恒成立问题——最值分析

恒成立问题——最值分析法

最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。

一、基础知识：

1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参

（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论

2、理论基础：设()f x 的定义域为D

（1）若x D ∀∈，均有()f x C ≤（其中C 为常数），则()max f x C ≤

（2）若x D ∀∈，均有()f x C ≥（其中C 为常数），则()min f x C ≥

3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：

① 观察函数()f x 的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围：

通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）

观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围

（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。

（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。

二、典型例题：

例1：设()222f x x mx =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围

思路：恒成立不等式为2220x mx m -+-≥，只需()2min 220x mx m -+-≥，由于左端是关于x 的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法 解：恒成立不等式为2220x mx m -+-≥，令()222g x x mx m =-+-则对称轴为x m =

（1）当1m ≤-时，()g x 在[)1,-+∞单调递增，()()m i n 11220g x g m m ∴=-=++-≥

3m ∴≥-即[]3,1m ∈--

（2）当1m >-时，()g x 在()1,m -单调递减，在(),m +∞单调递增 ()()22min 22021g x g m m m m m ∴==-+-≥⇒-≤≤

(]1,1m ∴∈- 终上所述：[]3,1m ∈-

小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在

区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。

思路二：从另一个角度看，本题,m x 容易进行分离，所以也可考虑参变分离法

解：()22220212x mx m x m x -+-≥⇔+≤+

（1）12102x x +>⇒>-时，则2min

221x m x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭ (由于m 系数符号未定，故分类讨论进行参变分离）

令21,0t x t =+>（换元时注意更新新元的取值范围）

则()22212229194=212144t x t t t x t t t -++-+⎛⎫==+-≥ ⎪+⎝⎭

（2）1

2102x x +=⇒=-，不等式对任意的m 均成立

（3）12102x x +<⇒<-，2max

221x m x ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭(注意不等号变号！！） 令21,10t x t =+-≤<,则()22212229194=2321

44t x t t t x t t t -++-+⎛⎫==+-≤- ⎪+⎝⎭

3m ∴≥- 综上所述：[]3,1m ∈-

小炼有话说：

（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对x 分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比

（2）最后确定m 的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对x 进行的，m 的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集

例2：已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围是___________ 思路：若不等式恒成立，则()()12max 1a f x f x -≥-，()1f x 与()2f x 差的最大值即为()f x 最大值与最小值的差。所以考虑求()2ln x f x a x x a =+-在[]0,1的最大最小值，()()'ln 2ln 1ln 2x x f x a a x a a a x =+-=-+，若1a >，则10,ln 0x a a ->>，所以()1ln 0x a a ->，若01a <<，则10,ln 0x a a -<<，所以()1ln 0x a a ->。而20x ≥，所以无论a 为何值，()'0f x >，则()f x 在[]0,1单调递增。()()()()max min 10ln f x f x f f a a -=-=-，从而1ln a a a -≥-，解

得a e ≥

答案：[),e +∞

例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围

思路一：恒成立的不等式为ln 1a x x +>即ln 10a x x -+>,令

()ln 1g x a x x =-+观察到两点特征：(1)()g x 导函数易分析单调性，

（2）()10g =,对单调性会有一定要求进而限制参数a 的取值。所以考虑使用最值法求解。

解：()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+ ∴只需()min 0g x >即可，()10g =

()'1a

a x g x x x -=-=，令()'00a x g x x a x

->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <= (思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起