高一数学教案：《指数函数》人教A版必修

教学目标： 知识与技能：

理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质； 过程与方法：由实际问题引入，培养学生发现问题和提出问题的能力． 情感态度价值观：于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点． 教学重点：指数函数和性质的概念； 教学过程

一、激趣导学

引例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？

分裂次数：1，2，3， 4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y

由上面的对应关系可知，函数关系是 y ＝2x

.

引例2 某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x 年后的价格为y ，则y 与x 的函数关系式为 y ＝0.85x

.

在y ＝2x

, y ＝0.85x

中指数x 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数，引入课题．. 二、质疑讨论： 1．指数函数的定义

函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ． 探究1：为什么要规定a ＞0,且a ≠1呢？

①若a ＝0，则当x ＞0时，a x

＝0；当x ≤0时，a x

无意义.

②若a ＜0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义. 如y ＝(-2)x

，这时对于x ＝14 ，x ＝12 ，…

等等，在实数范围内函数值不存在.

③若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x

＝1，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1．在规定以后，对于任何x ∈R ，a x

都有意义，

且a x

＞0. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0，+∞).

探究2：函数 y ＝2·3x

是指数函数吗？

答案：不是，指数函数的解析式 y ＝a x

中，a x

的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y ＝a x+k

(a ＞0且a ≠1，k ∈Z)；有些函数看起

来不像指数函数，实际上却是，如y=a -x (a ＞0，且a ≠1)，因为它可以化为 y ＝(a -1)x

，其中

a -1＞0，且a -1≠1.

【思考】下列函数是为指数函数有 ② ③ ⑤ ．

①2y x =； ②8x y =； ③(21)x

y a =-（12

a >

且1a ≠）；④(4)x y =-；

⑤x

y π=；

⑥1

225

+=x y ； ⑦x y x =；

⑧10x

y =-．

2.指数函数的性质（观察、总结）

三、反馈矫正：

例1比较下列各题中两个值的大小

(1)1.72.5,1.73

；

(2)0.8－0.1,0.8－0.2

；

(3)1.70.3，0.93.1

．

【小结】对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 例2（1） 指数函数x

a x f =)((a>0且a ≠1)的图象过点（3，π），则 π

)3(=

-f ．

【思路分析】先求出x

a y =解析式，再代入即可． （2） 如图

是指数函数①x

a y =，②x

b y =，③x

c y =，④x

d y =图象，

则a ．b ．c ．d 与1的大小关系是 b

提示：法一：根据指数函数图象位置与底数关系可得；

法二：x=1与指数函数①②③④的交点纵坐标分别为a ．b ．c ．d ，根据a ．b ．c ．d 位

x

② ③

置即可判断出a ．b ．c ．d 大小．

【解后反思】法二比法一更简单易懂，法二中x=1称为指数函数特征线．熟练运用特征线比较底数大小带来极大方便． 四、巩固迁移： 1．比较大小：－0.7

－0.2

> －0.7

－0.3

；（－2.5）32

< （－2.5）5

4．

2．已知下列不等式，试比较m ．n 的大小：

（1）若（23 ）m ＞（23 ）n ，则m < n ；（2）若1.1m ＜1.1n

，则m < n .

3．比较下列各组中数的大小：10

， 0.4－2.5

， 2

－0.2

， 2.51.6

．

解：2－0.2 <

10 <

2.5

1.6 <

0.4

－2.5

．

【课后提升】 1．比较大小：

（1） 2.5

3.2

1.5,1.5；（2） 1.2

1.50.5

,0.5--；

（3）0.3 1.2

1.5,0.8． 2（1）已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；（2）已知0.225x <，求实数x 的取值范围. 3．函数)10(12

≠>+=-a a a

y x 且图象必过点 （2，2） ．

4．当x ＞0，指数函数x

a x f )1()(2

-=值总大于1，则a

5．已知函数x

y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，

求实数a 的值．

6. 解不等式：(1)293x x ->； (2)34260x x ⨯-⨯> ． 7．x

x f 2)(=的图象，对于任意21,x x ∈R ， 能否确定)]()([2

121x f x f +和)(2

2

1x x f +大小？