机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业——简支梁的各情况分析
机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l xx y -==）（223max43x l l x y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680mlEImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
振动力学(梁的横向振动)分析
EI 2 2 求出后得到固有频率 i i a i , (i 1, 2 ) A
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x 振型为
sin l sh l C sin x sh x (cos x ch x) ch l cos l
u ( x, t ) Φ( x)q(t )
代入方程得到
a x2
2 2
d Φ( x) d q(t ) q(t ) dx2 Φ( x) dt 2
2 2
写为
2 d 2Φ( x) d 2 q(t ) 2 2 2 x dx 2 dt a 2 Φ ( x) q(t )
l
l d d 2 i d d i j EI EI dx j 2 2 0 dx dx dx dx 0
2
l
d d i d i d j j EI EI 2 2 dx 0 dx dx 0 dx
2 2
d d i EI 2 0 i dx 2 dx
l 2 2
l d i 2 dx EI dx Mi i 2 0 dx
弹性体的振动
梁在激励力作用下的响应
和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
u ( x, t ) qi (t )Φ ( x)
u ( x, t ) u ( x, t ) EI k0 2 x x x l
2
x l
3u ( x, t ) EI x3
ku (l , t )
x l
弹性体的振动
(完整版)机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x=-⎧⎨=⎩& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩&2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩&200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
单自由度系统自由振动——简支梁
单自由度系统自由振动（简支梁）一、 实验目的 １、测定简支梁的等效弹簧常数k ； ２、记录简支梁的自由振动曲线，用分析仪测定系统的有阻尼时的固有频率d ω及相对阻尼系数ζ； ３、用附加质量法测定简支梁的等效质量m ； ４、初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。
二、 实验装置及原理 １、 实验装置 一根均匀的、截面为矩形的简支梁，其简图如图１所示。
这个系统可看作如图２所示的，有阻尼的单自由度弹簧质量系统，有阻尼时的振动微分方程为： 0=++kx x c xm &&& （１） 令m c n =2，mk n =2ω （２） 则（１）式为：022=++x x n x n ω&&& （３） 再令nn ωζ= （４） 则式（３）为：022=++x x x n n ωςω&&& （５） 其中： m ：为简支梁系统的等效质量； k ：为简支梁系统对于跨度中点的等效弹簧常数； c ：为简支梁下的阻尼常数，n 称为衰减系数，ζ称为相对阻尼系数； n ω：为简支梁系统固有频率，n n f πω2=，d ω为系统的有阻尼固有频率，d d f πω2=。
２、 实验原理 （１） 等效弹簧常数的测定 由于梁在弹性范围内的挠度与梁所受载荷成正比，因此只要在简支梁的跨中点加载，同时图2用百分表读出该点的挠度值，即可测出等效弹簧常数。
（２）记录简支梁系统的自由振动曲线 在简支梁跨度中点贴应变片作用是使梁在振动时的应变量变化转化成电阻量的变化，再将应变片按半桥接法接到动态应变仪上，把电阻量的变化信号放大，并转化成电压量的变化信号，输出到示波器或分析仪，这样即可观察和记录波形。
测试系统框图如图３所示。
（３）附加质量法测等效质量 根据式（２），因为()222n n f m k πω==，21ζωω−=n d ，d d f πω2=要测出简支梁的等效质量m ，只要在原来的简支梁上附加一个已知质量∆，再次求得带有附加质量∆时的固有频率2∆n ω，然后通过下式计算得到m ： ()()()()22222222∆∆∆==∆+=n n n n n n f f f f m m ππωω （６） ()()1111222222−∆=−−−∆=∆∆∆d d d d f f f f m &ζζ （７） 三、 实验步骤 １、 测定简支梁系统的等效弹簧常数 在简支梁跨中点处用砝码加载（ｉ＝１，２， …．， ５），同时用百分表读出该点相对应的挠度值，并记录表１中，按公式算出。
简支梁的变形与振动分析
简支梁的变形与振动分析简支梁是一种常见的结构形式，广泛应用于桥梁、楼板等工程中。
在实际工程项目中，我们需要对简支梁的变形和振动进行分析，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将从数学模型到应用实例，全面深入地探讨简支梁的变形与振动分析。
一、简支梁的基本理论简支梁是在两端支座的约束下，承受集中力或均布力作用下的一种结构形式。
为了研究其变形和振动特性，我们需要建立数学模型。
1. 简支梁的受力分析在进行简支梁的变形和振动分析前，首先需要了解其受力情况。
在两端支座的约束下，简支梁主要受到弯矩和剪力的作用。
通过弯矩和剪力的分析，可以得出简支梁的受力公式，进而计算结构在承受力作用下的变形。
2. 简支梁的变形分析简支梁在受力作用下会发生一定的变形。
根据梁的假设和力学原理，可以建立简支梁的弹性变形方程。
通过求解弹性变形方程，可以得到简支梁在各个位置的变形情况。
3. 简支梁的振动分析在实际工程中，简支梁还可能受到外力的激励，导致振动现象的发生。
为了分析简支梁的振动特性，我们可以建立简支梁的振动微分方程，并求解得到简支梁的振动模态。
二、简支梁的应用实例1. 桥梁工程简支梁在桥梁工程中得到广泛应用。
为了确保桥梁在运行过程中的安全性和稳定性，需要进行简支梁的变形与振动分析。
通过分析得到的变形和振动数据，可以对桥梁的结构参数进行优化，提高桥梁的工作性能。
2. 建筑结构在楼板、屋顶等建筑结构中，简支梁也扮演着重要的角色。
在设计建筑结构时，需要对简支梁进行变形与振动分析，以确保结构的稳定性和安全性。
通过合理调整支座位置或增加梁的截面尺寸，可以改善简支梁的变形和振动特性。
三、总结简支梁的变形与振动分析对于工程项目的设计和施工至关重要。
通过建立数学模型，进行受力分析和变形分析，可以预测结构在实际工况下的变形情况。
同时，通过振动分析，可以了解简支梁的振动特性，为结构的稳定性提供参考。
在实际工程中，我们还可以利用现代软件进行简支梁的有限元分析，获得更加准确的变形和振动数据。
机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
图2 简支梁的双自由度模型
三、三自由度简支梁的振动特性
如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：
因此，质量矩阵为：
由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：
其中， 。
动力矩阵：
令特征行列式为零，得到频率方程为：
其中， ，将上式整理得：
其中， 。
利用Matlab软件,求解上述方程的根为：
2.2447
0.0629
0.1282
-0.0388
1.8642
0.0834
0.0932
-0.0347
1.3333
0.0768
0.0568
-0.0237
0.6941
0.046
0.0258
-0.011
将各列分别归一化得：
求得 和 分别为：
再由李兹法得特征值问题为：
解出：
, , ,
其中， ，相应的主振型为：
机械振动大作业
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学号：SX*******
专业：航空宇航推进理论与工程
能源与动力学院
2013年12月
简支梁的振动特性分析
题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
0.0306
0.0158
0.0309
0.0443
0.0552
0.0628
0.0664
0.0650
0.0579
0.0443
0.0240
振动实验报告讲解
振动实验报告讲解振动与控制系列实验姓名：李⽅⽴学号：201520000111电⼦科技⼤学机械电⼦⼯程学院实验1 简⽀梁强迫振动幅频特性和阻尼的测量⼀、实验⽬的1、学会测量单⾃由度系统强迫振动的幅频特性曲线。
2、学会根据幅频特性曲线确定系统的固有频率f 0和阻尼⽐。
⼆、实验装置框图图3.1表⽰实验装置的框图图3-1 实验装置框图KCX图3-2 单⾃由度系统⼒学模型三、实验原理单⾃由度系统的⼒学模型如图3-2所⽰。
在正弦激振⼒的作⽤下系统作简谐强迫振动，设激振⼒F 的幅值B 、圆频率ωo(频率f=ω／2π)，系统的运动微分⽅程式为：扫频信号源动态分析仪计算机系统及分析软件打印机或绘图仪简⽀梁振动传感器激振器⼒传感器质量块M或 M F x dt dxdt x d M F x dt dx n dtx d FKx dt dx C dtx d M /2/222222222=++=++=++ωξωω（3-1）式中：ω—系统固有圆频率ω =K/Mn ---衰减系数 2n=C/M ξ---相对阻尼系数ξ=n/ωF ——激振⼒ )2sin(sin 0ft B t B F πω== ⽅程①的特解，即强迫振动为：)2sin()sin(0?π?ω-=-=f A A x （3-2）式中：A ——强迫振动振幅--初相位20222024)(/ωωωn M B A +-=（3-3）式(3-3)叫做系统的幅频特性。
将式(3-3)所表⽰的振动幅值与激振频率的关系⽤图形表⽰，称为幅频特性曲线(如图3-3所⽰)：3-2 单⾃由度系统⼒学模型 3-3 单⾃由度系统振动的幅频特性曲线图3-3中，Amax 为系统共振时的振幅；f 0为系统固有频率，1f 、2f 为半功率点频率。
振幅为Amax 时的频率叫共振频率f 0。
在有阻尼的情况下，共振频率为：221ξ-=f f a (3-4) 当阻尼较⼩时，0f f a =故以固有频率0f 作为共振频率a f 。
简支梁受力组合变形
简支梁受力组合变形-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以如下所示：1.1 概述简支梁是一种常见的结构形式，由于其结构简单、使用方便，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
简支梁在受到外力作用时，会发生变形，这种变形对于梁的安全性和使用寿命至关重要。
因此，研究简支梁受力组合变形是提高梁的设计和使用性能的重要方面。
本文将深入探讨简支梁受力组合变形的原因、特点以及对梁结构的影响。
首先，我们将介绍简支梁的定义和特点，包括它的基本结构和建筑原理。
接着，我们将通过对简支梁的受力分析，揭示不同受力组合对梁的变形产生的原因。
随后，我们将对梁的变形进行详细的分析，包括弯曲变形、剪切变形和挠度等。
最后，我们将研究受力组合在简支梁上的影响，探讨其对梁的变形程度和安全性的影响。
通过本文的研究，我们将对简支梁受力组合变形的机理有更深入的了解，同时也能为简支梁的设计和使用提供有用的指导。
这对于提高梁的结构性能、延长梁的使用寿命具有重要意义。
此外，对于简支梁受力组合变形的应用前景，本文也将进行展望，探讨其在未来工程领域中的可能应用和发展方向。
总之，通过本文的研究和分析，我们将为读者提供一个全面的简支梁受力组合变形的概述，从而增进对该领域的理解和应用。
相信本文的内容将对相关领域的研究人员和工程师具有一定的参考价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以参考以下示例：2.文章结构本文将按照以下结构进行叙述和分析简支梁受力组合变形的相关内容：2.1 简支梁的定义和特点首先，我们将介绍简支梁的定义和特点。
简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端支座可以自由转动，同时梁自身在受力作用下会发生弯曲变形。
我们将详细探讨简支梁的定义、结构特征以及其在工程实践中的应用。
2.2 受力分析在本节中，我们将进行简支梁的受力分析。
通过分析简支梁在不同荷载作用下的受力情况，我们可以了解到梁的内力分布以及受力大小。
我们将介绍常见的荷载类型，并利用力学原理进行受力计算和分析。
某简支梁桥的抖振响应分析
某简支梁桥的抖振响应分析简支梁桥是一种常见的桥梁结构，受到地震、风力、车辆行驶等外部载荷作用时，其会有弹性变形和抖振响应。
抖振又称为疲劳波，是桥梁结构中比较常见的一种现象，本文将从抖振响应的分析角度来探讨某简支梁桥的抖振问题。
简支梁桥的结构形式比较简单，它是由两根简支梁和一个跨中的钢混凝土桥面板构成的。
在受到外部载荷作用时，桥梁会产生弯曲和横向位移，从而导致桥面板上的车辆产生颠簸和震动。
因此，在设计简支梁桥的时候，抖振响应分析是非常重要的。
在进行抖振响应分析时，需要先进行模态分析，即分析桥梁的自振频率、振型和振幅。
简支梁桥的振型可以通过梁的自振方程来求解，简支梁桥的自振频率为：f = (1/2L) * sqrt(EI/m)其中，L为梁的跨度，E为梁的弹性模量，I为梁的截面惯性矩，m为梁的质量。
在确定了桥梁的自振频率和振型后，可以进行抖振响应分析。
抖振响应分析的核心是求出桥梁在外部载荷作用下的响应函数，然后根据响应函数求解桥梁的位移、速度和加速度等参数。
响应函数是指桥梁受到单位冲击力时的响应值，之所以使用单位冲击力，是因为它是一种突然的、瞬间的外部载荷，可以激发出桥梁的最大响应。
在计算抖振响应时，需要考虑桥梁的阻尼效应。
弹性结构的阻尼主要由材料的内耗和结构自身的剪切阻尼来提供，阻尼的大小直接影响着结构的动力响应和稳定性。
构造采用柔性滞回减震器以消除桥梁的抖振响应，从而提高桥梁的抗震性能。
在某简支梁桥的抖振响应分析中，需要考虑到桥梁的自身特性、外部载荷作用、阻尼效应等因素。
通过对桥梁的模态分析和响应函数计算，可以获得桥梁在不同外部载荷下的位移、速度和加速度等参数，从而评估桥梁在抗震、防风、防震等方面的性能，并采取相应的措施对其加固和改造。
简支梁的随机振动分析
简支梁的随机振动分析/PREP7 !进入前处理模块/TITLE, EX 8.4(1) by Zeng P, Lei L P, Fang GET,1,BEAM4 !设置1号单元MP,EX,1,2E11 $MP,NUXY,1,0.3 $MP,DENS,1,8000 !设定弹性模量泊松比密度L=10 !设置几何参数R,1,4,1.333,1.333,2,2,0 !定义1号实常数AREA, IZZ, IYY , TKZ, TKY,RMORE,0,2.2496,1.177,1.177 !1号实常数的7~10项为ISTRN, IXX, SHEARZ, SHEARYK,1,0,0 $K,2,L,0 !生成两个关键点L,1,2 !由1号点和2号点生成1号线LESIZE,1, , ,10 !对1号线设置10段的网格划分LMESH, 1 !对1号线划分网格D,1,UX,,,,,UY,UZ,ROTX ! 在节点1处施加约束D,2,UY,,,,,UZ !在节点2处施加约束M,3,UY,11,1 !对3~11号节点的UY，定义主自由度UYFINISH !结束前处理模块/SOLU !进入求解模块ANTYPE,MODAL ! 设定模态分析方式MODOPT,REDUC !设置缩减算法MXPAND,9,,,YES ! 设定模态扩展的阶数为9，并计算单元及支反力结果SOLVE !进行求解*GET,FREQ,MODE,1,FREQ !提取第一阶模态的频率值，赋予参数FREQFINISH !结束/SOLU !进入求解模块ANTYPE,SPECTR !设置谱分析SPOPT,PSD,9,ON !设定功率谱密度方式(针对9阶模态)PSDUNIT,1,FORCE !设定功率谱密度分析的类型为作用力谱,为1号表DMPRAT,0.02 !定义阻尼比为0.02F,1,FY,-0.5E6 !在端节点1处施加激励力1/2的FY力F,2,FY,-0.5E6 !在端节点2处施加激励力1/2的FY力F,3,FY,-1E6,,11,1 !在节点3~11处施加激励力FYPSDFRQ,1,1,0.1,70. !设定频率范围0.1~70，前两位数值为数据表的编号PSDV AL,1,1,1 !设定功率谱值，前一位数为数据表的编号PFACT,1,NODE !计算针对节点激振的参与系数PSDRES,DISP,REL !设定针对位移的输出PSDCOM !设定功率谱密度的模态合并方法SOLVE $FINISH !进行求解，结束求解模块/POST26 !进入时间历程后处理模块STORE,PSD,10 !存储功率谱密度分析的数据P=NODE(L/2,0,0) !获取位置(L/2,0,0)处的节点编号，赋给PELE=ENEARN(P) !获取节点P的单元编号NSOL,2,P,U,Y !将P节点处的位移UY设为2号变量RPSD,3,2 !计算针对2号变量的响应功率谱密度，存为3号变量PRTIME,42.640,42.641 !定义所列数据的时间间隔PLV AR,3 !图形给出3号变量的曲线*GET,P_UY,V ARI,3,RTIME,42.64 !提取3号变量在时间42.64处的值，赋予P_UY PM= P_UY*1000000 !进行单位换算FINISH !结束/POST26 !进入时间历程后处理模块STORE,PSD,10 !存储功率谱密度的数据ESOL,4,ELE,P,LS,7 !将单元ELM处节点P的应力设定为4号变量RPSD,5,4 !计算针对4号变量的响应功率谱密度，存为5号变量PRTIME,42.640,42.641 !设定一个时间(频率)范围PLV AR,5 !图形显示5号变量的曲线*GET,P2,V ARI,5,RTIME,42.64PN=P2/(1E12) !进行单位换算*STATUS !列显所有参数的内容FINISH。
机械振动问题的分析与解决策略
问题描述：某机械设备在使用过程中出现振动问题，影响设备正常运行 原因分析：可能是由于设备安装不当、部件磨损、润滑不良等原因导致 解决策略：调整设备安装位置、更换磨损部件、改善润滑条件等 效果评估：经过调整和维修，设备振动问题得到解决，复正常运行
问题描述：生产线在运行 过程中出现振动，影响产
智能控制技术：利用人工智能、机器学习等先进技术，实现振动控制的智能化和自主化
智能化技术的发展趋势
智能化技术在机械振动问 题中的具体应用
智能化技术在机械振动问 题中可能带来的改进和优
化
智能化技术在机械振动问 题中可能面临的挑战和问
题
汇报人：XX
减少误差
优化控制系统： 采用先进的控 制技术，提高 控制精度和响
应速度
优化设计：改进 机械结构，提高 稳定性
选用优质材料： 选择高强度、高 硬度的材料，提 高机械强度
提高加工精度： 采用先进的加工 技术和设备，提 高零件加工精度
加强质量控制： 严格控制生产过 程中的质量，确 保机械振动问题 的解决
改变振动频率： 通过改变系统的 固有频率，使振 动频率远离激励 频率，从而减小 振动。
增加质量：增加 系统的质量，使 系统的固有频率 降低，从而减小 振动。
采用隔振措施： 在振动源和振动 接收器之间设置 隔振装置，如隔 振器、隔振垫等， 以减小振动传递。
定期检查设备， 及时发现问题
加强设备操作人 员的培训，提高
安全隐患：振动 可能导致设备结 构损坏，引发安 全事故
噪音污染：振动 可能导致设备产 生噪音，影响工 作环境和周边居 民生活
结构设计不合理：如结构不对称、 刚度不足等
材料选择不当：如材料强度不足、 刚度不够等
机械结构的振动特性分析与优化设计
机械结构的振动特性分析与优化设计引言：在现代机械工程设计中，振动特性的分析与优化设计是非常重要的一项工作。
准确地了解机械结构的振动特性，可以帮助我们更好地改善结构的强度、稳定性和寿命，并提升机械系统的性能与可靠性。
本文将探讨机械结构的振动特性分析方法和优化设计策略。
一、振动特性分析方法1. 模态分析：模态分析是一种常见的振动特性分析方法，它通过对机械结构进行数值仿真，确定结构在不同模态下的固有频率、振型和振幅等参数。
通过模态分析可以了解机械结构的共振情况，并对共振频率附近的部分进行优化调整，从而避免共振引起的振动问题。
2. 频谱分析：频谱分析是通过分析机械结构在工作过程中的频率分布情况，确定结构的主要振动频率和能量级别。
频谱分析可以通过测量机械系统的响应信号（如加速度、速度、位移等），使用快速傅里叶变换（FFT）将信号从时域转换到频域，得到频谱图和功率谱密度谱等信息。
通过分析频谱特性，可以确定机械结构中存在的主要振动源，进而优化设计。
3. 有限元方法：有限元方法是一种常用的振动特性分析方法，它采用数值模拟的方法将机械结构离散化为有限个小单元，然后利用数值计算方法求解结构的运动方程，进而得到结构的振动响应。
有限元方法可以较好地模拟真实结构的振动特性，对于复杂的结构系统尤为适用。
通过有限元分析，可以获得结构的模态振型、振荡频率和振幅等信息，为优化设计提供依据。
二、振动特性优化设计策略1. 刚度优化：在机械结构设计中，刚度对振动特性具有重要影响。
通过合适的材料选择、结构几何参数的调整或添加补强件等方式，可以改变结构的刚度分布，并在一定的范围内优化结构的振动特性。
例如，在某些应用场景下，为了抑制共振，可以通过增加结构的刚度来提高固有频率。
2. 减振设计：对于机械结构的振动特性优化设计，减振是一个重要的策略。
通过在结构中引入减振措施，可以有效抑制振动幅值和加速度。
减振设计可采用结构和材料优化、振动吸收装置、减振材料或阻尼器等手段。
简支T梁在静力和动力荷载作用下的受力分析与优化设计
简支T梁在静力和动力荷载作用下的受力分析与优化设计1. 引言简支T梁广泛应用于桥梁、建筑物等工程中，对其受力分析与优化设计有着重要的意义。
本文将对简支T梁在静力和动力荷载作用下的受力分析与优化设计进行综述，为工程实践提供参考。
2. 静力荷载下的受力分析2.1. 自重荷载简支T梁受到其自身重量的作用，产生弯矩和剪力。
通过采用平衡方程和弯矩方程，可以得到自重荷载下T梁的受力分布情况。
2.2. 弯矩荷载外部施加的弯矩荷载会引起T梁截面发生弯曲，并产生弯矩和剪力。
根据弯矩和剪力的分布情况，可以通过梁的截面性能参数来计算。
2.3. 剪力荷载剪力荷载是指作用在T梁上的垂直于其纵轴方向的力，会导致剪切应力的产生。
通过分析剪力荷载的大小和分布，可以计算出T梁的剪力应力。
3. 动力荷载下的受力分析3.1. 风荷载风荷载是T梁在桥梁等大型工程中经常面临的动力荷载之一。
通过空气动力学的理论以及计算方法，可以分析出风荷载对T梁的影响，包括对梁体产生的阻力以及各点受力分布情况。
3.2. 地震荷载地震荷载是指由于地震引起的结构震动，对T梁产生的动力荷载。
通过地震力学的理论和地震波动态分析方法，可以计算出T梁在地震荷载下的受力分布情况。
4. 受力分析的优化设计4.1. 断面形状的优化通过合理选择T梁的断面形状，可以使得其受力分布更加均匀，减小剪切应力和弯矩。
常见的T梁断面形状有等腰T形、变截面T形等，可以根据具体情况进行选择。
4.2. 材料的选择合理选择材料可以提高T梁的承载能力和抗震性能。
常见的材料包括普通混凝土、高强度混凝土、钢筋混凝土等。
根据具体的受力分析结果，选择适当的材料。
4.3. 预应力设计预应力设计可以改善T梁的受力性能，减小弯矩和剪力。
通过在梁体中引入预应力，可以实现对T梁受力性能的优化。
5. 结论简支T梁在静力和动力荷载作用下的受力分析与优化设计对于工程实践具有重要作用。
通过对T梁的受力分析，可以合理选择断面形状、材料和设计预应力，以实现对T梁的优化设计。
简支梁振动系统动态特性综合测试方法分析
目录一、设计题目 (1)二、设计任务 (1)三、所需器械 (1)四、动向特征丈量 (1)1.振动系统固有频次的丈量 (1)2. 丈量并考证位移、速度、加快度之间的关系 (3)3. 系统逼迫振动固有频次和阻尼的丈量 (6)4. 系统自由衰减振动及固有频次和阻尼比的丈量 (6)5. 主动隔振的丈量 (9)6. 被动隔振的丈量 (13)7.复式动力吸振器吸振实验 (18)五、心得领会 (21)六、参照文件 (21)一、设计题目简支梁振动系统动向特征综合测试方法。
二、设计任务1.振动系统固有频次的丈量。
2.丈量并考证位移、速度、加快度之间的关系。
3.系统逼迫振动固有频次和阻尼的丈量。
4.系统自由衰减振动及固有频次和阻尼比的丈量。
5.主动隔振的丈量。
6.被动隔振的丈量。
7.复式动力吸振器吸振实验。
三、所需器械振动实验台、激振器、加快度传感器、速度传感器、位移传感器、力传感器、扫描信号源、动向剖析仪、力锤、质量块、可调速电机、空气阻尼器、复式吸振器。
四、动向特征丈量1.振动系统固有频次的丈量（1）实验装置框图：见（图 1-1 ）（2）实验原理：关于振动系统测定其固有频次，常用简谐力激振，惹起系统共振，进而找到系统的各阶固有频次。
在激振功率输出不变的状况下，由低到高调理激振器的激振频次，经过振动曲线，我们能够察看到在某一频次下，任一振动量（位移、速度、加快度）幅值快速增添，这就是机械振动系统的某阶固有频次。
（图 1-1 实验装置图）（3）实验方法：①安装仪器把接触式激振器安装在支架上，调理激振器高度，让接触头对简支梁产生必定的预压力，使激振杆上的红线与激振器端面平齐为宜，把激振器的信号输入端用连结线接到DH1301扫频信号源的输出接口上。
把加快度传感器粘贴在简支梁上，输出信号接到数采剖析仪的振动测试通道。
②开机翻开仪器电源，进入DAS2003数采剖析软件，设置采样率，连续收集，输入传感器敏捷度、设置量程范围，在翻开的窗口内选择接入信号的丈量通道。
力锤激励法简支梁模态实验报告
力锤激励法简支梁模态实验报告1. 《力锤激励法简支梁模态实验报告：好奇的开端》哎呀，你们知道吗？老师说要做力锤激励法简支梁模态实验的时候，我就像个小问号，满脑子都是疑惑。
我拉着同桌问：“这力锤激励法是啥玩意儿啊？感觉好神秘。
”同桌也挠挠头说：“我也不太懂，不过听起来很酷。
”就像我第一次看到魔术师变戏法，根本不知道那些奇妙的现象是怎么来的。
我们班就像一个小小的探索队，大家都对这个实验充满了好奇。
这就像我们在探索一个神秘的宝藏，力锤激励法就是打开宝藏的钥匙，简支梁模态就像是宝藏里的宝贝，我们急切地想揭开它的秘密。
2. 《力锤激励法简支梁模态实验报告：准备的小插曲》我们开始准备实验器材啦。
我看着那些奇奇怪怪的仪器，对负责器材的同学喊：“这都是些啥呀？怎么用啊？”那同学笑着说：“别急，我来给你讲。
”他像个小专家一样，拿起力锤说：“这个力锤就像我们敲门的小拳头，敲在简支梁上，就能让它‘说话’啦。
”我心想，这可真有趣。
这就好比我们要做一顿大餐，这些器材就是食材和厨具，我们得好好准备，才能做出美味的实验结果。
在这个过程中，我们互相帮忙，有个同学不小心把小零件弄掉了，大家就一起找，那种感觉就像一家人在找丢失的宝贝，充满了温暖和团结。
3. 《力锤激励法简支梁模态实验报告：第一次敲击》终于要开始敲简支梁啦。
我拿着力锤，心里有点紧张，就像我第一次上台演讲一样。
旁边的同学鼓励我说：“加油，就像敲鼓一样敲下去就好。
”我深吸一口气，“咚”的一声敲了下去。
那声音在实验室里回荡，就像一声小小的春雷。
有个同学兴奋地说：“哇，这声音就像是简支梁在跟我们打招呼呢。
”这时候我感觉我们和简支梁就像新朋友一样，通过这一敲，开始互相了解。
这一敲，就像打开了一扇通往神秘世界的门，我们都迫不及待地想知道门后面有什么。
4. 《力锤激励法简支梁模态实验报告：奇怪的数据》当我们开始记录数据的时候，发现有些数据很奇怪。
我皱着眉头对小组伙伴说：“这数据怎么这么怪啊？是不是我们哪里做错了？”一个小伙伴说：“别急，我们再检查检查。
机械振动的分析与控制
机械振动的分析与控制机械振动是指由于外界激励或内部失衡等原因引起的物体运动的周期性波动。
在许多机械系统中，振动是无法避免的，它对机械设备的性能、可靠性和寿命产生重要影响。
因此，对机械振动进行分析与控制是非常关键的。
一、振动的原因和分类机械振动可以分为自由振动、强迫振动和阻尼振动等几种类型。
自由振动是指物体在无外力作用下的振动，其周期只与物体本身的特性有关。
强迫振动是由于外界激励引起的振动，其振动频率与激励频率相同。
阻尼振动则是指物体在振动过程中由于摩擦和阻尼等因素的作用而逐渐减弱。
机械振动的原因通常包括机械失衡、不平衡加载和机械结构异常等。
例如，车辆行驶时发动机失衡会导致车身振动，轴承故障会引起机械设备的振动等。
二、振动分析振动分析是指通过测量和分析振动信号，了解振动特性、诊断故障和评估机械设备性能。
通常使用振动传感器将振动信号转化为电信号后，再通过振动分析仪器进行处理和解读。
振动信号的分析一般包括振动的幅值、频率、相位和波形等。
幅值表示振动的强度，频率代表振动的周期性，相位描述振动信号的时序关系，波形则反映振动信号的整体特征。
利用振动分析技术可以检测机械故障，如轴承、齿轮和螺栓等的异常振动。
通过对振动信号的分析，可以确定故障类型、位置和严重程度，为机械设备的维修和保养提供指导。
三、振动控制振动控制是指通过采取措施减少或消除机械振动的影响。
常见的振动控制方法包括减振、削弱和隔振等。
减振是指通过改进机械设备的结构和工艺，减少振动源的产生。
例如，在发动机设计中加装减振器、增加刚度和减小质量等措施，可以有效降低振动的幅值。
削弱是指通过对振动传播途径的控制，减弱振动对机械系统的影响。
例如，在建筑结构中采用隔振层和减振器等技术，可以降低地震和风振对建筑物的影响。
隔振是指通过加装隔振装置，将振动源和受振体有效隔离，减少振动的传播路径。
常见的隔振装置包括弹簧隔振器、减振垫和悬吊系统等。
四、振动分析与控制技术的应用振动分析与控制技术在各个领域中得到广泛应用。
机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l x x y -==）（223max43x l lx y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
简支梁的动静态分析
摘要随着社会的发展，梁在工程中的应用越来越显得重要，经常利用梁的应力应变裂纹等分析来判断梁是否合格，在梁的研究中经常应用理论求解，实验和仿真软件的模拟。
在一般情况下，梁的静力分析没有梁的动态分析显得重要，因为在日常生活中经常见到动载荷，这就促使人们研究梁在动载的情况下的各种力学性能。
在本文中主要从实验和模拟两个角度来进行梁的动态实验，首先利用实验得到初步的数据，在利用Ansys对梁进行仿真模拟，对这两者进行对比。
在实验过程中主要应用同截面等长度Q235刚梁作为实验材料，在内蒙古工业大学的力学实验室平台上进行动态实验，分析其力学性能。
实验是悬臂梁的动态分析，根据梁的尺寸对它进行理论分析，求解最大位移及力学参数，将理论结果与实验结果进行对比，进一步研究其力学性能对梁的影响。
目前在国际国内梁的力学性能的分析当中应用到很多ANSYS有限元软件，本文也对实验当中应用到的梁在ANSYS有限元软件平台上进行数值仿真，得出计算结果与实验和理论解进行对比，分析其力学性能，学习和研究了软件的同时进一步探索结构在软件上的应用，为今后的学习和工作奠定了良好的基础关键词; 梁悬臂梁ansys分析动态实验动载荷With the development of society, the beam in the project and the application of appears more and more important, often using beam crack of stress-strain analysis such as if they are qualified to judge beams in the study often beam applied theory solution, experiment and the simulation software simulation.Under normal conditions, beam static analysis of the dynamic analysis without beam is important in our daily life, because often see dynamic load, this has led people to study the dynamic loading beams under the condition of all kinds of mechanical properties.In this paper, mainly from the experiment and simulation two Angle is the dynamic experiment, first beam using experimental get preliminary data, the use of Ansys simulation were compared, on both of them. Mainly used in the experimental process with section etc length as experimental materials Q235 just beam in Inner Mongolia, the mechanics laboratory industrial university on the platform, analyzes the dynamic experiment mechanics performance. Experiment is the cantilever beam dynamic analysis, according to beam sizes to it and theoretical analysis, solve the maximum displacement and mechanical parameters, the theoretical results and experimental results were compared, to further research and its mechanical properties of the influence of beam.At present in the international and domestic analysis of the mechanical properties of the beam of ANSYS finite element software application to a lot of experiments, this paper also applied by ANSYS finite element software platform beam in, it is concluded that the numerical simulation results with experimental and theoretical solution is compared, and analyzes its mechanical properties, learning and research the software and further explore structure on software application for future study and work has laid a good foundationKeywords; Beam cantilever ansys analysis dynamic experiment dynamic load1.1引言1.1.1梁及其受力分析的重要性社会的飞速发展给人们带来了诸多的便利，与此同时，也使我国的建筑土木行业得到了空前的发展，在建筑结构中，不管从梁的承载力还是构造等梁的地位显得尤为重要，因为在建筑结构中，梁是最具有典型特征的元素，它以多种形态展示在人们面前，以线性受力体系为主要的特征之一。
简支梁受力特征
简支梁受力特征最近又仔细研究了下简支梁受力特征，有了新发现。
让我想想这个特征，首先呢，简支梁在受力的时候，有个特别明显的特征就是它两端是简单支撑的，你可以想象把一根木棍架在两块砖头中间，这两块砖头就相当于简支梁的支座，这就是一种很形象的简单支撑啦。
当有外力作用在简支梁上的时候，中间部分的变形是比较明显的。
我就做过这么一个小实验，拿一个长的塑料条模拟简支梁，在中间轻轻按一下，就看到中间下陷得很厉害，两边靠近砖头，哦不，靠近支座的地方变化就比较小，这就说明力主要让中间部分产生变形。
它受力还有个规律，这个我一开始还弄错过。
我原本以为力在简支梁上是平均分布的，但后来发现不是。
我画受力图的时候，经过多次分析和请教别人才知道，在简支梁上的应力是越靠近支座越小的。
怎么理解呢？就好比有一群人要搬运一个很重的东西，最靠近搬运工具两端把手的人就比较轻松，最中间的人就最吃力，这个中间最吃力的地方就类似简支梁中间应力最大的位置。
我还观察到，简支梁在垂直方向受力的时候，梁体内部产生的弯矩分布也是很有特点的。
在跨中位置弯矩是最大的。
这个弯矩就好像是一种让梁弯曲的能力，最大的弯矩在中间，就像是一个人掰一根木棍，最容易掰断的地方就是中间。
还有剪力，梁的两端靠近支座的地方剪力比较大。
这就像你拿剪刀剪纸的时候，力集中在剪刀刃接触纸张的地方一样。
另外啊，有的时候我也很困惑，当简支梁受到多个不同方向力的时候，情况就变得错综复杂了。
我当时都不知道该怎么计算各种力的叠加效果了。
但是经过不断学习和思考，我发现还是可以根据基本的力学平衡原理来分析的，就像搭积木一样，一块一块的，要让各个方向的力最终达到平衡。
总的来说简支梁受力特征既能从我们日常的简单理解上有直观感受，又隐藏着很多复杂的力学关系需要深入探究。
就像这个看似简单的简支梁，里面有好多值得去挖掘的知识。
我都觉得我现在发现的这些也可能只是冰山一角，说不定之后还会有更多新的发现呢。
简支梁实验
简支梁模态参数测定之一—测定固有频率与振型一、实验目的1、加深对系统固有频率和主振型的理解；2、掌握振动系统固有频率及主振型的一种测量方法（共振法）；3.了解压电式传感器及与它相配的测量系统的工作原理，掌握正确使用的方法；4、了解激振系统的工作原理。
二、实验装置框图图1 表示实验装置系统框图图1 实验装置系统框图三、实验原理试验模态分析法是确定结构固有频率的有效方法，在结构分析中应用广泛，而简支梁也是桥梁结构中一种常见的模型，现代桥梁中依然存在不少采用简支梁模型的桥梁结构。
所以本事通过试验模态法得到简支梁的固有频率和振型，也是桥梁结构分析中一种常用的方法很有实际意义，实验所用的均质等截面简支梁模型，属于小阻尼和连续的无限自由度的振动系统。
本实验模型是一矩形截面简支梁，它是一无限自由度系统。
理论上说，它应有无限个固有频率和主振型，在一般情况下，梁的振动是无穷多个主振型的迭加。
如果给梁施加一个合适大小的激振力，且该力的频率正好等于梁的某阶固有频率，就会产生共振，对应于这一阶固有频率而确定的振动形态叫做这一阶主振型，这时其它各阶振型的影响小得可以忽略不计。
用共振法确定梁的各阶固有频率及振型，具体步骤是首先得找到梁的各阶固有频率，并让激扰力频率等于某阶固有频率，使梁产生共振，然后，测定共振状态下梁上各测点的振动加速度值，从而确定前三阶主振型。
振型：即振动形态，即梁上各个测量点和振幅的关系图。
如图所示为一阶，二阶和三阶的振型图。
在正弦激励下振幅的比值等于加速度的比值。
所以本次试验测量加速度与位置之间的关系就能正确画出振型，大致如图2所示。
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.9 1图2 前三阶振型图根据材料力学理论下简支梁固有频率的计算：2012f l ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭E 为材料的弹性模量，查表取E=210Gpa 测量得简支梁b=0.05m h=0.15m l=1m312bh I =s 为梁的横截面积37850kgm ρ=2201135.1622f Hzl l ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10f f =214140.6f f Hz == 319316.4f f Hz==四、实验方法1、 激振器安装把激振器安装在支架上，将激振器和支架固定在实验台基座上，并保证激振器顶杆对简支梁有一定的预压力（不要超过激振杆上的红线标识），用专用连接线连接激振器和DH1301输出接口。
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机械振动大作业——简支梁的各情况分析2-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l xx y -==）（223max43x l l x y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：m m eq 258≈所以，质量矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→1001258m m双自由度简支梁的柔度矩阵：在b=3/2l 处作用单位力，挠曲线方程为：）（2226EI b -)(b x l lx x y --=则3/l 处的变形为：δ712=a ，同理可求：δ721=a ，δ82211==a a ，其中EIl 4863=δ。
所以，柔度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778δa动力矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778258δm D令特征行列式为零，得到频率方程为：=-=∆→→D I λ其中，21ωλ=，将上式整理得：116158177812=+-=---=∆a a aa a a-其中，2582582δωλδm m a ==。
解上述方程的根为：1511=a ,δωm 2451= 12=a ,δωm 8252=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ，2,1=i其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→)(2)(1i i i X X X）（，分别将1ω、2ω代入上式，得 第一、二阶主振型分别为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→11)1(11X X）（， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→1-1)1(12X X ）（图2 简支梁的双自由度模型三、 三自由度简支梁的振动特性如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：m m m 41m 231≈≈=因此，质量矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→1000100014m m 由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→91171116117119δa其中，EIl 7683=δ。
动力矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→911711161171194δm D 令特征行列式为零，得到频率方程为： 0=-=∆→→D I λ其中，21ωλ=，将上式整理得：091117111611171191=---------=∆aa a a a a aaa其中，442δωλδm m a ==。
利用Matlab 软件,求解上述方程的根为：0317.01=a ,δωm a 114=5.02=a ,δωm a 224=254.23=a ,δωm a 334=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ，3,2,1=i其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→)(3)(2)(1i i i i X X X X）（，分别将1ω、2ω、3ω代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→121)1(11X X）（， ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→1-01)2(12X X ）（, ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→12-1)1(13X X ）（图3 简支梁的三自由度模型四、 十自由度简支梁的数值方法将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。
图4 简支梁的十自由度模型通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：。
为挠度变形矩阵，如表，其中1,63→→→==y EIl y a δδ0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0344 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0664 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904 0.0934 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.1131 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.1212 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.1093 0.1131 0.1071 0.0904 0.0650 0.0339 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0628 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0324 0.0344 0.03390.0306 0.0240 0.0137表1 十自由度挠度变形矩阵→y十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于m 111，因此，质量矩阵为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→1010000000010000111m m 动力矩阵为：→→=ym D 11δ 下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法利用邓克莱法求基频（比准确值小）：nnn m a m a m a +++≈ 222111211ω因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以m 111，可求得：319015ml EIm δ≈≈ω2、瑞利法（1）瑞利第一商柔度矩阵求逆得刚度矩阵：→-→→==z y k δδ3131010，其中，→z 矩阵见表2。
2.0433 -1.9003 0.7778 -0.2649 0.1647 0.0356 -0.2817 0.2834 -0.0446 -0.0926-1.9003 2.9228 -2.4675 1.4375 -0.6862 0.0299 0.5193 -0.6226 0.3193 -0.04460.7778 -2.4675 3.8387 -3.3468 1.6331 -0.1417 -0.6684 0.8588 -0.6226 0.2834 -0.2649 1.4375 -3.3468 4.2339 -2.9123 0.778 0.4309 -0.6684 0.5193 -0.2817 0.1647 -0.6862 1.6331 -2.9123 3.4193 -2.2932 0.778 -0.1417 0.0299 0.0356 0.0356 0.0299 -0.1417 0.778 -2.2932 3.4193 -2.9123 1.6331 -0.6862 0.1647 -0.2817 0.5193 -0.6684 0.4309 0.778 -2.9123 4.2339 -3.3468 1.4375 -0.2649 0.2834 -0.6226 0.8588 -0.6684 -0.1417 1.6331 -3.3468 3.8387 -2.4675 0.7778 -0.0446 0.3193 -0.6226 0.5193 0.0299 -0.6862 1.4375 -2.4675 2.9228 -1.9003 -0.0926 -0.0446 0.2834 -0.2817 0.0356 0.1647-0.2649 0.7778 -1.9003 2.0433表2 矩阵→z 各元素假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κ=→其中，EIl 483=κ。
因此，可以假设振型：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331=→则由瑞利第一商公式：→→→→→→=AM A A K A A R TTI )(，可得：δmδm m A R I 46.1646.164965.111)(1≈=⨯=ωδ， （2）瑞利第二商同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式：→→→→→→→→∆=AM M A AM A A R TTⅡ)( 可得: δm.δm m A R Ⅱ241624.164762.111)(2≈=⨯=ωδ， 瑞利法中，→M 代表质量矩阵，→K 代表刚度矩阵，→∆代表柔度矩阵，→A 为模态向量。
3、李兹法将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：[]T11.9 2.73.33.73.7 3.32.71.911=→ψ []T 11.8 2.510.20.2- 1-2.5-1.8-1-2=→ψ []T 1-2- 1-121 01-2-1-3=→ψ则可求出：由式→→*→*→*=0-2A M K ）（ω，得：0017.01=a ,1415.02=a ,2959.03=a其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=***→23222133211011ωωωδm a a a a ，因此可得： δδωδδωδωm m a m m a m m δa 9.32541011,7.15561011,7.181011333232131=⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=***以及：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→*→*→*8372.05468.0-0122.0,6271.07788.00135.0,0349.00099.09993.0-)3()2()1(A A A所以系统的前三阶主振型的近似为：4、矩阵迭代法单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形，将首项化一，得：⨯==→→→→*11m M M Tψψ 72.96 0 -0.60 23.06 1.2 -0.6 1.2 18⨯==→→→→*δψψ310K K T0 0 4.3927 -1.2322 0.1354 -1.2322 4.2842[]T11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κμ=其中，δκ81483==EI l 。