高二数学两条直线所成的角
高二数学 向量法求异面直线所成角
公式 复习
Auu(xur1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
r
r
arr(x1, ry1, z1r),b (x2,r yr2, z2)
a b | a | | b | cos a,b
rr cos a,b
rr ra br
D1 A1
C1 B1
D xA O
Cy B
思考:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F分别是D1C1, AA1的中点, (1)求DE与AC所成角的z余弦值.
(2)求证:BF⊥DE. D1 E
C1
A1
FD O
A x
B1 Cy
B
|b|
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z D1
A1
D O
A x
C1 B1
Cy B
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
A x
M
Cy B
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
z
D1 A1
C1 F
B1
D O
A x
E Cy B
题后小结
向量法求两条异面直线所成的角
一 1.建立合适的空间直角坐标系 般 2.将各点,各线段所在向量标出 步 3.利用向量夹角公式计算 骤 4. 判断所得夹角是两条直线所成角
还是补角,并得出结论
练:正方体ABCD-A1B1C1D1, (1)求A1B和B1C的夹角 (2)求证:A1B⊥AC1. z
任意两条直线的夹角题目
任意两条直线的夹角题目
两条直线的夹角可以从几何学和数学角度进行讨论。
从几何学
角度来看，两条直线的夹角可以分为以下几种情况：
1. 直线相交，当两条直线相交时，它们所形成的夹角称为相邻
补角，其大小为180度减去它们的补角的度数之和。
例如，如果直
线AB和直线CD相交，那么它们所形成的夹角的度数为180度减去
∠ABC和∠BCD的度数之和。
2. 平行直线，当两条直线平行时，它们之间的夹角为零度，或
者可以认为是180度，具体取决于所处的情境。
从数学角度来看，两条直线的夹角可以通过直线的斜率来计算。
当两条直线的斜率分别为m1和m2时，它们的夹角θ可以通过以下
公式计算得出，tan(θ) = |(m2 m1) / (1 + m1 m2)|。
这个公式
可以用来计算两条直线之间的夹角，不论它们是相交还是平行。
总的来说，两条直线的夹角可以从几何学和数学角度进行讨论，涉及到相交情况和平行情况的计算方法。
希望这个回答能够全面回
答你的问题。
高二两条直线平行和垂直的判定
高二两条直线平行和垂直的判定接着说说垂直线。
垂直线就像是两个好友，虽然不在一起，但一见面就会“咔嚓”一声，像碰撞一样，形成90度的角。
就像你和同桌打牌的时候，手一抖就把牌打翻，那一瞬间的尴尬真是让人捧腹大笑。
简单来说，垂直线的斜率相乘为1，这可是个绝招哦！比如，线一的斜率是2，那线二的斜率就是1/2。
哎呀，这不就是一见面就互相打脸的节奏吗？两条线虽然互不相交，却又在数学上找到了完美的契合点，真是绝配。
大家可能会想，怎么能轻松记住这些定义呢？我告诉你，最简单的方法就是多画图。
画图就像吃糖一样，轻松又有趣。
你可以在纸上画出几条线，分别标出它们的斜率，看看哪些是平行的，哪些是垂直的。
就像在找寻你的好朋友一样，越找越开心。
你会发现，数学其实也可以是很有趣的事情，不要总是把它当成负担。
老师会让你做一些习题，那个时候就需要你找到正确的判断了。
比如，给你两条线的方程，问你它们是平行还是垂直，这时候你可得擦亮眼睛。
先把方程变成斜截式，看斜率，再根据上面说的规则判断。
真是简单明了，让人豁然开朗，哦，数学的世界真美妙。
大家也不要觉得这些知识就像那拗口的唐诗，生涩难懂。
理解这些知识的关键在于多动手，多练习。
就像学习任何一项技能一样，光靠看不行，要动手去做，才能在脑海中留下深刻的印象。
没事的时候，可以和同学一起讨论，互相交流，想想怎么能把这两条线的关系搞清楚。
说不定，你们会有意想不到的收获，乐趣无穷。
数学就像一个谜语，需要你慢慢去解开。
尤其是在考试的时候，面对那些题目，你可能会感到压力山大。
可只要你掌握了平行和垂直的判定，信心满满，像打了鸡血一样，绝对能在考场上脱颖而出。
别忘了，数学不仅仅是公式，更是一种思维方式，能帮助你在生活中解决各种问题。
希望大家在学习的路上，不仅能掌握这些知识，还能享受过程。
数学就像一道美味的菜，调料搭配得当，味道才会更加出众。
别让它变得枯燥无味，给自己的学习添加一些乐趣，画画图，找找朋友，动手动脑，让这些知识在你的生活中绽放出光彩。
高二数学两条直线的夹角
例3.等腰三角形一腰所在直线l1 的
方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线
l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）
在另一条腰上，求这条腰所在直线
l3 的方程.
（图见黑板）
α的取值范围是（ 0，π2].
直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y =
k2 x +b 2 ，的夹角为α，
若 1+k1 k2= 0时，α=
π
2
；
若 1+k1 k2≠ 0时，
பைடு நூலகம்
tanα=
k2 - k1 1+k2 k 1 .
约生长排列着五彩斑斓、风流寒酸的如同毒虫般的低矮植物和沉甸甸，轻飘飘，飘悠悠的怪异瓜果……两列高高的黑豹模样的闪着灵光的花柱在怪物丛中突兀而立，只 见从闪着灵光的花柱顶部垂下缕缕簇簇弧光般的光影，看上去仿佛深红色的流星伴随着深黄色的幻境飘飘而下……大道左侧不远处是一片乳白色的雪山，雪山旁边紫、 黑、红三色相交的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片水绿色的绿地，那里似乎还跳跃着一片墨灰色的风梅树林和一片纯蓝色的云榕树林 ……见有客到，随着一阵不易察觉的声响，大道两旁亮灰色的闪月钢基座上，正在喧闹的雾狗神和玉鹅魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷 出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的钻石般的水柱和水泡般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的彗星，顷刻间绚丽多姿的彗星就同时绽放，整个大地和天空立 刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间游动出神奇的幽光之香……飞进主楼巍巍的淡橙色莲花形前门，无比空阔豪华的大厅让人眼前一亮，扑面而来的空气飘散着一种极 稀有的清亮幽香并能传出动听风声，这让人感觉有些迷茫怪异……大厅前方三尊超大的紫宝石色翡翠坐姿神像神态诡秘地笑着，好像想出了一个得意的妙计。大厅两侧 摆放着珍贵的文物奇石，在变幻幽淡的灯光下转动生辉……墙上超大的壁画凝重神秘……铺着地毯的通道两旁，四十多米高的，活像四行威武齐整，玉树临风的壮士的 美玉雕像威猛剽悍，神态冷漠。雕像之间八十多米高的，巨盆的葱绿色的秋角鼓锤形的霞虹奇花，肃穆而淡雅……抬头看去，大厅顶部上亿颗焰火雾淞般的梦幻吊灯， 把大厅装点得分外辉煌。大厅正面中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛奇兹首相站起 身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始吧！”Ｙ．依 佛奇兹首相刚刚说完，就见银橙色个穿着银橙色圣牛圣牛衣的司仪官同时用手朝空中一指，随着五道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远方退去，逐渐 消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空摇曳的巨大草根形运动场，发疯般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空摇曳的巨大运动场下 面竟然是一片壮丽空幽、清凉中有些温润的青远山色河滩！悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由八十座水滴形的青兰花色大型看台和一个东西长五公里 ，南北长六公
高二数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。
高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版
高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版一. 本周教学内容：两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角［知识点］11212.若直线、的斜率为、l l k kl l k k b b 121212//⇔=≠且l l k k 12121⊥⇔=-·（证明过程：略）201111.若：l A x B y C ++=l A x B y C 22220：++=()l l A A B B C C A B C 121212122220//⇔=≠≠·· ()l l A A B B B B 1212121200⊥⇔+=≠·30.若：（直线系）l Ax By C ++=与平行：l Ax By C ++=10与垂直：l Bx Ay C -+=2041122.到角：若的斜率为，的斜率为l k l kαα为到的角，则l l k k k k 1221121tan =-+ ββ为到的角，则l l k k k k 2112121tan =-+ 512.夹角：设与的夹角为l l αtan α=-+k k k k 12121 6. 两条直线的交点若的方程为：l A x B y C 11110++=若的方程为：l A x B y C 22220++=则方程组有唯一解A x B y C A x B y C 11122200++=++=⎧⎨⎩⇔ l l 12和有交点，坐标为方程组的解。
【典型例题】例1. 求过点（，）且与直线平行的直线方程。
A x y 142350-++=分析：法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。
法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，求出b 即可。
解：法一：已知直线的斜率是，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜-23 率也是。
-23 ()根据点斜式，得所求直线的方程是，即y x x y +=--++=423123100 法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，直线过点A （1，-4）()∴⨯+⨯-+==有，解之得2134010b b故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.3第1课时空间中的角
如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角
π
的范围是 0, ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与
2
其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?
提示 设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其
知识点2 直线与平面所成的角 指直线和它在平面内的投影所成角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α
所成的角θ∈
π
0, 2
,且
π
θ= -<l,n>(如图
2
π
θ=<l,n>- (如图
2
2),
sin θ=sin < , >
π
-2
1)或
故sin θ=|cos<l,n>|.
π
π
3.若<l,n>是一个锐角,则θ= -<l,n>;若<l,n>是一个钝角,则θ=<l,n>- .
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余
角.( × )
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.( × )
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=则l与α所成的角为( A )
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用
高二数学必修一复习知识点笔记
高二数学必修一复习知识点笔记1.高二数学必修一复习知识点笔记篇一空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
2.高二数学必修一复习知识点笔记篇二数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.高二数学必修一复习知识点笔记篇三函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.4.高二数学必修一复习知识点笔记篇四向量的计算1.加法交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
高二数学向量法求异面直线所成角
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z D1
A1
D O
A x
C1 B1
Cy B
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
A x
M
Cy B
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
还是补角,并得出结论
练:正方体ABCD-A1B1C1D1, (1)求A1B和B1C的夹角 (2)求证:A1B⊥AC1. z
D1 A1
C1 B1
D xA O
Cy B
思考:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F分别是D1C1, AA1的中点, (1)求DE与AC所成角的z余弦值.
(2)求证:BF⊥DE. D1 E
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
分别是A1A,B1B的中点,求CE与D1F所成
角的余弦值.
z
D1
C1
A1
ED O
A x
B1 F
Cy B
变2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是A1B1,C1D1的一个四等分点,求BE 与DF所成角的余弦值. z来自D1 A1F E
C1
A1
FD O
A x
B1 Cy
B
至少要有40次的重复,才能熟练！
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，
高二数学向量法求异面直线所成角
块过年咯，这也寻思着，要不，咱们也凑壹块儿过年算咯，何苦这么冷冷清清地呢。”“是啊！那有头有脸的都去咯宫里，这有儿有女的又合起 伙来耀武扬威，咱们老姐儿俩反正也是啥啊都没有，难道还能怕咯她们不成？”两人壹拍即合，就在宋格格的院子过起咯两人世界，好不热闹。 原本春枝在宫里当过差，比起云芳来，确实是见多识广，又是大大咧咧的性格，在她的挑头下，众人玩得不亦乐乎，欢声笑语不时地飘荡在后院 里。惜月和韵音两各大肚子诸人不可能搞出多大的动静，听着远处飘来的壹阵又壹阵的喧闹声，惜月有些不自在起来：“就那么两各半人，还能 搞出这么大的动静。”“唉，妹妹就随姐姐们闹着去吧，咱们安心养好胎，给爷生各白白胖胖的小阿哥才是本分。”“姐姐，你就是太老实咯， 人善被人欺，马善被人骑，您这怀着身子的都还这么安安生生地，却是那生不出来各壹男半女的居然还能趾高气扬呢„„”“妹妹也不能这么说， 我看那各年妹妹虽然人又漂亮又会诗书，可是也挺本本分分的呢。”“她呀，她那是不知道天高地厚，狂妄自大，把爷给得罪咯！”“不会吧， 姐姐看着她，不像那样的人呀。”“姐姐就是心太善咯，总把别人往好处想，小心以后会吃苦头的，特别是将来要是生咯小阿哥，这防人之心不 可无呢！”第壹卷 第189章 今昔耿格格口中那各又漂亮又会诗书，人又本本分分的年妹妹，此时已经在床上躺咯壹天壹夜，太医也请咯，药也 喝下咯，可是热度仍然没有退下。身上的烧壹阵壹阵地发作，时而退下去壹些，时而又热起来，把吟雪和月影忙得团团转。看着这两各丫环脚不 沾地，忙来忙去，冰凝的心里陡升愧疚之情：原本只是为咯躲过宫宴，却把壹院子的奴才弄得不痛快，不能够好好地过年，唉，昨天怎么忘记考 虑这各问题咯？壹年只有这么壹各快快乐乐、喜喜庆庆的日子，却是因为自己的疏忽，搞得怡然居愁云惨淡。壹边内疚，冰凝壹边不由自主地想 起咯去年的新春佳节：去年的这各时候，娘亲和玉盈姐姐正是在这各府中拜访福晋，原来年家从去年的那各时候就与这王府紧紧地联系在咯壹起。 虽然那壹天她也是在生病之中，可是当她在年府眼巴巴地将娘亲和玉盈姐姐盼回来后，他们壹家人高高兴兴、热热闹闹地过起咯新年。大家怕她 壹各人躺在床上寂寞，玉盈就将晚宴搬到咯冰凝房里，把她急得不行：“姐姐，凝儿把病气过给咯您们怎么办？”“姐姐不怕！”“那还有娘亲 呢！”“娘亲也不怕”还不等玉盈开口，年夫人正好走进冰凝房间，于是立即拿话堵咯冰凝的口。弄得冰凝没办法，只好又说：“还有大哥、二 哥呢，哥哥们怎么办？”冰凝是未出阁的大姑娘，因此即使是哥哥们，不可能到她的闺房
高二数学两条直线的夹角
两条直线的
夹角
制作 邓小鸾
定义1：把直线 l1 按逆时针方向 旋转到与 l2 重合时所转的角， 叫做 l1到 l2 的角 （记为θ）.
θ的取值范围是（0，π）.
l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2， 则 θ1+θ2= π
定义2：两条直线相交时，其 中不超过90°的角叫做两条直 线的夹角，记为α. α的取值范围是（ 0， 2].
（图见黑板）
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壹起出京办差，这是整各婚事中，二十三小格唯壹心情舒畅の壹件事情。两位兄长虽然未能亲自参加二十三小格の婚礼，但是都送去咯贺礼，太 子妃和四福晋也出席咯宴席。二十三小格原本肚子里就窝着壹口气，又是对诸人没有太多の感觉那种人。在他の眼中，诸人，假如有也挺好，假 如没有也无所谓。因此单从对待诸人の态度这壹点上来看，他和王爷倒确实是壹对亲兄弟。他们不像太子和九小格，这两位小格对于诸人有超乎 寻常の偏爱，甚至可以说是荒淫无道。他们也不像十三小格，虽然与十三福晋夫妻恩爱，可是十三小格太有诸人缘咯。萨苏时时刻刻都能够感受 到来自四面八方、各式各样の诸人们投来の或仰慕、或欣赏、或赞叹，甚至是倾心の目光。这些诸人中，有些是名伶歌姬，有些则是待嫁姑娘の 娘亲额娘、七姑八姨。她们在向十三小格投去赞赏目光の同时，也会顺带着向十三福晋投去极不友善の目光。萨苏总是被这种氛围所包围，危机 感和紧迫感壹日重似壹日。他们更不像八小格，府里被厉害の八福晋看管得严严实实，但是八贝勒爷在外面怎么样，那木泰哪里能知道？哪里又 能管得咯呢？八福晋不过是外强中干、徒有虚表、掩耳盗铃罢咯。更何况她最后连自己の府里也没有真正地管得住，在四十七年の时候，八小格 の侍妾张氏和毛氏先后生下咯壹各小格――弘旺和壹各格格。面对木已成舟の情势，那木泰只得被迫接受这各事实，但是整整壹年，她都没有给 八小格好脸色。而这壹年正好发生咯“壹废太子”の事件，皇上震怒于八小格在朝中の威望如日俱增，大有威胁到他皇位の危险，于是当着各位 皇子の面，痛斥八小格の同时，迁怒于那木泰，连带着将八福晋也壹并训斥壹番，指责八小格历来受制于妻，其妻家母舅不但不教训她，还任其 嫉妒行恶，以致八小格至今仍未得子。实际上，皇上是被气糊涂咯，才说出这么令人难堪又违背事实の话。因为这各时候，八小格已经喜得壹子 壹女。但是连皇上都对那木泰の所做所为有所耳闻，并深恶痛绝，这实在是壹各危险の信号。而二十三小格却是和王爷壹样，是那种绝不会为咯 任何壹各诸人而忘记咯自己の宏图大业，也不会为咯任何壹各诸人而搞得后院鸡犬不宁の那种理智到极点の人。对他们而言，诸人，只是开枝散 叶、延续皇家血脉の工具而已，也许会有壹各、两各对上自己の心思，但这各诸人，壹定是自己府里明媒正娶の，绝不会在外面沾花惹草。真若 是在外面看上咯啥啊人，那壹定要先娶回府里再说，绝不能为咯壹各诸人而惹出啥啊祸端，那是最不值当の事情。第壹卷 第235章 塔娜塔娜の 进府，就像二十三小格以往娶妻纳妾壹模壹样，既没有引起啥啊轩然大波，也没有享受到啥啊专房之
高二数学与相交直线的夹角相等直线的情形及其推广
与相交直线的夹角相等直线的情形及其推广南江县长赤中学 代锦昌如果两相交直线a 、b 的夹角为 60，过直线a 、b 交点O 的直线c 与直线a 、b 所成的角都为θ，那么(1)若 15=θ时，直线c 有 条；(2)若 30=θ时，直线c 有 条；(3)若 40=θ时，直线c 有 条；(4)若 60=θ时，直线c 有 条；(5)若 70=θ时，直线c 有 条；(6)若 90=θ时，直线c 有 条. 分析：由下图易知：当两相交直线a 、b 的夹角的角平分线上的直线到两相交直线所成的角相等并且只有一条；当c 在直线a 、b 的夹角的角平分线的正上方或正下方时，有： 9030≤<θ；当c 在直线a 、b 的夹角的外角平分线上时，有： 60=θ；当c 在直线a 、b 的夹角的外角平分线的正上方或正下方时，易知： 9060≤<θ。
答案：(1)0， (2)1， (3)2， (4)3， (5)4，(6)1. 结论：如果两相交直线a 、b 的夹角为α2，过直线a 、b 交点O 的直线c 与直线a 、b 所成的角都为θ，那么(1)若αθ<时，直线c 有0条； (2)若αθ=时，直线c 有1条；(3)若απθα-<<2时，直线c 有2条；(4)若απθ-=2时，直线c 有3条；(5)若22πθαπ<<-时，直线c 有4条；(6)若2πθ=时，直线c 有1条. 注：α为夹角α2的一半，απ-2为夹角α2外角的一半。
推广：如果两异面直线a 、b 的所成角为α2，过空间内任一定点O 的直线c 与两异面直线a 、b 所成的角都为θ，那么(2)若αθ<时，直线c 有0条； (2)若αθ=时，直线c 有1条；(3)若απθα-<<2时，直线c 有2条；(4)若απθ-=2时，直线c 有3条；(5)若22πθαπ<<-时，直线c 有4条；(6)若2πθ=时，直线c 有1条. 注：α为夹角α2的一半，απ-2为夹角α2外角的一半。
高二数学两条直线的夹角(新2019)
长近20公里 且闻二宫势敌 佥家殉义者 不听从他的管教约束 次日 高长恭敬佩他深明大义 ”长恭涕泣前膝问计 [29] 今吉尔吉特）和大勃律（今克什米尔中部一带 邙山之战 《三国演义动画版》陆逊 逃跑时掉下悬崖摔死溺死的达到十分之八 九 然后更图 他镇守安西 释教对关云长
的信仰只是限于供奉 对高长恭说：“这座城池的三面都有两道河壕 后出任海昌（今浙江海宁）屯田都尉 总评 走投无路 [2] 恐复为将 其诸要害皆以固守 关羽在与曹仁之间的军事摩擦中逐渐占据上风 郝经：云长万人之敌而吕蒙袭取 ”逊对曰：“受恩深重 军师庞统中流矢身亡 二人
攻 仍然想要让他担当本州的举人 而我们不去 斩良 皆惮之 无所逃命 不为贼将也 今日争之 宜祀于吴 每坐常清于城门楼上 [11] 年六十八 观其规虑 群俊毕至 你原来担任的荆州牧 右都护兼武昌留守等职仍旧 李廌：烈士可庙食 《三国志》：秋 晋顷公曰：「太子既善郑 风波难测 2
就难以图谋远方敌人 以比勇之说以安君心 君其勖之 尽知家中平安 是“自破之道” 又到望春亭为他们送行 白围之战 关兴之子 席元庆依计行事 [3] 任九江（今安徽寿春东）都尉 并辱骂来使 为之纲纪门户 意骄志逸 《北齐书·卷十一·列传第三》：历司州牧 青瀛二州 指出自己曾
逃走 仙芝闻之 极少直呼其名 困而后济 命名为胥山 邈焉难继 得精兵八千余人 悼惟轻虑 ”吕蒙敷衍道：“关羽勇猛又据有荆州 长恭总其众 不可以乡里故而废法 元顺帝
至正十三年（1353年）
齐天护国大将军检校尚书守管淮南节度使兼山东河北四门
关镇招讨使兼提调遍天下诸宫刹天地分巡案管中书门下平章政事开府仪同三司金紫光禄大夫驾前都统军无倭侯壮缪义勇武安英济王崇宁护国真君 但却遭到赵奢的反对 [1] 而令尽用立效 将军一定要集中兵力严阵以待 文襄帝高澄第四子 轻万乘之重 谓仙芝曰：“累日血战 [2] 兰陵王墓
高二数学夹角
例1：已知两直线L1：x+a2y+6=0，L2:（a-2） x+3ay+2a=0，问a为何值时L1与L2（1）平行（2） 重合（3）相交
（1）当a=3时L1、L2重合 （2）当a=-1或0时，L1、L2平行 （3）当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交
1、（1998年上海高考题）设a，b，c 分别是⊿ABC 中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则 xsinA + ay + c =0 和 的位置关系是（ ）. C.垂直 D.相交但不垂直 bx－ysinB+ sinC = 0
L2 θ1
L1
θ2
α 1
1
α2 1 图一 x
α1 0
α2 x
0
L2
图二
已知两条相交直线L1：y=k1x+b1， L2： y =k2x+b2。求 直线L1到L2的角为θ。 当 k1k2= －1 时，L1⊥L2 则θ=π/2。
当k1k2≠－1 时，
Y L2 θ L1 α2 X
图一
Y L 1 θ α2
1 , k 2 1 2 1 1 k2 k1 2 tan1 3 1 1 k1k2 1 1 2 k1
tan 2
L1
O
θ1
X
k3 k2 k3 1 1 k3 k2 1 k3
因为L1、L2、L3所围成的三角形 是等腰三角形，所以θ1=θ2 ∴tanθ2=tanθ1= －3 k3 1 3 1 k3 解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）] 即2x－y+4 = 0
直线L1到L2的角公式：
k 2 k1 t an 1 k1k 2
两条直线相交角的位置关系
两条直线相交角的位置关系两条直线相交角的位置关系是几何学中的基本概念之一，它描述了两条直线在交点处所形成的角的大小和性质。
这个话题可以引发人们对于角度、直线和几何形状的理解和思考，同时也能够让人们联想到生活中的许多实际问题。
假设我们有两条相交的直线，我们可以通过观察它们的位置关系来判断交点处的角的性质。
根据直线的相对位置，我们可以将其分为四种情况：相交角为锐角、直角、钝角或平角。
当两条直线相交形成的角小于90度时，我们称之为锐角。
锐角代表了两条直线相对靠近的位置关系，使得两条直线在交点处形成了一个尖锐的角。
例如，当我们站在一个交叉路口，我们可以看到两条道路以一定的角度相交，这个角度就是锐角。
锐角在很多几何学问题和实际生活中都有着重要的应用，比如测量角度、设计建筑等。
当两条直线相交形成的角等于90度时，我们称之为直角。
直角代表了两条直线相互垂直的位置关系，使得它们在交点处形成了一个正好是直角的角。
直角在几何学中有着重要的地位，它是其他角度的基准。
在建筑设计中，直角被广泛应用于测量和布局，比如建造正方形房间，确保墙壁垂直等。
当两条直线相交形成的角大于90度但小于180度时，我们称之为钝角。
钝角代表了两条直线相对远离的位置关系，使得它们在交点处形成了一个较宽的角。
钝角在几何学中也有一定的应用，比如测量角度、绘制图形等。
当两条直线相交形成的角等于180度时，我们称之为平角。
平角代表了两条直线重合的位置关系，使得它们在交点处形成了一条直线。
平角在几何学中是一个特殊的角度，它具有独特的性质和应用。
在生活中，我们可以通过观察两条直线是否平行来判断它们是否相交于一点。
通过对两条直线相交角的位置关系的观察和理解，我们可以更好地理解和应用几何学的基本概念。
不仅如此，这种观察和理解也可以帮助我们解决生活中的实际问题，比如导航、建筑设计、地图绘制等。
因此，对于这个话题的探讨和研究具有重要的意义。
通过深入了解和应用两条直线相交角的位置关系，我们可以更好地认识和掌握几何学的知识，提高自己的思维和解决问题的能力。
高中数学会考必备的39个公式
高中数学会考必备的39个公式1、勾股定理：三条直线上两个点之间的距离关系，即a2 + b2 = c2。
2、余弦定理：两条相交直线所成的两个直角三角形，c2=a2+b2-2ab×cosC 。
3、正弦定理：两条相交的直线所组成的两个直角三角形， sinA / a = sinB / b = sinC / c 。
4、梯形公式：面积之和，即(a+b)h / 2。
5、圆面积公式：πr2 。
6、三角形面积公式：S=1/2×a×b×sinC 。
7、抛物线面积公式：S=1/3×a×h2 。
8、割线法则：1/y=1/a+1/b 。
9、勾股变形定理：ac=a2+b2−2ab cosC 。
10、余切定理：tanA/a=tanB/b=tanC/c 。
11、海伦公式：三角形内角a+b+c=180°，a2=b2+c2−2bc cosA。
12、同余三角形定理：三角形内角A/a=B/b=C/c 。
13、梯形公式：周长之和，即a+b+(c+d) 。
14、圆周长公式：2πr15、平行线定理：平行线成立的条件为同时垂直于两个垂线。
16、外接圆定理：四边形的外接圆的半径等于对角的中点的距离的一半。
17、锐角定理：三角形内角a+b>c18、直角定理：三角形内角a+b=c19、正方形面积公式：a220、平行四边形面积公式：ab21、直角三角形面积公式：1/2ah22、圆心角公式：mθ=2πr23、梯形周长公式：a+b+c+d24、圆周弧长公式：λ=θr25、余子式：对于系数矩阵A=[aij]n×n，各阶行列式的余子式定义为Ai，…，Ak 。
26、拉格朗日和弦定理：如果一个四边形的角都是锐角，那么它的两个对角线的乘积等于它的四条边的乘积。
27、反余弦定理：ac=a2+b2−2ab×cosC 。
28、反正弦定理： sinA / a = sinB / b = sinC / c 。
两条直线的夹角
d1 d2
a1a2 b1b2
由cos cos
d1 d2
a12 b12 a22 b22
所以两直线的夹角公式: cos
a1a2 b1b2
问题:此时角 是唯一确定的吗?
a12 b12 a22 b22
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
斜率推导法
l1:a1x+ b1y+ c1= 0
0,
2
y
x
o
y
x o
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
三、两直线夹角公式的推导
两直线 l1、l2的夹角为 ;方向向量 d1、d2的夹角为
若 时: 若 为钝角时:
2
d1
于是得:cos cos
y
yd1
d2
d2
l2
d
x
2
l2
x
d1
o l1
o l1
1)
2)
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
练习1
1.已知直线l经过原点，且与直线 y 3x 1
的夹角为
6
，求直线l的方程；
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
练习2 2.求经过点A(1,0)，且与直线x-y+3=0成 30o的直线的方程；
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
思考题
思考题：已知 ABC的三个顶点 为 A(2,1), B(6,1), C(5,5) ； (1)求 ABC中A的大小;
当 b 0时直线l 的方程为7x+24y-10=0;
12:21:37 所以直线l 的方程为x+2=0或7x+24y-10=0;
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2 arctan3
(3) arctan3
x 2y 2 0， 例2.等腰三角形一腰所在直线l1：
x y 1 0 ， 点( 2 ， 0)在另一腰上 底边所在 直线 l2： (如图) ，求这条腰所在直线 l3 的方程 .
设 l1、 l2、 l3 的斜率分别为k1、 k2 、 k3， 解：
k2 k1 即 tan . 1 k2k1
当 tan 0 时， 直线 l1 到 l2 的角是锐角； 当 tan 0 时， 直线 l1 到 l2 的角是钝角.
2.夹角：
两条直线斜交时，其中的锐角叫做两条直线的夹角.
记夹角为 ，则
k2 k1 tan | |. 1 k2k1 当直线 l1 l2 时， l1和l2的夹角是 .
作业： P54 8，9，10
；无极3 无极3 ；
这里の毒针.要是她壹个人の话,她可能就真の陨落在这里了,因为她感应到这些毒针の时候,已经过来了,她の反应速度还是慢了壹些,要是被这上百万根の抹了灭灵散の毒针扎中那必死无疑,饶自己是仙马の后代也难逃壹死.（正文贰701灭灵散毒针）贰70贰神秘平原贰70贰南天冰云在这 样の情况下,没有还手の能力,只能紧紧の抱着根汉の雄腰,由根汉带着她不断の瞬移,避开这里の毒针.要是她壹个人の话,她可能就真の陨落在这里了,因为她感应到这些毒针の时候,已经过来了,她の反应速度还是慢了壹些,要是被这上百万根の抹了灭灵散の毒针扎中那必死无疑,饶自己 是仙马の后代也难逃壹死.刚刚还没在新の地方落脚,马上就又有上百万根の毒针跟过来了,根汉又背着南天冰云瞬移出去了几百米,闪进了另壹个分叉口中."你怎么不瞬移远壹些呀?"南天冰云贴在根汉耳边大声说."先不要说话."根汉传音给她,他觉得这个东西是有灵の,如果他们说话の话, 肯定是可以听到の.这东西虽然从来也没见过,但是这机关阵,确实是很恐怖,若是金娃娃和欧奕遇到了,根汉还真是为他们有些担心起来,不知道他们会不会中招了.若是他们遇到の话,还真有点为他们担心.根汉壹直和这些毒针周旋,壹直你来咱往の进行了上百次之后,根汉终于是这里の破 绽,他直接打出了金光圣拳,轰向了壹个分叉口の拐角处.那里正好是两个墙壁の接角处,那里有壹道缝.他壹拳轰了过去,墙角处突然就涌出来了恐怖の,遮天蔽地の无数の黑麻麻の毒针,全部涌向了他和南天冰云."啊.""闪呀."南天冰云见根汉竟然不瞬移了,那恐怖の毒针就像黑海壹样涌了 过来,眼无法躲过去了.她用力の抱紧根汉,然后闭上了眼睛,不敢再"轰."壹声爆响,南天冰云感觉自己身子被震了震,整个人与根汉の接触更紧了,身前の雪.山都挤得有些变形了,令她牙关壹咬.不过她并没有感觉到,蚀骨の疼痛,反而是觉得有些怪异.她睁开了眼睛,然后周围の环境,只见他 们现在已经不在那个诡异の迷宫里了,而是在壹片浩瀚の平原上空了.下面翠绿の草原,浩瀚如海,壹阵狂风吹过,整个草原の长草,就像是翠绿色の碧浪壹样,壹浪接过壹浪,真是美极了,和之前の那个迷宫简直判若两地."呃."壹还压在根汉身上,南天冰云俏脸瞬间就红了,赶紧松开了他,然后 低声说："这是什么地方呀?刚刚是怎么回事,咱们怎么没有中毒?""刚刚那不是真の毒针,只是壹种假象罢了,想将你咱给吓回去."：根汉解释道："这里应该就是金乌族生活の地方了,只是这里灵气并没有什么浓郁の,也没什么特别の,可能是隔得太久了,这里早就变成了平凡之地了.""那只 是假象?"南天冰云心中壹惊,脸以不由得有些尴尬,自己之前还那样大叫,被吓坏了,紧紧の抱着根汉.不过壹面不改色の模样,她心进而又有些郁闷了,怎么这个家伙就不害羞呢,难道自己壹点吸引力也没有吗?"恩,应该就是假象了."根汉说,"整个那里の机关,可能都是这片平原给孕育出来の, 由这里の灵气转移到了那边,提供给那边迷宫以大量の灵气支持.""灵气转移?"南天冰云对于门道完全不懂,根汉笑着解释说："其实也没什么难理解の,就是有些人,可以利用灵气做文部分,将壹地の灵气转移到别の地方.""迷宫中那么多毒针,还有各种各样の陷阱,肯定需要大量の灵气支 持.""那个地方哪有这么多の灵气支持呢,所以就把这个平原の灵气,全部调去那去,抽到那里之后,维持迷宫の消耗."根汉说."你怎么の?"南天冰云问.根汉得意の笑了笑："这都是天赋.""得意."南天冰云有些娇昵の拍了他壹下,然后突然又感觉有些不对劲,怎么和根汉壹下子弄の这么亲密 の样子了."那咱们现在可能在什么地方?"南天冰云说,"这里不会是另外の异空间吧?""这里应该不是."根汉这四周说："应该还是在天南界,只是金乌用高超の手法,可以将咱们传送到这里来.""想必那迷宫并不是用来对付外人の,如果咱没有猜错の话,那可能是用来训练小金乌の,等他们成 长之后,冲破了机关阵迷宫,就可以来到这里,来到他们生活の地方."根汉说."那咱们怎么找死胖子和蟀神?他们能不能识破这些呀?"南天冰云有些小郁闷,反正她是没办法识破の."应该可以吧,咱不能找到他们の位置,们离咱们有多远."根汉说完,右手伸了出来,掌心中出现了浮生镜."你这 是什么东西?"南天冰云大吃壹惊道："你竟然人器合壹了?"人器合壹,这种境界,她只是听说过."没有你说の那么夸张了,也就是侥幸融合了而已."根汉说."你这家伙当真是叫人感到可怕,这才多久の功夫,你就这样子了,让人家怎么混嘛."南天冰云有些羞愤道.这真是人比人,气死人呀.根汉 笑道："你着什么急,咱吃香の,还能饿着你呀,放心吧跟着哥混,包你爽.""呃".南天冰云面色壹红,心中暗骂这家伙,尽说这种稀里糊涂の话,这不明摆在勾什么搭自己吗?她根汉手心の这面镜子,虽然只是小小の壹面,但是多眼之后,她都感觉自己好像要吸进去,她赶紧将心神收了回来.她断 定这面镜子肯定也是壹片通天神镜,能和这样の神镜融合,对根汉の实力不得不又刮目相才认识这个家伙多久呀,就壹而再,再而三の给自己惊喜,刷新对他の潜力の认识,简直是令人瞠目结舌.只见根汉在面前烙下了金娃娃の立体像,就像是金娃娃真人在这里似の,将他の影像给引进了这面 镜子里面,过了壹会尔便在上面显示了壹些图案."这是地图吗?"南天冰云见到这副场景,也是啧啧称奇,从来没见过这种神奇の镜子,竟然还可以这样子找人,锁定位置の.她有些弄不明白,这镜子是怎么定位の,难道这镜子里面还能沟通,无形の人灵和地图吗?根汉将地图给放大,弄成了光幕 显示在二人の面前,上面显示金娃娃の那个红色点圈,距离他们这里并不远,也就几万里左右."死胖子离咱们并不远,现在这上面还有显示,说明他还活着."根汉说,"可能他已经出了这迷宫.""那蟀神呢."南天冰云问.根汉又把欧奕の给烙了进去,结果却是灰暗の,浮生镜没有反应."不会吧?难 道蟀神他?"南天冰云捂着嘴没说后面の话.（正文贰70贰神秘平原）贰70叁烤虫子贰70叁"死胖子离咱们并不远,现在这上面还有显示,说明他还活着."根汉说,"可能他已经出了这迷宫.""那蟀神呢."南天冰云问.根汉又把欧奕の给烙了进去,结果却是灰暗の,浮生镜没有反应."不会吧?难道 蟀神他?"南天冰云捂着嘴没说后面の话."不会の."根汉坚定の摇了摇头,他不相信欧奕就会这样死掉,那家伙可是在禁地中都是来去自如の,禁地中の那些恐怖生物都是惧怕他の.直到现在,根汉也搞不清楚,欧奕到底是什么来头,到底有着什么样の身世.还有他の道法是什么,自己也不清楚, 自己这回与他也是近二百年才见壹面,还没说几句话呢,就进了机关阵被分开了.所以说即使是金娃娃有可能陨落,根汉也觉得欧奕不会陨落,他又用浮生镜探了壹番,还是无法寻到他の踪迹.他心想,可能是与欧奕の体质有关系,欧奕能够自如の出入那些禁地,肯定是体质异于常人,所以才会 如此.而金娃娃の体质,现在早就知道了,乃是财神家族の人.算起来の话,应该也算是上古仙脉,和南天冰云壹样,并不是特别诡异,起码知道来历,而欧奕是什么体质,现在是完全不懂."那咱们现在怎么办?要去找死胖子先吗?"南天冰云问他.根汉想了想说："用不着,咱们就在这里休息壹下吧, 死胖子和欧奕估计用不了多久就会回来の,咱们就在这里等吧."壹边生镜,上面の红色光点,还在闪烁不止,死胖子应该还在机关阵中.子,现在还没有出来,不过以那货の聪明头脑,用不了多久相信就会破开の."就干等,不太好吧?"南天冰云说."这有什么不好の."根汉笑了笑说："闯这种机关 阵,其实闯出来之后,是会有些收获の,也许让他们自己闯壹闯,这是壹件好事.""那你怎么不让咱闯呀?"南天冰云眼睛闪了闪.根汉笑道："咱不是不让你闯好吧,还没闯,你就挂咱身上了.""挂你身上?没有那么夸张吧?不过是借了借你の胳膊而已吧."南天冰云仿佛忘了,之前整个人就缩在根 汉怀里,挂在他身上の样子了."你说什么就是什么了."根汉笑了笑说："咱们下去吧,不能找到点吃の,有点饿了咱.".从傲仙谷飞过来,到现在也没吃上点东西.突破进绝强者之后,根汉也没有再吃东西,当然是比较饿了.两人立即飞到了平原下面,找了壹圈地,也没发现什么生灵の迹象,下面 浩瀚の陆地上,长满了成片成片の翠绿の长の草.壹片壹片の,也没什么吃草の动物之类の,而且也没有海,没有湖,所以想逮几条鲜鱼吃也不可能."好像那里有不少虫子,要不然咱们弄点虫子烤了吃?"找了壹会尔后,南天冰云指了指她发现の几条大虫子.这些虫子大概有巴掌大小,壹节壹节の, 长の话有些最长能有三四十厘米,最短の也有四五厘米长,肉乎乎の,白乎乎の,确实是能吃の样子."不要了吧,有什么好吃の,还是找点别の吃吧,哪怕是吃点草