2021年.中考射影定理及其运用

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中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型06 射影定理模型(解析版)

模型介绍1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下：注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是．①AD 2＝BD •DC ；②AB 2＝BD •BC ；AC 2＝CD •BC ．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．【例3】．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是9．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC 交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为2．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG•AC＝84，∴CE＝2．故答案为2．【变式6】．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在实战演练BC 的延长线上，且CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AC ，若∠ACD ＝90°，AE ＝4，CF ＝2，求EC 和AC的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：如图，∵CF ＝BE ，CF ＝2，∴BE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∵AE ⊥BC ，∴AE 2＝BE •EC （射影定理），∴EC ＝＝＝8，∴AC ＝＝＝4．1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE ＝，AD ＝4，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故选：C．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4B．2C．D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB＝2，则AP等于（）A．B．C．D．解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂线，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面积公式可得PC＝，∵BC为直径，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故选：B．4．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA•PB；②PC•OC＝OP•CD；③OA2＝OD•OP；④OA（CP﹣CD）＝AP•CD，正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA•PB；②∵OC⊥PC，∴PC•OC＝OP•CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD•OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD•OP；④∵AP•CD＝OC•CP﹣OA•CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP•CD，所以正确的有①，②，③，④，共4个．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝4，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案为．6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG 的延长线交CD于点F．F为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG＝1，则CD的长为2+2，cos∠DEC的值为﹣1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折叠的性质得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，则BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG•BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案为：2+2，﹣1．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC ⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是．解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（﹣，0），由于图象过一、二、三象限，故k＞0，又因为BC⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO•CO，代入数值为：1＝•CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO•DO，代入数值为：k2＝1•DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根据射影定理，EO2＝DO•OF，即（k++）2＝k2•（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO•EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，＝×OC×BD＝BC•DK，∵S△DCB∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值为．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案为：．9．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质得：AF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，设EG＝x，则AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG•AE（射影定理），即42＝2x•3x，解得：x＝（负值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的长为4；（2）当点E，C'，D三点共线时，如图3，由②可知，BC＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．11．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．。

拓展视野10 射影定理的应用

射影定理的应用设△ABC 的三边是a ，b ，c ，它们所对的角分别是A ，B ，C ，则有a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝c cos A ＋a cos C ；c ＝a cos B ＋b cos A .注：以“a ＝b cos C ＋c cos B ”为例，b ，c 在a 上的射影分别为b cos C ，c cos B ，故名射影定理.证明如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，则b cos C ＝CD ，c cos B ＝BD ，故b cos C ＋c cos B ＝CD ＋BD ＝BC ＝a ，即a ＝b cos C ＋c cos B ，同理可证b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .B ＋b cos A )＝c ，B ＝π6，则△ABC 的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定解析：A 由射影定理得2cos C ·c ＝c ，则cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3，∵B ＝π6，则A ＝π2，故△ABC 为直角三角形.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是()A.a ＝2bB.b ＝2aC.A ＝2BD.B ＝2A 解析：A 由正弦定理及sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，得b ＋2b cos C ＝2a cos C ＋c cos A ＝a cos C ＋(a cos C ＋c cos A )＝a cos C ＋b ，即2b cos C ＝a cos C ，又△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.尝试训练(2024·四川名校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a cos C＋b＝2c cos A，c＝3a，则A＝()A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：A法一：已知c＝3a，由正弦定理得sin C＝3sin A，所以sin2C＝3sin2A，所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.由2a cos C＋b＝2c cos A，得2sin A cos C＋sin B＝2sin C cos A，2sin A cos C＋sin(A＋C)＝2sin C cos A，3sin A cos C＝sin C cos A，9sin2A cos2C＝sin2C cos2A，9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，由sin A≠0，解得sin A＝±1 2 .又0＜A＜π，所以A＝π6 .法二：由射影定理，得b＝a cos C＋c cos A，代入2a cos C＋b＝2c cos A，得3a cos C＝c cos A，又c＝3a，所以33cos A＝cos C，①由c＝3a及正弦定理得3sin A＝sin C，②①2＋②2，可得13cos2A＋3sin2A＝1，即sin A＝1 2，又由①得A∈(0，π2)，故A＝π6.。

射影定理的原理和应用

射影定理的原理和应用1. 射影定理的原理射影定理是在线性代数中常用的一条重要定理，它描述了向量空间中的向量通过投影运算能够分解为两个互相垂直的向量的和。

1.1 向量空间和内积空间在介绍射影定理之前，我们先来了解一下向量空间和内积空间的概念。

•向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一些基本的性质，如封闭性、结合律、分配律等。

在向量空间中，我们可以定义向量的加法和数乘运算。

•内积空间是在向量空间的基础上引入了内积的概念。

内积是一个函数，它将两个向量映射为一个标量，满足一些基本的性质，如对称性、线性性、正定性等。

1.2 射影定理的表述射影定理的表述如下：在内积空间中，对于任意一个向量b和一个子空间M，存在唯一的向量a ∈ M，使得向量b与M中的任意向量m的差向量都垂直。

即，有b - a ∈ M⊥其中，M⊥表示M的正交补空间。

1.3 射影向量的计算为了计算向量b在子空间M上的射影向量a，我们可以使用射影公式进行计算。

射影公式如下：a = Pm(b) = (mb * m) / (m * m) * m其中，Pm(b)表示向量b在子空间M上的射影向量，mb表示向量b在子空间M上的投影向量，m表示子空间M的一组基。

2. 射影定理的应用射影定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理、机器学习等领域。

2.1 图像处理中的应用在图像处理中，我们常常需要对图像进行降噪处理。

射影定理可以帮助我们去除图像中的噪声，并恢复出清晰的图像。

具体地，我们可以将图像看作是向量空间中的向量，其中每个像素点对应一个维度。

通过将图像向量投影到一个合适的子空间上，可以得到图像在该子空间上的射影向量，从而滤除图像中的噪声。

2.2 信号处理中的应用在信号处理中，射影定理可以用于信号压缩和信号恢复的问题。

例如，在无线通信中，由于带宽受限，需要对信号进行压缩以减少传输的数据量。

通过将信号投影到一个合适的子空间上，并保留最重要的部分信息，可以实现信号的压缩。

初中数学直角三角形射影定理记住它解题快捷方便

初中数学直角三角形射影定理记住它解题快捷方便
说起欧几里德定理，估计大家都很陌生，但是提到射影定理，估计大家都晓得。

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
BD²=AD·CD
AB²=AC·AD
BC²=CD·AC
此结论由被称为“几何之父”古希腊著名数学家欧几里得提出，他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。

他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。

射影定理是数学图形计算的重要定理。

在解决一些直角三角形线段长度时，用到的非常广泛。

希望大家去记住他。

至于推导过程，根据三角形相似就可以了。

下面的视频可以看看。

(2021年整理)直角三角形的射影定理教案

（完整）直角三角形的射影定理教案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）直角三角形的射影定理教案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）直角三角形的射影定理教案的全部内容。

第一讲相似三角形的判定及有关性质3。

4 直角三角形的射影定理备课组：高二数学组主备人:柴海斌持案人：授课班级：授课时间：教学目标知识与技能:掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题。

方法与过程：通过问题设计,层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。

情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。

教学重难点重点：直角三角形的射影定理的证明及应用;难点：直角三角形的射影定理的证明。

教学过程二、教学引入什么是射影?点和线段的正射影简称为射影A B(让学生复习并挖掘下图中的基本性质。

）已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。

（1)图中有几条线段？(答:6条，分别记为AB=c,AC=b，BC=a,CD=h,AD=m,BD=n。

)(2）图中有几个锐角？数量有何关系？（3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC，可分别写出三组比例式：CD AD BD CD CB AC == （ΔACD ∽ΔCDB ）;AC CDBC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC ）; CADABC CD AB AC == （ΔACD ∽ΔABC ）。

（4）观察第(3）题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CADAAB AC =（5)由上可得到哪些等积式？CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.请同学们自己写出已知条件并证明.已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。

射影定理课件

射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系

几何中的射影定理及其应用举例

几何中的射影定理及其应用举例几何学是一门研究空间形状和结构的学科，而射影定理则是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。

本文将介绍射影定理的基本概念和原理，并通过几个实际应用举例，展示射影定理在几何学中的重要性。

射影定理是指在几何空间中，一条直线与两个平行平面相交，那么这条直线在其中一个平面上的投影与另一个平面上的投影互相平行。

这个定理的证明可以通过几何推理或向量运算来完成，但无论采用哪种方法，都需要基于空间几何学的基础知识。

在实际应用中，射影定理可以用来解决许多与投影相关的问题。

例如，在建筑设计中，我们常常需要考虑阳光的投影对建筑物的影响。

通过应用射影定理，我们可以确定在不同时间和季节，太阳光的投影位置和角度，从而为建筑物的设计提供参考。

这样，我们可以合理安排建筑物的窗户和遮阳设施，以达到舒适和节能的效果。

另一个应用射影定理的例子是在计算机图形学中。

在三维建模和渲染过程中，射影定理被广泛用于计算物体在二维屏幕上的投影效果。

通过将三维物体投影到屏幕上的二维平面，我们可以实现逼真的图像渲染和交互体验。

这个过程中需要考虑光源、摄像机位置和角度等因素，而射影定理为这些计算提供了基本原理和方法。

除此之外，射影定理还可以应用于地理测量、天文学、航空航天等领域。

在地理测量中，通过测量物体在地球表面上的投影，我们可以计算出物体的实际大小和位置。

在天文学中，射影定理可以帮助我们确定天体在观测设备上的投影位置和运动轨迹。

而在航空航天领域，射影定理则可以用来计算卫星的轨道和通信信号的传播路径。

总之，射影定理是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。

通过应用射影定理，我们可以解决建筑设计、计算机图形学、地理测量、天文学和航空航天等领域中的实际问题。

射影定理的应用不仅可以提高我们对空间结构和形状的理解，还可以为相关领域的研究和实践提供有效的工具和方法。

因此，深入理解和应用射影定理对于几何学的学习和应用具有重要意义。

初三数学射影定理

初三数学射影定理
初三数学中的射影定理，被广泛的应用在图像几何和分析几何中，
它是指当一个物体的成像方式是从物体到一个平面的，那么成像的镜
像仍然具有完整的射影定理。

该定理的最基本的是，连接几何体终点
到平面面上的。

射影定理表明，两个不同的物体可以给出一定的重叠
关系，而这种重叠关系仍然是满足射影定理的。

在实际应用中，射影定理可以用来计算物体要发生变形的角度，以及
几何体形状和大小在变形后的变化和比例。

在几何画图中，射影定理
可以用来画出重要的形状，例如三角形，正方形等。

它也可以用来计
算同心圆，圆锥，轴对称图形等。

射影定理还可以用来解决视觉障碍性问题，视觉障碍性问题是指，两
个物体的投影是不一致的，比如两个球体的平面上的投影：球体的成
像经常会与其它平面形状不一致，而射影定理给出了相应的解决办法。

射影定理在实际工程中也具有重要的应用，它可以用来表示几何体的
位置，方向和角度等属性，以及实现特殊的几何转换，应用在建筑学，机械设计，飞行规划等领域。

总而言之，射影定理是一个很重要的理论，它可以应用到广泛的几何
问题中，有助于解决复杂的几何体的属性，甚至让用户的思维体验更
加深入。

中考射影定理及其运用

中考射影定理及其运用射影定理（Projection Theorem）是解析几何中一个重要的定理，在中考中也经常会涉及到，下面将对射影定理以及其运用进行详细讲解。

射影定理是解析几何中的一个基本定理，它主要用来解决平面几何中的一些问题。

它的核心思想是将平面上的一个点，通过一个平行于另一个平面的直线（即射影线）投影到另一个平面上，找到被投影点在另一个平面上的对应点。

射影定理的表述如下：对于空间中的直线l和平面P，如果直线l与平面P平行，那么空间中任一点A与平面P所成的投影点B，都在直线l 上。

根据射影定理可以得到一个重要的结论：两个平行的平面在任意一条和它们平行的射影线上的投影点两两共线。

射影定理在中考中的运用主要有以下几个方面：1.证明直线与平面平行：通过使用射影定理，可以证明一个直线与一个平面平行。

具体方法是，通过给定的直线和平面，取直线上任意一点作为A点，求A点在平面上的投影点B，然后通过连接AB，再连接B点与平面外的任一点C，如果BC与给定的直线平行，则可证明该直线与平面平行。

2.求平面上的点关于另一平面的投影点：已知平面上的一个点A和一个平面P，直线l与平面P平行，要求点A关于平面P的投影点B。

通过连接A和l的交点C，然后连接B与C点，连接AC与PB的交点D，可以得到点A关于平面P的投影点B。

3.空间中的图形投影：对于空间中的一个几何图形，可以通过射影定理将其投影到另一个平面上，从而得到一个相似的平面图形。

这在中考中经常会遇到，通常要求学生在解题时利用射影定理将一个空间中的几何图形投影到平面上，进行计算。

需要注意的是，射影定理虽然在解析几何中十分有用，但在一些实际问题中的应用却是具有一定的局限性的。

因为射影定理只在平行的直线和平面之间才成立。

总结起来，射影定理作为解析几何中的重要定理，在中考中经常会涉及到。

通过深入理解其定义与应用，加强练习，掌握其运用方法，能够在中考中取得较好的成绩。

射影定理在中学数学中的应用

这样一来，我们就把直角三角形中的射影定理扩充到了相似三角形中的射影定理。
思考2、射影定理与勾股定理的等价性思考。
从证法①中可以看出，射影定理是在默认成立了勾股定理的基础上证明的，那么反过来我们也可以从射影定理来证明勾股定理，且成立。想要更好的掌握数学这一学科，就要学会融会贯通，作该思考有助于学生感受、体会数学证明的逻辑严密性、完整性。
思考1、能否把直角三角形中的射影定理一般化？
答：若△ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，
类似地仍有部分结论成立。
如图2，在△ABC中，D为AB上一点，若∠CDB=∠ACB,
或∠DCB=∠A，则有△CDB∽△ABC，可得BC²=BD× AB；
反之，若△ABC中，D为AB上一点，且有BC²=BD× AB，则有△CDB∽△ABC，可得到∠DCB=∠A或∠CDB=∠ACB。
任意三角形射影定理
1、定理简介：定理由欧几里得提出，在解三角形，探究三角形边角关系作用很大，并且该定理可以与正弦定理、余弦定理相媲美。
2、定理内容：三角形的边长等于另外两边与所求边成夹角余弦值的乘积之和。
3、定理数学表达：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
思考3、射影定理与切割线定理的等价思考。
观察定理表达式，是否能发现直角三角形中的射影定理与圆的切割线定理有相似之处呢？。
切割线定理：是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图所示，以AB的中心为圆心，AB的一半为半径做圆，AC为圆的切线，A为切点，AB⊥AC，BC为圆的割线，此处有个著名的切割线定理：AC²=CD× BC。以此不难看出，直角三角形中的射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。

任意三角形的射影定理(3篇)

第1篇在几何学中，射影定理是一个重要的定理，它描述了三角形在射影变换下的性质。

射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上，而保持其某些性质不变。

本文将详细介绍任意三角形的射影定理，包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。

一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中，从一个顶点到对边上的任意点作垂线，那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。

设三角形ABC，其中点D是BC边上的任意一点，点E是AD的垂足，点F是AC的中点。

根据射影定理，我们有：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法，以下介绍两种常见的证明方法：1. 构造辅助线法（1）作辅助线：在三角形ABC中，作辅助线DE，使得DE垂直于BC，交BC于点D。

（2）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（3）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（4）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（5）根据射影定理的定义，得到：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法（1）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（2）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（3）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（4）根据相似三角形的性质，我们有：$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$（5）由于DE=BC，FC=AC/2，代入上式得到：$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。

射影定理及应用

射影定理及应用射影定理是数学中的一条重要定理，主要用于描述点到直线的垂直距离及其几何意义。

具体来说，射影定理指的是将一个点P投影到一条直线l上，得到的投影点R与直线l上的两点A、B连线所夹的线段AB的垂直平分线，以及点P到直线l的垂线PA的垂足H之间的关系。

射影定理的几何表述如下：给定点P和直线l，连接PA和PH，其中H为PA的垂足。

设点R是直线l上的点，使得线段BR与线段AR垂直且相等。

那么，线段PH是线段AB的中点，并且PA和PH是垂直的。

射影定理在几何学和数学分析中有广泛的应用，尤其是在线性代数和解析几何中。

首先，射影定理给出了点到直线的最短距离，也就是点P到直线l的垂直距离。

这一性质在很多实际问题中都有应用。

例如，在建筑设计中，我们常常需要确定房屋外墙的位置和间距。

利用射影定理，可以将墙面与水平基准线垂直，确定墙面的投影点，进而计算出墙面与地面的垂直距离。

其次，射影定理也用于计算图形的中点和垂足。

例如，给定一个三角形ABC，可以利用射影定理找到三角形的垂心、重心和外心。

垂心是三角形三条高线的交点，重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条垂直平分线的交点。

这些特殊点在三角形的构造和性质研究中起到了重要的作用。

另外，射影定理还可以应用于向量运算和线性代数中。

在向量空间中，可以用射影定理来表示向量在某个子空间上的投影。

这个投影可以用来求解线性方程组的解、拟合数据点到一个线性模型的最佳拟合线等问题。

射影定理为向量空间的研究提供了一个基本的工具，帮助我们更好地理解向量的性质和运算规律。

此外，射影定理还与三角函数有密切的关系。

在平面解析几何中，可以利用射影定理证明三角函数的诸多性质。

例如，可以证明正弦函数和余弦函数之间的和差公式、二倍角公式等。

射影定理为解析几何的研究提供了一个重要的几何工具，帮助我们更好地理解和应用三角函数。

射影定理也在微积分中有重要应用，例如在计算曲线的曲率和切线时。

在总结上述内容之前，我们还可以看到，射影定理在计算机图形学中也有广泛的应用。

射影定理课件

C
2
AC ＝AD·AB
2
BC ＝BD·AB
A
D
射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两条
直角边在斜边上射影的比例中项；
每一条直角边是这条直角边在斜边
上的射影和斜边的比例中项。
B
例1. 如图，已知△ABC中,∠ACB＝
90°，CD⊥AB，AD＝2cm，BD＝
6cm，求CD、AC、BC的长.
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
OA 3 5 即⊙o半径为3 5
练习：如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC
延长线上任取一点P，连AP，作BG⊥AP于P点，交CE
于D，求证：CE2＝EP·ED
分析：∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴由射影定理得 CE2＝AE·EB
若要CE2＝PE·DE
AE DE
＝
则AE·EB＝PE·DE
PE EB
P
G
C
D
要证明△AEP ∽△DEB
A
E
B
证明：∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴由射影定理得 CE2＝AE·EB
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°
∵∠PDG=∠BDE，∴∠P=∠DBE
∴△AEP∽△DBE ∴PE：BE=AE：DE
∴ PE·DE=AE·BE ∴CE2＝PE·DE
AE⊥BD于E，求证：∠CBD＝∠ECD
证明：∵∠CAB=90°，AE⊥BD
∴由射影定理得
DA2＝DE·DB
又∵D为AC的中点
∴DC＝DA
∴DC2＝DE·DB
DC DB

＝
DE DC
∵∠CDB=∠CDE

射影定理的定义公式是什么

射影定理的定义公式是什么
2021-09-15 15:20:33
直角三角形射影定理是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

射影定理的定义公式是什么
1射影定理公式
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
BD²=AD·CD
AB²=AC·AD
BC²=CD·AC
由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。

可以使用相似进行证明，过程略。

2射影定理记忆技巧
射影定理的原理就是相似三角形的边长比相等。

想要简单背诵就记好平方项是哪两条线段的比例中项，其中一条是射影。

因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。

所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。

在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。

将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

射影定理的几个应用

射影定理的几个应用
1、激光原理：激光是由发射端的激光源，经过反射镜和折射镜的反射和折射，最终形成一束稳定的光束。

2、照相原理：照相机的镜头是由折射镜和反射镜组成的，通过折射镜和反射镜将被拍摄物体的光线折射到感光片上，从而形成照片。

3、光学显微镜：光学显微镜是利用折射镜和反射镜组合，将被观察物体的光线折射到观察者的眼睛上，从而达到放大物体的效果。

4、望远镜：望远镜是由折射镜和反射镜组成的，可以把远处的物体的光线折射到观察者的眼睛上，从而达到放大物体的效果。

射影定理的推广及应用

射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

初三数学知识点剖析—期末冲刺：射影定理

MD MA ∴MA2=MD•ME；
(2)∵△EMA∽△AMD， ∴ AE = EM = AM ，
AD AM MD ∴ AE = EM ， AE = AM ，
AD AM AD MD
∴ AE AE = EM AM ， AD AD AM MD
∴ AE2 = ME ． AD2 MD
【点评】解答时证明三角形相似是关键
【解答】证明： ∵DM⊥BC， ∴∠BMD=90°， ∴∠B+∠D=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠D=∠C． ∵M 是 BC 的中点， ∴AM=MC= 1 BC，
2 ∴∠MAE=∠C． ∴∠MAE=∠D． ∵∠AME=∠AMD， ∴△EMA∽△AMD， ∴ MA = EM ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
BA BC
3.口诀：柱子的平方等于影子的乘积.
三、典型例题
例 1：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点， DM⊥BC 交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D，求证：（1） MA2 = MD ME ；（2） AE2 = ME ．
例 2：【分析】首先证明△ABD∽△CAD，得到 AB：AC=BD：AD；证明△ADF∽△DBF，得到 BD：AD=BF： DF，即可解决问题
【解答】证明：如图，∵∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， ∴∠B+∠C=∠DAC+∠C， ∴∠B=∠DAC，而∠ADB=∠ADC， ∴△ABD∽△CAD， ∴AB：AC=BD：AD； ∵E 为 AC 的中点， ∴EA=ED，∠ADE=∠DAC， ∵∠DAC=∠B， ∴∠ADE=∠B，而∠F=∠F， ∴△ADF∽△DBF， ∴BD：AD=BF：DF， ∴AB：AC=BF：DF．

折叠问题与圆结合，使用射影定理是解决问题很好的手段

折叠问题与圆结合，使用射影定理是解决问题很好的手段折叠问题与圆结合，使用射影定理是解决问题很好的手段原创孟老师讲数学2021-02-22 17:00:49折叠问题一直是初中数学重点考察的对象，掌握折叠的本质，充分利用折叠前后图形的形状、大小不变的特点，是解决问题的关键。

我们以折叠与圆的综合题目来简要介绍一下。

题目如下：半圆直径为10，折痕长为9，求没压住部分直径的长？已知条件分析：10是半圆的直径，作用无非是确定半圆的大小，暂时意义不大。

另外就是9了，这个数字的大小，影响到对折过来的纸片有多少，就是因为它的变化，导致了所求线段长度的变化，是关键数据。

另外，题目给出的信息就是对折，这个词的意思表示，对折前后的两部分图形，大小、形状都不会发生变化，也就是全等。

涉及到圆，无非弧、弦、圆周角、圆心角、切线、割线等知识点，题目中出现了圆周角和弦，就从这两方面着手。

有圆周角，就要将它对应的弧，以及弧所对的弦找出来，题中有两段弧对应着同一个圆周角,分别是弧DB和弧DC,角相等则弧相等。

如果不太理解的话，注意看下面的附图。

过B点做AD的垂线，交半圆于B’，因为对折，∠1=∠2，弧B’D等于弧DC，也等于弧BD。

回到正题，既然两段弧相等，那么线段BD等于线段CD，由此推出三角形DBC是等腰三角形。

等腰三角形的有什么性质？是三线合一。

这是我们从已知条件推出来的信息，但是还不够，没找到相合的模型确立等量关系。

继续挖掘，会发现D点比较特殊，它与直径的两个端点构成一个三角形，且D点处的夹角正好是90度。

一个直角三角形直角顶点处的垂线，与哪个涉及到长度的知识点关联密切？不难想到，射影定理！如果我们构造出这个三角形来，就可以用射影定理找出等式关系了。

连接DB、DC,过D点做DE⊥AC于E,那么BE=EC=½BC.设EC长为X，由射影定理得，AD的平方等于AE乘以AC，即81=10-X乘以10，解这个一元一次方程，就得X=1.9，进而求出BC=2倍的1.9，即3.8。

2021年.中考射影定理及其运用

中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型06 射影定理模型(解析版)

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(2021年整理)直角三角形的射影定理教案

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