计量经济学第02章 统计学基础知识_第2节_18
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通常标准化 Z X ~N(0,1) / n
但当总体方差 2 未知，用样本方差
S2 1 n n1i1
2
Xi X
替代 2 时，有
t X ~t(n1)
S/ n
称 t 为服从自由度为n-1的 t 分布。
t 分布的性质：
1. 若Z ~ N 0,V ,~ 1 2 n 1 ，Z 和V 相互独立，
则t Z 服从自由度为n-1的 t 分布。 V /(n1)
2. t分布类似正态分布
为一对称分布，如右图所 p(x) 示，但一般情况下较标准 正态分布平坦和分散，当
n=10 n=4 n=1
自由度增大时t分布也趋向
正态分布。
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
3. t分布一些特征数：
E(t)0,D(t) n n2
n2
t分布广泛应用于正态分布方差未知且小样本
时对总体均值的估计和检验 。
第二节 随机变量的几种重要分布
·一、正态分布 ·二、分布（卡方分布）
·三、t分布
·四、F分布
一、正态分布
正态分布最早是由德莫弗（A.demoivre, 1667
-1754）在1733年研究二项分布的极限分布形式时 提出的，但在当时并没有引起人们的重视。以后 德国数学家高斯(C.F.Gauss，1777 -1855)于1809 年及法国天文学家、数学家、物理学家拉普拉斯 (M.de.Laplace,1749-1827)于1812年分别重新提出。 所以人们又称正态分布为高斯分布或高斯 - 拉普 拉斯分布。
三、 t 分布
t 分布是戈赛特（W.S.Gosset）与1908年在一 篇以“学生”（Student）为笔名的论文中首次提出 因此又称为学生氏分布。
设总体 X 服从正态分布，即 X~N(,2)，设
X1,X2, Xn是从 X 中抽取容量为n的样本，则样 本均值 X 的抽样分布为
X ~ N(,2 )
n
令Y Z2 ，则 Y~21，则Y 为自由度为1的
卡方分布。
进一步可以导出：当总体 X~N(,2)，从
中抽取容量为n的样本 X1,X2, Xn,则
n
2
Xi X
i1
2
~2n1
Βιβλιοθήκη Baidu
2 分布的特点和性质：
1. 2 分布的变量值始终为正；
2. 2n 分布的形状取决于其自由度的大小，
通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增 大逐渐趋向对称，如下图。
正态分布在随机变量分布中占有特别重要的 地位。在自然现象和社会现象中，有许多是可以 用正态分布来描述的。由正态分布出发，导出了 一系列重要的抽样分布，如 t 分布， 2 分布，F分 布等。
2. X与 X 是正态分布密度函数
f (x) 的拐点。
3. 若 X~N(,2)，令
Y X - ，则 Y ~ N(0,1)
特别的，若 X~N(0,1) ，则
E(X)0,Va(rX)1
二、 2 分布（卡方分布）
2 分布是由阿皮（Abbe）于1863年首先给 出， 后又由海尔默特（Hermert）和卡 ·皮尔生 （K.pearson）分别于1875年和1900年独立地推导 出来。
若 X~N(,2)，则 ZX-~N(0,1)，
分别从中抽取容量为
n
和
1
n
2
的独立样本，根据
2
分布的知识可知:
n1
(X1i X1)2
i1
2
(n112)S12
~2(n11)
n2
(X2i
i1
X2)2
2
(n21 2)S2 2
~
2(n21)
则
(n 11 )S1 2 2(n 11 )
(n 2 2 ( n2 1 ) S 1 2 2 )S S1 2 2 2~F (n 11 ,n2 1 )
四、F 分布 F 分布是由费舍（R.A.Fisher）提出，故以其 姓氏的第一个英文字母命名。
设 U~2n1，V~2n2，且U和V相互独立，
则称
F U / n1 V / n2
为服从自由度为n1 和 n 2 的F分布，记为
F~F(n1,n2)
在抽样中，设有二总体
X1~N(1,2)和 X2~N(2,2)，
自由度=1 自由度=4
自由度=20
3. 2 分布的特征数：
E(2) n，D(2)2n（n为自由度）
4. 若U 和V 为两个独立的 2分布随机变量，且
U ~2 n 1 ,V ~2 n 2 ，则U+V 这一随机变量服从
自由度为 n1 n2 的 2 分布
2分布通常可用于总体方差的估计和许多
非参数检验。
这为正态总体下两个样本方差之比，所以也称方
差比分布
F 分布密度函数的图形见下图所示:
p(x)
m=20,n=∞
m=20,n=25 m=20,n=10
O
1
2
F 分布广泛用于方差分析，回归分析和协方
差分析等 。
以上 2 分布，t分布和F 分布的密度函数都比 较复杂 。这里只做直观上的解释，为以后的应用 做准备。在以后的应用中，要学会各种情况下的 查表，因为这些分布都已编制成表，可以直接查 阅。
反之，若 X~N(0,1) ，令 YX ，则
Y~N(,2)
正态分布的这个性质十分有用，把一般正态 分布转换为标准正态分布，只要针对标准正态分 布进行编表，就可以通过查表得方法解决正态随 机变量取值的概率问题。
4. 若 X~N(0,1)，其分布函数用 (x)表示， 则 (x)1 (x)
5. 若 X~N(,2)，则 E(X)，Va(rX)2
但当总体方差 2 未知，用样本方差
S2 1 n n1i1
2
Xi X
替代 2 时，有
t X ~t(n1)
S/ n
称 t 为服从自由度为n-1的 t 分布。
t 分布的性质：
1. 若Z ~ N 0,V ,~ 1 2 n 1 ，Z 和V 相互独立，
则t Z 服从自由度为n-1的 t 分布。 V /(n1)
2. t分布类似正态分布
为一对称分布，如右图所 p(x) 示，但一般情况下较标准 正态分布平坦和分散，当
n=10 n=4 n=1
自由度增大时t分布也趋向
正态分布。
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
3. t分布一些特征数：
E(t)0,D(t) n n2
n2
t分布广泛应用于正态分布方差未知且小样本
时对总体均值的估计和检验 。
第二节 随机变量的几种重要分布
·一、正态分布 ·二、分布（卡方分布）
·三、t分布
·四、F分布
一、正态分布
正态分布最早是由德莫弗（A.demoivre, 1667
-1754）在1733年研究二项分布的极限分布形式时 提出的，但在当时并没有引起人们的重视。以后 德国数学家高斯(C.F.Gauss，1777 -1855)于1809 年及法国天文学家、数学家、物理学家拉普拉斯 (M.de.Laplace,1749-1827)于1812年分别重新提出。 所以人们又称正态分布为高斯分布或高斯 - 拉普 拉斯分布。
三、 t 分布
t 分布是戈赛特（W.S.Gosset）与1908年在一 篇以“学生”（Student）为笔名的论文中首次提出 因此又称为学生氏分布。
设总体 X 服从正态分布，即 X~N(,2)，设
X1,X2, Xn是从 X 中抽取容量为n的样本，则样 本均值 X 的抽样分布为
X ~ N(,2 )
n
令Y Z2 ，则 Y~21，则Y 为自由度为1的
卡方分布。
进一步可以导出：当总体 X~N(,2)，从
中抽取容量为n的样本 X1,X2, Xn,则
n
2
Xi X
i1
2
~2n1
Βιβλιοθήκη Baidu
2 分布的特点和性质：
1. 2 分布的变量值始终为正；
2. 2n 分布的形状取决于其自由度的大小，
通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增 大逐渐趋向对称，如下图。
正态分布在随机变量分布中占有特别重要的 地位。在自然现象和社会现象中，有许多是可以 用正态分布来描述的。由正态分布出发，导出了 一系列重要的抽样分布，如 t 分布， 2 分布，F分 布等。
2. X与 X 是正态分布密度函数
f (x) 的拐点。
3. 若 X~N(,2)，令
Y X - ，则 Y ~ N(0,1)
特别的，若 X~N(0,1) ，则
E(X)0,Va(rX)1
二、 2 分布（卡方分布）
2 分布是由阿皮（Abbe）于1863年首先给 出， 后又由海尔默特（Hermert）和卡 ·皮尔生 （K.pearson）分别于1875年和1900年独立地推导 出来。
若 X~N(,2)，则 ZX-~N(0,1)，
分别从中抽取容量为
n
和
1
n
2
的独立样本，根据
2
分布的知识可知:
n1
(X1i X1)2
i1
2
(n112)S12
~2(n11)
n2
(X2i
i1
X2)2
2
(n21 2)S2 2
~
2(n21)
则
(n 11 )S1 2 2(n 11 )
(n 2 2 ( n2 1 ) S 1 2 2 )S S1 2 2 2~F (n 11 ,n2 1 )
四、F 分布 F 分布是由费舍（R.A.Fisher）提出，故以其 姓氏的第一个英文字母命名。
设 U~2n1，V~2n2，且U和V相互独立，
则称
F U / n1 V / n2
为服从自由度为n1 和 n 2 的F分布，记为
F~F(n1,n2)
在抽样中，设有二总体
X1~N(1,2)和 X2~N(2,2)，
自由度=1 自由度=4
自由度=20
3. 2 分布的特征数：
E(2) n，D(2)2n（n为自由度）
4. 若U 和V 为两个独立的 2分布随机变量，且
U ~2 n 1 ,V ~2 n 2 ，则U+V 这一随机变量服从
自由度为 n1 n2 的 2 分布
2分布通常可用于总体方差的估计和许多
非参数检验。
这为正态总体下两个样本方差之比，所以也称方
差比分布
F 分布密度函数的图形见下图所示:
p(x)
m=20,n=∞
m=20,n=25 m=20,n=10
O
1
2
F 分布广泛用于方差分析，回归分析和协方
差分析等 。
以上 2 分布，t分布和F 分布的密度函数都比 较复杂 。这里只做直观上的解释，为以后的应用 做准备。在以后的应用中，要学会各种情况下的 查表，因为这些分布都已编制成表，可以直接查 阅。
反之，若 X~N(0,1) ，令 YX ，则
Y~N(,2)
正态分布的这个性质十分有用，把一般正态 分布转换为标准正态分布，只要针对标准正态分 布进行编表，就可以通过查表得方法解决正态随 机变量取值的概率问题。
4. 若 X~N(0,1)，其分布函数用 (x)表示， 则 (x)1 (x)
5. 若 X~N(,2)，则 E(X)，Va(rX)2