25， y ＝±2， x －8＝±5，∴y 1＝2，y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5， ∴x 1＝13，x 2＝3； (3)(2x －1)2＋4＝0， (4)4x 2－4x ＋1＝0， (2x －1)2＝－4<0， (2x －1)2＝0， ∴原方程无解； 2x －1＝0， ∴x 1＝x 2＝12.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．[一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程： (1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24； (3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p (p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根． 2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：（(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25； (7)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2； (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；(3)x 1＝－1，x 2＝13； (4)x 1＝16，x 2＝－16； (5)x 1＝92，x 2＝－92； (6)x 1＝0，x 2＝－10；)(7)x 1＝1，x 2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想．3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p ≥0学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．`2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2； (2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2； (3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p2__)2.2．若4x 2－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__±12__．…一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗解：移项，得x 2＋6x ＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2＋bx ＋(b2)2的形式，得__x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得~__(x ＋3)2＝25__，开平方，得__x ＋3＝±5__， (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0； (3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52；.(3)x 1＝－72，x 2＝－12.归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： (1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； -(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2. 2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0； (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x 2＋6x ＝－5，配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2＝4，由此可得x ＋3＝±2，即x 1＝－1，x 2＝－5. (2)移项，得2x 2＋6x ＝－2，二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－1，"配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54，由此可得x ＋32＝±52，即x 1＝52－32， x 2＝－52－32.(3)去括号，整理得x 2＋4x －1＝0，移项得x 2＋4x ＝1，配方得(x ＋2)2＝5，x ＋2＝±5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟) ；如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m /s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x 2－14x ＋24＝0， (x －7)2＝25， x －7＝±5，∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去．；答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5； (2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2； (3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174；%(4)x 1＝62，x 2＝－62.2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．公式法，1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0. 解：(1)x 1＝－2，x 2＝－1； (2)无解．~一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根． (2)x ＝－b±b 2－4ac2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．！(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0； (3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根； (2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．/一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没有实数根!解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14.3. 已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根. 证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ，即x 2＋mx ＋2m －1＝0， Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况： (1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0；)(3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ； (5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0. 解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；'(2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32； (3)x 1＝1，x 2＝－3；(4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；(5)x 1＝0，x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根； (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c 的值，再算．出b 2－4ac 的值、最后代．入求根公式求解．《3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)—将下列各题因式分解：(1)am ＋bm ＋cm ＝(__a ＋b ＋c__)m ； (2)a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__； (3)a 2±2ab ＋b 2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m /s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地的高度(单位：m )为10x －.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x －＝0， ① 思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程① 分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：：x(10－＝0，于是得x ＝0或10－＝0， ② ∴x 1＝__0__，x 2≈．上述解中，x 2≈表示物体约在 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__，即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52./2．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0； (3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72； (3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.~解：(1)x 1＝0，x 2＝45； (2)x 1＝23，x 2＝－12；(3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程： (1)4x 2－144＝0； (2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6；。

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目录第二十一章一元二次方程1、一元二次方程（1） (4)2、一元二次方程（2） (6)3、一元二次方程的解法直接开平方法和因式分解法 (8)4、一元二次方程解法-配方法 (11)5、一元二次方程根的判别式 (13)6、一元二次方程解法-公式法 (15)7、一元二次方程解法--习题课 (18)8、一元二次方程根与系数的关系 (21)9、实际问题与一元二次方程（1） (24)10、实际问题与一元二次方程（2） (27)11、一元二次方程复习 (30)12、一元二次方程测试 (33)第二十二章二次函数1、二次函数 (36)2、二次函数2=的图像 (38)y ax3、二次函数()k-y+=2的图象（1） (42)hxa4、二次函数()k-=2的图像（2） (45)y+axh5、二次函数()ky+-=2的图像（3） (47)ahx6、二次函数()k-=2的图像（4） (49)y+hxa7、二次函数2y ax bx c=++的图像 (51)8、用待定系数法求二次函数的解析式 (53)9、用函数观点看一元二次方程（1） (56)10、用函数观点看一元二次方程（2） (59)11、实际问题与二次函数 (61)12、二次函数复习（1） (64)13、二次函数复习（2） (67)14、二次函数测试 (69)第二十三章旋转1、图形的旋转（1） (71)2、图形的旋转（2） (73)3、中心对称（1） (75)4、中心对称（2） (77)5、中心对称（3） (79)6、图形的旋转复习 (81)7、图形的旋转测试 (83)第二十四章圆1、圆 (86)2、垂直于弦的直径 (87)3、弦、弧、圆心角 (89)4、圆周角 (92)5、弦、弧、圆心角、圆周角习题课 (95)6、点、直线、圆和圆的位置关系（1） (99)7、点、直线、圆和圆的位置关系（2） (102)8、点、直线、圆和圆的位置关系（3） (105)9、点、直线、圆和圆的位置关系（4） (108)10、正多边形和圆 (110)11、弧长和扇形面积(1) (113)12、弧长和扇形面积(2) (115)13、圆小结与复习 (117)14、圆综合测试 (121)第二十五章概率初步1、随机事件（1） (126)2、随机事件（2） (129)3、概率 (131)4、用列举法求概率 (133)5、用树形图求概率 (135)6、利用频率估计概率 (137)7、概率复习 (140)8、概率测试 (146)x 问题导学式提纲----一元二次方程（1）一、学习目标：1、了解一元二次方程的概念、一般形式及其有关概念．2、应用一元二次方程概念解决一些简单题目．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．二、自主学习（阅读教材第25至26页，完成以下问题。

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人教版九年级数学上册全册导学案近几年，数学被越来越多地视为一门基础性科学研究。

从数学课本内容来看，它主要体现出数学系统的程度、数学分析的深度和微积分的广度，体现出数学的复杂性和解决高等数学问题的能力。

人教版数学上册全册导学案，为学习提供了一系列完善的数学知识结构，为学生提供了数学基本概念、定义、公式、解法和解，以及评价标准等完整的导学案。

人教版九年级数学上册全册导学案以下列内容为主：一、数量1、实数的基本概念及四则运算；2、代数式的四则运算；3、整式的乘法及除法；4、无理数的基本概念及加减法；5、无理数的乘法除法及幂运算；6、统计的基本概念。

二、几何1、几何的基本概念；2、空间几何的基本概念；3、几何图形的分类和性质；4、直角坐标系的基本概念；5、根式的基本概念；6、勾股定理和全等三角形的性质。

三、排列组合1、排列组合的基本概念；2、组合数的基本概念及其运算；3、概率的基本概念及计算。

四、数列1、数列的基本概念；2、等差数列的基本概念及其运算；3、等比数列的基本概念及其运算；4、数列极限的基本概念及运算。

五、不等式1、不等式的基本概念；2、不等式的解法；3、一元二次不等式的解法。

六、函数1、函数的基本概念；2、函数的特征及分析；3、函数及图像的对应解法；4、倒数及指数函数的特征及定义；5、指数函数及对数函数的分析；6、根式及立体函数的函数特征。

以上就是人教版九年级数学上册全册导学案的主要内容，涉及数量几何、排列组合、数列、不等式和函数五大部分，涵盖了九年级数学的基础知识。

九年级数学导学案是对学生九年级数学学习的一次全面考察，它包括九年级数学的主要内容，从而为学生提供了一个全面的学习环境。

人教版九年级数学上册全册导学案的学习有很多不同的技巧。

首先，学生要能够正确理解这些知识点，正确掌握相关概念，定义及公式，并灵活运用它们。

其次，学生应该多做练习，以充分熟悉这些基础的知识点，提高解题速度和解题能力。

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人教版九年级数学上册全册导学案第22章二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是。

（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？43，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x2、计算：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是。

3、当a 为正数时指a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。

（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习：x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x 223x + ③ 2、（133a a --a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（）。

A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数（四）展示反馈 (学生归纳总结)1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。

[初三数学]人教版九年级数学上册全册导学案

第22章二次根式导学案22.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是。

（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 2、计算：(1) 2)4( (2) 2)3(4（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , )0()(2≥=a a a的意义是。

3、当a 为正数时指a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。

（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习： x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 2、（1）若有意义，则a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（）。

A.正数B.负数C.非负数D.非正数（四）展示反馈 (学生归纳总结)1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。

2018新人教版九年级上学期数学导学案

22第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）x（x－1）__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．2(3)5x－2x－＝x－2x＋；2归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；1345(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1;(6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)2x x4 1．求证：关于 x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0，无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m －4)2＋1≠0.∴无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m 2－8m ＋17≠0 即可．2．下面哪些数是方程 2x 2＋10x ＋12＝0 的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2 和－3 满足等式，所以 x ＝－2 或 x ＝－3 是一元二次方程 2x 2＋10x ＋12＝0 的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9 分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x 2＝0; (2)2(x 2－1)＝3y ；1 2 (3)2x 2－3x －1＝0;(4) －＝0；(5)(x ＋3)2＝(x －3)2; (6)9x 2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若 x ＝2 是方程 ax 2＋4x －5＝0 的一个根，求 a 的值．解：∵x＝2 是方程 ax 2＋4x －5＝0 的一个根，∴4a＋8－5＝0，3 解得 a ＝－ .3．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x ；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x＝__5__，x＝__－5__．12可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?2方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x＝__1＋522方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一次1－5，x＝____．12在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__，方程的根为x＝__－1__，x＝__－5__.12归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0;(4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y＝2，y＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，12∴x＝13，x＝3；12(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，1∴x＝x＝.12点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：3 6 6 2 2 解：(1)－1± 7 3 3 (1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.4± 11 ；(2)－1±2 6；(3) .点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于 x 的方程 x 2＋(a 2＋1)x －3＝0 的一个根是 1，求 a 的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x ＝1＋ 2，x ＝1－ 2；1 2(2)x ＝2＋ 5，x ＝2－ 5；1 21(3)x ＝－1，x ＝； 1 211(4)x ＝，x ＝－； 1299 (5)x ＝，x ＝－； 12(6)x ＝0，x ＝－10；1 2(7)x ＝1，x ＝－3.1 2学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解 x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)中，为什么 p≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)(3)x 2＋px ＋__( )2__＝(x ＋__ __)2. 2 221．2.1 配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2 分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2；(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2；p p 2 22．若 4x 2－mx ＋9 是一个完全平方式，那么 m 的值是__±12__．一、自学指导．(10 分钟)问题 1：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m ，并且面积为 16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为 x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为 16 m 2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程 x 2＋6x －16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程 x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程 x 2＋6x ＋9＝4 的左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程 x 2＋6x －16＝0 不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得 x 2＋6x ＝16，6 b 两边都加上__9__即__( )2__，使左边配成 x 2＋bx ＋( )2 的形式，得__x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，解：(1)x ＝± 2；(2)x ＝－，x ＝； (3)x ＝－，x ＝－ . 4 2 2 2 左边写成平方形式，得__(x ＋3)2＝25__，开平方，得__x ＋3＝±5__，(降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__，解一次方程，得 x ＝__2__，x ＝__－8__．12归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题 2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5；(2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.1 5 12 27 1 1 2 2归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式 ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数 a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8 分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；1 1 (2)x 2－x ＋__ __＝(x －__ __)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：2242222x＝－5－.(1)x2＋6x＋5＝0;(2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x＝－1，x＝－5.12(2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，335配方得x2＋3x＋()2＝(x＋)2＝，3553由此可得x＋＝±，即x＝－，13222(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x＝5－2，x＝－5－2.12点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在△R t ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，CB＝6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/△s，几秒后PCQ的面积为△R t ABC 面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为△R t ABC面积的一半．根据题意可列方程：(8－x)(6－x)＝××8×6，24444(4)x＝622∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝1111222即x2－14x＋24＝0，(x－7)2＝25，x－7＝±5，∴x＝12，x＝2，12x＝12，x＝2都是原方程的根，但x＝12不合题意，舍去．121答：2秒后△PCQ的面积为△R t ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为△R t ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x的方程：(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；1(3)x2－x－1＝0;(4)2x2＋2＝5.解：(1)x＝1＋5，x＝1－5；12(2)x＝2＋2，x＝2－2；12117117(3)x＝＋，x＝－；126，x＝－.122．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.36.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)2a将 a ，b ，c 代入式子 x ＝就得到方程的根，当 b 2－4ac ＜0 时，方程没有实数根．1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)21．2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2 分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0；(2)2x 2－3x ＋5＝0.解：(1)x ＝－2，x ＝－1； (2)无解．12一、自学指导．(8 分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？－b ＋ b 2－4ac问题：已知 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) ，试推导它的两个根 x ＝，x ＝1 2－b － b 2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数 a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax 2＋bx ＋c ＝0，当 b 2－4ac≥0 时，－b± b 2－4ac2a2a2(2)x＝x＝3－b±b2－4ac(2)x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.3解：(1)x＝0，x＝；有两个不相等的实数根；12123；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？4 4 4 2 41 1 1解：(1)m ＜； (2)m ＝； (3)m ＞ .3. 已知 x 2＋2x ＝m －1 没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0 没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程 x 2＋mx ＝1－2m ，即 x 2＋mx ＋2m －1＝0，Δ＝m 2－8m ＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：3(1)2x 2－3x －＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0；(3)x 2－4 2x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：1(1)x 2＋x －12＝0 ;(2)x 2－ 2x －＝0；(3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11;(4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0 ;(6)x 2＋2 5x ＋10＝0.解：(1)x ＝3，x ＝－4；12(2)x ＝12＋ 3 2－ 32 ，x 2＝ 2 ；(3)x ＝1，x ＝－3；12(4)x ＝－2＋ 6，x ＝－2－ 6；12(5)x ＝0，x ＝－2; (6)无实数根．122a．．．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，－b±b2－4acb，c的值代入x＝(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s3222m物体离地的高度(单位：)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，②∴x＝__0__，x≈2.04．12上述解中，x≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x＝0表示物体被上抛离开地21面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.15解：(1)x＝0，x＝8；(2)x＝－，x＝.12122．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0;(2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.77解：(1)x＝0，x＝4;(2)x＝，x＝－；1212(3)x＝x＝2.12一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：5(2)x ＝，x ＝－；2(3)5x －2x －＝x －2x ＋；23(3)x ＝，x ＝－；2 2 (1)5x 2－4x ＝0；(2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.4解：(1)x ＝0，x ＝；1 22 11 3 2(3)x ＝－5，x ＝－2.12点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是 0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；1 34 4(4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x ＝6，x ＝－6；124 (2)x ＝，x ＝－2；1 21 11 2 2(4)x ＝x ＝2.12点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－2 3x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.解：(1)x ＝0，x ＝－1；12(2)x ＝0，x ＝2 3；12(3)x ＝x ＝1；121.理解并掌握根与系数的关系：x＋x＝－，x x＝.(4)x＝11221211，x＝－；12(5)x＝3，x＝1.12点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x＝5＋52，x＝5－52(舍去)．12答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系b c12a a2.会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．答：x ＋x ＝－，x x ＝ .2a 2aa a1 2一、自学指导．(10 分钟)自学 1：完成下表：方程x 1 x 2 x ＋x 12 x x 12x 2－5x ＋6＝0x 2＋3x －10＝022 3－5 5－3 6－10问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x 2＋px ＋q ＝0 的两根 x ，x 用式子表示你发现的规律.12答：x ＋x ＝－p ，x x ＝q.12 1 2自学 2：完成下表：方程x 1 x 2 x ＋x 12 x x 122x 2－3x －2＝02－1 23 2－13x 2－4x ＋1＝0 1 314 31 3问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0 的两根 x ，x 用式子表示你发现的规律．12b c1 2 a a自学 3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)－b ＋ b 2－4ac －b － b 2－4acax 2＋bx ＋c ＝0 的两根 x ＝__ __，x ＝__ __．1 2b cx ＋x ＝－，x x ＝ . 1 2 1 23(2)x＋x＝－，x x＝－；3(3)x＋x＝，x x＝.25(1)＋；(2)α2＋β2；(3)α－β.1212二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－3x－1＝0；(2)2x2＋3x－5＝0；1(3)x2－2x＝0.解：(1)x＋x＝3，x x＝－1；1212351222(3)x＋x＝6，x x＝0.1212一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－6x－15＝0;(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x＋x＝6，x x＝－15；12127(2)x＋x＝－，x x＝－3；1212511244点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．3解：另一根为，k＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．11αβ3解：(1)－；(2)19；(3)29或－29.3．要注意比的符号：x＋x＝－(比前面有负号)，x x＝(比前面没有负号)．12二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15;(2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10;(4)4x2－144＝0.解：(1)x＋x＝3，x x＝－15；1212(2)x＋x＝0，x x＝－1；1212(3)x＋x＝3，x x＝－8；1212(4)x＋x＝0，x x＝－36.12122．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．b c12a a学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得x＝__2__，x＝__4__，∴原来的两位数为24或42.12二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550.故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x＝9，x＝－10(舍去)，12故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P第2题、第3题21学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2.对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x≈0.23，x≈1.77__．12根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y≈0.23，y≈1.77(舍)__．12答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，解得x＝－2(不符，舍去)，x＝0.125＝12.5%.12答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200kg，2013年平均每公顷产8460kg，求水稻。

人教版九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4.3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为__2x两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝2x2＝2．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p 或mx＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝1 2.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；(3)x1＝－1，x2＝1 3；(4)x1＝16，x2＝－16；(5)x1＝92，x2＝－92；(6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟)1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋__p2__)2.2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2＋bx＋(b2)2的形式，得__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52； (3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.(2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32，x2＝－52－32.(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x2－14x＋24＝0，(x－7)2＝25，x－7＝±5，∴x1＝12，x2＝2，x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x的方程：(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；(3)x2－12x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5；(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；(3)x1＝14＋174，x2＝14－174；(4)x1＝62，x2＝－62.2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.解：(1)x1＝0，x2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x1＝x2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m＜14；(2)m＝14；(3)m ＞14.3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－32＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－14＝0；(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，②∴x1＝__0__，x2≈2.04．上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝－13，x2＝52.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝72，x2＝－72；(3)x1＝x2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0，x2＝4 5；(2)x1＝23，x2＝－12；(3)x1＝－5，x2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x2－144＝0；(2)(2x－1)2＝(3－x)2；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34；(4)3x2－12x＝－12.解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)x1＝43，x2＝－2；(3)x1＝12，x2＝－12；(4)x1＝x2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；(5)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)x1＝0，x2＝－1；(2)x1＝0，x2＝23；(3)x1＝x2＝1；(4)x1＝112，x2＝－112；(5)x1＝3，x2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.自学2：完成下表：问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝2a．x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝54，x1x2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为32，k＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x ＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%) 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，。

人教版九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4.3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为__2x两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝2x2＝2．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p 或mx＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝1 2.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；(3)x1＝－1，x2＝1 3；(4)x1＝16，x2＝－16；(5)x1＝92，x2＝－92；(6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟)1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋__p2__)2.2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2＋bx＋(b2)2的形式，得__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52； (3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.(2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32，x2＝－52－32.(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x2－14x＋24＝0，(x－7)2＝25，x－7＝±5，∴x1＝12，x2＝2，x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x的方程：(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；(3)x2－12x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5；(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；(3)x1＝14＋174，x2＝14－174；(4)x1＝62，x2＝－62.2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.解：(1)x1＝0，x2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x1＝x2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m＜14；(2)m＝14；(3)m ＞14.3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－32＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－14＝0；(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，②∴x1＝__0__，x2≈2.04．上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝－13，x2＝52.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝72，x2＝－72；(3)x1＝x2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0，x2＝4 5；(2)x1＝23，x2＝－12；(3)x1＝－5，x2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x2－144＝0；(2)(2x－1)2＝(3－x)2；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34；(4)3x2－12x＝－12.解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)x1＝43，x2＝－2；(3)x1＝12，x2＝－12；(4)x1＝x2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；(5)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)x1＝0，x2＝－1；(2)x1＝0，x2＝23；(3)x1＝x2＝1；(4)x1＝112，x2＝－112；(5)x1＝3，x2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.自学2：完成下表：问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝2a．x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝54，x1x2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为32，k＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x ＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%) 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，。

人教版九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)及有关概念．3．会进展简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟) 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出局部折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，则铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为* cm ，则盒底的长为__(100－2*)cm __，宽为__(50－2*)cm __．列方程__(100－2*)·(50－2*)＝3600__，化简整理，得__*2－75*＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程方案安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请*个队参赛，每个队要与其他__(*－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共*〔*－1〕2__场．列方程__*〔*－1〕2＝28__，化简整理，得__*2－*－56＝0__．② 探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于*的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__a*2__是二次项，__a__是二次项系数，__b*__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．判断以下方程，哪些是一元二次方程？(1)*3－2*2＋5＝0； (2)*2＝1；(3)5*2－2*－14＝*2－2*＋35；(4)2(*＋1)2＝3(*＋1)；(5)*2－2*＝*2＋1; (6)a*2＋b*＋c ＝0. 解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3*(*－1)＝5(*＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3*2，合并同类项，得3*2，一次项系数是－8，常数项是－10. 点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于*的方程(m 2－8m ＋17)*2＋2m*＋1＝0，无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1，∵(m －4)2≥0，∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2＋1≠0.∴无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2－8m ＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2*2＋10*＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以*＝－2或*＝－3是一元二次方程2*2＋10*＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断以下方程是否为一元二次方程．(1)1－*2＝0; (2)2(*2－1)＝3y ；(3)2*2－3*－1＝0; (4)1*2－2*＝0；(5)(*＋3)2＝(*－3)2;(6)9*2＝5－4*. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是．2．假设*＝2是方程a*2＋4*－5＝0的一个根，求a 的值．解：∵*＝2是方程a*2＋4*－5＝0的一个根， ∴4a ＋8－5＝0，解得a ＝－34.3．根据以下问题，列出关于*的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全一样的正方形的面积之和是25，求正方形的边长*； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长*.解：(1)4*2＝25，4*2－25＝0；(2)*(*－2)＝100，*2－2*－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)，特别强调a ≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．2 解一元二次方程21．配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(*＋m)2＝n(n ≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如*2＝n(n ≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(*＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶*种油漆可刷的面积为1500 dm 2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外外表，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为* dm ，则一个正方体的外表积为__6*2__dm 2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6*2＝1500__，由此可得__*2＝25__，根据平方根的意义，得*＝__±5__，即*1＝__5__，*2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm .探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2*－1)2＝5及方程*2＋6*＋9＝4"方程(2*－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2*－1＝±5__，即将方程变为__2*－1＝5和__2*－1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程(2*－1)2＝5的两个解为*1＝__1＋52，*2＝__1－52__．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程"降次〞，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程*2＋6*＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(*＋__3__)2＝4，进展降次，得到 __*＋3＝±2__ ，方程的根为*1＝ __－1__，*2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过"降次〞把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成*2＝p(p ≥0)或(m*＋n)2＝p(p ≥0)的形式，则可得*＝±p 或m*＋n ＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 解以下方程：(1)2y 2＝8； (2)2(*－8)2＝50；(3)(2*－1)2＋4＝0; (4)4*2－4*＋1＝0.解：(1)2y 2＝8， (2)2(*－8)2＝50， y 2＝4， (*－8)2＝25， y ＝±2， *－8＝±5，∴y 1＝2，y 2＝－2； *－8＝5或*－8＝－5， ∴*1＝13，*2＝3；(3)(2*－1)2＋4＝0， (4)4*2－4*＋1＝0，(2*－1)2＝－4<0， (2*－1)2＝0，∴原方程无解； 2*－1＝0， ∴*1＝*2＝12.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成*2＝p(p ≥0)或(m*＋n)2＝p(p ≥0)的形式，假设能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解以下方程：(1)(3*＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(m*＋n)2＝p(p ≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．关于*的方程*2＋(a 2＋1)*－3＝0的一个根是1，求a 的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解以下方程：(1)3(*－1)2－6＝0 ; (2)*2－4*＋4＝5；(3)9*2＋6*＋1＝4; (4)36*2－1＝0；(5)4*2＝81; (6)(*＋5)2＝25；(7)*2＋2*＋1＝4.解：(1)*1＝1＋2，*2＝1－2； (2)*1＝2＋5，*2＝2－5；(3)*1＝－1，*2＝13；(4)*1＝16，*2＝－16；(5)*1＝92，*2＝－92；(6)*1＝0，*2＝－10；(7)*1＝1，*2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解"降次〞思想．3．理解*2＝p(p ≥0)或(m*＋n)2＝p(p ≥0)中，为什么p ≥0"学习至此，请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(*－a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)*2－8*＋__16__＝(*－__4__)2；(2)9*2＋12*＋__4__＝(3*＋__2__)2； (3)*2＋p*＋__(p 2)2__＝(*＋__p 2__)2.2．假设4*2－m*＋9是一个完全平方式，则m 的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为* m ，则长为__(*＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2，得到方程__*(*＋6)＝16__，整理得到__*2＋6*－16＝0__．探究：怎样解方程*2＋6*－16＝0"比照这个方程与前面讨论过的方程*2＋6*＋9＝4，可以发现方程*2＋6*＋9＝4的左边是含有*的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程*2＋6*－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得*2＋6*＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成*2＋b*＋(b 2)2的形式，得__*2__＋6__*__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(*＋3)2＝25__，开平方，得__*＋3＝±5__， (降次)即 __*＋3＝5__或__*＋3＝－5__，解一次方程，得*1＝__2__，*2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解以下方程：(1)3*2－1＝5； (2)4(*－1)2－9＝0；(3)4*2＋16*＋16＝9.解：(1)*＝±2；(2)*1＝－12，*2＝52；(3)*1＝－72，*2＝－12.归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式a*2＋b*＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空：(1)*2＋6*＋__9__＝(*＋__3__)2； (2)*2－*＋__14__＝(*－__12__)2；(3)4*2＋4*＋__1__＝(2*＋__1__)2.2．解以下方程：(1)*2＋6*＋5＝0; (2)2*2＋6*＋2＝0；(3)(1＋*)2＋2(1＋*)－4＝0.解：(1)移项，得*2＋6*＝－5，配方得*2＋6*＋32＝－5＋32，(*＋3)2＝4，由此可得*＋3＝±2，即*1＝－1，*2＝－5. (2)移项，得2*2＋6*＝－2，二次项系数化为1，得*2＋3*＝－1，配方得*2＋3*＋(32)2＝(*＋32)2＝54，由此可得*＋32＝±52，即*1＝52－32，*2＝－52－32. (3)去括号，整理得*2＋4*－1＝0，移项得*2＋4*＝1，配方得(*＋2)2＝5，*＋2＝±5，即*1＝5－2，*2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有*的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m /s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？解：设*秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程：12(8－*)(6－*)＝12×12×8×6，即*2－14*＋24＝0，(*－7)2＝25， *－7＝±5，∴*1＝12，*2＝2，*1＝12，*2＝2都是原方程的根，但*1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设*秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解以下关于*的方程：(1)2*2－4*－8＝0； (2)*2－4*＋2＝0； (3)*2－12*－1＝0 ; (4)2*2＋2＝5.解：(1)*1＝1＋5，*2＝1－5； (2)*1＝2＋2，*2＝2－2； (3)*1＝14＋174，*2＝14－174；(4)*1＝62，*2＝－62. 2．如果*2－4*＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(*y)z的值．解：由方程得*2－4*＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(*－2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴*＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(*y)z ＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的本卷须知．学习至此，请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)*2＋3*＋2＝0； (2)2*2－3*＋5＝0. 解：(1)*1＝－2，*2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根*1＝－b ＋b 2－4ac2a，*2＝－b －b 2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a*2＋b*＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子*＝－b ±b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(2)*＝－b ±b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 用公式法解以下方程，根据方程根的情况你有什么结论？ (1)2*2－3*＝0； (2)3*2－23*＋1＝0；(3)4*2＋*＋1＝0.解：(1)*1＝0，*2＝32；有两个不相等的实数根；(2)*1＝*2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程*2－4*＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．当m 为何值时，方程(m ＋1)*2－(2m －3)*＋m ＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14.3. *2＋2*＝m －1没有实数根，求证：*2＋m*＝1－2m 必有两个不相等的实数根. 证明：∵*2＋2*－m ＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.对于方程*2＋m*＝1－2m ，即*2＋m*＋2m －1＝0，Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0， ∴*2＋m*＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定以下方程的根的情况： (1)2*2－3*－32＝0; (2)16*2－24*＋9＝0；(3)*2－42*＋9＝0 ; (4)3*2＋10*＝2*2＋8*.解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解以下方程：(1)*2＋*－12＝0 ; (2)*2－2*－14＝0；(3)*2＋4*＋8＝2*＋11; (4)*(*－4)＝2－8*； (5)*2＋2*＝0 ; (6)*2＋25*＋10＝0. 解：(1)*1＝3，*2＝－4； (2)*1＝2＋32，*2＝2－32； (3)*1＝1，*2＝－3；(4)*1＝－2＋6，*2＝－2－6；(5)*1＝0，*2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程a*2＋b*＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac ≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入*＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c 的值，再算．出b 2－4ac 的值、最后代．入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解*些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的根本思想．(2分钟)将以下各题因式分解：(1)am ＋bm ＋cm ＝(__a ＋b ＋c__)m ；(2)a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__；(3)a 2±2ab ＋b 2＝__(a ±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m /s 的速度竖直上抛，则经过* s物体离地的高度(单位：m 2.s )设物体经过* s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即10*2＝0，① 思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：*(10－4.9*)＝0，于是得*＝0或10－4.9*＝0，②∴*1＝__0__，*2≈．上述解中，*2≈表示物体约在2.04 s 时落回地面，而*1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进展因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(*＋1)(*－1)＝0，则__*＋1＝0或__*－1＝0__，即__*＝－1__或__*＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．说出以下方程的根：(1)*(*－8)＝0； (2)(3*＋1)(2*－5)＝0.解：(1)*1＝0，*2＝8； (2)*1＝－13，*2＝52.2．用因式分解法解以下方程：(1)*2－4*＝0; (2)4*2－49＝0；(3)5*2－20*＋20＝0.解：(1)*1＝0，*2＝4; (2)*1＝72，*2＝－72；(3)*1＝*2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解以下方程：(1)5*2－4*＝0； (2)3*(2*＋1)＝4*＋2；(3)(*＋5)2＝3*＋15. 解：(1)*1＝0，*2＝45；(2)*1＝23，*2＝－12；(3)*1＝－5，*2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解以下方程：(1)4*2－144＝0；(2)(2*－1)2＝(3－*)2；(3)5*2－2*－14＝*2－2*＋34；(4)3*2－12*＝－12.解：(1)*1＝6，*2＝－6；(2)*1＝43，*2＝－2； (3)*1＝12，*2＝－12； (4)*1＝*2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解以下方程：(1)*2＋*＝0; (2)*2－23*＝0；(3)3*2－6*＝－3; (4)4*2－121＝0；(5)(*－4)2＝(5－2*)2.解：(1)*1＝0，*2＝－1；(2)*1＝0，*2＝23；(3)*1＝*2＝1；(4)*1＝112，*2＝－112； (5)*1＝3，*2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为* m .则可列方程2π*2＝π(*＋5)2.解得*1＝5＋52，*2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即"二次降为一次〞．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：*1＋*2＝－b a ，*1*2＝c a. 2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)方程*1 *2 *1＋*2 *1*2 *2－5*＋6＝0 2 3 5 6①用语言表达你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②*2＋p*＋q ＝0的两根*1，*2用式子表示你发现的规律.答：*1＋*2＝－p ，*1*2＝q.问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言表达发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②a*2＋b*＋c ＝0的两根*1，*2用式子表示你发现的规律．答：*1＋*2＝－b a ，*1*2＝c a. 自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)a*2＋b*＋c ＝0的两根*1＝2a ，*2＝2a ． *1＋*2＝－b a ，*1*2＝c a. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求以下方程的两根之和与两根之积．(1)*2－3*－1＝0 ； (2)2*2＋3*－5＝0；(3)13*2－2*＝0. 解：(1)*1＋*2＝3，*1*2＝－1；(2)*1＋*2＝－32，*1*2＝－52； (3)*1＋*2＝6，*1*2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积．(1)*2－6*－15＝0; (2)3*2＋7*－9＝0；(3)5*－1＝4*2.解：(1)*1＋*2＝6，*1*2＝－15；(2)*1＋*2＝－73，*1*2＝－3； (3)*1＋*2＝54，*1*2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a ，b ，c.2．方程2*2＋k*－9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．解：另一根为32，k ＝3. 点拨精讲：此题有两种解法，一种是根据根的定义，将*＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．α，β是方程*2－3*－5＝0的两根，不解方程，求以下代数式的值．(1)1α＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β. 解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求以下方程的两根和与两根积：(1)*2－3*＝15; (2)5*2－1＝4*2；(3)*2－3*＋2＝10; (4)4*2－144＝0.解：(1)*1＋*2＝3，*1*2＝－15；(2)*1＋*2＝0，*1*2＝－1；(3)*1＋*2＝3，*1*2＝－8；(4)*1＋*2＝0，*1*2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C )A ．7*2－12*＋5＝0B ．6*2－13*－5＝0C ．4*2＋21*＋5＝0D ．*2＋15*－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a ，b ，c.2．当且仅当b 2－4ac ≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：*1＋*2＝－b a (比前面有负号)，*1*2＝c a(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了*个人，则患流感的这一个人在第一轮中传染了__*__人，第一轮后共有__(*＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__*__人，第二轮后共有__(*＋1)(*＋1)__人患了流感．则列方程：__(*＋1)2＝121__，解得__*＝10或*＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__*__，则十位数字为__(6－*)__，则原两位数为__10(6－*)＋*，新两位数为__10*＋(6－*)__．依题意可列方程：[10(6－*)＋*][10*＋(6－*)]＝1008__，解得 *1＝__2__，*2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)*初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有*名学生，根据题意，列出方程为( )A．*(*＋1)＝2550B．*(*－1)＝2550C．2*(*＋1)＝2550D．*(*－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(*－1)张相片，全班共送出*(*－1)张相片，可列方程为*(*－1)＝2550. 应选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．*种植物的主干长出假设干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出*个小分支，则有1＋*＋*2＝91，即*2＋*－90＝0，解得*1＝9，*2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为*，则列方程为：__*2＋(*＋4)2＝10(*＋4)＋*－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)"审〞：即审题，读懂题意弄清题中的量和未知量；(2)"设〞：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)"列〞：即根据题中__等量__关系列方程；(4)"解〞：即求出所列方程的__根__；(5)"检验〞：即验证根是否符合题意；(6)"答〞：即答复题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±*)n＝b，其中a是原有量，*为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的本钱是5000元，生产1吨乙种药品的本钱是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的本钱是3000元，生产1吨乙种药品的本钱是3600元，哪种药品本钱的年平均下降率较大？(准确到0.01)绝对量：甲种药品本钱的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品本钱的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品本钱的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品本钱的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品本钱的年平均下降率为*，则一年后甲种药品本钱为__5000(1－*)__元，两年后甲种药品本钱为__5000(1－*)2__元．依题意，得__5000(1－*)2＝3000__．解得__*1≈0.23，*2≈__．根据实际意义，甲种药品本钱的年平均下降率约为____．②设乙种药品本钱的年平均下降率为，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈(舍)__．答：两种药品本钱的年平均下降率__一样__．点拨精讲：经过计算，本钱下降额较大的药品，它的本钱下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)*商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为*，则11月份的营业额为__5000(1＋*)__元，12月份的营业额为__5000(1＋*)(1＋*)__元，即__5000(1＋*)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋*)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为*，则一月(或一年)后产量为a(1＋*)；二月(或二年)后产量为a(1＋*)2；n月(或n年)后产量为a(1＋*)n；如果n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋*)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)*人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，假设存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为*，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000*·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000*·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为*，则1000＋2000*·80%＋(1000＋2000*·80%)*·80%＝1320，整理，得1280*2＋800*＋1600*＝320，即8*2＋15*－2＝0，解得*1＝－2(不符，舍去)，*2%.答：所求的年利率是%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg，2013年平均每公顷产8460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为*，则有7200(1＋*)2＝8460，解得*1，*2＝－2.08(舍)．即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．2. 假设平均增长(降低)率为*，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±*)n＝b(常见n＝2)．学习至此，请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(3)1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．。

人教版九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4.3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为__2x两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝2x2＝2．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p 或mx＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝1 2.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；(3)x1＝－1，x2＝1 3；(4)x1＝16，x2＝－16；(5)x1＝92，x2＝－92；(6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟)1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋__p2__)2.2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2＋bx＋(b2)2的形式，得__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52； (3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.(2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32，x2＝－52－32.(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x2－14x＋24＝0，(x－7)2＝25，x－7＝±5，∴x1＝12，x2＝2，x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x的方程：(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；(3)x2－12x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5；(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；(3)x1＝14＋174，x2＝14－174；(4)x1＝62，x2＝－62.2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.解：(1)x1＝0，x2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x1＝x2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m＜14；(2)m＝14；(3)m ＞14.3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－32＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－14＝0；(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，②∴x1＝__0__，x2≈2.04．上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝－13，x2＝52.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝72，x2＝－72；(3)x1＝x2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0，x2＝4 5；(2)x1＝23，x2＝－12；(3)x1＝－5，x2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x2－144＝0；(2)(2x－1)2＝(3－x)2；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34；(4)3x2－12x＝－12.解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)x1＝43，x2＝－2；(3)x1＝12，x2＝－12；(4)x1＝x2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；(5)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)x1＝0，x2＝－1；(2)x1＝0，x2＝23；(3)x1＝x2＝1；(4)x1＝112，x2＝－112；(5)x1＝3，x2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.自学2：完成下表：问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝2a．x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝54，x1x2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为32，k＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x ＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%) 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，。

人教版九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4.3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__1＋52，x2＝__1－52__．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝1 2.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；(3)x1＝－1，x2＝1 3；(4)x1＝16，x2＝－16；(5)x1＝92，x2＝－92；(6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟) 1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋__p2__)2.2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2＋bx＋(b2)2的形式，得__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(3)4x2＋16x＋16＝9.解：(1)x＝±2；(2)x1＝－12，x2＝52；(3)x1＝－72，x2＝－12.归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；(2)x2－x＋__14__＝(x－__12__)2；(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.(2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32，x2＝－52－32.(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt △ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x 2－14x ＋24＝0， (x －7)2＝25， x －7＝±5， ∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0； (3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5； (2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2； (3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174；(4)x 1＝62，x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.解：(1)x1＝0，x2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x1＝x2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m＜14；(2)m＝14；(3)m ＞14.3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－32＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－14＝0；(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x ＝0或10－4.9x ＝0， ② ∴x 1＝__0__，x 2≈2.04．上述解中，x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__，即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0. 解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52.2．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0； (3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72；(3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2； (3)(x ＋5)2＝3x ＋15. 解：(1)x 1＝0，x 2＝45；(2)x 1＝23，x 2＝－12；(3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式． 2．用因式分解法解下列方程： (1)4x 2－144＝0； (2)(2x －1)2＝(3－x)2； (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(4)3x 2－12x ＝－12. 解：(1)x 1＝6，x 2＝－6； (2)x 1＝43，x 2＝－2；(3)x 1＝12，x 2＝－12；(4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0； (3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0； (5)(x －4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x 1＝0，x 2＝－1； (2)x 1＝0，x 2＝23； (3)x 1＝x 2＝1； (4)x 1＝112，x 2＝－112；(5)x 1＝3，x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：方程x1x2x1＋x2x1x2 x2－5x＋6＝2 3 5 6x2＋3x－10＝02 －5 －3 －10 问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律.答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.自学2：完成下表：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 22x 2－3x －2＝0 2－12－13x 2－4x ＋1＝01问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝__－b ＋b 2－4ac 2a __，x 2＝__－b －b 2－4ac2a__．x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝54，x1x2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为32，k＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．。

人教版九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4.3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为__2x两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝2x2＝2．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p 或mx＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝1 2.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；(3)x1＝－1，x2＝1 3；(4)x1＝16，x2＝－16；(5)x1＝92，x2＝－92；(6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟)1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋__p2__)2.2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2＋bx＋(b2)2的形式，得__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52； (3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.(2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32，x2＝－52－32.(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x2－14x＋24＝0，(x－7)2＝25，x－7＝±5，∴x1＝12，x2＝2，x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x的方程：(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；(3)x2－12x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5；(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；(3)x1＝14＋174，x2＝14－174；(4)x1＝62，x2＝－62.2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.解：(1)x1＝0，x2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x1＝x2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m＜14；(2)m＝14；(3)m ＞14.3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－32＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－14＝0；(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－＝0，于是得x＝0或10－＝0，②∴x1＝__0__，x2≈．上述解中，x2≈表示物体约在s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝－13，x2＝52.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝72，x2＝－72；(3)x1＝x2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0，x2＝4 5；(2)x1＝23，x2＝－12；(3)x1＝－5，x2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x2－144＝0；(2)(2x－1)2＝(3－x)2；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34；(4)3x2－12x＝－12.解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)x1＝43，x2＝－2；(3)x1＝12，x2＝－12；(4)x1＝x2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；(5)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)x1＝0，x2＝－1；(2)x1＝0，x2＝23；(3)x1＝x2＝1；(4)x1＝112，x2＝－112；(5)x1＝3，x2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.自学2：完成下表：问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝2a．x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝54，x1x2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为32，k＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x ＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈，x2≈．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈，y2≈(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%) 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，。

人教版九年级上册数学全册导学案

人教版九年级上册数学全册导学案《21.1一元二次方程》导学案 NO ：01班级_______姓名_______小组_______评价_______一、学习目标1、认识一元二次方程及根的概念；2、掌握一元二次方程的一般形式，并会将任何一个一元二次方程化成一般形式。

二、自主学习１、一元二次方程的概念（1）阅读教材引例，在练习本上自己按题意列出方程并整理，写出最后的方程是；说一说这个方程是元次方程。

(2)用类似的方法研究问题1、问题2，经整理后的两个方程分别是；；它们都是元次方程。

(3)归纳总结：含有个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程。

说一说一元二次方程有哪些特点？（与同学认真交流）2、一元二次方程的一般形式阅读教材：一元二次方程的一般形式（抄写三遍）。

说一说哪一项是二次项？系数是多少？有什么要求？哪一项是一次项？一次项系数是多少？哪一项是常数项？（与同学认真交流课堂展示）3、一元二次方程的根阅读教材，说一说什么叫一元二次方程的根？它有什么特点？（与同学认真交流。

）自学检测：1、若关于x 的方程023)1(=---x x m n是一元二次方程，则m ≠ _，n =______；2、方程1)12)(3(-=+-x x x 写成一般式是；二次项是 ____；一次项系数是。

三、合作探究1、下列方程中，是一元二次方程的有①2x=－2 ②32=x ③2y 2－3y+1=0④x －3y=4⑤11=-x x⑥5x 2=x 2、根不为x ＝-2的方程是（）A 、022=+x xB 、5x+10＝0C 、0232=+-x xD 、083=+x3、如果ax 2－x －12＝0是x 的一元二次方程，则a 的取值范围是如果（m －3）011=++-x xm 是x 的一元二次方程，则m 的取值是_________4、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。

数学人教版九年级上册教全套-导学案配套答案(全套导学案)

达标测试答案22．1 一元二次方程1.C 解析：根据题意得：1010a a -≠+≥⎧⎨⎩，解得：a ≥-1且a ≠1． 2.B 解析：将2x 2=1-3x 化为一般形式为2x 2+3x-1=0，∴a=2，b=3，c=-1．3.B 解析：x 2+（2a-1）x+5-a=ax+1，移项得：x 2+（2a-1）x+5-a-ax-1=0，一般形式为：x 2+（a-1）x+4-a=0，∵一次项的系数为4，∴a -1=4，a=5，∴常数项为4-a=4-5=-1．4.B 解析：∵一元二次方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0的一个根是0，∴将x=0代入方程得：a 2-1=0，解得：a=1或a=-1，将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，则a 的值为-1．5.D 解析：当把x=-2代入方程ax 2+bx-3=0能得出4a-2b-3=0，即4a-2b=3，即方程一定有一个根为x=-2．6.B 解析：如果有x 人参加了聚会，则每个人需要握手（x-1）次，x 人共需握手x （x-1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：(x 1)2x -次；据此可得方程(x 1)2x -=10． 7.5 解析：由题意，可得一元二次方程2x 2+4x-1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为-1；则其和为2+4-1=5．8.m≠1 解析：因为方程是一元二次方程，所以m-1≠0，∴m ≠1．9.=-1 ≠±1 解析：由题意得：当2（a-1）=0，即a=-1时，为一元一次方程．当a 2-1≠0，即a≠±1时，为一元二次方程.10.0 解析：∵m 是关于x 的方程2x 2-3x-1=0的一根，∴2m 2-3m-1=0，∴4m 2-6m-2=2（2m 2-3m-1）=0．11.100（1-x ）2=81 解析：本题可设这种药品的成本的年平均下降率为x ，则一年前这种药品的成本为100（1-x ）万元，今年在100（1-x ）元的基础之又下降x ，变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2万元，进而可列出方程100（1-x ）2=81．12.解：（1）方程不是一元二次方程；（2）方程为一元二次方程，整理得：2x 2-6x+1=0，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为1；（3）方程为一元二次方程，整理得：x 2+3x=0，二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为0；（4）当2m-1=0，即m=12时，方程为一元一次方程；当2m-1≠0，即m≠12时，方程为一元二次方程，二次项系数为2m-1，一次项系数为3，常数项为-5． 13.解：将x=0代入得到，210m -=，∴ 1m =±又∵m+1≠0 ∴m≠-1，当m=1时，2m-1=2×1-1=1.14.解：⑴原方程为一元一次方程，则应满足21010k k ⎧-=⎨+≠⎩，解得1k =.所以当1k =时，此方程为一元一次方程，是220x -=，解得1x =.⑵原方程一元二次方程，则应满足210k -≠，解得1k ≠±.所以当1k ≠±时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数为21k -，一次项系数为1k +，常数项为-2．21.2.1 配方法第1课时直接开平方法1.C 解析：∵（x-1）2=b 中b ＜0，∴没有实数根．2.B 解析：∵a 2-2ab+b 2=6，∴（a-b ）2=6，∴a -3.B 解析：（x+1）2-m=0，（x+1）2=m ，∵一元二次方程（x+1）2-m=0有两个实数根，∴m≥0．4.A 解析：∵（x-3）2=1，∴x -3=±1，解得，x 1=4，x 2=2，∵一元二次方程（x-3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4=2+2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，∴△ABC 的周长为：2+4+4=10．5.B 解析：a （x-b ）2=7，两边同时除以a 得：（x-b ）2= 7a ，两边直接开平方可得：x-则，∵两根为12±12 b=12，∴a+b=412=92． 6.A 解析：∵x 1、x 2是一元二次方程3（x-1）2=15的两个解，且x 1＜x 2，∴（x-1）2=5，∴x -1=1+ 3，x 2=1--1． 7.x 1=5，x 2=-5 解析：∵a※b=a 2-b 2，∴（4※3）※x=24，（16-9）※x=24，∴7 2-x 2=24，∴x 2=25，解得：x 1=5，x 2=-5．8.-1或1 解析：由题意可得：（x+1）（x+1）-（1-x ）（x-1）=4，即：2x 2=2，即x 2=1，解得x 1=-1，x 2=1，∴x=-1或1．9.4 解析：∵x 2=b a （ab ＞0）-4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是2与-2，∴4a=b，∴b a=4．10. 解析：由题意，得：m 2+2-1=3，即m 2=2，解得：11.(1)x 2-3=2，x 2=5,x= （2）4（2x+1）2-1=24，4（2x+1）2=25，（2x+1）2=254，2x+1=±52，x 1=34，x 2=-74. 12.解：∵（3x-2）2=（x+4）2，∴3x -2=x+4或3x-2=-x-4，解之得x 1=-12，x 2=3． 13.解：令m=8，则x 2-4x+1+8=5，即x 2-4x+4=0，（x-2）2=0，开方得x-2=0，即x=2． 21.2.1 配方法第2课时配方法1．B 解析：二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．解：x 2﹣2x+3=x 2﹣2x+1+2=（x ﹣1）2+2．2．A 解析:先移项，得x 2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．解：移项，得x 2﹣8x=1，配方，得x 2﹣8x+16=1+16，即（x ﹣4）2=17．3.A解析:把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平式. 解：x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14．4．9 解析:∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9．5．1±解析:根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，开方得：x﹣1=±，解得：x=1±．6．解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，配方得（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x1=1﹣，x2=1+．7．解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．8．解：（1）正确（2）能．过程如下：x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+,∵（x﹣）2≥0，所以x2﹣3x+4的最小值是．9．解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．10．解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．∵代数式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23,解得 m=﹣2或m=.11．解：①∵（x﹣1）2≥0，∴当x=1时，（x﹣1）2的最小值为0，则当x=1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；②代数式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；③设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．故答案为：①1；大；3；②2；大；721.2.2 公式法1.A 解析：∵关于x的方程x2+mx-1=0的根的判别式的值为5，∴△=m2-4×1×（-1）=5，解得m=±3．2.C 解析：根据题意得：2×1-3×1-k=0，∴k=-1，∴方程为：2x2-3x+1=0，解得：x1=1，x2=12．3.D 解析：（x-4）（x+1）=1，整理得：x2-3x-5=0，b2-4ac=（-3）2-4×1×（-5）=9+20=29，x=，x1=，x2=4.C 解析：由题意得：△=b2-4ac=4+4（1-k）=8-4k＞0，∴k＜2，又∵一元二次方程的二次项系数不为0，即k≠1．∴k＜2且k≠1．5.C 解析：方程的为：x=，即x2-2x-4=0的一较小根为x 1，∴原方程的两根为：x 1=1-x 2=1+ 5＜254 2.5，∴-2.5＜− -2，∴-1.5＜-1，即- 32＜x 1＜-1．6.k≤4且k≠0 解析：∴b -1=0，解得，b=1，a=4；又∵方程有两个实数根，∴△=a 2-4kb≥0且k≠0，即16-4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0.7.0 解析：根据题意得：△=4+4（1-k ）＞0，且1-k≠0，解得：k ＜2，且k≠1，则k 的最大整数解为0．8. 解析：整理原方程得：x 2-2x-9=0，∵△=4+36=40，∴解析：△=b 2+4b 2=5b 2．a= = ,∴a b ．解析：解方程得：当不能构成三角形，舍去，则方程x 2-12x+31=0的根为11.解不等式组得：2＜x ＜4．解方程x 2-2x-4=0可得x 1x 23，∴3＜412.解：（1）根据题意，得m≠1．∵a=m -1，b=-2m ，c=m+1，∴△=b 2-4ac=（-2m ）2-4（m-1）（m+1）=4，则x 1=2212(1)1m m m m ++=--，x 2=1；（2）由（1）知，x 1=11m m +-=1+21m -，∵方程的两个根都为正整数，∴21m -是正整数，∴m -1=1或m-1=2，解得，m=2或3．即m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数．13.解：∵关于x 的方程x 2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b ）=0，即b 2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a 为底，b 为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b 为底，a 为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC 的周长为：5+5+2=12；答：△ABC 的周长是12．21.2.3 因式分解法1.C 解析：方程分解因式得：x （x+1）=0，可得x=0或x+1=0，解得：x 1=0，x 2=-1．2.D 解析：方程移项得：x （x+1）-（x+1）=0，分解因式得：（x-1）（x+1）=0，解得：x=1或x=-1．3.B 解析：分解因式得：（x-3）（x+1）=0，可得x-3=0或x+1=0，解得：x 1=-1，x 2=3．4.A 解析：选项A 中的方程可化简为：4x 2-12x+9-9x 2-18x-9=0，-5x 2-30x=0，x 2+15x=0，x（x+15）=0.5.C 解析：解方程得，x=2或4，∴第三边长为2或4．边长为2，3，6不能构成三角形；而3，4，6能构成三角形，∴三角形的周长为3+4+6=13．6.B 解析：由题意得x 2-3x+2=6，整理得x 2-3x-4=0，∴（x-4）（x+1）=0，∴x -4=0或x+1=0，∴x 1=4，x 2=-1．7.x1=x2解析：原方程可化为（2=0，解得x1=x2解析：∵|x2-∴x2-4=0，y2-5y+6=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：②当2，3均为直角边时，斜边为③当2为一直角边，39.3 ∵x2-2x-3=0，x+1≠0，∴（x-3）（x+1）=0，x≠-1，解得：x1=3，x2=-1（不合题意舍去）．故x=3．10.720°解析：x2-8x+12=0，（x-2）（x-6）=0，x-2=0 或x-6=0，x1=2或x2=6，∵边数是n的多边形，n是一元二次方程x2-8x+12=0的一个根，∴n=6，∴（6-2）×180°=720°．11.①-3或1；②5解析：①将b=1代入已知等式得：a2+2a-3=0，即（a-1）（a+3）=0，解得：a=-3或1；②由已知等式得：b=-a2-2a+4=-（a+1）2+5，∵（a+1）2≥0，∴b的最大值为5．12.解：（1）2（x-5）=±4，即有2（x-5）=4或2（x-5）=-4，∴x1=7，x2=3；（2）a=3，b=2，c=-3，则△=22-4•3•（-3）=40，；（3）（（=0，或，∴x1=x2=（4）去括号移项整理得，x2+2x-8=0，∴（x+4）（x-2）=0，∴x+4=0或x-2=0，∴x1=-4，x2=2．13.解：（1）换元法；（2）设x2=y，那么原方程可化为y2-y-6=0，解得y1=3，y2=-2，当y=3时，x2=3y=-2时，x2=-2不符合题意，故舍去．∴原方程的解为：x1x2=21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.B 解析：设方程另一个根为x1，所以x1，所以x12.C 解析：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．3.B 解析：因为x1•x2=ca=-12＜0，∴一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根x1、x2的符号是异号．4.B 解析：将原方程整理得：x2-2kx+2k-1=0，则根据根与系数的关系：x1+x2=2k，x1•x2=2k-1，又由题意可知x1+x2=x12+x22，∴x1+x2=（x1+x2）2-2x1•x2，即2k=（2k）2-2（2k-1）整理得：2k2-3k+1=0，解得：k=1或12．5.B 解析：小明看错一次项系数，解得两根为2，-3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为-2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=-6，α+ β=-3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x 2-3x-6=0．6.3 解析：△=（2m+3）2-4m 2＞0，解得m ＞-34，α+β=-（2m+3），αβ=m 2，∵β=-α（1+β），即α+β+αβ=0，∴-（2m+3）+m 2=0，即m 2-2m-3=0，解得m 1=-1，m 2=3，而m ＞-34，∴m=3． 7.6 解析：由题意知，m 、n 是关于x 的方程x 2-2x-1=0的两个根，则m+n=2，mn=-1．所以，m 2+n 2=（m+n ）2-2mn=2×2-2×（-1）=6．8.①② 解析：①△=（a+b ）2-4（ab-1）=（a-b ）2+4＞0，∴x 1≠x 2，故①正确；②∵x 1x 2=ab-1＜ab ，故②正确；③∵x 1+x 2=a+b ，即（x 1+x 2）2=（a+b ）2，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（a+b ）2-2ab+2=a 2+b 2+2＞a 2+b 2，即x 12+x 22＞a 2+b 2．故③错误．8.解：关于x 的一元二次方程x 2-4x+k-3=0有两个实数根，由根与系数的关系，得12124? •3?x x x x k +=⎧⎨=-⎩①②又∵x 1=3x 2 ③，联立①、③，解方程组得1231x x ⎧⎨⎩＝＝，∴k=x 1x 2+3=3×1+3=6. 9.解：（1）将x=-1代入原方程得m-1+1-2=0，解得：m=2，设方程的另一根是x ，则x-1=1，∴另一根为x=2．（2）当m=1时，方程是一元一次方程，-x-2=0，此时的实数解为x=-2；当m 不等于1时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则有△=b 2-4ac≥0，∴1+4×2（m-1）≥0．解得：m≥78．即当m≥78时，方程有实数根．（3）∵x 1+x 2= 11m -，x 1x 2=- 21m -．x 12x 2+x 1x 22=x 1x 2（x 1+x 2）=（- 21m -）（11m -）=-18．解得：m 1=5，m 2=-3，∵m≥78，∴m=5．21.3 实际问题与一元二次方程第1课时变化率及传播类问题1.B 解析：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：12x （x-1）=4×7． 2.A 解析：设每年发放的资助金额的平均增长率为x ，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x ）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x ）2元，由题意，得：450（1+x ）2=625．3.B 解析：设第二天、第三天的增长率为x ，由题意，得10000（1+x ）2=12100，解得：x 1=0.1，x 2=-2.1（舍去）．则x=0.1=10%，第四天收到的捐款为12100×（1+10%）=13310（元）.4.20% 解析：设该城市家用轿车保有量的平均年增长率是 x ，由题意，得240（1+x ）2=345.6，解得：1+x=±1.2，x=0.2=20%或x=-2.2（舍去）．答：该城市家用轿车保有量的平均年增长率是20%．5.10% 解析：设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得10000×（1-x ）2=8100，解得x 1=0.1，x 2=1.9（不符合题意，舍去），则降价百分率为10%．6.（1+x ）2=81 解析：设一轮过后传染的人数为1+x ，则二轮传染的人数为：（1+x ）（1+x ）=（1+x ）2=81．7.解：（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌，由题意，得60（1+x ）+60x （1+x ）=24000，60（1+x ）（1+x ）=24000，解得：x 1=19，x 2=-21（舍去），∴x=19．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．（2）由题意，得60×（1+19）3=480000个．答：经过三轮培植后有480000个有益菌．8.（1）解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）答：平均每次下调的百分率为10%；（2）由题意，得方案①优惠：4860×100×（1-0.98）=9720元，方案②优惠：80×100=8000元．∵9720＞8000，∴方案①更优惠．第2课时几何图形问题1.C 解析：设道路的宽为x，根据题意得20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得x-26=24或x-26=-24，解得x=50（舍去）或x=2，所以道路宽为2米．2.B 解析：设这个航空公司有机场n个，n(n−1)÷2=10，n=5或n=-4（舍去）.3.D 解析：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x-2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．4.（x+1）2=25 解析：根据题意得：（x+1）2-1=24，即：（x+1）2=25．5.1.5 根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4-x，∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC5，∴B′C=5-3=2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4-x）2，解得x=1.5.6.20 解析：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，由题意得：（50-x）（30+2x）=2100，化简得：x2-35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20.7.解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列方程：150（1+x）2=216，解得x1=-220%（不合题意，舍去），x2=20%．答：求该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）．所以该经销商1至3月共盈利：（2800-2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）．8.解：（1）设这种玩具的进价为a元，由题意，得36-a=80%a，解得：a=20元．答：这种玩具的进价为每个20元；（2）设平均每次降价的百分率为x．由题意，得36（1-x）2=20（1+25%），解得，x≈16.7%，或x≈183%（不合题意，舍去），答：平均每次降价的百分率16.7%．9.解：由题意得出：200×（10-6）+（10-x-6）（200+50x）+（4-6）[（600-200）-（200+50x）]=1250，即800+（4-x）（200+50x）-2（200-50x）=1250，整理得：x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1，∴10-1=9．答：第二周的销售价格为9元．第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.C 解析：A 、一次函数，不是二次函数；B 、不是关于x 的整式，不是二次函数；C 、是二次函数；D 、y 的指数为2，不是二次函数．2.B 解析：选项A 、只有当a≠0才是二次函数，错误；选项B 、由已知得S=πR 2，S 是R的二次函数，正确；选项C 、由已知得v=s t，s 一定，是反比例函数，错误；选项D 、由已知得C=2πR ，是一次函数，错误． 3.D 解析：根据题意的得：222120m m m m --+≠⎧⎨⎩＝，解得：3101m m -≠⎨⎩-⎧＝或且，∴m=3． 4.C 解析：根据一直角边长为xcm ，则另一条直角边为（20-x ）cm ，根据题意得出：y=x （20-x ）÷2．5.C 解析：第一次降价后的价格是18×（1-x ）；第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1-x ）×（1-x ）=18（1-x ）2．则函数解析式是：y=18（1-x ）2．6.A 解析：矩形的长是：60+2x ，宽是：40+2x ，由矩形的面积公式得则y=（60+2x ）（40+2x ）．7.-2，8，8 解析：y=-2（x-2）2变形为：y=-2x 2+8x+8，所以二次项系数为-2；一次项系数为8；常数项为8． 8.y=12（20-2t ）2 解析：AM=20-2t ，则重叠部分面积y=12×AM 2=12（20-2t ）2，y=12（20-2t ）2（0≤t≤10）．9.解：（1）这两个数的乘积p 与较大的数m 的函数关系为：p=m （m-5）=m 2-5m ，是二次函数；（2）剩余的面积S （cm 2）与方孔边长x （cm ）的函数关系为：S=100π-4x 2，是二次函数；（3）郁金香的种植面积S （cm 2）与草坪宽度a （m ）的函数关系为：S=（60-2a ）（40-2a ）=4a 2-200a+2400，是二次函数．10.解：（1）由y=-（m+2）22m x -（m 为常数），y 是x 的一次函数，得22120m m -+≠⎧⎨⎩＝，解得当y 是x 的一次函数；（2）y=-（m+2）x m2-2（m 为常数），是二次函数，得22220m m -+≠⎧⎨⎩＝，解得m=2，m=-2（不符合题意的要舍去），当m=2时，y 是x 的二次函数，当y=-8时，-8=-4x 2，解得纵坐标为-80）．11.解：（1）y=（2x+2x+x+x ）×30+45+2x 2×120=240x 2+180x+45；（2）由题意可列方程为240x 2+180x+45=195，整理得8x 2+6x-5=0，即（2x-1）（4x+5）=0，解得x 1=0.5，x 2=-1.25（舍去）∴x=0.5，∴2x=1，答：镜子的长和宽分别是1m 和0.5m ．12.解：（1）函数y=（m 2-m ）x 2+（m-1）x+2-2m 是二次函数，即m 2-m≠0，即m≠0且m≠1，∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；（2）函数y=（m 2-m ）x 2+（m-1）x+2-2m 是一次函数，即m 2-m=0且m-1≠0，∴m=0，∴当m=0，函数是一次函数；（3）函数y=（m 2-m ）x 2+（m-1）x+2-2m 是正比例函数，即m 2-m=0且2-2m=0且m-1≠0，∴m 不存在.∴函数y=（m 2-m ）x 2+（m-1）x+2-2m 不可能是正比例函数．22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质1.C 解析：当a ＞0时，二次函数y=ax 2的开口向上，一次函数y=ax+a 的图象经过第一、二、三象限，排除A 、B ；当a ＜0时，二次函数y=ax 2的开口向下，一次函数y=ax+a 的图象经过第二、三、四象限，排除D ．2.B 解析：由二次函数的性质易知它们的共同性质是对称轴是y 轴.3.C 解析：∵Rt△OAB 的顶点A （-2，4）在抛物线y=ax 2上，∴4=a×（-2）2，解得：a=1，∴解析式为y=x 2，∵Rt△OAB 的顶点A （-2，4），∴OB=OD=2，∵Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x 轴，∴点D 和点P 的纵坐标均为2，∴令y=2，得2=x 2，解得：P 在第一象限，∴点P 的坐标为：2）．4.顶点坐标均为（0，0）（答案不唯一）5.2π 解析：由图形观察可知，把x 轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s= 12×π×22=2 π．6.解：（1）∵抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8），∴a•（-2）2=-8，∴a=-2．∴此抛物线的函数解析式为y=-2x 2．（2）把x=-1代入y=-2x 2．得y=-2×1=-2，所以点B （-1，-4）不在此抛物线上；（3）把y=-6代入y=-2x 2得-6=-2x 2-6的点的坐-6）或（--6）． 7.解：（1）∵直线y=x+b 过点A （1，2），∴2=1+b，解得b=1，∴直线AB 所表示的函数解析式为y=x+1，∵抛物线y=ax 2过点A （1，2），∴a×12=2，解得a=2，∴抛物线所表示的函数解析式为y=2x 2．（2）解221y x y x ⎩+⎧⎨＝＝，得12x y ⎧⎨⎩＝＝或1212x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝-＝，∴B 的坐标为（-12，12）．（3）由直线AB 所表示的函数解析式为y=x+1，可知直线与x 轴的交点C 的坐标为（-1，0），∵△AOC 的面积=12×1×2=1，△BOC 的面积=12×1×12=14，∴△AOB 的面积=1-14=34． 8.解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax 2．设D （5，b ），则B （10，b-3），把D 、B 的坐标分别代入y=ax 2得：251003a b a b =⎧⎨=-⎩，解得1251a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=-125x 2；（2）∵b=-1，∴拱桥顶O 到CD 的距离为1，10.2=5小时．所以再持续5小时到达拱桥顶．2.1.3二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质第1课时二次函数y=ax 2+k 与y=a(x-h)2的图象和性质1.A 解析：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴x=- 2b a =0，对称轴为y 轴，都关于y 轴对称．3.A 解析：∵抛物线y=x 2+b 与抛物线y=ax 2-2的形状、开口方向相同，只是位置不同，∴a=1，b≠-2．2.D 解析：∵y=6x 2=6（x+1-1）2，∴抛物线y=6x 2可由y=6（x+1）2沿x 轴向右平移1个单位得出．4.C 解析：由于所得函数图象与原函数图象关于原点对称，故所得函数顶点为（0，-1），则所得函数为y=-x 2-1．5.D 解析：∵y=-x+1的图象过第一、二、四象限，y=-32（x-1）2的开口向下，顶点在点（1，0），∴同时符合条件的图象只有选项D ．6.（-1，0）解析：原抛物线的顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，让横坐标减1，纵坐标不变，所以顶点坐标是（-1，0）．7.y=2x 2-3 解析：根据题意，-y=3-2x 2，化简得：y=2x 2-3，．故抛物线y=3-2x 2关于x 轴对称的抛物线的解析式为：y=2x 2-3．8.y 2＜y 3＜y 1 解析：∵抛物线y=3x 2的对称轴为a=3＞0，∴x＜y 随x的增大而减小，x ＞y 随x 的增大而增大，∵A（y 1），∴对称点的坐标为y 1），∵-1＜02＜y 3＜y 1．9.解：（1）根据题意设y=ax 2+3，把（1，1）代入得：1=a+3，即a=-2，则抛物线解析式为y=-2x 2+3；（2）令y=0，得到AB= x=0，得到y=3，即OC=3，则S △ABC =12AB•OC=2． 10.解：（1）∵二次函数y=a （x-h ）2的顶点坐标是（-5，0），∴h=-5，即而次函数解析式为y=a （x+5）2，∵二次函数图象过点（0，-3），∴a•（0+5）2=-3，解得a=-325．∴二次函数解析式为y=- 325（x+5）2；（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-5，∴当x ＜-5时，函数y 值随x 增大而增大．11.解：（1）y=-2（x+2）2，图略.（2）①根据（1）得出的抛物线的解析式可得：A 点的坐标为（-2，0）；B 点的坐标为（0，-8）．因此在直角三角形ABO 中，根据勾股定理可得：AB=2 ．设直线AB 的解析式为y=kx-8，已知直线AB过A点，则有：0=-2k-8，k=-4，因此直线AB的解析式为：y=-4x-8.第2课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.C 解析：∵a=-12＜0，∴抛物线开口方向向下，故①正确；对称轴为直线x=-1，故②错误；顶点坐标为（-1，3），故③正确；∵x＞-1时，y随x的增大而减小，∴x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确；综上所述，正确结论有①③④共3个．2.C 解析：∵抛物线的顶点坐标（-2，3），开口方向和大小与抛物线y＝12x2相同，∴这个二次函数的解析式为y=12（x+2）2+3．3.A 解析：∵抛物线y=-2（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h＞0，k＞0．4.C 解析：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=12（x-2）2-2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA•AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=12（x-2）2-2+4，即y=12（x-2）2+2．5.（6，0）解析：由题意得：抛物线对称轴为：直线x=4，∴则它与x轴的另一个交点坐标是：（6，0）．6. ＞解析：由题意得：该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x=1．∵点A（x1，y1）、B （x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，x1＞x2＞1，∴y1＞y2．7.y=-（x+1）2-2 解析：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．8.解：（1）二次函数y=12（x+1）2-1的图象的顶点坐标为（-1，-1），把点（-1，-1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，-5），所以原二次函数的解析式为y=12（x-1）2-5，所以a=12，h=1，k=-5；（2）二次函数y=a（x-h）2+k，即y=12（x-1）2-5的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-5）．9.解：能．∵OC=4，CD=3∴顶点D坐标为（4，3）．∵抛物线经过点A（0，2.5）和（4，3），∴设y=a（x-4）2+3，由题意，得52=a（0-4）2+3，解得：a=-112．∴y=-112（x-4）2+3．当y=0，-112（x-4）2+3=0，∴x1=10，x2=-2（舍去）．∴该运动员的成绩为10m．10.解：（1）在3月份，每千克售价为5元，在3月份，每千克成本为4元，∴在3月份出售这种蔬菜，每千克收益是5-4=1（元）．（2）设x月份出售时，每千克售价为y1元，每千克成本为y2元，根据图甲设y1=kx+b∴3563k b k b ⎨+⎩+⎧＝＝．∴23k b -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝7，∴y 1＝−23x+7，根据图乙设y 2=a （x-6）2+1，∴4=a （3-6）2+1，∴a＝13，∴y 2＝13 (x −6)2+1，∵y=y 1-y 2，∴y＝−23x+7−[13 (x −6)2+1]，∴y＝−13x 2+103x −6；（3）∵y＝−13x 2+103x −6，∴y＝−13 (x −5)2+73．∴当x=5时，y 有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．22.1.4二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质第1课时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质1.C 解析：y=2x 2-8x-1=2（x 2-4x+4）-8-1=2（x-2）2-9，即y=2（x-2）2-9． 2.D 解析：∵抛物线的对称轴为直线x=-22(1)b⨯-=b ，而a ＜0，∴当x ＞b 时，y 随x 的增大而减小，∵当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，∴b≤1．3.C 解析：选项A 、假设函数图象正确，则a=±1，又开口向上，a=1，但对称轴为直线x=−12，与图象不符；选项B 、假设函数图象正确，则a ＜0，对称轴x=−2ba ＞0，与图象不符；选项C 、假设函数图象正确，则a=±1，又开口向上，a=1，对称轴x=−2ba＜0，符合；选项D 、该图象的对称轴为y 轴，与函数不符．4.B 解析：∵点C （x 0，y 0）是抛物线的顶点，y 1＞y 2≥y 0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a＞0；∴25a -5b+c ＞9a+3b+c ，∴2b a ＜1，∴- 2b a＞-1，∴x 0＞-1，∴x 0的取值范围是x 0＞-1．5.0 解析：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），对称轴是直线x=-1，∴y=ax 2+bx+c 与x 轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c=0．6.①②⑤ 解析：①由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac ＞0，∴b 2＞4ac ，故①正确；②抛物线开口向上，得：a ＞0；抛物线的对称轴为x=-2ba=1，b=-2a ，故b ＜0；抛物线交y 轴于负半轴，得：c ＜0；所以abc ＞0；故②正确；③∵抛物线的对称轴为x=-2ba=1，b=-2a ，∴2a+b=0，故2a-b=0错误；④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax 2-2ax+c （a≠0）；由函数的图象知：当x=-2时，y ＞0；即4a-（-4a ）+c=8a+c ＞0，故④错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=-1时，y ＜0，所以当x=3时，也有y ＜0，即9a+3b+c ＜0；故⑤正确；所以这结论正确的有①②⑤． 7.（2，32）解析：由题意得：抛物线的对称轴为x=1，∵直线AB 与x 轴平行，∴点A 和点B 关于直线x=1对称，∴B 点坐标为（2，32）．8.解：（1）二次函数y=x 2-x+m=（x- 12）2- 14+m ，∵a＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x=12，顶点坐标为（12，-14+m ）．（2）由已知，即-14+m ＞0，解得m ＞14，（3）∵二次函数y=x 2-x+m 过原点，∴m=0，∴函数的解析式为y=x 2-x ，，∵y=x 2-x=（x-12）2-14，∴对称轴x=12，∵a=1＞0，∴当x ＞12时y 随x 增大而增大．9.解：（1）设抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-5），所以y=-x 2+4x+5，所以b=4，c=5；（2）y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9，P 点坐标为（2，9），所以△ABP 的面积=12×6×9=27；（3）抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，所以当0＜x 1＜x 2＜1时，y 1＜y 2． 10.解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x 2+bx+c 得0420c b =⎧⎨+=⎩，解得 20b c ⎩-⎧⎨＝＝，∴解析式为y=x 2-2x.（2）∵y=x 2-2x=（x-1）2-1，∴顶点为（1，-1）,对称轴为：直线x=1,（3）设点B 的坐标为（c ，d ），则12×2|d|=3，解得d=3或d=-3，∵顶点纵坐标为-1，-3＜-1 （或x 2-2x=-3中，x 无解）∴d=3,∴x 2-2x=3,解得x 1=3，x 2=-1∴点B 的坐标为（3，3）或（-1，3）.第2课时二次函数解析式的求法1.D 解析：根据图象知，抛物线开口向下，顶点（12，4），选项A 、是一个开口向上的函数，错误；选项B 、函数的顶点坐标为（-12，4），错误；选项C 、函数的顶点坐标为（12，32），错误；选项D 、符合题意． 2.D 解析，根据题意，二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点（2，4），4+2m+n=4，得出n=-2m ．又抛物线的顶点坐标是（-2m ，244n m -），代入y=2x+1，整理得m 2-4m-4n+4=0，又把n=-2m代入，得m 2+4m+4=0，解得m=-2，所以n=4．二次函数表达式为y=x 2-2x+4． 3.D 解析：一次函数y=x+m 2与y=2x+4的图象交点为（-2，0），将其代入y=x+m 2，得-2+m 2=0，解得4.D 解析：根据图象可以得到以下信息，抛物线开口向下，∵与x 轴交于（0，0）（4，0）两点坐标，∴对称轴为x=2．故①正确；当x≥2时，y 随x 的增大而减小；故②错误；根据图象，当y＜0时，x＜0或x＞4；故此选项正确；根据顶点坐标为（2，4），即可求出解析式为：y=-x2+4x，故此选项正确；故正确的有：①③④．5.-2 解析：把点（1，2）和（-1，-6）分别代入解析式得：26a b ca b c⎧⎨+-+⎩+-＝①＝②，①+②得：2a+2c=-4，则a+c=-2.6.y=x2+3x-1 解析：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵开口向上，∴a＞0，∵y轴交点纵坐标为-1，∴c=-1，∵经过点（1，3），∴a+b+c=3，写一个满足条件的函数解析式即可，如y=x2+3x-1．答案不唯一．7.l=-2m2+8m+12 解析：把x=m代入抛物线y=-x2+6x中，得AD=-m2+6m，把y=-m2+6m代入抛物线y=-x2+6x中，得-m2+6m=-x2+6x，解得x1=m，x2=6-m，∴C的横坐标是6-m，故AB=6-m-m=6-2m，∴矩形的周长是l=2（-m2+6m）+2（6-2m），即l=-2m2+8m+12．8.解：二次函数解析式为：y=x 2-2x-8，当y=0，则0=x 2-2x-8，解得：x1=-2，x2=4，故二次函数图象与x轴公共点的坐标为：（-2，0），（4，0）．9.解：（1）由点（4，5）在函数图象上，得5=16-4k-（k+1），解得k=2，所以函数解析式是y=x2-2x-3；（2）由（1）可知点A的坐标为（0，-3），对称轴为直线x=1，又点B是由点A沿x轴方向平移后所得，所以点A和点B是关于直线x=1对称的，则点B坐标为（2，-3）．10.解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（-2，0），C（0，3），∴c=3，将A（-2，0）代入y=-12x2+bx+3得，-12×（-2）2-2b+3=0，解得b=12，可得函数解析式为y=-12x2+12x+3；（2）存在，理由如下：如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．设AD所在直线的解析式为y=kx+b，将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得，2022k bk b⎩-+⎨+⎧＝＝，解得121kb⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，故直线解析式为y=12x+1，（-2＜x＜2），由于二次函数的对称轴为x=12，则当x=12时，y=54，故P（12，54）．22.2 二次函数与一元二次方程1.A2.C 解析：∵函数y=ax2+bx+c的图象顶点的纵坐标为3，∴函数y=ax2+bx+c-3的图象可以看作是y=ax2+bx+c的图象向下平移3个单位得到，此时顶点在x轴上，∴函数y=ax2+bx+c-3的图象与x 轴只有1个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx+c-3=0有两个相等实数根．3.B 解析：由题意得：抛物线开口向上，且与x 轴没有交点，则a ，b ，c 应满足a ＞0，b 2-4ac ＜0．4.B 解析：一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax 2+bx 和y=-m 有交点，可见-m≥-3，∴m≤3，∴m 的最大值为3．5.2.5 解析：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=-1，设函数的另一根为x ，则4.52x+=-1，解得x=2.5． 6.①②④7.解：①当m 2-1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x 轴只有一个公共点；②当m 2-1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则△=（2m+2）2-8（m 2-1）=0，解得 m=3，m=-1（舍去）．综上所述，m 的值是1或3． 8.解：（1）∵点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，∴P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．∴抛物线对称轴x ＝−4b ＝312-+，∴b=4．（2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2x 2+4x+1=0．∵△=b 2-4ac=16-8=8＞0，∴方程有实根，；（3）由题意将抛物线y=2x 2+bx+1的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，∴设为y=2x 2+4x+1+k ，∴方程2x 2+4x+1+k=0没根，∴△＜0，∴16-8（1+k ）＜0，∴k＞1，∵k 是正整数，∴k 的最小值为2．9.解：（1）因为抛物线y=-0.2x 2+3.5的顶点坐标为（0，3.5）所以球在空中运行的最大高度为3.5米；（2）当y=3.05时，3.05=-0.2x 2+3.5，解得：x=±1.5，又因为x ＞0，所以x=1.5，当y=2.25时，x=±2.5，又因为x ＜0，所以x=-2.5，由|1.5|+|-2.5|=1.5+2.5=4米，故运动员距离篮框中心水平距离为4米．第二十三章旋转23.1 图形的旋转1.A2.C 解析：选项A、不能通过平移得到，故错误；选项B、是平移变换，不能通过旋转得到，故错误；选项C、既符合平移变化，又能旋转得到，故正确；选项D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故错误．3.B 解析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．4.C 解析：连接AC、BD，AC与BD的交点即为旋转中心O．根据旋转的性质知，点C与点D 对应，则∠DOC就是旋转角．∵四边形ABCD是正方形．∴∠DOC=90°．5.40 解析：∵∠1=∠2=∠3=20°，∴∠1+∠2=40°=∠BAD，即旋转角是40度．6.24 解析：由图可知叶片落在扇形AOB内部的面积是图形面积的13，因而叶片落在扇形AOB内部的面积为72×13=24cm2.7.6，150 解析：连接PP′，∵PA=6，PB=8，PC=P′B=10，∵∠PAP′=60°，∴P′A=PP′=PA=6，∴P′B=PC=10，∴∠P′PB=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．8.解：（1）如图，∵△AP′B旋转后能与△APC重合，∴旋转中心是点A；（2）旋转角是∠BAC=60°；（3）由（2）得：∠P′AP=∠BAC=60°．9.解：（1）旋转中心是点D；（2）∵△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA，∴旋转角的度数等于∠ADC的度数，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴旋转了90°；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，DC=AB=BC=4，∵CE=3，∴BE=4-3=1，∵△DEC 按顺时针方向转动一个角度后成△DGA，∴△DEC≌△DGA，∴AG=CE=3，∴BG=3+4=7，在Rt△GBE中，23.2.1 中心对称1.B2.A 解析：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，∴BB′=2AB=4．3.A 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，在△EDO和△FBO中，∠EDO ＝∠FBO,DO＝BO,∠FOB＝∠EOD,∴△DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO=S△BFO，阴影面积=三角形BOC面积=14×2×2=1．4.D 解析：由于四边形ABCD与四边形EFGH都是菱形，且关于直线BD上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H．5.BC=2OE，OE∥BC解析：O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，则AE=BE，OA=OC．则与OE有关的结论：BC=2OE，OE∥BC．6.BM=DN 解析：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP，∵以P为圆心作圆，∴P又是圆的对称中心，∵过P的任意直线与圆相交于点M、N，∴PN=PM，∵∠DPN=∠BPM，∴△PDN≌△PBM（SAS），∴BM=DN．7.12 解析：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=12×6×8=24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×24=12．8. 解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求作的三角形：；（2）四边形BC1B1C是平行四边形，连结BB1，CC1，∵点B与B1，点C与C1分别关于点O成中心对称，∴OB=OB1，OC=OC1，∴四边形BC1B1C是平行四边形．9.解：（1）AE∥BD，且AE=BD．理由如下：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，∴AB=DE，∠ABC=∠DEC，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE ∥BD，且AE=BD；（2）AC=BC．理由如下：∵AC=BC，∴根据旋转的性质推知AC=BC=CE=CD，∴AD=BE，又由（1）知，四边形ABDE是平行四边形，∴四边形ABDE为矩形．23.2.2 中心对称图形1.C 解析：选项A、不是中心对称图形，错误；选项B、不是中心对称图形，错误；选项C、是中心对称图形，正确；选项D、不是中心对称图形，错误．2.C 解析：中心对称图形有正方形、矩形、菱形；轴对称图形有：正方形、等腰梯形、矩形、菱形，既是中心对称又是轴对称的图形有正方形、矩形、菱形．3.C 解析：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．4.1 解析：第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意；第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意．5.4 解析：如图所示：这个格点正方形的作法共有4种．6.解：（1）如图所示：四边形ABCD即为所求；（2）如图所示：四边形ABCD即为所求7.连接CD交AB于点O，∵AC=BD，∠A=∠B，又∵∠AOC=∠BOD, ∴△ACO≌△BDO(AAS) ∴OA=OB,OC=OD，∴A,B和C,D分别关于点O对称. ∵DE∥CF，∴∠ODE=∠OCF，又∵∠DOE=∠COF，OC=OD, ∴△ODE≌△OCF(ASA) ∴OE=OF，∴点E,F也关于点O对称，∴此图形是中心对称图形，对称中心是点O.8.解：尝试应用(1)（2）拓展延伸：23.2.3 关于原点对称的点的坐标1.D2.A 解析：∵点A（-3，-1）绕原点O旋转180°到乙位置，∴A在乙位置时的坐标为（3，1），∵A在乙位置向下平移2个单位长度到丙位置，∴丙位置中的对应点A′的坐标为（3，-1）．3.B 解析：根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置．所以点C的坐标是（2，-1）．4.D 解析：∵A的坐标是（-3，2），A与B关于x轴对称，A与C关于原点对称，∴B点坐标为（-3，-2），C点坐标为（3，-2），S△ABC=12×6×4=12．5.解：（1）∵A（2，3），∴点A关于直线y=x的对称点B（3，2），点A关于原点（0，0）的对称点C（-2，-3）；（2）∵B（3，2），∴点B关于原点（0，0）的对称点D（-3，-2），∵点B与点D关于O对称，∴BO=DO，∵点A与点C关于O对称，∴AO=CO，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．6.解：（1）如图，E（-3，-1），A（-3，2），C（-2，0）；（2）如图，A2（3，4），C2（4，2）；（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称．7.解：（1）（1，1）；（2）P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2），（2，3）.第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆1.A2.B 解析：∵以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，∴点B的坐标是（0，-1）．3.C 解析：设大圆的直径是D．根据圆周长公式，得图（1）中，需要2πD；图（2）中，中间的三个小圆的直径之和是D，所以需要2πD．4.C 解析：∵直角△PAB中，AB2=PA2+PB2，又∵矩形PAOB中，OP=AB，∴PA2+PB2=AB2=OP2．5.12 解析：坐标轴上到圆心距离为5的点有4个，由勾股定理，四个象限中，到圆心距离为5的点有8个，共12个.6.120 解析：由图可知，∠OBC=60°,∵OC=OB,∴△OBC是等边三角形,∴∠BCO=60°,则∠ACO=120°．。

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