高数辅导讲义(4)
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第四章解答
其特征方程为 (r 1)2 (r 1) r3 r2 r 1 0 ，故应选（B）.
4.【解】应选(A). 特征方程为 r 2 1 0, 则 r1,2 i, 则特解形式为 y ax2 bx c x( Asin x B cos x).
5.【解】应选(D).由 y C1ex C2e2x xex 为方程的解知, r1 1, r2 2 为两个特征根, 特 征方程为 (r 1)(r 2) r 2 r 2 0 ,正确选项只可能是(C)或(D),将 y xex 代入(D)中的
（5）
联立（5）式和（4）式消去 C1 得
(2x x2) y (x2 2) y 2(1 x) y 6(1 x)
20.【解】将 y 与 x 对调, y
1 x
,
y
(
x x ) 2
1 x
(
x x)
3
代入原方程得 x x e2 y ，则其通解为
又已知有公共切线，得 y 1, y 1，
x0
x0
即 C1 C2 1, C1 2C2 1. 解得 C1 1, C2 0 . 所以 y (1 2x)ex .
19.【解】 y2 y1 x2, y3 y1 ex 为齐次方程的两个线性无关的特解，则所求方程通解为
y C1x2 C2ex 3 。
y C1x2 C2ex 3
（1）
（1）式求导得 y 2C1x C2ex
（2）
再求导得
y 2C1 C2ex
（3）
(3) (2) 得 y y 2C1(1 x)
（4）
(1) (2) 得 y y C1(x2 2x) 3
高等数学辅导讲义
第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e xϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设1,1,()0,1,(),1,1,xx f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ,并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim nn xa→∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N+∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim nn n n xa yb →∞→∞==那么(1)()lim nn n xy a b →∞±=±;(2)lim nn n xy a b→∞∙=∙;(3)当0()nyn N +≠∈且0b ≠时,limn n nx a y b→∞=.例3 若 lim nn xa→∞=,则 limn n x a→∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)nnx =-, 显然1limn n x →∞=,但数列(1)nnx=-没有极限。
09考研高等数学强化讲义(第四章)全
新东方考研高等数学电子教材主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。
根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听 老师的讲解效果会更好。
严禁翻印、在网上任意传播！第四章 常微分方程§4．1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1．常微分方程和阶 2．解、通解和特解 3．初始条件4．齐次线性方程和非齐次线性方程例1．x y e xy y xsin '3''=++为二阶、线性、非齐次方程，如果要求0)0(',1)0(==y y ，这就是初始条件，从而得到特解。
例2．xe y y yy =++sin )'(''2为二阶非线性方程二、变量可分离方程及其推广 1．()()()()0≠=y Q y Q x p dxdyC dx x p y Q dy+=⎰⎰)()(2．齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令,u x y =则,,dx du x u dx dy xu y +==代入后得 )(u f dxdu x u =+，则C x C xdxu u f du +=+=-⎰⎰ln )(三、一阶线性方程及其推广 1．()()x Q y x P dxdy=+ 通解])([)()(C dx e x Q e y dxx p dx x p +⎰⎰=⎰- 2．()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy（数学三不考，数一、二要考） )()(1x Q y x P dxdy y =+--αα )()(1111x Q y x P dxdy =+---ααα令z y=-α1 则为一阶线性方程四、全微分方程及其推广（数学一） 1．()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，满足yPx Q ∂∂=∂∂ 2．()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，y P x Q ∂∂≠∂∂但存在()y x R ,，使()()yRP x RQ ∂∂=∂∂五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1．求dxdyxy dx dy xy =+22的通解。
(完整word版)高等数学辅导讲义
第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞→∞==那么(1)()lim n n n x y a b →∞±=±;(2)lim n n n x y a b →∞•=•;(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,limn n n x a y b→∞=.例3 若lim nn xa →∞=,则lim nn xa →∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞=,但数列(1)n n x =-没有极限。
(完整版)考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
12 四、基本积分表 （1）kdx （2）dxx （3）xdx （4）dxax ；dxex （5）21xdx （6）21xdx
持之以恒，厚积薄发
13 （7）xdxcos （8）xdxsin （9）xdxdxx22seccos1 （10）xdxdxx22cscsin1 （11）xdxxtansec （12）xdxxcotcsc
持之以恒，厚积薄发
23 （5）dxxx21； （6）xdxtan； 【答案】（5）()322113xC； （6）ln|cos|xC
第四章 不定积分
24 （7）)ln21(xxdx； （8）xdxx52cossin； 【答案】（7）ln||1122xC； （8）sinsinsin357121357xxxC
第四章 不定积分
44 2211=()dxdxaxbxcaxhk公式求解 =2222(2)221ln||22mmbaxbnmxnaadxdxaxbxcaxbxcmmbaxbxcndxaaaxbxc
持之以恒，厚积薄发
45 【例1】求下列不定积分 （1）2239dxxx ； 【答案】（1）21ln|23|ln|3|99xxC
第四章 不定积分
46 （2）322xxdx Caxaxadxarctan122； 【答案】（2）11arctan22xC
持之以恒，厚积薄发
47 （3）2(31)23xdxxx； 【答案】（3）231ln|23|2arctan22xxxC
第四章 不定积分
48 （4）321xdxxx 【答案】（4）212321arctan233xxxC
持之以恒，厚积薄发
3 原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。 【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）是初等函数 【答案】（C）
高等数学ch04第4讲
1
x
a
dx a
a
ln
x
a
c
2
x
a a
n
dx
1
a
n
x
a 1n
c
3
mx x2 px
n
dxp
q
2
4q
0
4
x2
mx n px q
n
dxp
2
4q
0
第三种情形举例说明
例4：求
x
2
x1 x
2
dx
解：原式
1 2
2x x2
1 x
dx 2
3 2
x2
1 x
dx 2
1 ln x2 2 1 ln x
x
dz a2
然后用递推公式求结果
n
例5：求
x
x1
1x
2dx
解：令
x
x1
1x
2
x
a
1
x
b
2
即x 1 ax 2 bx 1
令x 1得a 2，令x 2得b 3
原式
2 x1
x
3
2
dx
2ln x 1 3ln x 2 c
例6：求
1
1 x
3
dx
解：令 1 a bx c 1 x3 1 x x2 x 1
1 t2
t2t 2
dt
1 t2 1 t2
1 2
1
t
tdt
1 2
1 t
1dt
1 ln t
2
t
c
1 2
ln
tg
x 2
tg
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
大学数学(高数微积分)第四章矩阵第四节(课堂讲义)
引例 逆矩阵的定义 矩阵可逆的条件 可逆矩阵的性质 克拉默法则的另一证法 矩阵乘积的秩的性质
一、引例
二、逆矩阵的定义
1. 可逆的定义
定义 10 n 级方阵 A 称为可逆的，如果 级方阵有Bn，使得
AB = BA = E ,
(1)
这里 E 是 n 级单位矩阵.
定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称 的逆矩为阵A，记为 A-1 .
|A*| = |A|n-1.
2),
证 由于 AA* = A*A = |A|E , 所以
|A| |A*|) |A| 0, 即 A 可逆, (4) 式两端除以 |A| 即
得
|A*| = |A|n-1.
(2) |A| = 0, 且 A = O, 则 A* = O, 结论显然成 立.
的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？
为此先引入伴随
矩阵的概念.
1. 伴随矩阵
定义 12 设 Aij 是矩 阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
A11 A21 An1
| AA-1 | = | A | | A-1 | = | E | = 1 ,
因而 | A | 0，即 A 非退化 .
定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件，同时 也给出了求逆矩阵的公式 (4) ，用公式 (4) 求逆矩
阵的方法叫伴随矩阵法.
下面利用伴随矩阵法求逆阵.
证毕
例 １ 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
而
2 2 3 A2E 1 1 0,
1 2 1
安徽专升本 高数讲义 第二章导数与微分第四讲
4
(2) y x e x x e x
e x xe x 1 x e x
y 1 x e x 1 x e x
e x (1 x )e x 2 x e x
(3) y arctan x
x
y e x sin( x y ) x
x x y e y e cos( x y ) x y 1
y e x y e x cos( x y) x y 1
y e x y e x cos( x y ) y cos( x y ) 1
1 1 x2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
2. 设
y a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an , 求y ( n ) .
解 y' na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 (n 2)a2 x n 3 an 1 ,
y 0 2e0 cos0 2
作
业
一、计算下列各函数的二阶导数：
1. 2 x3 x 4 y x
2. y x arctan x
1 1 1 3. y x 3 3 3 1 3 x 3 3 x 3 9 x 二、计算下列各函数的n 阶导数：
可导，并且：
y f ( u( x )) f ( u) u( x )
隐含数求导法则:
（ 1） 方程两边关于 x 求导，求导过程中把 y 看作
中间变量，得到一个关于 y的方程。
(2) 从上述方程中解出 y
高中数学第4章导数及其应用课堂讲义配套课件湘教版选
3．定积分的概念 定积分的思想就是无限分割、以直代曲、求和、取极限；
n
lim∑
n→∞i＝1
(ξi)Δx，而bf(x)dx 只是这种极限的一种记号．
a
4．微积分基本定理
用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它
的导数恰好是已知的被积函数．
题型一 应用导数解决与切线相关的问题
根据导数的几何意义，导数就是相应切线 的斜率，从而就可以应用导数解决一些与 切线相关的问题．
③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为 (－∞，＋∞)，即f(x)在R上是递增的． 综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为－∞，a3， (a，＋∞)，单调递减区间为a3，a. a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)， a3，＋∞ ，单 调递减区间为a，a3. a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)由f′(x)＝1－ax＝x－x a，x＞0. ①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函 数f(x)无极值； ②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a； ∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0 ∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极 大值． 综上当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处 取得极小值a－aln a，无极大值．
(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－ 2)ex ， 令 f′(x) ＞ 0 ， 解 得 x ＞ 2 ， 又 x∈(0 ， ＋
(完整word版)高等数学辅导讲义.doc
第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
经典GCT数学04导数部分讲义(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第12章 一元函数微分学例12．1．1 )(x f 在0x 可导，求下列极限（1）hx f h x f h )()(lim 000--→（2）xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()2(lim000 例12．1．2)0(f '存在，0)0(=f ，求220sin )11(limx x f x -+→。
例12．1．3（1）可导偶函数的导数是奇函数；（2）可导奇函数的导数是偶函数； （3）可导周期函数的导数是周期函数。
例12．1．41lim )()1()1(2+++=--∞→x n x n n e bax e x x f ，a ，b 为常数，问a ，b 为何值，使)(x f 可导，并求)(x f '。
例12．2．1 求导数（1）2ln 222+-+=xx x y ，求1='x y （2）)1ln(2x x e y x ++=-（3）x y xarctan 2sin =（4）xxy +-=11ln（5）x x x x y +=tan ，求y '。
例12．2．2x e xy y +=ln 确定了)(x y y =，求,=x dxdy dx dy例12．2．3 求由0=-x xy e e 所确定曲线)(x y y =在1=x 处的切线方程和法线方程。
例12．3．1)(x y y =由⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y确定，求dx dy 及=t dx dy例12．4．1（1） )(x f y =二阶可导，且不为零，求其反函数)(y g x =的二阶导数。
（2）)(ln )(2x f x f y +=0(>f ，二阶可导），求22dxyd 。
（3）2312+-=x x y ，求)(n y 。
例12．5．1431sinxe x y x ⋅=，求dy 。
例12．5．2 )(arctan x f y =，求dy例12．6．1 若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =，证明方程0)1(12110=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。
(2021年整理)高等数学辅导讲义
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第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2。
求数列极限和函数极限。
3。
讨论函数连续性,并判断间断点类型。
4。
确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数例1 （1988, 5分） 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解： 由2()x f x e =知2()[()]1x f x ex ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤。
例2 （1990, 3分） 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1。
练习题： （1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ， 并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言，收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1（极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。
2024版考研数学高等数学辅导讲义
2024版考研数学高等数学辅导讲义2024年版考研数学高等数学辅导讲义我们来了解一下高等数学的基本概念。
高等数学包括了微积分和数学分析两个部分，其中微积分是高等数学的核心内容。
微积分主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。
函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点的极限，我们可以得到函数在该点的导数。
导数是函数在某一点的变化率，它具有重要的几何和物理意义。
积分是导数的逆运算，它可以求得函数的面积、体积等重要的几何量。
在高等数学的学习过程中，我们需要掌握一些重要的解题技巧。
首先是函数的性质和图像的分析。
通过对函数的性质和图像的分析，我们可以更好地理解函数的行为和特点，从而为解题提供便利。
其次是函数的导数和积分的运算法则。
掌握了导数和积分的运算法则，我们可以更快地计算函数的导数和积分。
另外，我们还需要注意一些常见的函数和定理，如三角函数、指数函数、对数函数以及洛必达法则、泰勒展开等。
除了基本概念和解题技巧，我们还需要了解一些高等数学中的重要定理和公式。
例如，微积分中的中值定理、费马定理、罗尔定理等，它们是解题过程中常用的工具。
另外，我们还需要掌握一些常见的数列和级数的性质和判别法则，如等比数列、等差数列、收敛级数、发散级数等。
在高等数学的学习中，我们还需要进行大量的习题训练。
通过解题训练，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。
在解题过程中，我们要注重思路和方法的灵活运用，遇到难题时要善于思考，多角度思考问题，找到解题的突破口。
总结起来，2024版考研数学高等数学辅导讲义是一本全面系统地介绍了高等数学的基本概念、解题技巧和重要定理的教材。
通过学习该讲义，考研学生可以全面掌握高等数学的知识，提高解题能力，为考研数学的复习打下坚实的基础。
希望大家能够认真学习，刻苦钻研，取得优异的成绩。
汤家凤高等数学讲义15页例4
汤家凤高等数学讲义15页例4（原创版）目录1.汤家凤及其《高等数学辅导讲义》简介2.15 页例 4 的内容概述3.15 页例 4 的详细解答4.该例题的典型性和重要性5.如何获取无水印电子版书籍正文汤家凤是我国著名的数学教育家，其《高等数学辅导讲义》是一本深受广大学生喜爱的数学辅导教材。
本书内容详实，覆盖了高等数学的主要知识点，且讲解清晰，富有逻辑性，既适合课堂教学，也适合自学。
在这本书中，例 4 是一道典型的高等数学题目，其内容涉及到多元函数的微分和积分。
这道题目的解答过程较为复杂，需要运用到多元函数的微分和积分公式，以及一些数学技巧。
在解答过程中，汤家凤巧妙地运用了数学方法，将复杂的问题简化，使得学生能够更好地理解和掌握这部分的知识。
15 页例 4 的内容概述如下：假设有一个二元函数 $f(x,y)$，求该函数在区域 $D$ 上的极大值和极小值。
这道题目的解答过程分为以下几个步骤：首先，求出函数的偏导数；其次，根据偏导数的符号确定函数在各个区域内的单调性；最后，运用拉格朗日乘数法求出函数的极值。
15 页例 4 的详细解答如下：（此处省略具体解答过程）该例题的典型性和重要性体现在以下几个方面：首先，该题目涉及到多元函数的微分和积分，是高等数学中的重要知识点；其次，该题目的解答过程较为复杂，需要运用到多种数学方法，对于提高学生的数学技巧和解题能力有重要作用；最后，该题目的解答过程体现了数学的逻辑性和思维性，有助于培养学生的数学思维。
如需获取无水印电子版书籍，可以参考以下步骤：首先，关注微信公众号“考研小舟”；其次，在公众号后台回复关键词“230306”或“20230307”（根据不同公众号的名称和规则可能有所不同）；最后，按照提示操作，即可获取无水印电子版书籍。
总之，汤家凤的《高等数学辅导讲义》是一本优秀的数学辅导教材，其中 15 页例 4 是一道典型的高等数学题目，对于提高学生的数学技巧和解题能力有重要作用。
高数提高讲义 - 第四讲 定积分与反常积分
第四讲 定积分与反常积分一、 考试要求1． 理解（了解）定积分的概念。
2． 掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法，掌握（了解）定积分中值定理。
3． 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
4． 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。
5． 了解反常积分的概念，会计算反常积分。
二、内容提要1 定义 f x dx f x i i i na b()lim ()=→=∑⎰λξ01∆2 若f(x)在[a,b]上连续，则f x dx ab()⎰存在，特别f x dx b a n f a b ank n a bi n ()lim ()=-+-→∞=⎰∑1 f x dx n f n k n i n ()lim ()=→∞=⎰∑011113 f x dx f u du f t dt abab ab ()()()===⎰⎰⎰4 性质：(1) f x dx f x dx baab ()()=-⎰⎰(2) [()()]()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx aba b a b1212+=+⎰⎰⎰ (3) f x dx f x dx f x dx cbac ab()()()=+⎰⎰⎰(4) 不等式性质(5) 估值定理 m f x M x a b ≤≤∀∈(),[,]， 则 m b a f x dx M b a a b()()()-≤≤-⎰(6) 积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则f x dx f b a a b ab()()(),[,]=-∈⎰ξξ，注：ξ可在开区间（a,b ）内取到.一般地，f(x)在[a,b]上连续, g(x)在[a,b]上可积且不变号，则 f x g x dx f g x dx a b abab()()()(),[,]=∈⎰⎰ξξ5 定积分的计算(1) 牛顿—莱布尼兹公式 f x dx F x F b F a a b ab()()()()==-⎰(2) 换元积分法 (3) 分部积分法6 反常积分（1）无界区域上的反常积分：设)(x F 是)(x f 在),(+∞a 上的一个原函数，且)()(),0(lim A F F a F A +∞→≡+∞+均存在，则称⎰+∞adx x f )(收敛，且定义⎰+∞adx x f )(=)0()(+-+∞a F F ；如果 )()(),0(lim A F F a F A +∞→≡+∞+中有一个不存在，则称⎰+∞adx x f )(发散。
高数讲义第四节函数的单调性与凹凸性
2、曲线凹凸的判定
特点：（1）曲线弧总位于 切线的下方。
（2）切线的斜率随 x 的增大 而减少。
y y f (x)
B
A oa
bx
即 f ( x)在[a, b]上单调减少.
由单调性判断可知：
若 f ( x) 0 f ( x)单调减少 曲线 y f ( x)是凸的.
2、曲线凹凸的判定
定理2 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内具有
o
x
当 x 0时， y 0, 在(,0]上单调增加；
当0 x 时， y 0, 在[0,)上单调增加；
在(,)上函数单调增加.
一般地:若 f (x) 在区间内除有限个点处的导数为零, 在其余点处导数恒为正（或恒为负），则 f (x) 在该 区间上仍旧是单调增加的（或单调减少的 ） .
注意:单调性也常用来证明不等式或方程的根的个数.
一阶和二阶导数 , 若在 (a, b) 内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的.
说明： （1）证明的思路与单调性的情形完全一样。
（2）若将区间 [ a , b ] 换为其它形式的区间（包括 无穷区间），定理2的结论仍然成立。
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2) 解方程f ( x) 0 得，x1 1, x2 2. 将 D划分为: (, 1], [1, 2] , [2, ) 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少；
f (1) 1 0, f (0) 1 0,
大学数学(高数微积分)专题四第讲空间中的平行与垂直(课堂讲义)
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
25
热点分类突破
考点四 图形的折叠问题 例4 (2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分
别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿 DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，
PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝
本 讲
2AB.
栏 目
(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；
开 关
(2)求证：EC∥平面PAB.
证明 (1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点，
∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，
24
热点分类突破
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE， ∴AF∥平面BCE.
本 (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，
讲
栏 ∴AF⊥CD.
目
开 关
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.
大家好
1
第2讲 空间中的平行与垂直
【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：
本
讲 1．以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及
栏
目 线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判
开
关 断，属基础题. 2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和 垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简 单组合体为载体进行考查，难度中等．
大学数学高数微积分第七章线性变换第四节课件课堂讲义
域 P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性
方程组 ( 0E A ) X = 0 就有非零解.
这时，如果
(x01 , x02 , … , x0n ) 是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一
个非零解，那么非零向量
= x011 + x022 + … + x0nn 满足 A = 0 ，即 0 是线性变换 A 的一个特征值
由定义可知,
每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量.
例 2 设线性变换 A 在基1 , 2 , 3下的矩阵是
1 2 2 A 2 1 2,
2 2 1
求 A 的特征值与特征向量.
解
单击这里求特征值 A 的特征多项式为
1 2 2 EA 2 1 2
2 2 1
(1)2(5).
所以，A 的特征值为
0
1
0 1
0 0
|
E
D|
n
.
0 0 0 1
0
0
0
因此，D 的特征值只有 0 .
通过解相应的齐次线性
方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量
组只能是任一非零常数.
这表明微商为零的多项式
只能是零或非零的常数.
例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维
线性空间，第一节 下的矩阵为
例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性 空间. 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转 角 就 是 一 个 线 性 变 换 ， 我 们 用 I 表 示 . 如 果 平 面 上 一 个 向 量 在 直 角 坐 标 系 下 的 坐 标 是 ( x , y ), 那 么
像 I ( ) 的 坐 标 ， 即 旋 转 角 之 后 的 坐 标 ( x , y ) 是 按 照 公 式
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第三章 一元函数积分学§3．1 不定积分甲 内容要点一．基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()⎰dx x f 。
其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。
2．不定积分的性质 设()()C x F dx x f +=⎰，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。
则（1）()()C x F dx x F +='⎰或 ()()⎰+=C x F x dF （2）()[]()x f dx x f ='⎰ 或 ()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。
例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，dx e x ⎰-2等。
被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
二．基本积分公式1．C x dx x ++=⎰+11ααα()，实常数1-≠α 2．⎰+=C x dx x ln 13．⎰+=C a adx a x xln 1 ()1,0≠>a aC e dx e x x +=⎰4．⎰+=C x xdx sin cos 5．⎰+-=C x xdx cos sin6．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 227．C x dx xxdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 228．C x xdx x +=⎰sec sec tan 9．C x xdx x +-=⎰csc csc cot 10．C x xdx +-=⎰cos ln tan 11．C x xdx +=⎰sin ln cot 12．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 14．⎰+=-C axx a dx arcsin22 ()0>a 15．C axa x a dx +=+⎰arctan 122 ()0>a 16．C x a x a a x a dx +-+=-⎰ln 2122 ()0>a17．C a x x a x dx +±+=±⎰2222ln ()0>a三．换元积分法和分部积分法1．第一换元积分法（凑微分法） 设()()C u F du u f +=⎰，又()x ϕ可导，则()[]()()[]()()()du u f x u x d x f dx x x f ⎰⎰⎰=='ϕϕϕϕϕ令()()[]C x F C u F +=+=ϕ这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。
常用的几种凑微分形式：（1）()()()⎰⎰++=+b ax d b ax f adx b ax f 1()0≠a （2）()()()⎰⎰++=+-b ax d b ax f na dx x b ax f nn n n 11 ()0,0≠≠n a（3）()()()x d x f x dxx f ln ln ln ⎰⎰=（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰x d x f x dx x f 1112 （5）()()()⎰⎰=x d x f x dx x f2 （6）()()()⎰⎰=xx x x a d a f adx a a f ln 1 ()1,0≠>a a ()()()⎰⎰=xx xxe d ef dx e e f（7）()()()⎰⎰=x d x f xdx x f sin sin cos sin （8）()()()⎰⎰-=x d x f xdx x f cos cos sin cos （9）()()()⎰⎰=x d x f xdx x f tan tan sec tan 2（10）()()()⎰⎰-=x d x f xdx x f cot cot csccot 2（11）()()()⎰⎰=x d x f xdx x x f sec sec tan sec sec （12）()()()⎰⎰-=x d x f xdx x x f csc csc cot csc csc（13）()()()⎰⎰=-x d x f dx xx f arcsin arcsin 1arcsin 2（14）()()()⎰⎰-=-x d x f dx xx f arccos arccos 1arccos 2（15）()()()⎰⎰=+x d x f dx x x f arctan arctan 1arctan 2 （16）()()()⎰⎰-=+x arc d x arc f dx xx arc f cot cot 1cot 2（17）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛x d x f dx x x f 1arctan 1arctan 11arctan 2 （18）()[]()[]()()⎰⎰++++=+++22222222ln ln ln a x x d a x x f dx ax a x x f ()0>a（19）()[]()[]()()⎰⎰-+-+=--+22222222ln ln ln a x x d a x x f dx ax a x x f ()0>a（20）()()()C x f dx x f x f +='⎰ln ()()0≠x f2．第二换元积分法设()t x ϕ=可导，且()0≠'t ϕ，若()[]()()C t G dt t t f +='⎰ϕϕ，则()()()[]()()()[]C x G C t G dt t t f t x dx x f +=+='=⎰⎰-1ϕϕϕϕ令其中()x t 1-=ϕ为()t x ϕ=的反函数。
第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是x 与n b ax +或x 与ndcx b ax ++或由xe 构成的代数式的根式，例如b ae x +等。
只要令根式()t x g n =，解出()t x ϕ=已经不再有根式，那么就作这种变量替换()t x ϕ=即可。
第二类：被积函数含有()0 2≠++A C Bx Ax ，如果仍令t C Bx Ax =++2解出()t x ϕ=仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将0>A 时先化为()[]220l x x A ±-，0<A 时，先化为()()[]202x x l A ---然后再作下列三种三角替换之一：根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）22x a -t a x sin =22x a +t a x tan =22a x -t a x sec =比较简单。
例1．()22222221a x d a x dx a x x --=-⎰⎰()C a xC u du u u a x +-=+==-⎰3222322313121令例2．()⎰⎰⎰-=+++=+2222222222222121dt a t t t a x a x d xa x dx x a x 令 ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=dt a t a dt a t t 2222221 C xa a x a a a a x C t a t a a t ++++-++=++-+=222222ln 2ln2 例3．()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22221111101x x d x x dx x x xdx()C x x C tt tdt t x+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++-=+++-=+-=⎰222111ln 1ln 11令3．分部积分法设()x u ，()x v 均有连续的导数，则()()()()()()⎰⎰-=x du x v x v x u x dv x u或()()()()()()⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u使用分部积分法时被积函数中谁看作()x u 谁看作()x v '有一定规律。
（1）()axn e x P ，()ax x P n sin ，()ax x P n cos 情形，()x P n 为n 次多项式，a 为常数，要进行n 次分部积分法，每次均取axe ，ax sin ，ax cos 为()x v '；多项式部分为()x u 。
（2）()x x P n ln ，()x x P n arcsin ，()x x P n arctan 情形，()x P n 为n 次多项式取()x P n 为()x v '，而x ln ，x arcsin ，x arctan 为()x u ，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。
（3）bx e axsin ，bx e axcos 情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。
（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法，使尽量多的因子和dx 凑成()x dv 。
乙 典型例题 一．直接积分法所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。
例1．求()dx xx ⎰-21解：原式⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-dx x x x dx xx x 2321212221 C x x x ++-=25232152342例2．求下列不定积分（1）⎰++dx x x 1124 （2）()⎰+1x x dx（3）⎰+-232x x dx（4）()⎰+122x x dx 例3．求dx xxx ⎰⋅-⋅32532 例4．求下列不定积分（1）⎰xdx 2tan （2）⎰⋅x x dx22cos sin例5．求下列不定积分 （1）⎰dx x 2sin2（2）⎰-dx xx x sin cos 2cos （3）⎰dx xx x22cos sin 2cos （4）⎰++dx x x 2cos 1cos 12 分析：三角函数中的倍角公式1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=x x x x x ，在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。