两个随机变量的函数的分布

ir0
i
r-i
e-1 1 e-2 2
i0
i!
(r - i)!
e (12 ) r!
r i0
i!
r! (r -
i)!
i r-i 12
e (12 ) r!
(1
2 )r ,
r=0,1，…
即Z服从参数为 1 2 的泊松分布.
例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p), 求Z=X+Y 的分布.
P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… , 求Z=X+Y的概率函数.
解: P(Z r) P( X Y r)
r
由独立性
P(X i,Y r i)
此即离散
i0
卷积公式
r
P( X i)P(Y r i)
i0
=a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为
解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z}
是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ (z) f (x, y)dxdy
x yz
化成累次积分,得
zy
FZ (z)
[
f ( x, y)dx]dy
我们给出不需要计算的另一种证法: 回忆第二章对服从二项分布的随机变
量所作的直观解释: 若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试
验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的
概率都为p.
同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.
故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验 中事件A出现的次数，每次试验中A出现 的概率为p,于是Z是以（n1+n2，p）为参数 的二项随机变量
当0 z < 1 时，
z
z x
FZ (z)
dx
0
0
1dy
z
0 (z x)dx
z2 2
fZ (z) z
y 1
•z •z
1 x
当1 z < 2 时，
1
wenku.baidu.comzx
FZ
(
z)
(
z
1)
dx
z 1
0
1dy
1
z
1
(z z 1
x)dx
2z z2 1 2
fZ (z) 2 z
y 1 •z
z-1 1•zx
fZ
(z)
1
dx
z 1
0,
2
z,
1 z 2 其它
可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求 密度函数两种方法求和的分布
解法二 从分布函数出发
y
1 FZ (z) P( X Y z)
f (x, y)dxdy
1
x yz
x
fX ( x) fY ( y)dxdy
x yz
当z < 0 时， FZ (z) 0
即: 若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)， 则 X+Y～B(n1+n2,p) 二项分布的可加性
类似已知:若X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则 X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
和的分布：Z = X + Y 一、连续型分布的情形 例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度
当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数
Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的分布?
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.
和的分布：Z = X + Y
一、离散型分布的情形
例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…,
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
第五节 二维随机变量的函数分布
3.5.1 和的分布
3.5.1.1 离散型随机变量和的分布 3.5.1.2 连续型随机变量和的分布
3.5.2 一般函数 Z g(X,Y ) 的分布 3.5.4 最大值、最小值的分布
在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布 ，现在我们进一步讨论:
fZ (z) f X (z y) fY ( y)dy
fZ (z) f X (x) fY (z x)dx
这两个公式称为卷积公式 .
例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度
1, 0 x 1
f (x)
0,
其它
求Z=X+Y的概率密度 .
解: 由卷积公式
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x1 0 z x 1
即
0 x1
x
z
x
1
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x 1 0 z x 1
即
0 x 1 x z x 1
如图示:
于是
z
dx z,
0
0 z1
1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 2的泊松分布
解：依题意
.
P(X
i)
e 1 i 1
i!
P (Y
j)
e 2 j 2
j!
由卷积公式
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
由卷积公式 r
P(Z r) P(X i,Y r i)
y 当2 z 时，
2
FZ (z) 1 1
fZ (z) 0
0,
f
Z
(
z
)
z,
2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
1
2 x
例6 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均 匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00 到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待 另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲 先到的概率是多少？
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
以12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45), Y~U(0,60)
解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻
以12时为起点，以分为单位，依题意，
X~U(15,45), Y~U(0,60)
f
X
(
x
)
1 30
,
15 x 45
z y[ f ( x, y)dy]dx
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f ( x, z x)dx
以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: