27.五年级奥数第27讲——连续自然数
五年级奥数题讲解（问题+思路+答案）
五年级奥数题讲解（问题+思路+答案）五年级奥数题每类型⼀道，问题+思路+答案9. 有7个数，它们的平均数是18。
去掉⼀个数后，剩下6个数的平均数是19；再去掉⼀个数后，剩下的5个数的平均数是20。
求去掉的两个数的乘积。
解：7*18-6*19=126-114=126*19-5*20=114-100=14去掉的两个数是12和14它们的乘积是12*14=16810. 有七个排成⼀列的数，它们的平均数是30，前三个数的平均数是28，后五个数的平均数是33。
求第三个数。
解：28×3＋33×5-30×7=39。
11. 有两组数，第⼀组9个数的和是63，第⼆组的平均数是11，两个组中所有数的平均数是8。
问：第⼆组有多少个数？解：设第⼆组有x个数，则63＋11x=8×（9+x），解得x=3。
12．⼩明参加了六次测验，第三、第四次的平均分⽐前两次的平均分多2分，⽐后两次的平均分少2分。
如果后三次平均分⽐前三次平均分多3分，那么第四次⽐第三次多得⼏分？解：第三、四次的成绩和⽐前两次的成绩和多4分，⽐后两次的成绩和少4分，推知后两次的成绩和⽐前两次的成绩和多8分。
因为后三次的成绩和⽐前三次的成绩和多9分，所以第四次⽐第三次多9－8=1（分）。
13. 妈妈每4天要去⼀次副⾷商店，每5天要去⼀次百货商店。
妈妈平均每星期去这两个商店⼏次？(⽤⼩数表⽰)解：每20天去9次，9÷20×7=3.15（次）。
14. ⼄、丙两数的平均数与甲数之⽐是13∶7，求甲、⼄、丙三数的平均数与甲数之⽐。
解：以甲数为7份，则⼄、丙两数共13×2＝26（份）所以甲⼄丙的平均数是（26+7）/3=11（份）因此甲⼄丙三数的平均数与甲数之⽐是11：7。
15. 五年级同学参加校办⼯⼚糊纸盒劳动，平均每⼈糊了76个。
已知每⼈⾄少糊了70个，并且其中有⼀个同学糊了88个，如果不把这个同学计算在内，那么平均每⼈糊74个。
小学五年级奥数第27讲 最小公倍数(二)后附答案
第27讲最小公倍数（二）一、专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。
当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。
二、精讲精练例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？练习一1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。
六年级最少多少人？2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。
这个数最小是多少？例题2 有一批水果，总数在1000个以内。
如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个？练习二1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。
4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。
这批乒乓球到底有多少个？例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？练习三1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。
这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。
2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。
请你算一算，五（1）班有多少位同学？例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？练习四1、插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。
如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。
小学五年级奥数100题(含答案)+100题(不含答案)
小学五年级奥数100题（含答案）1、一间屋子里有100盏灯排成一行，按从左到右的顺序编上号1、2、3、4、5……99、100，每盏灯都有一个开关，开始全都关着，把100个学生排在后面，第1个学生把1的倍数的灯全都拉一下，第2个同学把2的倍数的灯全都拉一下……第100个学生把100的倍数的灯都拉一下，这时有多少盏灯是开着的？1、分析与解答：一盏灯被拉的次数是奇数，则灯是开着的，被拉的次数是偶数次，则灯是关着的，在1至100中，只有10个完全平方数的约数的个数是奇数个，其余的约数都是偶数个，所以有10盏灯是开着的，即12、22、32、42、52、62、72、82、92、1022、一游客划着小船逆流而上，船上一只皮球掉入河里，2分钟后游客发现，立即掉头追皮球，问游客几分钟追上皮球？2、分析与解答：2分钟游客与皮球的距离为：（球速+游客速度）×2=（水速+船速-水速）×2=2个船速追的时间2个船速÷（顺速-水速）=2个船速÷船速=2分钟即游客2分钟追上皮球。
3、饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍，原来白兔、黑兔各有多少只？分析与解答：卖掉10只黑兔，也应卖掉50只白兔，这样白兔只数正是黑兔的5倍，而现在却买回20只白兔，相关20+50=70只，现在白兔是黑兔的7倍，相关7-5=2倍，一倍差是70÷2=35只，原来黑兔只数为35+10=45只，白兔只数为45×5=225只4、在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角的？分析与解答：分针的速度是1格，时针的速度是格，时针与分针成直角，它们要相距15小格，而4点时，时针与分针相差20小时格（20-15）÷（1- ）=5 分（20+15）÷（1- ）=38 分即：在4点5 分，4点38 分时，时针和分针成直角。
5、有四个不同的自然数，这四个数字总和是1001，如果让这四个数的公约数尽可能大，那么，这四个数中最大的一个数是多少？分析与解答：1001=7×11×13，要使公约数最大，首先考虑它是“11×13”，但“7”不能拆成四个不同的数，再考虑“7×13”，而11=1+2+3+5，所以最大的公约数是7×13=91，不同的四个数分别是91×1，91×2，91×3，91×5，最大的数是91×5=4556、一种彩电按定价卖出可得利润960元，如果按定价的八折出售，则亏832元，该彩电购入价是多少元？分析与解答：把定价看作单位“1”，按定价的八折出售，则亏832元，则定价为（960+832）÷（1-80%）=8960元，所以购入价为8960-960=8000元7、一列火车通过320米的隧道时间用了52秒，当它通过864米长的大桥时，速度比通过隧道时提高了，结果用1分36秒，火车身长多少米。
小学奥数基础教程(五年级)
小学奥数基础教程（五年级）第1讲数字迷（一）第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
五年级奥数专题：周期性问题(含答案)
周期性问题在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。
如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。
像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。
这类问题一般要利用余数的知识来解决。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。
一、例题与方法指导例1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____.思路导航：因为7⨯4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了 31+30+31+1=93(天).因为93÷7=13…2，所以这年6月1日是星期二.例2. 1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_____.思路导航：依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有365⨯10+2=3652（天）因为（3652+1）÷7=521…6，所以再过十年的12月5日是星期日.[注]上述两题(题1—题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.例3. 按下面摆法摆80个三角形，有_____个白色的.……思路导航：从图中可以看出，三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.因为80÷6=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13⨯3=39（个）.例4. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_____灯.思路导航：依题意知，电灯的安装排列如下:白，红，黄，绿，白，红，黄，绿，白，……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.由73÷4=18…1，可知第73盏灯是白灯.例5. 时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是_____.思路导航：分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时.一天24小时，1991÷24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时，正好是13时.[注]在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针，就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面.二、巩固训练列，那么数“1992”在_____列. 2. 把分数7化成小数后，小数点第110位上的数字是_____. 3. 循环小数7992511.0 与74563.0 .这两个循环小数在小数点后第_____位，首次同时出现在该位中的数字都是7.4. 一串数: 1，9，9，1，4，1， 4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，……共有1991个数.(1)其中共有_____个1，_____个9_____个4；(2)这些数字的总和是_____.10. 7⨯7⨯7⨯……⨯7所得积末位数是_____.50个答案：6. 3仔细观察题中数表.1 2 3 4 5 (奇数排)第一组 9 8 7 6 (偶数排)10 11 12 13 14 (奇数排)第二组 18 17 16 15 (偶数排)19 20 21 22 23 (奇数排)第三组 27 26 25 24 (偶数排)可发现规律如下:(1)连续自然数按每组9个数，且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2)观察第二组，第三组，发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1，第2列用9除余数为2，…，第5列用9除余数为5.(3)10÷9=1…1，10在1+1组，第1列19÷9=2…1，19在2+1组，第1列因为1992÷9=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上. 7. 774=0.57142857…… 它的循环周期是6，具体地六个数依次是5，7，1，4，2，8110÷6=18 (2)因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.8. 35 因为0.1992517的循环周期是7，0.34567的循环周期为5，又5和7的最小公倍数是35，所以两个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都是7.9. 853，570，568，8255.不难看出，这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，即周期为7，且每个周期中有3个1，2个9，2个4.因为1991÷7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3⨯284+1=853(个)，9的个数是2⨯284+2=570(个)，4的个数是2⨯284=568(个).这些数字的总和为1⨯853+9⨯570+4⨯568=8255.三、拓展提升1. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8⨯9=72，在9后面写2，9⨯2=18，在2后面写8，……得到一串数字:1 9 8 92 8 6……这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？3. 设n =2⨯2⨯2⨯……⨯2，那么n 的末两位数字是多少？1991个4．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？答案：11. 依照题述规则多写几个数字:1989286884286884……可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4)÷6=330…5，所以所求数字是8.12. 1991个1990相乘所得的积末两位是0，我们只需考察1990个1991相乘的积末两. . . .位数即可.1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数是71，4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990÷10=199，所以1990个1991相乘积的末两位数是01，即所求结果是01.13. n 是1991个2的连乘积，可记为n =21991，首先从2的较低次幂入手寻找规律，列表如下: n n 的十位数字 n 的个位数字 n n 的十位数字 n 的个位数字21 0 2 212 9 622 0 4 213 9 223 0 8 214 8 424 1 6 215 6 825 3 2 216 3 626 6 4 217 7 227 2 8 218 4 428 5 6 219 8 829 1 2 220 7 6210 2 4 221 5 2211 4 8 222 0 4观察上表，容易发现自22开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20.因为1990÷20=99…10，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以，n 的末两位数字是48.14. 因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的长度是30厘米，如下图所示.由图示可知长1厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1周期中，6-5=1，5⨯5-6⨯4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:2⨯[(100-10)÷30]+1=2⨯3+1=7(段)[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易.. . . . . . 6 12 18 24 30 5 10 15 20 25 95 96 100 . 90。
数学讲义(五年级奥数)
2 因数和倍数（2） 【题型概述】 今天， 我们学习因数的运用， 解决这种问题主要是根据问题的要求， 寻找因数的个数。 【典型例题】 29÷（ ）=( )· · · · · ·5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种 不同的填法？ 思路点拨 根据有余数除法各部分之间的关系，可以知道除数与商的积是 29-5=24. 两个自然数相乘的积是 24 的有四种情况：1×24,2×12,3×8,4×6，再根据“除 数比余数大”可以知道除数只能是 24，12,8,6. 所以，共有 4 种不同的填法。 【举一反三】 1.37÷（ ）=（ ） · · · · · ·5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少 种不同的填法？
6. 有 50 张卡片，分别写着 1~50 这 50 个数，正反两面写的数字相同，卡片一面是 红，一面是蓝，某班有 50 名学生，老师把 50 张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌 子上，对同学说： “请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡片上 的数是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。 ”那么当每个学生 都翻完以后，红色朝上的卡片有几张？
4. 五个连续奇数的和是 35，这 5 个奇数中最大的一个是多少？
5. 有三个不同的自然数组成一个等式： ■+△+○=■×△-○ 这三个数中最多有多少个奇数？
4,奇数和偶数（2） 【题型概述】 奇数和偶数有一些有趣而常用的性质： 1. 奇数≠偶数，连续自然数中的奇数和偶数时相间排列的。 2. 偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，任意个偶数相加的 和是偶数。 3. 奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数 偶数±奇数=奇数 4. 奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 运用这些性质可以解决很多问题。 【典型例题】
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小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
【七年级奥数】第27讲 抽屉原理（例题练习）
第27讲抽屉原理——练习题一、第27讲抽屉原理（练习题部分）1.在一个班级中，任意挑出13个人．证明这13个人中，至少有两个人属相一样．2.一个乒乓球运动员一分钟击球65次．试证明总有某一秒钟内，他击球的次数超过一次3.在一个边长为1的正三角形内任取5点．证明其中必有两个点，它们的距离不超过．4.任意给定11个自然数．试证明其中至少有两个数，它们的差是10的倍数．5.在1到100这100个自然数中任取51个．证明在取的数中存在两个数，一个是另一个的倍数．6.从1，3，5，…，15这8个数中，任选5个．试证明其中有两个数的和是16．7.试证明：任意6个人之间，或者有3人互相认识，或者有3个人互相都不认识．8.盒中装有红球3个，蓝球5个，白球7个．问至少取出多少个球，才能保证取出的球中有两个球的颜色相同?9.任给7个不同的整数，证明其中必有两个整数，它们的和或差是10的倍数．10.在20米长的水泥阳台上放11盆花．至少有多少盆花之间的距离不超过2米?11.盒中装有红球3个，蓝球5个，白球7个．至少要取出多少个球，才能保证取出的球中，各种颜色的球都有?12.17人互相通信，共讨论三个问题．每两个人之间的通信，只讨论其中一个问题．试证：至少有三个人，他们互相之间的通信所讨论的是同一个问题．13.n个自然数构成数列：,求证：这个数列中一定有一个数或连续的若干个数的和被n整除．14.试证明：在17个不同的正整数中，必定存在若干个数，仅用减号，乘号和括号可将它们组成一个算式，算式的结果是21879的倍数．15.任意的52个自然数中，必有两个数的和或差为100的倍数．16.老同学聚会，互相握手．每两个人至多握一次手．试证明：至少有两个人握手的次数是相同的．17.任意给定2007个自然数．证明：其中必有若干个自然数，和是2007的倍数(单独1个数也看作和)．答案解析部分一、第27讲抽屉原理（练习题部分）1.【答案】解：将12种属相看作抽屉，13个人看作苹果，根据抽屉原理一可得：至少有两个学生的属相一样.【解析】【分析】根据抽屉原理一：n+1个苹果放入n个抽屉，一定有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.由此即可得出答案.2.【答案】解：依题可得：将60秒看作60个抽屉，65此击球看作65个苹果；根据抽屉原理：总有某一秒钟内，他击球的次数超过一次.【解析】【分析】根据抽屉原理一：n+1个苹果放入n个抽屉，一定有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.由此即可得出答案.3.【答案】证明：如图，将三角形三边中点连接起来，将原三角形分成了四个小三角形，其边长均为，∵在原三角形内，任意给5个点，∴把小正三角形的个数看作“抽屉”，即有4个抽屉，把5个点看作“物体的个数”，∵物体的个数比抽屉数多一，∴根据抽屉原理，必定有两个点在同一个小正三角形内，这两点的距离小于小三角形的边长.【解析】【分析】如图，将三角形三边中点连接起来，将原三角形分成了四个小三角形，其边长均为，把小正三角形的个数看作“抽屉”，把5个点看作“物体的个数”，因为物体的个数比抽屉数多一，根据抽屉原理，必定有两个点在同一个小正三角形内，进而得出结论．4.【答案】证明：我们把自然数（按照除以l0的余数）分成10组（相当于10个抽屉）：①被10整除余数为0；②被10整除余数为1；③被10整除余数为2；④被10整除余数为3；⑤被10整除余数为4；⑥被10整除余数为5；⑦被10整除余数为6；⑧被10整除余数为7；⑨被10整除余数为8；⑩被10整除余数为9；可以证明，每两组中的任意两个数，其差是10的倍数．【解析】【分析】我们把自然数（按照除以l0的余数）分成10组（相当于10个抽屉），根据抽屉原理分析即可得证.5.【答案】证明：由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2n乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．因此，我们可以按下面的方法来构造50个抽屉：{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；…；{49，49×2}；{51}；{53}；{99}．于是从这50个抽屉中任取51个数，根据抽屉原则，其中一定存在至少两个数属于同一个抽屉，即命题得证【解析】【分析】由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2n乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．因此，我们可以按下面的方法来构造50个抽屉；根据抽屉原理分析即可得证.6.【答案】将1，3，5，…，15这10个自然数按以下方法分成五组：A={1，15}，B={3，13}，C={5，11}，D={7，9}．将这四个数组作为四个“抽屉”．任取的5个数取自这四个“抽屉”．根据抽屉原理，至少有两个数在同一个抽屉中，即在同一数组．【解析】【分析】先将这8个数分好组，再由题意结合抽屉原理，分析即可得证.7.【答案】证明：在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人；如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线.从六个点中任取一点，不妨设为A．在连接A与其余五点的五条线段中，至少+1=33条同色(这是把红、蓝两色作为抽屉，把五条线段作为“苹果”，由抽屉原理二得到)．不妨设AB、AC、AD为红色线段．这时，在三条线段BC、BD、CD中，若有一条为红色(如BC为红色)，则得到一个三边为红色的三角形(△ABC)．否则，BC、BD、CD都是蓝色，△BCD是三边同为蓝色的三角形．【解析】【分析】本题是著名的同色三角形问题．根据抽屉原理二：m个苹果放入n（n<m）个抽屉，一定有一个抽屉里至少有k个苹果，其中：（）表示不大于的最大整数，亦即的整数部分。
小学数学5年级培优奥数讲义 第27讲 火车行程问题(学生版)
第27讲火车行程问题清楚理解火车行程问题中的等量关系；能够透过分析实际问题，提炼出等量关系；培养分析问题，解决实际问题，综合归纳整理的能力，以及理论联系实际的能力；一、基本公式路程=时间×速度时间=路程÷速度速度=路程÷时间二、火车行程问题有关火车过桥(隧道)、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，是一种行程问题。
在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。
如果遇到复杂的情况，可利用作图或演示的方法来帮助解题。
解答火车行程问题可记住以下几点：1、火车过桥(或隧道)所用的时间=[桥长(隧道长)＋火车车长]÷火车的速度；2、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和；3、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。
考点一：求时间知识梳理典例分析学习目标例1、一列火车长150米，每秒钟行19米。
全车通过长800米的大桥，需要多少时间？例2、一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？考点二：求隧道长例1、一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。
这条隧道长多少米？例2、一列火车长900米，从路旁的一棵大树旁通过用了1.5分钟，以同样的速度通过一座大桥用了3.5分钟。
求这座大桥的长度。
考点三：求车长例1、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。
求这列火车的速度是每秒多少米？车长多少米？例2、快车长210m，每秒钟行驶25m，慢车每秒钟行驶20m，连列车同方向行驶，从快车追上慢车到超过共用了80秒，求慢车的长度。
考点四：求车速例6、某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，客车长105米，每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米？例7、一支队伍1200米长，以每分钟80米的速度行进。
小学五年级奥数大全及答案
小学五年级奥数大全及答案1.一只小船在静水中速度为每小时25千米，在210千米的河流中顺水而行时用了6小时，则返回原处需用______小时。
2.有三个连续的自然数，它们的和是三位数，并且是31的倍数，求这三个数的和的最小值。
3.客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进，客车到达乙站、货车到达甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。
求甲、乙两站之间的距离。
4.甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。
再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁？5.某人连续打工24天，赚得190元（日工资10元，星期六做半天工，发半天工资，星期日休息，无工资）。
已知他打工是从1月下旬的某天开始的，这个月的1号恰好是星期日。
那么问：这人打工结束的那一天是2月几日？6.3：00时，分针落后时针____度，15分分针走___度，时针走___度，因此3：15时，时针与分针的夹角是___度。
7.从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
8.警察查找一辆肇事汽车的车牌号(四位数)。
一位目击者对数字很敏感。
他提供情况说：“第一位数字最小，最后两位数是最大的两位偶数，前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2。
”，警察由此判断该车牌号可能是_______ 。
9.甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。
再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁？10.平面上画____个圆，再画一条直线，最多可以把平面分成44部分。
11.21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如右图.它的表面积是多少平方厘米。
12.现有浓度为25%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为10%的盐水？13.用一批纸装订一种练习本.如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40%;如果装订了185本，则还剩下1350张纸.这批纸一共有多少张?14.甲乙两地相距600千米,客车和货车从两地相向而行,6小时相遇,已知货车的速度是客车的3分之2 ，求二车的速度？15.学校在操场上挖了一个沙坑，长3.5米，宽2.2米，高0.8米，把4.62立方米的黄沙填入坑内，上面铲平黄沙离坑口地面还有多少米？16.甲、乙二人在长50米的同一条泳道里游泳，甲每3分20秒游一个来回，乙每2分40秒游一个来回．甲先游40米，乙从同一起点出发，当甲游完1000米时，他被乙从后面追上( )次．17.用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接。
小学奥数教案-第27讲-同余法解题(教)
所以 被13除所得的余数是 ．
例3、 除以41的余数是多少？
【解析】找规律： ， ， ， ，
基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为 或 ，两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为 时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
三、中国剩余定理
1.中国古代趣题
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
方法3：设这个自然数为 ，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余 ，被5除与 ，所以满足前面两个条件的 ( 为自然数)，只需 除以7余3，即 除以7余3，而 ，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为 ，那么这个数在1000和1200之间，应该是 ．
(word完整版)五年级奥数题100题(附答案)
五年级奥数题100题（附答案）1. 765×213÷27＋765×327÷27解：原式=765÷27×(213+327)= 765÷27×540=765×20=153002. (9999＋9997＋...＋9001)-(1＋3＋ (999)解：原式=（9999-999）+（9997-997）+（9995-995）+……+(9001-1) =9000+9000+…….+9000 (500个9000)=45000003．19981999×19991998-19981998×19991999解：（19981998+1）×19991998-19981998×19991999=19981998×19991998-19981998×19991999+19991998=19991998-19981998=100004．(873×477-198)÷(476×874＋199)解：873×477-198=476×874＋199因此原式=15．2000×1999-1999×1998＋1998×1997-1997×1996＋…＋2×1解：原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…＋3×（4－2）＋2×1＝（1999＋1997＋…＋3＋1）×2＝2000000。
6．297＋293＋289＋…＋209解：（209+297）*23/2=58197．计算：解：原式=（3/2）*（4/3）*（5/4）*…*(100/99)*(1/2)*(2/3)*(3/4)*…*(98/99)=50*(1/99)=50/998.解：原式=（1*2*3）/(2*3*4)=1/49.有7个数，它们的平均数是18。
五年级上册数学培优奥数讲义-第22讲连续数问题
第22讲连续数问题知识与方法若干个自然数依次差1，这些自然数叫做连续自然数。
依次差2的奇数，叫做连续奇数。
依次差2的偶数，叫做连续偶数。
在解连续数问题的过程中，要注意以下几点：（1）奇数个连续数的平均数就是中间数。
（2）偶数个连续数的平均数是中间两数的平均数。
（3）稍复杂的连续数问题可以用方程求解。
初级挑战11、计算从2开始的5个连续自然数的平均数是多少？你发现了什么？平均数：_______________________________我发现了：奇数个连续数的平均数就是_____________。
2、计算从3开始的6个连续奇数的平均数是多少？你发现了什么？平均数：_______________________________我发现了：偶数个连续数的平均数就是________________。
思维点拨：先找出这些数，再根据平均数＝总和÷个数求出。
然后观察平均数和这些数的特点能发现什么？答案：1、平均数为（2＋3＋4＋5＋6）÷5＝4，发现了奇数个连续数的平均数正好是中间数。
2、平均数为（3＋5＋7＋9＋11＋13）÷6＝8，发现了偶数个连续数的平均数正好是中间两数的平均数。
能力探索1计算：（1）170＋171＋172＋173＋174＋175＋176（2）62＋64＋66＋68＋70＋72＋74＋76答案：（1）170＋171＋172＋173＋174＋175＋176＝173×7＝1211（2）62＋64＋66＋68＋70＋72＋74＋76＝69×8＝552初级挑战2五个连续自然数的和为100，求这五个数各是多少？思维点拨：根据奇数个连续数的平均数正好是中间数,可先算出中间数是( )。
答案：中间数：100÷5＝20所以这五个数为：18，19，20，21，22能力探索21、五个连续偶数的和是280，求五个连续偶数中最小的一个？答案：中间数：280÷5＝56最小的数为：56－2×2＝52。
小学奥数基础教程五年级
小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
五年级 连续自然数
第22讲连续自然数在数学问题中，连续自然数（包括连续偶数，连续奇数，连续质数）是一类特殊的数列。
它与自然数的性质、运算性质有着广泛的联系，可以提出很多问题，是课外活动及数学竞赛中常见的题目。
例1在1~1999这1999个数中，有个数与4567相加时，至少有一个数位发生进位。
分析和解我们从不发生进位的情况入手，从0~1999这2000个数减去不发生进位的情况即为所求。
将0~1999这2000个数都看成“四位数”（如1看成0001,18看成0018,344看成0344），如果与4567相加不发生进位，个位数字只有0、1、2这三种情况；十位数字只有0、1、2、3这4种情况；百位数字只有0、1、2、3、4这5种情况；千位数字只有0、1这两种情况（因为在0~1999这2000个数中千位数只有0、1两种情况）。
所以，与4567不发生进位的数有3×4×5×2 = 120（个）从而1~1999中与4567相加至少发生一次进位的数有2000－120 = 1880（个）随堂练习1在2~2007这2006个数中与1234相加时，至少有一个数位上发生进位的数有个。
分析：不发生进位的分四种情况讨论。
1.一位数的情况有4种 2.两位数的情况有36种3.三位数的情况有294种 4.四位数情况有342种所以2006个数中，有676个数是不发生进位的，则至少发生一位数上的进位的数有1330个。
例2三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么，符合条件的最小的三个连续数是。
分析与解设中间数为a，则三个数之和为3a。
由3a能被13整除推知a能被13整除，再由（a + 1）除以9余4，得a最小是39，所以这三个数是38，39，40。
随堂练习2有些是既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数之和，还能表示成5个连续自然数之和。
例如30满足以上要求，30 = 9 + 10 + 11 = 6 + 7 + 8 + 9 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8。
小学五年级奥数内容
小学五年级奥数内容目录◆ 第一讲消去问题(一) (2)◆ 第二讲消去问题(二) (7)◆ 第三讲一般应用题 (12)◆ 第四讲盈亏问题(一) (16)◆ 第五讲盈亏问题(二) (17)◆ 第六讲流水问题 (19)◆ 第七讲等差数列 (23)◆ 第八讲找规律 (26)◆ 能力测试(一) (26)◆ 第九讲加法原理 (28)◆ 第十讲乘法法原理 (31)◆第十一讲周期问题(一) (35)◆第十二讲周期问题(二) (37)◆第十三讲巧算(一) (39)◆第十四讲巧算(二) (40)◆第十五讲数阵问题(一) (45)◆第十五讲数阵问题(二) (45)◆能力测试(二) (63)◆ 第16讲平面图形的计算(一)……………◆ 第17讲平面图形的计算(二)……………◆ 第18讲列方程解应用题(一)………………◆ 第19讲列方程解应用题(二)………………◆ 第20讲行程问题(一)…………………………◆ 第21讲行程问题(二)………………………… ◆ 第22讲行程问题(三)…………………◆ 第23讲行程问题(四)……………………◆ 阶段测试(一)……………………◆ 第24讲平均数问题(一)………………………◆ 第25讲平均数问题(二)…………… …◆第26讲长方体和正方体(一)………………◆第27讲长方体和正方体(二)……………………◆第28讲数的整除特征…………………………… ◆第29讲奇偶性问题……………………◆第30讲最大公约数和最小公倍数…………………◆第30讲分解质因数(一)……………………◆第31讲分解质因数(二)……………………◆第32讲牛顿问题……………………◆综合测试………………………………………第一讲消去问题(一)在有些应用题里,给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系,要求出这些未知数的数量。
我们在解题时,可以通过比较条件,分析对应的未知数量变化的情况,想办法消去其中的一个未知量,从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。
小学奥数基础教程五年级
小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
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——梦想从这里起飞
学生课程讲义
课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第_27_讲，本讲课题：连续自然数
内容概要利用连续自然数、奇数、偶数的规律进行计算。
在数字问题中,连续自然数(包括连续偶数,连续奇数,连续质数)是一类特殊的数列.它与自然数的性质、运算性质有着广泛的联系,可以提出很多问题,是课外活动及数学竞赛中常见的题目。
【例1】在1-1999这199个数中,有
个数与4567相加时,至少有一个数位上发生进位。
随堂练习1
在2-2007这2006个数中与1234相加时,至少有一个数位上发生进位的数有个。
【例2】三个连续自然数的和能被13整除,且三个数中最大的数被9除余4,那么,符合条件的最小的三个连续数是
随堂练2
有些数既能表示成3个连续自然数的和,又能表示成4个连续自然数之和,还能表示成5个连续自然数之和,例如30满足以上要求,30=9+10+11=6+7+8+9=4+5+6+7+8.请你在700至1000之间找出所有满足上述条件要求的数.(提示:3个连续自然数之和可被3整除,4个连续自然数之和可被2整除,5个连续自然数之和可被5整除)
——梦想从这里起飞
【例3】
从1到3998这3998个自然数中,有多少个数能被4整除?
【例4】有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说:“这个数能被3整除”依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号整除。
1号作了一一验证,只有编号相邻的两个同学说得不对.问: (1)说得不对的两位同学,他们编号是哪两个连续自然数。
(2)如果告诉你,1号写的是五位数,请求出这个数随堂练习3
在1,2,…,1994这1994个数中选出一些数,使得这些数中的每两个数的和都能被26整除,那么,这样的数最多能选出个。
【例5】2012个连续自然数按从小到大的顺序排列,取出其中第2回回个数、第4个数、第6个数…第2012个数后,剩下的数相加,得到的结果是1025114,则这2012个连续自然数的和为。
【例6】用1到9这9个数字组成三个3位数(每个数字都要用到),每个数都是4的倍数,这三个三位数中最小的那个三位数最大是多少?
随堂练习4
已知1+2+3+…+n的和的个位数字是3,十位数字是0.求n的最小值。
练习题一、填空题
1.若连续的四个自然数都为合数,则这四个数之和的最小值为( )
(B)101
(C)102
(D)103
2.有四个学生,他们年龄是四个连续自然数,这四个数相乘得3024.这四个学生中年龄最大的是岁
3.四个连续自然数积为1680,这四个数中最小的是
4.用1、2、3、4、5、6、7七个数组成三个两位数,一个一位数,并且使这四个数的和等于100,我们要求最大的两位数尽可能小,那么其中最大的两位数是
5.三个连续自然数的后面两个数的积与前面两个数的积之差是114,那么这三个数的和是
6.数2,4,6,8,10,12,……是连续偶数,若五个连续偶数的和是320.问这五个数中最小的一个数是多少?
7.将1、2、3、4、5、6、7、8分成三个组.分别计算各组的和,已知这二三个和互不相等,且最大的和是最小的和的两倍.问最小的和是多少? 8.有若干个连续奇数1,3,5,7,9,11,13,…,擦去其中的一个奇数后,剩下的所有奇数之和为1998.那么,擦去的奇数是
9.从1~9这9个数字中取出三个可以组成六个不同的三位数.如果六个三位数的和是3330,那么这六个三位数中最大的是
10.某个自然数,它可以表示成9个连续自然数的和,又可以表示成10个连续自然数的和,还可以表示成11个连续自然数的和,那么符合以上条件的最小自然数是
11.将连续自然数依下列方式分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),…,其中第一组有1个数,第二组有2个数,第3组有3个数,依次类推,第40组内所有数的总和是
12把自然数按由小到大的顺序排起来组成一串数1,2,3,…,9,10,11,12,…把这串数两位以上的数全部隔开成一位数字,组成第二串数:1,2,3,4,5,…,9,1,0,1,1,1,2,1,3,…第一串数中100的个位数字0,在第二串数中是第个数13.在两位数10,11,…,99中,将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点,其余的数不变.问:经过这样改变后,所有数的和是。