弹塑性力学读书报告DOC(最新整理)
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一、弹塑性力学发展史 (一)弹性力学的发展 近代弹性力学，可认为始于柯西(Cauchy，A． L．)在 1882 年引进应变与应力的概念，
建立了平衡微分方程、边界条件、应变与位移关系。它的发展进程对促进数学和自然科学基 本理论的建立和发展，特别是对促进造船、航空、建筑、水利、机械制造等工业技术的发展 起了相当重要的作用。柯西的工作是近代弹性力学以及近代连续介质力学的一个起点。之后， 世界各国的一大批学者相继做出了重要贡献，使得弹性力学迅速发展起来，并根据实际的需 要形成了一些专门分支学科，如热弹性力学，弹性动力学，弹性系统的稳定理论，断裂力学， 损伤力学，等等。
(2)塑性材料 塑性材料也是固体材料约一种理想模型。塑性材料的特征是：在变形过程中，应力和 应变不再具有一一对应的关系，应变的大小与加载的历史有关，但与时间无关；卸载过程中， 应力与应变之间按材料固有的弹性规律变化，完全卸载后，物体保持一定的永久变形、或称 残余变形。部分变形的不可恢复性是塑性材料的基本特征。 (3)粘性材料 当材料的力学性质具有时间效应，即材料的力学性质与载荷的持续时间和加载速率相关 时，称为粘性材料。实际材料都具有不同程度的粘性性质，只不过有时可以略去不计。 3. 结构计算模型 (1)小变形假设 假定物体在外部因素作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸。应用该假设，可使计 算模型大力简化。例如，在研究物体的平衡时，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸位置的 变化，在建立几何方程和物理方程时，可以略天其中的二次及更高次项，使得到的基本方程 是线性偏微分方程组。与之相对应的是大变形情况，这时必须考虑几何关系中的二阶或高阶 非线性项，导致变形与载荷之间为非线性关系，得到的基本方程是更难求解的非线性偏微分 方程组。 (2)无初应力假设 假定物体原来是处于一种无应力的自然状态。即在外力作用以前，物体内各点应力均为 零。分析计算是从这种状态出发的。 (3)载荷分类
(2)实验方法 就是利用机电方法、光学方法、声学方法等来测定结构部件在外力作用下应力和应变的 分布规律，如光弹性法、云纹法等。 (3)实验与数学相结合的方法 这种方法常用于形状非常复杂的弹塑性结构。例如对结构的特殊部位的应力状志难以 确定，可以用光弹性方法测定，作为已知量，置入数值计算中，待别是当边界条件难以确定 时，则需两种方法结合起来，以求得可靠的解答。 四、基本思想及理论 1 科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事 物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律， 而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的 现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、 连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的 解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题 的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 （1）连续性假定 整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。使得 σ、ε、u 等量表示 成坐标的连续函数。 （2）线弹性假定（弹性力学） 假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。 （3）均匀性假定 假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性质相同。这样弹性常数（E、μ） 等不随位置坐标而变化，取微元体分析的结果就可应用于整个物体。 （4）各向同性假定（弹性力学） 假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同，弹性常数（E、μ）不随坐标方向 而变化； （5）小变形假定 假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，建立方程时，可略去高阶微量；。 2 应力状态理论 应力的概念的提出用到了数学上极限的概念，定义为微小面元上的内力矢量。在微观层
弹性力学为社会发展、人类的文明进步起了至关重要的作用。交通业、造船、铁路建筑、 机械制造、航空航天事业、水利工程、房屋建筑、军事工程等的发展，都离不了力学工作者 的贡献。从 18 世纪开始．涌现出了一大批力学家，像柯西、欧拉(Euler L.)、圣维南(SaintVenant)、纳维(Navier)、克希霍夫(Kirchoff，G．R．)、拉格朗日 (Lagran8e，J． L．)、乐 甫(Love，A．E．H．)、铁木辛柯(Timoshenkn，S．P．)及我国的钱学森、钱伟长、徐芝纶、 胡海昌等。他们都对弹性力学的发展做出了贡献，他们的优秀著作培养了一代又一代的工程 师和科学家。
1. 材料构造模型 (1)连续性假设 假定固体材料是连续介质，即组成物体的质点之间不存在任何间隙，连续紧密地分布于 物体所占的整个空间。由此，我们可以认为一些物理量如应力，应变和位移等可以表示为坐 标的连续函数，从而在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，事实上，一切物体都 是由微粒组成的、都不可能符合这个假设。我们可以想象，微粒尺寸及各微粒之间的距离远 比物体的几何尺寸小时，运用这个假设不会引起显著的误差。 (2)均匀及各向同性假设 假设物体由同一类型的均匀材料组成，则物体内各点与各方向上的物理性质相同(各向 同性)；物体各部分具有相同的物理性质，不会随坐标的改变而变化(均匀性)。 2. 材料力学性质模型 (1)弹性材料
物体内各质点发生位移后，如果仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体仅发生刚体位
移，如果改变了各点间初始状态的相对位置，则物体还产生了形状的变化，包括体积改变和
应力问题则是一般普遍的情形。对应力的分析应用静力学的理论可以得到求解弹塑性力学的
平衡微分方程。以下是空间问题的平衡微分方程。
xห้องสมุดไป่ตู้
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3 应变状态理论
xy y zy Y 0
x y z
xz
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x y z
在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。
弹性力学虽是一门古老的学科，但现代科学技术的发展给弹性力学提出了越来越多的理 论问题和工程应用问题，弹性力学在许多重要领域展现出它的重要性。本书将介绍其基本原 理和实用的解题方法。 二、弹塑性力学模型
在弹塑性力学的研究中，如同在所有科学研究中一样，都要对研究对象进行模拟，建立 相应的力学模型(科学模型)。“模型”是“原型”的近似描述或表示。建立模型的原则，一是科 学性--尽可能地近似表示原型；二是实用性--能方便地应用。显然，一种科学(力学)模型的建 立，要受到科学技术水平的制约。总的来说，力学模型大致有三个层次：材料构造模型、材 料力学性质模型，以及结构计算模型。第一类模型属基本的，它们属于科学假设范畴。因此， 往往以“假设”的形式比现。“模型”有时还与一种理论相对应；因而在有些情况下，‘模型”、“假 设”和“理论”可以是等义的。
小而趋于 A 点．则 F ／ V 将趋于—定的极限 f 。
即
lim F f V 0 V 这个极限矢量 f 就是该物体在 A 点所受体力的集度。由于 V 是标量，所以 f 的方问
就是 F 的极限方向。矢量 f 在坐标轴 xi (i 1,2,3) 上的投影 X i 称为该物体在 A 点的体力
分量，以沿坐标轴正方向时为正，它们的因次是[力][长度] 3 。
lim P p s0 S
矢量 p 在坐标轴 xi 上的投影 X i 称为 B 点的面力分量，以沿坐标轴正方向时为正，它们的
因次是[力][长度] 2 。作用在物体表面上的力都占有一定的面积，当作用面很小或呈狭长形时，
可分别理想化为集中力或线分布力。 三、弹塑性力学问题的研究方法 弹塑性力学问题的研究方法可分为三种类型： (1)数学方法 就是用数学分析的工具对弹塑性力学边值问题进行求解，从而得出物体的应力场和位移
力学问题，还有所谓的逆解法和半逆解法。 另一种数学方法是数值方法。特别是广泛应用电子计算机以后，数值方法对大量的弹性
力学问题十分有效。在数值方法中，常见的有差分法、有限元法及边界元法等。目前已广泛 应用于弹塑性力学的各类问题的计算中。尤其是塑性力学方程是非线性的，因而在应用近似 计算方法方面引起人们的注意。近年来由于计算技术的发展，应用增量理论进行近似计算的 讨论己比较多。目前有限元法在弹塑性理论已广泛应用，可以顶计用有限元法和其他数值计 算万法进行弹塑性应力分析将有广阔的前途。
建立弹塑性力学的基本方程所采用的方法同材料力学相比更—般化了。它不是对某个构 件或结构建立方程，而是对从物体中截取的单元体建立方程，由此建立的是偏微分方程，它 适用于各种构件或结构的弹性体。
一般来说，在外力作用下，弹塑性体内部各点的应力、应变和位移是不同的，都是位置 坐标的函数。这些函数关系只用平衡条件是不能求得的，所以，任何弹塑性力学问题均为超 静定问题，必须从静力平衡、变形几何关系和应力应变物理关系三个方面来考虑。即对单元 体用静力学条件，得到—组平衡微分方程；然后考虑变形条件，得到—组几何方程，最后再 利用材料的物理关系，称之为本构方程得到表示应力与应变关系的物理方程。此外，在弹塑 性体的表面上，还必须考虑体内的应力与外载荷之间的平衡，从而得到边界条件。根据边界 条件求解上述方程．便得各种具体问题的解答。这就是说，可根据足够数目的微分方程和定 解条件，来求解未知的应力、应变和位移。因此，在用弹塑性力学的方这种方法要解含未知 量的偏微分方程，对很多问题的精确求解难度很大，故常采用近似解法。例如，基于能量原 理的变分方法，其中主要是里茨(Ritz，w．)法，伽辽金(Galerkin，B．G．)法等。对于弹性
所谓面力是分布在物体表面上的力。如风力、流体压力、两固体间的接触力等。物体上
各点所受的面力一般也是不同的。为了表明物体表面上一点 B 所受面力的大小和方向，可 仿照对体力的讨论，得出当作用于 S 面积上的面力为 P ，而面力的平均集度为 P / S ， 微小面 S 无限缩小而趋于点 B 时的极限矢量 p ，即
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力，两 F 者分别简称为体力和面力。
所谓体力是分布在物体体积内的力。例如重力和惯性力，物体内各点所受的体力 一般是不同的。为了表明物体内某一点
A所 受 体 力 的 大 小 和 方 问，在这—点取物体的一小微元体 V ， 它包含A 点 (图 1．1)。 设作用于 V 的体力为 F ，则体力的平均集度 为 F / V 。如果把所取的这一小部分物体 V 不断 减小，则 F 和 F / V 都将不断地改变大小、方向 和作用点。现在，假定体力为连续分布，则 V 无限减
场等。在材料力学中求解超静定问题时，从静力平衡、变形几何关系和应力应变物理关系三 个方面来建立求解超静定问题的基本方程，用“应力法”或“位移法”来求解各种具体超静定问 题。 上述方法对于分析弹塑性力学问题同样是适用的。因为弹塑性力学的基本内容，同 样可归结为建立基本方程，根据基本方程求解各类具体问题。
面，我们研究的是一点的应力状态。在宏观层面，根据物体所受的面力和体力以及其与坐标
轴的关系，将物体的应力状态分为平面应力问题、平面应变问题及空间应力问题。平面应力
问题是指物体在一个方向上的尺寸很小，且外荷载沿该方向的厚度均匀分布（如矩形薄板）；
平面应变问题则是物体在一个方向上的尺寸很大，外荷载沿该方向为常数（如水坝）。空间
弹性材料是对实际固体材料的一种抽象，它构成一个近似于真实材料的理想模型。弹性 材料的特征是：物体在变形过程中，对应于一定的温度，应力与应变之间呈 一一对应的关 系，它和载荷的持续时间及变形历史无关；卸载后，类变形可以完全恢复。在变形过程中， 应力与应变之司呈线性关系，即服从胡克 (Hooke R)规律的弹性材料称为线性弹性材料；而 某些金属和塑料等，其应力与应变之间呈非线性性质，称为非线性弹性材料。材料弹性规律 的应用，就成为弹性力学区别于其它固体力学分支学科的本质特征。
建立了平衡微分方程、边界条件、应变与位移关系。它的发展进程对促进数学和自然科学基 本理论的建立和发展，特别是对促进造船、航空、建筑、水利、机械制造等工业技术的发展 起了相当重要的作用。柯西的工作是近代弹性力学以及近代连续介质力学的一个起点。之后， 世界各国的一大批学者相继做出了重要贡献，使得弹性力学迅速发展起来，并根据实际的需 要形成了一些专门分支学科，如热弹性力学，弹性动力学，弹性系统的稳定理论，断裂力学， 损伤力学，等等。
(2)塑性材料 塑性材料也是固体材料约一种理想模型。塑性材料的特征是：在变形过程中，应力和 应变不再具有一一对应的关系，应变的大小与加载的历史有关，但与时间无关；卸载过程中， 应力与应变之间按材料固有的弹性规律变化，完全卸载后，物体保持一定的永久变形、或称 残余变形。部分变形的不可恢复性是塑性材料的基本特征。 (3)粘性材料 当材料的力学性质具有时间效应，即材料的力学性质与载荷的持续时间和加载速率相关 时，称为粘性材料。实际材料都具有不同程度的粘性性质，只不过有时可以略去不计。 3. 结构计算模型 (1)小变形假设 假定物体在外部因素作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸。应用该假设，可使计 算模型大力简化。例如，在研究物体的平衡时，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸位置的 变化，在建立几何方程和物理方程时，可以略天其中的二次及更高次项，使得到的基本方程 是线性偏微分方程组。与之相对应的是大变形情况，这时必须考虑几何关系中的二阶或高阶 非线性项，导致变形与载荷之间为非线性关系，得到的基本方程是更难求解的非线性偏微分 方程组。 (2)无初应力假设 假定物体原来是处于一种无应力的自然状态。即在外力作用以前，物体内各点应力均为 零。分析计算是从这种状态出发的。 (3)载荷分类
(2)实验方法 就是利用机电方法、光学方法、声学方法等来测定结构部件在外力作用下应力和应变的 分布规律，如光弹性法、云纹法等。 (3)实验与数学相结合的方法 这种方法常用于形状非常复杂的弹塑性结构。例如对结构的特殊部位的应力状志难以 确定，可以用光弹性方法测定，作为已知量，置入数值计算中，待别是当边界条件难以确定 时，则需两种方法结合起来，以求得可靠的解答。 四、基本思想及理论 1 科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事 物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律， 而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的 现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、 连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的 解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题 的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 （1）连续性假定 整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。使得 σ、ε、u 等量表示 成坐标的连续函数。 （2）线弹性假定（弹性力学） 假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。 （3）均匀性假定 假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性质相同。这样弹性常数（E、μ） 等不随位置坐标而变化，取微元体分析的结果就可应用于整个物体。 （4）各向同性假定（弹性力学） 假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同，弹性常数（E、μ）不随坐标方向 而变化； （5）小变形假定 假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，建立方程时，可略去高阶微量；。 2 应力状态理论 应力的概念的提出用到了数学上极限的概念，定义为微小面元上的内力矢量。在微观层
弹性力学为社会发展、人类的文明进步起了至关重要的作用。交通业、造船、铁路建筑、 机械制造、航空航天事业、水利工程、房屋建筑、军事工程等的发展，都离不了力学工作者 的贡献。从 18 世纪开始．涌现出了一大批力学家，像柯西、欧拉(Euler L.)、圣维南(SaintVenant)、纳维(Navier)、克希霍夫(Kirchoff，G．R．)、拉格朗日 (Lagran8e，J． L．)、乐 甫(Love，A．E．H．)、铁木辛柯(Timoshenkn，S．P．)及我国的钱学森、钱伟长、徐芝纶、 胡海昌等。他们都对弹性力学的发展做出了贡献，他们的优秀著作培养了一代又一代的工程 师和科学家。
1. 材料构造模型 (1)连续性假设 假定固体材料是连续介质，即组成物体的质点之间不存在任何间隙，连续紧密地分布于 物体所占的整个空间。由此，我们可以认为一些物理量如应力，应变和位移等可以表示为坐 标的连续函数，从而在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，事实上，一切物体都 是由微粒组成的、都不可能符合这个假设。我们可以想象，微粒尺寸及各微粒之间的距离远 比物体的几何尺寸小时，运用这个假设不会引起显著的误差。 (2)均匀及各向同性假设 假设物体由同一类型的均匀材料组成，则物体内各点与各方向上的物理性质相同(各向 同性)；物体各部分具有相同的物理性质，不会随坐标的改变而变化(均匀性)。 2. 材料力学性质模型 (1)弹性材料
物体内各质点发生位移后，如果仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体仅发生刚体位
移，如果改变了各点间初始状态的相对位置，则物体还产生了形状的变化，包括体积改变和
应力问题则是一般普遍的情形。对应力的分析应用静力学的理论可以得到求解弹塑性力学的
平衡微分方程。以下是空间问题的平衡微分方程。
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3 应变状态理论
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在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。
弹性力学虽是一门古老的学科，但现代科学技术的发展给弹性力学提出了越来越多的理 论问题和工程应用问题，弹性力学在许多重要领域展现出它的重要性。本书将介绍其基本原 理和实用的解题方法。 二、弹塑性力学模型
在弹塑性力学的研究中，如同在所有科学研究中一样，都要对研究对象进行模拟，建立 相应的力学模型(科学模型)。“模型”是“原型”的近似描述或表示。建立模型的原则，一是科 学性--尽可能地近似表示原型；二是实用性--能方便地应用。显然，一种科学(力学)模型的建 立，要受到科学技术水平的制约。总的来说，力学模型大致有三个层次：材料构造模型、材 料力学性质模型，以及结构计算模型。第一类模型属基本的，它们属于科学假设范畴。因此， 往往以“假设”的形式比现。“模型”有时还与一种理论相对应；因而在有些情况下，‘模型”、“假 设”和“理论”可以是等义的。
小而趋于 A 点．则 F ／ V 将趋于—定的极限 f 。
即
lim F f V 0 V 这个极限矢量 f 就是该物体在 A 点所受体力的集度。由于 V 是标量，所以 f 的方问
就是 F 的极限方向。矢量 f 在坐标轴 xi (i 1,2,3) 上的投影 X i 称为该物体在 A 点的体力
分量，以沿坐标轴正方向时为正，它们的因次是[力][长度] 3 。
lim P p s0 S
矢量 p 在坐标轴 xi 上的投影 X i 称为 B 点的面力分量，以沿坐标轴正方向时为正，它们的
因次是[力][长度] 2 。作用在物体表面上的力都占有一定的面积，当作用面很小或呈狭长形时，
可分别理想化为集中力或线分布力。 三、弹塑性力学问题的研究方法 弹塑性力学问题的研究方法可分为三种类型： (1)数学方法 就是用数学分析的工具对弹塑性力学边值问题进行求解，从而得出物体的应力场和位移
力学问题，还有所谓的逆解法和半逆解法。 另一种数学方法是数值方法。特别是广泛应用电子计算机以后，数值方法对大量的弹性
力学问题十分有效。在数值方法中，常见的有差分法、有限元法及边界元法等。目前已广泛 应用于弹塑性力学的各类问题的计算中。尤其是塑性力学方程是非线性的，因而在应用近似 计算方法方面引起人们的注意。近年来由于计算技术的发展，应用增量理论进行近似计算的 讨论己比较多。目前有限元法在弹塑性理论已广泛应用，可以顶计用有限元法和其他数值计 算万法进行弹塑性应力分析将有广阔的前途。
建立弹塑性力学的基本方程所采用的方法同材料力学相比更—般化了。它不是对某个构 件或结构建立方程，而是对从物体中截取的单元体建立方程，由此建立的是偏微分方程，它 适用于各种构件或结构的弹性体。
一般来说，在外力作用下，弹塑性体内部各点的应力、应变和位移是不同的，都是位置 坐标的函数。这些函数关系只用平衡条件是不能求得的，所以，任何弹塑性力学问题均为超 静定问题，必须从静力平衡、变形几何关系和应力应变物理关系三个方面来考虑。即对单元 体用静力学条件，得到—组平衡微分方程；然后考虑变形条件，得到—组几何方程，最后再 利用材料的物理关系，称之为本构方程得到表示应力与应变关系的物理方程。此外，在弹塑 性体的表面上，还必须考虑体内的应力与外载荷之间的平衡，从而得到边界条件。根据边界 条件求解上述方程．便得各种具体问题的解答。这就是说，可根据足够数目的微分方程和定 解条件，来求解未知的应力、应变和位移。因此，在用弹塑性力学的方这种方法要解含未知 量的偏微分方程，对很多问题的精确求解难度很大，故常采用近似解法。例如，基于能量原 理的变分方法，其中主要是里茨(Ritz，w．)法，伽辽金(Galerkin，B．G．)法等。对于弹性
所谓面力是分布在物体表面上的力。如风力、流体压力、两固体间的接触力等。物体上
各点所受的面力一般也是不同的。为了表明物体表面上一点 B 所受面力的大小和方向，可 仿照对体力的讨论，得出当作用于 S 面积上的面力为 P ，而面力的平均集度为 P / S ， 微小面 S 无限缩小而趋于点 B 时的极限矢量 p ，即
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力，两 F 者分别简称为体力和面力。
所谓体力是分布在物体体积内的力。例如重力和惯性力，物体内各点所受的体力 一般是不同的。为了表明物体内某一点
A所 受 体 力 的 大 小 和 方 问，在这—点取物体的一小微元体 V ， 它包含A 点 (图 1．1)。 设作用于 V 的体力为 F ，则体力的平均集度 为 F / V 。如果把所取的这一小部分物体 V 不断 减小，则 F 和 F / V 都将不断地改变大小、方向 和作用点。现在，假定体力为连续分布，则 V 无限减
场等。在材料力学中求解超静定问题时，从静力平衡、变形几何关系和应力应变物理关系三 个方面来建立求解超静定问题的基本方程，用“应力法”或“位移法”来求解各种具体超静定问 题。 上述方法对于分析弹塑性力学问题同样是适用的。因为弹塑性力学的基本内容，同 样可归结为建立基本方程，根据基本方程求解各类具体问题。
面，我们研究的是一点的应力状态。在宏观层面，根据物体所受的面力和体力以及其与坐标
轴的关系，将物体的应力状态分为平面应力问题、平面应变问题及空间应力问题。平面应力
问题是指物体在一个方向上的尺寸很小，且外荷载沿该方向的厚度均匀分布（如矩形薄板）；
平面应变问题则是物体在一个方向上的尺寸很大，外荷载沿该方向为常数（如水坝）。空间
弹性材料是对实际固体材料的一种抽象，它构成一个近似于真实材料的理想模型。弹性 材料的特征是：物体在变形过程中，对应于一定的温度，应力与应变之间呈 一一对应的关 系，它和载荷的持续时间及变形历史无关；卸载后，类变形可以完全恢复。在变形过程中， 应力与应变之司呈线性关系，即服从胡克 (Hooke R)规律的弹性材料称为线性弹性材料；而 某些金属和塑料等，其应力与应变之间呈非线性性质，称为非线性弹性材料。材料弹性规律 的应用，就成为弹性力学区别于其它固体力学分支学科的本质特征。