数值分析第四版习题及答案.docx

第一章绪论
设x>0,x 的相对误差为｛，求Inx 的误差.
设x 的相对误差为2%,求x"的相对误差.
下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字：
X ； = 1.1021, Xo = 0.031,%3 = 385.6, x ； = 56.430, x ； = 7x1.0.
利用公式(3.3)求下列各近直的误差限：
计算到Zoo .若取^783 ^27. 982 (五位有效数字),试问计算乙。

将有多大误差？ 求方程
X 2-56X + 1 = 0的两个根，使它至少具有四位有效数字(^783 ~27. 982).
当川充分大时，怎样求加1 + f ?
正方形的边长大约为100 cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm? ?
设 2 假定&是准确的，而对r 的测量有±0.1秒的误差，证明当打曾加时S 的绝
对
误差增加,而相对误差却减小.
序列｝满足递推关系儿=1°儿-一1
(n=l, 2,…)，若％ =血心141 (三位有效数字), 计算到
X 。

时误差有多大?这个计算过程稳定吗？
计算/ = (V2-1)6；取迈心1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
/•(x) = ln(x -二I),求并30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大?若 改用另
一等价公式
ln(%_ Jx 2 -1) = _ln(x + yjx 2 +1)
计算.求对数时误差有多大？
(x 1+101°^2=1010;
已知三角形面积 2 其中c 为弧度，
2，且测量a ,b ,c 的误差分别为
△a,血Ac.证明面积的误差Av 满足
S = -gt
试用消元法解方程组
假定只用三位数计算，问结果是否可靠
?
计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 设人=28,按递推公式
第二章插值法
根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令
匕(X )*_i (Xo ，Xi ， ,X”_J(X_Xo ) (x_x”_i )
当.¥= 1 , -1,2时,/(x)= 0 , -3,4 ,求/(>)的二次插值多项式. 给岀几t)=lnx 的数值表用线性插X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144
求cos x 近似值时的总误差界.设Xj
为互异节点(戶)，1,…，”),求证:
工 X./. (x) = x k (k = 0,1,, “);
i)
切律任)三0伙= 1,2,
ii) >° ，
设畑乂2丽且/⑷=/(斫0,求证嘿声⑴叫(i)2
嗨『创 在-4<%<4上给出/W =『的等距节点函数表.若用二次插值求『的近似值.要使截 断误差不超过10",问使用函数表的步长h 应取多少？
若儿=2",求心及&儿.
如果/(X )是加次多项式，记纣(劝=/任+〃) — /(*)，证明/(x)的£阶差分
AV(x)((^ k< m 是m-k 次多项式，并且△ m+7w=o (/为正整数). 证明 ggk) = fASk + gk+Wk.
〃一1
〃一1
^jfk^Sk =
fnSn ~ foSo ~ 工 gp+lA/jr 证明7
上=0
n-1
=Ay…-Ay ().
证明
若 /(.r) = «0 +^%+ + a n _x x n ~' + a n x n
有”个不同实根斗,*2，
证明
15. 证明"阶均差有下列性质：
1)若F(x) =(/(%)侧尸［兀,西，，暫］=</［兀，召，，兀”］；
⑵若 F(x) = /(x) + g(x)侧 F ［x (),召，，£］ = /［毛,西，，x”］ + g|%o ，X ］, ,x…］
16. /(劝"+八 3卄1,求/［2°2
及/［2。

,2［ ,2尊.
17. 证明两点三次埃尔米特嗨值余项是
R 3(x) = f ⑷ ©(x - 兀尸(X _ %］尸 / 4!,紀(％ %］) 并由此求出分段三次
埃尔米特插值的误差限.
刁一1，
1 1
证明％(x )是"次多项式，它的根是心，山”-1,且
-S,-i
X
4, X 2
设忑=兀+肋,扫o,l, 2, 3,求宀 #2(X )|
0,0<A ：<H -2;
,k=n —l.
18.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足AO) = P(-々 + 1)并由此求出分段三次埃尔
米特插值的误差限.
19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P。

),以便使它能够满足以下边界条件P(O) =
P'(O)=O P(l) = P f(l) = 1 P(2) = 1
20.设/(力w °国列,把［⑦列分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数必⑴ 并证明
当"T 8时,申”(X)在［⑦列上一致收敛到f(X).
21.设f°)= 1/(1 + X)，在-5<%<5±取“ =10，按等距节点求分段线性插值函数厶°), 计算各节
点间中点处的厶°)与/(X)的值,并估计误差.
22.求/O)= *在［°问上的分段线性插值函数厶⑴,并估计误差.
23.求/W 在［⑦列上的分段埃尔米特插值，并估计误差.
试求三次样条插值SO)并满足条件
门S'(0.25) = 1.0000, S'(0.53) = 0.6868;
⑵S"(0.25) = S"(0.53) = 0.
25.若/(X)e/［"，切少兀)是三次样条函数，证明
D ［［/©)］认-］［S3］认=［［广3 - S3］认+2［ S3 ［厂⑴-S3 比ii)若/U)= S3)(心0,1,必)，式中兀为插值节点，且« =<£=冬则
f S0)［广 3 - S0)冶=S"⑹［f\b) - S©)］ - S"(a)［广(a) - S，(a)］
26.编出计算三次样条函数S(Q系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(Q可用©7)式的表
达式).
第三章函数逼近与计算
1.(a)利用区间变换推出区间为［⑦列的伯恩斯坦多项式.
(b)对fM = sinx在［0,兀/2］上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画岀图形，并与相应的
马克劳林级数部分和误差做比较.
求证：
m < /(x) < M 时,m < B n(/, x) < M .⑹当 /(%) = x 时,B n (/, x) = x 在次数不超过6的
(a)当
多项式中，求/U) = sin4x在［0,2疋］的最佳一致逼近多项式. 假设/(X)在［°'列上连续，求/°)的零次最佳一致逼近多项式.
max x3 - ox
选取常数Q ,使o^<i I I达到极小，又问这个解是否唯一？
求/(x) = sinx在［0,兀/2］上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
求/W =『在［°，1］上的最佳一次逼近多项式.
如何选取r，使卩⑴= %2 + r在［71］上与零偏差最小？r是否唯一？设f(x) = x4 + 3x3 -1，在［0,1］上求三次最佳逼近多项式.
令T n (x) = T n (2x-1),XG［0,1］,求T* (x), T； (x), T； (x),§ (x)
在［一1，1］上利用插值极小化求1 /O) = 的三次近似最佳逼近多项式.
设/(x) = e*在［-1,1］上的插值极小化近似最佳逼近多项式为L”(x)，若II/-4I
8有界, 证明对任何存在常数5、卩”.使
项式并估计误差.
在［一1，1］上利用幕级数项数求/(*)= sinx的3次逼近多项式，使误差不超过0.005.
/(力是［一⑦可上的连续奇(偶)函数，证明不管"是奇数或偶数,/(力的最佳逼近多项式F：(x)wH”也是奇(偶)函数.
求a、0使+ sinx"为最小.并与］题及&题的一次逼近多项式误差作比较.
/■(*)、gWeC1［a,b］ ^义
cb (*b
(a)(/,g)=J 广(x)g，(x)dx;@)(/,g) = J 广(x)g，(x)dx + /(a)g(a);
J a J a
问它们是否构成内积？
「^-dx
用许瓦兹不等式(4.5)估计J(,l + x “的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界, 并比较其结果.
选择化使下列积分取得最小值JZ^2)2则A"他
设空间9 =$皿"{1，丹，申2 "卩初忖“,*1］,分别在<P1、也上求出一个元素，使得其为X wC［O,l］的最佳平方逼近，并比较其结果.
22./(劝胡在［71］上求在◎上的最佳平方逼近.
sin［(n + l) arccos x］
"” (x) = ―-—1=^ ------------ -
23.V1-X- 是第二类切比雪夫多项式.证明它有递推关系
"”+i (x) = 2m” (x)-zvj(x)
24.将在［一1」］上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画
岀误差图形.再计算均方误差.
25.把/(%)= ^ccosx在［71］上展成切比雪夫级数.
26.
27.
2:
29.编岀用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.
30.编出改进FFT算法的程序框图.
31.现给出一张记录{无卜{4,321,0丄2,3},试用改进FFT算法求出序列{曲的离散频谱
{CJ (^ = 0,1, ,7).
第四章数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有
的代数精度：
ph
« A.JC-A) + 4/(0) + A,/(A)
(1)J-" ;
r2h
J f(x)dx «+ 4/(0) + A,/(/2)
£ f(x)dx «［/(-l) + 2/3) +3/(吃)］/3
⑷］f{x)dx « h［7(0) + 7(/2)］/l + ah2［广(0)-广(力)］
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
f1 X o fi(l-e')21A
— x, n = 8 ------------- dx, n = 10 (l)Jo4 + .r ；⑵ 5 x ；
(3) Ji 長吐n = 4 ⑷J-sZ (pdx,n-6
3.直接验证柯特斯公'式(2.4)具有5次代数精度.
Ce x dx
4.用辛普森公式求积分并计算误差.
5.推导下列三种矩形求积公式：
f f(x)dx = (b- a)/(a) + (b-a)2
(l)Jfl 2 ;
「f{x)dx = (b-a)f(b) - - (b-a)2
『f(x)dx = (b —(b - af
⑶2 24
rb
6.证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当"T8时收敛到积分L /(X)"：
pb
7.用复化梯形公式求积分'«问要将积分区间［%】分成多少等分，才能保证误差不
超过& (设不计舍入误差)？
&用龙贝格方法计算积分五，要求误差不超过10「'.
S = tzpJl-(-)2sin20J0
9.卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是Jo V a，这里Q是椭圆
的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记力为近地点距离,H为远地点距离,7?
= 6371公里为地球半径^a^(2R + H + h)/2,c = (H-h)/2^国第一颗人造卫星近地点距离h = 439公里，远地点距离H = 2384公里，试求卫星轨道的周长.
3 5
.n n n
zz sin.——兀------------- 1--------------
10.证明等式n 3\n- 5!/?4试依据加11(兀/")(7*3,6,12)的值，用外推算
法求兀的近似值.
H.用下列方法计算积分| 丁并比较结果.
(1)龙贝格方法；
(2)三点及五点高斯公式；
(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式.
/(X)=——-—7
12.用三点公式和五点公式分别求(1 +力「在x = 1.0,l.l和1.2处的导数值，并估计误
第五章常微分方程数值解法
1.就初值问题V’ = ax + b,y(O) = °分别导岀尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达
1o , y = —ax +bx 式，并与准确解2 相比较。

2.用改进的尤拉方法解初值问题
y' = x+ y,0 < % < 1;
丿(0) = 1,
取步长h=0.1计算，并与准确解V = 7-1 + 2e’相比较。

3.用改进的尤拉方法解
y' = x2 +x-y;
\v(0) = 0,
取步长h=0.1计算X0.5),并与准确解V = -厂+疋-x + 1相比较。

4.用梯形方法解初值问题
y + y = 0;
\(0) = 1,
证明其近似解为
并证明当力时，它原初值问题的准确解y = e o
5.利用尤拉方法计算积分
[e，1 dt
在点* = °・5,1,1.5,2的近似值。

6.取h=0.2,用四阶经典的龙格一库塔方法求解下列初值问题：
y' = x+ y,0 < % < 1;
1)b(o)= i,
y' = 3y /(I + %),0<x<l;
2),y(o)= i-
7.证明对任意参数t,下列龙格一库塔公式是二阶的：
h
儿+i = y n +—(^2 + 心；
< & =f(x n,y n);
K2 = f(x” + th, y u +thKJ;
冬=/(x”+(l —",儿+(1 —"KJ. &证明下列两种龙格一库塔方法是三阶的：
h
儿+i = y n +-(^i +3鸟)；
K
l=f (X n ,儿)；
h h K.=f(x n+-,y n+-K^
2
2 K
3 = f (X … +§九儿+亍忆)； h
儿+1 = y n +§（2&+3瓦+代）；
K
i =心，儿）； < h h K 2=f （x n+~,儿巧 f ）;
3 3
■ = /（x” + — h,y n + — hK 2）. 2）
I 4 4
9.分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题:
y' = l-y, y （0） = 0,
取力=0.2, j 0 = 0, ^! = 0.181,计算y （l .0）并与准确解y = l-e~x 相比较。

io.证明解y' = /（x ，
y ）的下列差分公式
1
h
儿+i = q （儿 + 儿-i ）+—（4 冗+i - y'… + 3 必1） 是二阶的，并求岀截
断误差的首项。

11. 导岀具有下列形式的三阶方法：
儿+i =a o y n +a l y n _l +a 2y n _2 +h （b Q y'n +b l y'n _l +b 2y',_2）.
12. 将下列方程化为一阶方程组：
/-3y + 2v = 0,
1）
v （o ）=i,y （o ）=i ； /-o.i （i-r ）y+y = o,
2） y （O ） = l,y （O ） = O; x"(/) =
, v ff (0 = - - , r = J/ + y_, 3)
r r
x(0) = 0.4, x'(0) = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2.
13. 取h=0.25,用差分方法解边值问题
Y + y = o ；
'y(0) = 0,y(l) = 1.6 &
14. 对方程y ,, = f (^y )可建立差分公式
儿+1 = 2 V… - V…-1 +h-f{x n ,y n \ 试用这一公式求解初值问题
y=i ；
\y(O) = y(l) = O,
15.取h=0.2用差分方法解边值问题
(1 + .X 2 )y” - xy'-3y = 6x- 3; y(0)-y (0) = l,y(l) = 2.
1)
验证计算解恒等于准确解
第六章方程求根
1.用二分法求方程x-1 = 0的正根，要求误差<0.05o
2.用比例求根法求/仕）=1 一“sinx = °在区间［0,1］内的一个根，直到近似根©满足精度
|/（A；） 1< 0.005时终止计算。

3.为求方程x3-x2-l^ 0在A o =1-5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的
迭代公式。

1）x = l + l/x2,迭代公式忑+1=1 + 1/球;
2） -x3=l + x2,迭代公式% =也+球；
3） * - x-1 ,迭代公式=1N x k~1o
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。

4.比较求e' +10x-2 = 0的根到三位小数所需的计算量；
1）在区间［0,1］内用二分法；
2）用迭代法％ =（2F*）/1°,取初值兀0=°。

5.给定函数/（*）,设对一切x，/'（x）存在且°证明对于范围内
0 < 2 < 2/M的任意定数入，迭代过程％ =心- 〃（心）均收敛于f（x）的根%*。

6.已知* =申3在区间［a,b］内只有一根，而当a<x<b时，
丨0仕）|从>1,
试问如何将* =。

（力化为适于迭代的形式？
将x^tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5 （弧度）附近的根。

7.用下列方法求/⑴=* -3*-1二°在心=2附近的根。

根的准确值x* = 1.87938524...,要求计算结
果准确到四位有效数字。

1）用牛顿法；
2）用弦截法，取心"內=1'9；
3）用抛物线法，取X。

= h -T i = 3, -Y2 = 2。

&用二分法和牛顿法求x~^x= °的最小正根。

9.研究求荷的牛顿公式
1z a . …
x k+\+—），心> °，
2Xk
证明对一切'=12…,耳 > 血且序列"，兀,…是递减的。

10. 对于/(X )= 0的牛顿公式心+i 二X* - /(x*)/ /'(X*),证明
Rk =(兀-兀―1)/(忑—1 1忑-2)2 收敛到-/ff U*)/(2/V)),这里疋
为/« = 0的根。

11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：
4x,x > 0; -V - x, X < 0;
/(X )=
2)
12. 应用牛顿法于
方程~a = Q,导出求立方根亦的迭代公式，并讨论其收敛性。

/(x) = 1--^-
13. 应用牛顿法于方程
"
值。

lim （丽'—耳+i ）/（“万—® ）2.
15.证明迭代公式
2
._ x k {x k +3a) X k+\ - —Q 2 丄
5x k +a
是计算石的三阶方法。

假定初值X 。

充分靠近根求 lim(&-耳+1)/(需—兀)3.
第七章解线性方程组的直接方法
1. 考虑方程组：
O4096X] +0.1234尤2 +0.367弘3 +0.2943些=0.4043; 0.2246%! +0.3872*2 +0.4015*3 +0.1129兀=0.1550; '0.3645召 +0.1920兀2 + 0.378lx 3 +0.0643“ = 0.4240; 0.1784X] +0.4002尤2 +0.2786心+0.3927耳=-0.2557;
(a) 用高斯消去法解此方程组(用四位小数计算)，
(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。

2. (a)设A 是对称阵且51工0,经过高斯消去法一步后，A 约化为
~
T~
d-y j d-y
证明A2是对称矩阵。

(b)用高斯消去法解对称方程组:
/（x ）= < 1）
,x>0; c 2 < 0.
___ 2
,导出求荷 的迭代公式，并用此公式求J 厉的
14.应用牛顿法于方程/
式，并求
x n -a = °和,分别导出求亦的迭代公
0.6428A-! +0.3475*2 -0.8468x3 = 0.4127;
< 0.3475孔+1.8423勺+ 0.4759%3 =1.7321;
—0.8468xj + 0.4759X2 + 1.2147x3 = —0.8621.
4.设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU,其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A
的所有顺序主子式均不为零。

5.由高斯消去法说明当A, *0(Z=1,2,---,/7-1)时，则A=LU,其中L为单位下三角阵，U 为上三角
阵。

U |>工|勺|(心
6.设A为n阶矩阵，如果人：称A为对角优势阵。

证明：若A
是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式
~ T ~
] d-y
0 —
7.设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为
~ T~
] CL-y 0 —其中A = (a), A2 = (a, ')”_i;
证明(1) A的对角元素© >0(心1,2,…加;
(2) A?是对称正定矩阵；
⑶a n n)<a u,(i = l,2,---,n);
(4)A的绝对值最大的元素必在对角线上；
max | a!2) |< max | a i： |;
(5)2<i,j<n J2<i,j<n J
(6)从(2), (3), (5)推出，如果〔SRI,则对所有k
1曙I<1-
&设乙为指标为k的初等下三角阵，即
「1 _
1
S - 1
m k+i,k 1
- 叫I)(除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同) 求证当l，j>k时，LkfLklij也是一个指标为k的初等下三角阵，其中人为初等排列阵。

9.试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。

10.设Ux^d ,其中U为三角矩阵。

(a)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。

(b)计算解三角形方程组Ux^d的乘除法次数。

(c)设U为非奇异阵，试推导求U J的计算公式。

11. 证明（a ）如果A 是对称正定阵，则4"也是正定阵;
（b ）如果A 是对称正定阵，则A 可唯一写成4 =厂厶，其中L 是具有正对角元的下三角阵。

12. 用高斯一约当方法求A 的逆阵：
13.用追赶法解三对角方程组Ax^b,其中
2 -1
0 0 0 T
-1 2 -1 0 0
A = 0 -1
2 -1
0 ,b = 0
0 0
-1 2 - 1
0 0 0 -1 2
14.用改进的平方根法解方程纟 1
'2 -1 r
~4~
-1 -2 3 兀2
= 5
1
3 1 x 3
6
15.下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么 分
解是否唯一？
「1 2 3_
~1 1 1
「12 6~
A = 2 4 1
,B =
2 2 1 ,c = 2
5 15
4 6 7
3 3 1
6 15 46
16.试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 「0 3 4 兀1
~1~
1 -1 1 花 = 2
2 1 2 兀3
3
17. 如果方阵A 有% = °(1 ： “ ,则称A 为带宽2t+l 的带状矩阵，设A 满足三角分
解条件，试推导4 =厶卩的计算公式，对r = l,2,---,n.
r-1
u — a •
〉I > r/> •
])
R=maxQ,I)
(i = r, r +1, • • •, min(n, r + 0).
r-l
l
ir = («,> -
D*%)/"”. z .,
、、
2)
E=maxQ,i )
(z =厂 +1,…，mm(〃，r + t))
18. 设
0.6 0.5
A = Lo.l 0.3
计算A 的行范数，列范数，2■范数及F ■范数。

19.求证
1 -3 -1
1 0 7
2 4 -2 0
-1 5 2 3 -1 1
^11 A||F<||A||2<C2 II All f
（b） -v n o
20.设P e R nxn且非奇异，又设II * II为R"上一向量范数，定义
II x II 产II Px II。

试证明2幅是人"上的一种向量范数。

21.设A e R nxn为对称正定阵，定义
||X||A=（A X-,X）1/2）试证明II为上向量的一种范数。

22.设"圧，"（恥2,…，*”）『，求证
23.证明：当且尽当x和y线性相关且* 时，才有
llx+y||2HI-x|l2+lly||2o
24.分别描述A?中（画图）
={.r||| xII, = 1,xe7?2},（v = 1,2,0））o
25.令I'l是（或C"）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数
lEUIPxll,证明||4||'=||PAPT||。

26.设WAW^WAW,为人心"上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2>0>使对一切
A e R nx"满足
q II A||s<|| A||,<C2 || A||
27.设AwR"；求证"4与4以特征值相等，即求证久（以4）=几（曲丁）。

2&设A为非奇异矩阵，求证
1 . IIAIL
----- : ---- =min ----------
II || m■-<）|| y 仁。

29.设A为非奇异矩阵，且II犷1111旳1<1,求证（人+弘厂存在且有估计
30.矩阵第一行乘以一数，成为
证明当'—土3时，cond（A L有最小值。

31.设A为对称正定矩阵，且其分解为A = LDIJ =W r W,其中W = D1/2£r ,求证@）
cond（A）2 =[cond（a））2]1;
(b) cond(A 2) = cond(a>T )2cond((o)2. 32. 设
rioo 991 A _ 一 [99 98_
计算A 的条件数。

cond(A)v (v = 2,co)
33. 证明：如果A 是正交阵，则cond(A)2=l o
34. 设人毗耐"且H 为上矩阵的算子范数，证明
cond(AB) < cond(A)cond(B)
第八章解方程组的迭代法
1.设方程组
5兀］+ 2%2 + 兀3 = —12 v —兀］+ 4X 2 + 2兀3 = 20 2 兀1 一3 兀2 +10兀3 = 3
(a) 考察用雅可比迭代法，高斯■塞德尔迭代法解此方程组的收敛性； (b) 用雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法解此方程组，要求当II
IL<10^4时迭代
终止.
「0 0_
A — 2. 设 L 2 °」，证明:即使II 汕冃列8>1级数I + A + A 2 +■■■ + A k +也收敛. 3. 证明对于任意选择的A,序列
(t) - J — (bj - a {2
x
2))，
云)=_2_@2
)， 伙=1,2,2・
°22
求证：由上述迭代公式产生的向量序列｛X ⑷｝收敛的充要条件是
%1°22
5. 设方程组
%! + 0・4兀2 + 0・4兀3 = 1 < 0.4xj + 兀2 + 0・8兀3 = 2
收敛于零.
4.设方程组
迭代公式为
I A 丄屮丄人3 J_X 4 ... '‘2 ‘3! ‘4!，
a u x x + a X2x 2 = b[； a?]*] + ^22兀2 =
d]2。

21
< 1.
兀]+ 2X 2 一 2兀3
= 1
兀1 +兀2 +兀3 = 1
2兀]+ 2兀2 +兀3
[0.4%! + 0.8X 2 + 兀3 = 3
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

lim A. — A.
6.
求证k
的充要条件是对任何向量X,都有
lim A k x - Ax. A ：—>oo
7. 设Ax^b,其中A 对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题 5(a)方
程组。

&设方程组
1
1
X
1
—才 *4
1 1
1 1
------- Xy -------------- %2 + 兀3 =—
(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B <>的谱半径；
(b) 求解此方程组的高斯一塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；
(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯一塞德尔迭代法的收敛性。

9. 用S0R 方法解方程组(分别取松弛因子® = 1.O3,® = 1,® = 1.1)
4旺-x 2 = 1;
< 一兀1 + 4X 2 -X 3 = 4; _ 兀2 + 4兀3 = —3.
兀* = (J_ ]—丄)卩
* 伙)
_6
精确解 2’ ' 2 '要求当11疋-* II.<5xl0_时迭代终止，并且对每一个0 值确定迭代次数。

10. 用SOR 方法解方程组(取« =0.9)
5 兀1 + 2 兀2 + 兀3 = —12；
< 一坷 + 4X 2 + 2X 3 = 20;
2兀i _3兀2 +10兀3 = 3.
要求当II
II^IO-4时迭代终止。

11. 设有方程组Ax^b,其中A 为对称正定阵，迭代公式
X (*+D =严 + a )(b — Ax
w
), (k = 0,1,2, ■••)
2
0 V V —
试证明当 0时上述迭代法收敛(其中° <a<2(A)V0)。

12. 用高斯一塞德尔方法解Ax^b,用呼⑷记卅I 的第i 个分量，且
i-l
77
严+i )胡_£a 局z —£知屮
»
冃 o
川+1)
丫伙+1) _ 丫⑹,-
X
i
一 Xj
a
i
⑹ 如果£⑷二兀⑷-兀*,其中X 是方程组的精确解，求证:
2
1
4 1 4= 2’ 1 1 1
—二兀-~x 2 +x 4 =-.
(a)证明
gE) —g ⑷)=—£
(d) 由此推出，如果A 是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯一塞德尔方法对任意初始向 量X ⑼是收敛的，则A 是正定阵。

13. 设A 与B 为n 阶矩阵，A 为非奇异，考虑解方程组
其中右，Z? , £, d?丘R o
(a ；義岀下列迭代方法收敛的充要条件
Az{'，，+1)=勺 _ BzJ , Azf+" =Z?2 - BZ ；"“(777 > 0);
(b)找岀下列迭代方法收敛的充要条件
Az ；m+1) =b x -Bz^n \Az^n+l) =b 2 -Bz{m+1,(rn>0);
比较两个方法的收敛速度。

14.证明矩阵
对于2
是正定的，而雅可比迭代只对2 2是收敛的。

_
5 1 2 3 _
0 2 0 4 3-12-1
15. 设 L 0 3 ° 7」，试说明人为可约矩阵。

16. 给定迭代过程，严"=CxW + g ,其中C w R nxn 伙=0,1,2,…)，试证明：如果C 的 特征值儿(C )= °(’ = 1,2,…)，则迭代过程最多迭代n 次收敛于方程组的解。

17. 画出SOR 迭代法的框图。

18. 设A 为不可约弱对角优势阵且0 <0<1,求证：解Ax^b 的SOR 方法收敛。

19. 设4兀=",其中A 为非奇异阵。

(a) 求证4丁4为对称正定阵； (b) 求证cond^A), = (cond(A)2)2 o
第九章矩阵的特征值与特征向量计算
1.用幕法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量:
'7
3 ~2
'3
-4 3_ A =
3 4 -1 A
2 =
-4 6 3 (a) -2
-1
3
, (b)
3
3
1
当特征值有3位小数稳定时迭代终止。

其中
7=1
j=i
(C)设A 是对称的，二次型
2.方阵T 分块形式为
^11 A? * •• T ： T =
^22 * •' T
2n
T nn_
其中人（，=1,2,…小）为方阵，T 称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2,则 称T 为准三角形形式，用b （T ）记矩阵T 的特征值集合，证明
a （r ）= |Ja （7；7）.
Z=1
3. 利用反幕法求矩阵
~6 2 f 2 3 1 1 1 1
的最接近于6的特征值及对应的特征向量。

4. 求矩阵
4 0 0 0 3 1 0 1 3
与特征值4对应的特征向量。

5. 用雅可比方法计算
10 1.0 0.5
A= 1.0 1.0 0.25 0.5 0.25 2.0
的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p
的最优值。

6. （a ）设A 是对称矩阵，X 和珂x h=l ）是A 的一个特征值及相应的特征向量，又设P 为 一
个正交阵，使
Px = e
x,并计算 B = PAF^ o
7.利用初等反射阵将
1 3 4 A= 3 1
2 4 2 1
正交相似约化为对称三对角阵。

证明B = PAF^的第一行和第一列除了 X 外其余元素均为零。

（b ）对于矩阵
入=9是其特征值,
试求一初等反射阵P ，使
&设A e R nxn,且Q"勺i不全为零，出为使a n = 0的平面旋转阵，试推导计算场山第d 行，第j行元素公式及人磅第i列，第j列元素的计算公式。

9.设人-1是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是人”-1的一个特征向量。

(a)证明矩阵A对应的特征向量是* = P\P2 -P n-iy .
(b)对于给出的y应如何计算x?
10.用带位移的QR方法计算
全部特征值。

11.试用初等反射阵A分解为QR,其中Q为正交阵，R为上三角阵,
1 1 1 _
2 -1 -1
2-4 5
数值分析习题答案
第一章绪论习题参考答案
£ (lnx) ~ \X I
兀:有5位有效数字，兀;有2位有效数字，兀；有4位有效数字，兀:有5位有效 数字，以有2位有效数字。

£（兀：+ 兀;+x*） Q £（兀：）+ £（兀；）+ £（兀；）nOBxlO"4 +O.5xlO~3 +O.5xlO -3
=1.05xl0-3 g （心;兀；）« 卜対 沢彳）+ X 匐 £（兀;）+ |xfx*| £（£） = 0.214790825
* 1 *
£（—^） — — &（兀4）~ 8.855668 xlO -6
兀|> 兀4
兀4
^00) = 100x^x1x10 3 =|xl0-
cc /ZTTT __ ccr 吃 =28-丁783 = ----------------- 】〕 « —-— « 0.01786 =28 + 7783 «55.982 , 28 + ^783 55.982 f-^00 1 , A7 ----- wdx = --- arc tgN
)N 1 + x 2 2 6
£(x) = f(V?) «-5_W) = 0.005
2
c
"S ）〜业-巴-耳 £（S ）dg”|£（/） = O.lgM, 绝对误差增
加，相对误差减小。

畑“叽）冷"计算过程不稳定。

/ = （V2-1）6« 0.005051,如果令 72=1.4,则 /； =（A /2-1）6 = 0.004096 ； （V2+1）5
，歩=（3 —2血尸=0.008,儿（3 + 2血尸
，
去=99-70血=1,办的结果最好。

/（30） =-4.094622 ,开平方时用六位函数表计算所得的误差为
»（小_心）〜"卜T" _竺g
n \n 〜
0.02〃
3V
1 £(v\ I
= = 0.003333
，故t 增加时S 的
心）
/
分另U 代入等价公式 — -l),f 2(x) = -ln(x + Vx 2 +1)
计
算
可
得
C —— =(x+JF —1)£ = 60X 丄 xio" =3X 10~ x-4x^l 2
^ = 1x10^
2
中
£(_/；)= ln(l + —r =)
x_px -1
14.
ۥ 1 1
Q —— = — x — x 1()7 =8.33x10-7
x+4x^i 60 2 1000000000 ’ w 999999998 ’ nnnnnn x } = ----------- q 1.000000,
x 9 = ----------------- q 1.000000 方程组的真解为 999999999 2
999999999
£(Q=血(1 +
x + y/x~ +1
15.
第二章插值法习题参考答案
1.
n —1
v”(X )=口 &—兀)n (兀—“)
z=0
0< j<i<n-l
.
匕-(兀。

,兀],%…_!)= n (羽-勺)
0< j<i<n-l
2.
(兀+ 1)(兀_2) |( 3) (兀_ 1)(兀_2) | 4 (兀―1)(兀+1) (1 +1)(1 —2)(一 厂(—1 — 1)(—1 — 2) * (2-1)(2 + !)
3 线性插值.取 = 0.6, y 0 = —0.693147 ,开=-0.510826
In 0.54 » 厶(0.54) = y 0 + “ 一 儿• (0.54 -x 0) = -0.620219 尢I —勺
二次插值：取
x 0 = 0.4,兀]=0.5, x 2 = 0.6, y 0 = -0.916291, y x = -0.693147 , y 2 = -0.510826 则 In 0.54
(0.54)
(0.54 — Xj )(0.54 — x 2) (0.54 — x 0 )(0.54 — x 2) (0.54 — )(0.54 —州) =y 0 ------------------------------ + % ------------------------------ + y 2 ------------------------------
(兀-X])(兀-X 2) (X]-兀)(X] -X 2) ■ (兀—X (l )(x 2 -X])
= -0.616707 .
4 K(x) = /(x)—厶(x) = £/〃©(x —Xo)(x — xj 其中
I R } (x) \< — max I cos7x) I - max I (x-x n )(x -x) I
所以总误差界
2泸吟 心网
2 /
、2
訂显』丄x 工]“曲”
2
4
8(60 180丿
而无论用方程一还是方程二代入消元均解得召=100,勺=1.00,结果十分可 靠。

Ay
s
/⑴=(X-x ())(x-X])(X-£) _
(x 2 一 x 0 )(x 2 一 x 1 )(x 2 -x 3)
x = x () + 4±^-A
3 时，取得最大值
嚼 U 2W1= 10
x 0<x<x 3
27
6. i)对/(x) = x\(^ = 0,1,■••,«)在 “”•••,£处进行n 次拉格朗日插值，则有
* 話(x) + 7?”(x)
1
n
=工 lj (x)x ； + z 1X ，/
(n+l )
(f )(x — X ())…(X — X”)
i=0
由于严％)“，故有幼曲"
ii)构造函数gOH)",在"”•••,£处进行n 次拉格朗日插值，有
E”(x )= 律(x)
i=0
(«+1)(上、n
d_t)k = L” (x) = £ (x. - t)k I. (x). z=0
弘一心(x) = 0
令心兀即得i
7.以a, b 两点为插值节点作/(X )的一次插值多项式
厶(x) = /(a) + 於冷一在。

(x - a)
b-a
/(X )—厶(x) =
—a)(x —b)，e w[a,b]
据余项定理，
2
,
由于 /(a) = /(b) = O,故
I /(X )-厶(x) |=| /(x) |<^-max | f\x) | max | (x-a)(x -b) \=^-(b-a)2 max | f\x) \.
2 a<x<b a<x<b
g a<x<b +,、“ L 匸》人2 (x) = 2 / (x — X 。

)(x — X] )(x — *2),歹 w [-4,4].
&截断误差 6
JQ — JQ -| _______
其中X 。

-处2 =召+九则 1
3时取得最大值
max | (x-x n )(x-x )(x -x ?)\= — V3 - /z 3
-4<x<4 9
5.
H ---------
0 + 1)!
n
插值余项为z"心煮严f
由于 g ("+i )© = 0,(“ 1,2,•••/).故有
2 a<x<b
记g k（x） = *，则由以上两式得0,0 < k < n-2, （n-l）l,k = n-1.
所以，h < 0.006.
9.Ay…=2"+1-2",圧儿=（2“+2_2”+i）_（2"+i—2"） = 2",则可得
A4^=A2（A2J；…）=2M.
为” =2"+"2 _ 2—2,矿儿=（2"+i _ 2"）_（2" _ 2" J = 2：则可得『儿"运2儿）= 2"P 10.数学归纳法证
当k = l时,^f（x） = f（x + h）-f（x）为皿―1次多项式;
假设灯（对（OSSm）是m_k次多项式，设为8（力，贝lj △WO） = g（x + h）-g（x）为m-（k+l）次多项式，得证。

]]右 ~ fk（8k+l —+ 8k+l（fk+l— A）—fk+lSk+l ~ fkSk =左
n-1
Yjk'gk =foS\ ~ foSo +/1&2 - fl81 + ■■■ + fn-18n—fn-1 S n-1，
12.也。

n-l
工gk+Nk =fxSx-f o gx +f2g2 ~fxS2 ++ n — f n-{ g n *
k=0
"一1
13.>°
=（丁2 一X）—（X 一儿）+ （丁3 一丁2）一（丁2 一X）+…+ （儿+1 一儿）一（儿—儿-1）=（儿+1 —儿）一（X 一儿）=△儿-勺0
14.由于兀，孔,…,x”是/（对的n个互异的零点，所以
/（x） = a0（x - X］）（x - *2）…（X - X”）
n n
=a0Y［（x-x,） = a0（x-Xj）Y［（x-x,）,
Z=1 Z=1
对/（X）求导得
广（X）= a。

「［（x -兀）+（X - X/ ）（「［（x
z=0 z=l
_详j 详j
广g）=佈口（厂-兀）
i=\
详j
I >1
巧二1 f 对 . 广（勺）兔戶中（旳_兀）
1=1
详
j
=工 7 --------- r -; --------------- v ------------ 「 ------------ ； = c • / [兀。

,西,…，兀』 j=0 _兀0)・・・(® _兀/一1)(®•一®・+1)…(兀/ _£)
证明同上。

/[2°,21,--,27] = £^ = 2! = 1;
/12。

2,…,2* ]=，；『)=0.
17
R
3 (X J ) = /(x 7) - p(Xj ) = 0, R 3 (Xj) = f'(Xj) - p'(Xj ) = O,j = k,k + l.
即均为凡(x)的二重零点。

因而有形式：
7?3(X ) = K(x)(x - x k )2 (x - x k+l )2. 作辅助函数。

⑴=/(/)- P ⑴ ~
K(x)(t- x k )2(t- x k+l )2. 则(PZ = 0,0(x) = 0, (pg) = 0,0(x*)= 0,0'(%i) = 0. 由罗尔定理，存在'G (X k^^2 W (X ，©+1),使得
0©) = 0,0© ) = 0.
类似再用三次罗尔定理，存在了 * C )U (兀，®+l )，使得 0 ⑷ @) = 0,又 0⑷(/)= /
⑷(/)_4!K(X ), 可得 K(x) = /(®©/4!,
即
人3(力=/ ⑷(£)(*一心)2(尢_必+])2/4!”£ w (x k ,x k+i ).
1&采用牛顿插值，作均差表：
p(x) = p(Xo ) +(X - x 0)f[x 0 ,x i ] + (x-x 0)(x-x l )f[x 0 ,x 1；x 2] + (A + Bx)(x - x 0 )(X _
X] )(x -x 2)
=0 + 兀 + x(x -1)(-1/2) + (A + Bx)x(x 一 l)(x 一 2)
15. i)
冃八 j) °；
=i n (x 7 -x (.)
° /=]
详j
=1 g/"%)
a Q (n-1)! n
幵心西，…,兀”]=工 --------
0,0 < k <n-2, a 0~ ,k — n — X.
F(x y )
7=0 (①• 一 兀
0)…(兀丿•— x j-l )(x j ~ 9+1)…(◎ 一 E )
ii) 16.
A - __ R-_ //(()) = 0,//(1) = 1,得4’
4’
r 2
P (X )= 丁(兀一3)2.
< max max s ------ s ------------ = & 0</<…-1.,<^,+|
X .+1 -x.
x,.+1 -X,.
由定义知当"T 8时，0” (x)在[a,b]上一致收敛于f(x)。

20. 1,1(X )在每个小区间[心入+i 】上表示为
厶O) = X % f k + x ®
<x< 耳+1 )•
x
k - x k +l x
k +i ~x k
计算各值的C 程序如下：
#include"stdio.h"
# include"math.h" float f(float x) { retum( 1/(1 +x*x)); } float I(float x,float a,float b) { return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b)); }
void main() { int i;
float x[ll],xc,xx; x[0]=-5;
printf("x[0]=%An",x[0]); for(i= 1 ;i<= 10;i++) { x[i]=x[i-l]+l;
printf("x[%d]=%An"j,x[i]); }
for(i=0;i<10;i++)
又由 所以 19.记
h = —~— ,x k = a + kh n
(P n (x) = /(兀)X 兀+1 + f (X ;++1) X 兀,x e [x,, x M
兀—兀+i
兀+i 一 “
因为f(x)e C[a, b],所以/(x)在S,刃上一致连续。

7 b_a 殳 h = ------ < 5
当n>N 时， n ,此时有
max | /(%) -(p n (%) |= max max | /(%) -(p n (%) I
a<x<b
0<z<n —1 Xj<x<x i+[
=max max
0<i<n-l Xj <x<x ;+1
x - x t
兀+1 — X,
+ [/(%)-/(x,.+1)] r
=max max /(%)-
0<i<n —l <x<x i+1
兀+1 X
X
M - X i
{ xc=(x[i] +x[i+1 ])/2;
TYxc xTil xn+1IV
printf(H H%d]=%^n n ,i+l,I(xc,x[i],x[i+l])); } for(i=0;i<10;i++) { xx=(x[i]+x[i+l])/2; f(xx);
printf(H f[%d]=%^n n ,i+l,f(xx));
21.厶（X ）在每个小区间［心，心+i 】上为
I R(x) 1=1 l h (X )- /(X )1=1 X 2 -(耳+1 + x
k )x
+ x k x
k +
i |V X" 4 Z 广(x) = 4.x 3,则I h (x)在每个
小区间[x k ,x k+l ]上表示为
m. ,
Q m.
Q y. i m. ,
y. m.
S?(兀)=
~7T~(兀 _ 兀)+ (x
_ x
i-i ) +( ----------------- \)(x z _ 兀)+ ( ---------------------------------------------- ~r~ 肉)(兀 _ 兀_i
6/z. 6/z. h i o % o
» 由 S'(0.25) = 1.0000, S'(0.53) = 0.6868,得
a x = 0.6429, = 0.4, a 3 = 0.5714
0o =6(/[勺,旺]一1) = 一0・276 , A = —4.3157,02 =—3.264,03 = —2.43 04 = 6(0.6868 — f[x 3,x 4]) = -0.1692
关于加0 '加1' m
2 ' m
3 ' m
4的方程组为
24. i)因为 f^^C 2[a,b],所以
.
「[/"(X )— S 〃(x)F 力+ 2「S"(x)[/"(x) — S"(x)]dx
/Tq —— Ja
Ja
={[/"(x)-S 〃(x)]- +2S 〃(x)[广G)-S 〃(x)]}dx
Ja
= f(/"(X )2—S 〃(X )?)dx=左
22.
h- ~4
23. Ih (x)-
+ 4-
1 + 2- ( 、2
X —X* \X*+1 — X Q
I R(x) 1=1 /⑷(G(x - g )2 (-V 一昭y /4!|
h 2 = x 3 - x 2 = 0.09, h 4 = x 5 - x 4 = 0.08.
(x - X*)X ； + 4 •
< 4!-(
h 、— %2 一 兀i = 0.05,
h 3 = x 4 - x 3 = 0.06,
"i+l
a.二————
h
i + h M
'兀+1 —
X
%+1
丁民、 、
则三次样条插值函数表达式为
1 + 2-
、
X7*+l v 4
X
k+\
h 4
x —耳
x
k +l~x
k
f
X —X*
E+1 _x*
ii)由于S (x )为三次函数，故S"(x )为常数，又/(兀)='(兀)，贝IJ p +'[/,(x)-S ,(x)^ = O
%
,所以
S"W'M - S\x)]dx =Jf +l S"(x)[/"(x) - S 〃(Q + S"'(x)[/'(x) - S'(x)]dx i=0
JXi
rb
=I [S"(x)(/"(x) - S"(x)) + S'"(x)(广(x) - S'(x))]dx
Ja
=s”@)[广(b) - S'(b)] — S”(a)[/'(a) - S'(a)] ”
第三章函数逼近与计算习题参考答案
x' = (b- a)x + a,x = —_—
1. (a)区间变换公式为
b-a ，代入原公式可得新区间里的伯
n k
X — a
B… (/, x)=工 /(— (b - a) + a)P k (-—), P k (x) = C,* (1 一 x)""
恩斯坦多项式为
“ n b_a
；
D / ”、2 3x 2x 2 6s/3x 2 2x 8x 3
3 (/, x) = — x, B< (/,x) = 一 (1 --------- )一 + —— (1 ---- ) + 十 ⑹ 冗冗 n h 兀 疔，相应的麦克劳
1 , 1 ,
PAx) = x,PAx) = x ——x 3 R, (x) < 一疔 « 0.645964
林级数分别为 6 ，部分和误差则为 48 , &(x) <—^—7T 5 «0.0796926
3840
,大于伯恩斯坦多项式的误差。

V “ 、v M
m = n£ Pk (x)
f\L)Pk (x* B”(仁 x) S
Pk (x) = M 2.
m
< /(X )< M ,故 A .O k =o n
A .O ,
n K
n
和、
耳(/,x )=》£c ；y (i-创―送矇：尸(i-x )fz =无
当 f (x) = x 时， k=o n ，幻-Tt
|sin4x-O|V1,对任意不超过6次的多项式g 。

)，在〜 —8 —八
时,
若有|g(x)-sin4x|<l,则g(x)在［0,2刃上至少有7个零点，这与g 。

)不超过 6次矛盾，所以
|g (x )-sin4x|>l, g(x) =。

就是所求最佳一致逼近多项式。

4.设所求为g (Xc, A(/,^) = max(|M-c|,|m-c|),M = S /(x),m = min/(x)； 由47页定理4
可知
8(力在［⑦列上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别
为/(对的最大值和最小值处，故由
7
①2('可以解得
k=l
3.
a<x<b
—(M + m) 2 即为所求。

X = “I 匹)—匹)卄1
5. 原函数与零的偏差极大值点分别为 3 ',故3 3
,
3
CI ——— 解方程可得出唯…解 4。

2 2 2
吗=一 u 0.636620 6 x = — x 2 = arccos — « 0.880689,/(x 2) « 0.771178 6. 兀 ，故 兀，得 兀
，
=
/(^)— 理 c 0.105257
2 2 ，故所求最佳一次逼近多项式为
0 . 6 3伍6 2 0 ,又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为 max |sinx-/］(x)|
V £(0) = 0.105257
7. a 严 e —51.71828,故由 / =e —1 可以解得-Y 2 ~ 0.541325 ；于也)S.71828 , =1 + /
(*2)_ Q
亠 0.894067
则有
2 2 ,故所求最佳一次逼近多项式为
£(x) = 1.71828%+ 0.894067。

&切比雪夫多项式在卜1，1］上对零偏差最小,所求函数必为切比雪夫多项式的常
p(x) = —T o (x) = x 2-—
r =
数倍， 2 - 2,解得唯一解 20
x = - + -t
.
g(?) = —? +-? +-t 2 + — t —
..
9.作变换 2 2代入/(*)得占 16
8 2 8
16 ,则g (。

在
［71】 上的三次最佳逼近多项式为 …. . _ . . 1 r 、_ 5 3 25 2 11 73
S(t) = g (t)-—T 3(t) = -t +-t 作逆变换“—I 代入阻),则
/(力在［°」］上的三次最佳逼近多项式为PW = 5X
~4X +4X_128O 1 ° T*(x) = T 0(2x — 1) =
1,(x) = 7；(2x — 1) = 2x — 1,町(x) = §(2x-l) = 8x 2
— 8x +1
T ； (x) = T 3 (2X -1)= 32.r 3 - 48x 2 +18x — 1,其中 x w [0,1]。

f( 、
x, = cos--------- 7r(k = 1,2,3,4)
12.
用乙(X )的4个零点" 8
做插值节点可求得三次近似
最
佳逼近多项式为 厶(兀)=-0.0524069 + 0.855066% + 0.0848212%2 -0.0306032%3
13. /(对=『，则有f\x) = e\其中兀可-1,1］。

由拉格朗日插值的余项表达公式
11.
交。

^T n (2x-l)T m (2x-l)
o x-x 2
'djc —
施心)卡⑴+竺丄恥)+墮丄7；⑴一如宀卫宀竺”凹 53 384 8 384016 1024
128 4096
1096
max b(x) — M 53(X )| = —- + ^-— =
® 0.00756836
其中误差限为 七山 1
3848 384016 4096。

r / \ 1 3 1 5 n / \ 1 3 1 5 /（X ）— sin x — x — x H --------- x + （%） — x — x H -- x r z 、 15. 6 120 ，取' 6 120 为/（*）的近似，
max |/（x ） -R （x ）| V 丄心 0.000198413
误差限为七川 '7! ，再对幕级数的项数进行节约就 可以得到原函数的 3 次逼近多项式
max |/（x ） -M 、（x ）| < j- +——« 0.000719246
-1<X<1 1 5
「力12016 ' ,即为所求 16. 当/（对为卜"，"］上的奇函数时，设用（Q 为原函数的最佳逼近多项式，则 |用（兀）-/
（兀）| V E”，对-疋（-X ）有 \~F n （_%
） _
f （%
）| = | F n （_%
） _
f （_%
）| - E n ?所
以-用（-*）也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性， -用（-*）=用（X ）,即-尺（-*）是奇函数。

同理可证，当/（X ）为［-a ，4上的偶 函数时，最佳逼近多项式用（朗也是偶函数。

£
3
2
［^\ax + b-smxf dx^ — a 1
+—b 1
+—ab-2a-2b + —
17. J 。

L
J
24 2 4 4,为使均方误差最小，
96 - 24〃 8^-24 a 二 —, b 二 —
,解得 兀 矿 z /、(/，g) = (g ，/)=J f\x)g\x)dx
(<f,g) = c (y,g) = cj f\x)g\x)dx 18. (a) J” ， J 。

，c 为吊
(*b (*b
数,CA+/ £，= f)g +1(/ g 兀倉兀必古()/ X g 乂 d 戎
(/,/)",但当f(x) = c 时，(f f ，不满足定义，所以 (/,<?) = 不构成内积。

(b) (/,g) = (g,/),
(b,g) = c(/,g ),
（•A+Z ，g ）= （/i ，g ）+（/i ，g ）, （/,/）"且当且仅当 /（x ）=0 时（/，/） = 0,满 足
定义，所以（/,g ）构成内积。

a” e~'
14.
泰勒级数
0（x =）5M
） /(-y -L , X 瓷+©)
I | r +1^)
「|(“ +
1)!2"
-，则待证不等式成立, 项数节约，
］丁 / 1 4 8 4 : 得证。

在［T ］
M5.3（X ）= E （X ）— 1__1
_ 12016
%) = — 5 3 383 X -I 32 384 其误差限为
^n a+l^b ~2 = 0,l^a+7rb ~2 = 0。