新高考新题型2020数学专练
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题6-10题-(学生版)
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题6-10题原题61．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种变式题1基础2．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（）A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种变式题2基础3．将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往A、B、C、D四家医院，每所医院至少派1名护士，则不同的派法总数有（）A．480种B．360种C．240种D．120种变式题3巩固4．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（）A．20种B．50种C．80种D．100种变式题4巩固5．在6张奖券中有一等奖奖券1张、二等奖奖券2张、三等奖奖券3张．现有3个人抽奖，每人2张，则不同的获奖情况有（）A．15B．18C．24D．90变式题5巩固6．将A、B、C、D、E、F六名工作人员分配到两个不同的地点进行扶贫验收，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（）A．15种B．18种C．20种D．22种变式题6提升7．某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种．A．5040B．1260C．210D．630原题78．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(5,)+∞ D ．[5,)+∞变式题1基础9．已知函数log (2)a y ax =-在(1,1)-上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．[2,)+∞变式题2基础10．若函数()()2lg 1f x x ax =-+在区间()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,42⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭变式题3巩固11．函数()2()log a f x ax x =-在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112a <<或1a > B ．1a > C ．114a << D ．108a <<变式题4巩固12．已知函数()36log 3ax f x x +=+在区间(]1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(),2-∞ B ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,2-D ．()2,+∞变式题5巩固13．若函数()a a f x log x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（0，2a ],则=a （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4变式题6提升14．已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()()0,11,2原题815．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[1,0][1,)-⋃+∞ D ．[1,0][1,3]-⋃变式题1基础16．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数且(2)0f =，则使()0xf x <的x 的取值范围（ ）． A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)(0,2)-∞-⋃ D ．(2,2)-变式题2基础17．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(3)0f =，则使得()0f x >的x 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞ B ．(2,2)- C ．()3,3- D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞变式题3巩固18．已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（ ）． A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞变式题4巩固19．已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，则关于x 的不等式()()2320f x f x -+<的解集为（ ）A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．[]1,3-变式题5巩固20．设函数()f x 在定义域R 上满足()()0f x f x -+=，若()f x 在()0,∞+上是减函数，且()20f -=，则满足()()10x f x ->的x 的取值范围为A ．()(),11,2-∞B ．()()2,01,2-C ．()()212-+∞,,D ．()(),21,-∞-⋃+∞变式题6提升21．定义在R 上的函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)(3)f x f ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞C ．(0,1)D ．(,0)-∞原题922．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 变式题1基础23．如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图,如10月份销售任务是400台,完成率为90%,下列叙述正确的是A ．2018年3月的销售任务是400台B ．2018年月销售任务的平均值不超过600台C ．2018年总销售量为4870台D ．2018年月销售量最大的是6月份 变式题2基础24．如图所示的折线图为某小区小型超市今年1月份到5月份的营业额和支出数据（利润=营业额－支出），根据折线图，下列说法正确的是（）A．该超市这五个月中的营业额一直在增长；B．该超市这五个月的利润一直在增长；C．该超市这五个月中五月份的利润最高；D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关．变式题3巩固25．某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如下，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．上半年的月销售量逐月增加B．与前一个月相比，销售量增加最多的是11月C．全年的平均月销售量为2.9百万台D．四个季度中，第三个季度的月销售量波动最小变式题4巩固26．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B．该企业2019年第一季度的利润约是50万元C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D．该企业2019年11月份的月利润最大变式题5巩固27．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）A．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B．支出最高值与支出最低值的比是5:1C．第三季度平均收入为5000元D．利润最高的月份是3月份和10月份变式题6提升28．某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（）A．全国高考报名人数逐年增加B．2018年全国高考录取率最高C．2019年高考录取人数约820万D．2019年山东高考报名人数在全国的占比最小原题1029．已知曲线22+=.（）C mx ny:1A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 变式题1基础30．|3-4-6|5x y =表示的曲线不可能为（ ） A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．圆变式题2基础31．方程22(1)(1)()mx m y m m m R ++=+∈表示的曲线可能是（ ） A ．椭圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线变式题3巩固32．已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（ ） A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 是离心率为2的椭圆 C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 20y ±=的双曲线 变式题4巩固33．已知方程2241,mx y +=，下面说法正确的是（ ） A ．若m >0，该方程表示椭圆 B ．若m <0，该方程表示双曲线C m =2D 则m =-4 变式题5巩固34．已知曲线C 的方程为221()26x y k k k+=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当26k <<，曲线C 为椭圆B ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =C ．“6k >或2k <”是“曲线C 为双曲线”的充要条件D ．不存在实数k 使得曲线C 2 变式题6提升35．已知曲线C 的方程为2221()26x y k R k k-=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k 时，曲线C 为椭圆，其焦距为15B ．当2k =时，曲线C 3C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =-时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切。
2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷及解析
2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷一、选择题1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}2. 2−i1+2i=( )A.1B.−1C.iD.−i3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A 且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%6. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT，有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→⋅AB→的取值范围是( )A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6)8. 若定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是()A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3]二、多选题9. 已知曲线C：mx2+ny2=1.( )A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnxD.若m=0，n>0，则C是两条直线10. 如图是函数y=sin(ωx+φ)，则sin(ωx+φ)=( )A.sin(x+π3) B.sin(π3−2x) C.cos(2x+π6) D.cos(5π6−2x)11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )A.a2+b2≥12B.2a−b>12C.log2a+log2b≥−2D.√a+√b≤212. 信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1，2，⋯，n，且P(X=i)=p i> 0(i=1,2,⋯,n)，∑p ini=1=1，定义X的信息熵H(X)=−∑p ini=1log2p i，则( )A.若n=1，则H(X)=0B.若n=2，则H(X)随着p i的增大而增大C.若p i =1n (i =1,2,…,n )，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2,⋯,m)，则H (X )≤H (Y ) 三、填空题13. 斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|=________.14. 将数列{2n −1}与{3n −2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.15. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形， BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC=35， BH//DG ，EF =12cm ，DE =2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1，则图中阴影部分的面积为________cm 2.16. 已知直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60∘，以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________. 四、解答题17. 在①ac =√3，②c sin A =3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6， ________？18. 已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3=8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0,m](m ∈N ∗)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100 .19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度(单位：μg/m 3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，20. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21. 已知函数f (x )=ae x−1−ln x +ln a .(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.22. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2,1).(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足. 证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.参考答案与试题解析2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】根据集合并集的运算法则求解.【解答】解：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B={x|1≤x<4}.故选C.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】根据复数的除法运算法则求解.【解答】解：2−i1+2i =(2−i)(1−2i) (1+2i)(1−2i)=2−4i−i−21+4=−5i5=−i.故选D.3.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先让甲场馆选1人，再让乙场馆选2，剩下的去丙场馆即可得解. 【解答】解：由题意可得，不同的安排方法共有C61⋅C52=60（种）.故选C.4.【答案】B【考点】直线与平面所成的角空间点、线、面的位置【解析】根据纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角. 【解答】解：如图所示，AB为日晷晷针，∠AOC=40∘，由题意知，∠AOC+∠OAB=90∘，∠DAB+∠OAB=90∘，∴ ∠DAB=∠AOC=40∘，即晷针与点A处的水平面所成角为40∘.故选B.5.【答案】C【考点】概率的应用互斥事件的概率加法公式【解析】利用互斥事件的概率公式代入求解.【解答】解：设''该中学学生喜欢足球''为事件A，''该中学学生喜欢游泳''为事件B，则''该中学学生喜欢足球或游泳''为事件A∪B，''该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳''为事件A∩B. 由题意知，P(A)=60%，P(B)=82%，P(A∪B)=96%，所以P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=60%+82%−96%=46%.故选C.6.【答案】B【考点】函数模型的选择与应用指数式与对数式的互化【解析】先根据所给模型求得r，然后求得初始病例数I，最后求得感染病例数增加1倍所需的时间.【解答】解：3.28=1+r ⋅6得r =0.38，I(t)=e 0.38t ， e 0.38(t+x)=2⋅e 0.38t 得x =ln 20.38≈1.8. 故选B . 7. 【答案】 A【考点】平面向量数量积求线性目标函数的最值 【解析】先画出图形，并用坐标表示AP →⋅AB →，然后向量问题转化为求线性目标函数的最值，最终得AP →⋅AB →的取值范围.【解答】 解：如图：设A(−1,√3)，P (x,y )，B (−2,0)， AP →=(x +1,y −√3)，AB →=(−1,−√3)， 则AP →⋅AB →=−x −√3y +2.令z =−x −√3y +2，该问题可转化为求该目标函数在可行域中的最值问题，由图可知，z =−x −√3y +2经过点C 时，z 取得最大值；经过点F 时，z 取得最小值， 故最优解为C(−1,−√3)和F(1,√3)， 代入得z max =6或z min =−2， 故AP →⋅AB →的取值范围是(−2,6). 故选A . 8.【答案】 D【考点】函数单调性的性质 函数奇偶性的性质 【解析】先根据函数的奇偶性确定函数的大致图像，然后判断函数的单调性，最后利用分类讨论思想讨论不等式成立时x 的取值范围. 【解答】解：根据题意，函数图象大致如图：①当x =0时，xf(x −1)=0成立； ②当x >0时，要使xf(x −1)≥0， 即f(x −1)≥0，可得0≤x −1≤2或x −1≤−2， 解得1≤x ≤3；③当x <0时，要使xf(x −1)≥0， 即f(x −1)≤0，可得x −1≥2或−2≤x −1≤0， 解得−1≤x <0.综上，x 的取值范围为[−1,0]∪[1,3]. 故选D .二、多选题 9.【答案】 A,C,D 【考点】双曲线的渐近线 椭圆的标准方程 圆的标准方程 直线的一般式方程【解析】根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可. 【解答】解：A ，mx 2+ny 2=1，即x 21m+y 21n=1.∵ m >n >0， ∴ 1m <1n ，∴ 此时C 是椭圆，且其焦点在y 轴上， A 选项正确；B ，m =n >0时，x 2+y 2=1n ， ∴ r =√n n，B选项错误；C，mn<0时，可推断出C是双曲线，且其渐近线方程为y=±√−1n1mx=±√−mnx，C选项正确；D，m=0时，C：ny2=1，∴ y=±√1n代表两条直线，D选项正确.故选ACD.10.【答案】B,C【考点】诱导公式由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】先用图像上两零点间的距离求出函数的周期，从而求得ω，而后利用五点对应法求得φ，进而求得图像的解析式.【解答】解：由函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，可知，T2=2π3−π6=π2，∴ T=π，∴ ω=2ππ=2，∴ y=sin(2x+φ).将点(π6,0)代入得，0=sin(π3+φ)，∴π3+φ=(k+1)π(k∈Z).A，当x=π6时，sin(x+π3)=sinπ2=1，不符合题意，故A选项错误；B，当k=0时，φ=2π3，y=sin(2x+2π3 )=sin(2x−π3+π3+2π3)=sin(2x−π3+π)=−sin(2x−π3)=sin(π3−2x)，故B选项正确；C，sin(2x+2π3)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)，故C选项正确；D，cos(5π6−2x)=cos(2x−5π6)=cos(2x−π2−π3)=sin(2x−π3)=−sin(2x+2π3)，故D选项错误.故选BC.11.【答案】A,B,D【考点】不等式性质的应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】选项A左边是代数式形式，右边是数字形式，且已知a+b=1，故可考虑通过基本不等式和重要不等式建立a2+b2与a+b的关系；选项B先利用指数函数的增减性将原不等式简化为二元一次不等式，然后利用不等式的性质及已知条件判断；选项C需要利用对数的运算和对数函数的增减性将不等式转化为关于a, b的关系式，然后利用基本不等式建立与已知条件a+b的关系；选项D基本不等式的变形应用.【解答】解：A，∵ a+b=1，则a2+b2+2ab=1，2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时取等号，∴ 1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)，可得a2+b2≥12，故A正确；B，∵ a−b=a−(1−a)=2a−1>−1，∴2a−b>2−1=12，故B正确；C，∵ ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b时取等号，∴ log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 214=−2，故C 错误；D ，∵ a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b 时取等号， ∴ (√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤2， 即√a +√b ≤√2，则√a +√b ≤2，故D 正确. 故选ABD . 12.【答案】 A,C【考点】 概率的应用概率与函数的综合 利用导数研究函数的单调性【解析】选项A 根据题目给出信息熵的定义可直接判断；选项B 根据题意先得到p 1，p 2的关系，然后构造关于p 1的函数，最后利用导数判断新函数的增减性； 选项C 根据题目给定信息化简H(x)后可判断；选项D 分别求出H(x)，H(y)，利用作差法结合对数的运算即可判断. 【解答】解：A ，若n =1，则p 1=1，H (X )=−1×log 21=0，故A 正确；B ，若n =2，则p 1+p 2=1，则H (X )=−[p 1log 2p 1+(1−p 1)log 2(1−p 1)]. 设f (p )=−[p log 2p +(1−p )log 2(1−p )]，则f ′(p )=−[log 2p +p ⋅1p ln 2−log 2(1−p )+(1−p )−1(1−p )ln 2] =−log 2p1−p =log 21−p p，当0<p <12时，f ′(p )>0； 当12<p <1时，f ′(p )<0，∴ f (p )在(0,12)上单调递增，在(12,1)上单调递减， 当p 1=12时，H(X)取最大值，故B 错误； C ，若p i =1n (i =1,2，⋯，n )，则H (X )=−∑p i n i=1log 2p i =−n ⋅1n log 21n =log 2n ，所以H(x)随着n 的增大而增大，故C 正确；D ，若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ， 由P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2，⋯，m ）知：P (Y =1)=p 1+p 2m ； P (Y =2)=p 2+p 2m−1 ； P (Y =3)=p 3+p 2m−2 ； ⋯⋯P (Y =m )=p m +p m+1 ;H (Y )=−[(p 1+p 2m )log 2(p 1+p 2m )+(p 2+p 2m−1)log 2(p 2+p 2m−1)+⋯+(p m +p m+1)log 2(p m +p m+1)]， H (X )=−[p 1log 2p 1+p 2log 2p 2+⋯+p 2m log 2p 2m ]=−[(p 1log 2p 1+p 2m log 2p 2m )+(p 2log 2p 2+p 2m−1log 2p 2m−1)+⋯ +(p m log 2p m +p m+1log 2p m+1)]，∵ (p 1+p 2m )log 2(p 1+p 2m )−p 1log 2p 1−p 2m log 2p 2m >0， ⋯⋯(p m +p m+1)log 2(p m +p m+1)−p m log 2p m −p m+1log 2p m+1>0， 所以H (X )>H (Y )，故D 错误． 故选AC . 三、填空题 13.【答案】163【考点】 抛物线的性质 【解析】先根据题目给定信息求出直线方程，联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理和抛物线的性质转化求出弦长|AB|. 【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 抛物线的焦点为(1,0)，则直线方程为y =√3(x −1)，代入抛物线方程得3x 2−10x +3=0， ∴ x 1+x 2=103，根据抛物线方程的定义可知|AB|=x 1+1+x 2+1=163.故答案为：163. 14.【答案】 3n 2−2n 【考点】等差数列的前n 项和 等差关系的确定【解析】先判断出{2n −1}与{3n −2}公共项所组成的新数列{a n }的公差、首项，再利用等差数列的前n 项和的公式得出结论.【解答】解：数列{2n −1}各项为：1，3，5，7，9，⋯ 数列{3n −2}各项为：1，4，7，10，13，⋯观察可知，{a n }是首项为1，公差为6的等差数列， 所以数列{a n }的前n 项和为3n 2−2n . 故答案为：3n 2−2n . 15. 【答案】5π2+4 【考点】同角三角函数基本关系的运用 扇形面积公式【解析】先利用解三角形和直线的位置关系求出圆的半径，然后求出阴影部分的面积，运用了数形结合的方法. 【解答】解：由已知得A 到DG 的距离与A 到FG 的距离相等，均为5. 作AM ⊥GF 延长线于M ，AN ⊥DG 于N ，则∠NGA =45∘. ∵ BH//DG ， ∴ ∠BHA =45∘. ∵ ∠OAH =90∘， ∴ ∠AOH =45∘.设O 到DG 的距离为3t ，由tan ∠ODC =35，可知O 到DE 的距离为5t ， ∴ {OA ⋅cos 45∘+5t =7,OA ⋅sin 45∘+3t =5,解得{t =1,OA =2√2.半圆之外阴影部分面积为：S 1=2√2×2√2×12−45×π×(2√2)2360=4−π，阴影部分面积为：S =12[π⋅(2√2)2−π⋅12]+S 1=5π2+4.故答案为：5π2+4. 16. 【答案】 √2π2【考点】 弧长公式空间直角坐标系 圆的标准方程 两点间的距离公式【解析】根据题意画出直观图，建立合适的坐标系，求出交线上的点的轨迹方程，进而确定点的轨迹在平面BCC 1B 1上是以√2为半径的90∘的弧，最后根据弧长公式求解. 【解答】解：以C 1为原点，C 1B 1→，C 1C →所在直线分别为x 轴、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系O −xyz ，y 轴是平面A 1B 1C 1D 1内与C 1B 1互相垂直的直线， 即D 1(1,−√3,0)，设交线上的点的坐标是(x,0,z )，根据题意可得(x −1)2+3+z 2=5， 化简得(x −1)2+z 2=2，所以球面与侧面BCC 1B 1的交线平面如图2所示，即交线长l =14⋅2√2π=√2π2. 故答案为：√2π2.四、解答题17.【答案】解：选①：∵sin A=√3sin B，C=π6，ac=√3，∴sin(56π−B)=√3sin B，∴12cos B+√32sin B=√3sin B，∴sin(π6−B)=0，∴B=π6.∵C=π6，∴b=c.由正弦定理可得：a=√3b，又ab=√3，解得a=√3，b=1，∴c=1，故存在△ABC满足条件；选②：sin A=√3sin B，C=π6，c sin A=3. ∵c sin A=3，∴a sin C=3，∴a=6.由正弦定理可得：a=√3b，∴b=2√3，∴c2=a2+b2−2ab cos C=36+12−24√3×√32=12，∴c=2√3，∴B=π6，A=23π，故存在△ABC满足条件；选③：c=√3b，sin A=√3sin B，C=π6，∴sin(56π−B)=√3sin B，∴12cos B+√32sin B=√3sin B，∴sin(π6−B)=0，∴B=π6.∵C=π6，∴b=c.又c=√3b，矛盾.故不存在△ABC满足条件．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】条件①先根据题意，结合正弦定理用一边去表示另外两条边，然后用余弦定理求出三角形的三边的长；条件②先用正弦定理结合已知求出a，b的长，然后用余弦定理求出c的长；条件③先利用正弦定理结合已知用b表示a，c，然后利用余弦定理求得∠C与给定值不同，从而判定三角形不存在.【解答】解：选①：∵sin A=√3sin B，C=π6，ac=√3，∴sin(56π−B)=√3sin B，∴12cos B+√32sin B=√3sin B，∴sin(π6−B)=0，∴B=π6.∵C=π6，∴b=c.由正弦定理可得：a=√3b，又ab=√3，解得a=√3，b=1，∴c=1，故存在△ABC满足条件；选②：sin A=√3sin B，C=π6，c sin A=3.∵c sin A=3，∴a sin C=3，∴a=6.由正弦定理可得：a=√3b，∴b=2√3，∴c2=a2+b2−2ab cos C=36+12−24√3×√32=12，∴c=2√3，∴B=π6，A=23π，故存在△ABC满足条件；选③：c=√3b，sin A=√3sin B，C=π6，∴sin(56π−B)=√3sin B，∴12cos B+√32sin B=√3sin B，∴sin(π6−B)=0，∴B=π6.∵C=π6，∴b=c.又c=√3b，矛盾.故不存在△ABC满足条件．18.【答案】解：(1)由题意可知{a n}为等比数列，a2+a4=20，a3=8，可得a3q+a3q=20，得2q2−5q+2=0，∴ (2q−1)(q−2)=0 .∵ q>1，∴ q=2，∵a1q2=a3，可得a1=2，∴{a n}的通项公式为：a n=2×2n−1=2n.(2)∵b m为{a n}在(0,m](m∈N∗)中的项的个数，当m=2k时，b m=k，当m∈[2k−1,2k)时，b m=k−1，其中k∈N+.可知S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b8+b9+⋯+b15)+(b16+b17+⋯+b31)+(b32+b33+⋯+b63)+(b64+b65+⋯+b100)=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480.【考点】数列的求和等比数列的通项公式【解析】(1)先根据已知列式求出公比，求出首项，最后求得等比数列的通项公式；(2)由题意求得0在数列{b m}中有1项，1在数列{b m}中有2项，2在数列{b m}中有4项，⋯，可知b63=5，b64= b65=⋯=b100=6．则数列{b m}的前100项和S100可求．【解答】解：(1)由题意可知{a n}为等比数列，a2+a4=20，a3=8，可得a3q+a3q=20，得2q2−5q+2=0，∴ (2q−1)(q−2)=0 .∵ q>1，∴ q=2，∵a1q2=a3，可得a1=2，∴{a n}的通项公式为：a n=2×2n−1=2n. (2)∵b m为{a n}在(0,m](m∈N∗)中的项的个数，当m=2k时，b m=k，当m∈[2k−1,2k)时，b m=k−1，其中k∈N+.可知S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b8+b9+⋯+b15)+(b16+b17+⋯+b31)+(b32+b33+⋯+b63)+(b64+b65+⋯+b100)=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480.19.【答案】解：(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为：32+18+6+8=64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100=0.64.(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：(3)根据(2)的列联表得K2=100×(64×10−16×10)280×20×74×26≈7.484，由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 【考点】独立性检验概率的意义【解析】(1)根据题目已知信息利用频率估计概率；(2)根据题目给定信息画出2×2列联表；(3)根据列联表计算K的观测值K2，得出统计结论.【解答】解：(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为：32+18+6+8=64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率的估计值为64100=0.64.(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：(3)根据(2)的列联表得 K 2=100×(64×10−16×10)280×20×74×26≈7.484，由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关. 20.【答案】(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形， 故BC ⊥CD .因为PD ⊥底面ABCD ，故PD ⊥BC .又由于PD ∩DC =D ，因此BC ⊥平面PDC .因为在正方形ABCD 中BC//AD ，且AD ⊂平面PAD ， BC ⊄平面PAD ， 故BC//平面PAD .又BC ⊂平面PBC ，且平面PAD 与平面PBC 的交线为l ， 故BC//l .因此l ⊥平面PDC .(2)解：由已知条件，四棱锥P −ABCD 底面为正方形，PD ⊥底面ABCD . 以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ，如图所示.因为PD =AD =1，Q 在直线l 上， 设Q (a,0,1)，其中a ∈R .由题意得，D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)， 则PB →=(1,1,−1)，DC →=(0,1,0)，DQ →=(a,0,1). 设平面QCD 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅DC →=0，n →⋅DQ =0,得{y =0,ax +z =0,令z =−a ，则平面QCD 的一个法向量为n →=(1,0,−a ). 设PB 与平面QCD 成角为θ， 则sin θ=|cos <n →,PB →>| =|1+a|√3×√1+a 2=1√3×√(1+a)21+a 2 =√33×√1+2a 1+a 2.①若a =0，则sin θ=√33， ②若a ≠0，则sin θ=√33×√1+21a+a.当a >0时，∵ 1a +a ≥2×√1a ⋅a =2，当且仅当1a =a ，即a =1时，$`` = "$成立，∴ sin θ≤√33×√1+22=√63. 当a <0时，sin θ<√33， ∴ 当a =1时，sin θ=√63为最大值． 综上所述，PB 与平面QCD 成角的正弦值的最大值为√63. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 基本不等式在最值问题中的应用直线与平面垂直的判定【解析】(1)先求l 的平行线BC 与面PCD 垂直，再利用线面垂直的判定即可得证；(2)选取合适的点建立空间直角坐标系，然后运用向量法结合基本不等式即可求得线面夹角的最大值. 【解答】(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形， 故BC ⊥CD .因为PD ⊥底面ABCD ，故PD ⊥BC .又由于PD ∩DC =D ，因此BC ⊥平面PDC .因为在正方形ABCD 中BC//AD ，且AD ⊂平面PAD ， BC ⊄平面PAD ， 故BC//平面PAD .又BC ⊂平面PBC ，且平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，故BC//l .因此l ⊥平面PDC .(2)解：由已知条件，四棱锥P −ABCD 底面为正方形，PD ⊥底面ABCD . 以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ，如图所示.因为PD =AD =1，Q 在直线l 上， 设Q (a,0,1)，其中a ∈R .由题意得，D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)， 则PB →=(1,1,−1)，DC →=(0,1,0)，DQ →=(a,0,1). 设平面QCD 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅DC →=0，n →⋅DQ =0,得{y =0,ax +z =0,令z =−a ，则平面QCD 的一个法向量为n →=(1,0,−a ). 设PB 与平面QCD 成角为θ， 则sin θ=|cos <n →,PB →>| =|1+a|√3×√1+a 2=√3×√(1+a)21+a 2=√33×√1+2a 1+a 2.①若a =0，则sin θ=√33， ②若a ≠0，则sin θ=√33×√1+21a+a.当a >0时，∵ 1a +a ≥2×√1a ⋅a =2，当且仅当1a =a ，即a =1时，$`` = "$成立， ∴ sin θ≤√33×√1+22=√63. 当a <0时，sin θ<√33， ∴ 当a =1时，sin θ=√63为最大值． 综上所述，PB 与平面QCD 成角的正弦值的最大值为√63. 21.【答案】解：(1)当a =e 时， f (x )=e x −ln x +1，f ′(x )=e x −1x ，∴ f ′(1)=e −1，f (1)=e +1， ∴ y −(e +1)=(e −1)(x −1)， 即y =(e −1)x +2，∴ 该切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21−e，∴ S =12×2×|21−e |=2e−1.(2)①当0<a <1时，f (1)=a +ln a <1； ②当a =1时，f(x)=e x−1−ln x ， f ′(x)=e x−1−1x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )>0，所以当x =1时，f (x )取得最小值， 最小值为f (1)=1，从而f (x )≥1； ③当a >1时，f (x )=ae x−1−ln x +ln a >e x−1−ln x ≥1. 综上，a 的取值范围是[1,+∞). 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；(2)不等式等价于e x−1+ln a +ln a +x −1≥ln x +x =e ln x +ln x ，令g(t)=e t +t ，根据函数单调性可得ln a >ln x −x +1，再构造函数ℎ(x)=ln x −x +1，利用导数求出函数的最值，即可求出a 的范围.【解答】解：(1)当a =e 时， f (x )=e x −ln x +1， f ′(x )=e x −1x ，∴ f ′(1)=e −1，f (1)=e +1， ∴ y −(e +1)=(e −1)(x −1)， 即y =(e −1)x +2，∴ 该切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21−e，∴ S =12×2×|21−e |=2e−1.(2)①当0<a <1时，f (1)=a +ln a <1； ②当a =1时，f(x)=e x−1−ln x ， f ′(x)=e x−1−1x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )>0，所以当x =1时，f (x )取得最小值， 最小值为f (1)=1，从而f (x )≥1； ③当a >1时，f (x )=ae x−1−ln x +ln a >e x−1−ln x ≥1. 综上，a 的取值范围是[1,+∞). 22. 【答案】(1)解：由题设得4a 2+1b 2=1，a 2−b 2a 2=12，解得a 2=6，b 2=3. 所以C 的方程为x 26+y 23=1.(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y =kx +m ， 代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0.于是x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2. ①由AM ⊥AN 知AM →⋅AN →=0，故(x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=0，可得(k 2+1)x 1x 2+(km −k −2)(x 1+x 2)+(m −1)2+4=0，将①代入上式可得(k 2+1)2m 2−61+2k 2−(km −k −2)4km1+2k 2+(m −1)2+4=0， 整理得(2k +3m +1)(2k +m −1)=0. 因为A(2,1)不在直线MN 上， 所以2k +m −1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k(x −23)−13(k ≠1)， 所以直线MN 过点P(23,−13).若直线MN 与x 轴垂直，可得N(x 1,−y 1).由AM →⋅AN →=0得(x 1−2)(x 1−2)+(y 1−1)(−y 1−1)=0. 又x 126+y 123=1，可得3x 12−8x 1+4=0，解得x 1=2(舍去)，x 1=23， 此时直线MN 过点P(23,−13). 令Q 为AP 的中点，即Q(43,13).若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故|DQ|=12|AP|=2√23. 若D 与P 重合，则|DQ|=12|AP|. 综上，存在点Q(43,13)，使得|DQ|为定值. 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的标准方程 【解析】(1)根据椭圆方程的离心率、a ，b ，c 的关系及椭圆上一点列出关系式，解得a 2，b 2即可得椭圆方程；(2)①当直线斜率存在时，设直线方程并与椭圆方程联立，写出韦达定理，结合AM →⋅AN →=0可得 m =1−2k 或m =−2k +13，由点A 不在直线MN 上可判断m ≠1−2k ，进而根据m =−2k+13可求解直线MN 的方程，从而判断直线MN 过定点P ；②若直线MN 与x 轴垂直，结合和椭圆方程，求得点M 的横坐标x 1 ，由此可知直线MN 过点P ；由上述分类讨论可知|AP|为定值，根据直角三角形中线的性质确定定点Q ，最后分两小类讨论D 与P 重合或者不重合最终确定|DQ|为定值. 【解答】(1)解：由题设得4a 2+1b 2=1，a 2−b 2a 2=12，解得a 2=6，b 2=3. 所以C 的方程为x 26+y 23=1.(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y =kx +m ， 代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0.于是x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2. ①由AM ⊥AN 知AM →⋅AN →=0，故(x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=0，可得(k 2+1)x 1x 2+(km −k −2)(x 1+x 2)+(m −1)2+4=0，将①代入上式可得(k 2+1)2m 2−61+2k 2−(km −k −2)4km1+2k 2+(m −1)2+4=0， 整理得(2k +3m +1)(2k +m −1)=0. 因为A(2,1)不在直线MN 上， 所以2k +m −1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k(x −23)−13(k ≠1)，所以直线MN 过点P(23,−13).若直线MN 与x 轴垂直，可得N(x 1,−y 1).由AM →⋅AN →=0得(x 1−2)(x 1−2)+(y 1−1)(−y 1−1)=0. 又x 126+y 123=1，可得3x 12−8x 1+4=0，解得x 1=2(舍去)，x 1=23，此时直线MN 过点P(23,−13). 令Q 为AP 的中点，即Q(43,13).若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ|=12|AP|=2√23. 若D 与P 重合，则|DQ|=12|AP|. 综上，存在点Q(43,13)，使得|DQ|为定值.。
2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)含答案
2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：阶段强化练(五) Word版含解析
阶段强化练(五)一、选择题1．(2019·淄博期中)下列说法正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a >b >0，则a ＋1b >b ＋1aD ．若a ，b ∈R ，则a ＋b 2≥ab 答案 C解析 对于A ，a ＝8，b ＝2，c ＝7，d ＝－1，此时a －c ＝1，b －d ＝3，显然不成立； 对于B ，当c ＜0时，a ＜b ，显然不成立；对于C ，∵a ＞b ＞0，∴a ＋1b －b －1a ＝(a －b )＋a －b ab＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab ＞0，∴a ＋1b ＞b ＋1a，显然成立； 对于D ，当a ＝b ＝－1时，显然不成立，故选C.2．(2019·内蒙古包头四中期中)不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 等于( )A ．14B ．－14C ．－10D ．10答案 B解析 由题意可得，不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13， 所以方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12或13， 所以－b a ＝－16，2a ＝－16. 所以a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.故选B.3．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24答案 B解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b， 得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6.又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.4．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．5．(2019·重庆朝阳中学期中)关于x 的不等式x 2－(m ＋1)x ＋(m ＋1)≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－3，1]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D ．[－1，3]答案 D解析 ∵关于x 的不等式x 2－(m ＋1)x ＋(m ＋1)≥0对一切x ∈R 恒成立，∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＝(m ＋1)(m －3)≤0，解得－1≤m ≤3，∴实数m 的取值范围为[－1，3]．故选D.6．(2019·湖北重点高中联考)设a >0，b >0，若a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．2 D.14答案 A解析 由题意1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号．故选A.7．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在1和17之间插入n －2个数，使这n 个数成等差数列，若这n －2个数中第一个为a ，第n －2个为b ，当1a ＋25b取最小值时，n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 D解析 由已知得a ＋b ＝18，则1a ＋25b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋25b ×a ＋b 18＝118⎝⎛⎭⎫1＋25＋b a ＋25a b ≥118(26＋10)＝2，所以当且仅当b ＝5a 时取等号，此时a ＝3，b ＝15，可得n ＝9.故选D.8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立， 所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对任意x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15. 9．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2答案 A解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 10．若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去． ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－35，1. 11．(2019·湖南五市十校联考)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( ) A ．3 B.94C ．1D ．0 答案 C解析 由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c， 当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14， 又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝⎛⎭⎫2－1b ， 最大值为1.12．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)已知直线x ＝t 分别与函数f (x )＝log 2(x ＋1)和g (x )＝2log 2(x ＋2)的图象交于P ，Q 两点，则P ，Q 两点间的最小距离为( )A ．4B ．1 C. 2 D ．2答案 D解析 根据题意得，P ，Q 两点间的距离即两点的纵坐标差值的绝对值，|PQ |＝2log 2(t ＋2)－log 2(t ＋1)＝log 2(t ＋2)2t ＋1，设t ＋1＝u ，t ＝u －1>－1，即u >0，原式＝log 2(u ＋1)2u＝log 2⎝⎛⎭⎫u ＋1u ＋2， 根据基本不等式得到u ＋1u＋2≥4， 故log 2⎝⎛⎭⎫u ＋1u ＋2≥2. 当且仅当u ＝1，t ＝0时取得最值．故选D.二、填空题13．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________．答案 (0，1]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0<m ≤1.14．(2019·凉山诊断)函数y ＝2x 2＋1x(x >0)的值域是____________． 答案 [22，＋∞)解析 依题意知y ＝2x ＋1x ≥22x ·1x＝22， 当且仅当2x ＝1x ，x ＝22时等号成立， 故函数的值域为[22，＋∞)．15．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，0]解析 因为不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，所以4x －2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知，当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．16．(2019·成都诊断)已知直线l ：y ＝kx 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，点M (0，b )，且MA ⊥MB ，若b ∈⎝⎛⎭⎫1，32，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1，6－23)∪(6＋23，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k ＋2)x ＋1＝0，①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝11＋k 2， ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，(x 1，y 1－b )·(x 2，y 2－b )＝0，即x 1·x 2＋(y 1－b )(y 2－b )＝0，∵y 1＝kx 1，y 2＝kx 2，∴(1＋k 2)x 1·x 2－kb (x 1＋x 2)＋b 2＝0，∴(1＋k 2)·11＋k 2－kb ·2(1＋k )1＋k 2＋b 2＝0， 即2k (1＋k )1＋k 2＝2＋2k －21＋k 2＝b 2＋1b ＝b ＋1b ， ∵b ∈⎝⎛⎭⎫1，32， 设f (b )＝b ＋1b，在区间⎝⎛⎭⎫1，32上单调递增， 求得f (b )∈⎝⎛⎭⎫2，136，可得2k －2k 2＋1∈⎝⎛⎭⎫0，16， 解得1＜k ＜6－23或k ＞6＋23.∴k 的取值范围为(1，6－23)∪(6＋23，＋∞)．三、解答题17．(2019·浏阳六校联考)已知定义域为R 的单调函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 3－2x . (1)求f (x )的解析式；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x 3－2－x ， 又函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x 3＋2－x .又f (0)＝0. 综上所述，f (x )＝⎩⎨⎧x 3－2x ，x >0，0，x ＝0，x 3＋2－x ，x <0.(2)∵f (x )为R 上的单调函数，且f (－1)＝53>f (0)＝0， ∴函数f (x )在R 上单调递减．∵f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0，∴f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )，∵函数f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)．又f (x )在R 上单调递减，∴t 2－2t >k －2t 2对任意t ∈R 恒成立，∴3t 2－2t －k >0对任意t ∈R 恒成立，∴Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. ∴实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13. 18．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办．国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集…首届进博会高点纷呈．一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案．某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场．已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元．设该公司一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为G (x )万美元，G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧240－3x ，0<x ≤20，80＋3 000x ＋1－6 000x (x ＋1)，x >20. (1)写出年利润S (万美元)关于年产量x (万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本)(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．解 (1)当0<x ≤20时，S ＝xG (x )－(90x ＋30)＝－3x 2＋150x －30；当x >20时，S ＝xG (x )－(90x ＋30)＝－10x ＋3 000(x －2)x ＋1－30. 函数解析式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x 2＋150x －30，0<x ≤20，－10x ＋3 000(x －2)x ＋1－30，x >20.(2)当0<x ≤20时，因为S ＝－3(x －25)2＋1 845，S 在(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，S max ＝S (20)＝1 770.当x >20时，S ＝－10x ＋3 000(x －2)x ＋1－30 ＝－10x －9 000x ＋1＋2 970 ＝－10(x ＋1)－9 000x ＋1＋2 980 ≤－29 000x ＋1·10(x ＋1)＋2 980＝2 380. 当且仅当9 000x ＋1＝10(x ＋1)，即x ＝29时等号成立． 因为2 380>1 770，所以当x ＝29时，S 的最大值为2 380万美元．答 当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2 380万美元．。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第5讲 古典概型 Word版含解析
第5讲古典概型一、选择题1.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.23 B.12 C.13 D.16解析从A，B中任意取一个数，共有C12·C13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P＝26＝1 3.答案 C2.(2017·黄山一模)从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.310 B.15 C.12 D.35解析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C35＝10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P＝3C35＝3 10.答案 A3.(2017·马鞍山一模)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为()A.112 B.19 C.536 D.16解析落在2x－y＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率为P＝36×6＝1 12.答案 A4.(2017·郑州模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( ) A.16B.524C.13D.724解析 选出一个三位数有A 34＝24种情况，取出一个凹数有C 34×2＝8种情况，所以，所求概率为P ＝824＝13. 答案 C5.如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1，2，3；j ＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31a 32 a 33 A.37B.47C.114D.1314解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314. 答案 D 二、填空题6.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 解析 这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56. 答案567.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P＝C24C24C24＝16.答案1 68.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.解析从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，基本事件共有C710＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A，若事件A发生，则6，7，8，9必取，再从0，1，2，3，4，5中任取3个数，有C36种选法.故所求概率P(A)＝C 36 120＝1 6.答案1 6三、解答题9.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件数为C 23＋C 22＝4，所以P (D )＝415.故这2件商品来自相同地区的概率为415.10.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能的结果有33＝27(种). 设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种. 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种. 所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.11.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( ) A.p 1＜p 2＜p 3 B.p 2＜p 1＜p 3 C.p 1＜p 3＜p 2D.p 3＜p 1＜p 2解析 随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p 1＝1036＝518.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p 2＝1318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p 3＝12.故p 1<p 3<p 2. 答案 C12.(2017·西安调研)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.115B.15C.14D.12解析 由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种. 故所求事件的概率P ＝4·A 33C 36A 33＝15.答案 B13.(2017·河南省八市重点高中质检)已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________.解析 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝16(a 2－b 2)>0，又a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，即a >b ，从a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}分别取1个a 和1个b ，有3×3＝9(种)，其中满足a >b 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，所以所求的概率为69＝23. 答案 2314.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率.解(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C2n，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C27.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P＝C2nC27＝17，则n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球.(2)设事件A为“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，P(A)＝C14×C13C17×C16＝4×37×6＝27.(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件A i，i＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×3 7×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.。
2020年新高考数学新题型三角函数典型选择试题答案分析与解答(11页)
2020年新高考数学新题型三角函数典型选择试题新题型三角函数试题多项选择题1．（2019春•中山市校级月考）有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线sin y x =的图象变为sin(2)4y x π=+的图象的是( ) A ．横坐标变为原来的12，再向左平移4π B ．横坐标变为原来的12，再向左平移8π C ．向左平移4π，再将横坐标变为原来的12 D ．向左平移8π，再将横坐标变为原来的12． 【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，逐一变换即可． 【解答】解：A ．sin y x =横坐标变为原来的12，再向左平移4π，得sin[2()]sin(2)42y x x ππ=+=+，故A 不正确；B ．sin y x =横坐标变为原来的12，再向左平移8π，得sin[2()]sin(2)84y x x ππ=+=+，故B 正确； C ．sin y x =向左平移4π，再将横坐标变为原来的12，得sin(2)4y x π=+，故C 正确； D ．sin y x =向左平移8π，再将横坐标变为原来的12，得sin(2)8y x π=+，故D 不正确． 故选：BC ．2．（2019春•市中区校级月考）在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．10b =，45A =︒，70C =︒ B ．45b =，48c =，60B =︒ C ．14a =，16b =，45A =︒D ．7a =，5b =，80A =︒【分析】在ABC ∆中，已知a ，b 和角A 时，A 为锐角，则由正弦定理可得当sin b A a b <<时，三角形有两解，由此逐项判断即可得解．【解答】解：选项B 满足sin60c b c ︒<<，选项C 满足sin45b a b ︒<<，所以B ，C 有两解， 对于选项A ，可求18065B A C =︒--=︒，三角形有一解， 对于选项D ，由sin sin b AB a=g ，且b a <，可得B 为锐角，只有一解，三角形只有一解．3．（2019春•辽宁期中）已知函数1()sin()23f x x π=-，那么下列式子恒成立的是( )A ．(2)(2)f x f x ππ+=-B ．10()()3f x f x π-=C ．5()()6f x f x π-= D ．5()()3f x f x π-=- 【分析】根据三角函数的解析式，逐一判断各个等式是否成立，从而得出结论． 【解答】解：Q 函数1()sin()23f x x π=-，2(2)sin()23x f x ππ∴+=+，42(2)sin()sin()2323x x f x πππ-=-=+，故A 成立．105()sin()sin()sin()33233223x x x f x πππππ∴-=--=--=-，故B 成立．55()sin()sin()()61223122x xf x f x ππππ∴-=--=-≠，故C 不成立． 55()sin()cos ()36232x xf x f x πππ-=--=≠，故D 不成立． 故选：AB ．4．（2019春•薛城区校级月考）已知曲线1:2sin C y x =，2sin()36x y π=+，则下列结论正确的是( )A ．把1C 上所有的点向右平移6π个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到曲线2C B ．把1C 上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移2π个单位长度，得到曲线2C【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：已知曲线1:2sin C y x =，2:2sin()36x C y π=+，故把1C 上所有点向左平移6π个单位长度，可得2sin()6y x π=+的图象， 再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线2C ，2sin()36x y π=+的图象，把1C 上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得12sin 3y x =的图象；再把所得图象上所有的点向左平移2π个单位长度，得到曲线2:2sin()36x C y π=+的图象，故D 正确． 故选：BD ．5．（2018秋•沾化区校级月考）已知α是第三象限角，则2α可能是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【分析】因为α是第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈，3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈，再讨论k 的奇偶可得．【解答】解：因为α是第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α是第二象限角；当k 为奇数时，2α是第四象限角， 故选：BD ．6．已知()2cos()12f x x πω=+，x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值是53π，则ω的值为( ) A ．310-B ．53C ．310 D ．53-【分析】根据题意可得12||x x -的最小值即4T 为53π，进而求出T ，则ω可得． 【解答】解：由题可得543T π=，故254||3ππω=，所以310ω=±． 故选：AC ．7．函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期为π，且其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象( ) A ．关于点(6π-，0)中心对称 B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(3π，0)中心对称 D ．关于直线12x π=对称【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求出()f x 的解析式，再根据三角函数图象的对称性，得出结论．【解答】解：Q 函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期为2ππω=，2ω∴=，且其图象向右平移6π个单位后得到的函数为sin(2)3y x πϕ=-+的图象， 再根据所得函数为奇函数，可得3πϕ=，()sin(2)3f x x π∴=+．当6x π=-时，()0f x =，则()f x 的图象关于点(6π-，0)中心对称，故A 成立；当512x π=时，1()2f x =-，不是最值，故函数()f x 的图象不关于直线512x π=对称，故B 不成立； 当3x π=时，()0f x =，故函数()f x 的图象关于点(3π，0)对称，故C 成立； 当12x π=时，()1f x =，是最大值，故函数()f x 的图象不关于直线12x π=对称，故D 成立，故选：ACD ．8．已知函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则函数()sin(2)(f x x ϕ=+ )A ．在区间[,]63ππ上单调递减B ．在区间[,]63ππ上单调递增C ．在区间[,]36ππ-上单调递减D ．在区间5[6π-，2]3π-上单调递增 【分析】根据条件先求出()f x 解析式为()sin(2)6f x x π=-，进而求出单调区间即可．【解答】解：函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后的解析式为2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=++=++， 由题得2(0)sin()13f πϕ=+=，解得6πϕ=-，所以()sin(2)6f x x π=-， 令222262k x k πππππ-+-+剟，解得[6x k ππ∈-+，]()3k k Z ππ+∈，即为函数()f x 的单调增区间；令3222262k x k πππππ+-+剟，解得[3x k ππ∈+，5]()6k k Z ππ+∈，即为函数()f x 的单调减区间． 所以当0k =时，[6x π∈-，]3π时单调递增，B 符合； 当1k =-时，52[,]63x ππ∈--时单调递增，D 符合； 故选：BD ．9．若4sin5α=，且α为锐角，则下列选项中正确的有()A．4tan3α=B．3cos5α=C．8cos5Sinαα+=D．1cos5Sinαα-=-【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，即可计算得解．【解答】解：4 sin5α=Q，且α为锐角，3cos5α∴==，故B正确，4sin45tan3cos35ααα∴===，故A正确，4378sin cos5555αα∴+=+=≠，故C错误，4311sin cos5555αα∴-=-=≠-，故D错误．故选：AB．10．已知扇形的周长是6cm，面积是22cm，下列选项正确的有()A．圆的半径为2B．圆的半径为1C．圆心角的弧度数是1D．圆心角的弧度数是2【分析】由题意及弧长的面积公式可得226122r rrαα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，进而得解．【解答】解：设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得226122r rrαα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：14rα=⎧⎨=⎩，或21rα=⎧⎨=⎩，可得圆心角的弧度数是4，或1．故选：ABC．11．在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是()A．2222cosa b c bc A=+-B．sin sina Bb A=C．cos cosa b C c B=+D．cos cos sina Bb A C+=【分析】在A中，由余弦定理可得正确；在B中，由正弦定理可得结论，正确；在C中由余弦定理整理得2222a a =，可得正确；在D 中，由余弦定理可得错误，即可得解．【解答】解：由在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，知： 在A 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，故A 正确； 在B 中，由正弦定理得：sin sin a bA B=， sin sin a B b A ∴=，故B 正确；在C 中，cos cos a b C c B =+Q ，∴由余弦定理得：22222222a b c a c b a b c ab ac+-+-=⨯+⨯， 整理，得2222a a =，故C 正确；在D 中，由余弦定理得222222cos cos sin 22a c b b c a a B b A a b c C ac bc+-+-+=⨯+⨯=≠，故D 错误． 故选：ABC ．12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin (34A B Ck k ==为非零实数），则下列结论正确的是( )A ．当5k =时，ABC ∆是直角三角形B ．当3k =时，ABC ∆是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC ∆是钝角三角形D ．当1k =时，ABC ∆是钝角三角形【分析】由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各个选项即可得解． 【解答】解：对于A ，当5k =时，sin sin sin 534A B C==，根据正弦定理不妨设5a m =，3b m =，4c m =，显然ABC ∆是直角三角形； 对于B ，当3k =时，sin sin sin 334A B C==，根据正弦定理不妨设3a m =，3b m =，4c m =， 显然ABC ∆是等腰三角形，2222222991620a b c m m m m +-=+-=>， 说明C ∠为锐角，故ABC ∆是锐角三角形； 对于C ，当2k =时，sin sin sin 234A B C==，根据正弦定理不妨设2a m =，3b m =，4c m =， 可得2222222491630a b c m m m m +-=+-=-<，说明C ∠为钝角，故ABC ∆是钝角三角形； 对于D ，当1k =时，sin sin sin 134A B C==，根据正弦定理不妨设a m =，3b m =，4c m =， 此时a b c +=，不等构成三角形，故命题错误． 故选：ABC ．13．下列命题中，正确的是( ) A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形【分析】A ．在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；B ．在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误； C ．在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin2sin2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；D ．在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误．【解答】解：对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>Q ，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =， sin2sin2A B ∴=，A Q ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-， A B ∴=或2A B π+=，ABC ∴∆是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误．对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确． 故选：ABD ．14．下列四个选项正确的有( ) A ．75-︒角是第四象限角 B ．225︒角是第三象限角 C ．475︒角是第二象限角D ．315-︒是第一象限角【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案． 【解答】解：对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角；对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角； 对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角． 故选：ABCD ．15．下列关于函数tan()3y x π=+的说法正确的是( )A ．在区间5(,)66ππ-上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于(,0)4π成中心对称D ．图象关于直线6x π=成轴对称【分析】利用正切函数的单调性以及周期性对称性判断选项的正误即可． 【解答】解：令232k x k πππππ-<+<+，解得566k x k ππππ-<<+，k Z ∈，显然5(,)66ππ-满足上述关系式，故A 正确；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确； 令32k x ππ+=，解得23k x ππ=-，k Z ∈，任取k 值不能得到4x π=，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数tan()3y x π=+的图象也没有对称轴，故D 错误．故选：AB ．16．将函数()cos(2)3f x x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则下列判断正确的是( ) A ．曲线()y g x =关于直线3x π=对称B ．曲线()y g x =关于点(6π-，0)对称C ．函数()g x 在(0,)3π上单调递增D ．函数()g x 在5(6π，5)3π上单调递减 【分析】利用三角函数的图象变换，结合三角函数的简单性质，判断选项的正误即可．【解答】解：将函数()cos(2)3f x x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==-的图象，令3x π=，求得()1g x =，故曲线()y g x =关于直线3x π=对称，故A 正确；令6x π=-，求得()0g x =，故曲线()y g x =关于点(3π，0)对称，故B 正确； 在(0,)3π上，(33x ππ-∈-，0)，函数()g x 单调递增，故C 正确；在5(6π，5)3π上，(32x ππ-∈，3)2π，函数()g x 没有单调性，故D 错误， 故选：ABC ．17．关于x 的函数()sin()f x x ϕ=+有以下四个选项，错误的有( ): A ．对任意的ϕ，()f x 都是非奇非偶函数 B ．存在ϕ，使()f x 是偶函数 C ．存在ϕ，使()f x 是奇函数 D ．对任意的ϕ，()f x 都不是偶函数． 【分析】利用赋值法判断函数的奇偶性即可．【解答】解：0ϕ=时，()sin f x = x ，是奇函数，A 错误，B 正确；2πϕ=时，()cos f x = x 是偶函数，C 正确，显然D 错误；故选：AD ．18．对于函数()sin f x x x =+，给出下列选项其中不正确的是( ) A ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称B ．存在(0,)3πα∈，使()1f α=C ．存在(0,)3πα∈，使函数()f x α+的图象关于y 轴对称D ．存在(0,)3πα∈，使()(3)f x f x αα+=+恒成立【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的对称性，函数的值域对称轴判断选项的正误即可．【解答】解：函数()sin 2sin()3f x x x x π==+，对于A ：函数()2sin()3f x x π=+，当6x π=时，2sin()263ππ+=，不能得到函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称．A ∴不对．对于:(0,)3B πα∈，可得2(,)333πππα+∈，()f α∈，不存在()1f α=；B ∴不对．对于C ：函数()f x α+的对称轴方程为：32x k x ππαπ++=+，可得6x k ππα=+-，当0k =，6πα=时，可得图象关于y 轴对称．C ∴对．对于:()(3)D f x f x αα+=+说明2α是函数的周期，函数()f x 的周期为2π，故απ=，∴不存在(0,)3πα∈，使()(3)f x f x αα+=+恒成立，D ∴不对． 故选：ABD ．19．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin cos θθ+不能能取得的值是( ) A ．4.3B ．3.4C ．5.3D ．1.2【分析】由题意利用两角和差的三角公式化简sin cos θθ+，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围，从而得出结论．【解答】解：02πθ<<Q ，3(,)444πππθ∴+∈，又sin cos θ+ )4πθθ=+，∴sin()124πθ<+„，1sin ∴< cos θ+ θ„故选：BCD ．20．已知函数2()2sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有( ) A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点(,0)8π-对称D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到． 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【解答】解：2()sin 22sin 11sin f x x x =-+-=Q 2cos x + 21)14x x π-+-．对于A ：因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论正确．对于B ：当5[,]88x ππ∈时，32[,]422x πππ+∈，则sin x 在5[,]88ππ上是减函数，结论正确． 对于C ：因为()18f π-=-，得到函数()f x 图象的一个对称中心为(8π-，1)-，结论不正确．对于D ：函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移8π个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有A ，B ，故选：AB ．。
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用精练：阶段自测卷(四) Word版含解析
姓名，年级：时间：阶段自测卷(四)（时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（2019·衡水中学考试)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100,则a 7的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14答案 C解析 由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋错误!×2＝100，所以a 1＝1。
所以a n ＝2n －1,故a 7＝13.故选C 。
2．（2019·四川诊断）若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3,a 7成等比数列，则a 2a 1等于（ ）A.错误!B.错误! C 。
错误! D ．2答案 A解析 设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d .因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d ）2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以错误!＝错误!＝错误!.故选A 。
3．(2019·四省联考）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10,则S 16等于（ ）A ．－160B ．－80C ．20D ．40答案 B解析 由于数列为等差数列，故错误!解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B 。
4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18,则S 10S 5等于( )A．－3 B．5 C．－31 D．33答案D解析由题意知公比q≠1,S6S3＝错误!＝1＋q3＝9，∴q＝2，S10S5＝错误!＝1＋q5＝1＋25＝33。
5．(2019·湖南五市十校联考）已知数列｛a n｝满足2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2），a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a1＋a6等于( ）A．6 B．7 C．8 D．9答案B解析由数列{a n｝满足2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2）得数列{a n｝为等差数列，所以a2＋a4＋a6＝3a4＝12,即a4＝4，同理a1＋a3＋a5＝3a3＝9,即a3＝3，所以a1＋a6＝a3＋a4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5 000 m长跑比赛,某同学给自己制定了7天的训练计划:第1天跑5 000 m，以后每天比前1天多跑200 m，则这个同学7天一共将跑( ）A．39 200 m B．39 300 m C．39 400 m D．39 500 m答案A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5 000,公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5 000×7＋7×62×200＝39 200 （m)．故选A.7．等差数列{a n｝的前n项和为S n,已知a m－1＋a m＋1－a错误!＝0，S2m－1＝38，则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．9答案C解析因为{a n}是等差数列，所以a m－1＋a m＋1＝2a m，由a m－1＋a m＋1－a错误!＝0,得2a m－a错误!＝0，由S2m－1＝38知a m≠0，所以a m＝2，又S2m－1＝38，即错误!＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.8．(2019·青岛调研）已知各项均不相等的等比数列｛a n｝，若3a2，2a3，a4成等差数列,设S n为数列{a n}的前n项和，则错误!等于（）A.错误!B.错误! C．3 D．1答案A解析设等比数列｛a n｝的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列,∴2×2a3＝3a2＋a4，∴4a2q＝3a2＋a2q2,化为q2－4q＋3＝0，解得q＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q≠1,当q＝3时，错误!＝错误!＝错误!.故选A。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：阶段自测卷(五) Word版含解析
阶段自测卷(五)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2019·贵州遵义航天中学月考)下列说法正确的是( )A ．空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上B ．空间中，三角形、四边形都一定是平面图形C ．空间中，正方体、长方体、四面体都是四棱柱D ．用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台 答案 A解析 空间四边形不是平面图形，故B 错；四面体不是四棱柱，故C 错；平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台，故D 错；根据公理2可知A 正确，故选A.2．(2019·湛江调研)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．α∩β＝n ，m ⊂α，m ∥β ⇒m ∥nB ．α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ⇒n ⊥βC ．m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β ⇒α⊥βD ．m ∥α，n ⊂α⇒m ∥n 答案 A解析 对于A ，根据线面平行的性质定理可得A 选项正确；对于B ，当α⊥β，α∩β＝m 时，若n ⊥m ，n ⊂α，则n ⊥β，但题目中无条件n ⊂α，故B 不一定成立；对于C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β相交或平行，故C 错误；对于D ，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，则D 错误，故选A.3．(2019·重庆万州三中月考)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，且DF →＝αAB →＋βAC →，则( )A ．α＝12，β＝－1B ．α＝－12，β＝1C ．α＝1，β＝－12D ．α＝－1，β＝12答案 A解析 根据向量加法的多边形法则以及已知可得， DF →＝DC →＋CB →＋BF →＝12C 1C →＋CB →＋12BA →1＝12A 1A →＋AB →－AC →＋12BA →＋12AA →1＝12AB →－AC →， ∴α＝12，β＝－1，故选A.4．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝(1， 2， 0)，AD →＝(2， 1， 0)，CC →1＝(0， 1， 5)，则对角线AC 1的边长为( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．5 2 D ．12 答案 C解析 因为AC →1＝AA →1＋A 1B 1→＋B 1C 1→＝CC →1＋AB →＋AD →＝(0， 1， 5)＋(1， 2， 0)＋(2， 1， 0)＝(3， 4， 5)， 所以|AC →1|＝32＋42＋52＝52，故选C.5.(2019·凉山诊断)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，下列结论中，正确的是( )A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ⊥平面BCC 1B 1 C ．EF ∥平面D 1BC D ．EF ∥平面ACC 1A 1 答案 D解析 连接B 1C 交BC 1于F ，由于四边形BCC 1B 1是平行四边形，对角线互相平分，故F 是B 1C 的中点．因为E 是AB 1的中点，所以EF 是△B 1AC 的中位线，故EF ∥AC ，所以EF ∥平面ACC 1A 1.故选D.6．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式d ＝13169V ⎛⎫⎪⎝⎭.若球的半径为r ＝1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为( ) A.43π B.916 C.94 D.92 答案 D解析 根据公式d ＝13169V ⎛⎫⎪⎝⎭得，2＝13169V ⎛⎫⎪⎝⎭，解得V ＝92.故选D. 7．已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 与该正方体的各个面相切，则平面ACB 1截此球所得的截面的面积为( ) A.8π3 B.5π3 C.4π3 D.2π3 答案 D解析 因为球与各面相切，所以直径为2，且AC ，AB 1，CB 1的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为2的正三角形的外接圆，由正弦定理知，R ＝63，所以截面的面积S ＝2π3，故选D. 8．已知向量n ＝(2， 0， 1)为平面α的法向量，点A (－1， 2， 1)在α内，则 P (1， 2，－2)到α的距离为( ) A.55 B. 5 C ．2 5 D.510答案 A解析 ∵P A →＝(－2， 0， 3)，∴点P 到平面α的距离为d ＝|P A ， →·n ||n |＝|－4＋3|5＝55.∴P (1， 2，－2)到α的距离为55. 故选A.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在A 1C 上运动(包括端点)，则BP 与AD 1所成角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π2 C.⎣⎡⎦⎤π6，π2 D.⎣⎡⎦⎤π6，π3 答案 D解析 以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设点P 坐标为()x ，1－x ，x (0≤x ≤1)，则BP →＝()x －1，－x ，x ， BC 1→＝()－1，0，1，设BP →，BC 1→的夹角为α， 所以cos α＝BP ， →·BC 1→||BP →||BC 1→＝1()x －12＋2x 2×2＝13⎝⎛⎭⎫x －132＋23·2，所以当x ＝13时，cosα取得最大值32，α＝π6.当x ＝1时， cos α取得最小值12，α＝π3. 因为BC 1∥AD 1.故选D.10．(2019·淄博期中)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，AB ＝27，CC 1＝25，E ，F 分别为AC ，CC 1的中点，则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A 解析连接AC 1，则EF ∥AC 1，直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角，就是直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角，AC 1与平面AA 1B 1B 所成的角；作C 1D ⊥A 1B 1于D ，连接AD ，因为直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，所以底面是等腰三角形，则C 1D ⊥平面AA 1B 1B ，可知∠C 1AD 就是直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角，CA ＝CB ＝4，AB ＝27，CC 1＝25，可得C 1D ＝42－(7)2＝3，AD ＝(7)2＋(25)2＝33，所以tan ∠C 1AD ＝C 1D AD ＝33，所以∠C 1AD ＝30°.故选A.11．(2019·陕西汉中中学月考)点A ，B ，C ，D ，E 是半径为5的球面上五点，A ，B ，C ，D 四点组成边长为42的正方形，则四棱锥E －ABCD 体积的最大值为( ) A.2563 B ．256 C.643 D ．64 答案 A解析 正方形ABCD 对角线长为(42)2＋(42)2＝8.则球心到正方形中心的距离d ＝52－42＝3.则E 到正方形ABCD 的最大距离为h ＝d ＋5＝8.则V E －ABCD ＝13×42×42×8＝2563.故选A. 12．(2019·四省联考诊断)如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B ＝60°，点E ，F 分别在边BC ，AB 上运动(不含端点)，且EF ∥AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B －ECDAF 的体积最大时，EF 的长为( )A ．1 B.263 C. 3 D. 2答案 B解析 由EF ∥AC 可知△BEF 为等边三角形，设EF ＝x ，等边△BEF 的高为32x ，面积为34x 2，所以五边形ECDAF 的面积为2×34×22－34x 2＝23－34x 2，故五棱锥的体积为13×⎝⎛⎭⎫23－34x 2×32x ＝x －18x 3(0<x <2)．令f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －18x 3′＝1－38x 2＝0，解得x ＝263，且当0<x <263时，f (x )单调递增，当263<x <2时，f (x )单调递减，故在x ＝263时取得极大值也即最大值．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 其中正确的命题序号是________． 答案 ②④解析 对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n ，则n 可能在α内，故③错误，对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β，故④正确．故答案为②④.14．如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为________．答案124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，则三棱锥F －ADE 的高为h2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ，∵V 1＝13S △ADE ·h2，V 2＝S △ABC ·h ，∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 15.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为________．答案2解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为 2.∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°.∵AB ＝AC ，∴AB ＝1， ∴侧面ABB 1A 1的面积为2×1＝ 2.16．(2019·陕西四校联考)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为____________．答案 4 2解析 设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高h ＝a 2＋b 2，设外接球的半径为r ，则43πr 3＝32π3，解得r ＝2，∵上、下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴2h ＝2r ＝4.∴h ＝22，∴a 2＋b 2＝h 2＝8≥2ab ，∴ab ≤4.当且仅当a ＝b ＝2时“＝”成立． ∴三棱柱的体积V ＝Sh ＝12abh ＝2ab ≤4 2.三、解答题(本大题共70分)17.(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， 点E 为侧棱PB 的中点．求证：(1)PD ∥平面ACE ； (2)平面P AC ⊥平面PBD .证明(1) 连接OE.因为O为正方形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点．因为E为PB的中点，所以PD∥OE.又因为OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，所以PD∥平面ACE.(2) 在四棱锥P－ABCD中，因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以BD⊥PC.因为O为正方形ABCD对角线的交点，所以BD⊥AC.又PC，AC⊂平面P AC，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面P AC.因为BD⊂平面PBD，所以平面P AC⊥平面PBD.18．(12分)(2019·广州执信中学测试)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．(1)证明 在△ABD 中，由于AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， 所以AD 2＋BD 2＝AB 2.故AD ⊥BD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面P AD ， 又BD ⊂平面MBD ， 故平面MBD ⊥平面P AD .(2)解 如图，过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ，由于平面P AD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高，又△P AD 是边长为4的等边三角形． 因此PO ＝32×4＝2 3. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为S ＝25＋452×855＝24.故V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3.19．(12分)(2019·化州模拟)如图所示，在四棱锥E －ABCD 中，ED ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2.(1)求证：BC ⊥BE ；(2)当几何体ABCE 的体积等于43时，求四棱锥E －ABCD 的侧面积．(1)证明 连接BD ，取CD 的中点F ，连接BF ，则直角梯形ABCD 中，BF ⊥CD ，BF ＝CF ＝DF ，∴∠CBD ＝90°，即BC ⊥BD . ∵DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥DE ， 又BD ∩DE ＝D ，∴BC ⊥平面BDE . 由BE ⊂平面BDE 得，BC ⊥BE .(2)解 ∵V ABCE ＝V E －ABC ＝13×DE ×S △ABC＝13×DE ×12×AB ×AD ＝23DE ＝43， ∴DE ＝2， ∴EA ＝DE 2＋AD 2＝22，BE ＝DE 2＋BD 2＝23，又AB ＝2，∴BE 2＝AB 2＋AE 2， ∴AB ⊥AE ，∴四棱锥E －ABCD 的侧面积为12×DE ×AD ＋12×AE ×AB ＋12×BC ×BE ＋12×DE ×CD ＝6＋22＋2 6. 20．(12分)(2019·青岛调研)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝π，AD ＝2，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB ，CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．(1)证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；(2)求二面角A －BH －D 的余弦值．(1)证明 因为H 在下底面圆周上，且CD 为下底面半圆的直径，所以DH ⊥CH ，又因为DH ⊥FH ，且CH ∩FH ＝H ，所以DH ⊥平面BCHF .又因为DH ⊂平面ADHF ，所以平面 ADHF ⊥平面BCHF .(2)解 以H 为坐标原点，分别以HD ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设下底面半径为r ，由题意得πr ＝π，所以r ＝1，CD ＝2.因为G ，H 为DC 的三等分点，所以∠HDC ＝30°，所以在Rt △DHC 中，HD ＝3，HC ＝1，所以A (3，0， 2)，B (0， 1， 2)，D (3，0， 0)，设平面ABH 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为n ·HA →＝(x ，y ，z )·(3，0， 2)＝0，n ·HB →＝(x ，y ，z )·(0， 1， 2)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，所以平面ABH 的法向量n ＝(－2，－23，3)．设平面BHD 的法向量m ＝(x ，y ，z )．因为m ·HD →＝(x ，y ，z )·(3，0， 0)＝0，m ·HB →＝(x ，y ，z )·(0， 1， 2)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋2z ＝0， 所以平面BHD 的法向量m ＝(0，－2， 1)，由图形可知，二面角A —BH —D 的平面角为锐角，设为θ，所以二面角A －BH －D 的余弦值为cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝28519. 21．(12分)(2019·成都七中诊断)如图，在多面体ABCDE 中，AC 和BD 交于一点，除EC 以外的其余各棱长均为2.(1)作平面CDE 与平面ABE 的交线l ，并写出作法及理由；(2)求证：平面BDE ⊥平面ACE ；(3)若多面体的体积为2，求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．(1)解 过点E 作AB (或CD )的平行线，即为所求直线l .∵AC 和BD 交于一点，∴A ，B ，C ，D 四点共面．又∵四边形ABCD 边长均相等，∴四边形ABCD 为菱形，从而AB ∥DC .又AB ⊄平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE .∵AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ∩平面CDE ＝l ，∴AB ∥l .(2)证明 取AE 的中点O ，连接OB ，OD .∵AB ＝BE ，DA ＝DE ，∴OB ⊥AE ，OD ⊥AE .又OB ∩OD ＝O ，∴AE ⊥平面OBD ，∵BD ⊂平面OBD ，故AE ⊥BD .又四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD .又AE ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ACE .(3)解 由V E －ABCD ＝2V E －ABD ＝2V D －ABE ＝2，即V D －ABE ＝1.设三棱锥D －ABE 的高为h ，则13⎝⎛⎭⎫12·2·3·h ＝1， 解得h ＝ 3.又∵DO ＝ 3.∴DO ⊥平面ABE .以点O 为坐标原点，OB ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1， 0)，B (3，0， 0)，D (0， 0，3)，E (0， 1， 0)．∴BC →＝AD →＝(0， 1，3)，BE →＝(－3，1， 0)．设平面BCE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3z ＝0，3x －y ＝0得，平面BCE的一个法向量为n＝(1，3，－1)．又DE→＝(0，1，－3)，于是cos〈DE→，n〉＝235·2＝155.故直线DE与平面BCE所成角的正弦值为155.22．(12分)如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，CD ＝4，BC＝2，且BE＝1，tan∠AEB＝2 5.(1)求证：平面ADC⊥平面BCDE；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为27？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明∵CD⊥平面ABC，BE∥CD，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB.∵BE＝1，tan∠AEB＝25，∴AE＝21，从而AB＝AE2－BE2＝2 5.∵⊙O的半径为5，∴AB是直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD.∵BC⊂平面BCDE，∴平面ADC⊥平面BCDE.(2)解方法一假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF.∵平面ADC⊥平面BCDE，平面ADC∩平面BCDE＝DC，MN⊂平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角．设MN ＝x ，计算易得，DN ＝32x ，MF ＝4－32x ， 故AM ＝AF 2＋MF 2＝AC 2＋CF 2＋MF 2 ＝ 16＋x 2＋⎝⎛⎭⎫4－32x 2， sin ∠MAN ＝MN AM ＝x 16＋x 2＋⎝⎛⎭⎫4－32x 2＝27， 解得x ＝－83(舍去)，x ＝43， 故MN ＝23CB ，从而满足条件的点M 存在，且DM ＝23DE . 方法二 以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A (4， 0， 0)，B (0， 2， 0)，D (0， 0， 4)，E (0， 2， 1)，C (0， 0， 0)， 则DE →＝(0， 2，－3)．易知平面ACD 的法向量为BC →＝(0，－2， 0)，假设M 点存在，设M (a ，b ，c )，则DM →＝(a ，b ，c －4)，再设DM →＝λDE →，λ∈(0， 1] ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2λ，c －4＝－3λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2λ，c ＝4－3λ，即M (0， 2λ，4－3λ)，从而AM →＝(－4， 2λ，4－3λ)．设直线AM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AM →，BC →〉|＝|2λ×(－2)|216＋4λ2＋(4－3λ)2＝27， 解得λ＝－43或λ＝23，其中λ＝－43应舍去，而λ＝23∈(0， 1]，故满足条件的点M 存在，且点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，43，2.。
2020年高考数学新课标一卷
2020年高考数学新课标一卷一、选择题1.复数与模o题目：若z=1+i，则|z²–2z|=()o选项：A.0 B.1 C.（缺失）D.2o答案：Do解析：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解。
由题意，z=1+i，则z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，2z=2(1+i)=2+2i，所以|z²–2z|=|2i-(2+2i)|=|-2|=2。
2.集合与不等式o题目：设集合A={x|x²-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，则a=()o选项：A.-4 B.-2 C.2 D.4o答案：Bo解析：本题主要考查交集的运算和不等式的解法。
由题意，A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≤-a/2}。
因为A∩B={x|-2≤x≤1}，所以-a/2=1，解得a=-2。
3.正四棱锥与比值o题目：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()o选项：（具体选项未给出，但可通过解析得出答案）o答案：可通过计算得出（具体答案未直接给出，但解析过程清晰）o解析：本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算。
设底面边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高为l。
由题意，h²=(1/2)×a×l，即l=2h²/a。
又因为侧面三角形面积为(1/2)×a×l=h²，所以l/a=2h/a²，即l/a=2/√(a²/h²)。
由题意知a²/h²=4（因为以高为边长的正方形面积等于侧面三角形面积），所以l/a=1/√2的倒数，即√2/2的2倍，为√2（考虑到比值应为正数，且题目问的是“比值”，故直接给出√2作为答案的近似值或简化形式，实际计算中可能涉及更精确的数学表达式或数值）。
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题17-22题-(学生版)
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题17-22题原题171．在①ac ②sin 3c A =,③=c 这三个款件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中地三角形存在,求c 地值。
若问题中地三角形不存在,说明理由．问题：是否存在ABC ,它地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,且sin A B =,6C π=,________?注：假如选择多个款件分别解答,按第一个解答计分．变式题1基础2．在①2cos cos cos a A c B b C =+。
②sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.这两个款件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c .若ABC 地面积S =2c =,___________,求a .注：假如选择多个款件分别解答,按第一个解答计分.变式题2基础3．在①cos cos 2B bC a c =-+,②sin sin sin A b c B C a c+=-+,③2S BC =⋅ 三个款件中任选一个补充在下面地横线上,并加以解答在ABC 中,角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c 且______,若tan A =2a =,求b 地值变式题3巩固4．在①cos cos 2B b C a c =-+,②sin sin sin A b cB C a c +=-+,③2S BC =⋅ 三个款件中任选一个补充在下面地横线上,并加以解答在ABC 中,角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c 且______,且sin 2sin C A =,求最小边长.变式题4巩固5．在①cos cos 2B bC a c =-+,②sin sin sin A b c B C a c +=-+,③2S BC =⋅ 三个款件中任选一个补充在下面地横线上,并加以解答在ABC 中,角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c 且______,点M 是AC 边上地一点,且2AM MC =,3c =,BM =,求a 地值.变式题5巩固6．在①cos cos 2B bC a c =-+,②sin sin sin A b c B C a c+=-+,③2S BC =⋅ 三个款件中任选一个补充在下面地横线上,并加以解答在ABC 中,角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c 且______,BD 是ABC ∠地平分线交AC 于点D ,若1BD =,求4a c +地最小值.变式题6巩固7．在①5cos 2A b =,②2A+C =B ,③()2sin 3sin 0a C c A C -+=这三个款件中任选一个,补充下面地问题中,并解答.是否存在ABC ,它地内角A ，B ，C 地对边分别为a ，b ，c ,且()2sin sin sin A C A C +=+,4a c +=,______？若存在,求出c 地值。
2020高考数学新题型多项选择题专项训练《01 集合与常用逻辑用语》(解析版)
专题01 集合与常用逻辑用语多项选择题1．（2019秋•启东市期末）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有( ) A ．A B B =IB ．A B B =UC ．()U A B =∅I ðD ．()U A B =∅I ð【分析】利用A B Ü的关系即可判断．【解答】解：A B Q Ü，A B A ∴=I ，A B B =U ，()U C A B =≠∅I ，()U A C B =∅I ， 故选：BD ．2．（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3-B ．1C ．2D ．5【分析】利用A B ⊆，求出a 的范围，即可判断． 【解答】解：A B ⊆Q ， 2a ∴<，故选：AB ．3．（2019秋•临高县校级期末）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B AC =I B ．B C C =U C ．B A B =ID ．A B C ==【分析】可看出，“小于90︒的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B ，C 都正确；而小于90︒的角里边有小于0︒的角，而小于0︒的角里边有第一象限角，从而可判断选项A 错误，而选项D 显然错误，从而可得出正确的选项．【解答】解：Q “小于90︒的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，B C ∴⊆，B A ⊆B C C ∴=U ，B A B =I ；Q “小于90︒的角“里边有”第一象限角”，从而B A C ≠I ．故选：BC ．4．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( ) A ．8-B ．5-C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +-<”，“ 22(23)30x k x k k -+++>”，根据2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：“2340x x +-<” 43x ⇔-<<． “22(23)30x k x k k -+++>” x k ⇔<，或3x k >+．Q “2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，3k ∴…，或43k -+…，解得：3k …，或7k -…，则实数k 可以是AD ． 故选：AD ．5．（2019秋•临沂期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为( ) A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可． 【解答】解：假设θ为象限角则①sin 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sin 0θ<，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cos 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cos 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tan 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第四象限角， 若θ为第二象限角，则①④可以④⑥可以， 故选：BC ．6．（2019秋•泰安期末）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆B ．:8p a …；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a -…恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a -+<D ．已知空间向量(0a =r ，1，1)-，(b x =r ，0，1)-，:1p x =；q ：向量a r与b r 的夹角是3π【分析】A ，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B ，求出，[1x ∀∈，3]不等式20x a -…恒成立等价于2a x …恒成立，即等价于9a …，即可判断； C ，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D ，根据空间两向量的夹角大小求出x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断； 【解答】解：A ，若方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆，则703073m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件；B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a -…恒成立等价于2a x …恒成立，等价于9a …； ∴ “8a …”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a -…恒成立”必要不充分条件；:{}n C a Q 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =-时，满足0q <，但此时12111022a a +=-=>，则2120n n a a -+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a -+<，则2221110n n a q a q --+< 10a >Q ，22(1)0n q q -∴+<，即10q +<，则1q <-，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =r，1，1)-，(b x =r ，0，1)-， 则001a b =++r r g ，cos a ∴<r，1cos 32||||a b b a b π>====⨯r r r g r r， 解得1x =±，故“1x =”是“向量a r与b r 的夹角是3π”的充分不必要条件．故选：ABC ．7．（2019秋•青岛期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y =；3{(,)|}x M x y y e ==；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【分析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'u u u r u u u r ．，结合函数图象进行判断．【解答】解：由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立 即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'u u u r u u u r ．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '． 所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y = 所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'u u u r u u u r．所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '． 所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．8．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x …的充分不必要条件是( ) A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(-∞，1][3U ，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x …，得2430x x -+…，解得3x …或1x …．由此能求出()0f x …的充分不必要条件．【解答】解：函数2()43f x x x =-+， 由()0f x …，得2430x x -+…， 解得3x …或1x …． ()0f x ∴…的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)，故选：BD ．9．（2019秋•镇江期末）使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x …C ．1x <-或1x >D ．10x -<<【分析】不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <-． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <-，或1x >． 故选：AC ．10．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( ) A ．p 是q 的既不充分也不必要条件 B ．p 是s 的充分条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．11．（2019秋•苏州期末）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．2【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =-，[2A =-，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A =-∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =-，[1A =-，)+∞，符合题意，C 对； 若1a =，(A =-∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．12．（2019秋•济宁期末）下列命题中的真命题是( )A ．x R ∀∈，120x ->B ．*x N ∀∈，2(1)0x ->C ．x R ∃∈，1lgx <D ．x R ∃∈，tan 2x =【分析】根据指数函数的值域，得到A 项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C 项正确；根据正弦函数tan y x =的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案． 【解答】解：Q 指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x ->成立，故A 项正确；Q 当*x N ∈时，1x N -∈，可得2(1)0x -…，当且仅当1x =时等号 ∴存在*x N ∈，使2(1)0x ->不成立，故B 项不正确；Q 当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；Q 正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确故选：ACD ．13．（2019秋•薛城区校级月考）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为( ) A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对【分析】由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a=，12a =，由此能求出实数a ．【解答】解：Q 集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆， A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a 不存在，11a=，12a =，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ．14．（2019秋•桥西区校级月考）设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是( ) A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A -∈D ．0A ∈【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}-，利用元素与集合的关系能判断正确结果．【解答】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}-， 0A ∴∈，1A -∈，{0}A ⊂，{1}A -⊂，1A ∉． AC ∴选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．15．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合2{|20}A x x x =-=，则有( ) A ．A ∅⊆B ．2A -∈C ．{0，2}A ⊆D ．{|3}A y y ⊆<【分析】可以求出集合A ，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误． 【解答】解：{0A =Q ，2}，A ∴∅⊆，2A -∉，{0，2}A ⊆，{|3}A y y ⊆<．故选：ACD ．16．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( ) A ．A B A =IB ．U UA B ⊇痧C ．U B A =∅I ðD ．U A B =∅I ð【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：对于选项A ，由A B A =I ，可得A B ⊆．由A B ⊆ 可得A B A =I ，故选项A ，A B A =I 是命题A B ⊆的充要条件，故A 满足条件．对于选项B ，由S S A B ⊇痧 可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S S A B ⊇痧，故S S A B ⊇痧 是命题A B ⊆的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ=I ð，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A φ=I ð，故S B A φ=I ð 是命题A B ⊆的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ=I ð，可得B A ⊆，不能退出A B ⊆，故选项D ，S A B φ=I ð不是命题A B ⊆的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．17．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合{||4}A x Z x =∈<，B N ⊆，则( ) A ．集合B N N =UB ．集合A B I 可能是{1，2，3}C ．集合A B I 可能是{1-，1}D ．0可能属于B【分析】根据Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可．【解答】解：因为B N ⊆，所以B N N =U ，故A 正确．集合A 中一定包含元素1，2，3，集合B N ⊆，1，2，3都属于集合N ，所以集合A B I 可能是{1，2，3}正确．1-不是自然数，故C 错误．0是最小的自然数，故D 正确． 故选：ABD ．18．（2019秋•市中区校级月考）给出下列关系，其中正确的选项是( ) A ．{{}}∅∈∅B ．{{}}∅∉∅C ．{}∅∈∅D ．{}∅⊆∅【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误． 【解答】解：显然∅不是集合{{}}∅的元素，A ∴错误；∅不是集合{{}}∅的元素，∅是{}∅的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B ，C ，D 都正确．故选：BCD ．19．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >． 【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．20．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件转化为(1-，2)(2-Ü，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-Ü，)a ，则2a …． ∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．21．（2019秋•薛城区校级期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是( ) A ．M N M =IB ．M N N =UC ．M M N ⊆ID ．M N N ⊆U【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解：Q 集合M N ⊆，∴在A 中，M N M =I ，故A 正确；在B 中，M N N =U ，故B 正确； 在C 中，M M N ⊆I ，故C 正确； 在D 中，M N N ⊆U ，故D 正确． 故选：ABCD ．22．（2019秋•凤城市校级月考）下列命题正确的有( ) A ．A ∅=∅U B ．()U UU A B A B =U U 痧?C ．A B B A =I ID ．()U U A A =痧【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【解答】解：在A 中，A A ∅=U ，故A 错误； 在B 中，()()()U U U A B A B =U I 痧?，故B 错误； 在C 中，A B B A =I I 同，故C 正确； 在D 中，()U U A A =痧，故D 正确． 故选：CD ．23．（2019秋•北镇市校级月考）已知集合{2M =-，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为( ) A ．2B ．2-C ．3-D ．1【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+-或224x x =+-，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，22334x x =+-或224x x =+-， 若22334x x =+-，即220x x +-=， 2x ∴=-或1x =，检验：当2x =-时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+-，即260x x +-=， 2x ∴=或3x =-，经验证2x =或3x =-为满足条件的实数x ． 故选：AC ．24．已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅I【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =-=-+-； 2a b -、2a -均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+-（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．25．已知集合2{|10}A x x =-=，则下列式子表示正确的有( ) A ．{1}A ∈B ．1A -⊆C ．A ∅⊆D ．{1，1}A -⊆【分析】利用集合与集合基本运算求出A 集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案， 【解答】解：已知集合2{|10}{1A x x =-==-，1}，由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：A ∅⊆，{1，1}A -⊆． 故选：CD ．26．已知集合{|13}A x x =-<…，集合{|||2}B x x =…，则下列关系式正确的是( )A ．AB =∅IB ．{|23}A B x x =-U 剟C ．{|1R A B x x =-U …ð或2}x >D ．{|23}R A B x x =<I …ð【分析】求解绝对值不等式化简集合B ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．【解答】解：{|13}A x x =-<Q …，{|||2}{|22}B x x x x ==-剟?，{|13}{|22}{|12}A B x x x x x x ∴=-<-=-<I I 剟剟，故A 不正确；{|13}{|22}{|23}A B x x x x x x =-<-=-U U 剟剟?，故B 正确；{|2R B x x =<-Q ð或2}x >，{|13}{|2R A B x x x x ∴=-<<-U U …ð或2}{|2x x x >=<-或1}x >-，故C 不正确；{|13}{|2R A B x x x x =-<<-I I …ð或2}{|23}x x x >=<…，故D 正确．∴正确的是B ，D ．故选：BD ．27．下列命题正确的是( )A ．“26x <<”是“24120x x --<”的必要不充分条件B ．函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈C ．“x R ∀∈，3210x x -+…”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>”D ．设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x 则12373x x x π++=【分析】A 由24120x x --<，解得26x -<<，可得“26x <<”是“24120x x --<”的充分不必要条件； B 由tan20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈，即可得出函数()tan 2f x x =的对称中心； C 取1x =-，则32110x x -+=-<，即可判断出；:sin D x x a =化为sin()32a x π+=，由于常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =，解得即可． 【解答】解：由24120x x --<，解得26x -<<，因此“26x <<”是“24120x x --<”的充分不必要条件，A 不正确；由tan20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈因此函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈，B 正确；取1x =-，则32110x x -+=-<，因此“x R ∀∈，3210x x -+>” C 不正确；sin x x a =化为sin()32a x π+=，由于常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =33x ππ+=，3ππ-，23ππ+，12373x x x π∴++=，D 正确． 故选：BD ．28．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( )A ．AB =∅I 的充要条件是()card A B card =U （A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card …（B ）C ．A B à的充要条件是card （A ）card …（B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =∅I 集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确 A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B à集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C 错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．29．使“a b <”成立的必要不充分条件是“( )”A ．0x ∀>，a b x +…B ．0x ∃…，a x b +< C ．0x ∀…，a b x <+ D ．0x ∃>，a x b +… 【分析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【解答】解：若a b <，0x ∀>，则a x b x +<+，a a x <+Q ，a a xb x ∴<+<+，即a b x <+，则a b x +…不一定成立；故A 错误，若a b <，当2a =，4b =，10x ∃=…，有a x b +<成立，反之不一定成立；故B 满足条件．0x ∀…，由a b <得a x b x +<+，0x Q …，a x a ∴+…，即a a x b x +<+…则a b x <+成立，故C 满足条件，若a b <，当2a =，3b =，10x ∃=>，有a x b +…成立，反之不一定成立；故D 满足条件． 故选：BCD ．30．在下列结论中正确的是( )A ．“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件B ．“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件C ．“p q ∧”为真是“p ⌝”为假的充分不必要条件D ．“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件【分析】利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，A 正确；“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件，B 不正确；“p q ∧”为真是“p ⌝”为假的充分不必要条件，C 正确；“p ⌝”为真，p 为假⇒ “p q ∧”为假，反之不成立，可能q 为假，p 为真，因此“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件，D 正确．故选：ACD ．。
2020 新高考 数学 开放性试题题型专练(解析版110页)
{ } （2）在（1）的条件下，当 k =
2
时，设 anbn
=
2n+1 4n2 −1
，求数列
bn
的前 n 项和 Tn ．
【解析】（1）①③不能使{an} 成等比数列．②可以：由题意 f (an ) = 4 + (n −1) × 2 = 2n + 2 ，
即 logk
an
= 2n + 2 ，得 an
= k 2n+2 ，且 a1
为椭圆，则 e = 1 = 3 ；当 a = −3 时，曲线为 y2 − x2 = 1，曲线为双曲线， e = 5 = 10 ，
33
23
22
则离心率为： 3 或 10 ．故选：BC． 32
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an } 称 为“斐波那契数列”，记 Sn 为数列{an } 的前 n 项和，则下列结论正确的是
1 读万卷书 行万里路
2．已知三个数1, a, 9 成等比数列，则圆锥曲线 x2 + y2 = 1 的离心率为 a2
旗开得胜
A． 5
B． 3 3
C． 10 2
D． 3
【答案】BC
【解析】由等比数列的性质求出 a ，再判断曲线类型，进而求出离心率
由三个数 1, a, 9 成等比数列，得 a2 = 9 ，即 a = ±3 ；当 a = 3 ，圆锥曲线为 x2 + y2 = 1，曲线 32
（1）在下列条件中选择一个________使数列{an} 是等比数列，说明理由；
{ } ①数列 f (an ) 是首项为 2，公比为 2 的等比数列；
2020年新高考数学 压轴题专练(1)(解析版)
第5天 压轴题专练（1）一、单选题1．（2020·绥德中学高二期末（理））已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()1,+∞C ．()1,2-D ．()1,2【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，则()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，所以22111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩，解得12x <<，因此，不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为()1,2，故选：D.2．（2020·河南省郑州一中高二期中（理））设曲线f(x)=e x +2x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g(x)=−ax +sinx 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( ) A ．[−1,2] B ．(−1,2)C ．(−12,1)D ．[−12,1]【答案】D【解析】f(x)=e x +2x 的导数为f′(x)=e x +2，设(x 1,y 1)为f(x)上的任一点，则过(x 1,y 1)处的切线l 1的斜率为k 1=e x 1+2，g(x)=−ax +sinx 的导数为g′(x)=cosx −a ，过g(x)图象上一点(x 2,y 2)处的切线l 2的斜率为k 2=−a +cosx 2．由l 1⊥l 2，可得(e x 1+2)⋅(−a +cosx 2)=−1，即−a +cosx 2=−1e x 1+2，任意的x 1∈R ，总存在x 2∈R 使等式成立,则有y 1=−a +cosx 2的值域为A =[−a −1,−a +1]，所以−1e x 1+2的值域为B =(−12,0)由B ⊆A ，即(−12,0)⊆[−a −1，−a +1]，即{−a −1≤−121−a ≥0，解得：[−12,1]，故选D ．3．（2019·湖南省高考模拟（理））若函数22(31)3,0()ln ,0x m x x f x mx x x x ⎧-++≤=⎨+>⎩恰有三个极值点，则m 的取值范围是（ ） A ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即102m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.4．（2019·江西省高考模拟（理））若函数()ln()xf x e x a -=-+在(0,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,)e-∞ B ．(,)e -∞C ．1(,)e e-D ．1(,)e e-【答案】B【解析】函数()()ln xf x e x a -=-+在()0,+∞上存在零点，即()ln 0xex a --+=在()0,+∞上有解，令函数()xg x e -=，()()ln h x x a =+，()ln 0x e x a --+=在()0,+∞上有解即函数()g x 与函数()h x 在()0,+∞上有交点，函数()h x 的图像就是函数()=ln k x x 的图像向左平移a 个单位， 如图所示，函数()=ln k x x 向左平移时，当函数图像过点()0,1之后，与函数()xg x e -=没有交点，此时()()0ln 01h a =+=，a e =，故a 的取值范围为(),e -∞，故选B ．二、多选题5．（2020·山东省高三二模）已知函数||()sin x f x e x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2π的奇函数B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数 C ．()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点 D ．()f x ax 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立的充要条件是1a【答案】BD 【解析】()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，但是22(2)sin(2)sin ()x x f x ex ex f x ππππ+++=+=≠，()f x ∴不是周期为2π的函数，故选项A 错误；当(,0)4x π∈-时，()sin x f x e x -=，(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，当3(0,)4x π∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44ππ-连续，故()f x 在3(,)44ππ-单调递增，故选项B 正确；当[0,10)x π∈时，()sin xf x e x =，(sin c )s ()o xf x e x x +'=，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=-+=，当(10,0)x π∈-时，()sin xf x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=+=----------,因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，故选项C 错误；当0x =时，()00f x ax =≥=，则a R ∈，当(0,]4x π∈时，sin ()x e xf x ax a x≥⇔≤，设sin ()x e x g x x =，2(sin cos sin )()x e x x x x x g x x +-'∴=，令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,]4x π∈()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，()(0)0h x h ∴>=，()0g x '∴>，()g x 在(0,]4π单调递增，又由洛必达法则知：当0x →时，0sin (sin cos )()11x x x e x e x x g x x =+=→=1a ∴≤，故答案D 正确.故选：BD.6．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC【解析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC .7．（2020·嘉祥县第一中学高三月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为侧面11BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若点P 总保持PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条线段；B ．若点P 到点A ，则动点P 的轨迹是一段圆弧；C ．若P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线； D ．若P 到直线BC 与直线11C D 的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线. 【答案】ABD【解析】对于A ，111,BD B C D A AB ⊥⊥，且1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，平面1AB C平面111BCC B B C =，故动点P 的轨迹为线段1B C ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为以A 为球心、的球面与面11BCC B 的交线，即为一段圆弧，所以B 正确； 对于C ，作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ；作1PQ CC ⊥.由PF PQ =，在面11BCC B 内，以C 为原点、以直线CB 、CD 、1CC 为x ，y ，z 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设(),0,P x zx =，化简得221x z -=，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C 错误. 对于D ，由题意可知点P 到点1C 的距离与点P 到直线BC 的距离之比为2:1，结合C 中所建立空间直角坐标系，可得121PC PE =，所以21241PC PE =，代入可得()222141x z z+-=，化简可得221314493z x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，故点P 的轨迹为双曲线，所以D 正确. 综上可知，正确的为ABD. 故选：ABD.8．（2020·山东省高三一模）如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD【解析】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确；若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin 5SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OMAB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==， 设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-，tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得tan θ=，验证满足，故D 正确；故选：ACD .9．（2019·山东省高二期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（ ）A ．2p =B ．F 为AD 中点C ．2BD BF = D ．2BF =【答案】ABC【解析】如图所示：作AC ⊥准线于C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线于E .tan AFM ∠=3AFM π∠=，4AF =，故2MF =，AM =2,2p A ⎛+ ⎝，代入抛物线得到2p =； 2NF FM ==，故AMF DNF ∆≅∆，故F 为AD 中点；6BDE π∠=，故22DB BE BF ==；2BD BF =，4BD BF DF AF +===，故43BF =； 故选：ABC .10．（2019·江苏省常熟中学高二月考）如图，已知椭圆1C ：2214x y +=，过抛物线2C ：24x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A ，B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，则在下列命题中，正确的为（ ）A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的大小是定值为14- B ．OAB ∆的面积OAB S ∆是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和22OA OB +是定值5 D ．设OMNOABS S λ∆∆=，则2λ≥ 【答案】ABCD【解析】()0,1F ，设直线方程为1y kx =+，()()1122,,A x y B x y ，不妨设N 在第一象限.则241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，故2440x kx --=.216160k ∆=+>恒成立，121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，()()()21212122212121212121111144kx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x +++++=⋅===--=-⋅⋅.ON ：1y k x =，则12214y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得A ⎛⎫，同理B ⎛⎫，即B ⎛⎫. 点A 到直线OB的距离d ==11122OABS d OB ∆=⋅⋅==. 2222112222111141641541414141k k OA OB k k k k +==+++=++++.12112OMN S x x ∆=⨯⨯-，故()222212121211444444OMN S x x x x x x k ∆⎡⎤=-=+-=+≥⎣⎦.故2OMN S ∆≥，2OMNOABS S λ∆∆=≥. 故选：ABCD .11．（2020·广东省佛山市三水区三水中学高二月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x e x =+，则下列命题正确的是（ ）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】BCD【解析】（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1xex -=--+()1x e x -=-，A 错；∴ ()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，（2）当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对； （3）当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对；（4）当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()'2x f x e x =+，由()()'20xf x ex =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()1xf x ex =+()0011e <⋅+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e -⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()221,,1e e --⎤⎡-⋃-⎦⎣()1,1=-， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ．12．（2020·东营市第一中学高二期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 11e 2x xf x =-+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BC【解析】根据题意知，()e 1111e 221ex x xf x =-=-++． ()()e 11101e 2g f ⎡⎤==-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11111e 12g f ⎡⎤-=-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11g g ∴≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；()()e 1111e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++，()f x ∴是奇函数，B 正确；由复合函数的单调性知()1121e x f x =-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x >，1e 1x∴+>，()1122f x ∴-<<， ()(){}1,0g x f x ∴==-⎡⎤⎣⎦，D 错误．故选BC ． 三、填空题13．（2019·河南省高考模拟（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种． 【答案】20【解析】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 21C 21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 21C 21＝5，此时共有5+5=10种，当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C 21C 21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C 21C 21＝5，此时共有5+5=10种， 综上故有10+10＝20种， 故答案为20.14．（2019·四川省高考模拟（理））已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．【答案】[]1,3⎤⎡⋃⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】0x ≥时，()23f x x x =-，∴①当03x ≤≤时，()23f x x x =-+，解()2f x ≤，即232x x -+≤得1x ≤或2x ≥，01x ∴≤≤或23x ≤≤②当3x >时，()23f x x x =-解()2f x ≤即232x x -≤得x ≤≤3x ∴<≤∴当0x ≥时，()2f x ≤解集为01x ≤≤或2x ≤≤()f x 是R 上的偶函数，∴由对称性可知∴当0x <时，()2f x ≤解集为322x +-≤≤-或10x -≤<()2f x ∴≤解集为2x ≤≤-或11x -≤≤或2x ≤≤()22f x ∴-≤时，3222x -≤-≤-或121x -≤-≤或3222x +≤-≤0x ≤≤或13x ≤≤或4x ≤≤15．（2019·广东省高考模拟（理））在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，且6AD AB +=，120BAC ∠=︒，AB AC =，当三棱锥D ABC -的体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】68π【解析】如图，点1O 为ABC ∆的外接圆的圆心，点O 为三棱锥的外接球的球心，点E 为线段AD 的中点，由球的性质知四边形1AEOO 是矩形，设AB AC x ==，则BC =，6AD x =-，1322AD xOO AE ===-，设ABC ∆的外接圆的半径为r ，三棱锥的外接球的半径为R ，ABC∆中，2sin120BC r =︒，2r x∴==，1O A x ∴=，1Rt OO A ∆中， 22222211533924x AO OO AO x x x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，即225394R x x =-+. 三棱锥D ABC -的体积())()223111•••sin120?66,0,6332ABC V S AD x x x x x ∆⎛⎫==︒-=-∈ ⎪⎝⎭.()2'44V x x =-易得()23612V x x =-在()0,4内单调递增，在()4,6内单调递减. 所以，当4x =时，)236V x x =-取得最大值.此时25•163?49174R =-+=.所以，三棱锥的外接球的表面积为2468S R ππ==. 故答案为68π16．（2019·河南省高考模拟（理））已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数()f x 的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则(1)(2)(3)(2019)g g g g ++++=___________.1【解析】依题意，482T T ==，，所以4πω=，故()sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()(1)sin sin 4444g x f x x x ππππ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，因为 ( 1 ) ( 2 )((8 3))0g g g g ++++=，所以()()()()()()()123++g 20191+231g g g g g g ++=+=.四、双空题17．（2020·内蒙古自治区高三一模（理））已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =.已知点(P -，则()d P =______；设点(1,)(0)P t t ->，则2()||d P PF -的值为____.【答案】4 2 【解析】（1）(P -，(1,0)F ，∴||6PF =，∴直线PF的方程为1)y x =--，与24y x =联立得：22520x x -+=，解得：12x =或2x =，∴1(2Q ，∴||6()41||12PF d P FQ ===+； （2）设准线与x 轴的交点为M ，QN PM ⊥于N ，∴||||||||2()||2||2||22||||||||PF PQ QF PQ d P PF PF PF PF FQ FQ FQ +-=-=-=+- ||||22||22||22||PQ PF PF PF NQ =+-=+-=， 故答案为：4,2.18．（2020·浙江省高三月考）已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 【答案】8【解析】由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F . 则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k >时，34k k+≥=当且仅当34k k =，即k =时，等号成立，此时06y ≤=； 当k 0<时，3344k k k k ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当34k k -=-， 即2k=-时，等号成立，此时06y ≥=-.综上所述：0y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF 的重心纵坐标的最大值是6. 故答案为:819．（2020·广东省高二期末）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点，1PB PC λ+=.①若4λ=，则满足条件的点P 的个数为______；②若满足1PB PC λ+=的点P 的个数为6，则λ的取值范围是______. 【答案】4()(223,4+【解析】（1）正方体的棱长为112,4BC PB PC ∴=+=，P ∴是以2c =为焦距，以2a =为长半轴的椭圆，P 在正方体的棱上，P ∴应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可得，满足条件的点为1,B C ， 以及棱,AB CD 各有一点满足条件， 故满足条件的点P 的个数为4；（2）11||PB PC BC λ+=>=当椭圆短半轴b <1111,,,BC CC C B B B ,11,AB C D各有一个交点，与其它棱无交点，满足题意，2222,444b λλλ=-<<∴<当b =2,4a λ==由（1）得不合题意.当2b λ>≤+至多只有4个点在棱上，不合题意；当2b λ>+<111111,,,,,AD DD D A A A A B CD各有一个交点，满足题意，2226,4b λλ=-<∴<，2λ∴+<<当b ≥4个交点，不合题意.综上 4λ<<或2λ+<<故答案为:（1）4；（2）()(223,4+20．（2018·全国高二课时练习）曲线 C 是平面内到定点 ()1,0A 的距离与到定直线 1x =- 的距离之和为 3 的动点 P 的轨迹．则曲线 C 与 y 轴交点的坐标是________________；又已知点 (),1B a （a 为常数），那么 PB PA + 的最小值 ()d a = ________________（【答案】(0,1.41,4,1.41,2,1 1.a a a a a a ≤-≥+-<≤-⎨⎪--<<⎪⎩或 【解析】（1（设点P 坐标为（x（y（（因为动点 P 到定点 ()1,0A 的距离与到定直线 1x =- 的距离之和为 33=当0x = 时，代入求得y =所以与y 轴交点为(0, （2）当312x -≤≤- 时，曲线C 可以化为21015y x =+ 当312x -<≤时，曲线C 可以化为223y x =-+令1y = ，则10151x += 或231x -+= 解得 1.4x =- 或1x =当 1.4a ≤ 或1a ≥ 时，PB PA BA +≥所以()d a AB ===当11a -<< 时，当直线1y = 与223y x =-+312x ⎛⎫-<≤⎪⎝⎭相交时，交点P 满足PB PA +取得最小值因为抛物线准线方程为2x =所以直线1y =与准线交点坐标为（2,1（ 此时()2d a a =-当 1.41a -<≤-时，当直线1y =与21015y x =+312x ⎛⎫-≤≤- ⎪⎝⎭相交时，交点P 满足PB PA +取得最小值此时抛物线准线方程为4x =所以直线1y =与准线交点坐标为（-4,1（此时()4d a a =+综上所述，() 1.41,4, 1.41,2,1 1.a a d a a a a a ≤-≥=+-<≤-⎨⎪--<<⎪⎩或。
2020年新高考新题型多项选择题专项训练数列(1)(解析版)
专题07 数列（1）多项选择题1．（2019秋•泉州期末）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1+3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（）A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|＜|a5|【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即看到此得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a1+3（a1+4d）＝7a1+21d，解得a1＝﹣3d，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣4）d，所以a4＝0，故A正确；因为S6﹣S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3+a5＝2a4＝0，所以a3＝﹣a5，即|a3|＝|a5|，故D错误．故选：AC．2．（2019秋•济宁期末）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1＞1，＜0，下列结论正确的是（）a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1A．S2019＜S2020B．S2019S2021﹣1＜0C．T2019是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值【分析】本题由题意根据题干可得a2019＞1，a2020＜1，从而有a1＞1，0＜q＜1，则等比数列{a n}为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案即可得到正确选项．【解答】解：等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1＞1，＜0，∴a2019＞1，0＜a2020＜1，∴0＜q＜1．a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1根据a1＞1，0＜q＜1，可知等比数列{a n}为正项的递减数列．即a1＞a2＞...＞a2019＞1＞a2020＞ 0∵S2020﹣S2019＝a2020＞0，∴S2019＜S2020，故选项A正确；∵S 2019＝a 1+a 2+…+a 2019＞1，∴S 2019•S 2021＝S 2019•（S 2019+a 2020+a 2021）=S 20192+S 2019•（a 2020+a 2021） ＞S 20192＞1．即S 2019•S 2021﹣1＞0．故选项B 错误；根据a 1＞a 2＞…＞a 2019＞1＞a 2020＞…＞0．可知T 2019是数列{T n }中的最大项，故选项C 正确、选项D 错误． 故选：AC ．3．（2019秋•菏泽期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 6＝8 B ．S 7＝33C ．a 1+a 3+a 5+…+a 2019＝a 2020D ．a 12+a 22+⋯+a 20192a 2019=a 2020【分析】根据数列的特点，求出其递推关系式；再对每一个选项逐个检验即可 【解答】解：A ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，可得a 6＝8成立； B ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，可得a 6＝8，a 7＝13； ∴s 7＝1+1+2+3+5+8+13＝33成立；C ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，……，a 2019＝a 2020﹣a 2018，可得：a 1+a 3+a 5+…+a 2019＝a 2020． 故a 1+a 3+a 5+…+a 2019是斐波那契数列中的第2020项．即答案C 成立；D ．斐波那契数列总有a n +2＝a n +1+a n ，则a 12=a 2a 1，a 22=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a 32=a 3(a 4−a 2)=a 3a 4−a 2a 3，……， a 20182=a 2018(a 2019−a 2017)=a 2018a 2019−a 2017a 2018， a 20192=a 2019a 2020−a 2019a 2018；∴a 12+a 22+a 32+⋯+a 20192=a 2019a 2020；即答案D 成立故选：ABCD ．4．（2019秋•济宁期末）若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n +1，（n ∈N *），则下列说法正确的是（ ） A ．a 5＝﹣16B ．S 5＝﹣63C．数列{a n}是等比数列D．数列{S n+1}是等比数列【分析】先利用已知条件得到数列{a n}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，即可判断各个选项的正误．【解答】解：∵S n＝2a n+1，（n∈N*），∴①当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，=2，②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n+1﹣2a n﹣1﹣1，∴2a n﹣1＝a n，∴a na n−1∴数列{a n}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，=1−2n∴a n=−2n−1，S n=−(1−2n)1−2=−31，故选项A正确，选项B错误，∴a5=−24=−16，S5=−(1−25)1−2又∵S n+1=2−2n，∴数列{S n+1}不是等比数列，故选项D错误，故选：AC．5．（2019秋•淄博期末）在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A．q＝1B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【分析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n 项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【解答】解：由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，＞0．∴a1=a2q∵等比数列{a n}是递增数列，∴q＞1．∴a2＝4，a3＝8满足题意．∴q＝2，a1=a2q=2．故选项A不正确．a n＝a1•q n﹣1＝2n．∵S n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．∴S n+2＝2n+1＝4•2n﹣1．∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．∵lga n＝lg2n＝n．∴数列{lga n}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．故选：BC．6．（2019秋•聊城期末）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1=a n2+3a n(n∈N∗)，则下列结论正确的有（）A．{1a n+3}为等比数列B．{a n}的通项公式为a n=12n+1−3C．{a n}为递增数列D．{1a n}的前n项和T n=2n+2−3n−4【分析】首先利用定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，a n+1=a n2+3a n(n∈N∗)，整理得：2a n+1+3a n a n+1＝a n，转换为1a n+1+3=2(1a n+3)，故：1a n+1+31 a n +3=2(常数)，所以{1a n+3}是以1a1+3=4为首项，2为公比的等比数列．故：1a n +3=4⋅2n−1=2n+1，整理得a n=12n+1−3．则：{a n}为递减数列．进一步整理得：1a n=2n+1−3，所以{1a n }的前n项和：T n=4(2n−1)2−1−3n=2n+2−3n−4，故选：ABD．7．（2019秋•泰安期末）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（）A ．数列{a n }是递增数列B ．S 5＝60C ．−247＜d ＜−3D ．S 1，S 2，…，S 12中最大的是S 6【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【解答】解：依题意，有S 12＝12a 1+12×112•d ＞0，S 13＝13a 1+13×122•d ＜0，化为：2a 1+11d ＞0，a 1+6d ＜0，即a 6+a 7＞0，a 7＜0， ∴a 6＞0．由a 3＝12，得a 1＝12﹣2d ，联立解得−247＜d ＜﹣3．等差数列{a n }是单调递减的．S 1，S 2，…，S 12中最大的是S 6． S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3＝60．综上可得：BCD 正确． 故选：BCD ．8．（2019秋•葫芦岛期末）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1−1n =(1+1n )a n ，n ∈N *．若对于任意的t ∈[1，2]，不等式a n n＜−2t 2−(a +1)t +a 2−a +2恒成立，则实数a 可能为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】由已知数列递推式可得an+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n −1n+1，进一步得到ann ＜2，则原不等式可转化为2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ≤0在t ∈[1，2]上恒成立，构造函数f （t ）＝2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ，t ∈[1，2]，可得{f(1)≤0f(2)≤0，求解不等式组得答案．【解答】解：由a n +1−1n =(1+1n )a n ，得a n +1−1n =n+1na n ，∴a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n −1n+1，∴an n =(an n −a n−1n−1)+(an−1n−1−a n−2n−2)+⋯+⋯+（a 2﹣a 1）+a 1，＝（1n−1−1n ）+（1n−2−1n−1）+…+（1−12）+1＝2−1n ＜2，∵不等式a n n＜−2t 2−(a +1)t +a 2−a +2恒成立，∴2≤﹣2t 2﹣（a +1）t +a 2﹣a +2，∴2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ≤0，在t ∈[1，2]上恒成立， 设f （t ）＝2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ，t ∈[1，2]，∴{f(1)=2+a +1−a 2+a ≤0f(2)=8+2(a +1)−a 2+a ≤0，解得a ≤﹣2或a ≥5， ∴实数a 可能为﹣4，﹣2． 故选：AB ．9．（2019秋•潍坊期末）设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0且S 6＝S 9，则（ ） A ．d ＞0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5＞S 6【分析】由a 1＞0且S 6＝S 9，利用求和公式可得：a 8＝0，d ＜0．即可判断出结论． 【解答】解：a 1＞0且S 6＝S 9，∴6a 1+6×52d ＝9a 1+9×82d ，化为：a 1+7d ＝0，可得a 8＝0，d ＜0．S 7或S 8为S n 的最大值，S 5＜S 6． 故选：BC ．10．（2019秋•润州区校级期末）对于数列{a n }，若存在正整数k （k ≥2），使得a k ＜a k ﹣1，a k ＜a k +1，则称a k是数列{a n }的“谷值”，k 是数列{a n }的“谷值点”，在数列{a n }中，若a n =|n +9n −8|，下列数不能作为数列{a n }的“谷值点”的是（ ） A ．3B ．2C ．7D ．5【分析】根据数列的通项公式，求得a 1到a 8，利用定义即可判断． 【解答】解：由a n =|n +9n −8|，则a 1＝2，a 2=32，a 3＝2，a 4=74，a 5=65，a 6=12，a 7=27，a 8=98， 所以n ＝2，7是数列{a n }的“谷值点” 当n ＝3，5不是数列{a n }的“谷值点”， 故选：AD ．11．（2019秋•淮安期末）已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．{1a n}B ．{log 2a n }C ．{a n •a n +1}D ．{a n +a n +1+a n +2}【分析】本题先根据题意设等比数列{a n }的公比为q （q ≠0），则a n ＝a 1•q n ﹣1．然后对AB 选项先求出通项然后进行观察即可判断，对CD两个选项可根据等比数列的定义法进行判断．【解答】解：由题意，可设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），则a n＝a1•q n﹣1．对于A：1a n =1a1q n−1=1a1•（1q）n﹣1．∴数列{1a n }是一个以1a1为首项，1q为公比的等比数列；对于B：log2a n＝log2（a1•q n﹣1）＝log2a1+（n﹣1）log2q．∴数列{log2a n}是一个以log2a1为首项，log2q为公差的等差数列；对于C：∵a n+1⋅a n+2a n⋅a n+1=a n+2a n=a1⋅q n+1a1⋅q n−1=q2，∴数列{a n•a n+1}是一个以q2为公比的等比数列；对于D：∵a n+1+a n+2+a n+3a n+a n+1+a n+2=q(a n+a n+1+a n+2)a n+a n+1+a n+2=q，∴数列{a n+a n+1+a n+2}是一个以q为公比的等比数列．故选：ACD．12．（2019秋•南通期末）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（）A．a6＞0B．−247＜d＜−3C．S n＜0时，n的最小值为13D．数列{S na n}中最小项为第7项【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得−247＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得S n＜0时，n的最小值为13．数列{S na n}中，n≤6时，S na n ＞0.7≤n≤12时，S na n＜0．n≥13时，S na n＞0．进而判断出D是否正确．【解答】解：∵S12＞0，a7＜0，∴12(a6+a7)2＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴−247＜d＜﹣3．a1＞0．S13=13(a1+a13)2=13a7＜0．∴S n＜0时，n的最小值为13．数列{S na n }中，n≤6时，S na n＞0，7≤n≤12时，S na n＜0，n≥13时，S na n＞0．对于：7≤n≤12时，S na n＜0．S n＞0，但是随着n的增大而减小；a n＜0，但是随着n的增大而减小，可得：S na n＜0，但是随着n的增大而增大．∴n＝7时，S na n取得最小值．综上可得：ABCD都正确．故选：ABCD．13．（2019秋•苏州期末）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2（a n﹣a）（其中a为常数），则下列说法正确的是（）A．数列{a n}一定是等比数列B．数列{a n}可能是等差数列C．数列{S n}可能是等比数列D．数列{S n}可能是等差数列【分析】结合已知可得a n＝2a n﹣1，n＞1，然后结合a是否为0可进行判定是否满足等差或等比．【解答】解：S n＝2（a n﹣a），当n＞1时可得，S n﹣1＝2（a n﹣1﹣a），两式相减可得，a n＝2a n﹣1，n＞1，又n＝1时，S1＝2（a1﹣a）可得，a1＝2a，若a＝0时，数列{a n}不是等比数列，而是等差数列，其各项都为0，和也为等差数列当a≠0时，数列{a n}是等比数列，不是等差数列，而非常数性等比数列的前n项和不是等比，故选：BD．14．（2019秋•徐州期末）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（）A．若S5＝S9，则必有S14＝0B．若S5＝S9，则必有S7是S n中最大的项C．若S6＞S7，则必有S7＞S8D．若S6＞S7，则必有S5＞S6【分析】根据题意，结合等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，则a 7+a 8＝0，S 14=14×(a 1+a 14)2=14×(a 7+a 8)2=0，A 正确；对于B ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，又由a 1＞0，则必有S 7是S n 中最大的项，B 正确；对于C ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，又由a 1＞0，必有d ＜0，则a 8＝S 8﹣S 7＜0，必有S 7＞S 8，C 正确； 对于D ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，而a 6的符号无法确定，故S 5＞S 6不一定正确，D 错误； 故选：ABC ．15．（2019秋•连云港期末）已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝﹣2，则（ ） A ．数列{2a n +a n +1}是等比数列 B ．数列{a n +1﹣a n }是等比数列C ．数列{a n a n +1}是等比数列D ．数列{log 2|a n |}是递减数列【分析】由题意利用查等比数列的定义、通项公式、性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：∵等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝﹣2， ∴a n ＝1×（﹣2）n ﹣1＝（﹣2）n ﹣1．由此可得 2a n +a n +1＝2•（﹣2）n ﹣1+（﹣2）n ＝0，故A 错误；a n +1﹣a n ＝（﹣2）n ﹣（﹣2）n ﹣1＝﹣3•（﹣2）n ﹣1，故数列{a n +1﹣a n }是等比数列，故B 正确； a n a n +1＝（﹣2）n ﹣1 （﹣2）n ＝（﹣2）2n ﹣1，故数列{a n a n +1}是等比数列，故C 正确； log 2|a n |＝log 22n ﹣1＝n ﹣1，故数列{log 2|a n |}是递增数，故D 错误， 故选：BC ．16．（2019秋•潍坊期末）已知等比数列{a n }的公比q =−23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．【解答】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9•a 10=a 12(−23)17＜0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（−23）8＞12+8d ，a 1（−23）9＞12+9d ，可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD ．17．（2020•山东学业考试）已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设c n =a b n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案．【解答】解：由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，b n =2n−1， c n =a b n =2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列， 其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1）＝（21+22+…+2n ）﹣n =2(1−2n )1−2−n =2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB ．18．（2019秋•滕州市校级月考）设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的和为s n ，前n 项的积为T n ，并满足条件a 1＞1，a 2019a 2020＞1，a 2019−1a 2020−1＜0，下列结论错误的是（ ）A ．S 2019＞S 2020B ．a 2019．a 2021﹣1＞0C ．T 2020是数列{T n }中的最大值D ．数列{T n }无最小值【分析】推导出a 2019＞1，0＜a 2020＜1，0＜q ＜1，由此能求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的和为s n ，前n 项的积为T n ，并满足条件a 1＞1，a 2019a 2020＞1，a 2019−1a 2020−1＜0， ∴a 2019＞1，0＜a 2020＜1，∴0＜q ＜1，在A 中，∵a 2020＞0，∴S 2019＜S 2020，故A 错误；在B 中，a 2019＞1，a 2021﹣1＜0，∴a 2019．a 2021﹣1＜0，故B 错误； ∴T 2019是数列{T n }中的最大项，故C 错误；在D 中，数列{T n }无最小值，故D 正确．故选：ABC ．19．（2019秋•常熟市校级月考）等差数列{a n }中，若S 6＜S 7且S 7＞S 8，则下面结论正确的是（ ）A ．a 1＞0B ．S 9＜S 6C ．a 7最大D ．（S n ）max ＝S 7【分析】根据题意，分析可得a 7＝S 7﹣S 6＞0，a 8＝S 8﹣S 7＜0，且d ＝a 8﹣a 7＜0，精粹结合等差数列的性质分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n }中，若S 6＜S 7且S 7＞S 8，则a 7＝S 7﹣S 6＞0，a 8＝S 8﹣S 7＜0，则有d ＝a 8﹣a 7＜0，对于A ，必有a 1＝a 8﹣7d ＞0，A 正确；对于B ，S 9﹣S 6＝a 7+a 8+a 9＝3a 8＜0，必有S 9＜S 6，B 正确；对于C ，等差数列{a n }中，d ＜0，数列{a n }为递减数列，故a 1最大，C 错误； 对于D ，数列{a n }为递减等差数列，a 7＞0，a 8＜0，故必有（S n ）max ＝S 7，D 正确； 故选：ABD ．20．（2019秋•海淀区校级期中）已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ）A ．0＜a 1＜1B ．1＜b 1＜√2C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n +1＝2n ，∴{a 1+a 2=2a 2+a 3=4；∴{a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1 ∴0＜a 1＜1；故A 正确． ∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n +1＝2n∴{b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴{b 2＞b 1b 3＞b 2；∴1＜b 1＜√2，故B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ） =b 1⋅(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1)； ∴对于任意的n ∈N *，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．。
2020年新高考数学新题型立体几何试题(6页)
2020年新高考数学新题型立体几何试题新题型立体几何试题学校:_________ 姓名：_________ 班级：_________ 考号：_________多项选择题（请将答案填写在各试题的答题区内）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 301．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下面结论正确的是( )A ．//BD 平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．平面1111ACC A CBD ⊥D ．异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒2．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，错误的命题是( ) A ．若a ，b 与α所成的角相等，则//b αB ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a α⊂，b β⊂，//b α，则//αβD ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，是a b ⊥3．在正四面体ABCD 中，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，下面四个结论中正确的是( ) A ．//BC 平面AGFB ．EG ⊥平面ABFC ．平面AEF ⊥平面BCD D ．平面ABF ⊥平面BCD4．已知直线l 、m ，平面a 、b ，且l a ⊥，//m b ，下列四个命题中正确命题是( ) A ．若//a b ，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，则//a C ．若a b ⊥，则//l mD ．若//l m ，则a b ⊥5．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的是( )A ．AC SB ⊥ B ．//AB 平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角6．已知a ，b 是两条互相垂直的异面直线，下列说法中正确的是( ) A ．存在平面α，使得a α⊂且b α⊥B ．存在平面β，使得b β⊂ 且//a βC ．若点A ，B 分别在直线a ，b 上，且满足AB b ⊥，则一定有AB a ⊥D ．过空间某点不一定存在与直线a ，b 都平行的平面7．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是( ) A ．若//αβ，l α⊂，n β⊂，则//l n B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥8．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为( )A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒9．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是( ) A ．12l l ⊥，2313//l l l l ⊥⇒ B ．12l l ⊥，2313//l l l l ⇒⊥C ．1231////l l l l ⇒，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点1l ⇒，2l ，3l 共面10．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，且a ⊂平面α，b ⊂平面β，c αβ=I ，下列命题中正确的命题是( )A ．若a 与b 是异面直线，则c 至少与a 、b 中一条相交B ．若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直C ．若//a b ，则必有//a cD ．若a b ⊥，a c ⊥，则必有αβ⊥11．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是1D B ，1A C 上不重合的两个动点，下列四个结论中正确的是( )A ．1//CE D FB ．平面//AFD 平面11B EC C ．1AB EF ⊥D ．平面AED ⊥平面11ABB A12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11A B ，11B C ，1BB 的中点，下列四个推断中正确的是( )A ．//FG 平面11AA D DB ．//EF 平面11BC DC ．//FG 平面11BC DD ．平面//EFG 平面11BC D13．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，则下列四个结论中正确的结论是( ) A ．AC BD ⊥B ．ACD ∆是等边三角形C ．AB 与平面CBD 成60︒角D ．AB 与CD 所成角为45︒14．对于四面体A BCD -，以下命题中正确的命题是( ) A ．若AB AC AD ==，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等B ．若AB CD ⊥，AC BD ⊥，则点A 在底面BCD 内的射影是BCD ∆的内心C ．四面体A BCD -的四个面中最多有四个直角三角形D ．若四面体A BCD -的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为6π 15．以下四个命题中真命题是( )A ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B ．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C ．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行D ．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直16．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，下列四个命题中不正确的命题是( ) A ．m n m n '⊥'⇒⊥ B ．m n m n ⊥⇒'⊥'C ．m '与n '相交m ⇒与n 相交或重合D ．m '与n '平行m ⇒与n 平行或重合17．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是()A ．若m α⊥，m β⊥，则//αβB ．若αγ⊥，βα⊥，则//γβC ．若//m α，//n β，//m n ，则//αβD ．若m 、n 是异面直线，m α⊥，//m β，n β⊥，//n α，则αβ⊥ 18．不同直线m ，n 和不同平面α，β，下列命题中假命题有( ) A ．////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭B ．//////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭C ．,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 D ．//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭19．下列四个命题中真命题是( )A ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行B ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C ．垂直于同一直线的两条直线相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 20．关于直线m ，n 与平面α，β，以下四个命题中真命题是( ) A ．若//m α，//n β且//αβ，则//m n B ．若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥ C ．若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥D ．若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n21．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．下列判断中正确的是( )A ．直线AC 与直线1C E 是异面直线B ．1A E 一定不垂直1ACC ．三棱锥1E AA O -的体积为定值D ．1AE EC +的最小值为22．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列四个命题中正确命题是( ) A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B ．若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ C ．若//m α，//n α，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ23．已知直线l ⊂/平面α，直线m ⊂平面α，下面四个结论中正确的是( ) A ．若l α⊥，则l m ⊥ B ．若//l α，则//l m C ．若l m ⊥，则l α⊥D ．若//l m ，则//l α24．如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，下列命题中真命题是( )A ．过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11BC 都相交 B ．过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直 C ．过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交D ．过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，点P 为线段1A C 上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的( )A ．当113A C A P =u u u u r u u u r时，1//D P 平面1BDC B ．当113A C A P =u u u u r u u u r时，1A C ⊥平面1D APC ．1APD ∠的最大值为90︒D ．1AP PD +。
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题1-5题-(解析版)
变式题5巩固
27．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 ，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 时， （）
3．B
【分析】观察法直接写出A与B的交集．
【详解】∵A={2，4，5，6}，
∴A∩B={2}，
故选B．
【点睛】本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.．
4．B
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】A＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，B＝{x|﹣8≤x≤8}；
A． B． C． D．
变式题5巩固
34．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
变式题6提升
35．已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法正确的是（）
A．20°B．40°
C．50°D．90°
变式题1基础
23．经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬 ，若将地球看成近似球体，其半径约为 ，则北纬 纬线的长为（）
【高考真题】2020高中数学新高考Ⅰ卷
2020高考真题高中数学新高考Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2020·新高考Ⅰ卷1题）设集合A ＝{x ｜1≤x ≤3}，B ＝{x ｜2＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ）A.{x ｜2＜x ≤3}B.{x ｜2≤x ≤3}C.{x ｜1≤x ＜4}D.{x ｜1＜x ＜4}解析：选C A ＝{x ｜1≤x ≤3}，B ＝{x ｜2＜x ＜4}，则A ∪B ＝{x ｜1≤x ＜4}，故选C. 2.（2020·新高考Ⅰ卷2题）2－i1+2i＝（ ）A.1B.－1C.iD.－i解析：选D 法一2－i1+2i＝（2－i)(1－2i ）（1+2i)(1－2i ）＝2－2－5i5＝－i ，选D. 法二 利用i 2＝－1进行替换，则2－i1+2i＝－2×(−1)−i1+2i＝－2i 2－i 1+2i＝－i （1+2i ）1+2i＝－i ，选D.3.（2020·新高考Ⅰ卷3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A.120种 B.90种 C.60种D.30种解析：选C C 61C 52C 33＝60（种）.4.（2020·新高考Ⅰ卷4题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A.20°B.40°C.50°D.90°解析：选B 过球心O 、点A 以及晷针的轴截面如图所示，其中CD 为晷面，GF 为晷针所在直线，EF 为点A 处的水平面，GF ⊥CD ，CD ∥OB ，∠AOB ＝40°，∠OAE ＝∠OAF ＝90°，所以∠GFA ＝∠CAO ＝∠AOB ＝40°.故选B.5.（2020·新高考Ⅰ卷5题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A.62％ B.56％ C.46％D.42％解析：选C 不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x ，则100×96％＝100×60％－x ＋100×82％，所以x ＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46％.故选C.6.（2020·新高考Ⅰ卷6题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（ ） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天D.3.5天解析：选B ∵R 0＝1＋rT ，∴3.28＝1＋6r ，∴r ＝0.38.若{I （t 1）＝e 0.38t 1，I （t 2）＝e 0.38t 2，I （t 2）=2I （t 1),则e 0.38（t 2－t 1）＝2，0.38（t 2－t 1）＝ln 2≈0.69，t 2－t 1≈1.8.故选B.7.（2020·新高考Ⅰ卷7题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ） A.（－2，6） B.（－6，2） C.（－2，4）D.（－4，6） 解析：选A AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·cos ∠PAB ＝2｜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠PAB ，又｜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠PAB 表示AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，所以结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小.又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2√3×2×cos 30°＝6，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈（－2，6），故选A. 8.（2020·新高考Ⅰ卷8题）若定义在R 的奇函数f （x ）在（－∞，0）单调递减，且f （2）＝0，则满足xf （x －1）≥0的x 的取值范围是（ ） A.[－1，1]∪[3，＋∞） B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞）D.[－1，0]∪[1，3]解析：选D 法一 由题意知f （x ）在（－∞，0），（0，＋∞）单调递减，且f （－2）＝f （2）＝f （0）＝0.当x ＞0时，令f （x －1）≥0，得0≤x －1≤2，∴1≤x ≤3；当x ＜0时，令f （x －1）≤0，得－2≤x －1≤0，∴－1≤x ≤1，又x ＜0，∴－1≤x ＜0；当x ＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.法二 当x ＝3时，f （3－1）＝0，符合题意，排除B ；当x ＝4时，f （4－1）＝f （3）＜0，此时不符合题意，排除选项A 、C ，故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.（多选）（2020·新高考Ⅰ卷9题）已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.（ ） A.若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B.若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为√nC.若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±√－mn xD.若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线解析：选ACD 对于选项A ，∵m ＞n ＞0，∴0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m＋y 21n＝1，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，∵m ＝n ＞0，∴方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为√1n 的圆，错误；对于选项C ，∵mn ＜0，∴该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝±√－mn x ，正确；对于选项D ，∵m ＝0，n ＞0，∴方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±√1n ，该方程表示两条直线，正确.综上选A 、C 、D.10.（多选）（2020·新高考Ⅰ卷10题）如图是函数y ＝sin （ωx ＋φ）的部分图象，则sin （ωx ＋φ）＝（ ）A.sin (x ＋π3) B.sin (π3－2x)C.cos (2x ＋π6) D.cos (5π6－2x)解析：选BC 由题图可知，函数的最小正周期T ＝2(2π3－π6)＝π，∴2π｜ω｜＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y ＝sin （2x ＋φ），将点(π6，0)代入得，sin (2×π6＋φ)＝0， ∴2×π6＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋2π3，k ∈Z ，故y ＝sin (2x ＋2π3).由于y ＝sin (2x ＋2π3)＝sin [π－(2x ＋2π3)]＝sin (π3－2x)，故选项B 正确；y ＝sin (π3－2x)＝cos [π2－(π3－2x)]＝cos (2x ＋π6)，选项C 正确；对于选项A ，当x ＝π6时，sin (π6＋π3)＝1≠0，错误；对于选项D ，当x ＝π6＋2π32＝5π12时，cos (5π6－2×5π12)＝1≠－1，错误；当ω＝－2时，y ＝sin （－2x ＋φ），将(π6，0)代入，得sin (－2×π6＋φ)＝0，结合函数图象，知－2×π6＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，得φ＝4π3＋2k π，k ∈Z ，∴y ＝sin (－2x ＋4π3)，但当x ＝0时，y ＝sin (－2x ＋4π3)＝－√32＜0，与图象不符合，舍去.综上，选B 、C. 11.（多选）（2020·新高考Ⅰ卷11题）已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则（ ） A.a 2＋b 2≥12B.2a －b ＞12C.log 2a ＋log 2b ≥－2D.√a ＋√b ≤√2解析：选ABD 对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14，b ＝34，则log 214＋log 234＝－2＋log 234＜－2，错误；对于选项D ，∵√2＝√2（a ＋b ），∴[√2（a ＋b ）]2－（√a ＋√b ）2＝a ＋b －2√ab ＝（√a －√b ）2≥0，∴√a ＋√b ≤√2，正确.故选A 、B 、D.12.（多选）（2020·新高考Ⅰ卷12题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P （X ＝i ）＝p i ＞0（i ＝1，2，…，n ），∑i=1np i ＝1，定义X 的信息熵H （X ）＝－∑i=1np i log 2p i .（ ）A.若n ＝1，则H （X ）＝0B.若n ＝2，则H （X ）随着p i 的增大而增大C.若p i ＝1n （i ＝1，2，…，n ），则H （X ）随着n 的增大而增大D.若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P （Y ＝j ）＝p j ＋p 2m ＋1－j （j ＝1，2，…，m ），则H （X ）≤H （Y ）解析：选AC 法一 对于选项A ，若n ＝1，则p 1＝1，log 21＝0，∴H （X ）＝－p 1log 2p 1＝－log 21＝0，A 正确；对于选项B ，当p 1＝14时，H （X ）＝－∑i=1np i log 2p i ＝－（p 1log 2p 1＋p 2log 2p 2）＝－（14log 214＋34log 234），当p 1＝34时，H （X ）＝－∑i=1np i log 2p i ＝－（p 1log 2p 1＋p 2log 2p 2）＝－（34log 234＋14log 214），由此可得，当p 1＝14与p 1＝34时，信息熵相等，∴B 不正确；对于选项C ，若p i ＝1n ，则H （X ）＝－∑i=1np i log 2p i ＝－(1n log 21n ＋…＋1n log 21n )＝n ×log 2n n＝log 2n ，∴H （X ）随着n 的增大而增大，C 正确；对于选项D ，若n ＝2m ，随机变量Y 的可能取值为1，2，…，m ，由P （Y ＝j ）＝p j ＋p 2m ＋1－j （j ＝1，2，…，m ）知，P （Y ＝1）＝p 1＋p 2m ；P （Y ＝2）＝p 2＋p 2m －1；P （Y ＝3）＝p 3＋p 2m －2；…；P （Y ＝m ）＝p m ＋p m ＋1.H （X ）＝－[（p 1log 2p 1＋p 2m log 2p 2m ）＋（p 2log 2p 2＋p 2m －1log 2p 2m －1）＋…＋（p m log 2p m ＋p m ＋1log 2p m ＋1）]，H （Y ）＝－[（p 1＋p 2m ）log 2（p 1＋p 2m ）＋（p 2＋p 2m －1）log 2（p 2＋p 2m －1）＋…＋（p m ＋p m ＋1）log 2（p m ＋p m ＋1）]，H （Y ）－H （X ）＝－[（p 1＋p 2m ）log 2（p 1＋p 2m ）＋…＋（p m ＋p m ＋1）·log 2（p m ＋p m ＋1）]＋p 1log 2p 1＋p 2m log 2p 2m ＋…＋p m log 2p m ＋p m ＋1log 2p m ＋1＝p 1·log 2p 1p 1＋p 2m＋…＋p 2m ·log 2p 2mp 1＋p 2m.易知0＜p 1p 1＋p 2m＜1， 0p 2m p 1＋p 2m＜1，∴log 2p 1p 1＋p 2m＜0，…，log 2p 2m p 1＋p 2m＜0，∴H （Y ）＜H （X ），故D 错误.法二（特值法） 令m ＝1，则n ＝2，p 1＝14，p 2＝34.P （Y ＝1）＝1，H （Y ）＝－log 21＝0，H （x ）＝－（14log 214＋34log 234）＞0，∴H （X ）＞H （Y ），故D 错误.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2020·新高考Ⅰ卷13题）斜率为√3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则｜AB ｜＝ .解析：由题意得直线方程为y ＝√3（x －1），联立方程，得{y ＝√3（x －1),y 2=4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，∴x A ＋x B ＝103，故｜AB ｜＝1＋x A ＋1＋x B ＝2＋103＝163. 答案：16314.（2020·新高考Ⅰ卷14题）将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为 .解析：设b n ＝2n －1，c n ＝3n －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，得n ＝3m －12＝3m －3+22＝3（m －1）2＋1，于是m －1＝2k ，k ∈N ，所以m ＝2k ＋1，k ∈N ，则a k ＝3（2k ＋1）－2＝6k＋1，k ∈N ，得a n ＝6n －5，n ∈N *.故S n ＝1+6n －52×n ＝3n 2－2n .答案：3n 2－2n15.（2020·新高考Ⅰ卷15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH ∥DG ，EF ＝12 cm ，DE ＝2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2.解析：如图，连接OA ，作AQ ⊥DE ，交ED 的延长线于Q ，AM ⊥EF 于M ，交DG 于E'，交BH 于F'，记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ，设OP ＝3m ，则DP ＝5m ，不难得出AQ ＝7，AM ＝7，于是AE'＝5，E'G ＝5，∴∠AGE'＝∠AHF'＝π4，△AOH 为等腰直角三角形，又AF'＝5－3m ，OF'＝7－5m ，AF'＝OF'，∴5－3m ＝7－5m ，得m ＝1，∴AF'＝5－3m ＝2，OF'＝7－5m ＝2，∴OA ＝2√2，则阴影部分的面积S ＝135360×π×（2√2）2＋12×2√2×2√2－π2＝(5π2+4)（cm 2）.答案：5π2＋416.（2020·新高考Ⅰ卷16题）已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为 .解析：如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝√22＋12＝√5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝√3.由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点.在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝√2，连接D 1P ，则D 1P ＝√D 1M 2＋MP 2＝√（√3）2＋（√2）2＝√5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝√2，故可知以M 为圆心，√2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线.由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH⏜的长为14×2π×√2＝√2π2.答案：√2π2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）（2020·新高考Ⅰ卷17题）在①ac ＝√3，②c sin A ＝3，③c ＝√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝√3sin B ，C ＝π6， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：法一 选条件①. 由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝√32.由sin A ＝√3sin B 及正弦定理得a ＝√3b . 于是2222√3b 2＝√32，由此可得b ＝c .由①ac ＝√3，解得a ＝√3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 法二 选条件②. 由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝√32.由sin A ＝√3sin B 及正弦定理得a ＝√3b . 于是2222√3b 2＝√32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3.由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝2√3，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2√3. 法三 选条件③. 由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝√32.由sin A ＝√3sin B 及正弦定理得a ＝√3b . 于是2222√3b 2＝√32，由此可得b ＝c .由③c ＝√3b ，与b ＝c 矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.18.（本小题满分12分）（2020·新高考Ⅰ卷18题）已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. （1）求{a n }的通项公式；（2）记b m 为{a n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解：（1）设{a n }的公比为q .由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8. 解得q ＝12（舍去），q ＝2.由题设得a 1＝2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n .（2）由题设及（1）知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n ＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋（b 2＋b 3）＋（b 4＋b 5＋b 6＋b 7）＋…＋（b 32＋b 33＋…＋b 63）＋（b 64＋b 65＋…＋b 100）＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×（100－63）＝480.19.（本小题满分12分）（2020·新高考Ⅰ卷19题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度（单位：μg/m 3），得下表：[0，50] （50，150]（150，475]32 18 4 （35，75] 6 8 12 （75，115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：[0，150]（150，475]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关？ 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d ），2150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64.（2）根据抽查数据，可得2×2列联表：SO2PM2.5[0，150]（150，475] [0，75]64 16（75，115]10 10（3）根据（2）的列联表得K2＝100×（64×10－16×10）280×20×74×26≈7.484.由于7.484＞6.635，故有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 20.（本小题满分12分）（2020·新高考Ⅰ卷20题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABC D.设平面PAD与平面PBC的交线为l.（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.解：（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥A D.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥A D.因此l⊥平面PDC.（2）以D为坐标原点，DA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），DC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0，1，0），PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1，1，－1）.由（1）可设Q（a，0，1），则DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（a，0，1）.设n ＝（x ，y ，z ）是平面QCD 的法向量，则{n ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{ax ＋z =0，y =0.可取n ＝（－1，0，a ）. 所以cos ＜n ，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＞＝n ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜n ｜·｜PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝√3·√1+a 2.设PB 与平面QCD 所成角为θ， 则sin θ＝√33×√1+a 2＝√33√1+2aa 2+1.因为√33√1+2a a 2+1≤√63，当且仅当a ＝1时等号成立.所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63.21.（本小题满分12分）（2020·新高考Ⅰ卷21题）已知函数f （x ）＝a e x －1－ln x ＋ln a . （1）当a ＝e 时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围.解：f （x ）的定义域为（0，＋∞），f'（x ）＝a e x －1－1x .（1）当a ＝e 时，f （x ）＝e x －ln x ＋1，f'（1）＝e －1，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y －（e ＋1）＝（e －1）（x －1），即y ＝（e －1）x ＋2. 直线y ＝（e －1）x ＋2在x 轴，y 轴上的截距分别为－2e －1，2.因此所求三角形的面积为2e －1.（2）当0＜a ＜1时，f （1）＝a ＋ln a ＜1. 当a ＝1时，f （x ）＝e x －1－ln x ，f'（x ）＝e x －1－1x .当x ∈（0，1）时，f'（x ）＜0；当x ∈（1，＋∞）时，f'（x ）＞0.所以当x ＝1时，f （x ）取得最小值，最小值为f （1）＝1，从而f （x ）≥1. 当a ＞1时，f （x ）＝a e x －1－ln x ＋ln a ≥e x －1－ln x ≥1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞）.22.（本小题满分12分）（2020·新高考Ⅰ卷22题）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且过点A （2，1）. （1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得｜DQ ｜为定值.解：（1）由题意得4a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3.所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.（2）证明：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）.若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1得（1＋2k 2）x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.于是x 1＋x 2＝－4km1+2k 2，x 1x 2＝2m 2－61+2k 2.①由AM ⊥AN 知，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，故（x 1－2）（x 2－2）＋（y 1－1）（y 2－1）＝0，可得（k 2＋1）x 1x 2＋（km －k －2）（x 1＋x 2）＋（m －1）2＋4＝0.将①代入上式可得（k 2＋1）2m 2－61+2k 2－（km －k －2）4km1+2k 2＋（m －1）2＋4＝0. 整理得（2k ＋3m ＋1）（2k ＋m －1）＝0. 因为A （2，1）不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 于是MN 的方程为y ＝k (x －23)－13（k ≠1）.所以直线MN 过点P (23,−13). 若直线MN 与x 轴垂直，可得N （x 1，－y 1）.由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0得（x 1－2）（x 1－2）＋（y 1－1）（－y 1－1）＝0. 又x 126＋y 123＝1，可得3x 12－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2（舍去），x 1＝23. 此时直线MN 过点P (23,−13). 令Q 为AP 的中点，即Q (43，13).若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故｜DQ ｜＝12｜AP ｜＝2√23. 若D 与P 重合，则｜DQ ｜＝12｜AP ｜. 综上，存在点Q (43，13)，使得｜DQ ｜为定值.。
高中数学【新高考新题型】专题练习
高中数学【新高考新题型】专题练习新题型一 多选题多选题常对多个对象(知识点)进行考查，也可对同一对象从不同角度进行考查，解法灵活，如直推法、验证法、反例法、数形结合法等均可使用，但必须对每个选项作出正确判断，才能得出正确答案.【例1】 (1)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )，c 为非零常数，则( ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同(2)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN ⊥OP 的是( )(3)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1，0)，则( ) A.|OP 1→|＝|OP 2→| B.|AP 1→|＝|AP 2→|C.OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→D.OA →·OP 1→＝OP 2→·OP 3→答案 (1)CD (2)BC (3)AC解析 (1)∵y －＝1n (y 1＋y 2＋…＋y n ) ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋c ，∴y －＝x －＋c 且c ≠0，因此A 错误；显然第一组数据与第二组数据的中位数相差c ，B 错误；因为D (y )＝12·D (x )＝D (x )，故两组样本数据的方差相同，C 项正确；由极差的定义知：若第一组的极差为x max －x min ，则第二组的极差为y max －y min ＝x max －x min ，故两组样本数据的极差相同，D 项正确. (2)设正方体的棱长为2.对于A ，如图(1)所示，连接AC ，则MN ∥AC ，故∠POC (或其补角)为异面直线OP ，MN 所成的角.在直角三角形OPC 中，∠POC 为锐角，故MN ⊥OP 不成立，故A 错误；图(1)对于B ，如图(2)所示，取MT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ ⊥MT ，PQ ⊥MN .由正方体SBCN-MADT 可得SM ⊥平面MADT ，而OQ ⊂平面MADT ，故SM ⊥OQ ，又SM ∩MT ＝M ，SM ，MT ⊂平面SNTM ，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，所以OQ ⊥MN ，又OQ ∩PQ ＝Q ，OQ ，PQ ⊂平面OPQ ，所以MN ⊥平面OPQ ，又OP ⊂平面OPQ ，故MN ⊥OP ，故B 正确；图(2) 图(3)对于C ，如图(3)，连接BD ，则BD ∥MN ，由B 的判断可得OP ⊥BD ，故OP ⊥MN ，故C 正确；对于D ，如图(4)，取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接AC ，PQ ，OQ ，PK ，OK ，则AC ∥MN .因为DP ＝PC ，故PQ ∥AC ，故PQ ∥MN ，所以∠QPO (或其补角)为异面直线PO ，MN 所成的角，图(4)因为正方体的棱长为2，故PQ ＝12AC ＝2，OQ ＝AO 2＋AQ 2＝1＋2＝3，PO ＝PK 2＋OK 2＝4＋1＝5，QO 2<PQ 2＋OP 2，故∠QPO 不是直角，故PO ，MN 不垂直，故D 错误.故选BC. (3)由题意可知，|OP 1→|＝cos 2α＋sin 2α＝1，|OP 2→|＝cos 2β＋（－sin β）2＝1，所以|OP 1→|＝|OP 2→|，故A 正确；取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，则|AP 1→|≠|AP 2→|，故B 错误；因为OA →·OP 3→＝cos(α＋β)，OP 1→·OP 2→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→，故C 正确；因为OA →·OP 1→＝cos α，OP 2→·OP 3→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，则OA →·OP 1→＝22，OP 2→·OP 3→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1→≠OP 2→·OP 3→，故D 错误.故选AC. 新题型二 多空题与开放型填空题 1.多空题分为三类：(1)并列式(两空相连).根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单.会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解；(2)分列式(一空一答).两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问；(3)递进式(逐空解答).两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键，也是解答第二空的基础. 2.开放型填空题的特点是正确的答案不唯一，一般可分为： (1)探索型(一是条件探索型，二是结论探索型)； (2)信息迁移型； (3)组合型等类型.【例2】 (1)已知a ＝(2，1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0，1)，则(a ＋b )·c ＝________；a ·b ＝________.(2)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm ×12 dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm ×12 dm ，20 dm ×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240 dm 2，对折2次共可以得到5 dm ×12 dm ，10 dm ×6 dm ，20 dm ×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180 dm 2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑nk ＝1S k ＝________ dm 2.答案 (1)0 3 (2)5 240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n解析 (1)计算可得(a ＋b )·c ＝(4，0)·(0，1)＝0，a ·b ＝4－1＝3.(2)依题意得，S 1＝120×2＝240(dm 2)； S 2＝60×3＝180(dm 2)；当n ＝3时，共可以得到5 dm ×6 dm ，52 dm ×12 dm ，10 dm ×3 dm ，20 dm ×32 dm 四种规格的图形，且5×6＝30，52×12＝30，10×3＝30，20×32＝30， 所以S 3＝30×4＝120(dm 2)；当n ＝4时，共可以得到5 dm ×3 dm ，52 dm ×6 dm ，54 dm ×12 dm ，10 dm ×32 dm ，20 dm ×34 dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，52×6＝15，54×12＝15，10×32＝15，20×34＝15，所以S 4＝15×5＝75(dm 2)； ……所以可归纳S k ＝2402k ·(k ＋1)＝240（k ＋1）2k(dm 2). 所以∑nk ＝1S k ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，① 所以12×∑nk ＝1S k＝240×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，② 由①－②得，12·∑nk ＝1S k＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122＋123＋124＋…＋12n －n ＋12n ＋1 ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－12n ×121－12－n ＋12n ＋1＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－n ＋32n ＋1，所以∑nk ＝1S k ＝240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n dm 2.【例3】 (1)若P (cos θ，sin θ)与Q ⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值________.(2)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )：________. ①f (x 1x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0；③f ′(x )是奇函数. 答案 (1)5π12⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＝5π12＋k π，k ∈Z ，答案不唯一(2)f (x )＝x 4(答案不唯一，f (x )＝x 2n (n ∈N *)均满足)解析 (1)由题意知，点P ，Q 都在单位圆上，且θ＋θ＋π6＝π＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝5π12＋k π，k ∈Z . (2)取f (x )＝x 4，则f (x 1x 2)＝(x 1x 2)4＝x 41x 42＝f (x 1)f (x 2)，满足①；f ′(x )＝4x 3，x >0时有f ′(x )>0，满足②； f ′(x )＝4x 3的定义域为R ，又f ′(－x )＝－4x 3＝－f ′(x )，故f ′(x )是奇函数，满足③. 新题型三 结构不良型解答题(1)结构不良型解答题多出现在三角函数和解三角形、数列两部分内容，但有时也出现在其他章节，有三选一和三选二两种类型.(2)解答此类题型，要注意仔细审视条件，切忌浅尝辄止，反复变更条件解答. 【例4】在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝ 3sin B ，C ＝π6，________？(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3. 由②c sin A ＝3，解得c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 【例5】已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度.①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC ＝334.(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解(1)由正弦定理bsin B＝csin C，得sin C＝c sin Bb，又c＝2b cos B，所以sin C＝2sin B cos B＝sin 2B，又A，B，C为△ABC的内角，C＝2π3，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π，即B＝π6.(2)由(1)知，c＝3b，故不能选①.选②，由(1)知A＝π－2π3－π6＝π6，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故周长为(4＋23)x＝4＋23，解得x＝1.从而BC＝AC＝2，AB＝2 3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝12＋1－AD243＝32，解得AD＝7.故BC边上的中线长为7. 选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故S△ABC ＝12·2x·2x·sin2π3＝3x2＝334，解得x＝32，从而BC＝AC＝3，AB＝3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝9＋⎝⎛⎭⎪⎫322－AD233＝32，解得AD＝212.故BC边上的中线长为212.。
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2020年4月17日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列说法正确的是（ ）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程0.110ˆyx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位 【答案】CD 【解析】 【分析】对A,根据分层抽样的意义辨析即可. 对B,根据概率的含义辨析即可. 对C,根据回归模型的性质辨析即可.对D,根据线性回归方程的实际意义分析即可. 【详解】对A,分层抽样为根据样本特征按比例抽取,从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测不满足.故A 错误. 对B , 降水概率为90%,但仍然有10%的概率不下雨,故B 错误.对C, 在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好正确.对D, 回归直线方程0.110ˆyx =+中x 的系数为0.1,故当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy增加0.1个单位正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了概率统计中分层抽样、概率与回归直线的基本概念与性质.属于基础题. 2．关于函数22()cos sin 1f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值 B ．函数()f x 以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D ．将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+ 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质和绝对值的性质逐一判断即可. 【详解】22()cos sin 1cos 21f x x x x =-+=+.A ：()cos2()1cos21()f x x x f x ππ+=++=+=，所以函数()f x 的周期为π.当()2k x k Z π=∈时，()cos 21cos 1222k k f k πππ=+=+=，所以函数()f x 在()2k x k Z π=∈处取得最大值，故本选项是正确的； B ：()cos 2()1cos 21()22f x x x f x ππ+=++=+=，所以函数()f x 的周期为2π. 当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos21cos21f x x x =+=-+，故函数是单调递增函数，因此本选项是正确的；C ：()cos[2()]1cos2+1=()f x x x f x -=-+=，所以函数是偶函数，由上分析，函数在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减是不正确的，故本选项是错误的； D ：将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos[2(1)]|1cos(22)1g x x x =-+=-+，故本选项是错误, 故选：AB 【点睛】本题考查了余弦型函数的性质，考查了二倍角的余弦公式，考查了绝对值的性质，考查了余弦的诱导公式.3．已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】BCD 【解析】 【分析】当1x >时,利用均值定理可知()min 4f x a =+,当1x ≤时,若(1)f 为最小值,需使得对称轴满足1x a =≥,且由分段函数,(1)4f a ≤+,进而求解即可 【详解】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小, 则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+, 即1294a a -+≤+,解得2a ≥, 故选:BCD 【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD【解析】 【分析】根据抛物线的定义进行推理判断． 【详解】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确；若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确． 【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，掌握抛物线的定义是解题基础． 5．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（ ）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >【答案】AD 【解析】 【分析】由等比数列的公比0q <，可知9100a a <，又由条件99a b >且1010a b >，判断9b 和10b中至少有一个数是负数，公差0d <，再判断其他选项. 【详解】Q 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴< ，故A 正确；但不能确定9a 和10a 的大小关系；故B 不正确；9a Q 和10a 异号，且99a b >且1010a b >， 9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b =>Q ，0d ∴< 910b b ∴> ，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b < ，故C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查等差和等比数列的性质的判断和综合应用，意在考查推理和判断能力，属于中档题型.6．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =u u u v u u u v，F 为AE 的中点，则（ ）A ．12BC AB AD =-+u u u v u u uv u u u vB ．1133AF AB AD =+u u u v u u u v u u u vC ．2133BF AB AD =-+u u u v u u uv u u u vD ．1263CF AB AD =-u u u v u u u v u u u v【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题． 【详解】解：∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ， 由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u ur u u u r ，A 对；∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u uv u u u v ，∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ， 又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u ur u u u r ，B 对；∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v ，C 对；∴CF CB BF =+u u u r u u u r u u u r BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u u r u u u r ，D 错； 故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题． 7．已知点()1,0F 为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为（ ） A ．24y x =B ．24x y =C ．22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<） D ．22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<） 【答案】AD 【解析】 【分析】依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案. 【详解】A. 24y x =，抛物线的焦点为()1,0F ，满足；B. 24x y =，抛物线的焦点为()0,1F ，不满足；C. 22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<），焦点为()，或(0,或曲线表示圆不存在焦点，02πθ<<，则22cos sin cos 21θθθ-=≠，均不满足；D. 22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<），双曲线的焦点为()1,0F ，满足； 故选：AD . 【点睛】本题考查了曲线的焦点，意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.8．已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据()e e xxf x -=-与()e e xxg x -=+的单调性逐个判定即可.【详解】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x xf x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B错误.对C, 当因为()e e x xf x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.二、解答题9．已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（1）22T ππ==（2）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后根据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）先求23x π+的范围再求函数的最小值. 试题解析:（Ⅰ）()31sin2sin2sin2cos2sin 222223f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤.所以1sin 2sin 362x ππ⎛⎫⎛⎫+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A ωx φ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()112n n S a n -=-≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据n S 与n a 的关系得出数列{}n a 为等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】解：（1）当2n =时，121S a =-，即2112a a =+=； 当2n ≥时，11n n S a -=-①，11n n S a +=-② 由②-①得11n n n n S S a a -+-=-，即1n n n a a a +=-，∴12n na a += 即34232a a a a ===L ，又212a a =∴数列{}n a 为等比数列，公比为2，首项为1∴11122n n n a --=⋅=（2）由（1）可得12n n a +=，2log 2n n b n ==，12n n n a b n -=⋅， ∴01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ③()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ④③-④得()()2111212222212112nn n nnn T n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，∴()121nn T n =-⋅+．【点睛】本题主要考查了利用n S 与n a 的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，12AA =，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点1C 的最短路线与棱1AA 的交点记为M ，求：（1）三棱柱的侧面展开科的对角线长； （2）该最短路线的长及1A MAM的值； （3）平面1C MB 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小.【答案】（1）（2）最短路线的长为11A MAM=；（3）45o 【解析】 【分析】（1）易知正三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,进而求解即可； （2）画出展开图,点B 运动到点D 的位置,由展开图可知1DC 为最短路径,进而求解即可； （3）连接DB ,则DB 是平面1C MB 与平面ABC 的交线,由DCB V 的性质可得CB DB ⊥,再由平面11CBB C ⊥平面ABC ,平面11CBB C ⋂平面ABC BC =,可进一步得到1C B DB ⊥,则1C BC ∠是平面1C MB 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角）,进而求解即可 【详解】（1）正三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为==（2）如图,将侧面11AA B B 绕棱1AA 旋转120︒使其与侧面11AAC C 在同一平面上,点B 运动到点D 的位置,连接1DC 交1AA 于M ,则1DC 是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点1C 的最短路线,∴1DC ====,∵11DMA A MC ∠=∠,11MAD MAC ∠=∠,11DA A C =,∴11DMA C MA ≅V V,∴1AM A M =,故11A MAM=,即最短路线的长为此时11A MAM= （3）如图,连接DB ,则DB 是平面1C MB 与平面ABC 的交线,在DCB V 中,603090DBC CBA ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒, ∴CB DB ⊥.又∵平面11CBB C ⊥平面ABC ,平面11CBB C ⋂平面ABC BC =,DB ⊂平面ABC , ∴DB ⊥平面11CBB C ,∴1C B DB ⊥,∴1C BC ∠是平面1C MB 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角）,∵侧面11CBB C 是正方形,∴145C BC ∠=︒,故平面1C MB 与平面ABC 所成的二面角（锐角）为45︒. 【点睛】本题考查由棱柱展开图求距离最小值,考查直接法求二面角,考查空间想象能力 12．某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？ （3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.【答案】（1）144（2）12（3）49【解析】第一问中利用等概率抽样求解样本容量．可知由,解得第二问中，由于用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查 因此先求第三批的人数，然后按比例抽样得到第三批中抽取的人数 第三问中，结合古典概型概率公式求解得到． 解: (1)由,解得. ……………3分(2)第三批次的人数为,设应在第三批次中抽取m 名，则，解得12m =.∴应在第三批次中抽取12名. ……………6分（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ，由（2）知200,(,,96,96)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：，共9个，而事件A 包含的基本事件有：(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共4个， ∴4()9P A =. ……………………………………12分 13．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，M 是椭圆短轴的一个顶点，且12MF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知直线l ：0x my t --=与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 恰好为平行四边形，求直线l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）4【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形可得1,b c a ===E 的标准方程；（2）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2212x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，根据韦达定理和四边形OAPB 恰好为平行四边形可得点P 的坐标，将其代入椭圆方程可得2242t m =+，再利用面积公式和基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由已知得12(,0),(,0)F c F c -，设(0,)M b .12MF F ∆Q 是面积为1的等腰直角三角形，1,b c a ∴===∴椭圆E 的方程为2212x y +=（2）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y .联立2212x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2222220m y mty t +++-=，则()22820m t ∆=+->.根据韦达定理得12221222222mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为四边形OAPB 恰好为平行四边形，所以OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r.所以12222P mty y y m -=+=+， ()1212122422P tx x x my t my t m y y t m =+=+++=++=+因为点P 在椭圆C 上，所以()()22222221641222t m t m m+=++，整理得()()22224212m t m +=+，即2242t m =+在直线l ：0x my t --=中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则0t ≠，0m ≠. 令0x =，得ty m=-，令0y =，得x t =.所以三角形面积为2112121||||28||8||84t m S t m m m m ⎛⎫+=-=⋅=+≥⨯= ⎪⎝⎭ 当且仅当22m =，21t =时，取等号，此时240∆=>. 所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为4. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的交点问题，考查了三角形的面积公式，考查了基本不等式求最小值，考查了运算求解能力，属于中档题. 14．已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1fx -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21x g x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()22xF x g x =+-的零点；(3)设()g x 的反函数为()1gx -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4. 【解析】 【分析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可. (2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121xxF x =-+-+，令()0F x =，即()()21212x x-+=，即43x =，解方程，即可.(3)由题意可知，()()121log ,1,11xgx x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x-<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围. 【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a = 所以()()24log 1f x x =+-. (2)Q ()g x 为R 上的奇函数 ∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121xg x =-+ 则()()22xF x g x =+- 令()0F x =，即221021x x-+-=+ 则()()()2212121412xxx x -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =. (3)由(2)可知()2121x g x =-+ ∴()()121log ,1,11xg x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1x k f x gx x x-+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x xx-+-++=+=+++令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈ Q 244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减 ∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1gk x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤又Q k 为正实数 ∴(0,4]k ∈. 【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.15．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知a ＝3，sin sin sin c C a A b B =+，且B ＝60°.（1）求△ABC 的面积；（2）若D ，E 是BC 边上的三等分点，求sin DAE ∠.【答案】（1；（2【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，可得△ABC 为直角三角形，然后可计算b ，可得结果.（2）计算,AE AD ，然后根据余弦定理，可得cos DAE ∠，利用平方关系，可得结果. 【详解】（1）△ABC 中，由csinC ＝asinA +bsinB ，利用正弦定理得c 2＝a 2+b 2，所以△ABC 是直角三角形.又a ＝3，B ＝60°,所以tan 60b a ==o所以△ABC 的面积为12S ab ==. （2）设D 靠近点B ，则BD ＝DE ＝EC ＝1.AE ==AD =所以222cos 2AE AD DE DAE AE AD +-∠==⋅所以sin DAE ∠==. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-；（2）69nn +. 【解析】 【分析】（1）先设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果；（2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为 24S =，525S =，则：1124545252a d a d +=⎧⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以12(1)21n a n n =+-=-． （2）由于21n a n =-， 所以()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭．则1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．17．在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，//AB CD ，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，,E F 分别为,PC CD 的中点，DE EC =.（1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；（2）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43ππθ∈，求a 的取值范围.【答案】(1)详见解析; (2).【解析】 【分析】 【详解】 （Ⅰ），分别为的中点，为矩形，∵DE=EC ，∴DC ⊥EF ，又AB ∥CD ，∴AB ⊥EF ∵BF∩EF=F ，∴AB ⊥面BEF ，又AE ⊂面ABE ， ∴平面ABE ⊥平面BEF ． (Ⅱ),又，又,所以面, 法一：建系AB 为x 轴，为y 轴，为z 轴,，,平面法向量1(0,0,1)n =u r，平面法向量·，可得.法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连, 则,面,, 作于点，所以面,连,则,即为所求在中，,解得.18．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望()E X．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关；（2）分布列见解析，20()9E X=【解析】【分析】（1）根据独立性检验的思想即可判断.（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，X的可能取值为01234，，，，，求出各随机变量的概率，列出分布列即可求出期望.【详解】（1）完善列联表如下所示：222()60(14201016) 1.111 2.706()()()()30302436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯∴==≈<++++⨯⨯⨯，故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X 的可能取值为01234，，，，，55591(0)126C P X C ===,41545920(1)126C C P X C ===,32545960(2)126C C P X C ===, 23545940(3)126C C P X C ===,5944155(4)126C C P X C ===， 故X 的分布列为：所以1206040520()012341261261261261269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验以及数学期望，解题的关键是列出列联表和分布列，属于基础题.19．顺次连接椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)Q -的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1OA OB k k ⋅=-，其中O 为坐标原点，求||AB ．【答案】(1) 2212x y += (2) AB =【解析】【分析】（1）利用已知建立a ，b 的方程，解出a ，b 即可.（2）先考虑斜率不存在时，则OA k 与OB k 不存在，可设直线为2y kx =-，与椭圆联立，利用韦达定理结合条件解得k ，再利用弦长公式计算AB 即可.【详解】（1）由题可知2ab =223a b +=，解得a =1b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设l 的方程为2y kx =-， 代入方程2212x y +=，整理得()2212860k x kx +-+=. 由()226424210k k ∆=-+>，解得232k >， 所以122812k x x k +=+，122612x x k =+. ()21212121212241OA OB k x x k x x y y k k x x x x -++⋅===-， 解得25k =.11AB ==. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设而不求，利用韦达定理是解决此类问题的常见方法，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数()()21,,x f x ax x a e a R e =-++∈为自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）若函数()f x 在()0+∞，内存在两个极值点，求a 的取值范围.【答案】(1) 14a = (2)1(0,)4 【解析】【分析】 （Ⅰ）()()221x f x ax a x a e ⎡⎤=+-+⎣⎦'，由题设知()10f '=，求得a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在()0+∞，内存在两个极值点，则方程()2210ax a x a +-+= 在()0,+∞内由两个不等实根,可列不等式组()221212214012010a a a x x a x x ⎧∆=-->⎪-⎪+=>⎨⎪⋅=>⎪⎩,即可求a 的范围 【详解】解：（Ⅰ）()()221x f x ax a x a e ⎡⎤=+-+⎣⎦'，由题设知()10f '=，故14a = （Ⅱ）由题知，()2210ax a x a +-+=在()0,+∞内由两个不等实根， ()221212214012010a a a x x a x x ⎧∆=-->⎪-⎪∴+=>⎨⎪⋅=>⎪⎩ 104a ∴<<. 【点睛】本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.。