九年级数学上册《直角三角形》同步练习1 北师大版

九年级上第一章 第二节直角三角形

试题资料库：

例1. （1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，求c 。 （2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝40，c ＝41，求b 。 解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴c a b 2

2

2

=+ 又∵c ＞0，∴c a b =+=+=2222

6810 （2）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴b c a 2

2

2

=- 又∵b ＞0，∴b c a =

-=-=2222

41409

例2. 已知直角三角形的两边长AB cm BC cm ==68，，求第三边的长。 解：（1）若AB 、BC 均为直角边

AC AB BC =

+=

+=22226810

（2）若BC 为斜边

AC BC AB =

-=-=

-=

=22228664362827

例3. （1）在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ：BC ：AB ＝___________；

（2）如图所示，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，则BC ：AC ：AB ＝___________；若AB ＝8，则AC ＝___________；又若CD ⊥AB ，则CD ＝___________。

C

A D

B

（3）等边△ABC 的边长为a ，则高AD ＝___________，S ABC ∆=___________。

解：（1）112：：

（2）1324323：：；；

（3）32342

a a ；

通过此题总结几个基本图形中的常用结论： ①等腰直角三角形三边比为112：：

②含

30°角的直角三角形三边之比为132：：

③边长为a 的等边三角形的高为32a

，面积为342

a

例4. 如图所示，AB AC BC ===2032，，∠DAC ＝90°，求BD 的长。

A

解：作AE ⊥BC 于E 设BD 为x ，则DE x =-16

AE AC EC 222

=-

又AD DE AE DC AC 2

2

2

2

2

=+=-

将上式代入，得：DE AC EC DC AC 22222

+-=- 即22

2

2

2

AC DC EC DE =+-

()()∴2203216162

22

2

⨯=-+--x x 解得：x =7

例5. 如图所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＞BC 。

求证：

()AC BC AD BD AB AD BD 2

2

2

2

-=-=-

分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。

Rt △ACD 中，AC AD CD 2

2

2

=+

Rt △BCD 中，BC CD BD 222

=+

（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理：

()(

)AC BC AD CD CD BD 222222

-=+-+

()()

()

=-=+-=-AD BD

AD BD AD BD AB AD BD 22

例6. 设CD 是△ABC 的边AB 上的高，且CD 2

＝AD ·DB ，求证：∠ACB ＝90°。

C

A D B

思维入门指导：要得到∠ACB ＝90°，除了知道∠ADC ＝∠BDC ＝90°之外没有别的角的条件，但题中告诉了CD 2

＝AD ·BD ，提醒我们是否由AC 2

＋BC 2

＝AB 2

得到△ACB 是直角三角形，从而得到∠ACB ＝90°。 解法一：∵CD ⊥AB 于D ∴=+AC AD CD 222

又· CD AD DB 2

=

()∴=+=+=+=AC AD CD AD AD DB AD AD DB AD AB 2222··

同理：·BC BD AB 2

= ()∴+=+=+==AC BC AD AB BD AB AB AD BD AB AB AB 222···

∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90° 解法二：∵CD ⊥AB 于D

∴=+=+AC AD CD BC BD CD 222222，

∴+=+++=++AC BC AD CD BD CD AD BD CD 222222222

2 又· CD AD BD 2

=

()∴+=++=+=AC BC AD BD AD BD AD BD AB 22222

22·

∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90°

点拨：这两种解法的总体思路是一致的，只是在变形中采取了不同的方法。

例7. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积。

思维入门指导：要求四边形ABCD 的面积，得把四边形ABCD 分割成三角形，连结AC ，△ABC 是Rt △，若△ACD 也是Rt △，问题就解决了。 解：连结AC

∵∠B ＝90°，∴△ABC 是直角三角形 依据勾股定理得：

AC AB BC 222222

43255=+=+== ∴AC ＝5

在中，，∆ACD AD CD AC 222222

131********==+=+= ∴=+AD AC CD 222

∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°

∴四边形ABCD 的面积＝△ABC 的面积＋△ACD 的面积

=

⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=121

212431

212563036AB BC AC CD

一变：把∠B ＝90°变成∠ACD ＝90°，其它不变。 二变：把∠B ＝90°变成AC ＝5，其它不变。

点拨：经过变化，整体思路没变，均利用直角三角形的判定条件。

例8. 已知：如图，ΔABC 中，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，AD ⊥BC 交BE 于F 。

求证：AE ＝AF