《函数与它的表示法》第一课时教案

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函数的概念及其表示教案-人教课标版(优秀教案)

《函数的概念及其表示》教案第一课时：函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量变量之间有什么关系.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，此时是的函数，是自变量，是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.;二、讲授新课：.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例：.一枚炮弹发射，经秒后落地击中目标，射高为米，且炮弹距地面高度（米）与时间（秒）的变化规律是21305h t t =-..近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书页图）.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量变量的变化范围分别是什么两个变量之间存在着这样的对应关系三个实例有什么共同点归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都与唯一确定的和它对应，记作：:f A B →》③定义：设、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合到集合的一个函数（），记作：(),y f x x A =∈.其中，叫自变量，的取值范围叫作定义域（），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（）.④讨论：值域与的关系构成函数的三要素一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域 ⑤练习：2()23f x x x =-+，求()、()、()、(－)的值。

青岛版数学九年级下册5.1《函数与它的表示法》教案

(3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用天然气175m3(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？
四．课堂小结
想想本课学习了哪些知识.
(2)第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
分组讨论：
图像信息
1.从折线图你能得到什么哪些信息？
2.各阶段的解析式分别是什么？对应的取值范围是什么？
3.如何求产品的日销售利润，应如何分类？
三.拓展练习
1、为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示
(2)用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.用数学式子表示函数的方法叫做解析法.用表格表示函数关系的方法，叫做列表法.用图象表示函数关系的方法，叫做图像法.
(3)两个变量之间的函数关系，可以有不同的表示方法，上面的三种方法在解决具体问题时，都有着广泛的应用.
(三)、达标测评
1．常用来表示函数的方法有_______法．_________法和________法．
每月用气量
单价(元/m3)
不超出75m3的部分
2.5
超出75m3不超出125m3的部分
a
超出125m3的部分
a+0.25
(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费多少元；
(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；
2
3
4
5
行驶路程y/km
(2)写出y与x之间的函数解析式．
四、课堂小结

《函数的表示法》(第1课时)教学设计

函数的表示法（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容函数的表示法.2.内容解析在“对应关系”说的基础上建立了函数概念之后，随即而来的任务就是研究函数本身.而函数的呈现形式就是“函数的表示”问题.学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须的，而且是加深理解函数概念，以及向学生渗透数形结合方法的过程.函数的表示法是在已有函数概念的基础上进行学习的，是对函数知识的深化.这部分内容也是函数内容的重要基础.本节的主要内容是在初中已经接触过函数的三种表示法——解析法、列表法和图象法的基础上，明确三种表示法各自的优点及适用对象；通过函数y=|x|引出分段函数的概念，并通过具体实例（例6）熟悉分段函数概念，掌握研究分段函数的一般思想和方法.基于以上分析，确定本节课的教学重点：使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示函数；掌握分段函数概念.二、目标和目标解析1.目标（1）了解解析法、列表法、图象法各自的优点及适用对象；使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（2）了解分段函数的概念，明确分段函数是一个函数，掌握研究分段函数的一般思想和方法.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生通过教科书第67页例4，以及之前的学习经验，能自主总结出解析法、列表法、图象法各自的特点；能举出具体实例说明三种表示法的适用情况.（2）学生能理解绝对值函数向分段函数的转化过程，通过具体实例体会分段函数是一个函数而不是几个函数.三、教学问题诊断分析学生在初中学习函数概念时，接触过函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，但是对其并没有深入研究.尤其是在高中阶段“对应关系”说意义下重新建立了函数概念的基础上，函数的三种表示法又有怎样的特点呢？这就是本节课第一个教学问题.针对这一问题，教科书引入了一个实际问题，其本质为离散的一次函数模型，此问题三种表示法均适用，进而可直观地比较出三种表示法各自的特点.而后可根据不同表示法各自的适用范围，选择恰当的方法表示函数.三种表示法各自的特点清楚了，那么它们在研究具体函数问题时，是如何起到相应的作用的呢？于是教科书中举出了绝对值函数的例子（例5），从而引出了高中阶段非常重要的、实际问题中广泛应用的一类函数——分段函数.这是本节课第二个教学问题.通过例5、例6的学习，可让学生体会解析法、图象法在处理连续函数问题时的威力，同时也体现出研究函数的一个非常重要思想——数形结合.正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合研究函数是贯穿整个高中的思想方法.四、教学支持条件分析在研究绝对值函数（分段函数，例5）和最大值函数（例6）的过程中，可借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具画出函数图象，观察得出结论，体现信息技术在数学教学和学习过程中的辅助探究与检验作用.五、教学过程设计引导语：我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1，2.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3.这三种方法是常用的函数表示法.（一）函数的表示法问题1：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）个笔记本需要y 元.（1）你能用函数的三种表示法分别表示函数y=f（x）吗？（2）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（3）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明.师生活动：教师给出问题（1）后，让每位学生自己写出函数表达式、列表格、画图象，注意再次强调“研究函数，先看定义域”.之后让同桌互相核对结果，尤其注意函数图象是否为五个离散的点.然后出示问题（2），小组讨论，总结归纳三种表示法各自的优点，最后与教师一起总结出结论（可用PPT展示）：出示问题（3），找学生代表回答，例如可回答：不是，3.1.1的问题3、问题4就不能用解析法表示；3.1.1的问题1不能用列表法表示；3.1.1的问题4不能用图象法表示.答案均可从教科书中找到，如果学生理解了3.1.1的知识，回答此问题并不困难.设计意图：问题（1）是让学生回忆并熟悉三种表示法的具体呈现过程，并再次强调定义域的决定作用；问题（2）是为了让学生总结归纳三种表示法各自的优点，明确特征，方可合理运用；问题（3）是突出三种方法各自的局限性，从而在处理实际问题挑选方法时合理回避不需要的表示法.问题2：（教科书第69页练习1）如图，把直截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：cm2），你能把y表示为x的函数吗？师生活动：学生阅读题目后，自主从三种表示法中选择恰当可行的方法解决此问题. 之后教师可利用多媒体手段将答案进行呈现，与其他同学一起点评结果.设计意图：考察学生对三种表示法的特点的理解与把握，以及在实际问题中选择恰当的表示法解决问题的能力.（二）分段函数问题3：（1）你了解函数y=|x|吗？（2）你会画函数y=|x|的图象吗？师生活动：教师出示问题（1），先让学生独立思考，之后可引导学生对不熟悉的绝对值函数y=|x|进行变形，去掉绝对值，转化成熟悉的一次函数，然后规范写法，写成分段函数形式.之后出示问题（2），学生即可很自然地画出相应图象.最后教师引入分段函数概念，强调分段函数是一个函数，而不是几个函数，并介绍其普遍性与应用价值；并总结思路：绝对值函数可转化为分段函数进行研究；对于分段函数的图象，只需分别画出每段的函数图象，并注意端点的开闭即可.教科书中对分段函数给出的是描述性定义，学生只需能判断什么样的函数是分段函数即可，不必纠结于分段函数的确切定义.追问：（教科书第69页练习2）有了问题3的基础，你会画函数y=|x-2|的图象吗？教师让学生自主研究，然后利用多媒体手段将典型作答图象投到屏幕上，叫同学回答解题过程，寻找问题所在，纠正错误，落实正确解题思路.对于中上等水平的班级，可根据时间情况，适当借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具，设计参数a，制作动态演示课件，介绍函数y=|x-a|的图象变化情况.设计意图：问题（1）是让学生从解析式入手，转化成熟悉的函数，为问题（2）解决画函数图象问题做铺垫，体现了转化与化归思想；问题（2）则是考查学生对图象法表示函数的掌握程度.追问是对问题3举一反三，考查学生的理解、掌握程度.师生活动：给学生充分画图的时间，有初中的基础，学生基本都可画出图3.1-4，然后对最大值函数M（x）做适当解读：当x每取一个值时，f（x）与g （x）各有唯一一个函数值与之对应，而M（x）对应的则是两个函数值中的较大者，由函数定义可知，M（x）是x的函数.当最大值函数解释清楚后，学生可很自然地对图3.1-4进行处理，得到图3.1-5所示的函数M（x）的图象；利用图象和解方程知识，学生一般可顺利求出M（x）的解析式.追问：你能用其他方法求出M（x）的解析式吗？先小组讨论，然后找有想法的同学分享思路，最终达成共识.设计意图：问题4是训练学生同时研究两个函数的能力，以及对新概念的分析理解能力，感受分段函数的另一种构造方式及其图象和解析式的求法，加深对分段函数的理解与运用.追问是引导学生从不同的角度分析问题，解决问题，进一步加深对分段函数的理解.问题5：（教科书第69页练习3）给定函数f（x）=-x+1, g（x）=（x-a）2,x ∈R（1）你能画出函数f（x）,g（x）的图象吗？师生活动：学生自主完成练习，然后找代表分享思路与结果.有了问题4的铺垫，学生对最小值函数的理解应比较到位，解决此问题会相对顺利.设计意图：创设熟悉的情境，提出类似的问题，对学生的知识与解题技能进行再巩固.（三）课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：（1）函数的三种表示法分别是什么？其各自的特点是什么？（2）什么样的函数称为分段函数？分段函数是几个函数还是一个函数？（3）如何画分段函数的图象？师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结。

函数与它的表示法优课教案

函数与它的表示法【课时安排】3课时【第一课时】【教学目标】1．通过实例，让学生进一步了解函数的概念和函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法。

2．能够恰当地运用函数的三种表示方法解决一些实际问题，初步培养将实际问题转化为数学问题的能力。

【教学重难点】1．重点就是函数的三种表示方法。

2．难点是用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系。

【教学过程】（一）情境导入气温随着时间的变化而变化；在匀速运动中，路程随着时间的变化而变化。

你还记得气温和时间、路程和速度这两个变量之间是什么关系吗？你还记得什么是函数吗？在现实生活中，函数关系是处处存在的。

你知道表示函数关系的方法通常有哪几种吗？利用媒体手段，向学生展示七下教材中气温随时间的变化而变化的曲线图及一辆匀速行驶的汽车，让学生体会数学研究的对象来源于生活，很多数学研究的内容都能在生活找到模型，学会用数学眼光看待、解释生活中的某些现象。

（二）探究新知1．问题导读用来表达函数关系的数学式子叫做________或________。

用数学式子表示函数的方法叫做________。

用表格表示函数关系的方法，叫做________。

用图象表示函数关系的方法，叫做________。

2．合作交流（1）你能分别举出用三种方法表示函数的例子吗？（2）你认为用解析法。

列表法和图像法表示函数关系各有哪些优点和不足？（3）用描点法画函数图象时用到了函数关系的哪几种表示方法？3．精讲点拨（1）思考：在每个问题中，哪是自变量；谁是谁的函数；当自变量的值确定后是否都相应地确定一个函数值；函数关系是用什么方式表示的。

（2）用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

用数学式子表示函数的方法叫做解析法。

用表格表示函数关系的方法，叫做列表法。

用图象表示函数关系的方法，叫做图像法。

（3）两个变量之间的函数关系，可以有不同的表示方法，上面的三种方法在解决具体问题时，都有着广泛的应用。

人教版高一年级数学必修课程《函数的表示法》(第一课时)优质教案

1.2.2函数的表示法（第一课时）学习目标：1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想. 学习重点:函数的三种表示方法学习难点：对函数解析法的理解学习过程：（一）导入新课我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（二）师生互动，新课讲解(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.例3.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a).由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-4例4.已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得. (三)课堂练习1.向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6答案：B2.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211x x +-,则f(x)=________.分析:可设x x +-11=t,则有x=tt+-11, 所以f(t)=22)11(1)11(1t t t t +-++--=212t t +, 所以f(x)=212x x+.答案：212xx+ 3.已知函数f(x)=273++x x ，写出函数的定义域和值域.（换元法）注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域，换元后马上写出新元的取值范围（四）课堂小结：本节课学习了函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数. （五）作业：1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y 元,试写出y 关于x 的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.2.水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断: ①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③3.求值域y=x4+ x2-2(六)教学反思：。

高中数学教案——函数的表示法第一课时

课题：2.2.1 函数的表示法1教学目的：1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念教学重点：解析法、图象法．教学难点：作函数图象授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：函数的解析法、列表法、图象法中，以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．教学过程：一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x ≤100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是1000≤<x ，函数的解析式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x y这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x 轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数例3 画出函数y=|x|=⎩⎨⎧<-≥.0,0x xx x 的图象.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.说明：①再次说明函数图象的多样性；②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0x 1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4作出分段函数21++-=x x y 的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：xy21++-=x x y =⎪⎩⎪⎨⎧++-123)12(x x 1122>≤<--≤x x x 作出图像如下例5作出函数xx y 1+=的图象列表描点：四、课堂练习：课本第56页练习1，2，3五、小结本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法六、课后作业：课本第56习题2.2：1，2，3，4 补充：1．作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像分析显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，49)21(2)1)(2(22--=--=+-=x x x x x y当x ＜2时，即x-2＜0时，49)21(2)1)(2(22+--=++-=+--=x x x x x y .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4921492122x x y 22<≥x x 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出 2．作出函数|32|2--=x x y 的函数图像解：⎩⎨⎧<-----≥----=032)32(032322222x x x x x x x x y 步骤：（1）作出函数y=2x -2x -3的图象（2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|2x -2x -3|的图象七、板书设计（略）八、课后记：。

函数和它的表示法教案湘教版

教学难点与重点
1.教学重点
本节课的核心内容是函数的表示法。具体包括：函数的定义、函数的图像表示法、函数的解析式表示法以及函数的列表表示法。
（1）函数的定义：理解函数的概念，掌握函数的数学表达式，了解函数的输入输出关系。
（2）函数的图像表示法：通过绘制函数图像，直观地了解函数的性质，掌握函数图像的基本特点。
知识点梳理
本节课的知识点主要包括函数的定义、函数的图像表示法、函数的解析式表示法和函数的列表表示法。
1.函数的定义：理解函数的概念，掌握函数的数学表达式，了解函数的输入输出关系。
2.函数图像的绘制：掌握绘制函数图像的方法，能够准确地绘制出常见函数的图像。
3.函数的解析式表示法：掌握不同类型函数的解析式表示方法，能够熟练地写出常见函数的解析式。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调函数的表示方法和函数图像这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
三、实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示函数的基本原理。
函数和它的表示法教案湘教版
科目
授课时间节次
--年—月—日（星期——）第—节
指导教师
授课班级、授课课时
授课题目
（包括教材及章节名称）
函数和它的表示法教案湘教版
教学内容分析
本节课的主要教学内容是函数的表示法。具体包括：函数的定义、函数的图像表示法、函数的解析式表示法以及函数的列表表示法。
教学内容与学生已有知识的联系：学生在之前的学习中已经掌握了实数和函数的基本概念，对数学函数有一定的认识。在此基础上，本节课将进一步引导学生深入学习函数的表示方法，帮助学生建立起函数的基本概念框架，为后续的函数学习打下基础。

函数的表示法(第一课时)

3.1.2函数的表示法（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法；2.了解分段函数，并能简单应用；3.会用描点法画出一些简单函数的图象，并应用函数的图象解决问题.二、教学重难点1.进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识；2.渗透数形结合思想，培养学生发展逻辑推理，应用直观想象.三、教学过程1.对函数表示方法的认知1.1回望教材引例，了解函数常用表示方法【教材引例】再次阅读教材3.1.1（P60-61）四个引例问题1：这些实际的函数问题是如何表示的？【预设的答案】解析式，图象表示，表格表示.【设计意图】使学生了解针对不同的实际情境采用适当的函数表示法，便于直观或深入的研究，解决问题，学有用的数学.【活动预设】引导学生归纳概括出函数常见的三种表示法.问题2：（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（2）所有函数都能用解析法表示吗？请举出实例加以说明.【设计意图】让学生体会总结三种表示法的各自优点与不足，为比较三种表示法提供机会；培养学生观察、总结、表达能力.【活动预设】（1）鼓励学生举生活中的函数例子，并阐述可以用哪种函数表示法，学生间可以讨论，教师可以引导.使学生灵活选用函数表示法来研究函数，进而使他们认识到三种表示法之间相辅相成，渗透数形结合思想.1.2归纳提炼，形成共识在学生举例、讨论的基础上，师生共同归纳概括：（1）“解析法”就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值.缺点：有些实际问题中的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式. 中学阶段研究的函数，主要是能够用解析法表示的函数. （2）“图象法”就是用“图形”表示两个变量之间的对应关系.优点：能直观形象的表示出随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质，这是数形结合的好处.缺点：感性观察有时不够准确，画面局限性大.（3）“列表法”就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 . 缺点：只能表示有限个元素时的函数关系且元素较多时也不方便. 【设计意图】使学生们在自己的理解基础上统一认识. 2.初步应用，理解概念例1某种笔记本的单价是0.5元，买{}()1,2,3,4,5x x ∈个笔记本需要y 元.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.【预设的答案】这个函数的定义域是{}1,2,3,4,5 解析式法：{}51,2,3,4,5y xx =∈列表法图象法【设计意图】（1）使学生体会到函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体.进一步体会数形结合在理解、研究函数中的重要作用.（2）使学生感受到函数图象既可以象初中学习过的一、二次函数那样是连续的曲线，也可以是离散的点等.例2 画出函数y x =的图象 .【预设的答案】由绝对值的概念，我们有,0,0x x y x x x -<⎧==⎨≥⎩，所以函数y x =的图象如图所示问题3：利用函数的定义判断这是一个函数还是两个函数？【设计意图】（1）深化函数定义的理解，使学生认识函数解析式的多样性，函数图象的多样性. （2）学生已经熟知,y x y x ==-所表达的数量间关系，使学生体会由数到形的过程. 教师讲授：（1）y x =是一个函数，对于定义域内的任意一个x ，都有唯一确定的函数值与之对应.（2）一些函数，在它的定义域中，对于自变量x 不同的取值范围，对应的关系式也不同，这样的函数我们通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，其定义域为各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数的解析式是用左大括号将各段的表达式括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.例3 给定函数()2()1,()1,f x x g x x x R =+=+∈. （1）在同一直角坐标系中画出函数(),()f x g x 的图象；（2）x R ∀∈，用()M x 表示(),()f x g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =.例如，当2x =时， ()()(){}{}2max 2,2max 3,99M f g ===.请分别用图象法和解析法表示函数()M x .【预设的答案】（1）在同一直角坐标系中画出函数(),()f x g x 的图象（2）由图中函数取值的情况，结合函数()M x 的定义，可得函数()M x 的图象由()211x x +=+，得()10x x +=，解得1x =-或0x =结合图象得出函数()M x 的解析式为()()()221,11,101,0x x M x x x x x ⎧+≤-⎪⎪=+-<≤⎨⎪+>⎪⎩【设计意图】（1）此例题是从形到数的过程，充分利用图象特征，可以简化代数运算，可以引导学生从纯代数运算，比较大小的角度去函数的解析式，通过对比进一步加强学生的数形结合观念与直观想象能力.（2）通过对()()(){}max ,M x f x g x =这种符号化表示的理解，提高学生的抽象思维能力. 3.归纳小结，突出重点（1）表示函数的方法有解析法、列表法和图象法三种，掌握分段函数的概念和解析式表达形式；（2）函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段组成，必须根据定义域画图，利用描点法或图象变换法.（3）数形结合相辅相成，为我们研究函数的相关问题提供便利，直观快捷. 【设计意图】（1）梳理本节课的学习内容；（2）鼓励学生积极探索新知，为下节课函数表示法的实际应用提供必要性 . 四、课外作业1.画出函数2-=x y 的图象.（你想到了几种办法？都尝试一下吧！）2.给定函数,,)1()(,1)(2R x x x g x x f ∈-=+-= （1）画出函数)(),(x g x f 的图象；（2）,R x ∈∀用()m x 表示)(),(x g x f 中的较小者，记为 {}()min (),().m x f x g x = 请分别用图象法和解析法表示函数()m x .3.已知函数()f x 的图象如图所示，其中点,A B 的坐标分别为()0,3，()3,0 则()()0f f ＝( )A ．2B ．4C ．0D ．34．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )5．下表表示函数()y f x =，则()f x x >的整数解的集合是________．x05x << 510x ≤< 1015x ≤< 1520x ≤<()y f x = 4 6 8 10。

高中数学函数的表示方法教案(第一课时)新课标人教版必修1(A)

函数的表示方法〔第一课时〕教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握函数的三种表示方法；教学重点：函数的表示方法教学难点：函数三种表示方法的选择教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：〔Ⅰ〕引入问题 1.回忆函数的两种定义； 2.函数的三要素分别是什么？3．设函数22(2)()2(2)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，那么(4)f -= ，假设0()8f x =，那么0x = 。

〔II 〕讲授新课函数的三种表示方法〔1〕解析法〔将两个变量的函数关系，用一个等式表示〕：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变〔2〕列表法〔列出表格表示两个变量的函数关系〕：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

〔3〕图象法〔用图象来表示两个变量的函数关系〕：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。

〔III 〕例题分析：例1〔书P 22〕.某种笔记本的单价是5元，买x 〔{1,2,3,4,5}x ∈个笔记本需要y 元,试用函数的三种表示法表示函数()y f x =。

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可以将函数()y f x =表示为5y x =，{1,2,3,4,5}x ∈。

用列表法可以将函数()y f x =表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 510152025图象法略。

说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。

例2．下表是某校高一〔1〕班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。

分析：画出“成绩〞与“测试时间〞的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。

函数的概念及其表示第一课时参考教学方案

《函数的概念及其表示（第一课时）》教学设计1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念．教学难点：函数概念及符号“y＝f(x)，x∈A”的理解．PPT课件．一、整体概览问题1：阅读课本第60页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设的答案：（1）本章将要研究函数的概念、性质及其应用；（2）函数是高中数学的核心内容，也是学习其他学科的重要基础；（3）起点是函数的概念，目标是通过研究函数的性质把握客观世界中各种各样的运动变化规律．设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、问题导入问题2：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x．（1）l是x的函数吗？（2）这个函数与正比例函数y＝4x是同一个函数吗？师生活动：学生先回忆初中所学的函数概念，分析：在这个变化过程中，有两个变量x 与l，并且对于x的每一个确定的值，l都有唯一确定的值与其对应，那么l是x的函数．预设的答案：问题（1）的答案是肯定的．问题（2）的争议较大，答案悬而未决．设计意图：用学生熟悉的例子导入，唤醒学生已有的知识经验—基于变量关系的函数定义，但是用初中的定义又不能清晰地解决问题（2），制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数概念．（板书：函数的概念）三、新知探究1．分析实际问题，感知函数的共同特征，逐步发现构成函数的要素问题3：阅读材料，回答问题：某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为S＝350t．（1）S＝350t是函数吗？为什么？（2）有人说：“根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？师生活动：问题（1），学生判断并说明理由，因为t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数；问题（2），学生可能会出错，老师应该引导学生关注时间t的变化范围．追问1：能否根据现有条件回答“24h时对应的距离是多少？”为什么？（不能，因为半小时之后列车的运行状况未知．）追问2：这个说法犯了什么错误？（忽略了时间t的变化范围．）追问3：你认为如何描述才能准确反映实际问题？（在S＝350t的基础上，给时间t备注上范围．）教师点拨：学生的回答可能不够严谨，老师用精确的语言描述问题2中S与t的对应关系．为学生做示范：列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S＝350t．①其中，t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S 和它对应．设计意图：通过创设问题情境，让学生意识到除了关注对应关系之外，还必须明确自变量的取值范围也是函数的一个重要构成要素，提升了对函数概念的认识．问题4：阅读材料，回答问题：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？（2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题．师生活动：（1）学生直接回答：w＝350d，w是工作天数d的函数．（2）学生判断并说明理由．不是同一个函数．因为在函数S＝350t中，0≤t≤0.5；在函数w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同．（3）学生描述：工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d．②其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．设计意图：问题4与问题3的解析式相同但是定义域不同，是离散型函数．让学生模仿问题3给出描述，并且对两者进行比较，使学生进一步体会关注自变量的取值范围的重要性．问题5：阅读材料，回答问题：图1图1是北京市2016年11月23日空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．（1）I是t的函数吗？为什么？（2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题．师生活动：学生独立完成有困难，教师通过追问帮助学生思考．追问1：①通过图形能确定唯一的I与之对应，怎么找？（在横轴上，过t0作垂线交曲线与点（t0，I0），I0就是与t0对应的值．）②从所给的图中确定11月24日12：00的AQI的值吗？为什么？（不能，因为时间不在图象覆盖的范围内．）预设的答案：从图1中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在数集B3＝{I|0＜I＜150}．对于数集A3中的任一时刻t，按照图1中曲线所给的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．因此，这里的I是t的函数．设计意图：问题5是用图象表示的函数关系，通过这个例子强化学生对图象类型的对应关系的认识，并认识到不是所有的函数都能用解析式表示，为引入抽象符号表示函数做铺垫．问题6：阅读材料，回答问题：表 1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况设计意图：用新的方式阐述熟悉的函数，使学生熟悉新的语言，进一步体会集合—对应说函数定义的精确性和普适性．例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k ≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述．师生活动：先让学生思考，展示其想到的不同情境．预设的答案：把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）．如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）．其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤25}．对应关系f把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）．设计意图：一个解析式对应多种问题情境，让学生感受函数能解决一类问题的作用，让学生感受函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型．四、归纳小结，布置作业问题8：本节课我们主要学习了函数的概念，为什么要重新学习函数的概念？用“集合—对应说”下的函数概念分析一个函数要关注哪几个要素？这些要素的特点是什么？与初中的函数概念相比，要特别注意哪个要素？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：初中所学的函数概念主要关注的是变量之间的依赖关系，对自变量的变化范围缺乏约束，在应用中容易产生误判．采用“集合—对应说”之后，同时关注函数的定义域、对应关系和值域．其中对应关系是核心，有如下特征：对于定义域中任意实数在值域中都能找到唯一的实数与之对应．但对应关系的形式多样，除了解析式，还可以是图象，表格，文字语言等．与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确“集合—对应说”的意义，更加深刻地认识到函数的内涵．作业布置：教科书习题3.1第1，3题．五、目标检测设计1．一枚炮弹发射后，经过26 s落到底面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为：h＝130t－5t2．①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述．设计意图：考查函数的概念．2．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图2所示．图2（1）函数的对应关系为图中曲线，求该函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度．设计意图：考查对应关系是图象的函数的要素以及图象与解析式的互相转化．3．集合A，B与对应关系f如下图3所示：图3f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？设计意图：考查对应关系是venn图的函数的要素，让学生明确函数的对应关系的多样性．4．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝x来描述．设计意图：考查用函数解决实际问题的能力．参考答案：1．定义域为A＝{t|0≤t≤26}，值域为B＝{h|0≤h≤845}．对应关系h＝130t－5t2把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数130t－5t2．2．（1）如果记2016年11月2日8时为0，依次下去，11月3日8时为24时，那么函数的定义域为A＝{t|0≤t≤24}，值域为B＝{S|2≤S≤12}．（2）约9.33 ℃．3．是函数，定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{2，3，4，5}，对应关系f为问题中给出的图．4．那么可以构建如下情境：例如设正方形的面积为x，边长为y，那么y＝x．其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x≤25}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤5}．对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的边长y．。

八年级数学《函数和它的表示法》教案

课题
函数和它的表示法
主备人
备课时间
第1课时
备课组长签名
教研组长签名
教学内容
函数和它的表示法
个性化备课
教
学
目
标
知识技能
了解函数的概念和意义、了解常量和变量的意义；并能分辨简单实际问题中的变量间是否存在函数关系，哪个变量是自变量，哪个变量是因变量；了解函数的三种表示法：能确定函数中自变量的取值范围。
过程与方法
让学生通过对几个具体问题中的量、量间关系及变化规律的观察分析和比较，归纳抽象出函数的有关概念，再用函数观点去分析认识实际问题。
情感态度价值观
初步认识现实世界中各种量总是变化的，是相互联系的、相互制约的，初步形成用事物变化和相互联系的观点、用函数观点去认识现实世界的意识，体验函数是描述现实世界的有效工具。
进行灵活运用。
达标练习：
1．已知函数，x＝__________时，y的值时0，x=______时，y的值是1；x=_______时，函数没有意义．
2．已知，当x=2时，y=_________.
3．在函数中，自变量x的取值范围是__________.
4、若等腰三角形的周长为60，一腰长为x,底边长为y.
教学重点
函数的概念和意义的理解
教学难点
对函数概念和函数记号的理解。函数的三种表示方法。
教
学
过
程
一、导入新课
我们平常家里用自来水，用的水少所花的钱就要少；用的水多所花的钱也
要多。那这个现实中的问题体现了数学上的什么知识点呢？那今天我们就一起来学习与这有关的数学知识——函数和它的表示法。（板书课题）
二、出示学习目标
这节课我们要达到的学习目标是：

初中数学_5.1 函数与它的表示法教学设计学情分析教材分析课后反思

《5.1函数与它的表示法》教学设计同学们在初二已经学习过一次函数的图象、性质及解析式的求法，这节课，我们综合复习一下有关一次函数的知识及解题方法。

一、学习目标：1.知识与技能：理解一次函数和正比例函数的概念并会应用。

2.过程与方法：经历用待定系数法求一次函数解析式的过程，能正确求解一次函数的解析式。

3.情感、态度与价值观：培养探索意识，充分体会数学应用于实践的思想。

二、学习重难点：经历一次函数解析式的求解过程，能正确求解一次函数的解析式。

三、学习过程（一）课前延伸：基础复习1.一次函数的概念：函数y=_______(k、b为常数，k______)叫做一次函数。

当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数。

2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____），(______)的_________。

3.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________。

4.一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质：⑴当k>0时，y随x的增大而_________。

⑵当k<0时，y随x的增大而_________。

⑶根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图中k、b的符号：k___0，b___0 k___0，b___0 k_ k___0，b___0课内探究（一）自主学习用待定系数法求函数解析式若直线ｙ＝k ｘ＋ｂ过点（１，２）和（2，－１），求解析式。

归纳总结用待定系数法求一次函数解析式的基本步骤：__________________________________________________________________________________________________________________________________.（二）精讲点拨一次函数y=ax+b 经过点（1，2）、点（-1，6），求：（1）这个一次函数的解析式；（2）直线与两坐标轴围成的面积；（3）如果正比例函数y= x 与该一次函数的交点为P,求点P 坐标和两直线与x 轴围成的三角形面积。

湘教八上2.1《函数和它的表示法》(第一课时)word教案

2．1 函数和它的表示法（第一课时）一、教学目标1、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。

2、了解函数与自变量的概念能在某一简单的过程中辨别函数与自变量。

二、教学重点与难点教学重点：自变量与函数的概念。

教学难点：本节范例由于学生知识的限制，对一些量不熟悉，而且涉及一定的物理知识，是本节教学的难点。

对函数概念和函数记号“ ”的理解三、教学过程（一）创设情境：1、大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？2、在日常学习和生活中，我们常要研究一些数量关系：小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x （本）与总金额y （元）的关系式，可以表示为_____________。

（二）合作交流，探求新知：问题1：某地一天内的气温变化如图这张图告诉我们哪些信息？看图回答：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看到，随着时间t （时）的变化，相应地气温T （℃）也随之变化。

问题2:2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率（如下表） 17.1.1()y f x这道题中哪些量是变化的？是如何变化的？问题3: 圆面积s 与半径r 的关系：圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积。

则S 与r 之间满足下列关系：S ＝______。

1、常量与变量的概念：在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量。

在某一变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量。

注意：常量与变量必须存在与一个变化过程中。

判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。

2、巩固概念：指出下列关系式中的变量与常量： (1) (2)(3) (4) 3函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是x 的函数。

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5.1函数与它的表示法(1)
教材分析：
函数的三种表示方法有利于学生理解作函数图象的三个步骤．此外，在图象法的认识中，学生初步学习了从图象中获得信息，为后面的学习做了准备．
学生分析：
函数的初步知识学生在七年级已经学过，本节课在此基础上继续引导学生进一步认识
函数的三种表示方法．
学习目标：
知识与技能：1、通过实例了解函数的三种表示法.
2、能根据三种表示方法的优缺点确定不同的表示方法.
过程与方法：经历探索函数的三种表示方法，进一步发展学生的观察、归纳能力；让学生接
触并解决一些现实生活中的问题．
情感态度和价值观：通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数
学的热情和兴趣，操作活动中，培养学生的合作精神．
学习重难点：
重点：函数的三种表示方法.
难点：根据具体情境确定简单的函数表示方法.
课前准备
教具准备 PPT课件
教学过程：
情景导入：
同学们，你还记得什么是函数吗?
在现实生活中，函数关系是处处存在的．你知道表示函数关系的方法有哪几种吗?你能
举出一些例子吗?
【设计意图】：
教师启发学生说出现实生活中遇到的函数的例子，鼓励学生多发言，使学生意识到函数
其实在我们的生活中是处处存在的．
知识回顾:
1．在某一问题中，保持的量叫常量，可以取的量，叫做变量．
2．函数：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每—个值，y都有______与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量.如果自变量x取a时，y的值是b，就把b叫做x=a时的函数值．
【设计意图】：
回顾七年级所学函数的初步知识有利于本节课的学习．
合作探究一: 函数的三种表示方法
阅读课本第4－5页，“观察与思考”讨论：函数的三种表示方法是什么?
归纳：函数的三种表示方法是图象法、列表法、解析法．
【设计意图】：
学生观察例子后可以小组合作，试着用语言总结函数的表示方法，活动中要注意学生是
否积极参与，培养学生的参与意识．
合作探究二: 函数不同表示方法的特点
小组合作交流，各抒己见，只要有道理，都要给予肯定，这样可以锻炼学生的发散思维．归纳：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，
所以常用来研究函数的性质和变化趋势．不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函值．列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的
函数值．不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值．
解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值．不足之处是不够形象直观，而且不是每一个
函数都可以写出它的表达式．
当堂检测：
1．小明今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃
早餐用了20分；再用10分赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程
的是（）
2．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李
华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信
息可知，下列结论中正确的是（）
A．李华先到达终点B．弟弟的速度是8米／秒
C．弟弟先跑了10米D．弟弟的速度是10米／秒
3．甲，乙两同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知乙比甲先出发．他们离出发地的距离s／km和骑行时间t/h之间的函数关系如图所示，给出下列说法：
A.他们都骑了２０km；
B.乙在途中停留了０.５h；
C.甲和乙两人同时到达目的地；
D.相遇后，甲的速度小于乙的速度．
根据图象信息，以上说法正确的是
4．给出下列说法：①学校到景点的路程为55 km；②甲组在途中停留了5 min；③甲、乙两组同时到达景点；④相遇后，乙组的速度小于甲组的速度．根据图象信息，以上说法正确的有．
5．观察这条曲线，思考下列问题：
（1）从放水开始到放水10s时，饮料瓶内水面下降的高度是多少？从放水后10s到放水后20s呢？
（2）随着放水时间t的逐渐增大，饮料瓶内水面下降的高度L的变化趋势是怎样的？
（3）t每增大10s，L的变化情况相同吗
（4）估计当t=55s，L的值是多少？你是怎样估计的？
（5）你发现在水面下降高度L和放水时间t的变化过程中,L是t的函数吗？哪一个变量是自变量？它们之间的函数关系是如何表达的？
6．小亮步行从家去书店，用一段时间选择自己需要的书籍，然后回家.小亮和家的距离与他离开家之后的时间之间的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：
（1）小亮用多少时间走到书店？小亮家距书店多远？
（2）小亮在书店停留多长时间？回家用了多长时间？
（3）小亮去书店和回家的步行速度各是多少？
（4）小亮从家里走出10分钟离家多远？走出50 分钟离家多远？
课堂小结:
本节课学习了1. 函数的三种表示法.2. 三种表示方法的优缺点
作业:
课本 P.6第1题
板书设计:
5.1函数与它的表示法(1)
函数的三种表示方法
1图象法
2列表法
3解析法
三种表示方法的优缺点。