误差椭圆
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第十章误差椭圆
第十章 误差椭圆知识点习题与解析10.01 从已知点A 确定点P 的坐标(如图10-1所示)，观测了角度L 、边长S ，T 为已知方向，已知AP 边边长为200m ，测角和测边的中误差分别为βσ=2″，S σ=3cm ，试求待定点P 的点位中误差。
10.02 角ψ和ψσ是怎样定义的?ψϕ、及E ϕ之间有什么关系?10.03 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X X Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20(/())01X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求该点的点位中误差。
10.04 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X XY ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20.5(/())0.53X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求ϕ=30°方向上的位差。
10.05 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆTXX Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，平差后得到ˆX的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∧∧75.015.015.025.0XX Q ，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=。
(1)计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； (2)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (3)计算P 1点在方位角为90°方向上的位差。
10.06 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆˆˆTXX Y ⎡⎤=⎣⎦，平差后得到x 的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∧∧25.125.025.075.1XX Q，且单位权中误差0ˆσ=cm 。
(1)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (2)计算P 2点在方位角为45°方向上的位差。
10.07 已知平差后待定点P 坐标的协因数和互协因数为∧∧∧∧Y X Y X 、Q、QQ 则当∧∧YX Q=0且∧∧YX＞QQ 时，P 点位差的极大值方向为 ，E ϕ= ；位差的极小值方向为 ，F ϕ= 。
第05章 误差椭圆..
由于 Qyx=Qxy，故
Q Qxx cos 2 2Qxy sin cos Q yy sin 2 Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2
而待定点P在φ方向上的位差可用下式得到
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2 )
zqz99@
(Q xx Q yy ) 4Q
2
2 xy
(5-20)
位差的极大值和极小值为
E 0 QEE F 0 QFF
(5-21) (5-22)
因为两个极值方向相互垂直，故
2 E2 F 2 0 (QEE QFF ) 2 0 (Qxx Q yy ) 2 P
zqz99@
(5-13)
由式(5-13)可知σ 2φ的大小与方位角φ有关 ｡在所有方向 的位差权倒数中，必有一对权倒数取得极大值和极小值，分 别设为 QEE和QFF ，而相应的方向分别设为φE和φF ，其中在
φE方向上的位差具有极大值，而在φF 方向上的位差具有极
小值，很显然， φE和φF两方向之差为90°｡
由图可知点位真误差PP ′在φ方向上的投影值为 PP′″，且:
PP
Δy
平差位置
PP PP x cos y sin
Δx
Δxcos φ 真实位置
x cos sin y Δφ 点位真误差在方位角为 φ方向上的投影 (5-11)
测量工作中通常用点位中误差σP来衡量待定点的精度，
只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式 (5-3)或式(5-6)计算点位中误差｡
2 2 2 P x y
Q Qxx cos 2 2Qxy sin cos Q yy sin 2 Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2
而待定点P在φ方向上的位差可用下式得到
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2 )
zqz99@
(Q xx Q yy ) 4Q
2
2 xy
(5-20)
位差的极大值和极小值为
E 0 QEE F 0 QFF
(5-21) (5-22)
因为两个极值方向相互垂直，故
2 E2 F 2 0 (QEE QFF ) 2 0 (Qxx Q yy ) 2 P
zqz99@
(5-13)
由式(5-13)可知σ 2φ的大小与方位角φ有关 ｡在所有方向 的位差权倒数中，必有一对权倒数取得极大值和极小值，分 别设为 QEE和QFF ，而相应的方向分别设为φE和φF ，其中在
φE方向上的位差具有极大值，而在φF 方向上的位差具有极
小值，很显然， φE和φF两方向之差为90°｡
由图可知点位真误差PP ′在φ方向上的投影值为 PP′″，且:
PP
Δy
平差位置
PP PP x cos y sin
Δx
Δxcos φ 真实位置
x cos sin y Δφ 点位真误差在方位角为 φ方向上的投影 (5-11)
测量工作中通常用点位中误差σP来衡量待定点的精度，
只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式 (5-3)或式(5-6)计算点位中误差｡
2 2 2 P x y
误差椭圆
2 2 E(∆P2 ) = E(∆x2 ) + E(∆y2 ) = σ x +σ y
2 E[∆x ] = E[( x− x)2 ] = E[( x − E(x)) 2 ] = σ x 2 2 E[∆y ] = E[( y− y)2 ] = E[( y − E( y)) 2 ] = σ y 2 ~
~
σ = σ +σ
p
ϕ
p′′
p′′′
∆ϕ
y
由广义误差传播律: 由广义误差传播律
Qϕϕ = Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin 2ϕ
2 2 2 σϕ = σ 0 Qϕϕ = σ 0 (Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin(2ϕ)
三、位差的极大值 E和极小值 F
上
E = σ QEE =
2 2 0
σ02
2
(Qxx + Qyy + K),
∆ψ = cosψ∆E + sinψ∆F Q = QEE cos2 ψ + QFF sin2 ψ + QEF sin 2 ψ ψψ
QEF = 0
Qψψ = QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ
2 2 2 σψ = σ 0 Qψψ = σ 0 (QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ ),
∧
Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧
∧
X1 X i
∧
X1Y i
∧
L Q∧ L Q∧ L
∧
X1 X u
∧
Y1 Y1
Y1 X i
Y1 Y i
Y1 X u
2 E[∆x ] = E[( x− x)2 ] = E[( x − E(x)) 2 ] = σ x 2 2 E[∆y ] = E[( y− y)2 ] = E[( y − E( y)) 2 ] = σ y 2 ~
~
σ = σ +σ
p
ϕ
p′′
p′′′
∆ϕ
y
由广义误差传播律: 由广义误差传播律
Qϕϕ = Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin 2ϕ
2 2 2 σϕ = σ 0 Qϕϕ = σ 0 (Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin(2ϕ)
三、位差的极大值 E和极小值 F
上
E = σ QEE =
2 2 0
σ02
2
(Qxx + Qyy + K),
∆ψ = cosψ∆E + sinψ∆F Q = QEE cos2 ψ + QFF sin2 ψ + QEF sin 2 ψ ψψ
QEF = 0
Qψψ = QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ
2 2 2 σψ = σ 0 Qψψ = σ 0 (QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ ),
∧
Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧
∧
X1 X i
∧
X1Y i
∧
L Q∧ L Q∧ L
∧
X1 X u
∧
Y1 Y1
Y1 X i
Y1 Y i
Y1 X u
误差椭圆
Qxx Qxx
Qyy Qyy
K
其中 K Qxx Qyy 2 4Q2xy
22
7.5 点位落入误差椭圆内的概率
二维正态分布的联合概率密度函数：
f
x,
y
2
1
x y
1
2
exp
1
21 2
PP PP PP
x cos y sin cos
sin
x y
6
Q cos
s
in
Qxx Qxy
Qxy Qyy
c s
os in
Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
• 误差椭圆反映的是待定点的点位分布情况，是一 个概率形象。当坐标轴旋转E角后，可得标准椭 圆方程。
17
• 在误差椭圆上量取任意方向的位差
X´
P
• 方法：过椭圆作方向的正交切线PF
F
• P－切点，F－垂足，则
OF
O Y´
• 中误差曲线在测量中的应用举例
18
•误差椭圆绘制： • 1) E角无负值； • 2) E>F； • 3) 测量坐标系绘制；
用求
特征
向量
的方
法求极
大值
和极
小值
的方
向
E、
。
F
Qxx Qxy
1
Qxy Qyy
1
c s
osE in E
0
,
得
tan E
QEE Qxx Qxy
误差椭圆
2
第十章——误差椭圆
2 令： K (Qxx Q yy ) 2 4Qxy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
第十章——误差椭圆
（7）式和（8）式就是用极值E、F计算纵横坐标中误差 的公式。 若规定任何方向都由E 轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴 的方位角为 360 E （如图）。故（7）式可写为：
2 x E 2 cos2 (360 E ) F 2 sin 2 (360 E )
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
§10-5 相对误差椭圆
在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就可应用点位误 差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。 但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位 角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相 对精度。为此，有必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。 设有任意两个待定点 为：
第十章——误差椭圆
极值方向
当
当
tan 2 0
2Qxy Qxx Q yy
Qxy 0 时，极大值在一、三象限；
Qxy
极小值在二、四象限。 时，极大值在二、四象限； 0 极小值在一、三象限。
第十章——误差椭圆
2 令： K (Qxx Q yy ) 2 4Qxy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
第十章——误差椭圆
（7）式和（8）式就是用极值E、F计算纵横坐标中误差 的公式。 若规定任何方向都由E 轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴 的方位角为 360 E （如图）。故（7）式可写为：
2 x E 2 cos2 (360 E ) F 2 sin 2 (360 E )
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
§10-5 相对误差椭圆
在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就可应用点位误 差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。 但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位 角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相 对精度。为此，有必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。 设有任意两个待定点 为：
第十章——误差椭圆
极值方向
当
当
tan 2 0
2Qxy Qxx Q yy
Qxy 0 时，极大值在一、三象限；
Qxy
极小值在二、四象限。 时，极大值在二、四象限； 0 极小值在一、三象限。
测量平差基础课件——误差椭圆
tg2 0
2Q xy (Qxx Q yy )
2020/6/11
确定极值方 向的公式
两个根：2 0 和 20 180 即，使Q 取得极值的方 向值为 0 和 0 90 ，其 中一个为极大值方向， 另一个为极小值方向。 那么，哪个是极大值方 向？哪个是极小值方向 呢？下面作进一步的推 证：
9
§6-2 点位ห้องสมุดไป่ตู้差
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1.极值方向的确定
总之：
tg2 0
2Q xy (Qxx Q yy )
两个根： 2 0
20 180
两个极值方向：0 0 90
当 当Qxy 0 ： 极大值方向 E 在一、
三象限，极小值在二、四象限。
当 当Qxy 0 ： 极大值方向 F 在一、
三象限，极小值在二、四象限。
2 P
02(Qxx
Qyy)
02(
1 Px
1 )
Py
P 0
Qxx Qyy 0
11 Px Py
Qx1 y1
Qx1 x2
Qx1 y2
Qx1 xk
Q x1
yk
Q y1 y1 Qx2 y1 Q y2 y1
Q y1 x2 Qx2 x2 Q y2 x2
Q y1 y2 Qx2 y2 Q y2 y2
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1.极值方向的确定
cos2
0
1
cos 20
2
,
sin2
0
1
cos 20
2
或
Q
(Qxx
1 cos 20 2
Qyy
1 cos 20 2
Qxy sin20 )
第26讲误差曲线与误差椭圆
误差 Nhomakorabea线与误差椭圆
《第26讲 误差曲线与误差椭圆》
误差曲线与误差椭圆
提纲： 一、误差曲线 二、误差椭圆
一、误差曲线
误差曲线与误差椭圆
1、误差曲线定义
以待定点P为极点， 为极角，为长度的极坐标点的轨迹，这个 曲线把各方向的位差清楚地图解出来了，
如右图，OP的长度就是O点在OP方向的位差 ___
在目前普遍采用计算机计算和绘图 的条件下，可以直接采用误差曲线， 不必采用误差椭圆，并且图解的方 法已经不再适用。 上面的讨论都只针对一个待定点， 确定该点的误差曲线和误差椭圆。
误差曲线与误差椭圆
谢 谢！
后方位角P的A 中误差，可以先从图上量取垂直于PA方向上的位
一、误差曲线
误差曲线与误差椭圆
差Pg，这是PA边的横向误差
，则由下式可得
u
PA
u
SPA
Pg
SPA
上式SPA是PA的长度。
二、误差椭圆
误差曲线与误差椭圆
由于点位误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便，因此降
低了它的实用价值。由于误差曲线形状与以E、F为长半轴和 短半轴的椭圆相似，实用上以椭圆代替，这个椭圆称为点位
的误差椭圆， E、E、称F为点位误差椭圆的参数。椭圆方程为： ，即Ex误22 差Fy椭22 圆 1分别以E、F为长短半轴。
误差曲线与误差椭圆
二、误差椭圆
误差椭圆的向径不再是P点在该方向的误差，但只要在垂直于 该方向上作椭圆的切线，则垂足与原点的连线长度即该方向 上位差。每一个待定点可作一个误差曲线或误差椭圆。
显然，任意方向 上 的向径 就OP是该方向
的位差 （ 呈8字形，且关于轴和轴对称）
《第26讲 误差曲线与误差椭圆》
误差曲线与误差椭圆
提纲： 一、误差曲线 二、误差椭圆
一、误差曲线
误差曲线与误差椭圆
1、误差曲线定义
以待定点P为极点， 为极角，为长度的极坐标点的轨迹，这个 曲线把各方向的位差清楚地图解出来了，
如右图，OP的长度就是O点在OP方向的位差 ___
在目前普遍采用计算机计算和绘图 的条件下，可以直接采用误差曲线， 不必采用误差椭圆，并且图解的方 法已经不再适用。 上面的讨论都只针对一个待定点， 确定该点的误差曲线和误差椭圆。
误差曲线与误差椭圆
谢 谢！
后方位角P的A 中误差，可以先从图上量取垂直于PA方向上的位
一、误差曲线
误差曲线与误差椭圆
差Pg，这是PA边的横向误差
，则由下式可得
u
PA
u
SPA
Pg
SPA
上式SPA是PA的长度。
二、误差椭圆
误差曲线与误差椭圆
由于点位误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便，因此降
低了它的实用价值。由于误差曲线形状与以E、F为长半轴和 短半轴的椭圆相似，实用上以椭圆代替，这个椭圆称为点位
的误差椭圆， E、E、称F为点位误差椭圆的参数。椭圆方程为： ，即Ex误22 差Fy椭22 圆 1分别以E、F为长短半轴。
误差曲线与误差椭圆
二、误差椭圆
误差椭圆的向径不再是P点在该方向的误差，但只要在垂直于 该方向上作椭圆的切线，则垂足与原点的连线长度即该方向 上位差。每一个待定点可作一个误差曲线或误差椭圆。
显然，任意方向 上 的向径 就OP是该方向
的位差 （ 呈8字形，且关于轴和轴对称）
误差椭圆
Qmin 0
QFF 0
1 2
Qxx Qyy K
或写成
E2
1 2
2 x
2 y
2 x
2 y
2
4
2 xy
F 2
1 2
2 x
2 y
2 x
2 y
2
4
2 xy
其中：E 2
F2
2 x
2 y
2 P
11
第七章 误差椭圆
1
• 7.1 概述 • 一、点位误差 • A－－已知点 • P－－待放样点P的真位置 • P´－－P点平差后的平差值点位
P点在x、y方向的真误差：X
x y
~xP ~yP
xˆP yˆ P
x
P点点位真误差： A
y P´ u
s P
P x2 y2
QXX I C 0
就是QXX的两个特征根。
9
由特征方程：
QXX
I
Qxx
Qxy
Qxy 0
Qyy
,
得
1 2
Qxx Qyy
1 2
Qxx Qyy 2 4 QxxQyy Qx2y
即
1
Qmax QEE
• 4）误差椭圆绘制的比例尺比地形图的比例尺要 大，一般为1：10或1：1等。
19
• 7.4 相对误差椭圆
• 点位误差椭圆－待定点对已知点的点位精度情况
10 误差椭圆
1.496 ˆ 1.496 1.22
§10-3 误差曲线
误差曲线的定义 误差曲线的特点
误差曲线的用途
§10-3 误差曲线
一、误差曲线的定义
E cos F sin
2 2 2 2 2
x
以不同的Ψ 和σΨ 为极坐标 的点的轨迹所形成的一条 闭合曲线，习惯上称为误 差曲线。
P2 (x)2 (y)2
2 2 2 P x y
§10-1 概述
3.按纵、横方差来求
x
x
y
P
P ' ( x, y )
u
P s u
2 2
2
2 P
2 s
2 u
A
s
P (~ x, ~ y)
横向方差 纵向方差
o
y
§10-1 概述
E(P ) E(x ) E(y )
2 2 2 2 x
2 y
点位方差
P点真位差平方的理论平均值，定义为P点的 点位方差。
2 p 2 x
2 y
§10-1 概述
三、点位方差的计算方法
1.按纵、横坐标来求
2 p 2 x
2 y
2.按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
ˆP ˆ
0
Qxx Q yy
§10-2 点位误差
2.协因数的计算
• （1）间接平差
1 T 1 QXX N ( B PB ) ˆˆ bb
QX1 X1 QY1Y1 QX s X1 QYs X1
QX1Y1 QX1 X i QY1Y1 QY1 X i
测量平差---误差椭圆
2
( )
2 1
tan 2ϕ0 =
2Qxy ˆˆ Qx −Qy ˆ ˆ
=
2×0.36 = 0.81818 3.81−2.93
13 /40
2 ϕ0 =39°17′或219°17′, ° 或 ° ϕ0=19°39′或109°39′ ° 或 °
主页
误差椭圆
ˆˆ 因为 Qxy > 0 故 ，
黑龙江工程学院
1 2 3 4 5 6 7 8 9
tan 2ϕ0 =
2Qxy Qx −Qy
2 2 σϕ =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy sin 2ϕ0 )
2 =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy ⋅
极值方向的判别方法: 极值方向的判别方法 Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、 极小值方向在第Ⅱ ，极大值在第Ⅰ 8 /40 Qxy，极大值在第Ⅱ 象限， 象限； ＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在 Ⅳ象限； 象限。 第Ⅰ、Ⅲ象限。
______
= cosϕ∆x + sin ϕ∆y
∆x ∆x = [cosϕ sin ϕ] ∆y
由协方差传播律得: 由协方差传播律得 或
2 2 2 σϕ =σx cos2 ϕ +σy sin 2 ϕ +σxy sin 2ϕ 2 2 σϕ =σ0 Q ϕ
7 /40
2 =σ0 Qx cos2 ϕ +Qy sin 2 ϕ +Qxy sin 2ϕ
主页
2 2 2 2 2 σP =σx +σ y =σs +σu ―点位方差计算式
误差椭圆
黑龙江工程学院
( )
2 1
tan 2ϕ0 =
2Qxy ˆˆ Qx −Qy ˆ ˆ
=
2×0.36 = 0.81818 3.81−2.93
13 /40
2 ϕ0 =39°17′或219°17′, ° 或 ° ϕ0=19°39′或109°39′ ° 或 °
主页
误差椭圆
ˆˆ 因为 Qxy > 0 故 ，
黑龙江工程学院
1 2 3 4 5 6 7 8 9
tan 2ϕ0 =
2Qxy Qx −Qy
2 2 σϕ =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy sin 2ϕ0 )
2 =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy ⋅
极值方向的判别方法: 极值方向的判别方法 Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、 极小值方向在第Ⅱ ，极大值在第Ⅰ 8 /40 Qxy，极大值在第Ⅱ 象限， 象限； ＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在 Ⅳ象限； 象限。 第Ⅰ、Ⅲ象限。
______
= cosϕ∆x + sin ϕ∆y
∆x ∆x = [cosϕ sin ϕ] ∆y
由协方差传播律得: 由协方差传播律得 或
2 2 2 σϕ =σx cos2 ϕ +σy sin 2 ϕ +σxy sin 2ϕ 2 2 σϕ =σ0 Q ϕ
7 /40
2 =σ0 Qx cos2 ϕ +Qy sin 2 ϕ +Qxy sin 2ϕ
主页
2 2 2 2 2 σP =σx +σ y =σs +σu ―点位方差计算式
误差椭圆
黑龙江工程学院
第7章误差椭圆
任意方向位差的大小与方向φ有关； 取不同方向，就会有不同权倒数； 在众多权倒数中，必有一个取得极大和极小值。
dQ
若使位差达到极值，则应使：
d
0
dQ
d (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 ) d d 2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2 Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2 (Qxx Qyy ) sin 2 2Qxy cos 2 0
以不同方向，计算该方向位差，利用解析法作图；
也可求得某点的极值方向、极值后，用作图方法 来求得。
它是一个形如“腰形”的图形。
3、误差曲线的用途
B
A 即可以利用图解方法求点位中误差、任意方向上的位差等。
上节内容回顾： 1、点位误差计算； 2、任意方向位差计算方法（两种）； 3、位差极值方向、极值大小计算； 4、误差曲线定义、用途。 本节内容： 1、误差椭圆定义； 2、误差椭圆与误差曲线关系； 3、误差椭圆应用； 4、相对误差椭圆计算、应用。
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
(公式5）
极大、极小方向的计算公式：
QEE Qxx tan E Qxy QFF Qxx tan F Qxy
不难得出：
(公式6）
E F
2 p 2
2
例1：已知某平面控制网中有一个待定点，经平差 求得参数协因数阵为
ˆ0 2.0cm 。 (同例1） 并求得
试求 150 时的位差。
1) 注意方向； 2）如知道E、F值又如何求？（即利用例1的计算结果）
7.2
误差曲线与误差椭圆
dQ
若使位差达到极值，则应使：
d
0
dQ
d (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 ) d d 2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2 Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2 (Qxx Qyy ) sin 2 2Qxy cos 2 0
以不同方向，计算该方向位差，利用解析法作图；
也可求得某点的极值方向、极值后，用作图方法 来求得。
它是一个形如“腰形”的图形。
3、误差曲线的用途
B
A 即可以利用图解方法求点位中误差、任意方向上的位差等。
上节内容回顾： 1、点位误差计算； 2、任意方向位差计算方法（两种）； 3、位差极值方向、极值大小计算； 4、误差曲线定义、用途。 本节内容： 1、误差椭圆定义； 2、误差椭圆与误差曲线关系； 3、误差椭圆应用； 4、相对误差椭圆计算、应用。
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
(公式5）
极大、极小方向的计算公式：
QEE Qxx tan E Qxy QFF Qxx tan F Qxy
不难得出：
(公式6）
E F
2 p 2
2
例1：已知某平面控制网中有一个待定点，经平差 求得参数协因数阵为
ˆ0 2.0cm 。 (同例1） 并求得
试求 150 时的位差。
1) 注意方向； 2）如知道E、F值又如何求？（即利用例1的计算结果）
7.2
误差曲线与误差椭圆
误差椭圆
③ 张正禄, 李晓东. 局部相对误差椭圆—测量控制网的一种相邻精度[J].
测绘通报. 1989,(4):9-13.
④ 许才军, 刘大杰. 广义相对误差椭球（圆）[J]. 武汉测绘科技大学学报. 1990,15(2):19-27.
谢谢
误差椭圆
ERROR ELLIPSE
0 引言
① 水平面内沿中线方向的长度偏差 ② 水平面内垂直于中线的左右偏差 ③ 垂直面内垂直于腰线的上下偏差
目录（INDEX）
点位误差
误差曲线
误差椭圆
相对误差椭圆
1 点位误差
点位误差的表示 坐标真误差： 点位真误差： 由平差结果的无偏性可知：
根据方差的定义：
两边取期望：
4 相对误差椭圆
设两点间的坐标差：
写成矩阵形式：
按权逆阵传播定律：
4 相对误差椭圆
4 相对误差椭圆
导线测量网相对误差椭圆
Байду номын сангаас
小结
• 点位误差
坐标轴方向 径向方向 任意方向 存在极值
• 误差曲线
反映点位误差在 各个方向的位差 形象、直观 不规则、麻烦
• 误差椭圆
误差曲线的近似 规则化形状 能够直接量取任 意方向的位差
1 点位误差
点位误差的表示
用中误差表示：
1 点位误差
点位误差的方向与极值
展开得
1 点位误差
点位误差的方向与极值
（1）大小取决于权倒数和旋转角的大小
（3）上式有极值存在
1 点位误差
点位误差的方向与极值
2 误差曲线
0
330 2.5 2 30
0 2.00
30 2.34
60 2.23
测绘通报. 1989,(4):9-13.
④ 许才军, 刘大杰. 广义相对误差椭球（圆）[J]. 武汉测绘科技大学学报. 1990,15(2):19-27.
谢谢
误差椭圆
ERROR ELLIPSE
0 引言
① 水平面内沿中线方向的长度偏差 ② 水平面内垂直于中线的左右偏差 ③ 垂直面内垂直于腰线的上下偏差
目录（INDEX）
点位误差
误差曲线
误差椭圆
相对误差椭圆
1 点位误差
点位误差的表示 坐标真误差： 点位真误差： 由平差结果的无偏性可知：
根据方差的定义：
两边取期望：
4 相对误差椭圆
设两点间的坐标差：
写成矩阵形式：
按权逆阵传播定律：
4 相对误差椭圆
4 相对误差椭圆
导线测量网相对误差椭圆
Байду номын сангаас
小结
• 点位误差
坐标轴方向 径向方向 任意方向 存在极值
• 误差曲线
反映点位误差在 各个方向的位差 形象、直观 不规则、麻烦
• 误差椭圆
误差曲线的近似 规则化形状 能够直接量取任 意方向的位差
1 点位误差
点位误差的表示
用中误差表示：
1 点位误差
点位误差的方向与极值
展开得
1 点位误差
点位误差的方向与极值
（1）大小取决于权倒数和旋转角的大小
（3）上式有极值存在
1 点位误差
点位误差的方向与极值
2 误差曲线
0
330 2.5 2 30
0 2.00
30 2.34
60 2.23
误差椭圆的三个参数
误差椭圆，也被称为置信椭圆或测量误差椭圆，是在统计学和测量学中广泛使用的一个概念。
主要用于表示二维数据点的分布、测量误差的范围或不确定性。
它由三个主要参数定义：中心、主轴和次轴。
中心：这是误差椭圆的几何中心，代表了所有测量数据的平均位置或最可能的位置。
在理想的情况下，如果我们有无限精确的测量设备，所有的测量数据都会落在这个点上。
然而，在现实世界中，由于各种因素的影响，如设备误差、环境噪声等，测量数据通常会在这个点附近分布。
主轴：主轴是误差椭圆的长轴，代表了数据点分布的主要方向。
它的长度通常被定义为包含一定比例（例如，68%，95%或99%）测量数据的椭圆的半径。
这个比例的选择取决于我们对误差的容忍度或我们对数据的信心水平。
主轴的方向也是非常重要的，因为它可以告诉我们哪些因素对测量结果的影响最大。
次轴：次轴是误差椭圆的短轴，与主轴垂直。
次轴的长度代表了数据点在垂直于主轴的方向上的分布范围。
与主轴一样，次轴的长度也被定义为包含一定比例测量数据的椭圆的半径。
如果次轴的长度小于主轴的长度，这意味着测量数据在主轴方向上的变化比在次轴方向上的变化更大，也就是说，某些因素对测量结果的影响较小。
这三个参数共同定义了误差椭圆，为我们提供了一个直观的方式来理解和表示二维测量数据的不确定性或误差范围。
通过分析和比较不同误差椭圆的这三个参数，我们可以更好地理解我们的测量系统的性能，找出可能的改进方向，以及更准确地解释我们的测量结果。
第十章 误差椭圆讲解
E2
cos2 E
F 2 sin 2 E
1 2
2 0
Qxx
Qyy
Qxx
Qyy
（x2 7）
若分别以 sin2E 和 cos2E 乘以（5）式的第一、第二
式，并求和，经与以上同样的推导，得：
E2
sin2 E
F2
cos2 E
1 2
2 0
Qxx
Qyy
Qx j y j
Q y j y j
第十章——误差椭圆
这两个待定点的相对位置可通过平差后两点的坐标差来
表示，即
xi
xij yij
1 0
0 1
1 0
0 1
yi xj
y j
应用协因数传播律，得：
Qxx Qxy
误差椭圆除了在长轴
E、短轴F上能精确表
示位差外,其它任何 方向都不能直接从误 差椭圆上量取位差的 大小。 要通过误差椭圆得到 任意方向位差的大小， 其方法是：
垂直任意方向 作
误差椭圆的切线PD， 则垂足D至O的长度就
是任意方向 上的 _____
位差，即 OD
GPS
第十章——误差椭圆
第十章——误差椭圆
第十章 误差椭圆
§10-1 概述 §10-2 点位误差 §10-3 误差曲线 §10-4 误差椭圆 §10-5 相对误差椭圆
第十章——误差椭圆
§10-1 概述
待定点P的真实位置和平差位置之间存在差值： x ~x xˆ y ~y yˆ
由此而产生的距离P 称为P点的点位真误差，简称真位差:
误差椭圆
c) 点位精度评定（10章）
✓秩亏自由网平差（12章） 2
10-1 概述
✓ 在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点 的点位精度；
✓ 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位 误差”的大小来评定；
✓ 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而 不是真值！
3
1）点位真误差的定义
✓ 待定点的估值位置偏离其真实位置的距离P， 简 称为“真位差”。
可代替误差曲线！ 34
1）误差椭圆作图的方法
➢ 椭圆方程、参数方程： ➢ 图解作图方法：
( X )2 E2
(Y )2 F2
1
X
Y
E
F
cos sin
,
(为参数）
P
P’
P‘’
τ
O
F ❖可见，P点的轨迹就是误差椭圆！ ❖思考：向径OP是不是OP方向的位差？
P（X’，Y’） X’=Ecosτ Y’=Fsinτ
• OD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ • 两边平方，得：
OD2 E2 cos2 cos2 F2 sin2 sin2 2EF cos cos sin sin E2 cos2 （1 sin2） F2 sin2 （1 cos2） 2EF cos cos sin sin E2 cos2 F2 sin2 （E2 cos2 sin2 F2 sin2 cos2 2EF cos cos sin sin E2 cos2 F2 sin2 （E cos sin F sin cos）2
F
cos E sin F 25
✓由：
cos E sin F
cos
sin
E F
Q QEE cos2 QFF sin2 QEF sin 2
✓秩亏自由网平差（12章） 2
10-1 概述
✓ 在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点 的点位精度；
✓ 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位 误差”的大小来评定；
✓ 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而 不是真值！
3
1）点位真误差的定义
✓ 待定点的估值位置偏离其真实位置的距离P， 简 称为“真位差”。
可代替误差曲线！ 34
1）误差椭圆作图的方法
➢ 椭圆方程、参数方程： ➢ 图解作图方法：
( X )2 E2
(Y )2 F2
1
X
Y
E
F
cos sin
,
(为参数）
P
P’
P‘’
τ
O
F ❖可见，P点的轨迹就是误差椭圆！ ❖思考：向径OP是不是OP方向的位差？
P（X’，Y’） X’=Ecosτ Y’=Fsinτ
• OD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ • 两边平方，得：
OD2 E2 cos2 cos2 F2 sin2 sin2 2EF cos cos sin sin E2 cos2 （1 sin2） F2 sin2 （1 cos2） 2EF cos cos sin sin E2 cos2 F2 sin2 （E2 cos2 sin2 F2 sin2 cos2 2EF cos cos sin sin E2 cos2 F2 sin2 （E cos sin F sin cos）2
F
cos E sin F 25
✓由：
cos E sin F
cos
sin
E F
Q QEE cos2 QFF sin2 QEF sin 2
第七章误差椭圆
5
Qxx Qxy cos Q cos sin Q sin Q yy xy Qxx cos2 Q yy sin 2 Qxy sin 2 任意方向的方差：
Q
2 2 0 2 2 x cos2 y sin 2 xy sin 2
x y
y
y 2 y
2
2
22
当f x, y 取不同常数时，椭圆反 映了待定点点位分布的 情况。 待定点落入误差椭圆 B内的概率为： Px, y B f x, y dxdy 1 e
B
2
2
当把坐标原点移到点 x， y 时，椭圆方程变为 x2
--X轴方向位差
以 0～360 为极角， 为极距，
---可画得中误差曲线。
15
7.3 误差椭圆与中误差曲线的关系 中误差曲线表达了点位在每一个方向上的位差的大
小，曲线的极大值和极小值的大小和方向正好与误差椭
圆长短轴的大小和方向相等，然误差椭圆比中误差曲线
规则、易画，所以常用误差椭圆代替中误差曲线。
任意方向的位差
0 Q
当 0或180时， 0 180 X 当 90或270时， 90 270 Y
6
7.2 位差的极大值E和极小值F
一、在任意方向上的位差
某点点位真误差在任意 方向上的影响（投影）为 x T cos sin C X y T 上式中，向量 C满足：C C I 该随机点在方向 上的方差为
误差椭圆反映的是随机点位会以多大概率落入椭圆
区域内，是一个概率形象。
当坐标轴旋转E角后，可得标准椭圆方程。
第章误差椭圆
将 φ +90°代入式(5-13)得
(5-3)或式(5-6)计算点位中误差｡
P2 x2 y2 P2 s2 u2
(5-3) (5-6)
2 点位误差及其计算
由定权的基本公式可知
2 x
2 0
1 px
2 0
Q
xx
2 y
2 0
1 py
2 0
Q
yy
(5-7)
代入式(5-3)可得
P 2x 2y 20 2(Q x xQ yy)
(5-8)
PP
Δy
平差位置
PPPP
Δx 真实Δ位x置cos φ
xcosysin
点位真误差
cos sinxy
Δφ 点位真误差在方位角为 φ方向上的投影
(5-11)
也可按以下方法求φ方向的位差
Pcos(0) P(coscos0 sinsin0) Pcos0 cosPsin0 sin xcos ysin
第五章 误差椭圆
1 §1 点位真误差及点位误差 2 §2 误差曲线与误差椭圆 3 §3 相对误差椭圆
教学目的
通过本章的学习，能熟练地求出任意方
向 (或 )上的位差；根据待定点坐标平差
值协因数阵，准确地计算误差椭圆、相对误 差椭圆的三个参数并画出略图，了解误差椭 圆在平面控制网优化设计中的作用。
1 §1 点位真误差及点位误差
1 点位真误差
在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进
行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观
测值平差计算所获得的是待定点坐标的平差值 xˆ , yˆ ，而不是
待定点坐标的真值 x%, y% ｡
平差位置
如图5-1中，A为已知点，假定其
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x
E
E
2 E 2 0 Qx cos2 E Qy sin2 E Qxy sin 2E
E 90
y
F 2 02 Qx cos 2 F Q y sin2 F Qxy sin 2 F
四、位差的极大值和极小值的计算 把 0 代入位差计算式得
x
xE
E
由图可知，任意方向在 两个坐标系中的方位角 有如下关系:
y
yE
E
代入位差计算式得:
2 2 2 2 x cos 2 E y sin2 E xy sin 2 2 E
§10-1 点位误差概述
1 2 0 Qx Q y 2
Q
x
Qy
2
4Q
2 xy
§10-1 点位误差概述
四、位差的极大值和极小值的计算
2
0
1 02 Qx Q y 2
2 Qx Q y 4Qxy 2
令
K
2 Qx Q y 4Qxy 2
1 sin 2 2
2 2 cos 2 x cos 2 E y sin 2 E xy sin 2 E 2
2 2 2 2 sin x cos E y sin E xy sin 2 E 2 2 2
d Qx cos 2 Q y sin 2 Qxy sin 2 d
§10-1 点位误差概述
三、位差极值方向的确定
设位差的极值方向为 0 , 则有
Qx Q y sin 2 0 2Qxy cos 2 0 0
即
tan 2 0
2Qxy Qx Q y
cos 20 2Qxy sin 20 Qx Q y 2 tan 20 2Qxy
02
2Qxy 1 2 0 Qx Q y 2 sin 2 0
§10-1 点位误差概述
四、位差的极大值和极小值的计算
E E E
P s u
§10-1 点位误差概述
一、点位误差概念及点位误差的计算
2. 点位方差及其计算
2 记 P E P 2 ，则有：
2 2 2 2 P x y s2 u ―点位方差计算式
§10-1 点位误差概述
六、应用实例
解: (1) 计算极值方向
X
B
3 4
M
P 8 9 7
5 6
tan 2 0
2Q xy ˆˆ Qx Q ˆ ˆ y
A
2 0.36 3.81 2.93 0.81818
因为 Qxy 0 ，故 ˆˆ
2
1
C
20 39 17 ,
219 17
Q xy＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限，极小值方向在第
Ⅱ、Ⅳ象限；
Q xy＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在第
Ⅰ、Ⅲ象限。
§10-1 点位误差概述
四、位差的极大值和极小值的计算
用 E 表示极大值方向、 90 0 表示极小值方向； F E 用E、F 分别表示位差的极大值和极小值。则有
2 2 0 Qx cos 2 0 Q y sin2 0 Qxy sin 2 0
0
1 cos 2 0 1 cos 2 0 02 Qx Qy Qxy sin 2 0 2 2
02 Qx Qy Qx Qy cos 20 2Qxy sin 20 2
2 0
§10-1 点位误差概述
三、位差极值方向的确定
2
0
2 tan 0 2 2 Qx cos 0 Q y sin 0 Qxy 1 tan2 0
2 0
极值方向的判别方法: Q xy 与 tan 0 同号为极大值，记 为E；异号为极小值记为F，即：
五、用E、F表示的任意方向Ψ上的位差
sin
2
2 2 cos 2 x cos 2 E y sin 2 E xy sin 2 E 2 x 2 sin 2 E y cos 2 E xy sin 2 E 2 x 2 y sin 2 E 2 xy cos 2 E
五、用E、F表示的任意方向Ψ上的位差
2 2 2 2 x cos 2 E y sin2 E xy sin 2 2 E
1 2 2 2 2 cos cos E sin sin E sin 2 sin 2 E 2
2 x
y E y 2 E y y 2 E y y 2 E 2 E y
2 y
故有 同理有：
2 2 E P 2 E x 2 E y 2 x y
2 2 2 2 s 2 u
u
x P
s
P
A
y
§10-1 点位误差概述
一、点位误差概念及点位误差的计算
2. 点位方差及其计算 由方差的定义式可得：
x E x 2 E x 2 E x 2 E 2 E x x x
整理得:
2 E 2 cos 2 F 2 sin2
§10-1 点位误差概述
六、应用实例
例题1 如图，在固定三角形内 插入一点P，经过平差后求得P 点坐标的协因数阵为:
Qx ˆ Qˆ ˆ yx Qxy 3.81 0.36 ˆˆ 0.36 2.93 Q ˆy
0 19 39 , 109 39
F 109 39 , 289 39
E 19 39 , 199 39
§10-1 点位误差概述
六、应用实例
(2) 求位差的极值
K
2 Qxˆ Q ˆy 4Qxyˆ ˆ 2
X
B
3 4
第十章 误差椭圆
介绍点位位差、误差曲线、误 差椭圆和相对误差椭圆的概念，误
差曲线与误差椭圆的关系，误差椭
圆三要素和点位在任意方向上位差 的计算方法。
本章主要内容
§10-1 点位误差概述
§10-2 误差曲线
§10-3 误差椭圆和相对误差椭圆
§10-1 点位误差概述
一、点位误差概念及点位误差的计算
二、P点在任意方向φ上的位差
u
x, y
x P
s
P
Δs ：P点真位差在AP方向的投影，称为
纵向误差。
Δu ：P点真位差在垂直于AP方向上的投
A
y
影，称为横向误差。
§10-1 点位误差概述
一、点位误差概念及点位误差的计算
1. 点位真误差
x
y
P
如图可得：
2 2 2 P x y 2 2 P s2 u
2 d
d
2 0
02 ( Qx Q y ) sin 2 2Qxy cos 2
02 Qx sin 2 Q y sin 2 2Qxy cos 2
02 2Qx cos sin 2Q y sin cos 2Qxy cos 2
2
A
X
B
3 4
M
P 8 9 7 1
6 5
C
ˆ 单位权方差估值为 02 1.96 s 2 试求 (1) 位差的极值方向 E 和 F , (2) 位差的极大值 E 与极小值 F , (3) P点在PM方向上的点位误差（已知 PM 75 29 ）, (4) P点的点位方差。
代入上式, 得
1 E 2 02 ( Qx Q y ) K 2 1 2 F 2 0 ( Qx Q y ) K 2
与 E 2、 2 有下面关系: 2 E 2 F 2 F P
2 P
§10-1 点位误差概述
五、用E、F表示的任意方向上的位差
2 x
1 2 2 2 2 sin cos E cos sin E sin 2 sin 2 E 2
2 y
xy sin 2 cos 2 E cos 2 sin 2 E sin 2 sin 2 E
§10-1 点位误差概述
M
P 8 9 7
5 6
3.81 2.93 4 0.36 2
2
2
A
1
C
1.14
1 ˆ E 2 02 Qx Q ˆy K 7.72 ˆ 2
cm
2
E 2.78 cm F 2.34 cm
上式即为求任意方位角 方向上点位方差的 计算公式。
§10-1 点位误差概述
三、位差极值方向的确定
2 02Q 02 Qx cos 2 Q y sin2 Qxy sin 2
由位差计算式可以看出, P 随着 值的变化而改变， 具有最大值和最小值。为此，令一阶导数等于零，即
上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关,
即与坐标系的选择无关。 用点位方差衡量P 点精度的缺陷：
不能完善说明P 点在任一个方向上的精度情况，不 能确定P 点在哪一个方向上的精度最好（最差）。