几何学悖论

镜子的魔力（续）
如果你站在用镜 子做的地板上，你身 体的上下轴线垂直于 镜面。这时你在镜中 的象前面仍是前面， 后面仍是后面，但是 你却上下颠倒了。
镜子的魔力（续）
Байду номын сангаас
如果你侧着身子 对镜面站着，你身体 的左右轴线垂直于镜 面。这时你在镜中的 象脑袋还是在上面， 前面仍是在前面，但 是你却被左右颠倒了。
镜子的魔力（续）
你能猜出当两个镜 面垂直放置时会发生什 么现象吗？这时镜子里 的象将与平常镜中的象 不同，它是完全没有被 镜面颠倒的象！这位姑 娘此时所看到的她自己 正和别人所看到的她完 全一样 ！
4．小立方块和女士
在这幅画中你 数到了多少个小立 方块？有六个？ ……，有七个？
这画中画 的是个年青姑 娘吗？
读者很快就认识到了硬币问题与月球问题之 间的关系。那些坚持认为硬币只旋转一圈的人也同 样认为月球根本没有绕轴旋转，一位读者以激烈的 口气写道：“如果你抡着一只猫在你头上转圈，那 么它的脑袋、眼睛和脊椎骨都在绕着自己的轴旋转 吗……？转到第九圈猫就会死去吗？”
3．镜子的魔力
镜子是个奇妙的 东西。现么梯姆斯 （TIMOTHY）和丽贝 卡（REBECCA）正在 一个晚会上做客，晚 会上每个人都戴个名 片。
这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出 现。松鼠蹲在树桩上，猎人绕着树桩转的时候，松 鼠也一直在转，所以它总是面向猎人。当猎人绕树 转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？
2．月亮的不解之谜
月亮总是以同一面 朝向地球，当月球绕 着地球转一圈以后。 它绕自己的轴旋转了 吗？
月亮的不解之谜（续）
天文学家：作为一个 天文学家，我的回答是 肯定的。如果你站在火 星上，你就会看到每当 月球绕地球转一圈，它 就绕着自己的轴也转一 圈。
你看到是一个 老太太吗？
你在这幅画中 看到了什么？一个小 立方块放在—个房间 的一角？一个小立方 块贴附在一个大块的 外面？或许是一个大 立方块在一角上有个 立方形的洞？
5．不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路 向山顶进发。他早晨七点 上 动身，当晚七点到达山顶。山
他在山顶做了一夜的考 察工作，第二天早晨七点 沿同一条小路下山。
月亮的不解之谜（续）
学生：它怎么旋转了 呢，教授？如果它旋 转了，我们就会看到 它不同的各面，可是 我们看到的却总是相 同的那一面。
一些很有知识的人都曾极认真地研究过这个简 单的问题，说起来这是很难使人相信的。奥古斯 都·德莫尔干所著的《悖论集》一书的第一卷中， 对十九世纪出版的探讨这个问题的小册子作了评述， 这些小册子都是反对“月球旋转了”这一观点的。
当这个男孩绕着树 转圈寻找女孩的时候， 女孩也这样做，她绕着 树横走，鼻子总是朝着 树，所以那男孩始终看 不到她。
绕着一个姑娘转圈（续）
他们这样绕树转 一圈后，都回到了原来 位置。
这时，男孩绕女孩 转了一圈吗？
◆观点一：当然啰！他既然绕着树转了一圈，就必 然绕着姑娘也转了一圈。 ◆观点二：瞎说！即使那里没有树，他也一直未能 看到女孩的后背。既然是绕着一个物体转一圈怎么 能看不到它的所有各面呢？
几何学悖论
教学目的： 1.了解几何上的一些悖论； 2.对现代几何的内容有一些初步了解； 3.对形成悖论的原因有一定的认识。
1．绕着一个姑娘转圈
假如有两个小孩捉 迷藏，男孩在寻找女孩 藏身的地方。有一颗非 常粗大的树，足以遮挡 一个人的身体。 男孩：啊，梅蒂尔！ 你在树后藏着吗？
绕着一个姑娘转圈（续）
镜子的魔力（续）
当你面对镜子站着的 时候，你在镜中的象的脑 袋仍是在上面，你的左面 仍是在左面，可是你却被 前后颠倒了。你的象中左 手的位置和你走到镜面后 再转过身来时左手的位置 正好相反，因此我们说你 被左右颠倒了。
镜子的魔力（续）
在这幅画面中有 两个英语字单词，为 什么镜子只把其中的 一个词颠倒了？实际 上并非如此！另一词 DIXIDE也同样被颠倒 了，只不过它的对称 性使它倒过来以后看 起来仍和原来一样。
镜子的魔力（续）
丽贝卡：多么奇怪的 镜子啊，梯姆！你看， 它把我的名字弄反了， 可是你的名字却一点 儿也没变！
镜子的魔力（续）
镜子好象只能使 左右颠倒，为什么它 不能使上下也颠倒呢？ 这难道不是很奇怪吗？
镜子的魔力（续）
实际上，只有当 一条线垂直于镜面时， 镜子才使这条线颠倒 过来。正因为这三个 小球在一条与镜面成 直角的线上，所以它 们在镜中象的顺序就 倒过来了。
下 山
晚上七点钟，他到达山脚， 遇到了他的拓扑学老师克莱 因夫人。
克莱因：你好，帕特！你可 曾知道你今天下山时走过这 样一个地点，你通过这点的 时刻恰好与你昨天上山时通 过这点的时刻完全相同？
帕特：您一定是在开我的玩 笑！这绝对不可能。我走路 时快时慢，有时还停下来吃 饭和休息。
有这样一个地点！
尽管这样，克莱因夫人还是对的。 克莱因：当你开始登山的时候，设想你有个替 身在同一时刻开始下山，你们必定会在小路上的某 一点相遇。 克莱因：我不能断定你们在哪一点相遇，但一 定会有这样一点。你和你的替身当然是在同一时刻 经过这一点。正因为这样，我才说在小路上一定有 这样一点，你上山和下山时经过这点的时刻完全相 同。
一个伦敦的业余天文学家，叫做亨利·皮瑞加尔 的人在这场争论中真可谓孜孜不倦，他的讣告中有 这样一段话:“在整个一生中，他在天文学上的主要 目标，是使别人相信月球并没有绕轴旋转。皮瑞加 尔撰写小册子、构造模型甚至写诗来证明自己的论 点，愿以英雄的豪爽来承担一切努力都毫无所得而 引起的一个又一个的失望。”
我们现在做一个与这个月球之谜紧密相关的 试验。
让我们准备两个大小相等的硬币， 让它们相 互外切地放在桌子上。一硬币沿着另一硬币的边缘 无滑动地滚动，滚动中保持边缘密切相切接触，这 样绕着不动的硬币转动一周以后，它本身旋转了几 圈？
这正像地球—月球那个问题一样，其答案也 依赖于观察者的位置。相对于固定的硬币来说，它 转了一圈，而相对于从上向下看的你来说，它旋转 了两圈。这也曾是个激烈争论的题目。《科学美国 人》杂志于一八六七年首次刊登这个问题，于是持 有两种尖锐对立观点的读者的信如洪水般地涌来。