分段函数与绝对值函数
分段函数的等式与不等式
分段函数的等式与不等式在数学中，我们经常会遇到分段函数。
分段函数可以简单地理解为是由两个或两个以上的函数组成的函数。
它在数学中有着广泛的应用，在物理学、经济学、计算机科学等领域也经常会用到。
本文将主要介绍分段函数的等式和不等式的相关概念及其应用。
一、分段函数的基础知识首先，我们来了解一些分段函数的基础知识。
对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们组成的分段函数可以表示为：$$h(x)=\begin{cases}f(x) & a\leqslant x\leqslant b \\ g(x) & c\leqslant x\leqslant d \end{cases}$$其中$a,b,c,d$是实数，且$a\leqslant b\leqslant c\leqslant d$。
也就是说，分段函数通常会被分成若干个区间，每个区间内都有一个对应的函数。
二、分段函数的等式对于一个分段函数，我们可以很容易地使用等式来表示它。
举个例子，假设有一个由两个函数$f(x)$和$g(x)$组成的分段函数：$$h(x)=\begin{cases}f(x)=2x+1, & 0\leqslant x<3 \\g(x)=x^2-1, & 3\leqslant x\leqslant 5\end{cases}$$我们可以使用等式来表示这个分段函数：$$h(x)=\begin{cases}2x+1, & 0\leqslant x<3 \\x^2-1, & 3\leqslant x\leqslant 5\end{cases}$$此时，$h(x)$在$x=3$处不连续。
通过这个例子可以看出，在使用等式表示分段函数时，需要注意分段函数的定义域和值域，以及每个区间内对应的函数。
三、分段函数的不等式除了等式，我们还可以使用不等式来表示分段函数。
不等式同样是表示函数在某个区间内的取值范围。
微专题19 与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题
微专题19 与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题真 题 感 悟(2019·江苏卷)设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当x ∈(0，2]时，f (x )＝1－（x －1）2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋2），0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.解析 当x ∈(0，2]时，y ＝f (x )＝1－（x －1）2，即(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故f (x )的图象是以(1，0)为圆心，1为半径的半圆.结合f (x )是周期为4的奇函数，可作出f (x )在(0，9]上的图象如图所示.∵当x ∈(1，2]时，g (x )＝－12，又g (x )的周期为2，∴当x ∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g (x )＝－12.由图可知，当x ∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点.故当x ∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点.又当x ∈(0，1]时，y ＝g (x )＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点A (－2，0)，由图可知，当x ∈(2，3]∪(6，7]时，f (x )与g (x )的图象无交点，∴当x ∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点.由f (x )与g (x )的周期性可知，当x ∈(0，1]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点. 当y ＝k (x ＋2)与圆弧(x －1)2＋y 2＝1(0<x ≤1)相切时，d ＝|3k |k 2＋1＝1⇒k 2＝18(k >0)⇒k ＝24. 当y ＝k (x ＋2)过点A (－2，0)与B (1，1)时，k ＝13.∴13≤k <24.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，24 考 点 整 合1.分段函数主要考查由基本初等函数所构成的分段函数的图象与性质，主要题型有以下几种：(1)解有关分段函数的不等式，只要找准分类的标准，转化为不等式组即可求解；(2)求分段函数在给定区间上的值域或根据值域求参数的范围，要根据函数的图象，对极值点或最值点与区间的位置关系分类讨论；(3)求分段函数的单调区间、最值，要通过基本函数法、图象法、导数法判断相应区间的单调性，特别注意不等式解集端点和区间端点的大小的比较，以及函数的定义域.2.含绝对值函数主要考查由基本初等函数构成的绝对值函数的单调性、极值、最值等问题.题型有以下几种：(1)探究绝对值函数的单调性、极值、最值；(2)已知绝对值函数在给定区间上的最值或单调性，求参数的范围；以上题型的处理有两种常见的方法：①转化为分段函数来讨论；②考虑绝对值内函数的图象与性质，然后根据函数的图象关系来处理.热点一 分段函数、含绝对值函数与不等式结合的范围问题【例1】 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R ).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)＞f (x )，则实数a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＞0，0，x ＝0，x ＋2a ，x ＜0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＞a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x ＜－a ，要满足条件，需4a ＜2 016，即0＜a ＜504，综上，实数a 的取值范围是a ＜504.答案 (－∞，504)探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性，将所给函数转化为分段函数的形式.(2)利用函数的单调性解决不等式问题的关键是化成f (x 1)＜f (x 2)的形式.【训练1】 (2019·天津卷改编)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为________.解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立，当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1.综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤x ln x 恒成立.设g (x )＝x ln x (x >1)，则g ′(x )＝ln x －1（ln x ）2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0，∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e ，即[0，e].答案 [0，e]热点二 分段函数、含绝对值函数与零点相关的最值(范围)问题【例2】 (1)(2019·南京、盐城一模)设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （3－x ），0≤x ≤3，－3x＋1，x ＞3，若函数y ＝f (x )－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________.解析 (1)先画出x ≥0时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到x ＜0时的图象.令y ＝f (x )，y ＝m ，由图象可得要有四个不同的零点，则m∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，94.(2)函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可知，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，94 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练2】 (2019·南京模拟)已知a ＞0，若函数f (x )＝⎩⎨⎧2e 2ln x ，x ＞0，|x 3＋x |，x ≤0且g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点，则a 的取值范围是________.解析 由题意可知，x ＝0是g (x )的1个零点，当x ≠0时，由f (x )＝ax 2可得a ＝⎩⎪⎨⎪⎧2e 2ln x x 2，x ＞0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ＜0， 令h (x )＝2e 2ln x x 2(x ＞0)，则h ′(x )＝2e 2（1－2ln x ）x 3. 当0＜x ＜e 时，h ′(x )＞0，当x ＞e 时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴h (x )≤h (e)＝e ，且当x →＋∞时，h (x )→0，当x →0时，h (x )＜0.在同一平面直角坐标系中作出h (x )和y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图象， 由图可知，g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点需满足2＜a ＜e ，则a 的取值范围是(2，e).答案 (2，e)热点三 分段函数、含绝对值函数图象与性质的综合应用【例3】 (2019·连云港二模)已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x .①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ≤m ，g （x ），x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围. (2)若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e.(1)解 若a ＝e ，则f (x )＝e x －e x －1.又g (x )＝(2－e)x .①h (x )＝e x －2x －1(x ∈R )，求导得h ′(x )＝e x －2.令h ′(x )＜0，得x ＜ln 2；令h ′(x )＞0，得x ＞ln 2，所以h (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞).②首先，一次函数g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m ). 因为f ′(x )＝e x －e ，易得f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，所以在(－∞，m ]上，f (x )min ＝⎩⎨⎧f （m ）＝e m －e m －1，m ＜1，f （1）＝－1，m ≥1，其值域为[f (x )min ，＋∞). 因为F (x )的值域为R ，所以f (x )min ≤(2－e)m ，即⎩⎨⎧m ＜1，e m －e m －1≤（2－e ）m 或⎩⎨⎧m ≥1，－1≤（2－e ）m ，即⎩⎨⎧m ＜1，e m －2m －1≤0或1≤m ≤1e －2. 由①知，h (m )＝e m －2m －1在(－∞，ln 2]上单调递减，在[ln 2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0，所以h (m )≤0的解集为[0，1).综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e －2. (2)证明 由f (x )＝e x －ax －1，得f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，不合题意；当a ＞0时，若ln a ≤0或ln a ≥2，则f (x )在[0，2]上单调，也不合题意； 当0＜ln a ＜2时，f (x )在[0，ln a ]上单调递减，在[ln a ，2]上单调递增. 由x 1，x 2∈[0，2]，f (x 1)＝f (x 2)，不妨设0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2.又因为|x 1－x 2|≥1，所以x 1∈[0，1]，且x 2∈[1，2]，从而x 1≤1≤x 2.所以f (1)≤f (x 1)≤f (0)，且f (1)≤f (x 2)≤f (2).由⎩⎨⎧f （1）≤f （0），f （1）≤f （2）得⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －1，解得e －1≤a ≤e 2－e ，得证.探究提高 (1)分段函数实质还是一个函数，它的定义域、值域分别为各段的并集.(2)求函数f (x )＝e x －e x －1在动区间上的最值，要按极值点与区间的位置关系来讨论.(3)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，e m －2m －1≤0时，常规思路无法处理时，要能通过函数的单调性和图象来处理.(4)第(2)问的处理，需要研究函数f (x )＝e x －ax －1的图象和性质，要通过函数图象来分析，体现数形结合的思想方法.【训练3】 已知a 为正常数，函数f (x )＝|ax －x 2|＋ln x .(1)若a ＝2，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设g (x )＝f （x ）x ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值.解 (1)由a ＝2得f (x )＝|2x －x 2|＋ln x (x ＞0)，当0＜x ＜2时，f (x )＝2x －x 2＋ln x ，f ′(x )＝2－2x ＋1x ＝－2x 2＋2x ＋1x . 由f ′(x )＝0得－2x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝1＋32或x ＝1－32(舍去). 当0＜x ＜1＋32时，f ′(x )＞0； 当1＋32＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32； 当x ＞2时，f (x )＝x 2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －2＋1x ＝2x 2－2x ＋1x＞0. 所以f (x )在(2，＋∞)上为增函数.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32，(2，＋∞). (2)g (x )＝f （x ）x ＝|x －a |＋ln x x ，x ∈[1，e].①若a ≤1，则g (x )＝x －a ＋ln x x .故g ′(x )＝1＋1－ln x x 2＝x 2＋1－ln x x 2. 因为x ∈[1，e]，所以0≤ln x ≤1，所以1－ln x ≥0，x 2＋1－ln x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在[1，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (1)＝1－a ；②若a ≥e ，则g (x )＝a －x ＋ln x x ，则g ′(x )＝－1＋1－ln x x 2＝－x 2＋1－ln x x 2. 令h (x )＝－x 2＋1－ln x ，则h ′(x )＝－2x －1x ＜0.所以h (x )在[1，e]上为减函数，则h (x )≤h (1)＝0.所以g ′(x )≤0，所以g (x )在[1，e]上为减函数，所以g (x )的最小值为g (e)＝a －e ＋1e . ③当1＜a ＜e时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＋ln x x ，x ∈（a ，e]，a －x ＋ln x x ，x ∈[1，a ]，由①②知g (x )在[1，a ]上为减函数，在[a ，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (a )＝ln a a .综上，g (x )的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a ≤1，ln a a ，1＜a ＜e ，a －e ＋1e ，a ≥e.【新题感悟】 (2019·南京、盐城高三二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋3|，x ≤0，x 3－12x ＋3，x ＞0，设g (x )＝kx ＋1，且函数y ＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围为________.解析 当x ≤0时，f (x )－g (x )＝|x ＋3|－kx －1，须使f (x )－g (x )的图象过第三象限，所以f (－3)－g (－3)＜0，解之得k ＜13.当x ＞0时，f (x )－g (x )＝x 3－(12＋k )x ＋2，因为f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－12－k ，所以须使f (x )－g (x )的图象过第四象限，必须⎩⎪⎨⎪⎧12＋k ＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋k ＞0，12＋k 312＋k 3＞1，∴k ＞－9.综上得－9＜k ＜13. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9，13一、填空题1.(2019·苏北四市调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________. 解析 当x ≤0时，y ＝2x ∈(0，1]；当x ＞0时，y ＝－x 2＋1∈(－∞，1).综上， 该函数的值域为(－∞，1].答案 (－∞，1]2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧9，x ≥3，－x 2＋6x ，x ＜3，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集是________.解析 因为当x ＜3时，f (x )单调递增，且f (x )＜9，因此不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)等价于x 2－2x ＜3x －4且x 2－2x ＜3，解得1＜x ＜4且－1＜x ＜3，即所求不等式的解集为(1，3).答案 (1，3)3.(2019·南京、盐城调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图.y ＝ax 为过原点的一条直线，当a ＞0时，与y ＝|f (x )|的图象在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)即y ＝x 2－2x 的图象相切的情况，设切点为(x 0，y 0)，由y ′＝2x －2，知切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2，0].答案 [－2，0]4.(2019·天津卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为________.解析 如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象. (1)先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况.当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1，2)时， 2＝－14＋a ，解得a ＝94. 所以0≤a ≤94.(2)再研究当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况： ①相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则a ＝1.②相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点.过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54. 结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________. 解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x ＞a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a ). 再借助数轴，可得－1≤a ＜2， 所以实数a 的取值范围是[－1，2). 答案 [－1，2)6.(2018·苏州自主学习)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 法一(利用解析式) 由当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得f (x )＝2|x |，x ∈R .由f (x ＋a )≥f 2(x )得，2|x ＋a |≥(2|x |)2，即|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即(3x ＋a )(x －a )≤0对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧（3a ＋a ）（a －a ）≤0，[3（a ＋2）＋a ]（a ＋2－a ）≤0，解得a ≤－32. 法二(偶函数的性质) 由当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得f (x )＝2|x |，x ∈R ，易证f 2(x )＝f (2x )，x ∈R ，故由f (x ＋a )≥f 2(x )得，|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，下同法一. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－327.(2019·浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x .若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是________. 解析 由题意，得f (t ＋2)－f (t ) ＝a (t ＋2)3－(t ＋2)－(at 3－t ) ＝a [(t ＋2)3－t 3]－2＝a (t ＋2－t )[(t ＋2)2＋(t ＋2)t ＋t 2]－2 ＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2＝2a [3(t ＋1)2＋1]－2. 由|f (t ＋2)－f (t )|≤23， 得|2a [3(t ＋1)2＋1]－2|≤23， 即－23≤2a [3(t ＋1)2＋1]－2≤23， 23≤a [3(t ＋1)2＋1]≤43，∴23·13（t ＋1）2＋1≤a ≤43·13（t ＋1）2＋1. 设g (t )＝43·13（t ＋1）2＋1，则当t ＝－1时，g (t )max ＝43.∴当t ＝－1时，a 取得最大值43.满足题意. 答案 438.(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12二、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －a ，x ＜1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1，若f (x )恰有2个零点，求实数a的取值范围.解 当x ＜1时，函数h (x )＝3x －a 有一个零点， 则a ＝3x ，由0＜3x ＜3，得0＜a ＜3；而此时函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )只有一个零点， 所以⎩⎨⎧3a ≥1，2a ＜1，解得13≤a ＜12；当x ＜1时，函数h (x )＝3x －a 没有零点， 则函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )必有两个零点， 则h (1)＝3－a ≤0，即a ≥3时，函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )有两个零点2a ，3a 符合题设，故a ≥3. 综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞).10.已知关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2－kx －2＝0有三个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.解 由题可知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2＝kx ＋2，分别作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2及y ＝kx ＋2的图象如图所示，若关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2－kx －2＝0有三个不相等的实数根，则两函数图象有三个公共点.又直线y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，可知当k ＜0，显然成立.当k ＞0且与曲线y ＝1－1x ＋2在(－∞，－2)上有两个交点时满足题意，此时1－1x ＋2＝kx ＋2， 即kx 2＋(2k ＋1)x ＋3＝0在(－∞，－2)上有两个不等实根，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－8k ＋1＞0，－2k ＋12k ＜－2，k ·（－2）2＋（2k ＋1）·（－2）＋3＞0，解得－12＜k ＜1－32，所以0＜k ＜1－32.综上，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－32∪(－∞，0).11.(2019·北京卷)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2，4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2，4]上的最大值为M (a ).当M (a )最小时，求a 的值.(1)解 由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83. 又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83， 即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明 令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2，4]. 则g (x )＝14x 3－x 2，g ′(x )＝34x 2－2x ，x ∈[－2，4]. 令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)解由(2)知，当a<－3时，M(a)＝F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)＝F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3；综上，当M(a)最小时，a＝－3.。
高中函数复习之绝对值函数与分段函数.doc
专题四：绝对值函数与分段函数一.与绝对值函数有关的基本知识1. V型函数2.与绝对值有关的函数变换除左右对称到左y = f(x) >y=\f(x)\二.分段函数(绝对值函数除绝对值)x, x > 0y=\^\=\ n［一x, x v 0分段函数分段处理三.典例分析例1・“。
=2”是“函数f(x) = \x-a\在区间［2,+呵上为增函数”的_________ (填充分，必要，充要). 分析： AEl 亠斗v=lzl \\//—d| 在［2,+oo丿上为增则6/ <2 --------------- '/ 7 ------------------ ►故填充分非必要y 二2” 平移> y 二2—2 绝曲变换〉y=| 2X-2|故选B例3.已知函数/(%) = —— -1的定义域是［a,b\ (a,b 为整数)，值域是［0,1］,则满足条件的整数数对(a,b) 1刎+2 个.•共有.分析:例4.已知/(兀) xx-a -2(1)若a>0,求/(兀)的单调区间；(2)若当xe ［0,1］时，恒有/(%) < 0 ,求实数a 的取值范围.1) v ("一处一2) + (』+血一2) = _2,故两段上图像关于2y = -2,对称，且两抛物线对称轴相同。
当。
>0时 对称轴在尢轴正半轴，当兀二。
时，两支函数值都为-2, 故可画出函数图像，由图知单调区间为.•增(YO,号)， (。
,+8),减区间为(号,a)2)y = -x 2+ ax - 2,顶点最大值为:-竽- 2,恒小于零， 故第二支函数在任意情况下都小于零，因此要使 /(%) < 0在xw ［0,1］上恒成立,只需要第一支函数中/(0) < 0, /⑴ <0,既得.•[-2<0 \d 〉一 1 \l-a-2<0练习:-COS 7TX X>0已知/(%)= A. — 2 /(x+l) + l x<0B. 1 则的值等于 J JC. 2—2,0丿由题意和图像知•(-2,0)，( -2,1/ (—2,2), ( -1,2),(0,2)满足要求(-Y -1 <x<02 若函数/(x) = 4 一 ,则/(log4 3)=( )4V, 0<x<l1 4A. -B.-C.3D.43 33函数f(x) = l2~X~K (X-0),若方程f(x) = x + a恰有两个不等的实根，则G的取值范围为[/(x-1),(兀>0)A. (—,0]B. [0,1)C. (-oo,l)D. [0,+oo)4设函数/(x) = J r+/?X + GX-°,若/(-4) = /(0),/(-2) = -2，则关于兀的方程/(x) = x的解的个数为[2,x>0 A.4 B.2 Cl D.35.已知函数/(兀)二J"(X V °)’满足对任意旺工兀2,都有/(舛)一/(兀2)<0[(a一3)x + 4a(x > 0) 兀]-x2成立，则a的取值范围是______________6知函数f(x)= 2X -1 ,a<b<c，且f(a) > f(c) > f(b),则下列结论中,必成立的是A. 6z<0,/?<0,c<0B. 6z<0,/?>0,c>0C. T a < 2rD. 2"+2"v2 7设函数= f\x）在（-g,+°°）内有定义，对于给定的正数K,定义函数/(x), /(x) < K. K, f(x) > K.取函数/（兀）=2咽。
绝对值的化简方法口诀
绝对值的化简方法口诀绝对值是一种常用的数学概念，可以理解为一个数离0的距离。
在数学中，我们常用竖线（| |）来表示绝对值。
在解题过程中，如果我们能够简化绝对值表达式，就能更方便地进行计算。
以下是一些化简绝对值表达式的方法，可以帮助我们更好地理解和应用绝对值。
1. 定义法：绝对值的定义是一个数与0的距离，即 |x|= x，当x ≥ 0时成立；当 x < 0时，|x| = -x。
根据这个定义，我们可以直接计算出绝对值的值。
2. 分段函数：绝对值也可以用分段函数的形式表示。
例如，|x|可以表示为以下分段函数：当x ≥ 0时，|x| = x；当 x < 0时，|x| = -x。
这种表示方法可以帮助我们更好地理解和分析绝对值的性质。
3. 取正负号：绝对值的一个重要性质是，它可以通过取正负号来化简。
具体而言，对于任意实数 x，有以下规律：|x| = x，当x ≥ 0时；|x| = -x，当 x < 0时。
通过这个规律，我们可以将绝对值化简为正负号的形式，更容易进行进一步的计算。
4. 去掉绝对值符号：在一些特殊情况下，我们可以直接去掉绝对值符号而不影响等式的成立。
例如，|x| = |y|可以推出 x = y 或x = -y，因为绝对值代表的是距离，只要两个数的距离相等，它们本身也应该相等。
5. 加减性质：绝对值具有加减性质，即|a ± b| ≤ |a| ±|b|。
这个性质可以帮助我们化简绝对值表达式，将其转化为更简单的形式。
6. 分解绝对值：有时候，我们可以通过将绝对值表达式分解成多项式的形式来进行化简。
例如，|2x - 1|可以分解为以下两种情况：当 2x - 1 ≥ 0时，|2x - 1| = 2x - 1；当 2x - 1 < 0时，|2x - 1| = -(2x -1) = -2x + 1。
通过这种分解方法，我们可以更好地处理含有复杂符号的绝对值表达式。
7. 利用不等式性质：绝对值还可以通过利用不等式的性质进行化简。
高考数学微专题4 分段函数(含有绝对值的函数)的图象与性质 课件
实数 m 的最小值为( )
27 A. 8
29 B. 8
13 C. 4
15 D. 4
【思路分析】 根据已知计算出 f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，画出
图象，计算 f(x)＝332，解得 x＝289，从而求出实数 m 的最小值．
内容索引
【解析】 由题意，得当 x∈[1,2)时，f(x)＝12×f(x－1)＝12(1－|2x－3|)； 当 x∈[2,3)时，f(x)＝12f(x－1)＝14(1－|2x－5|)；…，可得在区间[n，n＋1)(n ∈Z)上，f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，所以当 n≥4 时，f(x)≤332.作出函 数 y＝f(x)的图象，如图所示，当 x∈72，4时，由 f(x)＝18(1－|2x－7|)＝332， 解得 x＝289，则 m≥289，所以实数 m 的最小值为289.
【答案】 ABD
1234
内容索引
－x2＋2， x≤1， 3. (2022 浙江卷)已知函数 f(x)＝x＋1x－1， x>1，
则 ff12＝
________；若当 x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则 b－a 的最大值是________.
1234
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【解析】 f12＝－122＋2＝74，f74＝74＋47－1＝3278，所以 ff12＝3278.当 x≤1 时，由 1≤f(x)≤3，得 1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当 x>1 时， 由 1≤f(x)≤3 可得 1≤x＋1x－1≤3，所以 1<x≤2＋ 3.综上，由 1≤f(x)≤3， 得－1≤x≤2＋ 3，所以[a，b]⊆[－1,2＋ 3]，所以 b－a 的最大值为 3＋
内容索引
分段函数求定义域
分段函数求定义域分段函数是指一个函数可以被拆分成不同区间的表达式，每一个表达式的定义域可能不同。
因此，求分段函数的定义域需先求出每一个子函数的定义域，最后再将它们合并成整个函数的定义域。
下面我们分别介绍常见的分段函数及它们的定义域。
1. 绝对值函数函数 $f(x) = |x|$ 是一种典型的分段函数。
在 $x$ 为正数时，$f(x) = x$；在 $x$ 为负数时，$f(x) = -x$。
所以，其定义域为$(-\infty, +\infty)$。
2. 取整函数函数 $f(x) = \lfloor x \rfloor$ 是一种以 $x$ 为自变量的取整函数，它表示不大于 $x$ 的最大整数。
例如，$\lfloor 3.14\rfloor = 3$，$\lfloor 3 \rfloor = 3$。
其定义域为 $(-\infty, +\infty)$。
3. 正切函数函数 $f(x) = \tan x$ 在 $x = \frac{k\pi}{2}$ 时无定义，其中 $k$ 是任意整数。
这是因为 $\tan x$ 在这些点上的值为无限，因此定义域为 $\{x | x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in Z\}$。
4. 阶梯函数阶梯函数是指在不同的区间内取定不同的函数值。
例如，函数$$f(x) = \begin{cases}1, \quad x \leq 1 \\x, \quad 1 < x < 2 \\x^2, \quad x \geq 2\end{cases}$$在 $(-\infty, 1]$ 区间内 $f(x) = 1$，在 $(1, 2)$ 区间内$f(x) = x$，在 $[2, +\infty)$ 区间内 $f(x) = x^2$。
因此，其定义域为 $(-\infty, 1] \cup (1, 2) \cup [2, +\infty)$。
5. 分段常函数分段常函数是指在不同的区间内取定相同的函数值。
绝对值问题的解法
绝对值问题的解法可以根据具体的情况采用不同的方法。以下是几种常见的解法：
1. 利用定义法：绝对值的定义是一个数与零的距离，即|a| = a, 当a ≥ 0；|a| = -a, 当a < 0。因此，对于给定的绝对值问题，可以根据定义直接计算出绝对值的值。
2. 利用性质法：绝对值具有一些特性，如|a| = |-a|，即绝对值的值与其符号无关；|a| = |b|，当且仅当a = b或a = -b。根据这些性质，可以通过对等式进行变形或化简，来求解绝 对值问题。
绝对值问题的解法
3. 利用分段函数法：绝对值问题可以用分段函数的形式表示。例如，|x - a| = b，可以分 为两种情况讨论：当x - a ≥ 0时，有x - a = b；当x - a < 0时，有x - a = -b。通过解这两个 方程，可以得到绝对值问题的解。
4. 利用图像法：绝对值函数的图像是一个以原点为对称中心的V形曲线。通过观察图像， 可以确定绝对值函数在不同区间上的取值范围，从而解决绝对值问题。
需要注意的是，绝对值问题的解可能有多个解或无解，具体取决于问题的条件和约束。在 解题过程中，要注意对不等式进行合理的变形和化
2020版高考数学复习课件： 绝对值函数与分段函数 (共27张PPT)
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
微难点1 绝对值函数与分段函数
7. 已知函数f(x)＝x2＋2x－a(x∈R，a为常数)． (1) 当a＝2时，讨论函数f(x)的单调性； (2) 若a>－2，函数f(x)的最小值为2，求实数a的值．
【解答】(1)
当a＝2时，f(x)＝x2＋|2x－2|＝
x2＋2x－2，x≥1， x2－2x＋2，x<1，
结合图象知，
函数y＝f(x)的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
微难点1 绝对值函数与分段函数
(2) 易知f(x)＝xx22－＋22xx＋－aa，，xx<≥a2a2，， 因为a>－2，所以a2>－1，结合图象可知： 当a≥2时，f(x)min＝f(1)＝a－1＝2，解得a＝3，符合题意； 当－2<a<2时，f(x)min＝f a2＝a42＝2，无解．
当x≥0时，f(x)＝x＋4 2－1，令f(x)＝0，即x＋4 2－1＝0，
(第4题)
解得x＝2；令f(x)＝1，即
4 x＋2
－1＝1，解得x＝0.易知函数f(x)在[0，＋∞)上为减函
数，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，根据图象可
探索分段函数和绝对值函数
探索分段函数和绝对值函数分段函数和绝对值函数是高中数学中重要的概念和工具。
通过分段函数和绝对值函数，我们可以更好地描述和解决一些特定情况下的问题。
本文将围绕这两个数学概念展开讨论，并探索它们的性质和应用。
一、分段函数分段函数是指定义在一个或多个子区间上的函数。
其函数值的定义方式在不同的子区间内可能是不同的，通常用条件语句来描述。
我们以以下例子来说明分段函数的概念：设函数f(x) =-x (x ≤ 0)2x (0 < x ≤ 2)4 (x > 2)在这个例子中，函数f(x)在不同的区间内采用不同的表达式来定义函数值。
当x≤0时，f(x)的函数值为-x；当0<x≤2时，f(x)的函数值为2x；当x>2时，f(x)的函数值为4。
分段函数的定义可以使数学描述更加准确，并能够更好地反映实际问题中的不同情况。
例如，在这个例子中，当x小于等于0时，f(x)的取值与-x相等，可以用来表示一个负数情况下的相关关系；而在0<x≤2时，f(x)的取值与2x相等，可以用来表示一个正数情况下的相关关系；当x大于2时，f(x)的取值为4，可以用来表示一个特定数值，不受x的影响。
二、绝对值函数绝对值函数是一个常用的数学工具，用来表示一个实数的非负值。
绝对值函数的定义如下：设函数f(x) = |x|在这个例子中，f(x)的取值是x的绝对值，即x的非负值。
绝对值函数常用于表示距离、误差、模量等非负值相关的情况。
例如，我们要计算一个点x到原点的距离，可以利用绝对值函数来表示。
当x大于0时，f(x)的值为x；当x小于0时，f(x)的值为-x。
通过绝对值函数的定义，我们可以方便地计算出这个点到原点的距离。
绝对值函数还常用于解决线性规划问题，求解最大值和最小值等。
由于绝对值函数具有稳定和连续的性质，可以将问题转化为非常数函数的优化问题，简化了计算的过程。
三、分段函数和绝对值函数的应用分段函数和绝对值函数在数学和实际问题中有广泛的应用。
几种需要考虑左右极限的函数
几种需要考虑左右极限的函数在数学中，左右极限是概率理论中一个重要的概念，它表示函数在某个点附近左侧和右侧的极限。
左右极限往往会影响函数的连续性、可导性和其他重要的数学概念，因此在研究函数的过程中，考虑左右极限是非常重要的。
本文将介绍几种需要考虑左右极限的函数。
一、分段函数分段函数是指由若干段简单函数组成的函数。
在分段函数中，不同的简单函数在不同的区间内起作用。
如下所示：$$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1(x<0)\\x^2(x\geq0)\end{matrix}\right.$$对于以上函数，当$x\to0^-$时，$f(x)=(x+1)\to1$；当$x\to0^+$时，$f(x)=x^2\to0$。
因此，$f(x)$与$x=0$处的左右极限不同。
这个例子说明了对于分段函数，需要考虑它在不同区间内的左右极限。
二、绝对值函数绝对值函数是一种简单的、常见的函数形式，它根据自变量$x$距离$0$的远近分别取正负号。
如下所示：$$f(x)=\left\{\begin{matrix}-x(x<0)\\x(x\geq0)\end{matrix}\right.$$对于以上函数，当$x\to0^-$时，$f(x)=-x\to0$；当$x\to0^+$时，$f(x)=x\to0$。
因此，$f(x)$与$x=0$处的左右极限相同。
但是，对于一些更加复杂的绝对值函数，左右极限可能会存在不同，需要特别注意。
三、周期函数周期函数是指，存在一个正整数$T$，对于任意$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x+T)=f(x)$的函数。
对于周期函数，需要注意它的周期性质可能会影响它的左右极限。
如下所示：$$f(x)=\sin{\frac{1}{x}}$$对于以上函数，它在$x=0$处无定义，但是我们可以通过左右极限来求出它在$x=0$处的极限：当$x\to0^-$时，$\sin{\frac{1}{x}}$的值在$[-1,1]$之间周期性振荡；当$x\to0^+$时，$\sin{\frac{1}{x}}$的值同样在$[-1,1]$之间周期性振荡。
2.11分段函数、绝对值函数Microsoft Word 文档
2．11分段函数与绝对值函数——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二．建构知识网络1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.三、双基题目练练手1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( )A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是 （ ） A．,020xx y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=<C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩3．(2007启东质检)已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．的是( )4.（2006全国Ⅱ）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）455.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩⎨⎧≥=b a b ba ab a ＜,,,max 则函数(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .7.已知函数132(0)()3(01)log (1)xx f x x x x ⎧<⎪⎪=≤≤⎨>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=8.函数221(0)()(0)x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域 。
八年级数学分段函数知识点
八年级数学分段函数知识点数学是一门需要思维和逻辑能力的学科，而分段函数则是数学中一个比较抽象和难以理解的概念。
在八年级数学教学中，分段函数是一个非常重要的知识点，本文将详细介绍八年级数学分段函数知识点。
一、什么是分段函数分段函数是指一个函数根据自变量不同的取值范围，将一个函数分成不同的部分。
通俗地说，就是一个函数可以有不同的定义域上的表达式。
例如，当x<0时，f(x)=x+3；当x≥0时，f(x)=x-2。
这就是一个简单的分段函数。
二、表示方式分段函数可以用多种方式进行表示。
最常见的方式是用大括号将不同条件下的函数表达式括起来表示。
例如，如下函数就是一个分段函数。
-2x+1 (x>=0)f(x)=x+3 (x<0)另外，也可以用数学符号 Iverson括号表示分段函数，如下：f(x)=[x>=0](-2x+1)+[x<0](x+3)三、分段函数的应用分段函数是数学中十分重要的概念，它在很多领域里都有广泛的应用。
例如，在物理学、经济学、社会学等领域中，分段函数被广泛应用。
在数学中，分段函数常常和绝对值函数一起使用。
例如，对于一个函数f(x)=|x|，它在不同条件下的定义域可能不同。
当x≥0时，f(x)=x；当x<0时，f(x)=-x。
这就是一个分段函数。
四、常见的分段函数1. 常函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于一个常数c。
例如，f(x)= 2，当x属于[-1,1]时。
2. 反比例函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于1/x。
例如，f(x)=1/x，当x属于(0,∞)。
3. 绝对值函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于|x|。
例如，f(x)=|x-1|，当x属于[1,3]。
4. 仿射函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于ax+b，其中a和b为常数。
例如，f(x)=2x+1，当x属于[0,1]。
五、练习题1. 求下列函数f(x)的解析式：当x≤0时，f(x)=x+1；当0<x≤1时，f(x)=x+2；当x>1时，f(x)=2x-3。
第3讲 分段函数与绝对值函数 课时讲义
第3讲 分段函数与绝对值函数1. 分段函数和绝对值函数是高考的重点考查内容，主要考查分类讨论思想及基本初等函数的性质，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2. 涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行讨论；二是结合函数图象，将函数分成几个部分，然后寻求解题方法．1. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1，则f(f(2))＝________．答案：－52解析：f(2)＝12，则f(f(2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－52. 2. (2017·盐城模考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1.若f(0)＝3，则f(a)＝ ________． 答案：9解析：因为f(0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f(a)＝f(5)＝9. 3. (2018·启东中学)已知函数f(x)＝x|x|，若f(x 0)＝4，则x 0＝________． 解析：当x ≥0时，f(x)＝x 2，f(x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x<0时，f(x)＝－x 2，f(x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.4. (2018·苏锡常镇调研一)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x <1，x ＋4x，x ≥1(e 是自然对数的底)．若函数y＝f (x )的最小值是4，则实数a 的取值范围是________．答案：[e ＋4，＋∞)解析：在x ≥1时，f (x )min ＝f (2)＝4.所以当x <1时，a －e x ≥4恒成立．转化为a ≥e x ＋4对x <1时恒成立．因为e x ＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e ＋4)，所以a ≥e ＋4., 一) 绝对值函数的图象与性质, 1) 已知函数f(x)＝x|x －2|. (1) 写出f(x)的单调区间； (2) 解不等式f(x)<3；(3) 设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值． 解：(1) f(x)＝x|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x ＜2， 所以f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)， 单调减区间是[1，2]．(2) 因为x|x －2|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－2x －3＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x 2－2x ＋3>0，解得2≤x ＜3或x ＜2， 所以不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}．(3) ① 当0＜a ＜1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1≤a ≤2时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1>0，解得a>1＋ 2. (ⅰ) 当2<a ≤1＋2时，此时f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； (ⅱ) 当a>1＋2时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0<a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a>1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价的分段函数，然后结合函数的单调区间和图象，对于每一段上的函数进行研究，得出相应的结论，最终将各段得出的结论进行综合，就可以得到问题的解．若函数f(x)＝x 2－a|x －1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞），x 2＋ax －a ，x ∈（－∞，1），x ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2－ax ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f(x)＝x 2＋ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a －a 24.① 当a2>1，即a>2时，f(x)在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减， 在 ⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，不合题意；② 当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；③ 当a2<0，即a<0时，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是[0，2]．, 二) 分段函数的图象与性质, 2) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1) 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 于是当x<0时，f(x)＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2) 要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，结合f(x)的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 画出f(x)的图象．解：(1) 因为f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·（－2）＋b ＝3，a ·（－1）＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2) 画出f(x)的图象，如图所示．, 三) 与绝对值函数有关的恒成立问题, 3) 已知函数f(x)＝x|x －a|＋2x.求所有的实数a ，使得对任意x ∈[1，2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x ＋1图象的下方．解：由题意得对任意的实数x ∈[1，2]，f(x)<g(x)恒成立，即x ||x －a <1，当x ∈[1，2]时恒成立，即|x －a|<1x ，－1x <x －a<1x ，x －1x <a<x ＋1x，故只要x －1x <a 且a<x ＋1x 在x ∈[1，2]上恒成立即可，在x ∈[1，2]时，只要x －1x 的最大值小于a 且x ＋1x的最小值大于a 即可， 而当x ∈[1，2]时，⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2>0，x －1x 为增函数，⎝⎛⎭⎫x －1x max ＝32； 当x ∈[1，2]时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2>0，x ＋1x 为增函数，⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2，所以32<a <2.设常数a ∈R ，函数f (x )＝(a －x )|x |.(1) 若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2＋m >f (f (x ))对所有的x ∈[－2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f (x )＝(1－x )|x |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）x ，x ≥0，（x －1）x ，x <0， 当x ≥0时，f (x )＝(1－x )x ＝－(x －12)2＋14，所以f (x )在[0，12]上是增函数，在(12，＋∞)上是减函数；当x <0时，f (x )＝(x －1)x ＝(x －12)2－14，所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．综上所述，f (x )的单调增区间为[0，12]，单调减区间为(－∞，0)，(12，＋∞)．(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即a ＋1＝－(a －1)，解得a ＝0，所以f (x )＝－x |x |，f (f (x ))＝x 3|x |.所以mx 2＋m >f (f (x ))＝x 3|x |，即m >x 3|x |x 2＋1对所有的x ∈[－2，2]恒成立．又x ∈[－2，2]，所以x 2＋1∈[1，5]，所以x 3|x |x 2＋1≤x 4x 2＋1＝x 4－1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－2≤165.所以实数m 的取值范围是(165，＋∞)．, 四) 与绝对值函数有关的最值问题, 4) 已知函数f(x)＝ (23)|x|－a .(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)的最大值等于94，求a 的值．解：(1) 令t ＝|x|－a ，则f(x)＝ ⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2) 由于f(x)的最大值是94，且94＝ ⎝⎛⎭⎫23－2，所以g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2，即g(0)＝－2， 从而a ＝2.(2018·沈阳一模)已知函数f(x)＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．答案： 9解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x （0<x <1），log 3x （x ≥1），所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9.1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)>f (－2)，则a 的取值范围是 ________．答案：(12，32)解析：由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32.2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案：(3，＋∞)解析：画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，当方程f (x )＝b 有三个不同的根时，有4m －m 2<m ，解得m >3或m <0(舍去)．3. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )＝________．答案：－25解析：由题意得f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f (12)＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110，所以－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，则f (－2)＋f (log 23)的值是__________．答案：5解析：f (－2)＋f (log 23)＝log 2[2－(－2)]＋2log 23＝log 222＋3＝5. 5. (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝ ⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．答案：22解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数的周期为4，所以f (15)＝f (－1)＝ ⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22.(本题模拟高考评分标准，满分16分) 已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1) 若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2) 若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎡⎦⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a (a ＞1)， 所以f (x )在[1，a ]上为减函数，(2分) 所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]．(4分) 而已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a 2－2a 2＋5＝1，f （1）＝1－2a ＋5＝a ，(6分)解得a ＝2.(8分)(2) 由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x(*)．令1x ＝t ，t ∈[2，3]，则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t .(10分)记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12(t －52)2＋258，则g (t )max ＝g (52)＝258，所以a ≥258；(12分)记h (t )＝12t 2＋52t ＝12(t ＋52)2－258，则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7.(14分)综上所述，258≤a ≤7.所以实数a 的取值范围是[258，7]．(16分)1. 若函数f(x)＝x 2＋a|x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－4，0]解析：f(x)＝x 2＋a|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，0<x ＜2，要使f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，解得－4≤a ≤0.所以实数a 的取值范围是[－4，0]．2. 已知函数f(x)＝|2x －a|＋|2x ＋3|，g(x)＝|x －1|＋2. (1) 解不等式|g(x)|＜5；(2) 若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5. 所以－7＜|x －1|＜3，得不等式的解集为(－2，4)． (2) 因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}． 又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．3. 设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x>0)． (1) 作出函数f(x)的图象；(2) 当0<a<b ，且f(a)＝f(b)时，求1a ＋1b的值；(3) 若方程f(x)＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1) 函数f(x)的图象如图所示．(2) ∵ f(x)＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f(x)在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a<b 且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴ 1a ＋1b＝2. (3) 由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f(x)＝m 有两个不相等的正根．故m 的取值范围是(0，1)．请使用“课后训练·第3讲”活页练习，及时查漏补缺！。
微难点1 含有绝对值的函数与分段函数
(a＞0， 且 a≠1)在 R 上单调递减，
且关于 x 的方程|f(x)|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( C ) A. C.
2 0， 3 1 2 3 ， ∪ 3 3 4
B. D.
2 3 ， 3 4 1 2 3 ， ∪ 3 3 4
m x1＋x2＋…＋xm m m－1 1，相加得 ＝ 2 ，故 xi＝m.当 m 为奇数，其和为 2× 2 ＋1＝m， 2 i＝1
m
故 xi＝m.
i＝1
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m
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
微难点1
含有绝对值的函数与分段函数
5．设函数 f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a 为常数)． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的单调性； (2)若 a＞－2 时，函数 f(x)的最小值为 2，求 a 的值．
(第5题)
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微难点1
含有绝对值的函数与分段函数
a 2 x ＋2x－a，x≥2， (2)f(x)＝ x2－2x＋a，x＜a， 2
a 因为 a＞－2，所以2＞－1，结合图象，当 a≥2
时，函数 y＝f(x)的最小值为 f(1)＝a－1＝2，解得 a＝3，符合题意；当－2＜a＜2 时， 函数 y＝f(x)的最小值为 f
所以 0
a a f(x)在－∞，2上单调递增，在2，a上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以
＜a≤3.综上，a 的取值范围是(－∞，3]．
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微难点1
含有绝对值的函数与分段函数
高中数学分段函数与绝对值函数问题
微点深化 分段函数与绝对值函数问题 分段函数问题是高考考查的热点问题.分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否发生变化，进而讨论函数的图象与性质，即“分段函数—分段看”.绝对值函数实质上就是分段函数，通常先去绝对值符号转化为分段函数求解.【例1】 (1)(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________. (2)(2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________.解析 (1)由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.(2)当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x >0时，由－x 2＋2ax －2a＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎨⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0.作出y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x >0)的图象，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a <a 24<2a ，解得4<a <8.答案 (1)－25 (2)(4，8)【例2】 (1)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)(2018·镇江期末)已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________.解析 (1)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞).(2)作函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象，如图所示，两图象除了(0，2)还应有3个公共点，当k ≥0时，直线应与曲线y ＝f (x )(x ＞1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2x 0，解得x 0＝e 3，此时k ＝1e 3，当k ＜0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫y ′＝－1（x ＋1）2相切于点(0，2)时，函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象只有三个公共点，不符合题意，此时k ＝－1，当－1＜k ＜0时，函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象只有三个公共点，不符合题意，当直线y ＝kx ＋2与y ＝f (x )(0＜x ＜1)相切时，两图象只有三个公共点，设切点(x 0，－ln x 0)，则切线的斜率k ＝－1x 0，又k ＝－ln x 0－2x 0，则－1x 0＝－ln x 0－2x 0，解得x 0＝e －1，此时k ＝－e 不符合题意，当k ＜－e 时，两图象只有两个公共点，不合题意，而当－e ＜k＜－1时，两图象有4个公共点，符合题意，所以实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1).答案 (1)[－1，＋∞) (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1) 探究提高 1.分段函数以填空题形式出现，考查方向主要有以下几个方面：(1)给出分段函数求值；(2)给出分段函数值确定自变量或参数范围；(3)分段函数值域问题；(4)分段函数的单调性、奇偶性；(5)分段函数的图象问题；(6)分段函数与不等式、方程问题等.2.含绝对值的函数本质上是分段函数，往往要先去绝对值再结合图象研究，主要有以下三类：(1)形如y ＝|f (x )|，转化为y ＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≥0，－f （x ），f （x ）＜0，结合图象求解； (2)形如y ＝f (|x |)，此类函数为偶函数，因此先研究x ≥0的情况，x ＜0时可利用对称性得到；(3)函数的解析式中部分含有绝对值，如y ＝|x －a |＋1，y ＝x 2＋|x －a |等，先去绝对值，转化为一般分段函数求解.【训练1】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________.(2)(2018·无锡期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1x 2，x ≤－12，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2，x ＞－12，g (x )＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________.解析 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2，解得4≤a ＜8.(2)由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12＋2， 因为a ≤－12，所以－2≤1a ＜0，从而－7≤f (a )＜1；当a ＞－12时，f (a )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2，因为a ＞－12， 所以1＋a 2＞14，从而f (a )＜2.综上，函数f (a )的值域是(－∞，2).令h (b )＜2，即b 2＋2b ＋2＜2，解得－2＜b ＜0.答案 (1)[4，8) (2)(－2，0)【训练2】 (1)(2018·江苏天一中学月考)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________.(2)(2018·苏北四市期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x ＋1|，x ≤1，（x －1）2，x ＞1，函数g (x )＝f (x )＋ f (－x )，则不等式g (x )≤2的解集为________.解析 (1)法一f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <12，x ＋1，x ≥12，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上分别为减函数和增函数，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 法二 作函数f (x )的图象如图所示，由图知当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.(2)由题意得f (－x )＝⎩⎨⎧2－|－x ＋1|，x ≥－1，（x ＋1）2，x ＜－1，从而g (x )＝f (x )＋f (－x )＝⎩⎨⎧（x －1）2－（x －1）＋2，x ＞1，2，－1≤x ≤1，（x ＋1）2＋（x ＋1）＋2，x ＜－1，当x ＞1时，不等式g (x )≤2可化为(x －1)2－(x －1)＋2≤2，解得1＜x ≤2； 当－1≤x ≤1时，g (x )＝2，所以不等式g (x )≤2恒成立；当x ＜－1时，不等式g (x )≤2可化为(x ＋1)2＋(x ＋1)＋2≤2，解得－2≤x ＜－1. 综上所述，不等式g (x )≤2的解集是[－2，2].答案 (1)32 (2)[－2，2]。
分段连续函数原函数
分段连续函数原函数原函数是指给定一个分段连续函数的表达式，并求出其对应的原函数表达式。
下面我们分别介绍几种常见的分段连续函数，并求出它们的原函数。
一、多项式函数原函数求解：考虑一个多项式函数f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... +a_1x + a_0。
我们按照多项式函数的幂递减次序，依次求出每一项的原函数1.对于常数项a_0，它的原函数为a_0x；2.对于一次项a_1x，它的原函数为(a_1/2)x^2+c；3.对于二次项a_2x^2，它的原函数为(a_2/3)x^3+c；4.对于三次项a_3x^3，它的原函数为(a_3/4)x^4+c；……5. 对于n次项a_nx^n，它的原函数为(a_n/ (n+1))x^{n+1} + c；其中c为任意常数。
二、绝对值函数原函数求解：绝对值函数是一个分段函数，定义为：f(x)=，x，=x(x>=0),-x(x<0)。
要求解绝对值函数的原函数，在x为0的点有一个分段的变化，所以按照0为中点进行分段求解。
1.对于非负区间[0,+∞)，绝对值函数的原函数为f(x)=x^2/2+c1，其中c1为任意常数；2.对于负区间(-∞,0)，绝对值函数的原函数为f(x)=-x^2/2+c2，其中c2为任意常数。
三、分段线性函数原函数求解：分段线性函数是一个由线段构成的函数，每个线段由一对点的坐标决定。
定义一个分段线性函数f(x)=a_1x+b_1(x∈(x1,x2)),a_2x+b_2(x∈(x2,x3)),……a_nx + b_n (x ∈ (x_{n-1}, x_n))。
要求解分段线性函数的原函数，需要对每个线段进行积分求解1. 设一个线段的起点为(x1, y1)，终点为(x2, y2)，斜率为k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
则线段函数为f(x) = kx + b其中b = y1 - kx1为截距。
对线段函数f(x)进行积分，得到原函数F(x) = (k/2)x^2 + bx + c，其中c为任意常数。
不等式的绝对值与分段函数表示
不等式的绝对值与分段函数表示不等式是数学中重要的一部分，而绝对值和分段函数是解决不等式问题的常用方法。
本文将介绍不等式中的绝对值和分段函数的概念，以及它们在不等式求解中的应用。
一、绝对值的定义和性质绝对值是数学概念中常用的一种表示，用来衡量一个数到原点的距离。
对于任意实数a，其绝对值表示为|a|，定义如下：1. 当a≥0时，|a|=a；2. 当a<0时，|a|=-a。
绝对值有以下几个重要的性质：性质1：非负性质，即对于任意实数a，有|a|≥0；性质2：零的绝对值为0，即|0|=0；性质3：正数的绝对值等于其本身，即对于任意正数a，有|a|=a；性质4：负数的绝对值等于其相反数，即对于任意负数a，有|a|=-a。
二、绝对值不等式的求解绝对值不等式指的是形如|f(x)|<a或|f(x)|>a的不等式，其中f(x)为任意实数函数，a为正实数。
解绝对值不等式可以通过以下两种方式进行：1. 分类讨论法：考虑f(x)的正负情况，将不等式进行分类求解。
例如，对于|3x-2|<5这个不等式，可以将其分为两个情况进行讨论：当3x-2≥0时，即x≥2/3时，原不等式变为3x-2<5，解得x<7/3；当3x-2<0时，即x<2/3时，原不等式变为-(3x-2)<5，解得-1<x<7/3。
因此，原不等式的解集为-1<x<7/3。
2. 绝对值性质法：利用绝对值的性质，将不等式拆分为两个简单的不等式。
例如，对于|2x-1|>3这个不等式，可以将其分为两个简单的不等式：2x-1>3和2x-1<-3。
解得x>2和x<-1。
综合两个不等式的解集，得到原不等式的解集为x<-1或x>2。
三、分段函数的表示分段函数是指由不同函数段组成的复合函数。
在不等式求解中，分段函数常用来表示不同区间的函数表达式。
例如，对于一个定义在区间(-∞,1)上的分段函数f(x)如下：f(x)={x^2, x<0;2x+1, 0≤x<1;3, x≥1.}四、绝对值与分段函数的综合应用绝对值和分段函数在不等式求解中经常结合应用，可以通过绝对值和分段函数的性质来解决一些较为复杂的不等式问题。
分段函数与绝对值函数
分段函数与绝对值函数分段函数和绝对值函数是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、函数图像的研究中有着广泛的应用。
本文将对分段函数和绝对值函数的定义、性质以及图像进行详细的讨论。
一、分段函数的定义与性质分段函数是指在定义域的不同区间上，具有不同显式表达的函数。
一般情况下，定义域会被分割成多个互不交叉的区间，在每个区间上，函数的表达式都可能不同。
例如，我们考虑定义在实数集上的一个分段函数f(x)，其定义域为实数集R。
当x小于0时，f(x)定义为x的相反数，即f(x)=-x；当x大于等于0时，f(x)定义为x的平方，即f(x)=x^2。
分段函数具有以下性质：1. 在每个分段上，函数的表达式都是具体的，可以根据定义直接计算函数值。
2. 在分段的交界处，函数值可能存在不连续的情况。
例如上述例子中，在x等于0处，f(x)的值由负数突变为非负数。
3. 分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分都有自己的特点，有时可以通过图像来更好地理解函数的性质。
二、绝对值函数的定义与性质绝对值函数是指给定一个实数x，其函数值等于x的绝对值，即f(x)=|x|。
绝对值函数具有以下性质：1. 函数的定义域是全体实数集R，即绝对值函数可以对任意实数进行定义。
2. 函数值始终为非负数，即绝对值函数的图像位于x轴的上半平面。
3. 函数的图像关于y轴对称，即对于任意x，有f(x)=f(-x)。
这是由于绝对值的性质决定的。
4. 在x等于0的点上，绝对值函数的值为0。
在x小于0的点上，绝对值函数的值为-x，在x大于0的点上，绝对值函数的值为x。
三、分段函数与绝对值函数的图像分段函数和绝对值函数在图像上都具有一些特点。
对于分段函数来说，每个分段的图像可以分别绘制。
对于上述的例子f(x)=-x (x小于0)和f(x)=x^2 (x大于等于0)，它们的图像分别是一条直线和一个抛物线，它们在x等于0的点上相交并产生一个从负数突变为非负数的现象。
分段函数的图像与特点
分段函数的图像与特点在数学中，分段函数是指由不同的方程组成的函数，每个方程在定义域中分别成立。
这种函数只能在若干个子区间内定义并成立，整个定义域是所有子区间的并。
分段函数在图像上展现出来是由若干条线段或曲线段组成的图像。
本文将介绍分段函数的图像及其特点。
一、分段函数的图像分段函数的图像是具有特殊的规律和特点的。
以下以示例分别说明。
1. 绝对值函数$$f(x)=\begin{cases}x & ,x\geq0 \\-x & ,x<0\end{cases}$$这个函数的图像是一个V型的图形，其中$x>0$和$x<0$两部分线段在$x=0$处相接。
在$x\geq0$时，$f(x)=x$，它是一条斜率为正的直线。
在$x<0$时，$f(x)=-x$，也是一条斜率为正的直线，与$x\geq0$时的直线关于$x$轴对称。
因此，这个函数的图像是对称的。
2. 分段常函数$$f(x)=\begin{cases}a & , x\in [0,1) \\b & , x\in [1,2]\end{cases}$$这个函数在$x\in[0,1)$时函数值为$a$，其图像是定义在$[0,1)$上的一条水平线段。
在$x\in[1,2]$时函数值为$b$，它的图像是定义在$(1,2]$上的另一条水平线段。
这个函数的图像由两条水平线段组成，它们之间垂直于$x$轴。
3. 分段多项式函数$$f(x)=\begin{cases}mx + k_1 & , x\in [a, b]\\nx + k_2 & , x\in (b, c]\\px + k_3 & , x\in (c, d]\\\end{cases}$$这个函数的图像是由三条线段组成的，分别在$x \in [a,b]$、$x \in (b,c]$、$x \in (c,d]$的区间内定义。
在每个区间内，函数都是一个一次函数，因此$x$的增加会导致函数值的增加。
94高一数学26分段函数带绝对值求值域
94高一数学26分段函数带绝对值求值域
26分段函数带绝对值求值域的求解，首先要了解函数的本质，每
一段函数的关系，以及绝对值在函数中所起的作用。
26分段函数是由26个子函数组成的复合函数，它采用分段取值方式，由一个变量和一系列不同的定义域和值域组成，每一个分段从不
同的定义域到不同的值域。
而绝对值表示一个模型的绝对大小，即将
所有元素都变为正数，使得函数值域在一定范围内改变。
要求求解 26 分段函数带绝对值求值域，首先应该计算函数的值域，根据函数的定义，每一段函数的关系，以及在函数中所起的作用，根据这些条件，把函数分为两部分，一部分是模式的绝对值，另一部
分是函数，当绝对值存在时，函数中每一段的取值范围均乘以绝对值
的值，而函数段之间的边界值也要改变，继而可以求出每段函数的值域，进而求出函数的值域。
此外，对于函数段和函数段之间的边界值，也需要进行考虑，因
为它们也会改变 26 分段函数的值域。
它们正确的改变后，最终可得
函数的值域。
最后，要求求解 26 分段函数带绝对值求值域，可以充分利用上
述的思路去求解，根据函数每一段的定义域和值域，以及函数段与函
数段之间的边界值，以及绝对值在函数中所起的作用，通过改变每一
段函数的取值范围和边界值，最终可以求得函数的值域，从而解决 94 高一数学 26 分段函数带绝对值求值域的问题。
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2．11分段函数与绝对值函数——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二．建构知识网络1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.三、双基题目练练手1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( )A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是 （ ） A．,020xx y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=<C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩3．(2007启东质检)已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．的是()4.（2006全国Ⅱ）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）455.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩⎨⎧≥=b a b ba ab a ＜,,,max 则函数(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .7.已知函数132(0)()(01)log (1)xx f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=8.函数221(0)()(0)x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域 。
简答:1-4.ACDC;4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19| =|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x| ≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10| ≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2，f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.32,33x x x当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5.当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5} 6. 由()()21212122≥⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩如右图()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭7.12-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。
四、经典例题做一做【例1】设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f （2002）.解：∵2002＞2000，∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性。
解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。
因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。
提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。
【例3】(2007启东质检)已知函数1()|1|f x x=-,(0)x > （1）当0,()()a b f a f b <<=且时，求证：1ab >；（2）是否存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ，若存在，则求出,a b 的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为[,](0)ma mb m ≠，求m 的取值范围．解:（1）∵0x >，∴11,1,()11,0 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩∴)(x f 在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数． 由0,()()a b f a f b <<=且，可得01a b <<<， 所以有1111a b -=-，即112a b+=．∴2ab a b =+>1>，即1ab >（2）不存在满足条件的实数,a b ．若存在满足条件的实数,a b ，使得函数1()|1|y f x x==-的定义域、值域都是[,a b ]，则0a >．由11,1,()11,0 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩①当,a b ∈（0，1）时，1()1f x x=-在（0，1）上为减函数． 故(),().f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11,11.b aa b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a b =． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．②当,a b ∈[)1,+∞时，1()1f x x =-在（1，＋∞）上为增函数．故(),().f a a f b b =⎧⎨=⎩，即11,11.a a b b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩此时,a b 是方程210x x -+=的根，由于此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．③当a ∈（0，1），[)1,b ∈+∞时，由于1∈[,a b ]，而[](1)0,f a b =∉，故此时不存在适合条件的实数,a b ．综上可知，不存在适合条件的实数,a b ．（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,a b ]时，值域为[,]ma mb ，则0,0a m >>．①当,a b ∈（0，1）时，由于()f x 在（0，1）上是减函数，值域为[,]ma mb ，即11,11.mb a ma b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得a ＝b>0，不合题意，所以,a b 不存在．②当(0,1)(1,)a b ∈∈+∞或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[,]ma mb ，所以,a b 不存在．故只有[),1,a b ∈+∞．∵|11|)(x x f -=在（1，＋∞）上是增函数，∴(),().f a ma f b mb =⎧⎨=⎩，即11,11.ma a mb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,a b 是方程210mx x -+=有两个根．即关于x 的方程210mx x -+=有两个大于1的实根． 设这两个根为12,x x ．则121211,x x x x m m+=⋅= ∴12120,(1)(1)0,(1)(1)0.x x x x ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩即140,120.m m ->⎧⎪⎨->⎪⎩解得104m <<． 综上m 的取值范围是104m <<． 【例4】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )； （Ⅱ）求g (a )；解：（I ）∵t=x +1+x -1,∴要使t 有意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1. ∵t 2=2+221x -∈[2,4],t ≥0, ①∴t 的取值范围是[2,2].由①得21x -=21t 2-1, ∴m(t)=a(21t 2-1)+t=21at 2+t-a,t ∈[2,2].(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m （t ）=21at 2+t-a, t ∈[2,2]的最大值.注意到直线t=-a 1是抛物线m(t)= 21at 2+t-a 的对称轴，分以下几种情况讨论.(1)当a>0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t=-a1<0知m(t)在[2,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2.(2)当a=0时，m(t)=t,t ∈[2,2], ∴g(a)=2.(3)当a<0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.若t=-a1∈(0,2]，即a ≤-22，则g(a)=m(2)=2. 若t=-a 1∈(2,2]，即a ∈(-22,-21]则g(a)=m(-a 1)=-a-a21.若t=-a 1∈(2,+ ∞)，即a ∈(-21,0),则g(a)=m(2)=a+2. 综上有g(a)=12, ,211, ,222 a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪≤ 核心步骤:(1) m(t)=a(21t 2-1)+t=21at 2+t-a,t ∈[2,2]. (2)求g(a)=[m(t)]max ,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a 分类分类讨论. 【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200120002175********t t t t t t ，，当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5．综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.五．提炼总结以为师1.分段函数、绝对值函数问题类型——2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。