高数辅导讲义(4)

第三章 一元函数积分学

§3．1 不定积分

甲 内容要点

一．基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间

I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()⎰dx x f 。其中⎰称

为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设

()()C x F dx x f +=⎰，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。

则（1）()()C x F dx x F +='⎰

或 ()()⎰

+=C x F x dF （2）

()[]()x f dx x f ='⎰ 或 ()[]()dx x f dx x f d =⎰

（3）()()⎰

⎰

=dx x f k dx x kf （4）

()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f

3．原函数的存在性

设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如()

⎰dx x 2sin ，()

⎰dx x 2

cos ，

⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，dx e x ⎰-2

等。被积函数有原函数，

但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

二．基本积分公式

1．C x dx x ++=

⎰+1

1

ααα

()，实常数1-≠α 2．

⎰+=C x dx x ln 1

3．⎰+=C a a

dx a x x

ln 1 ()1,0≠>a a

C e dx e x x +=⎰

4．⎰

+=C x xdx sin cos 5．⎰

+-=C x xdx cos sin

6．C x dx x xdx +==

⎰⎰tan cos 1

sec 22

7．C x dx x

xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2

2

8．C x xdx x +=⎰

sec sec tan 9．C x xdx x +-=⎰

csc csc cot 10．C x xdx +-=⎰

cos ln tan 11．C x xdx +=⎰

sin ln cot 12．C x x xdx ++=⎰

tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=⎰

cot csc ln csc 14．

⎰

+=-C a

x

x a dx arcsin

2

2 ()0>a 15．

C a

x

a x a dx +=+⎰arctan 122 ()0>a 16．

C x a x a a x a dx +-+=-⎰ln 2122 ()0>a

17．

C a x x a x dx +±+=±⎰

222

2ln ()

0>a

三．换元积分法和分部积分法

1．第一换元积分法（凑微分法） 设

()()C u F du u f +=⎰，又()x ϕ可导，则

()[]()()[]()()

()du u f x u x d x f dx x x f ⎰⎰⎰=='ϕϕϕϕϕ令

()()[]C x F C u F +=+=ϕ

这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。

常用的几种凑微分形式：

（1）

()()()⎰⎰++=

+b ax d b ax f a

dx b ax f 1

()0≠a （2）()()()

⎰

⎰++=+-b ax d b ax f na dx x b ax f n

n n n 11 ()0,0≠≠n a

（3）()()()x d x f x dx

x f ln ln ln ⎰

⎰=

（4）

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰

x d x f x dx x f 1112 （5）

()()()⎰⎰=x d x f x dx x f

2 （6）

()()()⎰⎰=

x

x x x a d a f a

dx a a f ln 1 ()1,0≠>a a ()()()⎰⎰=x

x x

x

e d e

f dx e e f

（7）()()()⎰⎰=x d x f xdx x f sin sin cos sin （8）()()()⎰⎰-=x d x f xdx x f cos cos sin cos （9）

()()()⎰⎰

=x d x f xdx x f tan tan sec tan 2

（10）()()()⎰⎰-=x d x f xdx x f cot cot csc

cot 2

（11）()()()⎰⎰=x d x f xdx x x f sec sec tan sec sec （12）

()()()⎰⎰-=x d x f xdx x x f csc csc cot csc csc

（13）

()()()

⎰⎰

=-x d x f dx x

x f arcsin arcsin 1arcsin 2