数值分析第四版习题及答案.docx
应用数值分析(第四版)张明主编文世鹏主审课后答案
5
1 1
1
1 1 1
4 1
解：由 x=sy 得
y-4=s-1x=
1 11
1 1 1
1 1 1
1 11
2 1 1
4 1
4 1
4
8、在 P2 (t ) 中向量 P2 (t ) 1 t 2t 2 ，取基 S t 1, t 2, t 2 ，求 P2(t)在基下的坐标 。
10、试导出计算积分
In
1 0
xn dx
1 4x
(n
1, 2, 3, 4) 的递推计算公式
In
1 4
1 ( n
In1 )
，用此递
推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解： In
1 0
xn dx
1 4x
1 4
1 0
4xn
xn1 1 4x
x n1 dx
11 (
40
x n1dx
设 A 是单位上（下）三角阵。证 A-1 也是单位上（下）三角阵。 证明：A 是单位上三角阵，故|A|=1，∴A 可逆，即 A-1 存在，记为（bij）n×n
n
由 A A-1 =E，则 aijb jk ik （其中 aij 0 j＞i 时， aii 1） j 1
故 bnn=1, bni=0 (n≠j) 类似可得，bii=1 (j=1…n) bjk=0 (k＞j) 即 A-1 是单位上三角阵 综上所述可得。Rn×n 中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三 角阵”对矩阵求逆是封闭的。 2、试求齐次线行方程组 Ax=0 的基础解系。
2x2
1 2x 1 x (1 2x)(1 x)
（3） (1 cos x) sin2 x
应用数值分析第四版第一章课后作业答案
第一章1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。
3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(0031.0,1000/)3(1.3,)1(========x a x a x a x a ππ试估计x 的绝对误差和相对误差。
解：（1）0132.00416.01.3≈=≈-=-=a ee x a e r π （2）0011.00143.0143.07/1≈=≈-=-=a ee x a e r （3）0127.000004.00031.01000/≈=≈-=-=aee x a e r π （4）001.00143.03.147/100≈=≈-=-=aee x a e r2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。
试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。
解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4］ =0.5019373、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。
应用数值分析（第四版）课后习题答案第9章
应⽤数值分析（第四版）课后习题答案第9章第九章习题解答1.已知矩阵=???=4114114114,30103212321A A 试⽤格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。
解：,24)2(,33)1(≤-≤-λλ2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞，试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii aa 1λ.解：,x Ax λ=∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11j n j i i ij i ii x ax a ∑≠==-1)(λj n j i i ij j n j i i ij i ii x a x ax a ∑∑≠=≠=≤=-11λ∑∑≠=≠=≤≤-nj i i ij i j n j i i ijii a x x a a 11λ3.⽤幂法求矩阵=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。
解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1];for k=1:100y=A*z;[c,i]=max(abs(y));if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; endd=cend11.0000=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)===========强特征值为11，特征向量为T 0.7500)1.0000 0.5000(。
数值分析_第四版_课后习题答案_李庆扬
第一章1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nn xn x x n x x x **1***%2%2)()()()(*⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()x ()x (*n *n*n x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
华中科技大学出版社—数值分析第四版—课后习题及答案
14. 由于 x1 , x 2 , , x n 是 f ( x ) 的 n 个互异的零点，所以 f ( x) a 0 ( x x1 )( x x 2 ) ( x x n )
a 0 ( x xi ) a 0 ( x x j ) ( x xi ),
i 1 i 1 i j n n
4 7 h 3 时，取得最大值 max | l 2 ( x ) |
10 7 7 x 0 x x3 27 . k x , x , , x n 处进行 n 次拉格朗日插值，则有 6. i) 对 f ( x) x , (k 0,1, , n) 在 0 1 x k Pn ( x ) Rn ( x ) l j ( x) x k j
。
14．
1000000000 999999998 x1 1.000000, x2 1.000000 999999999 999999999 方程组的真解为 ，
x 1.00, x2 1.00 ， 而无论用方程一还是方程二代入消元均解得 1 结果十分可 靠。 s b sin ca a sin cb ab cos cc a b c tan c c s ab sin c a b c 15．
可 得
计
算
( f1 ) ln(1
( f 2 ) ln(1
x x 1
2
) )
1 ( x x 2 1) 60 104 3 103 2 x x 1 ，
2
x x 1
2
x x 1
2
1 1 104 8.33 107 60 2
。
(Y100 ) 100
应用数值分析(第四版)课后习题答案第1章
应用数值分析(第四版)课后习题答案第1章第一章习题解答1.在下列各对数中，某是精确值ａ的近似值（1）ａ=π，某=3.1（2）ａ=1/7，某=0.143（3）ａ=π/1000，某=0.0031（4）ａ=100/7，某=14.3试估计某的绝对误差和相对误差。
解：（1）e=∣3.1-π∣≈0.0416，δr=e/∣某∣≈0.0143（2）e=∣0.143-1/7∣≈0.0143δr=e/∣某∣≈0.1（3）e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279δr=e/∣某∣≈0.9(4)e=∣14.3-100/7∣≈0.0143δr=e/∣某∣≈0.0012.已知四个数：某1=26.3，某2=0.0250，某3=134.25，某4=0.001。
试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1=某1某2某3和μ1=某3某4/某1的相对误差限。
-2解：某1=26.3ｎ=3δ某1=0.05δr某1=δ某1/∣某1∣=0.19011某10-2某2=0.0250ｎ=3δ某2=0.00005δr某2=δ某2/∣某2∣=0.2某10-4某3=134.25ｎ=5δ某3=0.005δr某3=δ某3/∣某3∣=0.372某10某4=0.001ｎ=1δ某4=0.0005δr某4=δ某4/∣某4∣=0.5n由公式：er（μ）=e（μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σi=1∣f/某i∣δ某ier（μ1）≦1/∣μ1∣［某2某3δ某1+某1某3δ某2+某1某2δ某3］=0.34468/88.269275=0.00390492er（μ2）≦1/∣μ2∣［-某3某4/某1δ某1+某4/某1δ某3+某3/某1δ某4］=0.497073.设精确数ａ>0，某是ａ的近似值，某的相对误差限是0.2，求㏑某的相对误差限。
n解：δr≦Σi=1∣f/某i∣δ某i=1/㏑某·1/某·δ某=δr某/㏑某=0.2/㏑某即δr≦0.2/㏑某4.长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的2误差不超过1cm。
数值分析第四版课后答案答案第八章
第八章 常微分方程初值问题数值解法1、解：欧拉法公式为221(,)(100),0,1,2+=+=++=n n n n n n n y y hf x y y h x y n代00y =入上式，计算结果为 123(0.1)0.0,(0.2)0.0010,(0.3)0.00501≈=≈=≈=y y y y y y2、解：改进的欧拉法为1112[(,)(,(,))]n n n n n n n n y y h f x y f x y hf x y ++=+++将2(,)=+-f x y x x y 代入上式，得2111111221n n n n n n h hh x x x x y h y +++)+[(-)(+)+(+)]=(-+ 同理，梯形法公式为211122[(1)(1)]-+++++=++++h h n nn n n n h h y y x x x x 将00,0.1y h ==代入上二式，，计算结果见表9—5表 9—5可见梯形方法比改进的欧拉法精确。
3、证明：梯形公式为111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++代(,)f x y y =-入上式，得11[]2++=+--n n n n hy y y y解得21110222()()()222n n n n h h h y y y y h h h++----===⋯=+++ 因为01y =，故2()2nn h y h-=+ 对0x∀>，以h 为步长经n 步运算可求得()y x 的近似值n y ，故,,xx nh n h==代入上式有2()2x hn hy h-=+22220000222lim lim()lim(1)lim[(1)]222x x h h xx h h h h hn h h h h h h h y e h h h+-+→→→→-==-=-=+++4、解：令2()xt y x e dt =⎰，则有初值问题2',(0)0x y e y ==对上述问题应用欧拉法，取h=0.5,计算公式为210.5,0,1,2,3n x n n y y e n +=+=由0(0)0,y y ==得1234(0.5)0.5,(1.0) 1.142012708(1.5) 2.501153623,(2.0)7.245021541≈=≈=≈=≈=y y y y y y y y5、解： 四阶经典龙格-库塔方法计算公式见式（9.7）。
应用数值分析(第四版)课后习题答案第2章
第二章习题解答1. ( 1) R n Xn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。
(2)R n Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
-1设A是nXn的正交矩阵。
证明A也是nXn的正交矩阵。
证明：⑴证明：A为上三角阵，B为上三角阵，A, B R n na ij 0(i j ),b ij 0(i j)nC AB 则G j a ik b kj, C j 0(i j)k1上三角阵对矩阵乘法封闭。
以下证明：A为正交矩阵，B为正交矩阵，A,B R n nAA T A T A E,BB T B T B E(AB)((AB)T) ABB T A T E,( AB)T(AB) B T A T AB EAB为正交矩阵，故正交矩阵对矩阵乘法封闭。
(2) A是nXn的正交矩阵A A-1 =A-1A=E 故(A-1) -1 =AA-1(A1) -1= (A-1) -1A-1 =E 故A-1也是nXn 的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵，证A也是非奇异的对称阵。
A非奇异.A可逆且A-1非奇异又A T=A .( A-1)T=( A T)-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设 A 是单位上(下)三角阵。
证A-1也是单位上(下)三角阵。
-1证明：A是单位上三角阵，故|A|=1 ，.A可逆，即A存在，记为(b ij ) n Xnn由 A A =E，则a j b jk ik (其中a ij 0 j >i 时，1)j1故b nn=1, b ni=0 (n 丰 j)类似可得，b ii =1 (j=1 …n) b jk=0 (k > j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
F t Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0 的基础解系。
1 21 41A= 0 11 000 01 4512 1 411 2 1 41 解 ： A=1 1 01 0 450 1451451 2 0 0 410 08 140 1 0 4 5 -14 514514581445故齐次线行方程组 Ax=0的基础解系为14， 2510 013. 求以下矩阵的特征值和特征向量。
数学分析第四版答案 (3)
数学分析第四版答案简介《数学分析第四版》是一本经典的数学教材，主要介绍了数学分析的基本概念、理论和方法。
本文档旨在提供《数学分析第四版》习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握数学分析的知识。
第一章简介1.1 数学分析的基本概念习题答案：1.由已知条件可知，当a=a时，a(a)=a(a)成立。
所以函数a(a)是一个常函数。
2.对于任意实数a和a，有a(a+a)=a(a)+a(a)，即函数a(a)满足加法性。
根据题意，我们需要证明a(aa)=a(a)a(a)。
证明：设实数a和a，并令a=a和 $b=\\frac{y}{x}$，根据加法性，我们有：$$ f(a+b) = f(a) + f(b) \\quad \\text{(1)} $$将a=a和 $b=\\frac{y}{x}$ 代入上式，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(x) +f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(2)} $$又根据题目条件，我们知道a(aa)=a(a)a(a)，将$b=\\frac{y}{x}$ 代入该式，得到：$$ f(xy) = f\\left(x\\cdot\\frac{y}{x}\\right) =f(x)f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(3)} $$将式 (3) 代入式 (2)，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(xy) \\quad \\text{(4)} $$根据题目条件中的函数性质，我们得到：$$ x+\\frac{y}{x} = xy $$上式可以转化为二次方程的形式，解得：$$ x^2 - xy + \\frac{y}{x} = 0 $$由上式可知，a是方程a2−aa+a=0的一个根。
根据韦达定理，该方程的两个根分别为：$$ x_1 = \\frac{y+\\sqrt{y^2+4}}{2} \\quad \\text{和}\\quad x_2 = \\frac{y-\\sqrt{y^2+4}}{2} $$由于题目中没有限制a的取值范围，所以a可以取任意实数。
数值分析第四版课后习题答案
第一章习题解答1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。
3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(0031.0,1000/)3(1.3,)1(========x a x a x a x a ππ试估计x 的绝对误差和相对误差。
解：（1）0132.00416.01.3≈=≈−=−=aee x a e r π （2）0011.00143.0143.07/1≈=≈−=−=a ee x a e r （3）0127.000004.00031.01000/≈=≈−=−=aee x a e r π （4）001.00143.03.147/100≈=≈−=−=aee x a e r2、已知四个数：001.0,25.134,0250.0,3.264321====x x x x 。
试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算3211x x x =μ和1431/x x x =μ的相对误差限。
解：21111121101901.0,1021,3,10263.06.23−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ22214212102.0,1021,3,10250.00250.0−−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ 43332333103724.0,1021,5,1013425.025.134−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ 5.0,1021,1,101.0001.04443424==⨯==⨯==−−x x x x n x r δδδ 由相对误差限公式：i r ini n in ni i ir x x fx x f x x x f x x f u δδδ∂∂=∂∂=∑∑==1111),,(),,()(所以有：232123113211103938.0)(1)(−⨯≈++=x x x x x x x x x r δδδμμδ4971.0)(1)(4133141214311≈++−=x x x x x x x x x x r δδδμμδ 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。
(完整版)数值分析第四版习题和答案解析
第四版数值分析习题第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()nx ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii) (0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005. 16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数. 17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x=在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()nn x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.2y a bx =+.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析第4版答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-===而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x =又1'()n f x nx-= , 1||n p nx nx C n x-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02nr x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈ **24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C VRππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 。
应用数值分析（第四版）课后习题答案第5章
第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。
(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。
解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。
(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-代入可得215135(.).N =。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R -=-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()ni i l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nk i i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。
证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式101()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0()()ni ii f x l x f==∑精确成立，亦即1()ni i l x ==∑。
(完整版)数值分析第四版习题和答案解析
h 应取多少 ?
9. 若 yn 2 n , 求 4 yn 及 4 yn .
10. 如 果 f ( x) 是 m 次 多 项 式 , 记 f (x) f (x h) f ( x) , 证 明 f (x) 的 k 阶 差 分
k f (x)(0 k m) 是 m k 次多项式 , 并且 m l f ( x) 0(l 为正整数 ).
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11. 证明 ( f k g k ) fk g k gk 1 f k .
n1
fk gk
12. 证明 k 0
fngn
f0 g0
n1
gk 1 f k .
k0
n1
2 yj
13. 证明 j 0
14. 若 f (x) a0
yn y0. a1 x L an 1 xn 1
.
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18. f ( x) 、 g( x) C1 a,b , 定义
b
b
( a)( f , g) f (x) g (x)dx;( b)( f , g ) f ( x) g ( x) dx f (a) g (a);
a
a
问它们是否构成内积 ?
6
1 x dx
19. 用许瓦兹不等式 (4.5) 估计 0 1 x 的上界 , 并用积分中值定理估计同一积分的上下界
5. 计算球体积要使相对误差限为 1％ , 问度量半径 R时允许的相对误差限是多少 ?
6. 设 Y0 28, 按递推公式
1
Yn Yn 1
783
100
( n=1,2, … )
计算到 Y100 . 若取 783 ≈ 27.982( 五位有效数字 ), 试问计算 Y100 将有多大误差 ?
应用数值分析第四版第一章课后作业答案
应用数值分析第四版第一章课后作业答案第一章1、在下列各对数中，x 是精确值a 的近似值。
(1)a??,x?3.1(3)a??/1000,x?0.0031试估计x的绝对误差和相对误差。
解：（1）e?a?x?(2)a?1/7,x?0.143(4)a?100/7,x?14.3??3.?0.0416er?e?0.0132 aer?e?0.1001 aer?e?0.0127 a（2）e?a?x?/7?0.?0.0143（3）e?a?x?/1000?0.?0.00004 （4）e?a?x?/7?14.3?0.0143er?e?0.001 a2. 已知四个数：x1=26.3，x2=0.0250，x3= 134.25，x4=0.001。
试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x1 x2 x3和μ1= x3 x4 /x1的相对误差限。
-2 解：x1=26.3 ｎ=3 δx1=0.05 δrx1=δx1/∣x1∣=0.19011×10-2x2=0.0250 ｎ=3 δx2=0.00005 δrx2=δx2/∣x2∣=0.2×10-4 x3= 134.25 ｎ=5 δx3=0.005 δrx3=δx3/∣x3∣=0.372×10x4=0.001 ｎ=1 δx4=0.0005 δrx4=δx4/∣x4∣=0.5n由公式：er（μ）= e（μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σi=1∣?f/?xi∣δxi er（μ1）≦1/∣μ1∣［x2x3δx1+ x1x3δx2 +x1x2δx3］=0.34468/88.269275=0.00390492 er（μ2）≦1/∣μ2∣［x3x4/ x1δx1+ x4/ x1δx3 + x3/ x1δx4］=0.5019373、设精确数ａ>0，x是ａ的近似值，x的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。
解：设u=f(x)，er(u)??|e(u)df(x)e(x)df(x)xe(x)?||?|||u|dx|u|dxu|x|df(x)|x|df(x)|x||er(x)?||? (x)dx|u|dx|u|r?r(f(x))?|df(x)|x|1x?rx0.2|?r(x)rx?? dx|u|xlnxlnxlnx4、长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm2。
应用数值分析(第四版)课后习题答案第10章
第十章习题解答1、 用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题'[0,1](0)2y x y x y ⎧=-∈⎨=⎩ 取0.1h =，并将计算结果与精确值相比较。
解：(,)f x y x y =-,由Euler 公式及改进的Euler 方法，代入0.1h =，有11Euler 0.90.1Euler 0.9050.0950.005n n nn n n y y x y y x ++=+=++方法改进的方法，依次计算结果如下01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1.02 1.8000 1.6300 1.4870 1.3683 1.2715 1.1944 1.1350 1.0915 1.0623 1.04612 1.8150 1.6571 1.5237 1.4124 1.3212 1.2482 1.1916 1.1499 1.12n n n n x y y ====17 1.1056 2 1.8145 1.6562 1.5225 1.4110 1.3196 1.2464 1.1898 1.1480 1.1197 1.1036y n y 为Euler 方法的结果，n y 为改进的Euler 方法的结果，y 为精确解。
2、 用梯形公式求解初值问题'0(0)1y y x y ⎧=-≥⎨=⎩证明其近似解为()nn a h y a h-=+。
证明：采用梯形公式得近似解为112(1)(1),222n n n n h h hy y y y h++-+=-=+，因此可得21202222()()()2222n nn n n h h h h y y y y h hh h------=====++++。
证毕。
3、试用Euler 公式计算积分2xt edt ⎰在点x=0.5, 1, 1.5, 2的近似值。
解：2(,)2xf x y xe =由Euler 公式得212*0.5nx n n n y y x e +=+，计算可得0123400.51 1.5200.6420 2.0011 6.745034.0441n n n x y === 4、 定初值问题'000sin ()y y x x y x y ⎧=≥⎪⎨=⎪⎩试用Taylor 展开法导出一个三阶的显式公式。
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第一章绪论设x>0,x 的相对误差为｛，求Inx 的误差.设x 的相对误差为2%,求x"的相对误差.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字：X ； = 1.1021, Xo = 0.031,%3 = 385.6, x ； = 56.430, x ； = 7x1.0.利用公式(3.3)求下列各近直的误差限：计算到Zoo .若取^783 ^27. 982 (五位有效数字),试问计算乙。
将有多大误差？ 求方程X 2-56X + 1 = 0的两个根，使它至少具有四位有效数字(^783 ~27. 982).当川充分大时，怎样求加1 + f ?正方形的边长大约为100 cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm? ?设 2 假定&是准确的，而对r 的测量有±0.1秒的误差，证明当打曾加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.序列｝满足递推关系儿=1°儿-一1(n=l, 2,…)，若％ =血心141 (三位有效数字), 计算到X 。
时误差有多大?这个计算过程稳定吗？计算/ = (V2-1)6；取迈心1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？/•(x) = ln(x -二I),求并30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大?若 改用另一等价公式ln(%_ Jx 2 -1) = _ln(x + yjx 2 +1)计算.求对数时误差有多大？(x 1+101°^2=1010;已知三角形面积 2 其中c 为弧度，2，且测量a ,b ,c 的误差分别为△a,血Ac.证明面积的误差Av 满足S = -gt试用消元法解方程组假定只用三位数计算，问结果是否可靠?计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 设人=28,按递推公式第二章插值法根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令匕(X )*_i (Xo ，Xi ， ,X”_J(X_Xo ) (x_x”_i )当.¥= 1 , -1,2时,/(x)= 0 , -3,4 ,求/(>)的二次插值多项式. 给岀几t)=lnx 的数值表用线性插X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144求cos x 近似值时的总误差界.设Xj为互异节点(戶)，1,…，”),求证:工 X./. (x) = x k (k = 0,1,, “);i)切律任)三0伙= 1,2,ii) >° ，设畑乂2丽且/⑷=/(斫0,求证嘿声⑴叫(i)2嗨『创 在-4<%<4上给出/W =『的等距节点函数表.若用二次插值求『的近似值.要使截 断误差不超过10",问使用函数表的步长h 应取多少？若儿=2",求心及&儿.如果/(X )是加次多项式，记纣(劝=/任+〃) — /(*)，证明/(x)的£阶差分AV(x)((^ k< m 是m-k 次多项式，并且△ m+7w=o (/为正整数). 证明 ggk) = fASk + gk+Wk.〃一1〃一1^jfk^Sk =fnSn ~ foSo ~ 工 gp+lA/jr 证明7上=0n-1=Ay…-Ay ().证明若 /(.r) = «0 +^%+ + a n _x x n ~' + a n x n有”个不同实根斗,*2，证明15. 证明"阶均差有下列性质：1)若F(x) =(/(%)侧尸［兀,西，，暫］=</［兀，召，，兀”］；⑵若 F(x) = /(x) + g(x)侧 F ［x (),召，，£］ = /［毛,西，，x”］ + g|%o ，X ］, ,x…］16. /(劝"+八 3卄1,求/［2°2及/［2。
,2［ ,2尊.17. 证明两点三次埃尔米特嗨值余项是R 3(x) = f ⑷ ©(x - 兀尸(X _ %］尸 / 4!,紀(％ %］) 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.刁一1，1 1证明％(x )是"次多项式，它的根是心，山”-1,且-S,-iX4, X 2设忑=兀+肋,扫o,l, 2, 3,求宀 #2(X )|0,0<A ：<H -2;,k=n —l.18.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足AO) = P(-々 + 1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P。
),以便使它能够满足以下边界条件P(O) =P'(O)=O P(l) = P f(l) = 1 P(2) = 120.设/(力w °国列,把［⑦列分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数必⑴ 并证明当"T 8时,申”(X)在［⑦列上一致收敛到f(X).21.设f°)= 1/(1 + X)，在-5<%<5±取“ =10，按等距节点求分段线性插值函数厶°), 计算各节点间中点处的厶°)与/(X)的值,并估计误差.22.求/O)= *在［°问上的分段线性插值函数厶⑴,并估计误差.23.求/W 在［⑦列上的分段埃尔米特插值，并估计误差.试求三次样条插值SO)并满足条件门S'(0.25) = 1.0000, S'(0.53) = 0.6868;⑵S"(0.25) = S"(0.53) = 0.25.若/(X)e/［"，切少兀)是三次样条函数，证明D ［［/©)］认-］［S3］认=［［广3 - S3］认+2［ S3 ［厂⑴-S3 比ii)若/U)= S3)(心0,1,必)，式中兀为插值节点，且« =<£=冬则f S0)［广 3 - S0)冶=S"⑹［f\b) - S©)］ - S"(a)［广(a) - S，(a)］26.编出计算三次样条函数S(Q系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(Q可用©7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1.(a)利用区间变换推出区间为［⑦列的伯恩斯坦多项式.(b)对fM = sinx在［0,兀/2］上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画岀图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.求证：m < /(x) < M 时,m < B n(/, x) < M .⑹当 /(%) = x 时,B n (/, x) = x 在次数不超过6的(a)当多项式中，求/U) = sin4x在［0,2疋］的最佳一致逼近多项式. 假设/(X)在［°'列上连续，求/°)的零次最佳一致逼近多项式.max x3 - ox选取常数Q ,使o^<i I I达到极小，又问这个解是否唯一？求/(x) = sinx在［0,兀/2］上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.求/W =『在［°，1］上的最佳一次逼近多项式.如何选取r，使卩⑴= %2 + r在［71］上与零偏差最小？r是否唯一？设f(x) = x4 + 3x3 -1，在［0,1］上求三次最佳逼近多项式.令T n (x) = T n (2x-1),XG［0,1］,求T* (x), T； (x), T； (x),§ (x)在［一1，1］上利用插值极小化求1 /O) = 的三次近似最佳逼近多项式.设/(x) = e*在［-1,1］上的插值极小化近似最佳逼近多项式为L”(x)，若II/-4I8有界, 证明对任何存在常数5、卩”.使项式并估计误差.在［一1，1］上利用幕级数项数求/(*)= sinx的3次逼近多项式，使误差不超过0.005./(力是［一⑦可上的连续奇(偶)函数，证明不管"是奇数或偶数,/(力的最佳逼近多项式F：(x)wH”也是奇(偶)函数.求a、0使+ sinx"为最小.并与］题及&题的一次逼近多项式误差作比较./■(*)、gWeC1［a,b］ ^义cb (*b(a)(/,g)=J 广(x)g，(x)dx;@)(/,g) = J 广(x)g，(x)dx + /(a)g(a);J a J a问它们是否构成内积？「^-dx用许瓦兹不等式(4.5)估计J(,l + x “的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界, 并比较其结果.选择化使下列积分取得最小值JZ^2)2则A"他设空间9 =$皿"{1，丹，申2 "卩初忖“,*1］,分别在<P1、也上求出一个元素，使得其为X wC［O,l］的最佳平方逼近，并比较其结果.22./(劝胡在［71］上求在◎上的最佳平方逼近.sin［(n + l) arccos x］"” (x) = ―-—1=^ ------------ -23.V1-X- 是第二类切比雪夫多项式.证明它有递推关系"”+i (x) = 2m” (x)-zvj(x)24.将在［一1」］上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画岀误差图形.再计算均方误差.25.把/(%)= ^ccosx在［71］上展成切比雪夫级数.26.27.2:29.编岀用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30.编出改进FFT算法的程序框图.31.现给出一张记录{无卜{4,321,0丄2,3},试用改进FFT算法求出序列{曲的离散频谱{CJ (^ = 0,1, ,7).第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：ph« A.JC-A) + 4/(0) + A,/(A)(1)J-" ;r2hJ f(x)dx «+ 4/(0) + A,/(/2)£ f(x)dx «［/(-l) + 2/3) +3/(吃)］/3⑷］f{x)dx « h［7(0) + 7(/2)］/l + ah2［广(0)-广(力)］2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：f1 X o fi(l-e')21A— x, n = 8 ------------- dx, n = 10 (l)Jo4 + .r ；⑵ 5 x ；(3) Ji 長吐n = 4 ⑷J-sZ (pdx,n-63.直接验证柯特斯公'式(2.4)具有5次代数精度.Ce x dx4.用辛普森公式求积分并计算误差.5.推导下列三种矩形求积公式：f f(x)dx = (b- a)/(a) + (b-a)2(l)Jfl 2 ;「f{x)dx = (b-a)f(b) - - (b-a)2『f(x)dx = (b —(b - af⑶2 24rb6.证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当"T8时收敛到积分L /(X)"：pb7.用复化梯形公式求积分'«问要将积分区间［%】分成多少等分，才能保证误差不超过& (设不计舍入误差)？&用龙贝格方法计算积分五，要求误差不超过10「'.S = tzpJl-(-)2sin20J09.卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是Jo V a，这里Q是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记力为近地点距离,H为远地点距离,7?= 6371公里为地球半径^a^(2R + H + h)/2,c = (H-h)/2^国第一颗人造卫星近地点距离h = 439公里，远地点距离H = 2384公里，试求卫星轨道的周长.3 5.n n nzz sin.——兀------------- 1--------------10.证明等式n 3\n- 5!/?4试依据加11(兀/")(7*3,6,12)的值，用外推算法求兀的近似值.H.用下列方法计算积分| 丁并比较结果.(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式；(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式./(X)=——-—712.用三点公式和五点公式分别求(1 +力「在x = 1.0,l.l和1.2处的导数值，并估计误第五章常微分方程数值解法1.就初值问题V’ = ax + b,y(O) = °分别导岀尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达1o , y = —ax +bx 式，并与准确解2 相比较。