山东省青岛二中2019届高三下学期期初(2月)考试数学(理科)试题-含答案解析
2019届青岛市高三数学(理科)二模试题和答案详细解析及家长必读
高考前家长考生必知道的15个细节再过天，1000多万名考生将迎来人生中的重要时刻。
当高考进入倒计时，犹如马拉松跑到了最后一公里。
在最后的冲刺阶段，其实还有很多小细节不容忽视。
特别是受新冠肺炎疫情的影响，今年高考还有很多特殊的安排。
高考即将来临，中教君与大家分享家长和考生需要注意的15个细节，希望能有所帮助。
也祝愿所有考生取得好成绩！1创造安静的环境安静的环境有助于孩子平心静气地复习。
这几天家长尽量少会客，最好不会客，如果实在不得不会客则最好在家庭以外进行。
在这个时间家长尽量不要与外界通电话，如果有重要的事情非打不可，也要简明一点，不要无边无际地拉家常、聊闲天。
2家长心情要愉快在高考前，家长一定要保持愉快的情绪、平和的心态，因为感情的力量是巨大的，温馨的家庭气氛将融化孩子心中的焦虑，有助于孩子调整心态，对孩子高考复习是有帮助的。
3考前食谱忌大变有些家长误认为高考前应该给孩子加强营养。
其实，高考饮食，最重要的就是不要改变平时的饮食习惯，适当清淡一些即可，不要在餐桌上引入过多新食物，特别是肠道容易不适及过敏体质的考生，吃家常食物，营养搭配合理最好。
4督促孩子做好考前物品准备家长要督促孩子做好考前的物品准备，高考所用的铅笔、中性笔、橡皮、小刀、圆规、尺子以及准考证等，都应归纳在一起，放入一个透明的塑料袋或文件袋中。
不要自己夹带草稿纸，不要把手机等通讯工具带入考场。
另外，注意收听天气预报，做好相应的雨具、防晒工具的准备。
5提前了解考点防疫措施家长要提前了解考点防疫措施、安检程序以及个人防护注意事项等，根据各地安排，提前准备好必要的防疫物品，如口罩等。
如有特殊情况，一定上报，以免影响进考场。
同时，今年考生进入考点需检测体温，因此需合理安排出行时间和路线。
如乘坐公共交通工具，要全程佩戴口罩；低风险地区住在考场周边的考生，如步行、骑车或者家里开车过去，可以不戴口罩。
6考试中需要戴口罩吗？低风险地区考生：入场前戴好口罩，就座后可不戴；中高风险地区考生：全程佩戴口罩；隔离考场的考生和监考人员、工作人员：穿戴工作服、佩戴医用防护口罩和一次性手套。
山东省青岛二中2019届高三下学期期初(2月)考试理科综合试题
青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三理科综合注意事项：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．答题前考生务将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 Na-23 Mg-24 Fe-56 Ni-59第I卷一、选择题（本题共13小题，每题6分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．下列关于细胞组成、结构和功能的叙述中，正确的是()A．神经元的膜磷脂、膜蛋白都参与兴奋在突触中的传递B．结核杆菌属于胞内寄生菌，其蛋白质在宿主细胞的核糖体上合成C．颤藻细胞的生物膜系统有利于其有序完成各项生理功能D．细胞之间的信息交流均依赖于细胞膜上的特异性受体2．下列实验操作能够达到预期的是()A．在“探究酵母菌细胞呼吸方式”实验中，根据溴麝香草酚蓝水溶液的颜色变化判断酵母菌细胞呼吸方式B．在“探究温度对酶活性的影响”实验中，预实验确定最适温度范围C．在“观察DNA和RNA在细胞中的分布”实验中，用甲基绿染色组和吡罗红染色组进行对照D．在“观察细胞的减数分裂”实验中，选用马蛔虫的受精卵进行实验3．豌豆中，籽粒黄色(Y)和圆形(R)分别对绿色(y)和皱缩(r)为显性，现将黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆杂交得到的F1自交，F2的表现型及比例为黄色圆粒︰黄色皱粒︰绿色圆粒︰绿色皱粒=9:3:15:5，则亲本的基因型为()A．YYRR yyrr B．YYRr yyrrC．YyRR yyrr D．YyRr yyrr4．下图为某单基因遗传病的系谱图，这些患者的基因型全部相同的概率是() A．4/9 B．1/2 C．2/3 D．不能确定5．下列关于内环境的叙述，不正确的是()A．血浆渗透压的大小主要取决于血浆中无机盐和血红蛋白的含量B．内分泌腺分泌的激素释放到内环境中，作用于靶细胞或靶器官C．HCO3-、HPO42-等参与维持血浆pH相对稳定D．淋巴细胞生活的液体环境是淋巴、血浆等6．下列与植物生命活动调节有关的叙述中，正确的是()A．植物没有神经和免疫系统，因此植物生命活动只受激素调节B．植物激素可调节基因组的表达，如赤霉素可促进大麦种子合成a-淀粉酶C．顶芽处生长素浓度较高，生长快，使植物产生顶端优势D．在太空失重状态下，植物体内生长素极性运输将不能进行7．化学与生产、生活、科技、环境等密切相关。
2019年山东省青岛市高考数学二模试卷(理科)
2019年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，2）D．（1，2）2．（5分）“a＝2”是“复数z＝A．充分不必要条件C．充要条件3．（5分）已知平面向量，满足的夹角为（）A．B．（a∈R）为纯虚数”的（）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件，且（）（）＝4，则向量，C．D．4．（5分）函数f（x）＝xsinx+ln|x|在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上的大致图象为（）A．B．C．D．5．（5分）（x﹣1）7（x+1）3的展开式中x的系数是（）A．10B．4C．﹣10D．﹣46．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，，若，则数列{a n}的通项a n＝（）A．B．C．D．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（）A．1B．C．D．8．（5分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．如表为《周髀算经》对二十四节气晷影（ （ “ “长的记录，其中 115.1 寸表示 115 寸 1 分（1 寸＝10 分）．节气晷影长（寸）冬至135小寒（大雪） 大寒（小雪） 立春（立冬） 雨水（霜降）125 115.1 105.2 95.3节气惊蛰（寒露） 春分（秋分） 清明（白露） 谷雨（处暑） 立夏（立秋）晷影长（寸）85.4 75.5 66.5 55.6 45.7节气晷影长（寸）小满（大暑） 芒种（小暑）35.8 25.9夏至16.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，春分晷影长为 72.4 寸，那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为（）A ．14.8 寸B ．15.8 寸C ．16.0 寸D ．18.4 寸9．（5 分）已知抛物线 C ：y 2＝8x 与直线 y ＝k （x +2）（k ＞0）相交于 A ，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若|F A|＝2|FB|，则 AB 的中点的横坐标为（）A ．B ．3C ．5D ．610．（5 分）已知函数则实数 a 的取值范围为（）A ．B ．（1，2] ，若 f （2）＝4，且函数 f （x ）存在最小值，C ．D ．11．5 分）已知三棱锥 O ﹣ABC 的底面△ABC 的顶点都在球 O 的表面上，且 AB ＝6，，，且三棱锥 O ﹣ABC 的体积为A ．B ．12． 5 分）已知数列，则球 O 的体积为（ ）C ．D ．都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 a 1，b 1，且 a 1+b 1＝5，A ．4950B ．5250，设，则数列{c n }的前 100 项和等于（ ）C ．5350D ．10300二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分．13．（5 分）电视台组织中学生知识竞赛，共设有 5 个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观” 依法治国理念” 中国戏剧” 创新能力”．某参赛队从中任选 2（ （ 个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是 ．14．（5 分）已知实数 x ，y 满足条件，则 x +y 的最大值为．15．（5 分）直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 B ，C两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若 OC 平分∠AOB ，则该双曲线的离心率为．16．（5 分）函数 f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a+3]e x 在 x ＝2 处取得极大值，则实数 a 的取值范围为．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题\～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共 60 分．17． 12 分）已知在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，．（1）求∠A 的大小；（2）若，求△ABC 的面积 S ．18．（12 分）如图，在圆柱 W 中，点 O 1、O 2 分别为上、下底面的圆心，平面 MNFE 是轴截面，点 H 在上底面圆周上（异于 N 、F ），点 G 为下底面圆弧 ME 的中点，点 H 与点 G在平面 MNFE 的同侧，圆柱 W 的底面半径为 1，高为 2．（1）若平面 FNH ⊥平面 NHG ，证明：NG ⊥FH ；（2）若直线 NH 与平面 NFG 所成线面角 α的正弦值等于面 MNFE 所成锐二面角的平面角大于．，证明：平面 NHG 与平19． 12分）已知 O 为坐标原点，点 ，动点 N”满足的纵坐标为， ，点 P 为线段 NF 1 的中点．抛物线 C ：x 2＝2my （m ＞0）上点 A．（1）求动点 P 的轨迹曲线 W 的标准方程及抛物线 C 的标准方程；（2）若抛物线 C 的准线上一点 Q 满足 OP ⊥OQ ，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由．20．（12 分）“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本． 在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律．爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入 x （亿元）与科技改造直接收益 y （亿元）的数据统计如下：xy 2133224316428501056 1358 2168.52268 2367.52466 2566当 0＜x ≤17 时，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型①：﹣14.4；当 x ＞17 时，确定 y 与 x 满足的线性回归方程为：；模型②：．（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x ≤17 时模型①、②的相关指数 R 2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17 亿元时的直接收益．回归模型回归方程模型①182.4模型②﹣14.479.2（附：刻画回归效果的相关指数 R 2＝1﹣， ≈4.1．）（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴收益 10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小；， X N（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 ＝ ＝；a ＝）（3）科技改造后“东方红”款汽车发动机的热效率 X 大幅提高， 服从正态分布 （0.52，0.012），公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过 50%但不超过 53%，不予奖励；若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%，每台发动机奖励 2 万元；若发动机的热效率超过 53%，每台发动机奖励 5 万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．（附：随机变量 ξ 服从正态分布 N （ ，σ2），则 P （ ﹣σ＜ξ＜ +σ）＝0.6826，P （﹣2σ＜ξ＜ +2σ）＝0.9544．）21．（12 分）已知函数 f （x ）＝（x 2+a ）e kx ，e ＝2.718…为自然对数的底数．（1）若 k ＝﹣1，a ∈R ，判断函数 f （x ）在（0，+∞）上的单调性；（2）令 a ＝0，k ＝1，若 0＜m ≤2e ，求证：方程 f （x ）﹣m （x +1）lnx ＝0 无实根．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）22．（10 分）已知平面直角坐标系 xOy ，直线 l 过点 ，且倾斜角为 α，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为．（1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的标准方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 M 、N 两点，若[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）23．已知 a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数 f （x ）＝|a ﹣x|+|x +b |+c ．（1）当 a ＝b ＝c ＝2 时，求不等式 f （x ）＜8 的解集；（2）若函数 f （x ）的最小值为 1，证明：，求直线 l 的倾斜角的 α 值．．1 •2019 年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）已知集合 A ＝{x|﹣2＜x ＜1}，B ＝{x|x 2﹣x ﹣2＜0}，则 A ∩B ＝（）A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，2）D ．（1，2）【分析】利用不等式的解法化简 B ，再利用交集的运算性质即可得出．【解答】解：B ＝{x|x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x ＜2}，则 A ∩B ＝{x|﹣1＜x ＜1}＝（﹣1， ），故选：A ．【点评】本题考查了不等式的解法、交集的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5 分）“a ＝2”是“复数 z ＝A ．充分不必要条件C ．充要条件（a ∈R ）为纯虚数”的（ ）B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数 z ＝数，则 a ﹣2＝0，a +2≠0．∴“a ＝2”是“复数 z ＝＝ ＝a ﹣2+（a +2）i （a ∈R ）为纯虚（a ∈R ）为纯虚数”的充要条件．故选：C ．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5 分）已知平面向量 ， 满足，且（ ）（ ）＝4，则向量 ，的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据向量数量积和夹角公式可得．【解答】解：∵（ + ）（﹣2 ）＝4，∴ 2﹣ • ﹣2 2＝4，•＝9﹣2×4﹣4＝﹣3，∴cos＜，＞＝＝＝﹣，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝．故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．4．（5分）函数f（x）＝xsinx+ln|x|在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；| | ，利用等差数列的通项公式可得 ﹣又由 x →0 时，xsinx +lnx ＜0，分析可得答案．【解答】解：根据题意，f （x ）＝xsinx +ln|x|，其定义域为{x|x ≠0}，有 f （﹣x ）＝（﹣x ）sin （﹣x ）+ln （﹣x ） ＝xsinx +ln|x|＝f （x ），即函数 f （x ）为偶函数， 在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于 y 轴对称，排除 A 、D ；又由 x →0 时，xsinx +lnx ＜0，排除 C ；故选：B ．【点评】本题考查函数图象的判断，此类题目一般用排除法分析．5．（5 分）（x ﹣1）7（x +1）3 的展开式中 x 的系数是（）A ．10B ．4C ．﹣10D ．﹣4【分析】利用二项式定理、排列组合知识直接求解．【解答】解：（x ﹣1）7（x +1）3 的展开式含 x 的项是：+ ＝4x ．∴（x ﹣1）7（x +1）3 的展开式中 x 的系数是 4．故选：B ．【点评】本题考查殿开式中 x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6 ． （ 5分 ） 已 知 数 列 {a n } 满 足 a 1 ＝ 1 ，， 若，则数列{a n }的通项 a n ＝（）A ．B ．C ．D ．【分析】 由，可得：﹣ ＝2＝2n ．再利用累加求和与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由可得：﹣＝2，＝3﹣1＝2，∴数列是等比数列，首项为 2，公比为 2．，∴﹣＝2n．++…++＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝∴＝＝2n﹣1．∴a n＝．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、累加求和与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（）A．1B．C．D．【分析】直接利用几何体的三视图转换为四棱锥，进一步利用线面的夹角求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：根据三视图中的线段的长度，，BE＝AE＝DE＝2，整理得：AB＝2利用勾股定理，解得：CE＝，进一步求出AC＝，所以：直线AC和下底面的夹角最小．，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，线面的夹角的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8．（5分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．如表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸＝10分）．节气晷影长（寸）冬至135小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）125115.1105.295.3节气惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）晷影长（寸）85.475.566.555.645.7节气晷影长（寸）小满（大暑）芒种（小暑）35.825.9夏至16.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，春分晷影长为72.4寸，那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为（）A．14.8寸B．15.8寸C．16.0寸D．18.4寸【分析】设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1＝130.0，a7＝72.4，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1＝130.0，a7＝72.4，则130.0+6d＝72.4，解得d＝﹣9.6．∴a13＝130.0﹣9.6×12＝14.8．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是14.8寸．故选：A．【点评】本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）已知抛物线C：y2＝8x与直线y＝k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|F A|＝2|FB|，则AB的中点的横坐标为（）A．B．3C．5D．6【分析】据题意，设AB的中点为G，根据直线方程可知直线恒过定点，据此过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|F A|＝2|FB|，推断出|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而分析可得|OB|＝|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，又由B为P、A的中点，可得A的横坐标，进而由中点坐标公式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设AB的中点为G，抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝﹣2，焦点为（2，0），直线y＝k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|F A|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|＝|AF|，又由|F A|＝2|FB|，则|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，B为P、A的中点，则A的横坐标为4，＝；故AB的中点G的横坐标为故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程及其性质，注意抛物线的几何性质、定义的应用，属于基础题．10．（5分）已知函数，若f（2）＝4，且函数f（x）存在最小值，（ 则实数 a 的取值范围为（）A ．B ．（1，2]C ．D ．【分析】先得 m ＝﹣2，然后根据题意得 x ≥3 时，f （x ）必为增函数且 f （3）≤2．解不等式可得．【解答】解：∵f （2）＝2m +8＝4，解得 m ＝﹣2，∴f （x ）＝，当 x ＜3 时，f （x ）＝﹣2x +8 是递减函数，f （x ）＞f （3）＝2，此段无最小值，所以当 x ≥3 时，f （x ）必存在最小值，所以 f （x ）＝log a x 必为[3，+∞）上的递增函数，所以 a ＞1，且 f （3）≤2，∴log a 3≤2，解得 a ．综上得 a ．故选：D ．【点评】本题考查了函数的最值及其几何意义，属中档题．11．5 分）已知三棱锥 O ﹣ABC 的底面△ABC 的顶点都在球 O 的表面上，且 AB ＝6，，，且三棱锥 O ﹣ABC 的体积为A ．B ． ，则球 O 的体积为（ ）C ．D ．【分析】由 OA ＝OB ＝OC ＝△R ，且 ABC 为 AC 斜边的直角三角形，O 在底面 ABC 的射影为斜边 AC 的中点 M ，有棱锥的体积公式，可得OM ，由勾股定理可得球的半径，运用球的体积公式计算可得．【解答】解：由 O 为球心，OA ＝OB ＝OC ＝R ，可得 O 在底面 ABC 的射影为△ABC 的外心，AB ＝6，， ，可得△ABC 为 AC 斜边的直角三角形，O 在底面 ABC 的射影为斜边 AC 的中点 M ，可得 •OM • AB •BC ＝ OM •12＝4 ，解得 OM ＝2，R 2＝OM 2+AM 2＝4+12＝16，即 R ＝4，球 O 的体积为 πR 3＝ π•64＝故选：D ．π．（ “ “【点评】本题考查球的截面性质和体积的计算，考查点在平面上的射影，考查化简计算能力，属于基础题．12． 5分）已知数列b 1，且 a 1+b 1＝5，A ．4950B ．5250都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 a 1，，设 ，则数列{c n }的前 100 项和等于（ ）C ．5350D ．10300【分析】根据 a 1+b 1＝5，a 1，b 1∈N *，故可知 a 1，b 1 有 3 和 2，4 和 1 两种可能，又知数列{a n }，{b n }都是公差为 1 的等差数列，即可求出 ，再根据等差数列的求和公式即可求出数列{a bn }的前 100 项和．【解答】解：∵a 1+b 1＝5，a 1，b 1∈N *，a 1＞b 1，a 1，b 1∈N *（n ∈N *）， ∴a 1，b 1 有 3 和 2，4 和 1 两种可能， 当 a 1，b 1 为 4 和 1 的时，当 a 1，b 1 为 3 和 2 的时，＝4，前 100 和为 4+5+…+102+103＝5350；＝4，前 100 项和为 4+5+…+102+103＝5350；故数列{a}的前 100 项和等于 5350，故选：C ．【点评】本题主要考查数列求和和等差数列的性质的知识点，解答本题的关键是对 a 1+b 1＝5 进行两种可能分类，是中档题．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分．13．（5 分）电视台组织中学生知识竞赛，共设有 5 个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观” 依法治国理念” 中国戏剧” 创新能力”．某参赛队从中任选 2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是．【分析】直接利用古典概型问题解决实际问题，利用组合数求出结果．【解答】解：由于知识竞赛有五个板块，所以共有＝5 种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为＝2种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P（A）＝．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：古典概型问题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则x+y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z＝x+y得z＝1+2＝3．即目标函数z＝x+y的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．15．（5分）直线与双曲线的左、右两支分别交于B，C 两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若OC平分∠AOB，则该双曲线的离心率为．【分析】根据对称性和角平分线性质可得∠AOC＝60°，进而可求出C点坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，从而可计算双曲线的离心率．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB，由双曲线的对称性可知∠BOy＝∠COy，∴∠AOC＝2∠COy，∴∠AOC＝60°，故直线OC的方程为y＝x，令x＝b可得x＝b，即C（b，b），代入双曲线方程可得﹣3＝1，即＝2，∴b＝2a，∴c＝∴e＝＝故答案为：＝．．a，【点评】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题．16．（5分）函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x在x＝2处取得极大值，则实数a的取值范围为（﹣∞，）．【分析】求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a＝0，a＝，a＞，0＜a＜，a ＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围．【解答】解：f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]e x＝（x﹣2）（ax﹣1）e x，（ 若 a ＝0 则 x ＜2 时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；x ＞2，f ′（x ）＜0，f （x ）递减．x ＝2 处 f （x ）取得极大值，满足题意；若 a ＝ ，则 f ′（x ）＝ （x ﹣2）2e x ≥0，f （x ）递增，无极值；若 a ＞ ，则 ＜2，f （x ）在（ ，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞， ）递增，可得 f （x ）在 x ＝2 处取得极小值；不满足题意．当 0＜a ＜ ，则 ＞2，f （x ）在（2， ）递减；在（ ，+∞），（﹣∞，2）递增，可得 f （x ）在 x ＝2 处取得极大值，满足题意；若 a ＜0，则 ＜2，f （x ）在（ ，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞， ）递减，可得 f （x ）在 x ＝2 处取得极大值，满足题意．综上可得，a 的范围是：（﹣∞， ）．故答案为：（﹣∞， ）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题\～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共 60 分．17． 12 分）已知在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，（1）求∠A 的大小； ．（2）若【分析】（1）由用余弦定理即可得出．（2）由即可得出．【解答】解：（1）因为所以由正弦定理得，求△ABC 的面积 S ．，利用正弦定理可得 ，整理再利， ，利用余弦定理可得 b ，再利用三角形面积计算公式（2 分）整理得 b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，（ y z所以因为 0＜A ＜π，所以（2）因为（5 分）（6 分），所以由余弦定理 a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA得解得 b ＝4 或 b ＝﹣16（舍）（10 分）所以（12 分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12 分）如图，在圆柱 W 中，点 O 1、O 2 分别为上、下底面的圆心，平面 MNFE 是轴截面，点 H 在上底面圆周上（异于 N 、F ），点 G 为下底面圆弧 ME 的中点，点 H 与点 G在平面 MNFE 的同侧，圆柱 W 的底面半径为 1，高为 2．（1）若平面 FNH ⊥平面 NHG ，证明：NG ⊥FH ；（2）若直线 NH 与平面 NFG 所成线面角 α 的正弦值等于面 MNFE 所成锐二面角的平面角大于．，证明：平面 NHG 与平【分析】 1）若平面 FNH ⊥平面 NHG ，因为平面 FNH ∩平面 NHG ＝NH ，FH ⊥NH ，所以 FH ⊥平面 NHG ，又知道 NG ⊂平面 NHG ，所以得证．（2）以 O 2 为坐标原点，分别以 O 2G ，O 2E ，O 2O 1 为 x 、 、轴建立空间坐标系 O 2﹣xyz ， 根据直线 NH 与平面 NFG 所成线面角 α 的正弦值等于平面 NHG 与平面 MNFE 所成锐二面角的平面角大于，得到 H 点坐标，再将证明．转化成证明平面 NHG 与平面MNFE所成锐二面角的余弦值小于来解决．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题知：面FNH⊥面NHG，面FNH∩面NHG＝NH．因为NH⊥FH，FH平面FHN．所以FH⊥平面NHG．所以FH⊥NG．（2）以点O2为坐标原点，分别以O2G，O2E，O2O1为x、y、z轴建立空间坐标系O2﹣xyz，所以N（0，﹣1，2），G（1，0，0），F（0，1，2），设H（m，n，2），则m2+n2＝1＝（m，n+1，0）设平面NFG的法向量，因为，所以，所以，即法向量．因此所以2m2＝3n+3，解得设面NHG的法向量，所以点；．因为，所以，所以，即法向量．因为面MNFE的法向量，所以（ 【分析】 1）由题知|PF 1|+|PF 2|＝所以面 NHG 与面 MNFE 所成锐二面角的平面角大于．【点评】本题考查了平面与平面垂直的性质，直线与平面垂直的定义，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，用坐标法解决空间角的问题是较为常用的方法，本题属于难题．19． 12 分）已知 O 为坐标原点，点 ，动点 N满足的纵坐标为， ，点 P 为线段 NF 1 的中点．抛物线 C ：x 2＝2my （m ＞0）上点 A．（1）求动点 P 的轨迹曲线 W 的标准方程及抛物线 C 的标准方程；（2）若抛物线 C 的准线上一点 Q 满足 OP ⊥OQ ，试判断若是，求这个定值；若不是，请说明理由．是否为定值，（ ＝2 ＞|F 1F 2|，判断动点 P 的轨迹 W 是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点 A 在抛物线上求出抛物线 C 的标准方程；（2）设出点 P 的坐标，再表示出点 N 和 Q 的坐标，根据题意求出即可判断结果是否成立．的值，【解答】解：（1）由题知|PF 2|＝∴|PF 1|+|PF 2|＝＝2，|PF 1|＝＞|F 1F 2|＝2 ，；因此动点 P 的轨迹 W 是以 F 1，F 2 为焦点的椭圆，且 2a ＝2，2c ＝2 ，∴b ＝1，∴曲线 W 的标准方程为：又由题知：点 A 的纵坐标为+y 2＝1；， ；∴，”∴x A ＝2；又∵点 A （2， ）在抛物线 x 2＝2my （m ＞0）上，∴12＝2m，解得 m ＝；所以抛物线 C 的标准方程为（2）设 P （x P ，y P ），则 N （2x P +y ．，2y P ），Q （t ，﹣ ）；由题知 OP ⊥OQ ，∴，即；∴＝ + ＝ ；由∵+ ＝1，∴ ＝1﹣ ，∴ ＝ ＝1；∴为定值，且定值为 1．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．20．（12 分）“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本． 在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律．爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入 x （亿元）与科技改造直接收益 y （亿元）的数据统计如下：xy 2133224316428501056 1358 2168.52268 2367.52466 2566当 0＜x ≤17 时，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型①：﹣14.4；当 x ＞17 时，确定 y 与 x 满足的线性回归方程为：；模型②：．（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x ≤17 时模型①、②的相关指数 R 2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17 亿元， X N时的直接收益．回归模型回归方程模型①182.4模型②﹣14.479.2（附：刻画回归效果的相关指数 R 2＝1﹣， ≈4.1．）（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴收益 10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 ＝ ＝；a ＝）（3）科技改造后“东方红”款汽车发动机的热效率 X 大幅提高， 服从正态分布 （0.52，0.012），公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过 50%但不超过 53%，不予奖励；若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%，每台发动机奖励 2 万元；若发动机的热效率超过 53%，每台发动机奖励 5 万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．（附：随机变量 ξ 服从正态分布 N （ ，σ2），则 P （ ﹣σ＜ξ＜ +σ）＝0.6826，P （﹣2σ＜ξ＜ +2σ）＝0.9544．）【分析】（1）由表格中的数据，结合刻画回归效果的相关指数，可得结论；（2）求得样本中心点，可得当 x ＞17 亿元时，y 与 x 满足的线性回归方程，令 x ＝20，可得所求大小；（3）由正态分布的计算公式，以及数学期望公式，可得所求值．（ E【解答】解：1）由表格中的数据，有 182.4＞79.2，即 ，所以模型①的 R 2 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．所以当 x ＝17 亿元时，科技改造直接收益的预测值为（亿元）；（2）由已知可得：，所以 ，，所以 ，所以，所以当 x ＞17 亿元时，y 与 x 满足的线性回归方程为：，所以当 x ＝20 亿元时，科技改造直接收益的预测值，所以当 x ＝20 亿元时，实际收益的预测值为 69.3+10＝79.3 亿元＞72.93 亿元，所以技改造投入 20 亿元时，公司的实际收益的更大；（3）因为 P （0.52﹣0.02＜X ＜0.52+0.02）＝0.9544，所以， ，因为 P （0.52﹣0.1＜X ＜0.52+0.1）＝0.6826，所以，所以 P （0.50＜X ≤0.53）＝0.9772﹣0.1587＝0.8185，设每台发动机获得的奖励为 Y （万元），则 Y 的分布列为：YP0.022820.818550.1587所以每台发动机获得奖励的数学期望为 （Y ）＝0×0.0228+2×0.8185+5×0.1587＝2.4305（万元）．【点评】本题考查线性回归方程的求法和运用，考查离散型随机变量的数学期望，考查化简运算能力，属于基础题．21．（12 分）已知函数 f （x ）＝（x 2+a ）e kx ，e ＝2.718…为自然对数的底数．（1）若 k ＝﹣1，a ∈R ，判断函数 f （x ）在（0，+∞）上的单调性；（（2）令 a ＝0，k ＝1，若 0＜m ≤2e ，求证：方程 f （x ）﹣m （x +1）lnx ＝0 无实根．【分析】 1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）方程 f （x ）﹣m （x +1）lnx ＝0，转化为 x 2e x ﹣m （x +1）lnx ＞x 2（x +1）﹣m （x +1）lnx ＝（x +1）（x 2﹣mlnx ），构造函数 h （x ）＝x 2﹣mlnx ，利用导数和函数的最值的关系即可证明．【解答】解：（1）由已知 k ＝﹣1，所以，所以①若 a ≥1，在 R 上恒有 u （x ）＝﹣（x ﹣1）2+1﹣a ≤0 ，所以，所以 f （x ）在（0，+∞）上为单调递减；②若 a ＜1，u （x ）＝﹣（x ﹣1）2+1﹣a 图象与 x 轴有两个不同交点，设 u （x ）＝﹣（x ﹣1）2+1﹣a ＝0 的两根分别为，（ⅰ） 若 0＜a ＜1，0＜x 1＜1，x 2＞1，所以当 0＜x ＜x 1 时，u （x ）＜0；当 x 1＜x ＜x 2，时，u （x ）≥0；当 x ＞x 2 时，u （x ）＜0， 所以，此时 f （x ）在（0，x 1）上和（x 2，+∞）上分别单调递减；在（x 1，x 2）上单调递 增；（ⅱ）若 a ≤0，所以，x ∈（0，x 2）上总有 u （x ）＞0；在当 x ＞x 2 上，u （x ）＜0所以此时 f （x ）在（0，x 2）上单调增，在（x 2，+∞）上单调减．综上：若 a ≥1，f （x ）在（0，+∞）上为单调递减；若 0＜a ＜1，f （x ）在（0，x 1）上和（x 2，+∞）上分别单调递减；在（x 1，x 2）上单调递增；若 a ≤0，f （x ）在（0，x 2）上单调增，在（x 2，+∞）上单调减．证明：（2）由题知 a ＝0，k ＝1，所以 f （x ）＝x 2e x ，令 g （x ）＝e x ﹣（x +1），对任意实数 x ＞0，g '（x ）＝e x ﹣1＞0 恒成立，所以 g （x ）＝e x ﹣（x +1）＞g （0）＝0，即 e x ＞x +1＞0，则x2e x﹣m（x+1）lnx＞x2（x+1）﹣m（x+1）lnx＝（x+1）（x2﹣mlnx），令h（x）＝x2﹣mlnx所以，因为0＜m≤2e，所以所以时，h'（x）＜0，；时，h'（x）＞0，所以h（x）＝x2﹣mlnx在（0，+∞）上有最小值，所以因为所以，，所以，所以，即0＜m≤2e时，对任意x＞0，h（x）＝x2﹣mlnx＞0，所以x2e x﹣m（x+1）lnx＞0，所以方程f（x）﹣m（x+1）lnx＝0无实根．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数的零点、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）已知平面直角坐标系xOy，直线l过点，且倾斜角为α，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的参数方程和圆C的标准方程；（2）设直线l与圆C交于M、N两点，若，求直线l的倾斜角的α值．【分析】（1）根据直线参数方程的几何意义得出参数方程，根据极坐标与直角坐标的关系化简得出圆的标准方程；（2）把直线l的参数方程代入圆的标准方程，根据参数的几何意义及根与系数的关系得出α．【解答】解：（1）因为直线l过点所以直线l的参数方程为，且倾斜角为α，（t为参数）．（ 因为圆 C 的极坐标方程为所以所以圆 C 的普通方程为：圆 C 的标准方程为：（2）直线 l 的参数方程为，，，．，代入圆 C 的标准方程得（tcos α﹣1）2+（tsin α）2＝5整理得 t 2﹣2tcos α﹣4＝0设 M 、N 两点对应的参数分别为 t 1、t 2，则 t 1+t 2＝2cos α，所以|PM|﹣|PN|＝， ，因为 0≤α＜π，所以或．【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）23．已知 a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数 f （x ）＝|a ﹣x|+|x +b |+c ．（1）当 a ＝b ＝c ＝2 时，求不等式 f （x ）＜8 的解集；（2）若函数 f （x ）的最小值为 1，证明：．【分析】 1）根据题意，当 a ＝b ＝c ＝2 时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，据此可得 f （x ）＜8⇔ 或 或 ，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为 1，所以 a +b +c ＝1，进而可得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．【解答】解：（1）当 a ＝b ＝c ＝2 时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2所以 f （x ）＜8⇔或 或所以不等式的解集为{x|﹣3＜x ＜3}；（2）因为 a ＞0，b ＞0，c ＞0所以 f （x ）＝|a ﹣x|+|x +b |+c ≥|a ﹣x +x +b |+c ＝|a +b |+c ＝a +b +c因为f（x）的最小值为1，所以a+b+c＝1所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝1因为2ab≤a2+b2，2bc≤b2+c2，2ac≤a2+c2所以1＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3（a2+b2+c2）所以．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．。
2019青岛市二模考试数学理参考答案
所以 cos A b2 c2 a2 1 ·······································································5 分
2bc
2
因为 0 A ，所以 A 2 ········································································ 6 分 3
1分
①若 a 1 ,在 R 上恒有 u(x) (x 1)2 1 a 0
所以
f
'(x)
(x 1)2 ex
1 a
0
,所以
f
(x)
在 (0, ) 上为单调递减;·····················2
分
②若 a 1 , u(x) (x 1)2 1 a 图象与 x 轴有两个不同交点,
设 u(x) (x 1)2 1 a 0 的两根分别为 x1 1 1 a , x2 1 1 a （ⅰ） 若 0 a 1, 0 x1 1, x2 1 , 所以当 0 x x1 时, u(x) 0 ;当 x1 x x2 ,时, u(x) 0 ;当 x x2 时, u(x) 0 所以,此时 f (x) 在 (0, x1) 上和 (x2, ) 上分别单调递减;在 (x1, x2 ) 上单调递增;
2
2
22
设面 NHG 的法向量 n2 (x2, y2, z2 );
因为
n2 n2
NG NH
0 0
，所以
( (
x2 x2
, ,
y2 y2
, ,
z2 z2
) )
(1,1, (3
2
山东省青岛第二中学2019届高三下学期期初(2月)考试数学(理)试题
青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 2．复数21iz i+=-，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．z = B ．的共轭复数为31+22iC ．的实部与虚部之和为1D ．在复平面内的对应点位于第一象限 3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( ) A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0 D ．若220x y +≠，则,x y 都不为04．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=3πβ-，则sin α等于( )A． BC ．12-D ．125.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．1-B ．2-C ．D ． 6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()(),41,-∞-+∞ B ．()(),14,-∞-+∞C ．()1,4- D. ()4,1-7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若A F A C D E λμ=+ ，则λμ-的值为（ ） A ． B ．23 C.12 D ．138．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．73 B ．83π- C ．83 D ．8+3π9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．6028910．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AB AD AA ===，而对角线1A B 上存在一点，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．B ．C ． D11.已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为，圆:()228x a y -+=与交于,A B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.3 B. 5 C.5 D. 312．已知1x 是函数()()1l n 2fx x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x a x a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数的最小值是（ ）A ．1-B ．1-C ．2-D ． 2二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上） 13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b +，则a b ⋅= __________． 14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个，一个，两个，两个这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.16. 在ABC ∆中，为BC 的中点，1AC AD CD ===，点与点在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第项，第项，第项，，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前项和n S18. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（1） 求证：平面//ACG 平面BEF ； （2） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. （本小题满分12分）“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124. （1）求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取天的数据（甲、乙两景点中各取天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为，求的分布列和期望.20. （本小题满分12分）对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为12((1,)2F F M 在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ 、、OQ 的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆的面积为4时，求直线PQ 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数的最小值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请涂题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ （为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与轴交于点，与曲线C 交于A B 、两点，求PA PB +．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式x m x -<的解集为()1+∞，. （1）求实数的值； （2）若不等式51211a m a x x x x-+<+--< 对()0,x ∈+∞恒成立，求实数的取值范围.青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 【答案】B【解析】由题意可得：，，则，.本题选择B 选项. 2．复数21iz i+=-，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z =B ．的共轭复数为31+22i C ．的实部与虚部之和为1 D ．在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】分析：利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．详解：由题意，则，的共轭复数为，复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( )A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0 D ．若220x y +≠，则,x y 都不为0【答案】B 【解析】否命题既否定条件又否定结论．∴命题若“x 2+y 2=0，则x=y=0”的否命题是：若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．4．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=-3πβ，则sin α等于( )A． BC ．1-2D ．12【答案】D 【解析】因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋ (k ∈Z)．又β＝－，所以α＝2k π＋(k ∈Z)，即得sin α＝.5.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．B ．C ．D ． 【答案】B由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 又由目标函数，可化为，结合图形，可得直线经过点A 时，在轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值， 又由，所以目标函数的最小值为，故选B.6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()()-,41,∞-+∞ B ．()()-,14,∞-+∞C ．()-1,4 D. ()-4,1 【答案】C 【解析】 由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，又由，即函数定义域上的奇函数，又由不等式可转化为即，即，解得，即不等式的解集为，故选C.7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则 -λμ的值为（ ）A ．B ．23 C.12 D ．13【答案】A 【解析】 【分析】12选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．【详解】 选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故选A8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．73 B ．8-3π C ．83 D ．8+3π 【答案】B 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．60289【答案】C 【解析】 【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.10．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AB AD AA ===，而对角线上存在一点，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】D 【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转至使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，在中，，则的最小值为：，故选：D ．11.已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>> 的一条渐近线为，圆C:()228x a y -+=与交于A,B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.B. D.12．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数的最小值是（ ）A ．1-B ．1-C ．2-D ． 2【答案】A【解析】分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，由可得结果.详解：， 当时，单调递减， 当时，单调递增，，即函数存在唯一零点，即，，即在有零点， ①若，即，此时的零点为，显然符合题意； ②（i ）若，即或， 若在只有一个零点，则；（ii ）若在只有两个零点，则，解得，即的最小值为，故选A.三、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上） 13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b + ，则a b ⋅= __________．答案：14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________． 【答案】【解析】分析：模拟程序框图运行过程，总结规律，的取值周期为3，由于 ，可得当时满足条件，退出循环，输出的值为．详解：模拟程序的运行，可得 执行循环体，不满足条件 ，执行循环体， 不满足条件，执行循环体， 不满足条件，执行循环体，…观察规律可得的取值周期为3，由于，可得：不满足条件，执行循环体， 不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出的值为3．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个，一个，两个，两个这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.【分析】：组成的不同六位数为662222180A A A =个，采用捆绑法和间接法可得组成的数为兄弟数的有54542221202496A A A ⨯-=-=个，所求概率为96818015P ==16. 在ABC ∆中，为BC 的中点，1AC AD CD ===，点与点在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第项，第项，第项，，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前项和n S 【答案】（1）；（2）【解析】 （1）等差数列中，，解得，.（2）由（1）知，，，…，.18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（3） 求证：//ACG BEF 平面平面（4） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. “一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124.（1）求,x y的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2Pξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取天的数据（甲、乙两景点中各取天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为，求的分布列和期望.【答案】(1) 3，；（2）328625；（3）12.【解析】（1）由题意知3,4X y ==；（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为63105=， 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 故随机变量ξ服从二项分布，则()0432201244433323232821555555625P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410. 由题意知：的所有可能的取值为0，1，2. 则()96270101050P η==⨯= ()16942111010101050P η==⨯+⨯= ()1422101050P η==⨯= 所得分布列为：()2721110125050252E η=⨯+⨯+⨯=.20. 对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为12((1,2F F M 在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆时，求直线PQ 的方程. 【答案】（1）（2）直线的方程为：或【解析】（1）设椭圆的方程为 ，由题意可得，又由，得，故，椭圆的方程为； （2）设，.由题意直线的方程为：，联立得，，化简，得①②，③直线，，的斜率依次成等比数列，，，化简，得，，又，，且由①知.原点到直线的距离.，解得（负舍）或（负舍）.直线的方程为：或.21.已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数的最小值．21.【解析】（1）由题意可知，定义域为，， (1)分 方程对应的，1˚当，即时，当时，，∴在上单调递减；·······2分2˚当，即时，①当时，方程的两根为，且，此时，在上，函数单调递增，在，上，函数单调递减；·····4分②当时，，，此时当，，单调递增，当时，，单调递减；综上：当时，，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为，；当时，的单调减区间为。
山东省青岛市2019届高三二模(数学理)
高三教学质量统一检测数学试题（理）2019.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分.考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：锥体的体积公式13V S h=(其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{0,2,4,8}M=，{2,}N x x a a M==∈，则集合M N等于A.{2,4,8,16}B. {0,2,4,8}C. {2,4,8}D. {0,4,8}2.若复数2(R,12a ia ii-∈+为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为A.4B. 4-C.1D. 1-3.已知在等比数列{}na中,1346510,4a a a a+=+=,则等比数列{}na的公比q的值为A.14B.12C.2D. 84.若函数)(log)(bxxfa+=的大致图象如右图，其中ba,（0a>且1a≠）为常数，则函数baxg x+=)(的大致图象是A B C D5.已知两条不同直线1l和2l及平面α，则直线21//ll的一个充分不必要条件是A．α//1l且α//2l B．α⊥1l且α⊥2l C．α//1l且α⊄2l D．α//1l且α⊂2l6.已知函数()logxaf x a x=+(0a>且1)a≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log26a+，则a的值为A.12B.14C. 2D.47.设函数()sin()1(0)6f x x πωω=+->的导函数的最大值为3，则函数()f x 图象的对称轴方程为 A.()3x k k Z ππ=+∈ B. x =()3k k Z ππ-∈C.x =()39k k Z ππ+∈ D. x =()39k k Z ππ-∈ 8.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A ．89 B ．910 C ．1011 D ．11129.设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于 A.B. C.24 D. 4810.已知直线0x y a -+=与圆221x y +=交于A 、B 两点，且向量OA 、OB 满足O A O B O A O B +=-，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为A.0B. 1-C.1D. 1±11.设2[0,1]()1(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则0()e f x dx ⎰的值为A ．43B ．54C ．65D ．6712.若8280128()x a a a x a x a x -=++++，且565=a ，则=++++8210a a a aA.０B.１C.82 D.83第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
山东省青岛第二中学2019届高三下学期2月月考数学(文)试题 Word版含解析
青岛第二中学高三下学期期初（2月）考试数学（文）试题一、选择题1.若集合(){}{}|10,|1A x x x B y y x =+≥==-，则（ ）A. B A ⊆B. A B ⊆C. AB R =D. A B =【答案】A 【解析】 【分析】解出A ，B 集合，即可选出答案．【详解】A 集合：()101x x x +≥⇒≤-或0x ≥ B 集合：1y x =-0y ⇒≥根据不等式关系知B A ⊆． 选A【点睛】本题主要考查集合与集合之间的关系，属于基础题．2.设复数121,2,()z i z bi b R =+=+∈，若12z z ⋅为实数，则b 的值为（ ） A. 2 B. 1C. -1D. -2【答案】D 【解析】()1222z z b b i ⋅=-++，所以20b +=，2b =-，故选D ．3.图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A. 51B. 58C. 61D. 62【答案】D 【解析】由茎叶图可知,甲的这几场比赛得分的中位数为27, 乙的这几场比赛得分的中位数为35,所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是27+35=62 故选D点睛：画茎叶图时的注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶； （2）将茎上的数字按大小次序排成一列．（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．4.若直线1:260l ax y ++=与直线()22:110l x a y a +-+-=平行，则a =（ ） A. 2或-1 B. 2C. -1D. 以上都不对 【答案】C 【解析】试题分析：由题意(1)2a a -=，21a a 或==-，当2a =时，1l 方程为2260x y ++=，即30x y ++=，2l 方程为30x y ++=，两直线重合，不合题意，舍去，1a =-时，直线12,l l 的方程分别为260x y -++=，20x y -=，符合题意．所以1a =-．故选C ． 考点：两直线平行．5.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠且0i b >()1,2,,i n =，若11a b =，1111a b =，则（ ）A. 66a b >B. 66a b =C. 66a b <D. 66a b <或66a b >【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式可得6111111622a a a b b b =+=+≥=，由等号取不到可得答案.【详解】由题意可得四个正数满足11a b =，1111a b =，由等差数列和等比数列的性质可得11162a a a +=，21116b b b =，由基本不等式可得6111111622a a a b b b =+=+≥=， 又公比1q ≠，故111b b ≠，上式取不到等号，6622a b ∴>，即66a b >.故选：A .【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及基本不等式的应用，属基础题. 6.函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A12B.14C. 14-D. 12-【答案】A 【解析】分析：由()()1f x f x +=-求出函数的周期为2，可得511112122222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 详解：函数()f x 满足()()1f x f x +=-，可得()()()21f x f x f x +=-+=，()f x ∴的周期为2，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-， 则511112122222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A.点睛：本题主要考查函数的解析式及函数的周期性，属于简单题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为: (1)()()f x a f x b T a b +=+⇒=- ； （2）()()2f x a f x T a +=-⇒=；（3） ()()12f x a T a f x +=±⇒= . 7.已知()2x f x a-=,()()log ||,0,1a g x x a a =>≠,若()()440f g ⋅-<,则()y f x =,()y g x =在同一平面直角坐标系内的大致图像是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据(4)(4)0 f g ⋅-<，确定01a <<，确定()f x 与()g x 在(0,)+∞上的单调性.再判断()g x 的奇偶性，即可.【详解】由(4)(4)0 f g ⋅-<2log 40a a ⇒⋅<log 40a ∴<01a ∴<<()f x ∴和()g x 在(0,)+∞上都为减函数.()()log ||,0,1a g x x a a =>≠定义域为{}0x x ≠关于原点对称 ()()log log a a g x x x g x ∴-=-==，即()g x 为偶函数.故选：B【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象和性质.属于较易题.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.163πB. 4πC.103πD. 3π【答案】C 【解析】【详解】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求组合体的体积.详解：由三视图得几何题是一个组合体，左边是半个球，球的半径为1，中间是一个底面半径为1的圆柱，高为2，最右边是一个底面半径为1的圆锥，高为2. 所以组合体的体积为3221411011212.2333V ππππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯= 故答案为C点睛：（1）本题主要考查三视图和组合体的体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找原图常用的有直接法和模型法，本题选择直接法比较简洁方便.9.在（0,1）内任取一个实数b,则使得方程x 2-x+b=0有实数根的概率为( ) A.14B.12 C . 13D. 1 【答案】A 【解析】由题设“方程x 2-x+b=0有实数根”可得11404b b -≥⇒≤，即1,14d D ==，故由几何概型的计算公式可得所求事件的概率14d P D ==，应选答案A ． 10.在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n -⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭()2n ≥，则{}n a =（ ）A. 2ln n n +B. ()21ln n n +-C. 2ln n +D.1ln n n ++【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，对式子变形得()1ln ln 1n n a a n n -=+--，即()1ln ln 1n n a n a n --=--，故{}ln n a n -是常数数列，所以1ln ln12n a n a -=-=，即可得到通项公式.【详解】111ln 1ln 11n n n n a a a n n --⎛⎫=++=+ ⎪--⎝⎭，()2n ≥ ()1ln ln 1n n a a n n -∴=+--，()2n ≥()1ln ln 1n n a n a n -∴-=--，()2n ≥ {}ln n a n ∴-是常数数列，1ln ln12n a n a ∴-=-=， 2ln n a n ∴=+.故选：C .【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，解题的关键是利用对数运算性质对递推式进行变形，得到数列关系，属于中等题.11.已知实数x ，y 满足30200x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，若22z x y =+，则z 的最小值为（ ）A. 1B.322C.52D.92【答案】D 【解析】做出不等式的可行域，如图所示.22z x y =+可以看作可行域内的点(),x y 到原点的距离的平方.由300x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得33,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为OA AB ⊥，所以2999||442min z OA ==+=. 故选D.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离. 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数()()xf xg x e =，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>，所以，函数()y g x =为R 上的增函数，由()02f =，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e >，即()()0g x g >，0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13.已知双曲线2212y xm-=经过点(2,2)M，则其离心率e=____.【解析】由点M在双曲线上可得222212m-=，解得4m=，所以双曲线的方程为22124y x-=.故a=c==，所以cea===14.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin()23πα+=-，则()tanαπ+=____【答案】-【解析】【分析】根据诱导公式得到cosα，结合角的范围得到sinα，再利用诱导公式和同角三角函数关系式计算即可得到答案.【详解】sin2cosπαα⎛⎫+=⎪⎝⎭=13-, 2218sin1cos199αα=-=-=,又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得sinα=，()sin3tan1cos3tanααπαα+====--故答案为-.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，属于基础题.15.已知()2,0a=，()1,2b=，实数λ满足5a bλ-=，则λ=________.【答案】1或15-【解析】【分析】根据向量模的坐标计算，可得结果. 【详解】由题意可得：()2,2a b λλλ-=--,a b λ∴-==,解得1λ=或15λ=-. 故答案为：1或15-【点睛】本题主要考查向量模的坐标计算，属基础题. 16.若关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值是__ 【答案】32【解析】 【分析】关于x 的不等式227x x a +≥-在(),x a ∈+∞上恒成立，即求min 227x x a ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，将不等式式22x x a+-配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得a 的最小值． 【详解】∵关于x 的不等式227x x a+≥-在(),x a ∈+∞上恒成立， ∴min 227x x a ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，∵x＞a ，∴22222242y x x a a a a x a x a =+=-++≥=+--（） ，当且仅当22x a x a-=-（），即1x a =+ 时取等号， ∴min2242x a x a ⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭， ∴427a +≥，解得，32a ≥ ， ∴实数a 的最小值为32．故答案为32． 【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．三、解答题17.已知函数1()sin cos()cos 262f x x x x π=-+. （1）求函数()f x 的最大值；（2）已知ABC ∆的面积为A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，10b c +=，求a 的值. 【答案】(1)34;(2)a =. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为11sin 2264x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的最大值为34；（2）由题意()111sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，化简得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而得3A π=，由1sin 2bc A = 10b c +=，求得b c 、的值， 根据余弦定理得a =.【详解】（1）()1sin sin 2f x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 21cos 2x +- 21cos cos 2x x x =+ 111sin2cos22224x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭11sin 2264x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最大值为34. （2）由题意()111sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，化简得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵()0,A π∈，∴132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴5266A ππ+=，∴3A π=. 由1sin 432bc A =得16bc =，又10b c +=， ∴2b =，8c =或8b =，2c =.在ABC ∆中，根据余弦定理得2222cos 52a b c bc A =+-=. ∴213a =.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，90ADE ∠=．(1)证明：FC BD ⊥；(2)已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60,1DAB AD DE ∠===，求五面体ABCDEF 的体积. 【答案】(1)见解析；（2）见解析. 【解析】分析：(1)先根据线面垂直判定定理得DE ⊥平面ABCD .，即得DB DE ⊥. 再根据平行关系得结论，(2)先分割ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+. 过A 作AG CD ⊥，根据线面垂直判定定理得AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高.由（1）可得FC ⊥平面ABCD ,则FC 是三棱锥F ACB -的高.最后根据锥体体积公式求体积.详解：（1）证明：由已知的AD DE ⊥,DC DE ⊥,AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD D =,所以DE ⊥平面ABCD .又DB ⊂平面ABCD ,所以DB DE ⊥. 又因为DE //FC ,所以FC BD ⊥.（2）解：连结AC 、AF ,则ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥，且DE ∩CD D =，所以AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高. 因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==,所以3AG =，2AB =,13·3A CDEF CDEF V AG S -==. 因为DE ⊥平面ABCD ，DE //FC ，所以FC ⊥平面ABCD ,则FC 是三棱锥F ACB -的高. 所以13·36F ACB ACBV FC S -==， 所以33ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=. 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．19.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表： 年龄x 2832384248525862收缩压y （单位mmHg114 118 122 127 129 135 140 147其中：8212211ˆˆˆ,,17232ni ii ini ii x y n x ybay bx xxn x ===-⋅⋅==-=-⋅∑∑∑，8147384i i i x y ==∑（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（ˆˆ,ab 的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9 1.06~倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06 1.12~倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12 1.20~倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？【答案】(1)答案见解析；(2)0.918.5ˆ80yx =+；(3)中度高血压人群. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据即可得散点图；（2）由题意求出x ，y ，821ii x=∑，81i ii x y =∑，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群．【详解】（1）（2）2832384248525862458x +++++++==，1141181221271291351401471298y +++++++==．∴8182221473848451291180.9117232845129ˆ8i i i i i x y nx y b x x ==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-⋅∑∑． 1290.914588.5ˆˆ0ay bx =-=-⨯=． ∴回归直线方程为0.918.5ˆ80yx =+． （3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为()0.917088.05151.75mmHg ⨯+=，∵1801.19151.75≈．∴收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 20.在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点M 满足124OF OM OF OM -+-=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）若直线y kx m =+与轨迹E 有且仅有一个公共点Q ，且与直线4x =-相交于点R ，求证：以QR 为直径的圆过定点1F .【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的定义判定轨迹为椭圆，并求出，a,b,从而写出标准方程；（2）以QR 为直径的圆过定点1F 可转化为11F Q F R ⊥，利用向量可比较容易证明,先联立方程，消元得()2224384120k x kmx m +++-=，可得04kx m=-，03y m=，从而1431,kQF mm ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()13,4RF k m =-，根据数量积为0即可证明.试题解析：（1）解：因为12124OF OM OF OM MF MF -+-=+= 即124MF MF +=由椭圆定义可知动点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆 所以2,1a c ==，2223b a c =-=所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 得()2224384120k x kmx m +++-=如图，设点()00,Q x y ，依题意0m ≠， ∵直线y kx m =+与轨迹E 有且仅有一个公共点 ∴由()()()22284434120km k m ∆=-+-=，可得2243m k =+.此时02443km x k =-+，02343m y k =+，即04k x m =-，03y m=， ∴43,k Q m m ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由4y kx mx =+⎧⎨=-⎩，解得4y k m =-+ ∴()4,4R k m --+ 由()11,0F - 可得1431,kQF mm ⎛⎫=--⎪⎝⎭，()13,4RF k m =-∴()1143•3140k QF RF k m m m⎛⎫=---= ⎪⎝⎭ ∴11QF RF ⊥∴以QR 为直径的圆过定点1F .点睛：本题在证明以QR 为直径的圆过定点1F 时，要注意转化，根据圆的几何性质可转化为11QF RF ⊥即可，要证明两个线段垂直比较简单的方法可利用数量积为0来进行，这是解析几何问题中垂直的常用方法. 21.已知函数()ln xf x a x e =-；()1讨论()f x 的极值点的个数； ()2若2a =，求证：()0f x <．【答案】（1）当a ≤0时，f （x ）无极值点；当a ＞0时，函数y=f （x ）有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析【解析】 【分析】：（1）先求一阶导函数()x 0f '=的根，求解()x 0f '>或()x 0f '<的解集，写出单调区间，最后判断极值点．（2）根据第（1）问的结论，若2a =，转化为证明()0max f x <.【详解】：（1）根据题意可得，()(0)xx a a xe f x e x x x-='-=>，当0a ≤时，0fx，函数()y f x =是减函数，无极值点； 当0a >时，令0f x，得0x a xe -=，即x xe a =，又xy xe a =-在0,上存在一解，不妨设为0x ，所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的，在()0,x +∞上是单调递减的. 所以函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点； 总之：当0a ≤时，无极值点；当0a >时，函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点.（2）()2ln xf x x e =-，()2(0)xxe f x x x'-=>，由（1）可知()f x 有极大值()0f x ，且0x 满足002x x e=①，又xy xe =在0,上是增函数，且02e <<，所以()00,1x ∈，又知：()()000max 2ln xf x f x x e ==-，②由①可得002x e x =，代入②得()()00max22ln f x f x x x ==-， 令()22ln g x x x =-，则()()2221220x g x x x x+=+=>'恒成立， 所以()g x 在0,1上是增函数，所以()()0120g x g <=-<，即()00g x <，所以()0f x <.【点睛】：函数极值与最值的性质：有唯一的极小值，极小值为最小值．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：1、[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]()x a,b ,[f x ]m min ∈≥ 2、[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos {2sin x t y t θθ=+=，（t 为参数，0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求AB 的最小值. 【答案】（1）22y x =（2）2 【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据cos sinx y可得22sin 2cos ραρα=，所以曲线C 的直角坐标方程为22y x = ；（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线参数方程的标准形式1{2x tcos y tsin θθ=+=，代入到曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，列出12t t +，12t t ⋅，()21212124AB t t t t t t =-=+-，于是可以求出AB 的最小值.试题解析：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=由，得22sin 2cos .ραρα= 曲线C 的直角坐标方程为（II ）将直线l 的参数方程代入，得22sin 2cos 10.t t θθ--=设,A B 两点对应的参数分别为12,t t 则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-，12AB t t =-== 22.sin θ=当2πθ=时，AB 的最小值为2.考点：1.极坐标方程；2.参数方程.23.已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集. （1）求M ；（2）求证：当,x y M ∈时， ||15x y xy ++<. 【答案】（1）1(,3)3M =-（2）见解析 【解析】试题分析：（1）通过讨论x 的范围，解关于x 的不等式，求出M 的范围即可； （2）根据绝对值的性质证明即可．试题解析：（1）解：()3,2131,2213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩当2x <-时，由30x ->得3x >，舍去；当122x -≤≤时，由310x +>得13x >-，即1132x -<≤； 当12x >时，由30x -+>得3x <，即132x <<；综上，1,33M ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）证明：∵,x y M ∈，∴3x <，3y <，x y xy x y xy x y xy ∴++≤++≤++ 333315x y x y =++⋅<++⨯=。
山东省青岛第二中学2019届高三下学期期初(2月)考试数学(理)试题(解析版)
山东省青岛第二中学2019届高三下学期期初（2月）考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集为R ，集合A ={x|2x ≥1}，B ={x|x 2−3x +2<0}，则A ∩∁R B =( )A. {x|0≤x ≤1}B. {x|0≤x ≤1或x ≥2}C. {x|1<x <2}D. {x|0≤x <1或x >2}【答案】B【解析】解：A ={x|2x ≥1}={x|x ≥0}，B ={x|x 2−3x +2<0}={x|(x −1)(x −2)<0}={x|1<x <2}， 则∁R B ={x|x ≥2或x ≤1}， 则A ∩∁R B ={x|0≤x ≤1或x ≥2}， 故选：B ．求出集合A ，B 的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2. 复数z =2+i1−i ，i 是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. |z|=√5B. z 的共轭复数为32+12iC. z 的实数与虚部之和为1D. z 在平面内的对应点位于第一象限【答案】D【解析】解：复数z =2+i1−i =(2+i)(1+i)12−i 2=12+32i ，∴|z|=√(12)2+(32)2=√102，A 错误； z 的共轭复数为12−32i ，B 错误；z 的实数与虚部之和为12+32=2，C 错误；z 在平面内的对应点是(12,32)，位于第一象限，D 正确． 故选：D ．化简复数z ，分别求出z 的模长、共轭复数以及实数与虚部和z 在平面内的对应点坐标． 本题考查了复数代数形式的运算问题，也考查了复数的概念与应用问题，是基础题．3. 命题若“x 2+y 2=0，则x =y =0”的否命题是( )A. 若x 2+y 2=0，则x ，y 中至少有一个不为0B. 若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0C. 若x 2+y 2≠0，则x ，y 都不为0D. 若x 2+y 2=0，则x ，y 都不为0【答案】B【解析】解：否命题是把原命题的条件否定做条件，原命题的结论否定做结论，∴命题若“x 2+y 2=0，则x =y =0”的否命题是：若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．直接利用四种命题的逆否关系写出命题的否命题即可． 本题考查命题的否命题的写法，基本知识的考查．4. 已知α，β的终边关于直线y =x 对称，且β=−π3，则sinα等于( )A. −√32B. √32C. −12D. 12【答案】D【解析】解：α，β的终边关于直线y =x 对称，且β=−π3，则α=(π3+π4)+π4=5π6，∴sinα=sin 5π6=12，故选：D ．由题意求得α的值，可得sinα的值．本题主要考查两个角关于一条直线对称的性质，特殊角的三角函数值，属于基础题．5. 若x ，y 满足{x +y −1≥0x −y −1≤0x −3y +3≥0，则z =x −2y 的最小值为( )A. −1B. −2C. 2D. 1【答案】B【解析】解：画出不等式组{x +y −1≥0x −y −1≤0x −3y +3≥0表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z =x −2y 过点B 时，z 取得最小值， 由{x −3y +3=0x+y−1=0，解得B(0,1)， 所以z 的最小值为z =0−2×1=−2． 故选：B ．画出不等式组表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．6. 已知函数f(x)=x −sinx ，则不等式f(1−x 2)+f(3x +3)>0的解集是( )A. (−∞,−4)∪(1,+∞)B. (−∞,−1)∪(4,+∞)C. (−1,4)D. (−4,1)【答案】C【解析】解：f(−x)=−x +sinx =−(x −sinx)=−f(x)，即函数f(x)是奇函数， 函数的导数f′(x)=1−cosx ≥0，即函数f(x)为增函数，则不等式f(1−x 2)+f(3x +3)>0等价为f(3x +3)>−f(1−x 2)=f(x 2−1)， 即3x +3>x 2−1，即x 2−3x −4<0， 即(x +1)(x −4)<0， 得−1<x <4，即不等式的解集为(−1,4)， 故选：C ．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可． 本题主要考查不等式的求解，结合函数的奇偶性和单调性减故不等式进行转化是解决本题的关键．7. 如图四边形ABCD 为平行四边形，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FC ⃗⃗⃗⃗ ，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ−μ的值为( )A. 1B. 23 C. 12 D. 13【答案】A【解析】解：由题意，可知：在▱ABCD 中，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ+12μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ−μ)AD⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 综上两式，可知：λ−μ=1． 故选：A ．本题的关键在于找到两个基底AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后可将AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 化成两个基底的表示形式，最终比较系数就能找到答案． 本题主要考查向量的数乘运算，以及构建基底然后去算出系数，属基础题．8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 73B. 8−π3C. 83D. 7−π3【答案】B【解析】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P−ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V=13×2×2×2−12×13π×12×2=8−π3，故选：B．由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(图1)，图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为()A. 49169B. 30169C. 49289D. 60289【答案】C【解析】解：由题意可知：小正方形的边长为12−5=7，大正方形的边长为：12+12−7=17，设飞镖投中小正方形(阴影)区域为事件A由几何概型中的面积型可得：P(A)=S 小正方形S大正方形=7×717×17=49289，故选：C ．由正方形面积的求法得：小正方形的边长为12−5=7，大正方形的边长为：12+12−7=17， 由几何概型中的面积型得：P(A)=S 小正方形S大正方形=7×717×17=49289，得解．本题考查了正方形面积的求法及几何概型中的面积型，属中档题．10. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，|AB|=|AD|=√3，|AA 1|=1，而对角线A 1B 上存在一点P ，使得|AP|+|D 1P|取得最小值，则此最小值为( )A. 2B. 3C. 1+√3D. √7【答案】D【解析】解：把面AA 1B 绕A 1B 旋转至AA 1M 使其与对角面A 1BCD 1在同一平面上，连接MD 1′. MD 1就是|AP|+|D 1P|的最小值，∵，|AB|=|AD|=√3，|AA 1|=1，∴∠AA 1D =600．∴MD 1=√A 1D 12+A 1M 2−2A 1D 1A 1M =√1+3−2×2×√3×(−√32)=√7故选：D ．把面AA 1B 绕A 1B 旋转至AA 1M 使其与对角面A 1BCD 1在同一平面上，连接MD 1′并求出，就是最小值． 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．11. 已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：(x −a)2+y 2=8与l 交于A ，B 两点，若△ABC 是等腰直角三角形，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5OA⃗⃗⃗⃗⃗ (其中O 为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( ) A. 2√133B. 2√135C. √135D. √133【答案】D【解析】解：双曲线Γ：x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线l 的方程为y =bax ， 圆C ：(x −a)2+y 2=8的圆心C(a,0)，半径为r =2√2， 由△ABC 为等腰直角三角形，可得AB =√2r =4，设OA =t ，由OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得OB =5t ，AB =4t ，可得t =1， 过C 作CD ⊥AB ，且D 为AB 的中点，OD =3，AB =4，AD =2， C 到直线l 的距离为CD =ab √a 2+b 2，在直角三角形OCD 中，CD 2=OC 2−OD 2， 在直角三角形ACD 中，CD 2=AC 2−AD 2， 即有a 2−9=8−4，解得a =√13， 即有CD =2=ab √a 2+b 2，解得b =2√133， c =√a 2+b 2=√13+529=133，e =ca =√133． 故选：D ．求出双曲线的一条渐近线方程，圆C 的圆心和半径，设OA =t ，由OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得OB =5t ，AB =4t ，可得t =1，过C 作CD ⊥AB ，且D 为AB 的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公式，解得a ，b ，c ，再由离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查圆的垂径定理和直角三角形的勾股定理的运用，以及向量的共线，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12. 已知x 1是函数f(x)=x +1−ln(x +2)的零点，x 2是函数g(x)=x 2−2ax +4a +4的零点，且满足|x 1−x 2|≤1，则实数a 的最小值为( )A. −1B. −2C. 2−2√2D. 1−2√2【答案】A【解析】解：∵f′(x)=1−1x+2=x+1x+2，∴当−2<x <−1时，f′(x)<0，当x >−1时，f′(x)>0， ∴当x =−1时，f(x)取得最小值f(−1)=0， ∴f(x)只有唯一一个零点x =−1，即x 1=−1， ∵|x 1−x 2|≤1，∴−2≤x 2≤0， ∴g(x)在[−2,0]上有零点，(1)若△=4a 2−4(4a +4)=0，即a =2±2√2， 此时g(x)的零点为x =a ， 显然当a =2−2√2时符合题意；(2)若△=4a 2−4(4a +4)>0，即a <2−2√2或a >2+2√2， ①若g(x)在[−2,0]上只有一个零点，则g(−2)⋅g(0)≤0，解得a =−1；②若g(x)在[−2,0]上有两个零点， 则{g(−2)≥0g(0)≥0−2<a <0a <2−2√2或a >2+2√2， 解得−1≤a <2−2√2； 综上，a 的最小值为−1． 故选：A ．由题意求出x 1的值，得出x 2的取值范围，根据二次函数g(x)零点的分布情况列不等式组求出a 的范围．本题考查了函数零点的判定定理，函数零点的计算，二次函数的性质，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(m,−1)，若a ⃗ //(a ⃗ +b ⃗ )，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______． 【答案】−52【解析】解：a ⃗ +b ⃗ =(m +1,1)；∵a ⃗ //(a ⃗ +b ⃗ )； ∴1−2(m +1)=0； 解得m =−12； ∴b ⃗ =(−12,−1)；∴a ⃗ ⋅b⃗ =−12−2=−52． 故答案为：−52．可得出a ⃗ +b ⃗ =(m +1,1)，根据a ⃗ //(a ⃗ +b ⃗ )即可得出1−2(m +1)=0，从而解出m ，然后可得出向量b ⃗ 的坐标，进行向量坐标的数量积运算即可．考查向量坐标的加法和数量积运算，以及平行向量的坐标关系．14. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为______．【答案】3【解析】解：模拟执行程序框图，可得 i =0，A =3 i =1，A =23不满足条件i >2018，i =2，A =−12 不满足条件i >2018，i =3，A =3 不满足条件i >2018，i =4，A =23…不满足条件i >2018，i =2018=3×672+2，A =−12 不满足条件i >2015，i =2019=3×673，A =3 满足条件i >2018，退出循环，输出A 的值为3． 故答案为：3．根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果． 本题主要考查了循环结构，是直到型循环，先执行循环，直到满足条件退出循环，属于基础题．15. 我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为______． 【答案】815【解析】解：由一个1、一个2、两个3、两个4这六个数字组成的所有不同的六位数个数为A 66A 22A 22=180个，采用捆绑法和间接法可得组成的数为兄弟数的有2×A 55A 22−A 44=120−24=96个，∴所求概率为P =96180=815 故答案为：815由排列组合的知识可得总数，再由捆绑法和间接法可得兄弟数的个数，由概率公式可得． 本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合知识的应用，属中档题．16. 在△ABC 中，D 为BC 的中点，AC =2√3，AD =√7，CD =1，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB =BC ，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为______． 【答案】3√32【解析】解：在△ACD 中，由余弦定理得cos∠ACD =AC 2+CD 2−AD 22⋅AC⋅CD=4√3=√32， 由于：0<∠ACD <π， 所以：∠ACD =π6， 又D 是BC 的中点，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2⋅AC ⋅BC ⋅cos∠ACB =12+4−12=4， 所以AB =2．因为BA =BC =BP =2，所以点P 在以B 为圆心，2为半径的圆上，∠APC =120∘． 由余弦定理可得AC 2=AP 2+CP 2−2⋅AP ⋅CP ⋅cos∠APC ，≥3⋅AP ⋅CP所以AP ⋅CP ≤4.当且仅当AP =CP 时，等号成立． 故S △APC ≤12AP ⋅CP ⋅sin120∘=√3． 又S △ADC ≤12AC ⋅CD ⋅sin30∘=√32，故平面四边形ADCP 的最大值为3√32． 故答案为：3√32直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是等差数列，a n+1>a n ，a 1⋅a 10=160，a 3+a 8=37．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，求S n =b 1+b 2+⋯+b n ．【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a n+1>a n ，a 1⋅a 10=160，a 3+a 8=37． ∴{2a 1+9d =37a 1(a 1+9d)=160，化为a 12−37a 1+160=0， 解得a 1=32，或5．∴{d =−3a 1=32(舍去)，{d =3a 1=5．∴a n =5+3(n −1)=3n +2． (2)b n =a 2n =3×2n +2．∴S n =b 1+b 2+⋯+b n =3(21+22+⋯+2n )+2n =3×2(2n −1)2−1+2n=3×2n+1−6+2n ．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a n+1>a n ，a 1⋅a 10=160，a 3+a 8=37.利用等差数列的通项公式即可得出．(2)b n =a 2n =3×2n +2.再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，EF//AC ，EF =1，∠ABC =60∘，CE ⊥平面ABCD ，CE =√3，CD =2，G 是DE 的中点．(1)求证：平面ACG//平面BEF ；(2)求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值．【答案】解：(Ⅰ)连接BD 交AC 于O ，则O 是BD 的中点， 连结OG ，∵G 是DE 的中点，∴OG//BE ， ∵BE ⊂面BEF ，OG 在面BEF 外， ∴OG//面BEF ；又EF//AC ，AC 在面BEF 外，AC//面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行，故面ACG//面BEF ．(Ⅱ)如图，以O 为坐标原点，分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则A(−1,0，0)，B(0,−√3,0)，D(0,√3,0)，F(0,0,√3)， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)， 设面ABF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 依题意有{m ⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ m ⃗⃗⃗ ⊥AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{(a,b,c)⋅(1,−√3,0)=a −√3b =0(a,b,c)⋅(1,0,√3)=a +√3c =0，令a =√3，b =1，c =−1，m ⃗⃗⃗ =(√3,1,−1)， cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√3+√3√4×√4+1=√155， 直线AD 与面ABF 成的角的正弦值是√155．【解析】(Ⅰ)连接BD 交AC 于O ，则O 是BD 的中点连结OG ，则OG//BE ，从而OG//面BEF ；由EF//AC ，得面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行，由此能证明面ACG//面BEF ．(Ⅱ)以O 为坐标原点，分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD 与面ABF 成的角的正弦值．本题考查面面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19. 为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图：(1)若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求x ，y 的值；(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期中任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率P(ξ≤2)；(3)现从上图的共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天)，记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望．【答案】解：(1)景点甲中的数据的中位数是125，可得X =3，景点乙中的数据的平均数是124，可得109+110+y+115+118+124+125+126+133+135+14110=124，解得y =4；(2)由题意知：因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为610=35， 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生，故随机变量ξ服从二项分布，则P(ξ≤2)=C 40(35)0(1−35)4+C 41(35)(25)3+C 42(35)2(25)2=328625， (3)从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天.所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410． 由题意知：η的所有可能的取值为0，1，2．则P(η=0)=910×610=2750P(η=1)=110×610+910×410=2150P(η=2)=110×410=250， 所以得分布列为：η 0 1 2 P27502150125 E(η)=0×2750+1×2150+2×125=12． 【解析】(1)利用景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，直接求解x ，y 的值． (2)判断游客数超过120人的概率，判断是独立重复试验，满足二项分布，然后求解概率即可． (3)求出η的所有可能的取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散性随机变量的分布列，独立重复试验以及期望的求法，考查的能力．20. 对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，M(1,√32)在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设不过原点O 的直线l&：y =kx +m(k >0,m >0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则当△OPQ 的面积为√74时，求直线PQ 的方程．【答案】解：(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得c=√3，又由|MF1|+|MF2|=2a，得a=2，故b2=a2−c2=1，∴椭圆C的方程为x24+y2=1；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2).由题意直线l的方程为：l：y=kx+m，(k>0,m≠0,±1)联立{y=kx+mx24+y2=1得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，∴△=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，化简，得m2<4k2+1①x1+x2=−8km1+4k2②，x1x2=4m2−41+4k2③∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴k2=y1x1⋅y2 x2，∴(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2，化简，得mk(x1+x2)+m2=0∴−8k2m1+4k2+m=0，∴4k2=1，又k>0，∴k=12，且由①知m2<2．∴|PQ|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(2−m2)1+4k2，原点O到直线PQ的距离d=√1+k2．∴S△OPQ=12|PQ|d=2|m|√2−m21+4k2=|m|√2−m2=√74，解得m=±12(负舍)或m=±√72(负舍)．∴直线PQ的方程为：y=12x+12或y=12x+√72．【解析】(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，先求出c=√3，再根据定义求出a=2，即可求出b2=a2−c2=1，椭圆方程可求；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由题意直线l的方程为：l：y=kx+m，(k>0,m≠0,±1)根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出k，再根据弦长公式，点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出m的值，则直线PQ的方程即可求出．本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数f(x)=lnx+ax−x+1−a(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x>1,使f(x)+x<1−x成立，求整数a的最小值．【答案】解：(1)由题意可知，x>0，f′(x)=1x −ax2−1=−x2+x−ax2，方程−x2+x−a=0对应的△=1−4a，当△=1−4a≤0，即a≥14时，当x∈(0,+∞)时，，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减；…(2分)当0<a<14时，方程−x2+x−a=0的两根为1±√1−4a2，且0<1−√1−4a2<1+√1−4a2，此时，f(x)在(1−√1−4a2,1+√1−4a2)上0'/>，函数f(x)单调递增，在(0,1−√1−4a2),(1+√1−4a2,+∞)上，函数f(x)单调递减；…(4分)当a≤0时，1−√1−4a2<0，1+√1−4a2>0，此时当x∈(0,1+√1−4a2),f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1+√1−4a2,+∞)时，，f(x)单调递减；…(6分)综上：当a≤0时，x∈(0,1+√1−4a2)，f(x)单调递增，当x∈(1+√1−4a2,+∞)时，f(x)单调递减；当0<a<14时，f(x)在(1−√1−4a2,1+√1−4a2)上单调递增，在(0,1−√1−4a2),(1+√1−4a2,+∞)上单调递减；当a≥14时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；…(7分) (2)原式等价于(x−1)a>xlnx+2x−1，即存在x>1，使a>xlnx+2x−1x−1成立．设g(x)=xlnx+2x−1x−1，x>1，则g′(x)=x−lnx−2(x−1)2，…(9分)设h(x)=x−lnx−2，则h′(x)=1−1x =x−1x>0，∴h(x)在(1,+∞)上单调递增．又h(3)=3−ln3−2=1−ln3<0，h(4)=4−ln4−2=2−2ln2>0，根据零点存在性定理，可知h(x)在(1,+∞)上有唯一零点，设该零点为x0，则x0∈(3,4)，且h(x0)=x0−lnx0−2=0，即x0−2=lnx0，∴g(x)min=x0lnx0+2x0−1x0−1=x0+1…(11分)由题意可知a >x 0+1，又x 0∈(3,4)，a ∈Z ， ∴a 的最小值为5.…(12分)【解析】(1)求出函数的导数，结合二次函数的性质通过讨论a 的范围判断函数的单调性即可； (2)问题转化为存在x >1，使a >xlnx+2x−1x−1成立.设g(x)=xlnx+2x−1x−1，x >1，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ+π6)−3=0，曲线C 的参数方程是{y =2sinϕx=2cosϕ(φ为参数)． (1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|． 【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程2ρsin(θ+π6)−3=0， 化为√3ρsinθ+ρcosθ−3=0， 即l 的普通方程为x +√3y −3=0， 曲线C 的参数方程是{y =2sinϕx=2cosϕ(φ为参数)． 消去φ，得C 的普通方程为x 2+y 2=4． (2)在x +√3y −3=0中， 令y =0得P(3,0)， ∵k =−√33， ∴倾斜角α=5π6，∴l 的参数方程可设为{x =3+tcos 5π6y =0+tsin 5π6即{x =3−√32t y =12t，代入x 2+y 2=4得t 2−3√3t +5=0， △=7>0， ∴方程有两解，t 1+t 2=3√3，t 1t 2=5>0， ∴t 1，t 2同号，|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．23. 已知不等式|x −m|<|x|的解集为(1,+∞)．(1)求实数m 的值； (2)若不等式a−5x<|1+1x|−|1−m x|<a+2x对x ∈(0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)由|x −m|<|x|得|x −m|2<|x|2，即2mx >m 2，而不等式|x −m|<|x|的解集为(1,+∞)， ∴1是方程2mx =m 2的解，解得m =2(m =0舍去)． (2)∵m =2，∴不等式a−5x<|1+1x|−|1−m x|<a+2x对x ∈(0,+∞)恒成立，等价于不等式a −5<|x +1|−|x −2|<a +2对x ∈(0,+∞)恒成立． 设f(x)=|x +1|−|x −2|={3,x ≥22x−1,0<x<2，则f(x)∈(−1,3]． ∴a +2>3，且a −5≤−1，∴1<a ≤4．【解析】(1)解绝对值不等式可得不等式|x −m|<|x|的解集为(1,+∞)，可得1是方程2mx =m 2的解，由此求得m 的值．(2)由题意可得不等式a −5<|x +1|−|x −2|<a +2对x ∈(0,+∞)恒成立，结合f(x)=|x +1|−|x −2|∈(−1,3]，可得a +2>3，a −5≤−1，由此求得a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．。
山东省青岛市高考数学二模试卷(理科)
山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2019·河南模拟) 已知集合，集合，则集合等于（）A .B .C .D .2. （2分）复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）A . －1－iB . －1＋iC . 1－iD . 1＋i3. （2分）函数y=的图象的大致形状是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 在等差数列中，已知，则该数列的前项和等于（）．A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·荔湾月考) 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（）．A . ①是循环变量初始化，循环就要开始B . ②为循环体C . ③是判断是否继续循环的终止条件D . ①可以省略不写6. （2分） (2019高一下·岳阳月考) 设非零向量，夹角为θ，若| |=2| |，且不等式|2 +|≥| +λ |对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A . [-1，3]B . [-1，5]C . [-7，3]D . [5，7]7. （2分） (2016高三上·朝阳期中) 设m∈R且m≠0，“不等式m+ ＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A . m＞0B . m＞1C . m＞2D . m≥28. （2分） (2016高二上·定州期中) 过双曲线x2﹣ =1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A . 10B . 13C . 16D . 199. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（）A . 2B . 4C . 5D . 810. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 已知函数f（x）=ex+e﹣x ，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于（）A . ln2B . 2ln2C . 2D .11. （2分）一几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）若数列满足，则当取最小值时n的值为（）A . 8或9B . 9C . 8D . 7或8二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分）(2017·黄浦模拟) 若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是________．14. （1分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AC=5，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为________．15. （1分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为________16. （2分）一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为________．三、解答题： (共7题；共70分)17. （10分）(2018·衡水模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若的面积为，，求的周长．18. （10分） (2019高二上·南湖期中) 如图（1），边长为的正方形中，，分别为，上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使三点重合于点 .（1）求证：；（2）求二面角的正切值的最小值．19. （5分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．20. （10分）(2018·石家庄模拟) 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点，当时，的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.21. （10分）(2018·衡水模拟) 已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为．（1）求的值，并求函数的最值；（2）当时，求证： .22. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点，斜率为，直线与曲线相交于两点.（1）写出曲线的普通方程和直线的参数方程；（2）求的值.23. （15分） (2017·金山模拟) 已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，xn=q，用任意xi（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n 个小区间，其中xi﹣1＜xi＜xi+1，若存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m （xn﹣1）﹣m（xn）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
山东省青岛二中2019届高三下学期期初(2月)考试理科综合试题
青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三理科综合注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．做图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 Na-23 Mg-24 Fe-56 Ni-59第I卷一、选择题（本题共13小题，每题6分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．下列关于细胞组成、结构和功能的叙述中，正确的是()A．神经元的膜磷脂、膜蛋白都参与兴奋在突触中的传递B．结核杆菌属于胞内寄生菌，其蛋白质在宿主细胞的核糖体上合成C．颤藻细胞的生物膜系统有利于其有序完成各项生理功能D．细胞之间的信息交流均依赖于细胞膜上的特异性受体2．下列实验操作能够达到预期的是()A．在“探究酵母菌细胞呼吸方式”实验中，根据溴麝香草酚蓝水溶液的颜色变化判断酵母菌细胞呼吸方式B．在“探究温度对酶活性的影响”实验中，预实验确定最适温度范围C．在“观察DNA和RNA在细胞中的分布”实验中，用甲基绿染色组和吡罗红染色组进行对照D．在“观察细胞的减数分裂”实验中，选用马蛔虫的受精卵进行实验3．豌豆中，籽粒黄色(Y)和圆形(R)分别对绿色(y)和皱缩(r)为显性，现将黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆杂交得到的F1自交，F2的表现型及比例为黄色圆粒︰黄色皱粒︰绿色圆粒︰绿色皱粒=9:3:15:5，则亲本的基因型为()A．YYRR yyrr B．YYRr yyrrC．YyRR yyrr D．YyRr yyrr4．下图为某单基因遗传病的系谱图，这些患者的基因型全部相同的概率是() A．4/9 B．1/2 C．2/3 D．不能确定5．下列关于内环境的叙述，不正确的是()A．血浆渗透压的大小主要取决于血浆中无机盐和血红蛋白的含量B．内分泌腺分泌的激素释放到内环境中，作用于靶细胞或靶器官C．HCO3-、HPO42-等参与维持血浆pH相对稳定D．淋巴细胞生活的液体环境是淋巴、血浆等6．下列与植物生命活动调节有关的叙述中，正确的是()A．植物没有神经和免疫系统，因此植物生命活动只受激素调节B．植物激素可调节基因组的表达，如赤霉素可促进大麦种子合成a-淀粉酶C．顶芽处生长素浓度较高，生长快，使植物产生顶端优势D．在太空失重状态下，植物体内生长素极性运输将不能进行7．化学与生产、生活、科技、环境等密切相关。
2019届山东省青岛第二中学高三下学期2月月考考试数学(理)试题(含全解析)
取直线 x 2 y 0，平移经过点 (0,1) 时， zmin 2
故选： B.
点评：
将每一个二元一次不等式中不等号改写成等号， 依次在平面直角坐标中画出直线， 并根
据不等式的符号确定不等式所表达的平面区域，这就是可行域的画法
.
6．已知函数 f (x) x sin x ，则不等式 f (1 x2 ) f (3 x 3) 0 的解集是
1
uuuv AB,
uuuv DF
1
uuuv FC
，若
uuuv AF
uuuv AC
2
2
则
的值为
.
uuuv DE ，
1
A．
2
2
B．
3
1
C．
3
答案： D
uuuv uuuv
uuuv
选取 AB, AD 为基底将向量 AF 进行分解，然后与条件对照后得到
解：
uuuv uuuv 选取 AB, AD 为基底，
uuuv 则 AF
（图 1），图 2 是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形
拼接而成 . 现随机的向图 2 中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边
长分别为 5 和 12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为
49
A．
169
30
B．
169
49
C．
289
60
D．
289
答案： C 首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例， 方形（阴影）区域的概率 . 解：
故选： B．
点评：
本题考查命题的否命题的写法，基本知识的考查．
4．已知角 α和角 β的终边关于直线 y＝ x 对称，且 β＝－ ，则 sin α＝(
山东省青岛第二中学2019届高三下学期期初(2月)考试数学(理)试题
山东省青岛第二中学2019届高三下学期期初（2月）考试数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集为R ，集合A ={x|2x ≥1}，B ={x|x 2−3x +2<0}，则A ∩∁R B =( )A. {x|0≤x ≤1}B. {x|0≤x ≤1或x ≥2}C. {x|1<x <2}D. {x|0≤x <1或x >2}【答案】B【解析】解：A ={x|2x ≥1}={x|x ≥0}，B ={x|x 2−3x +2<0}={x|(x −1)(x −2)<0}={x|1<x <2}， 则∁R B ={x|x ≥2或x ≤1}， 则A ∩∁R B ={x|0≤x ≤1或x ≥2}， 故选：B ．求出集合A ，B 的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2. 复数z =2+i1−i ，i 是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. |z|=√5B. z 的共轭复数为32+12iC. z 的实数与虚部之和为1D. z 在平面内的对应点位于第一象限【答案】D【解析】解：复数z =2+i1−i =(2+i)(1+i)12−i 2=12+32i ，∴|z|=√(12)2+(32)2=√102，A 错误； z 的共轭复数为12−32i ，B 错误；z 的实数与虚部之和为12+32=2，C 错误；z 在平面内的对应点是(12,32)，位于第一象限，D 正确．故选：D ．化简复数z ，分别求出z 的模长、共轭复数以及实数与虚部和z 在平面内的对应点坐标． 本题考查了复数代数形式的运算问题，也考查了复数的概念与应用问题，是基础题．3. 命题若“x 2+y 2=0，则x =y =0”的否命题是( )A. 若x 2+y 2=0，则x ，y 中至少有一个不为0B. 若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0C. 若x 2+y 2≠0，则x ，y 都不为0D. 若x 2+y 2=0，则x ，y 都不为0【答案】B【解析】解：否命题是把原命题的条件否定做条件，原命题的结论否定做结论， ∴命题若“x 2+y 2=0，则x =y =0”的否命题是：若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．直接利用四种命题的逆否关系写出命题的否命题即可． 本题考查命题的否命题的写法，基本知识的考查．4. 已知α，β的终边关于直线y =x 对称，且β=−π3，则sinα等于( )A. −√32B. √32C. −12D. 12【答案】D【解析】解：α，β的终边关于直线y =x 对称，且β=−π3，则α=(π3+π4)+π4=5π6，∴sinα=sin5π6=12，故选：D ．由题意求得α的值，可得sinα的值．本题主要考查两个角关于一条直线对称的性质，特殊角的三角函数值，属于基础题．5. 若x ，y 满足{x +y −1≥0x −y −1≤0x −3y +3≥0，则z =x −2y 的最小值为( )A. −1B. −2C. 2D. 1【答案】B【解析】解：画出不等式组{x +y −1≥0x −y −1≤0x −3y +3≥0表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z =x −2y 过点B 时，z 取得最小值， 由{x −3y +3=0x+y−1=0，解得B(0,1)， 所以z 的最小值为z =0−2×1=−2． 故选：B ．画出不等式组表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值． 本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．6. 已知函数f(x)=x −sinx ，则不等式f(1−x 2)+f(3x +3)>0的解集是( )A. (−∞,−4)∪(1,+∞)B. (−∞,−1)∪(4,+∞)C. (−1,4)D. (−4,1)【答案】C【解析】解：f(−x)=−x +sinx =−(x −sinx)=−f(x)，即函数f(x)是奇函数， 函数的导数f′(x)=1−cosx ≥0，即函数f(x)为增函数，则不等式f(1−x 2)+f(3x +3)>0等价为f(3x +3)>−f(1−x 2)=f(x 2−1)， 即3x +3>x 2−1，即x 2−3x −4<0， 即(x +1)(x −4)<0， 得−1<x <4，即不等式的解集为(−1,4)， 故选：C ．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合函数的奇偶性和单调性减故不等式进行转化是解决本题的关键．7. 如图四边形ABCD 为平行四边形，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FC ⃗⃗⃗⃗ ，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ−μ的值为( )A. 1B. 23 C. 12 D. 13【答案】A【解析】解：由题意，可知：在▱ABCD 中，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ+12μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ−μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 综上两式，可知：λ−μ=1． 故选：A ．本题的关键在于找到两个基底AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后可将AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 化成两个基底的表示形式，最终比较系数就能找到答案．本题主要考查向量的数乘运算，以及构建基底然后去算出系数，属基础题．8. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 73B.8−π3C. 83D.7−π3【答案】B【解析】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P −ABCD 中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2， 圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V =13×2×2×2−12×13π×12×2=8−π3，故选：B．由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(图1)，图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为()A. 49169B. 30169C. 49289D. 60289【答案】C【解析】解：由题意可知：小正方形的边长为12−5=7，大正方形的边长为：12+12−7= 17，设飞镖投中小正方形(阴影)区域为事件A由几何概型中的面积型可得：P(A)=S小正方形S大正方形=7×717×17=49289，故选：C．由正方形面积的求法得：小正方形的边长为12−5=7，大正方形的边长为：12+12−7=17，由几何概型中的面积型得：P(A)=S小正方形S大正方形=7×717×17=49289，得解．本题考查了正方形面积的求法及几何概型中的面积型，属中档题．10.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=√3，|AA1|=1，而对角线A1B上存在一点P，使得|AP|+|D1P|取得最小值，则此最小值为()A. 2B. 3C. 1+√3D. √7【答案】D【解析】解：把面AA 1B 绕A 1B 旋转至AA 1M 使其与对角面A 1BCD 1在同一平面上，连接MD 1′.MD 1就是|AP|+|D 1P|的最小值，∵，|AB|=|AD|=√3，|AA 1|=1，∴∠AA 1D =600．∴MD 1=√A 1D 12+A 1M 2−2A 1D 1A 1M =√1+3−2×2×√3×(−√32)=√7故选：D ．把面AA 1B 绕A 1B 旋转至AA 1M 使其与对角面A 1BCD 1在同一平面上，连接MD 1′并求出，就是最小值．本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．11. 已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：(x −a)2+y 2=8与l 交于A ，B 两点，若△ABC 是等腰直角三角形，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中O 为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( )A. 2√133B. 2√135C. √135D. √133【答案】D【解析】解：双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线l 的方程为y =ba x ，圆C ：(x −a)2+y 2=8的圆心C(a,0)，半径为r =2√2，由△ABC 为等腰直角三角形，可得AB =√2r =4，设OA =t ，由OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得OB =5t ，AB =4t ，可得t =1， 过C 作CD ⊥AB ，且D 为AB 的中点，OD =3，AB =4，AD =2，C 到直线l 的距离为CD =√a 2+b 2，在直角三角形OCD 中，CD 2=OC 2−OD 2， 在直角三角形ACD 中，CD 2=AC 2−AD 2， 即有a 2−9=8−4，解得a =√13， 即有CD =2=√a 2+b 2，解得b =2√133， c =√a 2+b 2=√13+529=133，e =ca =√133． 故选：D ．求出双曲线的一条渐近线方程，圆C 的圆心和半径，设OA =t ，由OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得OB =5t ，AB =4t ，可得t =1，过C 作CD ⊥AB ，且D 为AB 的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公式，解得a ，b ，c ，再由离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查圆的垂径定理和直角三角形的勾股定理的运用，以及向量的共线，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12. 已知x 1是函数f(x)=x +1−ln(x +2)的零点，x 2是函数g(x)=x 2−2ax +4a +4的零点，且满足|x 1−x 2|≤1，则实数a 的最小值为( )A. −1B. −2C. 2−2√2D. 1−2√2【答案】A【解析】解：∵f′(x)=1−1x+2=x+1x+2，∴当−2<x <−1时，f′(x)<0，当x >−1时，f′(x)>0， ∴当x =−1时，f(x)取得最小值f(−1)=0， ∴f(x)只有唯一一个零点x =−1，即x 1=−1， ∵|x 1−x 2|≤1，∴−2≤x 2≤0， ∴g(x)在[−2,0]上有零点，(1)若△=4a 2−4(4a +4)=0，即a =2±2√2， 此时g(x)的零点为x =a ， 显然当a =2−2√2时符合题意；(2)若△=4a 2−4(4a +4)>0，即a <2−2√2或a >2+2√2， ①若g(x)在[−2,0]上只有一个零点，则g(−2)⋅g(0)≤0， 解得a =−1；②若g(x)在[−2,0]上有两个零点， 则{g(−2)≥0g(0)≥0−2<a <0a <2−2√2或a >2+2√2， 解得−1≤a <2−2√2；综上，a的最小值为−1．故选：A．由题意求出x1的值，得出x2的取值范围，根据二次函数g(x)零点的分布情况列不等式组求出a的范围．本题考查了函数零点的判定定理，函数零点的计算，二次函数的性质，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,2),b⃗ =(m,−1)，若a⃗//(a⃗+b⃗ )，则a⃗⋅b⃗ =______．【答案】−52【解析】解：a⃗+b⃗ =(m+1,1)；∵a⃗//(a⃗+b⃗ )；∴1−2(m+1)=0；解得m=−12；∴b⃗ =(−12,−1)；∴a⃗⋅b⃗ =−12−2=−52．故答案为：−52．可得出a⃗+b⃗ =(m+1,1)，根据a⃗//(a⃗+b⃗ )即可得出1−2(m+1)=0，从而解出m，然后可得出向量b⃗ 的坐标，进行向量坐标的数量积运算即可．考查向量坐标的加法和数量积运算，以及平行向量的坐标关系．14.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为______．【答案】3【解析】解：模拟执行程序框图，可得i=0，A=3i=1，A=23不满足条件i >2018，i =2，A =−12 不满足条件i >2018，i =3，A =3 不满足条件i >2018，i =4，A =23…不满足条件i >2018，i =2018=3×672+2，A =−12 不满足条件i >2015，i =2019=3×673，A =3 满足条件i >2018，退出循环，输出A 的值为3． 故答案为：3．根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．本题主要考查了循环结构，是直到型循环，先执行循环，直到满足条件退出循环，属于基础题．15. 我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为______． 【答案】815【解析】解：由一个1、一个2、两个3、两个4这六个数字组成的所有不同的六位数个数为A 66A 22A 22=180个，采用捆绑法和间接法可得组成的数为兄弟数的有2×A 55A 22−A 44=120−24=96个，∴所求概率为P =96180=815 故答案为：815由排列组合的知识可得总数，再由捆绑法和间接法可得兄弟数的个数，由概率公式可得． 本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合知识的应用，属中档题．16. 在△ABC 中，D 为BC 的中点，AC =2√3，AD =√7，CD =1，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB =BC ，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为______． 【答案】3√32【解析】解：在△ACD 中，由余弦定理得cos∠ACD =AC 2+CD 2−AD 22⋅AC⋅CD=4√3=√32， 由于：0<∠ACD <π， 所以：∠ACD =π6， 又D 是BC 的中点，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2⋅AC ⋅BC ⋅cos∠ACB =12+4−12=4，所以AB =2．因为BA =BC =BP =2，所以点P 在以B 为圆心，2为半径的圆上，∠APC =120∘． 由余弦定理可得AC 2=AP 2+CP 2−2⋅AP ⋅CP ⋅cos∠APC ，≥3⋅AP ⋅CP所以AP ⋅CP ≤4.当且仅当AP =CP 时，等号成立． 故S △APC ≤12AP ⋅CP ⋅sin120∘=√3． 又S △ADC ≤12AC ⋅CD ⋅sin30∘=√32，故平面四边形ADCP 的最大值为3√32． 故答案为：3√32直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是等差数列，a n+1>a n ，a 1⋅a 10=160，a 3+a 8=37．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，求S n =b 1+b 2+⋯+b n ．【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a n+1>a n ，a 1⋅a 10=160，a 3+a 8=37． ∴{2a 1+9d =37a 1(a 1+9d)=160，化为a 12−37a 1+160=0， 解得a 1=32，或5．∴{d =−3a 1=32(舍去)，{d =3a 1=5．∴a n =5+3(n −1)=3n +2． (2)b n =a 2n =3×2n +2．∴S n =b 1+b 2+⋯+b n =3(21+22+⋯+2n )+2n =3×2(2n −1)2−1+2n=3×2n+1−6+2n ．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a n+1>a n ，a 1⋅a 10=160，a 3+a 8=37.利用等差数列的通项公式即可得出．(2)b n =a 2n =3×2n +2.再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，EF//AC ，EF =1，∠ABC =60∘，CE ⊥平面ABCD ，CE =√3，CD =2，G 是DE 的中点．(1)求证：平面ACG//平面BEF ；(2)求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值．【答案】解：(Ⅰ)连接BD 交AC 于O ，则O 是BD 的中点，连结OG ，∵G 是DE 的中点，∴OG//BE ， ∵BE ⊂面BEF ，OG 在面BEF 外， ∴OG//面BEF ；又EF//AC ，AC 在面BEF 外，AC//面BEF ， 又AC 与OG 相交于点O ，面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行， 故面ACG//面BEF ．(Ⅱ)如图，以O 为坐标原点，分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则A(−1,0，0)，B(0,−√3,0)，D(0,√3,0)，F(0,0,√3)， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)， 设面ABF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 依题意有{m ⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ m ⃗⃗⃗ ⊥AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{(a,b,c)⋅(1,−√3,0)=a −√3b =0(a,b,c)⋅(1,0,√3)=a +√3c =0，令a =√3，b =1，c =−1，m ⃗⃗⃗ =(√3,1,−1)， cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√3+√3√4×√4+1=√155， 直线AD 与面ABF 成的角的正弦值是√155．【解析】(Ⅰ)连接BD 交AC 于O ，则O 是BD 的中点连结OG ，则OG//BE ，从而OG//面BEF ；由EF//AC ，得面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行，由此能证明面ACG//面BEF ． (Ⅱ)以O 为坐标原点，分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD 与面ABF 成的角的正弦值．本题考查面面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19. 为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图：(1)若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求x ，y 的值；(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期中任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率P(ξ≤2)；(3)现从上图的共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天)，记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望．【答案】解：(1)景点甲中的数据的中位数是125，可得X =3，景点乙中的数据的平均数是124，可得109+110+y+115+118+124+125+126+133+135+14110=124，解得y =4；(2)由题意知：因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为610=35， 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生，故随机变量ξ服从二项分布，则P(ξ≤2)=C 40(35)0(1−35)4+C 41(35)(25)3+C 42(35)2(25)2=328625， (3)从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天.所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410． 由题意知：η的所有可能的取值为0，1，2．则P(η=0)=910×610=2750P(η=1)=110×610+910×410=2150P(η=2)=110×410=250， 所以得分布列为：η 0 1 2 P27502150125E(η)=0×2750+1×2150+2×125=12．【解析】(1)利用景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，直接求解x ，y 的值．(2)判断游客数超过120人的概率，判断是独立重复试验，满足二项分布，然后求解概率即可．(3)求出η的所有可能的取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散性随机变量的分布列，独立重复试验以及期望的求法，考查的能力．20. 对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，M(1,√32)在C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设不过原点O 的直线l&：y =kx +m(k >0,m >0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，则当△OPQ的面积为√74时，求直线PQ的方程．【答案】解：(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得c=√3，又由|MF1|+|MF2|=2a，得a=2，故b2=a2−c2=1，∴椭圆C的方程为x24+y2=1；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2).由题意直线l的方程为：l：y=kx+m，(k>0,m≠0,±1)联立{y=kx+mx24+y2=1得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，∴△=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，化简，得m2<4k2+1①x1+x2=−8km1+4k2②，x1x2=4m2−41+4k2③∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴k2=y1x1⋅y2 x2，∴(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2，化简，得mk(x1+x2)+m2=0∴−8k2m1+4k2+m=0，∴4k2=1，又k>0，∴k=12，且由①知m2<2．∴|PQ|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(2−m2)1+4k2，原点O到直线PQ的距离d=√1+k2．∴S△OPQ=12|PQ|d=2|m|√2−m21+4k2=|m|√2−m2=√74，解得m=±12(负舍)或m=±√72(负舍)．∴直线PQ的方程为：y=12x+12或y=12x+√72．【解析】(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，先求出c=√3，再根据定义求出a=2，即可求出b2=a2−c2=1，椭圆方程可求；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由题意直线l的方程为：l：y=kx+m，(k>0,m≠0,±1)根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出k，再根据弦长公式，点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出m的值，则直线PQ的方程即可求出．本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数f(x)=lnx+ax−x+1−a(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x>1,使f(x)+x<1−xx成立，求整数a的最小值．【答案】解：(1)由题意可知，x>0，f′(x)=1x −ax2−1=−x2+x−ax2，方程−x2+x−a=0对应的△=1−4a，当△=1−4a≤0，即a≥14时，当x∈(0,+∞)时，，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减；…(2分)当0<a<14时，方程−x2+x−a=0的两根为1±√1−4a2，且0<1−√1−4a2<1+√1−4a2，此时，f(x)在(1−√1−4a2,1+√1−4a2)上0'/>，函数f(x)单调递增，在(0,1−√1−4a2),(1+√1−4a2,+∞)上，函数f(x)单调递减；…(4分)当a≤0时，1−√1−4a2<0，1+√1−4a2>0，此时当x∈(0,1+√1−4a2),f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1+√1−4a2,+∞)时，，f(x)单调递减；…(6分)综上：当a≤0时，x∈(0,1+√1−4a2)，f(x)单调递增，当x∈(1+√1−4a2,+∞)时，f(x)单调递减；当0<a<14时，f(x)在(1−√1−4a2,1+√1−4a2)上单调递增，在(0,1−√1−4a2),(1+√1−4a2,+∞)上单调递减；当a≥14时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；…(7分) (2)原式等价于(x−1)a>xlnx+2x−1，即存在x>1，使a>xlnx+2x−1x−1成立．设g(x)=xlnx+2x−1x−1，x>1，则g′(x)=x−lnx−2(x−1)2，…(9分)设h(x)=x−lnx−2，则h′(x)=1−1x =x−1x>0，∴h(x)在(1,+∞)上单调递增．又h(3)=3−ln3−2=1−ln3<0，h(4)=4−ln4−2=2−2ln2>0，根据零点存在性定理，可知h(x)在(1,+∞)上有唯一零点，设该零点为x 0，则x 0∈(3,4)，且h(x 0)=x 0−lnx 0−2=0，即x 0−2=lnx 0， ∴g(x)min =x 0lnx 0+2x 0−1x 0−1=x 0+1…(11分)由题意可知a >x 0+1，又x 0∈(3,4)，a ∈Z ， ∴a 的最小值为5.…(12分)【解析】(1)求出函数的导数，结合二次函数的性质通过讨论a 的范围判断函数的单调性即可；(2)问题转化为存在x >1，使a >xlnx+2x−1x−1成立.设g(x)=xlnx+2x−1x−1，x >1，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ+π6)−3=0，曲线C 的参数方程是{y =2sinϕx=2cosϕ(φ为参数)． (1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|． 【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程2ρsin(θ+π6)−3=0， 化为√3ρsinθ+ρcosθ−3=0， 即l 的普通方程为x +√3y −3=0， 曲线C 的参数方程是{y =2sinϕx=2cosϕ(φ为参数)． 消去φ，得C 的普通方程为x 2+y 2=4． (2)在x +√3y −3=0中， 令y =0得P(3,0)， ∵k =−√33， ∴倾斜角α=5π6，∴l 的参数方程可设为{x =3+tcos 5π6y =0+tsin 5π6即{x =3−√32t y =12t，代入x 2+y 2=4得t 2−3√3t +5=0， △=7>0， ∴方程有两解，t 1+t 2=3√3，t 1t 2=5>0， ∴t 1，t 2同号，|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．23. 已知不等式|x −m|<|x|的解集为(1,+∞)．(1)求实数m 的值； (2)若不等式a−5x<|1+1x|−|1−m x|<a+2x对x ∈(0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)由|x −m|<|x|得|x −m|2<|x|2，即2mx >m 2，而不等式|x −m|<|x|的解集为(1,+∞)，∴1是方程2mx =m 2的解，解得m =2(m =0舍去)． (2)∵m =2，∴不等式a−5x<|1+1x|−|1−m x|<a+2x对x ∈(0,+∞)恒成立，等价于不等式a −5<|x +1|−|x −2|<a +2对x ∈(0,+∞)恒成立． 设f(x)=|x +1|−|x −2|={3,x ≥22x−1,0<x<2，则f(x)∈(−1,3]． ∴a +2>3，且a −5≤−1，∴1<a ≤4．【解析】(1)解绝对值不等式可得不等式|x −m|<|x|的解集为(1,+∞)，可得1是方程2mx =m 2的解，由此求得m 的值．(2)由题意可得不等式a −5<|x +1|−|x −2|<a +2对x ∈(0,+∞)恒成立，结合f(x)=|x +1|−|x −2|∈(−1,3]，可得a +2>3，a −5≤−1，由此求得a 的范围． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．。
山东省青岛二中2019届高三下学期期初(2月)考试数学(理科)试题-含答案解析
青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R ，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 2．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( ) A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0 D ．若220x y +≠，则,x y 都不为04．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=3πβ-，则sin α等于( )A． B 3C ．12-D ．125.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．1-B ．2-C ．2D ．1 6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()(),41,-∞-+∞ B ．()(),14,-∞-+∞C ．()1,4- D. ()4,1- 7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+ ，则λμ-的值为（ ）A ．1B ．23 C.12 D ．138．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．83π- C ．83 D ．8+3π9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．6028910．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，13,1AB AD AA ===，而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1+3 D 711.已知双曲线 ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为l ，圆C :()228x a y -+=与l 交于,A B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A B . 213 C 13D . 1312．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．122-C ．222-D ． 22二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b +，则a b ⋅= __________． 14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.16. 在ABC ∆中，D 为BC 的中点，23,7,1AC AD CD ===，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项， ，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S18. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 3,2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（1） 求证：平面//ACG 平面BEF ；（2） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. （本小题满分12分）“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124. （1）求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望.20. （本小题满分12分）对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为123(3,0),(3,0),F F M -在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ 、、OQ 的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆的面积为74时，求直线PQ 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请涂题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A B 、两点，求PA PB +．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式x m x -<的解集为()1+∞，.（1）求实数m的值；（2）若不等式51211a m ax x x x-+<+--<对()0,x∈+∞恒成立，求实数a的取值范围.青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R ，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 【答案】B【解析】由题意可得： ， ，则 或 ， 或 . 本题选择B 选项. 2．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】分析：利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．详解：由题意， 则， 的共轭复数为，复数 的实部与虚部之和为 ， 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( )A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0C ．若220x y +=，则,x y 都不为0D ．若220x y +≠，则,x y 都不为0 【答案】B 【解析】否命题既否定条件又否定结论．∴命题若“x 2+y 2=0，则x=y=0”的否命题是：若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．4．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=-3πβ，则sin α等于( )A．-2B ．32C ．1-2D ．12【答案】D 【解析】因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2kπ＋ (k ∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k ∈Z)，即得sin α＝.5.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．-1B ．-2C ．2D ．1 【答案】B由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 又由目标函数 ，可化为，结合图形，可得直线经过点A 时，在 轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由 ，所以目标函数的最小值为，故选B.6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f xf x -++>的解集是（ ）A ．()()-,41,∞-+∞B ．()()-,14,∞-+∞C ．()-1,4 D. ()-4,1 【答案】C 【解析】由题意，函数 ，则 ，所以函数 是定义域上的单调递增函数， 又由 ，即函数 定义域上的奇函数， 又由不等式 可转化为 即 ，即 ，解得 ， 即不等式的解集为 ，故选C.7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则 -λμ的值为（ ）A ．1B ．23 C.12 D ．13【答案】A 【解析】 【分析】12选取 为基底将向量 进行分解，然后与条件对照后得到 的值． 【详解】选取 为基底，则 ，又， 将以上两式比较系数可得 ．故选A8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．73 B ．8-3π C ．83 D ．8+3π【答案】B 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．60289【答案】C 【解析】 【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为 ，最大正方形的边长为 ，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.10．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，13,1AB AD AA ===，而对角线 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．2B ．3C ．1+3D 7 【答案】D 【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转至 ， 使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，在 中 ， ，则 的最小值为：，．故选：D ．11.已知双曲线 ：22221(0,0)x y a b a b-=>> 的一条渐近线为l ，圆C:()228x a y -+=与l 交于A,B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.3 B . 2135 C .135 D . 13312．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．122-C ．222-D ． 22【答案】A【解析】分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数 存在唯一零点，即 ，可得 在 有零点，由可得结果. 详解：，当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， ， 即函数 存在唯一零点，即 ，，即 在 有零点， ①若 ，即 ， 此时 的零点为 ，显然②（i ）若 ，即 或 ， 若 在 只有一个零点，则 ； （ii ）若 在 只有两个零点，则，解得 即 的最小值为 ，故选A.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b + ，则a b ⋅= __________．答案：14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________． 【答案】【解析】分析：模拟程序框图运行过程，总结规律， 的取值周期为3，由于 ，可得当 时满足条件 ＞ ，退出循环，输出的值为． 详解：模拟程序的运行，可得 ， ， 执行循环体， ，， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，…观察规律可得 的取值周期为3，由于 ，可得： 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 满足条件 ＞ ，退出循环，输出 的值为3．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.【分析】：组成的不同六位数为662222180A A A =个，采用捆绑法和间接法可得组成的数为兄弟数的有54542221202496A A A ⨯-=-=个，所求概率为96818015P ==16. 在ABC ∆中，D 为BC 的中点，23,7,1AC AD CD ===，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项， ，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S【答案】（1） ；（2）【解析】（1）等差数列 中， ，解得， .（2）由（1）知， ， ，… ，.18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 3,2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（3） 求证：//ACG BEF 平面平面（4） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. “一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124.（1）求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望. 【答案】(1) 3， 4；（2）328625 ；（3）12. 【解析】（1）由题意知3,4X y ==；（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为63105=， 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 故随机变量ξ服从二项分布，则()0432201244433323232821555555625P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410. 由题意知： η的所有可能的取值为0，1，2. 则()96270101050P η==⨯= ()16942111010101050P η==⨯+⨯= ()1422101050P η==⨯= 所得分布列为：()2721110125050252E η=⨯+⨯+⨯=. 20. 对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为123(3,0),(3,0),(1,2F F M -在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆的面积为74时，求直线PQ 的方程. 【答案】（1）（2）直线 的方程为：或【解析】（1）设椭圆 的方程为，由题意可得 ，又由 ，得 ，故 ， 椭圆 的方程为； （2）设 ， .由题意直线 的方程为： ， 联立得 ，，化简，得 ①②，③直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，，，化简，得， ，又 ，，且由①知.原点 到直线 的距离.，解得（负舍）或（负舍）. 直线 的方程为：或. 21.已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值． 21.【解析】（1）由题意可知，定义域为，，·······1分方程对应的，1˚当，即时，当时，，∴在上单调递减；·······2分2˚当，即时，①当时，方程的两根为，且，此时，在上，函数单调递增，在，上，函数单调递减；·····4分②当时，，，此时当，，单调递增，当时，，单调递减；综上：当时，，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为，；当时，的单调减区间为。
山东青岛二中2019高三下学期年中考试-数学(理)
山东青岛二中2019高三下学期年中考试-数学（理）本卷须知1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
高三数学〔理科〕〔考试时间：120分钟 总分值：150分〕 第I 卷〔共60分〕【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、假设(3)a i i b i +=+，其中a b R ∈，，i 是虚数单位，那么a b -= 〔 〕 A 、2-B 、2C 、4-D 、42、R 为全集，}2)3(log |{21-≥-=x x A ，}125|{≥+=x x B ，那么)(A C R B 是〔 〕A 、{xx<-2≤－1或 }3=x B 、{xx <-2《－1或 }3=xC 、{xx<-1《3或 }2-=x D 、{x x <-1≤3或 }2-=x3、在面积为S 的ABC ∆的边BC 上取一点P ，那么PAC ∆的面积大于3S的概率为〔 〕A 、31B 、32C 、21D 、434、过点)121(，M 的直线l 与圆C ：4)1(22=+-y x 交于A 、B 两点，当 ACB ∠最小时，直线l 的方程为〔 〕A 、0342=+-y xB 、022=-+y xC 、0342=++y xD 、022=+-y x5、假设函数)(x f 的零点与224)(-+=x x g x的零点之差的绝对值不超过0、25， 那么)(x f 可以是 〔 〕A 、1()4f x x =-B 、2()2(1)f x x =-C 、31()log 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D 、()21xf x =- 6、⎩⎨⎧≥<-+-=1116)23()(x a x a x a x f x，，在)(∞+-∞，上单调递减，那么实数a 的取值范围是〔 〕A 、)10(，B 、)320(，C 、【)3283， D 、)183[，7、向量，的夹角为60，且||2||1a b ==，，那么b a -与b a 2+的夹角等于〔 〕A 、 150B 、90 C 、60 D 、308、函数)cos(21)(ϕω+=x x f 对任意的R x ∈，都有)3()3(x f x f +=-ππ，假设函数2)sin(3)(-+=ϕωx x g ，那么)3(πg 的值是〔 〕A 、1B 、－5或3C 、－2D 、219、执行如右图所示的框图，输入321x x x ，，，其中11=x ，33=x ，x 为321x x x ，，的平均数，假设输出的数32=s ，那么=2x 〔 〕A 、2B 、3C 、4D 、510、设2m ≥，点)(y x P ，为1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 为坐标原点，)(m f 为OM OP ⋅的最小值，那么)(m f 的最大值为〔 〕A 、310-B 、103C 、0D 、211、抛物线212x y =的焦点与双曲线122=+y a x 的一个焦点重合，那么以此抛物线的焦点为圆心，以双曲线的离心率为半径的圆的方程是〔 〕A 、9)3(22=+-y xB 、3)3(22=+-y xC 、3)3(22=-+y x D 、9)3(22=-+y x12、在平面直角坐标系中，定义*)(11N n y x y y x x nn n nn n ∈⎩⎨⎧+=+-=++为点()n n n P x y ，到点111()n n n P x y +++，的一个点变换，P1〔0，1〕，P2〔X2，Y2〕，…)(n n n y x P ，，)(111+++n n n y x P ，〔N ∈N ×〕是经过点变换得到的一列点，设1n n n a P P +=，数列{}n a 的前N 项和为n S ，给出以下四个结论：①1222n n n x y -==； ②122n n a -=； ③1212n n a --=；④21)(21)n n S =-、那么正确结论的序号是 〔 〕A 、 ①②④B 、①②③C 、②③④D 、 ①③④ 第二卷〔共90分〕【二】填空题〔本大题共4小题，每题4分，共计16分〕13、函数xx x f 231)(3+=，对任意的]33[，-∈t ，0)()2(<+-x f tx f ，那么x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、14、假设正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为62，那么该棱柱的外接球的表面积为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、15、设...)432(，，，=n a n 是nx )3(-的展开式中x 的一次项的系数，那么2012201233223...33a a a +++ 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿、①1+>b a 是b a >成立的充分不必要条件、②函数⎰-=dxx a ax a f )6(01)(22的最大值为2、③正态分布)(2σμ，N 曲线中，μ一定时，σ越小，曲线越“矮胖”，说明总体分布越分散、④对于函数n mx x x f ++=3)(，假设0)(0)(<>b f a f ，，那么函数)(x f 在把你认为正确的命题的序号都填上〕【三】解答题〔本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17、〔本小题总分值12分〕在锐角ABC ∆中，c b a ，，分别是角C B A ，，所对的边、()b c a p ，+=，()c b a c q --=，且q p ⊥、〔I 〕求角A 的大小；〔II 〕记)62sin()(sin 2)(2π+++=B C A B f ，求)(B f 的值域、18、〔本小题总分值12分〕某学校举行定点投篮考试，规定每人最多投篮4次，一旦某次投篮命中，便可得到总分值，不再继续以后的投篮，否那么一直投到第4次为止、如果李明同学参加这次测试，设他每次定点投篮命中的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9、〔I 〕求他在本次测试中投篮次数ξ的概率分布和数学期望； 〔II 〕求他在本次测试中得到总分值的概率、 19、〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥E ABCD -中，EA ⊥平面ABCD ，DC AB //，AB CD AE AD 2===，DA AB ⊥，M 是EC 的中点、〔I 〕求证：平面⊥BCE 平面DCE ；〔II 〕求二面角C BD M --平面角的正弦值、 20、〔本小题总分值12分〕n S为数列{}n a 的前n 项和，且3,2,1,2322=--+=n n n a S n n …〔I 〕求证：数列{}n a n 2-为等比数列；〔II 〕设πn a b n n cos ⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T 、21、〔本小题总分值12分〕函数()2(1)1ln+322ex f f x x x '+=--、〔I 〕求(2)f '；〔II 〕设1≥a ，函数()22325g x x ax a =-+-，假设对于任意0(01]x ∈，，总存在()1x ∈∞2，+，使得()()01x g x f =成立，求a 的取值范围、22、〔本小题总分值14分〕如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x AB ⊥轴于点CDOCD 34==，动点M 到直线AB 的距离是它到点D 的距离的2倍、〔I 〕求点M 的轨迹方程；〔II 〕设点K 为点M 的轨迹与x 轴正半轴的交点，直线l 交点M 的轨迹于E ，F 两点〔E ，F 与点K 不重合〕，且满足KF KE ⊥，动点P 满足+=2，求直线KP 的斜率的取值范围、青岛二中2017－2018学年第二学期期中考试 高三数学〔理科〕参考答案 选择题：DBBAACCCAADD 填空题：13、211<<-x ；14、π36；15、100618099；16、①②④；17、解：〔Ⅰ〕⊥ ，0222=-+-∴bc b a c 即bc a c b =-+222， 2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ，20π<<A ，3π=∴A ，〔Ⅱ〕1)62sin()(+-=πB B f ，锐角ABC ∆，26232020πππππ<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=<<<∴B B C B ，65626πππ<-<∴B ，)(B f ∴的值域为]2,23(、18、解：〔1〕随机变量=ξ1，2，3，4 P 〔=ξ1〕＝0.6P 〔=ξ2〕＝0.4⨯0.7＝0.28 P 〔=ξ3〕＝0.4⨯0.3⨯0.8＝0.096 P 〔=ξ4〕＝0.4⨯0.3⨯0.2＝0.024ξ1 2 3 4 P0.60.280.0960.024=ξE 1⨯0.6＋2⨯0.28＋3⨯0.096＋4⨯0.024＝1.544〔2〕记李明在本次测试中得总分值为事件A P 〔A 〕＝1.02.03.04.0-1⨯⨯⨯＝0.997619、解：如图，四棱锥E ABCD -中，EA ⊥平面ABCD ，DC AB //，AB CD AE AD 2===，DA AB ⊥，M 是EC 的中点、〔I 〕求证：平面⊥BCE 平面DCE ；〔II 〕求二面角C BD M --平面角的正弦值、解：由于EA ⊥平面ABCD ，DA AB ⊥，可建立以点A 为坐标原点，直线AB 、AD 、AE 分别为z y x ,,轴的空间直角坐标系.设1=AB ，那么()0,0,0A ，()0,0,1B ，()0,2,0D ，()2,0,0E ，()0,2,2C ，点M 是EC 的中点，∴()1,1,1M即有)0,2,1(),1,1,0(),0,0,2(),2,2,2(),0,2,1(-==-=--==BD BM CD CE BC 〔I 〕证明：设平面BCE 的法向量为),,(111z y x m =，平面DCE 的法向量为),,(222z y x =，那么有：⎩⎨⎧=+--=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0222020011111z y x y x 令11=y ，那么1,211-=-=z x()1,1,2--=∴m 同理：()1,1,0=n又0110=-+=⋅n m⊥∴即平面⊥BCE 平面DCE〔II 〕由题意可知向量为平面BCD 的法向量，设平面BDM 的法向量为),,(333z y x =⎩⎨⎧=+=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴002003333z y y x BD k 令13=y ，那么1,233-==z x()1,1,2-=∴又()2,0,0=6621142-=⋅++-=∴，设二面角C BD M --平面角为θ，那么630sin =θ〔几何法略〕20、解：〔I 〕证明：当2≥n 时，2)1(3)1(22322121+-+-----+=-=--n n a n n a S S a n n n n n整理得2221+-=-n a a n n )]1(2[221--=-∴-n a n a n n2)1(221=---∴-n a na n n2131211-⨯-+=a S 41=∴a }2{n a n -∴是以2为首项，以2为公比的等比数列〔II 〕解：由〔I 〕得224121=-=⨯-a ，n n n a 22=-∴n a nn 22+=∴当n 为偶数时，nn n n b b b b b b b b b b T +++++++=++++=-...()...(...42131321〕)22(...)422()222()]1(22[...)322()122(4213n n n n ⨯+++⨯++⨯++-+--⨯+-⨯+-=-＝;)12(3221)21(221)21(422n n n n n +-⋅=+-----当n 为奇数时，可得).1(3221+-+-=+n T n n ,35321---+n n 〔n 为奇数〕,)12(32n n+-〔n 为偶数〕21、解：〔Ⅰ〕3]1)1([1)(++'--='x f x x f ， 3]1)1([11)1(++'--='∴f f ，21)1(='∴f ， 3231)(+--='∴x x x f ，21)2(-='∴f〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：x x ex x f 3432ln )(2+--=，x x x f 21)1(3)(2---='∴，2>x ，0)(<'∴x f ，)(x f 在),2(+∞为减函数，)(x f 值域为)2,(-∞523)(22-+-=a ax x x g ，a x x g 32)(-='∴，1≥a ，]1,0(∈∴x 时，0)(<'x g ，)(x g 在]1,0(为减函数，)(x g ∴的值域为)52,432[22---a a a ，由题意知：只需2522≤-a ，又1≥a ，2141≤≤∴a 、22、解：〔1〕依题意知，点C 〔－4，0〕，由3=得点D 〔－1，0〕设点M 〔y x ，〕，那么：22)1(24y x x ++=+综上，=n T整理得：124322=+y x 动点M 的轨迹方程为13422=+y x〔2〕当直线EF 的斜率不存在时，由条件可知，O 、P 、K 三点共线，直线PK 的斜率为0.当直线EF 的斜率存在时，可设直线EF 的方程为b mx y +=代入13422=+y x ，整理得01248)43(222=-+++b mby x m设)()(2211y x F y x E ，，，222122143124438m b x x m mb x x +-=+-=+，2222122121431234362)(m m b y y m b b x x m y y +-=+=++=+，KF KE ⊥ ，K 点坐标为〔2，0〕04)(2212121=+++-∴y y x x x x ，代入整理得0716422=++∴b mb m解得：mb m b 272-=-=，当m b 2-=时，直线EF 的方程为)2(-=x m y 恒过点)02(，，与矛盾，舍去. 当mb 72-=时， 设2)(000≠x y x P ，，，由+=2知)43(762)43(782221022210m my y y m m x x x +-=+=+=+=，直线KP 的斜率为7831416622200+=+=-=m mm m x y k当0=m 时，直线KP 的斜率为0，符合题意当0≠m 时，m m k 781+=14478≥+m m 414(=m 时取“＝”〕或m m 78+≤－414(144-=m 时取“＝”〕)01441<≤-k 或14410≤<k 综合以上得直线KP 斜率的取值范围是]56145614[，-.。
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青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R ，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 2．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( ) A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0 D ．若220x y +≠，则,x y 都不为04．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=3πβ-，则sin α等于( )A．2-B ．32C ．12-D ．125.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．1-B ．2-C ．2D ．1 6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()(),41,-∞-+∞ B ．()(),14,-∞-+∞C ．()1,4- D. ()4,1- 7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+ ，则λμ-的值为（ ）A ．1B ．23 C.12 D ．138．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．83π- C ．83 D ．8+3π9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．6028910．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ==，而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．2B ．3C ．1+3D 711.已知双曲线 ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为l ，圆C :()228x a y -+=与l 交于,A B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A .3 B . 135 C 13D . 1312．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．1-C ．2-D ． 2 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b +，则a b ⋅= __________． 14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.16. 在ABC ∆中，D 为BC 的中点，23,7,1AC AD CD ===，点P 与点B在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项， ，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S18. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 3,2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（1） 求证：平面//ACG 平面BEF ；（2） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. （本小题满分12分）“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124. （1）求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望.20. （本小题满分12分）对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为123(3,0),3,0),F F M 在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ 、、OQ 的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆7时，求直线PQ 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请涂题号. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A B 、两点，求PA PB +．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式x m x -<的解集为()1+∞，. （1）求实数m 的值；（2）若不等式51211a m ax x x x-+<+--<对()0,x∈+∞恒成立，求实数a的取值范围.青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R ，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 【答案】B【解析】由题意可得： ， ，则 或 ， 或 . 本题选择B 选项. 2．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】分析：利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．详解：由题意，则， 的共轭复数为，复数 的实部与虚部之和为 ， 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( ) A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0D ．若220x y +≠，则,x y 都不为0 【答案】B 【解析】否命题既否定条件又否定结论．∴命题若“x 2+y 2=0，则x=y=0”的否命题是：若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．4．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=-3πβ，则sin α等于( )A．-2 B ．32 C ．1-2D ．12【答案】D 【解析】因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2kπ＋ (k ∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k ∈Z)，即得sin α＝.5.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．-1B ．-2C ．2D ．1 【答案】B由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 又由目标函数 ，可化为，结合图形，可得直线经过点A 时，在 轴上的截距最大， 此时目标函数取得最小值，又由 ，所以目标函数的最小值为，故选B.6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()()-,41,∞-+∞ B ．()()-,14,∞-+∞C ．()-1,4 D. ()-4,1 【答案】C 【解析】由题意，函数 ，则 ，所以函数 是定义域上的单调递增函数， 又由 ，即函数 定义域上的奇函数， 又由不等式 可转化为 即 ，即 ，解得 ， 即不等式的解集为 ，故选C.7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则 -λμ的值为（ ）A ．1B ．23 C.12 D ．13【答案】A 【解析】 【分析】12选取 为基底将向量 进行分解，然后与条件对照后得到 的值． 【详解】选取 为基底，则， 又， 将以上两式比较系数可得 ． 故选A8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．73 B ．8-3π C ．83 D ．8+3π【答案】B 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．60289【答案】C 【解析】 【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为 ，最大正方形的边长为 ，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C. 10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===，而对角线上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1+3 D 7 【答案】D 【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转至 ， 使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，在 中 ， ，则 的最小值为：，． 故选：D ．11.已知双曲线 ：22221(0,0)x y a b a b-=>> 的一条渐近线为l ，圆C:()228x a y -+=与l 交于A,B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） AB . 213C 13D . 1312．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．122-C ．222-D ． 22 【答案】A【解析】分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数 存在唯一零点，即 ，可得 在 有零点，由可得结果. 详解：，当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， ， 即函数 存在唯一零点，即 ，，即 在 有零点，①若 ，即 ， 此时 的零点为 ，显然 符合题意；②（i ）若 ，即 或 ， 若 在 只有一个零点，则 ； （ii ）若 在 只有两个零点，则，解得 ， 即 的最小值为 ，故选A.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b + ，则a b ⋅= __________．答案：14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________． 【答案】【解析】分析：模拟程序框图运行过程，总结规律， 的取值周期为3，由于 ，可得当 时满足条件 ＞ ，退出循环，输出的值为． 详解：模拟程序的运行，可得 ， ， 执行循环体， ，， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，…观察规律可得 的取值周期为3，由于 ，可得： 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，满足条件 ＞ ，退出循环，输出 的值为3．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.【分析】：组成的不同六位数为662222180A A A =个，采用捆绑法和间接法可得组成的数为兄弟数的有54542221202496A A A ⨯-=-=个，所求概率为96818015P ==16. 在ABC ∆中，D 为BC 的中点，23,7,1AC AD CD ===，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项， ，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）等差数列 中， ， 解得， .（2）由（1）知， ， ，… ，.18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 3,2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（3） 求证：//ACG BEF 平面平面（4） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. “一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124.（1）求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望. 【答案】(1) 3， 4；（2）328625 ；（3）12. 【解析】（1）由题意知3,4X y ==；（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为63105=， 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 故随机变量ξ服从二项分布，则()0432201244433323232821555555625P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410. 由题意知： η的所有可能的取值为0，1，2. 则()96270101050P η==⨯= ()16942111010101050P η==⨯+⨯= ()1422101050P η==⨯=所得分布列为：()2721110125050252E η=⨯+⨯+⨯=. 20. 对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为123(3,0),3,0),F F M 在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆7时，求直线PQ 的方程. 【答案】（1）（2）直线 的方程为：或【解析】（1）设椭圆 的方程为，由题意可得 ，又由 ，得 ，故 ， 椭圆 的方程为； （2）设 ， .由题意直线 的方程为： ， 联立得 ，，化简，得 ①②，③直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，，，化简，得， ，又 ，，且由①知.原点 到直线 的距离.，解得（负舍）或（负舍）. 直线 的方程为：或. 21.已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值． 21.【解析】（1）由题意可知，定义域为，，·······1分方程对应的，1˚当，即时，当时，，∴在上单调递减；·······2分2˚当，即时，①当时，方程的两根为，且，此时，在上，函数单调递增，在，上，函数单调递减；·····4分②当时，，，此时当，，单调递增，当时，，单调递减；综上：当时，，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为，；当时，的单调减区间为。